capitulo 01 - losas apoyadas en los bordes

Capítulo

01

Análisis y Diseño de Losas Las losas son elementos estructurales cuyas dimensiones en planta son relativamente grandes en comparación con su peralte. Las acciones principales sobre las losas son cargas normales a su plano ya que se usan para disponer de superficies útiles horizontales como los pisos de edificios y las cubiertas de los puentes. En ocasiones además de las cargas normales actúan cargas contenidas en su plano, como en el caso de losas inclinadas, en las que la carga vertical tiene una componente paralela a la losa.

10.1. TIPOS DE LOSAS

Las losas se pueden apoyar sólo en dos lados opuestos, como en la figura 10.1a, caso en que la acción estructural de la losa es fundamentalmente en una dirección, puesto que transmite las cargas en la dirección perpendicular a la de las vigas de apoyo. También es posible que haya vigas en los cuatro lados, como en la figura 10.1b, de modo que se obtiene una acción de losa en dos direcciones. Asimismo pueden suministrarse vigas intermedias, como aparece en la figura 10.1C, Si la relación entre la longitud y el ancho de un panel de losa es mayor de dos, la mayor parte de la carga se transmite en la dirección corta hacia las vigas de apoyo y se obtiene, en efecto, acción en una dirección, aunque se proporcionen apoyos en todos los lados. (Ref. 10.1)

Cuando las losas de concreto se apoyan directamente sobre columnas, como en la figura 10.1d son llamadas placas planas y se utilizan a menudo cuando las luces no son muy largas y las cargas no son particularmente altas. La construcción del tipo losa plana mostrada en la figura 10.1e, tampoco incluye vigas pero se apoya en columnas con ábacos o capiteles. En estrecha relación con la placa plana está la losa con viguetas en dos direcciones o losa reticular que ilustra la figura 10.1f Con el fin de reducir la carga muerta de la construcción con losas macizas, se forman vacíos en un patrón rectilíneo mediante elementos de aligeramiento construidos en metal o en fibra de vidrio. Se obtiene así una construcción nervada en dos direcciones. (Ref. 10.1)

Las losas de concreto reforzado de los tipos expuestos en la figura 12.1 se diseñan casi siempre para cargas que se suponen distribuidas de manera uniforme sobre la totalidad de uno de los paneles de la losa, limitadas por las vigas de apoyo o por los ejes entre centros de columnas. Las pequeñas cargas concentradas pueden absorberse mediante la acción en dos direcciones del refuerzo (acero a flexión en dos direcciones para sistemas de losa en dos direcciones o acero a flexión en una dirección más acero de repartición lateral para sistemas en una dirección). Por lo general, las grandes cargas concentradas requieren vigas de apoyo. (Ref. 10.1)

En este capítulo se analizarán las losas apoyadas en los bordes en una o en dos direcciones, como las que ilustran las figuras 10.la, b y c.

TIPOS DE LOSAS LOSAS ARMADAS EN UNA

DIRECCION LOSAS ARMADAS EN DOS

DRECCIONES METODO DE LOS

COEFICIENTES DEL ACI METODO DIRECTO METODO DEL PORTICO

EQUIVALENTE EJEMPLOS DE APLICACION

Análisis y Diseño de Losas

Ing. Ovidio Serrano Zelada

FIGURA10.1 Tipos de Losas 10.2. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION

Las losas armadas en una dirección se caracterizan porque la relación entre las dimensiones de sus paños es mayor que dos por lo que el elemento presenta una curvatura de deflexión más marcada en una dirección como se aprecia en la figura 10.2.a. El refuerzo principal se distribuye paralelo a la dirección donde se presenta la mayor curvatura.(Ref. 10.2)

FIGURA10.2 Losas en una dirección

Diseño de Estructuras de Concreto Armado


Las losas en una dirección se comportan esencialmente como vigas. Puede considerarse que la losa es una viga cuyo ancho es la longitud del apoyo, o bien como se hace más frecuentemente, puede suponerse que la losa está formada por una serie de vigas paralelas e independientes de un metro de ancho que se flexionan uniformemente para el caso de las losas macizas, figura 10.2.b y viguetas en forma de T para losas aligeradas.

10.2.1. LOSAS MACIZAS ARMADAS EN UNA DIRECCION

Las losas en una dirección se comportan esencialmente como vigas. Puede considerarse que la losa es una viga cuyo ancho es la longitud del apoyo, o bien como se hace más frecuentemente, puede suponerse que la losa está formada por una serie de vigas paralelas e independientes de un metro de ancho que se flexionan uniformemente, figura 10.2.b.

10.2.1.1 ANÁLISIS Y DISEÑO

PARA CARGA DE GRAVEDAD DISTRIBUIDA.‐ Uso : Cuando la relación de luces es igual o mayor a dos. Análisis : Se efectúa por el procedimiento de la Teoría Elástica (Cross, Kany, etc.), teniendo en cuenta la alternancia

de cargas o el empleo de los coeficientes del ACI si cumple las limitaciones.

Coeficientes del ACI Limitaciones

Se tienen dos o más luces Luces aproximadamente iguales, la más larga de dos luces adyacentes no puede ser mayor que la más

corta en más de 20%. Las cargas son uniformemente distribuidas. La carga viva unitaria no excede tres veces la carga muerta unitaria. Los elementos son prismáticos.

Coeficientes de Momento.‐

(10.1) Donde:

C = Coeficiente de momento. Wu = Carga mayorada total por unidad de área de losa. Ln = Luz libre para momento positivo, y promedio de las dos luces libres adyacentes para momento negativo.

Coeficientes de Cortante



(10.2)

Donde:

C = Coeficiente de cortante. Wu = Carga mayorada total por unidad de área de losa. Ln = Luz libre.

Cortante en los elementos finales en el primero apoyo interior 1.15/2 Cortante en todos los demás apoyos 1/2

Espesores Mínimos El Código ACI 318‐2008 y la NTE E.060 especificas los espesores mínimos de la tabla 10.1 para losas no preesforzadas construidas con concreto de peso normal y refuerzo grado 60, siempre y cuando la losa no soporte o no esté unida a una construcción que pueda dañarse por grandes deflexiones. Pueden utilizarse espesores menores si los cálculos de las deflexiones indican que no se producen efectos adversos.

TABLA 10.1 Espesores mínimos de h para losas macizas en una dirección no preesforzadas Losa simplemente apoyada L/20 Losa con un extremo continuo L/24 Losa con ambos extremos continuos L/28 Losa en voladizo L/10 L= Luz libre. Para peraltes menores, chequear deflexiones.

Refuerzo por retracción y temperatura.‐ En losas estructurales donde el refuerzo por flexión se extienda en una dirección, se deberá proporcionar refuerzo perpendicular a éste para resistir los esfuerzos por retracción del concreto y cambios de temperatura. El Código ACI 318‐2008 y la NTE E.060, especifican las relaciones mínimas entre el área de refuerzo y el área bruta de concreto que aparecen en la tabla 10.2.

TABLA 10.2 Cuantías mínimas de refuerzo para temperatura y retracción en losas Barras lisas 0,0025 Barras corrugadas con fy < 4200 Kg/cm2 0,0020 Barras corrugadas o malla de alambre (liso o corrugado) de intersecciones soldadas, con fy >= 4200 Kg/cm2 0,0018 Separación del Refuerzo.‐ Refuerzo Principal Exceptuando las losas nervadas, el espaciamiento entre ejes del refuerzo principal por flexión será menor o igual a tres veces el espesor de la losa, sin exceder de 40cm.

Refuerzo por contracción y temperatura El refuerzo por contracción y temperatura deberá colocarse con un espaciamiento entre ejes menor o igual a tres veces el espesor de la losa, sin exceder de 40 cm. En losas nervadas en una dirección (aligerados) donde se usen bloques de relleno (ladrillos de techo) permanentes de arcilla o concreto, el espaciamiento máximo del refuerzo perpendicular a los nervios podrá extenderse a cinco veces el espesor de la losa sin exceder de 40 cm.



Diseño por Flexión.‐ Se realiza con la Teoría de los elementos sometidos a flexión, considerando franja de ancho b=1.00m.

2

0.85

Refuerzo Mínimo.‐

Asmin=Ast

Detalle del Refuerzo

FIGURA10.3 Puntos estándar de corte y doblado para barras en luces aproximadamente iguales con cargas distribuidas de manera uniforme

Aberturas en Losas Las losas suelen presentar aberturas para pases de ductos, tuberías, etc. A fin de evitar que la resistencia de la losa se vea afectada, se le provee de refuerzo adicional a su alrededor. Si las aberturas son muy grandes, es necesario colocar vigas en sus bordes.

Las varillas de acero que atraviesan la abertura se cortan y se colocan a su alrededor con la longitud de anclaje necesaria para desarrollar su esfuerzo de fluencia. En las esquinas de las aberturas, tienden a formarse grietas diagonales. Para evitarlas se les coloca refuerzo inclinado como se muestra en la figura 9.10. Este acero no debe ser de denominación menor que la del refuerzo principal de la losa. (Ref. 2)



PARA CARGA DE GRAVEDAD DISTRIBUIDA Y CONCENTRADA.‐ Se establece un ancho efectivo alrededor de la carga concentrada y se analiza independientemente de la carga

distribuida. Se analiza con la carga distribuida sin la carga concentrada, en forma similar al caso anterior. Se combinan los resultados obtenidos en los casos anteriores determinándose los momentos y cortantes

máximos. Se diseñará la losa como en el caso de carga uniformemente distribuida teniendo cuidado de concentrar el

refuerzo en el ancho efectivo y debajo de la carga concentrada.

Determinación del ancho efectivo.‐

FIGURA10.4 Gráfico para la determinación del ancho efectivo En la determinación del ancho efectivo se distinguen tres casos: Caso 1.‐

Si la carga actúa en el centro geométrico de la losa

, 3

34 , 3

Caso 2.‐

Si la carga actúa a igual distancia de los apoyos, pero descentrada con respecto a los bordes libres, el ancho efectivo será el menor valor de los siguientes valores: El correspondiente al caso 1. El dado por las expresiones:

1313

,

34

13 ,

Caso 3.‐ Si la carga actúa a igual descentrada respecto a los bordes libres y diferente distancia de los apoyos, el ancho efectivo tendrá el valor:

12

Donde: b’e= Ancho correspondiente al caso anterior



Yo=Distancia del centro teórico de la aplicación de la carga al apoyo más próximo.

El factor β que aparece en las ecuaciones anteriores depende de las condiciones de apoyo de la losa especificadas en la tabla 10.3. TABLA 10.3 Valor del factor β según la condición de apoyo de la losa Losa libremente apoyada 1 Losa empotrada 1/2 Losa continua 1/3

10.2.2. LOSAS NERVADAS ARMADAS EN UNA DIRECCION

Las losas macizas, como ya se ha indicado, son diseñadas como vigas de ancho unitario. Este tipo de estructuras no son convenientes si se trata de salvar luces grandes, pues resultan muy pesadas y antieconómicas. Tienen poca rigidez y vibran demasiado. Debido a su poco peralte, requieren mucho refuerzo longitudinal y si éste se incrementa para disminuir la cantidad de acero e incrementar su rigidez, el peso propio aumenta considerablemente.

Las losas nervadas permiten salvar la situación anterior. Están constituidas por una serie de pequeñas vigas T, llamadas nervaduras o viguetas, unidas a través de una losa de igual espesor que el ala de la viga. En la figura 10.5a se muestra la sección de una losa nervada en la que se aprecia que el refuerzo se concentra en el alma de las viguetas.

Las losas nervadas son más ligeras que las losas macizas de rigidez equivalente, lo que les permite ser más eficientes para cubrir luces grandes. Son elaboradas haciendo uso de encofrados metálicos. Si se prefiere una losa cuya superficie inferior sea uniforme se rellena los espacios vacíos con ladrillos huecos o materiales análogos. En este caso, la sección es similar a la mostrada en la figura 10.5b. Este tipo de losas son más conocidas como losas aligeradas y son de uso muy común en edificaciones tanto grandes como pequeñas, pero sobretodo en estas últimas por el ahorro de concreto que se consigue. Las losas aligeradas no requieren el uso de encofrados metálicos pues el ladrillo actúa como encofrado lateral de las viguetas.

FIGURA10.5 Características Geométricas de Losas Nervadas y Aligeradas

10.2.2.1. Disposiciones para Losas Nervadas

El código del ACI y la NTE E.060 dan algunas recomendaciones acerca de las características geométricas de las losas nervadas o aligeradas que son el producto de las observaciones efectuadas en experiencias constructivas pasadas. Entre ellas se tiene:

Las losas nervadas consisten en una combinación monolítica de nervios o viguetas regularmente espaciados y una losa colocada en la parte superior que actúa en una dirección o en dos direcciones ortogonales

El ancho de las nervaduras no debe ser menor de 100 mm y debe tener una altura no mayor de 3,5 veces su ancho mínimo.



El espaciamiento libre entre las nervaduras no debe exceder de 750 mm. Las losas nervadas que no cumplan con las limitaciones anteriores deben diseñarse como losas y vigas

comunes. El espesor de la losa no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre las nervaduras, ni menor de 50

mm. La losa debe llevar refuerzo perpendicular a los nervios diseñado para resistir la flexión, considerando las

cargas concentradas si las hubiera, pero no menor que el que se estipula la Tabla 10.2. Cuando se requiera embeber ductos o tuberías en la losa, el espesor de ésta en cualquier punto deberá ser,

como mínimo, 25 mm mayor que la altura total del ducto o tubería. Se deberán considerar refuerzos o ensanches de los nervios o viguetas en caso que estos ductos o tuberías afecten a la resistencia del sistema.

La resistencia a la fuerza cortante Vc proporcionada por el concreto de las nervaduras podrá ser considerada 10% mayor a la prevista. Adicionalmente, podrá incrementarse la resistencia al corte disponiendo armadura por corte o ensanchando los nervios o viguetas en las zonas críticas.

10.2.2.2. ANÁLISIS Y DISEÑO

Las losas aligeradas se calculan por vigueta.

Espesores Mínimos El Código ACI 318‐2008 y la NTE E.060 especificas los espesores mínimos de la tabla 10.4 para losas no preesforzadas construidas con concreto de peso normal y refuerzo grado 60, siempre y cuando la losa no soporte o no esté unida a una construcción que pueda dañarse por grandes deflexiones. Pueden utilizarse espesores menores si los cálculos de las deflexiones indican que no se producen efectos adversos.

TABLA 10.4 Espesores mínimos de h para losas nervadas en una dirección no preesforzadas Losa simplemente apoyada L/16 Losa con un extremo continuo L/18.5 Losa con ambos extremos continuos L/21 Losa en voladizo L/8 L= Luz libre. Para peraltes menores, chequear deflexiones.

Diseño por Flexión.‐ Se realiza con la Teoría para elementos sometidos a flexión, considerando viguetas de sección T.



10.3. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

Las losas armadas en dos direcciones son losas que transmiten las cargas aplicadas a través de flexión en dos sentidos figura 10.6. Este comportamiento se observa en losa en las cuales la relación entre su mayor y menor dimensión es menor que dos.

FIGURA10.6 Losas en dos direcciones

10.3.1 CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS.‐

Franja de Diseño

Para analizar un sistema de losas en dos direcciones ya sea mediante el Método de Diseño Directo o mediante el Método del Pórtico Equivalente, el sistema de losas se divide en franjas de diseño que consisten en una franja de columna y la mitad de una o dos franjas intermedias, como se ilustra en la figura 10.7.



FIGURA10.7 Definición de las Franjas de Diseño

La franja de columna se define como una franja que tiene un ancho igual a la mitad de la luz transversal o longitudinal, cualquiera sea el valor que resulte menor. La franja intermedia es una franja limitada por dos franjas de columna. Sin embargo, para aplicar las definiciones dadas por el código del ACI para franjas de columna en las cuales la luz es variable a lo largo de la franja de diseño, el diseñador debe aplicar su juicio profesional.

Sección efectiva de una viga

Para los sistemas de losas con vigas entre sus apoyos, las vigas deben incluir partes de la losa a modo de alas, como se ilustra en la Figura 10.8. Las constantes de diseño y los parámetros de rigidez utilizados con el Método de Diseño Directo y el Método del Pórtico Equivalente se basan en las secciones de viga efectivas ilustradas.

FIGURA10.8 Sección efectiva de una viga



Espesor Mínimo de la Losa

El Código del ACI propone espesores mínimos de losa que garantizan que sus deflexiones no sean excesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados, dicho espesor debe ser incrementado. Esta situación se suele presentar en los sistemas de losas sin vigas.

El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos, es función de αm el cual es igual al promedio de los valores de αf

correspondiente a las vigas que limitan el paño. El parámetro se determina a través de la siguiente expresión:

Donde:

Ecb = Módulo de elasticidad del concreto de las vigas. Ecs = Módulo de Elasticidad del concreto de loa losa. Ib = Momento de Inercia de la sección bruta de la viga respecto a su eje centroidal. Is = Momento de Inercia de la sección bruta de la losa respecto a su eje centroidal.

FIGURA10.9 Secciones de Losas y Vigas a ser consideradas para el cálculo de αf

Si αm es menor que 0.2, la rigidez de las vigas es prácticamente nula y por lo tanto, su presencia no se considera. En este caso los espesores de losa se determinan haciendo uso de la tabla10.5.

Esfuerzo de fluencia del

acero fy(kg/cm2)

Sin Ábacos Con Ábacos Paño exterior Paño

Interior Paño exterior Paño

interior Sin vigas de borde

Con vigas de borde

Sin vigas de borde

Con vigas de borde

2800 Ln/33 Ln/36 Ln/36 Ln/36 Ln/40 Ln/40 4200 Ln/30 Ln/33 Ln/33 Ln/33 Ln/36 Ln/36 5250 Ln/28 Ln/31 Ln/31 Ln/31 Ln/34 Ln/34

TABLA 10.4 Espesores mínimos de losas armadas en dos direcciones sin vigas interiores – ACI-318-05 – NTE E.060 Ln, es la luz libre en la dirección de la luz mayor entre apoyos para losas sin vigas o entre caras de vigas para losas con vigas.

El espesor mínimo h para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser:

Para αm ≤ 0.2, se consideran los espesores de la tabla 10.4. Para 0.2 < αm < 2.0, h no debe ser menor que:

0.8 1400036 5 0.2

pero no menor que 125mm.

Para αm > 2.0, h no debe ser menor que:



0.8 1400036 9

pero no menor que 90 mm.

Donde:

Ln = Luz libre del paño en la dirección larga medida de cara a cara de vigas. ß = Relación de luz libre mayor a luz libre menor. αf = Relación de rigidez a flexión de la sección de la viga a rigidez a flexión de un ancho de losa

limitada lateralmente por las líneas centrales de paños adyacentes a cada lado de la viga. αm = Promedio de los valores αf en todo el perímetro del paño. Para losas sin vigas tomar αm=0.

Adicionalmente deben cumplirse los siguientes mínimos:

Losas sin vigas ni ábacos, h>=12.5 cm. Losas sin vigas con ábacos, h>=10.0 cm. Losas con vigas en los cuatro bordes (con αm>=2.0), h>=9.0 cm.

Pueden utilizarse espesores de losas menores que los mínimos requeridos cuando las deflexiones calculadas no exceden los límites de la Tabla 10.5.

Tipo de Elemento Deflexión Considerada Deflexión Límite Techos planos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas

Deflexión instantánea debida a la carga viva.

L / 180 ( ** )

Pisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas.

Deflexión instantánea debida a la carga viva.

L / 360

Piso o techos que soporten o estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas

La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión diferida debida a todas las cargas sostenidas y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional). ( * )

L / 480 ( *** )

Pisos o techos que soporten o estén ligados a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas.

L / 240 (****)

TABLA 10.5 Deflexiones máximas permisibles

Donde: L = Luz de cálculo.

(*) Las deflexiones diferidas se podrán reducir según la cantidad de la deflexión que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determinará basándose en los datos de Ingeniería aceptables con relación a las características tiempo‐deformación de elementos similares a los que se están considerando.



(**) Este límite no tiene por objeto constituirse en un resguardo contra el estancamiento de aguas, lo que se debe verificar mediante cálculos de deflexiones adecuados, incluyendo las deflexiones adicionales debidas al peso del agua estancada y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas sostenidas, la contraflecha, las tolerancias de construcción y la confiabilidad en las previsiones para el drenaje.

(***) Este límite se podrá exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o unidos.

(****) Pero no mayor que la tolerancia establecida para los elementos no estructurales. Este límite se podrá exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexión total menos la contraflecha no exceda dicho límite.

Refuerzo de la Losa

El área mínima de armadura en cada dirección para los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones será igual a 0,0018bh (b = ancho de la losa, h = altura total) para barras de acero Grado 60, tanto para la armadura superior como para la armadura inferior.

El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no deberá exceder de dos veces el espesor de la losa, excepto en el caso de losas nervadas o aligeradas.

Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento positivo perpendicular a un borde discontinuo, deberá prolongarse hasta el borde de la losa y tener una longitud de anclaje de por lo menos 150 mm en las vigas o muros perimetrales.

El refuerzo por momento negativo, perpendicular a un borde discontinuo, deberá anclarse en las vigas o muros perimetrales para que desarrolle su esfuerzo de tracción

Cuando la losa no esté apoyado en una viga o muro perimetral (tramo exterior) el anclaje del refuerzo se hará dentro de la propia losa.

Detalles del refuerzo en las losas sin vigas

FIGURA10.10 Longitudes mínimas de refuerzo en losas sin vigas



Refuerzo en las esquinas

Los momentos torsionales que se generan tienen importancia únicamente en las esquinas exteriores de un sistema de losa en dos direcciones, donde tienden a agrietar la losa en la parte inferior a lo largo de la diagonal del panel, y en la parte superior en dirección perpendicular a la diagonal del panel. Debe proporcionarse refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de las esquinas exteriores de la losa, a lo largo de una distancia en cada dirección igual a un quinto de la luz larga del panel de esquina medida desde la esquina como aparece en la figura 10.9. El refuerzo en la parte superior de la losa debe ser paralelo a la diagonal desde la esquina mientras que el de la parte inferior debe ubicarse en forma perpendicular a la diagonal. Como alternativa, las dos filas de acero pueden colocarse en dos bandas paralelas de la losa. En cualquier caso, de acuerdo con el Código ACI, los refuerzos positivo y negativo deben tener un tamaño y un espaciamiento equivalentes a los exigidos para el máximo momento positivo en el panel.

Aberturas en la Losa

La losa podrá tener aberturas de cualquier dimensión siempre que se demuestre que su presencia no afecta ni a la resistencia del elemento horizontal ni su comportamiento bajo cargas de servicio.

El código del ACI sugiere dimensiones máximas de aberturas según su ubicación en la losa, las cuales han demostrado no ser perjudiciales para el comportamiento del elemento horizontal. Se podrá omitir el análisis indicado en el párrafo anterior siempre que una abertura en losa cumpla los siguientes requisitos:

Si están localizadas en la zona común de dos franjas centrales, se mantendrá la cantidad total de refuerzo requerido por el paño sin considerar la abertura.

La zona común de dos franjas de columna que se intersecten no deberá interrumpirse por abertura no será mayor de 1/8 del ancho de la franja de columna más angosta. El equivalente del refuerzo interrumpido por la abertura deberá añadirse en los lados de ésta.

En la zona común de una franja de columna y una franja central, no deberá interrumpirse por las aberturas más de 1/4 del refuerzo en cada franja. El equivalente del refuerzo interrumpido por una abertura deberá añadirse en los lados de ésta.



FIGURA10.11 Aberturas en losas sin vigas

REFERENCIAS

10.1. ARTUR NILSON, Diseño de Estructuras de Concreto. Duodécima Edición, Mc Graw Hill. 1997 10.2. HARMSEN TEODORO, Diseño de Estructuras de Concreto Armado. Cuarta Edición, PUCP. 2002



Ejemplo 10.2

Diseño de una losa maciza en una dirección con carga uniformemente distribuida, correspondiente a un edificio destinado a aulas de un colegio.

Solución.‐ Espesor de la losa

243.2024 0.133

Asumimos h = 0.14m

Metrado de cargas Carga Permanente

Peso propio de losa = 0.14*2400 = 336.00 Kg/m2 Tabiquería = 120.00 Kg/m2 Acabados = 100 .00 Kg/m2 Carga permanente = 556.00 Kg/m2

Sobrecarga

s/c = 250.00 Kg/m2 Carga Amplificada

Wu = 1.4*556+1.7*250 = 1203.40 Kg/m2 Diseño por Flexión

Peralte efectivo (d) d= h–rec–Ф/2 d=14‐2‐1.27/2 d=11.365 cm b=100 cm

2 , 0.85



A B C D E

Coeficientes de momento 0.04167 0.1 0.09091 0.1 0.04167Pos i tivos 1/24 1/10 1/11 1/10 1/24Negativos 1/14 1/16 1/16 1/14

0.07143 0.0625 0.0625 0.07143Momentos (Kg‐m)Pos i tivos 513.45 1232.28 1120.26 1232.28 513.45Negativos 880.201 770.176 770.176 880.201

Refuerzo calculado (As)

As(‐) cm2 1.21 2.96 2.68 2.96 1.21

As(+) cm2 2.09 1.83 1.83 2.09

Refuerzo Mínimo

Asmin. =0.0018bh = 2.52 cm2

Refuerzo considerado

As(‐) cm2 2.520 2.960 2.680 2.960 2.520

As(+) cm2 2.520 2.520 2.520 2.520

Espaciamiento (s)

barra Nº 3, Asb= 0.71 cm2

s(‐) cm 28.17 23.99 26.49 23.99 28.17s(+) cm 28.17 28.17 28.17 28.17

Espaciamiento máximosmax. = tres veces el espesor de la losa = 3*14 = 42.00 cmsmax. = 40 cm

Espaciamiento considerados (‐) cm 25.00 20.00 25.00 20.00 25.00s(+) cm 25.00 25.00 25.00 25.00

Refuerzo por contracción y temperatura (Ast) ρt=0.0018 Ast= ρt.b.h Ast= 0.0018*100*14 Ast= 2.52 cm2 st=0.71*100/2.52 st=28.17 cm asumimos, st=25 cm, usar 1 Ф Nº 3 @ 0.25 m

Revisión por cortante Cortante actuante (Vu) Vu=1.15WuLn/2 Vu=1.15*1203.40*3.20/2

Vu=2214.26 Kg



Cortante tomado por el concreto (Vn) Vn=0.53(f’c)1/2.b.d Vn=0.53*(210)1/2 *100*11.365 Vn=8728.81 Kg ФVn=0.85*8728.81 ФVn=7419.49 Kg Vu< ФVn, el concreto absorbe todo el cortante Detalle del Refuerzo

Barra Nº 3 Recubrimiento, 2cm



Ejemplo 10.3

Diseño de una losa aligerada en una dirección con carga uniformemente distribuida, correspondiente a un edificio destinado a salas de lectura de una biblioteca.

Solución.‐ Espesor de la losa

213.2021 0.152

Asumimos h = 0.17m

Metrado de cargas Carga Permanente

Peso propio de losa = 280*0.40 = 112.00 Kg/m2 Tabiquería = 120*0.40 = 48.00 Kg/m2 Acabados = 100*0.40 = 40 .00 Kg/m2 Carga permanente = 200.00 Kg/m2

Sobrecarga

s/c = 250*0.40 = 100.00 Kg/m2 Carga Amplificada

Wu = 1.4*200+1.7*100 = 450.00 Kg/m2 Diseño por Flexión

Peralte efectivo (d) d= h–rec–Ф/2 d=17‐2‐1.27/2 d=14.365 cm En los nudos

b=10 cm En el centro del claro b=40 cm



Nudos A y E Mu=192.00 Kg‐m d=14.365 cm b=10 cm, viga T con el ala en tracción As =0.36 cm2 a=0.86 cm

2 , 0.85

0.7 0.7 √ 20 14.365 0.694 , b=2bw=20cm

As=0.694 cm2, Usar 1 φ Nº 3 (As = 0.71cm2)

Nudos B y D Mu=460.80 Kg‐m d=14.365 cm b=10 cm, viga T con el ala en tracción As =0.92 cm2 a=2.16 cm

2 , 0.85

0.7 0.7 √ 20 14.365 0.694 , b=2bw=20cm


Nudos C Mu=418.91 Kg‐m d=14.365 cm b=10 cm, viga T con el ala en tracción As =0.83 cm2 a=1.95 cm

2 , 0.85

0.7 0.7 √ 20 14.365 0.694 , b=2bw=20cm


Claros AB y DE Mu=329.143 Kg‐m d=14.365 cm b=40 cm, viga T con el ala en compresión As =0.61cm2 a=0.36 cm

2 , 0.85

0.7 0.7 √ 10 14.365 0.347 , b=bw=10cm




Claros BC y CD Mu=288.00 Kg‐m d=14.365 cm b=40 cm, viga T con el ala en compresión As =0.50 cm2 a=0.29 cm

2 , 0.85

0.7 0.7 √ 10 14.365 0.347 , b=bw=10cm


A B C D E

Coeficientes de momento 0.04167 0.1 0.09091 0.1 0.04167Positivos 1/24 1/10 1/11 1/10 1/24Negativos 1/14 1/16 1/16 1/14

0.07143 0.0625 0.0625 0.07143Momentos (Kg‐m)Positivos 192.00 460.80 418.91 460.80 192.00Negativos 329.143 288.000 288.000 329.143

Refuerzo considerado

As(‐) cm2 0.710 1.270 1.270 1.270 0.710

As(+) cm2 0.710 0.710 0.710 0.710

Refuerzo por contracción y temperatura (Ast) ρt=0.0018 Ast= ρt.b.h Ast= 0.0018*100*5 Ast= 0.90 cm2 st=0.71*100/0.90 st=78.88 cm asumimos, st=25 cm, usar 1 Ф Nº 3 @ 0.25 m

Revisión por cortante Cortante actuante (Vu) Vu=1.15WuLn/2 Vu=1.15*450*3.20/2

Vu=828.00 Kg Cortante tomado por el concreto (Vn) Vn=0.53(f’c)1/2.b.d Vn=0.53*(210)1/2 *10*14.365 Vn=1103.29 Kg ФVn=0.85*1103.29 ФVn=937.80 Kg Vu< ФVn, el concreto absorbe todo el cortante en la viga pero no en la zona de la losa por lo que se recomienda ensanchar las viguetas en la zona de los apoyos que es en donde se producen los cortantes máximos.



Detalle del Refuerzo

Recubrimiento, 2cm



Ejemplo 10.3

Ejemplo de diseño de una losa en una dirección con carga uniformemente distribuida y carga concentrada, correspondiente a un edificio desatinado a un centro de salud.



METODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA LOSAS EN DOS DIRECCIONES

La determinación precisa de momentos en losas en dos direcciones, con varias condiciones de continuidad en los bordes soportados, es matemáticamente muy compleja y no es adecuada para la práctica de diseño. Por esta razón se han adoptado varios métodos simplificados para determinar momentos, cortantes y reacciones para este tipo de losas. Con respecto al Código ACI de 1995, todos los sistemas de losas de concreto reforzado en dos direcciones que incluyen losas apoyadas en los bordes, losas y placas planas, deben analizarse y diseñarse de acuerdo con un método unificado. Sin embargo, la complejidad de este método generalizado, en particular para sistemas que no cumplen los requisitos que permiten realizar el análisis mediante el "método de diseño directo" del Código actual, ha llevado a muchos ingenieros a continuar utilizando el método de diseño del Código ACI de 1963 para el caso especial de losas en dos direcciones, apoyadas en vigas de borde relativamente altas y rígidas, en los cuatro lados de cada uno de los paneles de la losa. Desde 1963 este método se utiliza en forma amplia para losas apoyadas en los bordes por muros, vigas de acero o vigas monolíticas de concreto, cuya altura total no sea menor que aproximadamente tres veces el espesor de la losa. Aunque no formó parte del Código ACI de 1977 o de versiones posteriores, se permite su uso continuo bajo la disposición del Código actual con relación a que un sistema de losa puede diseñarse utilizando cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica, siempre y cuando se demuestre que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida, y que se cumplen los requisitos de funcionalidad.

Se modifican los momentos negativos y no los momentos positivos.

m=A/B

Cuando la relación A/B<0.5, tenemos que analizar la losa como losa armada en un solo sentido. Cuando la relación A/B >1, debemos hacer lo siguiente: Invertir las condiciones de borde para poder hacer uso de

las tablas. Para bordes discontinuos, el momento a tomar es 1/3 del momento en la franja central, igualmente Para la franja

de columna se tomará 1/3 del momento en la franja central.



DETERMINACIÓN DE LOS MOMENTOS DE FLEXIÓN.‐ Las secciones críticas para el momento de flexión son: 1. Para momentos positivos a lo largo de la línea media de los tableros se presentan los momentos positivos

máximos. 2. Para momentos negativos, se presenta en el borde del tablero y que corresponden a la carga de la viga de

apoyo. Para la Franja Central.‐ Momentos Negativos:

Momentos Positivos: , , , ,

Donde:

MA = Momento de flexión en la dirección A. MB = Momento de flexión en la dirección B. Ca, Cb = Coeficiente de momentos. Wu = Carga última uniformemente repartida. A = Luz Libre tramo corto. B = Luz Libre tramo largo.

Para la Franja de Columna.‐ Los momentos serán reducidos gradualmente desde el valor total en la franja central hasta 1/3 de estos valores en el borde del tablero.

Cuando los momentos negativos en un apoyo varían en el orden del 20% a más, la diferencia será repartida proporcionalmente a las rigideces relativas de las losas.

FIGURA 12.6 Momentos y variaciones de los momentos en una losa cargada uniformemente con apoyos simples en los cuatro lados



FIGURA 12.7 Variación de los momentos a través del ancho de las secciones críticas supuestas para el diseño.



Ejemplo 10.4.‐ Diseño de una losa en dos direcciones por el Método de los Coeficientes del ACI Columnas : 40*40 cm Vigas : 25*60 cm en la dirección horizontal 25*50 cm en la dirección vertical Sobrecarga : 500 Kg/m2 f’c : 210 Kg/cm2 fy : 4200 Kg/cm2

Solución.‐ 1. Espesor de la Losa.‐

4056040 14.375

í180

2 575 475180 11.66

Asumimos, h=14.00cm

Verificación por Deflexiones.‐ Valores α Para las vigas interiores de 6.00m de largo.‐ ht=(60‐14=46)<(4*14=56) Usar ht=46.00cm.

8.38 10

12450 14

12

10.3 10

8.38 1010.3 10

.



Para las vigas de borde de 6.00m de largo ht=(60‐14=46=<(4*14=56) Usar ht=46.00cm.

6.99 10

12262.5 14

12

6.0 10

6.99 106.0 10

.

Para las vigas interiores de 5.00m de largo ht=(50‐14=36=<(4*14=56) Usar ht=36.00cm.

4.58 10

12600 14

12

1.37 10

4.58 101.37 10

.


3.85 10

12312.5 14

12

7.146 10

3.85 10

7.146 10

.



Resumen de los valores α

Revisión del Peralte Mínimo.‐ Se analiza el tablero I, que es el más desfavorable

575475 1.2105

575 475

2 575 2 475 0.50

8.13 11.65 3.34 5.394 7.13


0.8 1400036 9


575 0.8 420014000

36 9 1.2105

. .

Por lo tanto la altura asumida h=14.00cm, es correcta.

2. Cargas Actuantes.‐

Peso Propio de Losa = 0.14*2400 = 336.00 Kg/m2 Peso Tabiquería = 100.00 Kg/m2 Peso Acabados = 50.00 Kg/m2

Carga Muerta = 486.00 Kg/m2 Carga Viva = 500.00 Kg/m2



3. Cargas Amplificadas.‐ Carga Muerta = 1.4*486.00 = 680.40 Kg/m2. Carga Viva = 1.7*500.00 = 850.00 Kg/m2.

Carga Total = 1530.40Kg/m2. 4. Determinación de los Momentos de Flexión.‐

Tableros I, IV, IX y XII

Relación de lados del panel:

475575 0.825

Momentos en las Franjas Centrales de la Losa

Momentos Negativos en Bordes Continuos Coeficientes para Momentos Negativos (Tabla 13.1) m=0.80, Ca=0.071 Cb=0.029 m=0.85, Ca=0.066 Cb=0.034 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0685 Cb=0.0315

0.0685 1530.40 4.75 2365.28 . 0.0315 1530.40 5.75 1593.86 .

Momentos Positivos Coeficientes para Momentos Positivos debidos a Carga Muerta (Tabla 13.2)

m=0.80, Ca=0.039 Cb=0.016 m=0.85, Ca=0.036 Cb=0.019 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0375 Cb=0.0175

Coeficientes para Momentos Positivos debidos a Carga Viva (Tabla 13.3) m=0.80, Ca=0.048 Cb=0.020 m=0.85, Ca=0.043 Cb=0.023 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0455 Cb=0.0215 Ma, cm 0.0375 680.40 4.75 575.68 Kg m.

Ma, cv 0.0455 850.00 4.75 872.60 Kg m. Ma, total 1448.28 Kg m. Mb, cm 0.0175 680.40 5.75 393.68 Kg m. Mb, cv 0.0215 850.00 5.75 604.22 Kg m. Mb, total 997.90 Kg m.



Momentos Negativos en Bordes Discontinuos.‐

13 1448.28 482.76 .

13 997.90 332.63 .

Tableros II, III, X y XI


475575 0.825


Momentos Negativos en Bordes Continuos Coeficientes para Momentos Negativos (Tabla 13.1) m=0.80, Ca=0.055 Cb=0.041 m=0.85, Ca=0.049 Cb=0.046 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0520 Cb=0.0435

0.0520 1530.40 4.75 1795.54 . 0.0435 1530.40 5.75 2201.05 .


m=0.80, Ca=0.032 Cb=0.015 m=0.85, Ca=0.029 Cb=0.017 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0305 Cb=0.0160

Coeficientes para Momentos Positivos debidos a Carga Viva (Tabla 13.3) m=0.80, Ca=0.044 Cb=0.019 m=0.85, Ca=0.040 Cb=0.022 Interpolando: m=0.825 Ca=0.0420 Cb=0.0205 Ma, cm 0.0305 680.40 4.75 468.22 Kg m.





13 1273.70 424.57 .

Tableros V y VIII


375575 0.65


Momentos Negativos en Bordes Continuos Coeficientes para Momentos Negativos (Tabla 13.1) m=0.65 Ca=0.083 Cb=0.008

0.083 1530.40 3.75 1786.26 . 0.008 1530.40 5.75 404.79 .


m=0.65 Ca=0.034 Cb=0.005

Coeficientes para Momentos Positivos debidos a Carga Viva (Tabla 13.3) m=0.65 Ca=0.054 Cb=0.009 Ma, cm 0.034 680.40 3.75 325.32 Kg m.



13 936.04 312.01 .

Tableros VI y VII


375575 0.65




Momentos Negativos en Bordes Continuos Coeficientes para Momentos Negativos (Tabla 13.1) m=0.65 Ca=0.083 Cb=0.008

0.083 1530.40 3.75 1786.26 . 0.008 1530.40 5.75 404.79 .


m=0.65 Ca=0.034 Cb=0.005

Coeficientes para Momentos Positivos debidos a Carga Viva (Tabla 13.3) m=0.65 Ca=0.054 Cb=0.009 Ma, cm 0.034 680.40 3.75 325.32 Kg m.



13 936.04 312.01 .



TABLA 12.6 Relación de la carga W que se transmite en las direcciones la y 1, para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos"



METODO DIRECTO PARA LOSAS EN DOS DIRECCIONES

Es un procedimiento simplificado que permite determinar los momentos de diseño de losas armadas en dos direcciones . Los elementos diseñados haciendo uso de este procedimiento satisfacen los requerimientos de resistencia de la estructura y también la mayor parte de las condiciones necesarias para un adecuado comportamiento bajo cargas de servicio. Este método compatibiliza la simplicidad de su procedimiento con los resultados obtenidos a través de procedimientos teóricos y las observaciones efectuadas a lo largo de los años en que se ha trabajado con este tipo de estructuras.

Este método se aplica en las dos direcciones de armado de la losa por separado. Para el análisis, esta se divide en secciones constituidas por una franja de columna y dos medias franjas centrales, una a cada lado. Estas porciones de losa son tratadas como vigas anchas y chatas y son analizadas independientemente una de la otra.

Este método consta básicamente de tres etapas:

Determinación del momento estático total, Mo, igual a la suma del momento positivo al centro de la luz entre apoyos y la semisuma de los momentos negativos en ellos.

Distribución del momento total estático entre los apoyos y el centro de la luz. Distribución de los momentos positivos en la franja de columna y las medias franjas centrales respectivamente.

Limitaciones del Método.‐ 1. La losa debe contar como mínimo con tres paños en cada dirección. 2. Los paños deben ser rectangulares con una relación entre la mayor y menor dimensión centro a centro menor

que 2. 3. Las luces centro a centro de paños adyacentes no deberán diferir en mas de un tercio de la luz mayor de las

dos. 4. Las columnas podrán desfasarse de su eje principal en no mas de un 10% de la luz entre línea de centro de

columnas sucesivas. 5. Todas las cargas aplicadas deberán ser de gravedad y uniformemente distribuidas en todo el paño. La carga

viva deberá ser menor que dos veces la carga muerta. La alternancia de carga viva es prevista por el método. 6. En los paños apoyados en vigas en los cuatro lados, la rigidez relativa de las vigas en direcciones

perpendiculares no será mayor que 5 ni menor que 0.2, es decir:

0.2 5

Donde: L1 : Dimensión centro a centro del paño en la dirección de análisis. L2 : Dimensión centro a centro del paño en la dirección perpendicular al análisis α1 : Parámetro de relación de rigidez de viga a rigidez de losa, evaluado en la dirección L1. α2 : Parámetro de relación de rigidez de viga a rigidez de losa, evaluado en la dirección L2.

7. Al aplicar este método, no se permite redistribución de esfuerzos en los apoyos. Sin embargo, estos se pueden

modificar hasta en un 10% siempre que se efectúe el ajuste necesario en el momento positivo para mantener inalterado el momento estático final.

El método directo puede aplicarse aún si las limitaciones presentadas no son cumplidas si se demuestra que ello no afecta la resistencia y el comportamiento de la estructura.

Paso 01. Determinación del Momento estático Total.‐



Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático:

8

Donde:

Mo: Momento total estático igual a la suma del momento positivo en el centro del tramo y al promedio de los momentos negativos en el apoyo.

Wu: Carga última por unidad de área. Ln: Distancia entre las caras de la columna,

capiteles o muros pero no será menor que 0.65 L1. Si los apoyos no son rectangulares, se considerará para la determinación de Ln, que estos son equivalentes a soportes cuadrados de igual área como se muestra en la siguiente figura:

Paso 02. Distribución de los Momentos Positivos y Negativos.‐ Los momentos negativos determinados con los criterios que se detallan a continuación corresponden a la cara de los apoyos rectangulares y a la car del apoyo cuadrado equivalente cuando el soporte no es rectangular. En los tramos interiores, se considerará: Momento negativo, 0.65Mo Momento positivo, 0.35Mo

En los tramos exteriores, el momento estático totalm se distribuye como se indica en la tabla10.7

Borde exterior no restringido

Losa con vigas entre todos sus

apoyos

Losas sin vigas entre apoyos exteriores

Borde exterior totalmente restringido Sin viga de

borde Con viga de

borde Momento negativo interior

0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momento positivo 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35 Momento negativo exterior

0 0.16 0.26 0.30 0.65

TABLA 10.7 Coeficientes para distribuir momentos positivos y negativos en los tramos exteriores de las losas armadas en dos sentidos.



Los apoyos internos deberán ser diseñados para resistir el mayor momento negativo que se le haya asignado proveniente de los tramos adyacentes a ellos. Las vigas de borde y los bordes de la losa deben diseñarse para resistir la torsión que desarrollan para transmitir los momentos negativos exteriores a la columna. Paso 03. Distribución de los Momentos en la Franja de Columna y en la Franja Central.‐ El código del ACI presenta una serie de tablas que permiten determinar directamente los porcentajes de momento positivo y negativo que son resistidos por la franja de columna. La fracción restante es dividida, proporcionalmente a sus dimensiones, entre las dos medias franjas centrales. Cada franja central debe ser diseñada para resistir la suma de los momentos que han sido asignados a sus correspondientes medias franjas en sus análisis respectivos. Si aquella es adyacente y paralela a un borde de la losa soportado por un muro, se deberá diseñar para resistir el borde del momento asignado a la media franja central de la primera fila de los apoyos interiores. En los sistemas de vigas y losas, parte de los momentos asignados a la franja de columna deben ser resistidos por dichas vigas y el resto por la losa. Si el término α1L2/L1 es mayor que la unidad, la viga se diseñará para resistir el 85% del momento asignado a la franja de columna. Si por el contrario, es nulo, entonces significa que no existe viga y por lo tanto la losa resiste todo el momento asignado. Para valores intermedios se interpola linealmente. La viga deberá resistir, además que las cargas provenientes de la losa, aquellas que le son aplicadas directamente. A continuación se presentan las tablas con los porcentajes de momento positivo y negativo que corresponden a la franja de columna. Momento Negativo Interior.‐

La distribución es función de la relación entre las dimensiones de la losa y de la rigidez de sus apoyos. L2/L1 0.5 1.0 2.0

/ 0 75 75 75

/ 1.0 90 75 45 TABLA 10.8 Fracción del momento negativo interior que corresponde a la franja de columna Momento Negativo Exterior.‐

La distribución no solo es función de la relación entre las dimensiones de la losa y la rigidez a la flexión de la viga entre columnas, también depende del parámetro ßt, el cual es igual a la relación entre la rigidez a la torsión de la viga de borde, si es que existe y la rigidez a la flexión de la losa. El valor de ß se determina a través de las siguientes expresiones:

2

1 0.63 3

Para la determinación de la rigidez torsional de la viga de borde, se ha asumido Gb=0.5Eb.

L2/L1 0.5 1.0 2.0 L /L 0 ßt=0

ßt>=2.5 100 75

100 75

100 75

L /L 1.0 ßt=0 ßt>=2.5

100 90

100 75

100 45

TABLA 10.9 Fracción del momento negativo exterior que corresponde a la franja de columna Si no existe viga de borde el parámetro ß es nulo y por lo tanto todo el momento es resistido por la franja de columna. Si el parámetro ß es mayor que 2.5, la distribución de momentos es igual que la correspondiente a los momentos negativos interiores. Cuando los apoyos consisten en columnas o muros cuya dimensión perpendicular a la dirección en estudio es mayor que 0 .75L2, los momentos negativos pueden asumirse uniformemente distribuidos a lo largo de L2.



Momento Positivo.‐

L2/L1 0.5 1.0 2.0 / 0 60 60 60

/ 1.0 90 75 45 TABLA 10.9 Fracción del momento positivo que corresponde a la franja de columna Momentos en las Columnas.‐ Los momentos de diseño de las columnas que sostienen la losa dependen de su ubicación. Las columnas exteriores, superior e inferior, se diseñarán para resistir todo el momento negativo proveniente de la losa repartido proporcionalmente a sus rigideces. Las columnas interiores serán diseñadas para un momento proveniente de cargar el tramo adyacente de mayor luz, con toda la carga muerta y la mitad de la carga viva y el tramo de menor luz, solo con carga muerta.

0.65 , 0.5 ,

8,

8

Donde: Wu,cm : Carga muerta en el tramo de mayor luz. Wu,cv : Carga viva en el tramo de mayor luz. W’u,cm : Carga muerta en el tramo de menor luz. W’u,cv : Carga viva en el tramo de menor luz. L’2 : Luz del tramo menor perpendicular a la dirección de diseño. L’1 : Luz del tramo menor entre caras de apoyo.

Simplificando la relación anterior se llega a:

0.081 , 0.5 , , Una porción de este momento es absorbido por la losa y el resto por las columnas. El código asume que la mayor parte del momento es absorbido por las columnas y por ello sugiere para su diseño:

0.07 , 0.5 , , Este momento es repartido entre las columnas sobre y bajo la losa proporcionalmente a sus rigideces.



Ejemplo 10.5.‐ Diseño de una losa en dos direcciones por el Método Directo Columnas : 40*40 cm Vigas : 25*60 cm en la dirección horizontal 25*50 cm en la dirección vertical Sobrecarga : 500 Kg/m2 f’c : 210 Kg/cm2 fy : 4200 Kg/cm2 Solución.‐ Espesor de la Losa.‐

4056040 14.00

í180

2 560 460180 11.33

Asumimos, h=14.00cm

Verificación por Deflexiones.‐ Valores α Para las vigas interiores de 6.00m de largo.‐ ht=(60‐14=46)<(4*14=56) Usar ht=46.00cm.

8.38 10

12450 14

12

10.3 10

8.38 1010.3 10

.




6.99 10

12262.5 14

12

6.0 10

6.99 106.0 10

.

Para las vigas interiores de 5.00m de largo ht=(50‐14=36=<(4*14=56) Usar ht=36.00cm.

4.58 10

12600 14

12

1.37 10

4.58 101.37 10

.


3.85 10

12312.5 14

12

7.146 10

3.85 10

7.146 10

.



Resumen de los valores α

Revisión del Peralte Mínimo.‐ Se analiza el tablero I, que es el más desfavorable Ln = (600‐40=560cm) > (0.65*600=390cm)

560460 1.217

560 460

2 560 2 460 0.50

8.13 11.65 3.34 5.394 7.13


0.8 1400036 9


560 0.8 420014000

36 9 1.217

. .

Por lo tanto la altura asumida h=14.00cm, es correcta. Revisión de las Limitaciones del Método.‐ a. Se cumple porque hay tres claros en una dirección y cuatro en la otra. b. Relación máxima entre claro largo y claro corto:

1.5 2.0 c. Diferencia máxima entre claros sucesivos.‐

5‐4=1m. < (5/3=1.7m.)

d. No hay columnas fuera de los ejes



e. Carga Muerta vs Carga Viva Peso Propio de Losa = 0.14*2400 = 336.00 Kg/m2 Peso Muerto (Tabiquería+Acabados) = 150.00 Kg/m2 Carga Muerta Total = 486.00 Kg/m2 Carga Viva = 500.00 Kg/m2

1.03 2

f. La rigidez relativa de las vigas en direcciones perpendiculares no será mayor que 5 ni menor que 0.2

Para el tablero I En dirección horizontal

11.65 8.13 55.39 3.34 6 1.57; 0.2 1.57 5.0

En dirección vertical 5.39 3.34 6

11.65 8.13 5 0.64; 0.2 0.64 5.0

Para el tablero II

En dirección horizontal 8.13 8.13 45.39 3.34 6 0.83; 0.2 0.83 5.0

En dirección vertical 5.39 3.34 68.13 8.13 4 1.21; 0.2 1.21 5.0

Para el tablero III


En dirección vertical 3.34 3.34 6

11.65 8.13 5 0.49; 0.2 0.49 5.0

Para el tablero IV


En dirección vertical 3.34 3.34 68.13 8.13 4 0.92; 0.2 0.92 5.0

En todos los casos se cumple la relación

0.2 5

Cálculo del Momento Estático Total.‐

Amplificación de Cargas

Wu=1.4*486+1.7*500=1530.40 Kg/m2=1.5304 Tn/m2

Eje A, todos los claros.‐

81.5304 2.625 5.60

8 15.75

Eje B, todos los claros.‐

81.5304 4.50 5.60

8 27.00



Eje 1, claro AB

81.5304 3.125 4.60

8 12.65

Eje 1, claro BC

81.5304 3.125 3.60

8 7.75

Eje 2, claro AB

81.5304 6.00 4.60

8 24.29

Eje 2, claro BC

81.5304 6.00 3.60

8 14.88

Momentos Longitudinales.‐ Ejes A y D

M1‐2(‐) = 0.16*Mo=0.16*15.75=2.52 Tn‐m M1‐2(+) = 0.57*Mo=0.57*15.75=8.98 Tn‐m M2‐1(‐) = 0.70*Mo=0.70*15.75=11.03 Tn‐m

M2‐3(‐) = 0.65*Mo=0.65*15.75=10.24 Tn‐m M2‐3(+) = 0.35*Mo=0.35*15.75=5.51 Tn‐m M3‐2(‐) = 0.65*Mo=0.65*15.75=10.24 Tn‐m

Ejes B y C

M1‐2(‐) = 0.16*Mo=0.16*27.00= 4.32 Tn‐m M1‐2(+) = 0.57*Mo=0.57*27.00=15.39 Tn‐m M2‐1(‐) = 0.70*Mo=0.70*27.00=18.90 Tn‐m

M2‐3(‐) = 0.65*Mo=0.65*27.00=17.55 Tn‐m M2‐3(+) = 0.35*Mo=0.35*27.00= 9.45 Tn‐m M3‐2(‐) = 0.65*Mo=0.65*27.00=17.55 Tn‐m

Ejes 1 y 5

MA‐B(‐) = 0.16*Mo=0.16*12.65= 2.02 Tn‐m MA‐B(+) = 0.57*Mo=0.57*12.65= 7.21 Tn‐m MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*12.65= 8.86 Tn‐m

MB‐C(‐) = 0.65*Mo=0.65*7.75=5.04 Tn‐m MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*7.75=2.71 Tn‐m MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*7.75=5.04 Tn‐m

Ejes 2,3 y 4

MA‐B(‐) = 0.16*Mo=0.16*24.29= 3.89 Tn‐m MA‐B(+) = 0.57*Mo=0.57*24.29=13.85 Tn‐m MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*24.29=17.00 Tn‐m

MB‐C(‐) = 0.65*Mo=0.65*14.88= 9.67 Tn‐m MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*14.88= 5.21 Tn‐m MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*14.88= 9.67 Tn‐m



Distribución de los Momentos Longitudinales a lo Ancho de las Franjas.‐ Cálculo del parámetro ßt,

2

Constante de Torsión C para las vigas de borde del eje A:

Para la condición a.

10.63 25

6025 60

3 10.63 14

4614 46

3

C=26.4*104cm4.

Para la condición b.

10.63 25

4625 46

3 10.63 14

7114 71

3

C=21.4*104cm4 < 26.4*104cm4

Usar C=26.4*104cm4.

Constante de Torsión C para las vigas de borde del eje 1:

Para la condición a.

10.63 25

5025 50

3 10.63 14

3614 36

3

C=20.3*104cm4.



Para la condición b.

10.63 25

3625 36

3 10.63 14

6114 61

3

15.3*104cm4 < 20.3*104cm4.

Usar C=20.3*104cm4.

Para las franjas A y D

2

500 14

12 11.4 10

20.3 10

2 11.4 10 0.89

Para las franjas B y C

450 1412 10.3 10

20.3 10

2 10.3 10 0.98

Para las franjas 1, 2, 3, 4 y 5

600 1412 13.7 10

26.4 10

2 13.7 10 0.96

Cálculo de los Momentos en la Franja de Columna, Franja Central y Viga.‐ Franjas de los Ejes A y D Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento

Total L2/L1 αL2/L1 βt Franja de Viga Franja de Franja Central(Tn‐m) Columna Columna

M1‐2(‐) 2.52 0.83 9.67 0.89 92.9 2.34 1.99 0.35 0.18

M1‐2(+) 8.98 0.83 9.67 80.1 7.19 6.11 1.08 1.79

M2‐1(‐) 11.03 0.83 9.67 80.1 8.84 7.51 1.33 2.19

M2‐3(‐) 10.24 0.83 9.67 80.1 8.20 6.97 1.23 2.04

M2‐3(+) 5.51 0.83 9.67 80.1 4.41 3.75 0.66 1.10

M3‐2(‐) 10.24 0.83 9.67 80.1 8.20 6.97 1.23 2.04

Franjas de los Ejes B y C Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


M1‐2(‐) 4.32 0.75 6.10 0.98 93.1 4.02 3.42 0.60 0.30

M1‐2(+) 15.39 0.75 6.10 82.5 12.70 10.79 1.90 2.69

M2‐1(‐) 18.90 0.75 6.10 82.5 15.59 13.25 2.34 3.31

M2‐3(‐) 17.55 0.75 6.10 82.5 14.48 12.31 2.17 3.07

M2‐3(+) 9.45 0.75 6.10 82.5 7.80 6.63 1.17 1.65

M3‐2(‐) 17.55 0.75 6.10 82.5 14.48 12.31 2.17 3.07



Franjas de los Ejes 1 y 5 Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


MA‐B(‐) 2.02 1.2 6.47 0.96 88.1 1.78 1.51 0.27 0.24

MA‐B(+) 7.21 1.2 6.47 69.0 4.97 4.23 0.75 2.24

MB‐A(‐) 8.86 1.2 6.47 69.0 6.11 5.20 0.92 2.75

MB‐C(‐) 5.04 1.5 8.08 60.0 3.02 2.57 0.45 2.02

MB‐C(+) 2.71 1.5 8.08 60.0 1.63 1.38 0.24 1.08

MC‐B(‐) 5.04 1.5 8.08 60.0 3.02 2.57 0.45 2.02

Franjas de los Ejes 2, 3 y 4 Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


MA‐B(‐) 3.89 1.2 4.01 0.96 88.1 3.43 2.91 0.51 0.46

MA‐B(+) 13.85 1.2 4.01 69.0 9.56 8.12 1.43 4.29

MB‐A(‐) 17.00 1.2 4.01 69.0 11.73 9.97 1.76 5.27

MB‐C(‐) 9.67 1.5 5.01 60.0 5.80 4.93 0.87 3.87

MB‐C(+) 5.21 1.5 5.01 60.0 3.13 2.66 0.47 2.08

MC‐B(‐) 9.67 1.5 5.01 60.0 5.80 4.93 0.87 3.87

Cálculo de las Áreas de Acero por Flexión.‐ Franja del eje B, losa en franja de columna.‐

Sección Momento Ascalc As min As s

(Tn‐m) (cm2) (cm2) (cm2) barras Nº (cm)

M1‐2(‐) 0.60 1.41 5.67 5.67 3 28.00

M1‐2(+) 1.90 4.52 5.67 5.67 3 28.00

M2‐1(‐) 2.34 5.59 5.67 5.67 3 28.00

M2‐3(‐) 2.17 5.17 5.67 5.67 3 28.00

M2‐3(+) 1.17 2.76 5.67 5.67 3 28.00

M3‐2(‐) 2.17 5.17 5.67 5.67 3 28.00

0.0018 5.67

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 225 11.365 40.91



Franja del eje B, losa en franja central.‐

Sección Momento(Tn‐m) ρ As barras Nº s

M1‐2(‐) 0.30 0.0018 4.60 3 34.00

M1‐2(+) 2.69 0.0039 10.08 3 15.00

M2‐1(‐) 3.31 0.0049 12.55 3 12.00

M2‐3(‐) 3.07 0.0045 11.58 3 13.00

M2‐3(+) 1.65 0.0024 6.08 3 26.00

M3‐2(‐) 3.07 0.0045 11.58 3 13.00

0.0018 5.67

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 225 11.365 40.91

Franja del eje B, viga.‐

Sección Momento(Tn‐m) ρ As barras

M1‐2(‐) 3.42 0.0024 3.25 2 Nº 5

M1‐2(+) 10.79 0.0066 8.83 3 Nº 6

M2‐1(‐) 13.25 0.0082 11.08 4 Nº 6

M2‐3(‐) 12.31 0.0076 10.20 4 Nº 6

M2‐3(+) 6.63 0.0039 5.24 2 Nº 6

M3‐2(‐) 12.31 0.0076 10.20 4 Nº 6

0.7 0.0024

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 0.016 Revisión por Fuerza Cortante.‐ a.‐ Losa

El caso más desfavorable es el del tablero I en la dirección del claro corto

1.15 . . 6213.11 .

0.85 0.53 √210 100 11.365 7419.49 . Vu<Vcu OK. b. Viga del Eje B



23496.00 1.00

2 2.506.00 2.00

2 2.00

39345.75 .

39345.752 19672.88 .

0.85 0.53 √210 25 53.78 8777.39 .

10895.49 .

Por lo tanto, se requiere de estribos para absorber el cortante Vs=10895.49Kg.

capitulo 01 - losas apoyadas en los bordes

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