capiii_073-103

8/3/2019 CapIII_073-103

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Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Vías

Fundaciones

Material de apoyo de FundacionesParte II

Estimación de Asentamientos y

Esfuerzos

Prof. Silvio Rojas

Septiembre, 2006

8/3/2019 CapIII_073-103




CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE LA BASE RÍGIDA

La fig. 77, muestra este caso. La base rígida puede ser, roca o grava y arena densa.

El caso de capa elástica sobre base rígida es muy importante por su analogía con larealidad.

Veamos la diferencia que esto introduce en la distribución de tensiones y

deformaciones respecto a las calculadas según Boussinesq.

Fig. 77.- Capa elástica

sobre base rígida

Prof. Silvio Rojas

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Carga aislada puntual

Burmister (1943, 1945)

La fig. 78, muiestra este caso.-



.

sobre base rígida.

Los esfuerzos en el punto ubicado a una distancia “r” de la vertical del centro y auna profundidad “z”, vienen dados por:

22 h

P I

z z

⋅⋅⋅=

π σ

σ (217)

22 hP I r r

⋅⋅⋅=

π σ σ (218)

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22 h

P I

⋅⋅⋅=

π σ

σθ θ (219)

Iσz, Iσr, Iσθ: Factores de influencia , Iσz, Iσr, Iσθ, tabulados por Poulos (1967 b).

El asentamiento vertical y el desplazamiento horizontal en el punto, se estima a

través de:

hE P I S

zs z

π 2⋅=

⋅

(220)

hE

P I S

sr r

π 2⋅=

(221)

Isz, Isr: Factores de influencia obtenidos por Taylor.

La fig. 79, presenta el factor de influencia para el asentamiento vertical estimado por

Taylor y Boussinesq. Se aprecia, que en la cercanías de la carga, ambos

asentamientos son asintóticos, pero en seguida el de Taylor se hace mucho menor.

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Fig. 79.- Carga aislada vertical

sobre capa elástica homogénea

con base rígida. Asentamientos en

superficie según Taylor (1962).

Comparación con los

correspondientes al semiespacio

de Boussinesq.

Prof. Silvio Rojas

Carga lineal sobre base rígida

La fig. 80, muestra la carga lineal sobre capa elástica, y donde se comparan los

esfuerzos verticales para los casos: Semiespacio de Boussinesq, cuando el

coeficiente de Poisson es igual ν = 0.5 y para el caso ν = 0.

La Curva I representa el caso Boussinesq, en la curva II ( ν = 0.5) no existe corte en

la interfaz y en la curva III se debe producir el mayor cortante en la interfaz ( ν = 0).

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Poulos (1966), da las expresiones para la estimación de los esfuerzos y

asentamientos en cualquier punto de la capa elástica.

z zI

h

Pσ

π σ ⋅=

P⋅=

(222)

xz xz

hτ

π ⋅

sx xI

E

PS ⋅

⋅=π

sz z I E

PS ⋅⋅= π

(224)

(225)

donde:

Iσz; Iτxz, Isx, Isz: Factores de influencia.

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Interfaz

I ε x>0, el esf. es menor

al caso III

s.r

I – Boussinesq

II ν = ½ τ = 0

III ν =0 τ = τmáx

Fig. 80.- Carga lineal vertical sobre capa elástica homogénea con base

rígida. Tensiones verticales sobre la interfaz.

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Carga en faja sobre base rígida-Interfaz lisa (Egorov, 1939)La figura 81 muestra el caso de carga en faja. Aquí se presentan soluciones para:

h=a

h=2a h=5a

Boussinesq

Se aprecia que al disminuir h aumenta σz. También se observa, que el menor

es uerzo σz ocurre para e caso e ouss nesq, por an o os mayores σz se

producen considerando la base rígida.

También la figura 82, muestra que:

Si h es pequeño τzx disminuye y aumenta σz

Si h es pequeño, las deformaciones del terreno lateral disminuye y τzx disminuye

El efecto incrementa cuando la interfaz es lubricada.

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Pto donde se

priduce el

mayor cortante

El cortante es cero en este

pto.

Centro de

la faja

Fig. 81. Carga en faja infinita sobre capa

elástica homogénea con base rígida.Interfaz lisa. Tensiones verticales bajo el

centro de la faja según Egorov (1939).

Fig. 82. Efecto de la finitud del

estrato compresible sobre la

distribución de tensiones

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Interfaz rugosa para carga en faja infinita sobre base rígidaPoulos (1967b). La figura 83, presenta la solución para el caso ν=0.5 y ν=0.2 Se

observa que el coeficiente ν, influye poco en las tensiones verticales,especialmente en el caso de faja estrecha. Se debe tener presente que en el caso de

Boussinesq σz no es función de ν.

,

ν=0,5 Mayor asentamiento para z=2B

ν=0,40

Mayor asentamiento para z=1.5B

ν=0,2

Mayor asentamiento para z=h

ν=0

Mayor asentamiento para z=0.75B

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Más cerca de la

superficie

No existe la curva z/h =0, para

determinar el esf en superficie

Fig. 83. Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa.

Disribución de tensiones verticales según Poulos (1967 b) bajo el extremo de la carga. (a) Caso ν =0.2 y (b) Caso ν = 0.5

σz en la esquina

de la carga a una

prof “z”

Para relaciones h/B ≤2Para relaciones de

h/B > 2. Menores

esfuerzos

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Comentarios anterioresvalen aquí también

Fig. 83. Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa.

Disribución de tensiones verticales según Poulos (1967 b) bajo el extremo de la carga. (a) Caso ν =0.2 y (b) Caso ν = 0.5

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La fig. 84, presenta la gráfica que permite estimar los asentamientos verticales y

horizontales en el caso de carga en faja infinita sobre capa elástica. La fig. 85,

también permite estimar los asentamientos verticales para el caso de interfaz lisa y

rugosa, según Ueshita y Meyerhoff (1968).

Fig. 84.- Carga en faja infinita sobre capa

elástica homo énea con base rí ida.

Menores espesores mayores asentamientos

??? para

Mayores espesores

menores asentamientos??

Interfaz rugosa. Asentamientos

horizontales bajo el extremo de la carga

según Poulos (1967 b). (a) Asentamiento

vertical. (b) Desplazamiento horizontal.

Para h/B < 2 y ν=0 y ν=0.20,

el asentamiento sigue

incrementando

Asent y desplaz en

la esquina y

superficial

Para relaciones h/B ≤2

Para relaciones deh/B > 2. Menores

esfuerzos Prof. Silvio Rojas

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Desplaz horizontal en la

esquina y en superficie

Desplaz horizontaleshacia adentro

Si ν=0, como existe desplazamiento

horizontal??’

Se observa que los asentamientos en cambio si están más influenciados,

especialmente en el caso de e elástica de pequeño espesor.

Para ν=0 asentamientos mayores

Para ν=½ asentamientos menores

Para ν=0 no existe deformación lateral

Para ν=½ existe deformación lateral

Desplaz.Horizontales hacia

fuera y en la esquina

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Fig. 85.- Carga en faja

infinita sobre capa

En la fig. 85, se nota que el tipo de interfaz tiene muy poca influencia cuando el

coeficicnte de Poisson es ν=0, y en cambio tiene gran impotancia para el caso ν= 0.5.

Interfaz lisa y rugosa

Prof. Silvio Rojas

rígida. Asentamientosbajo el extremo de la

carga, según Ueshita y

Meyerhoff (1968)

para distintos

coeficientes de

Poisson y condiciones

de la interfaz.

Esquina

0.5 lisa

0.25 rugosa

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Carga circular - capa elástica homogénea sobre base rígida

Este caso tridimensional con simetría radial ha sido resuelto por Biot, y es

presentado en la fig. 86.. Colaboración del terreno lateral es mayor en el caso desimetría radial, resultando menor esfuerzo, por la curva I. La diferencia entre la

curva III y la curva II, con respecto a la curva I, son considerables, la razón es:

La colaboración del terreno lateral es mayor en el caso de simetría radial.

Fig. 86.- Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Distribución de tensionesverticales sobre la interfaz.

Simetría radial

s.r

I – Boussinesq

II ν = ½ τ = 0

III ν =0 τ = τmáx

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La fig. 87, presenta las distribuciones de tensiones bajo la vertical delcentro y bajo el borde de un círculo, determinadas por Milovic (1970),para el caso de interfaz rugosa.

A distintas prof.

Area circular

Fig. 87.- Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa.

Distribución de tensiones bajo el centro y bajo el borde según Milovic (1970).

ν=0.3

Borde

Eje

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Ueshita y Meyerhoff en su trabajo de 1968 estudiaron con gran detalle los asentamientos

bajo el centro del círculo. En la fig. 88, se presentan los resultados. Esta fig. da solamente

los asentamientos en el centro. Existe asentamiento diferencial aún siendo interfaz rugosa, si

la fundación no es lo suficientemente rígida. Fig. 88.- Cargacircular sobre capa

elástica homogénea

con base rígida.

Asentamiento bajo el

centro del círculo

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según Ueshita y

Meyerhoff (1968)

para distintos

coeficientes de

Poisson y

condiciones de la

interfaz.

ν =0.5 considerando semi-espacio de

Buossinesq (1.6)

Valores para

Boussinesq

El asent. Borde puede ser

estimado considerando la

recomendación de

Terzaghui 0.85 el del

centro

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Las figuras 89 y 90,

corresponden a Terzaghi

(1942). Ellas permitencalcular el asentamiento

superficial en cualquier

distancia a partir del

centro de la carga, y

para tres condiciones deespesor de estrato.

Eje

Borde

Fig. 89.- Carga circular

sobre capa elástica

homogénea con base rígida.

Asentamientos en superficie

según Terzaghi (1942).

rea c rcu ar

uniformemente

cargada

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Asentamiento

Inmediato en la

Superficie

Si = q (R / E) Is

Fig. 90.- Valores del factor

de influencia Is para el

cálculo de los asentamientos

Boussinesq

Asent.

superficial

Capa elastica

Eje Borde

superficiales inmediatos en

la superficie Si, producidos

bajo un área circular flexible

uniformemente cargada

(según Terzaghi, 1943).

Interfaz lisa ??

Espesor delgado

levantamiento

Asent.superficial

Capa elastica

Asent.

superficial

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Carga rectangular – capa compresible sobre base rígida

La solución completa fue dada por Burmister en 1956, para el caso de interfaz rugos

La fig. 91, ilustra esta condición.

La solución la presenta para ν =

0.4, Burmister quien comprobó

Fig. 91.- Capa elástica con carga rectangular.

influencia sobre las tensionesverticales, sobre todo en la parte

superior. Sus resultados están

dados en lña fig. 92 , 93 y 94, para

para z = 0.2h, 0.4h, 0.6h, 0.8h, h

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Fig. 92.- Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Tensiones

verticales bajo una esquina según Burmister (1956). (a) Para ν = 0.4 y z = 0.2.h . (b) Para ν = 0.4 y z =

0.4.h

Esf adeterminadas

prof

Tiende a

muro

(a) (b)

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(a) (b)

Fig. 93.- Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz

rugosa. Tensiones verticales bajo una esquina según Burmister (1956). (a) Para ν =0.4 y z = 0.6.h . (b) Para ν = 0.4 y z = 0.8.h Prof. Silvio Rojas

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Fig. 94.- Carga rectangularsobre capa elástica

homogénea con base rígida.Interfaz rugosa. Tensionesverticales bajo una esquinasegún Burmister (1956).

= =

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En las figuras 92, 93 y 94, se observa que para un valor z/h= 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1

se tiene:

Si L/B incrementa σz/ P incrementa.

z/h =0.2 L/B=1 y L/h =0.2 σz = 0.175

z/h = 0.2 L/B=10 y L/h = 2 σz = 0.20

,

mayores, para un mismo espesor h. Si h disminuye la L/h aumenta y por tanto el esfuerzo σz también aumenta.

Para una misma profundidad z, la relación z/h con valores menores implica

mayores espesores del estrato compresible. Por tanto valores menores de la

relación z/h corresponde menores esfuerzos.

Ueshita y Meyerff (1968), obtuvieron los coeficientes de influencia para los

desplazamientos verticales bajo la esquina del rectángulo. La Fig. 95, presenta

gráficas que permiten estimar el coeficiente de influencia para los coeficientes de

Poisson υ = 0,5, 0,3, 0

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hi ff 6 b i l fi i d i fl i l

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Interfaz rugosaAsent en la

esquina y

superficie

Ueshita y Meyerff (1968), obtuvieron los coeficientes de influencia para los

desplazamientos verticales bajo la esquina del rectángulo. La Fig. 95, presenta

gráficas que permiten estimar el coeficiente de influencia para los coeficientes de

Poisson υ = 0,5, 0,3, 0

Valores para

Boussinesq

h/Bh/B

ν =0.5

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h/B

Interfaz rugosa

ν =0.3

Para cualquierdimensión de zapata

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Fig 95.- Carga rectangular

sobre capa elástica homogénea

con base rígida. Interfazrugosa. Asentamientos bajo la

esquina del rectángulo según

Ueshita y Meyerhoff (1968),

para distintas formas del

ν =0

rectángulo. (a) caso ν = 0.5. (b)

caso ν = 0.3. (c) caso ν = 0.

Interfaz rugosa

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donde:

Se: Asentamiento en la esquina del rectángulo

P: Presión a licada al suelo or el rectán ulo

El desplazamiento puede expresarse por la ecuación:

Irc E

BPS

e⋅

⋅= (226)

B: Ancho del rectánguloIrc: Coeficiente de influencia

En la figura 95, se aprecia:

Menor asentamiento para ν=0,5

Mayor asentamiento para ν=0,0El asentamiento diferencial, entre la esquina y el centro del rectángulo se estimar

por:

δdiferencial = δ(centro) - δ(esquina para B, L) (227)

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La fig. 96, corresponde a Sovinc (1961), quien presenta la distribución de

presión σz, bajo el centro de un rectángulo cargado en el caso de superficie

lubricada. Se aprecia que para cualquier relación b/a el esfuerzo es mayor

cuando la relación h/b disminuye.

Nota: Si interesa en el borde, entonces ampliamos el rectángulo y luego se

divide entre 4. Se busca en el centro y luego se divide entre 4.

La adición y sustracción de rectángulo, permite hallar la tensión debajo de

un punto cualquiera, dividiendo entre 4, tendremos la tensión bajo la

esquina.

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h/b=1

b/a=1

b/a=2

=

Se aprecia que

para cualquierrelación b/a el

esfuerzo es mayor

cuando la relación

Fig. 96.- Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz lisa. Distribución de

tensiones bajo el centro del rectángulo según Sovin (1961).

h/b=2

b/a=1

b/a=2

b/a=5Boussinesq

h/b=5

b/a=1

b/a=2

b/a=5

sm nuye

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La fig. 97, también corresponde a Sovinc (1961), la cual permite estimar los

asentamientos en la esquina de un rectángulo cargado, para un suelo con ν =0.5.

Fig. 97 Carga rectangular sobre capa

elástica homogénea con base rígida.Interfaz

.

rectángulo cargado para ν = 0.5 según

Sovinc (1961).

En la esquina y

en superficie

Valores que se alcanzancuando tiende al semiespacio

de Boussinesq Prof. Silvio Rojas

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Método aproximado de steinbrenner para el calculo de los asientosde un rectangulo en el caso de base rígida.

Steinbrenner estima los asentamientos sin tener en cuenta la modificación en la

distribución de las tensiones. La fig. 98 muestra el asentamiento que ocurre en

superficie y el asentamiento que ocurre a cierta profundidad por debajo de la

superficie.

Steinbrenner define:

∆S= S0 – Sz

Donde:

∆S: Asentamiento en la esquina para el caso de profundidad z de la capacompresible.

S0: Asentamiento de la superficie en el caso de profundidad indefinida.

Sz: Asentamiento que experimenta el punto a la profundidad “z”, en el caso de

profundidad indefinida.Prof. Silvio Rojas

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Fig. 98.- Esquema de asentamientos

bajo una capa elástica superficial.

Nota:

En el caso de haber varias capas de

diversa compresibilidad, resultaría

necesario efectuar el cálculo para

distintas profundidades, con los

coeficientes de elasticidad

correspondientes sucesivamente a cada

una de las capas. Por diferencia podrá

hallarse el asiento debido a éstas y con

ello el asiento total de la superficie.

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Se debe restarProf. Silvio Rojas

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Donde:

f1(a,b,z), f2(a,b,z): Funciones estimadas de la fig. 99.

También, indica que el asentamiento puede ser estimado a través de:

( ) ( )[ ] zba Bf zba f A

E

PbS ,,,,

21+⋅=∆ (229)

A,B: Constantes que dependen del coeficiente de poisson.

A = 1 - ν2 (230)

B = 1 - ν - 2 ν2 (231)

m,n: parámetros para entrar a la fig.99 y vienen dados por:

b zm =

b

an = (232)

Para terreno incompresible resulta: ν = ½

( ) zba f E

pb

S ,,4

31

=∆ (233)Para ν = 0 resulta A = B = 1Prof. Silvio Rojas

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f1(a,b,z) f2 (a,b,z)

z/b

Fig. 99.- Carga rectangular sobre multicapa elástica. Acortamiento de la capa elástica superficial bajo

la esquina del rectángulo. Método aproximado. Según Steinbrenner.

Prof. Silvio Rojas

U i id d d L A d

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La fig. 100, se presentan otras relaciones equivalentes a la ec. 229, 230 y 231.

Fig. 100 Valores de las funciones F1 y F2 para el cálculo del asentamiento inmediato Si en una capa desuelo de espesor finito bajo la esquina de un área rectangular flexible uniformemente cargada (según

Steinbrenner). Prof. Silvio Rojas


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Fundaciones

Superficie de carga general con base rígidaLa solución exacta puede encontrarse numéricamente por la aplicación del método

del sector de Poulos.

La Fig. 101, ilustra un área general uniformemente cargada.

Fig. 101.-(a) Area general cargada uniformemente. (b) Carga general sobre base

rígida. (c) Carga circular en el semiespacio de Boussinesq.

Esta carga seubica dentro de

coronas

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Fundaciones

Método aproximado de Newmark

La fig. 101.b, muestra una capa elástica con una base rígida a una profundidad

“z”. Si la carga general, se hace algo análogo al método aproximado de

Steinbrenner, apoyado en lo que se muestra en la fig. 101.c

Entonces, se necesita conocer el asentameinto Sz que sufre el punto situado a

dicha profundidad z, en el caso de tratarse del semiespacio homogéneo (fig.

.c , se est ma a trav s e:

Para cualquier círculo

( ) ( )

−−+

⋅⋅+=

ψ

ψ ν ψ ν

sensen

E

RqS z

cos1211

(234)

ψ ψ tantan ⋅=⇒= z R z

R

Asentamiento producido por la n-ésima parte de una corona

que se percibe desde la profundidad z bajo los semiángulos

de apertura ψ 1 y ψ 2 (ver fig. 102), será:

asentameinto Sz que

sufre el punto situado

a dicha profundidad z

( )

( ) ( )

+⋅−⋅+⋅−+⋅

−⋅⋅⋅

= 2

2

2

11211

12

),0( nn

n

nn E

qb

zS

ν

n=z/b

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Fundaciones

( ) [ ] ( )( )

−−

−

⋅

⋅−++⋅−⋅

⋅

⋅+=∆

2

2

1

1

2211

cos

cos1

cos

cos1211tantan1

ψ

ψ

ψ

ψ ν ν ψ ψ ψ ψ ν

E n

zqsensen

E n

zqS

z

(235)

( )

( )

0

12 2

0,0

=→=

−⋅⋅⋅=

R z

E

q RS

ρ

ν En superficie

n: número de sectores en los cuales se dividen las coronas

Nota: Existen gráficas para los cálculos.

Fig. 102.- Corona cargada en determinadosector.

1sin===

R

R R

ρ ψ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) E

Rq

Sz E

Rq

Sz

z

⋅

⋅−⋅+⋅=⇒−+⋅

⋅

⋅+=

==

ν ν ν ν

ρ ψ

1122111

0cos

( ) E

q RSz

212 ν −⋅⋅⋅=

La expresión anterior

da el asent en

superficieProf. Silvio Rojas

s.r Indica:

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−⋅−+⋅

⋅⋅+

−

−⋅−+⋅

⋅⋅+=

1sin

1cos1)21(1sin

1)1(

2sin

2cos1)21(2sin

2)1(sup_

ψ

ψ ν ψ ν

ψ

ψ ν ψ ν

E

Rq

E

RqerficieSz

Como estamos

en superficie: 902

901

=

=

ψ

ψ

[ ] [ ])21(11

)1()21(12

)1(sup_ ν ν ν ν −+⋅⋅

⋅+−−+⋅⋅

⋅+= E

Rq

E

RqerficieSz

,

definida por:

−⋅−+⋅

⋅⋅+

−

−⋅−+⋅

⋅⋅+=

1sin

1cos1)21(1sin1)1(

2sin

2cos1)21(2sin

2)1(__

ψ ψ ν ψ ν

ψ

ψ ν ψ ν

E

Rq

E

Rq z prof Sz

El asentamiento por presencia de la capa rígida será:

z prof SzerficieSzS z __sup_ −=∆Prof. Silvio Rojas


F l d d I i í

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Fundaciones

n: número de sectores en los cuales se dividen las coronas.

Nota: existen gráficas para los cálculos.

Semiespacio Elástico Heterogéneo

Para el caso lineal, este semiespacio se evalúa a través de:

E z = E o + λ z 236

Donde:

E(z): Módulo de Young E, Variando linealmente con la profundidadE(o): Valor del modulo de Young E, en la superficie.

λ : Pendiente de la variación del modulo con la profundidad ”z”.

Es el modelo heterogéneo mas simple que se puede proponer para un semiespacio elástico infinito

heterogéneo.

Para el semiespacio homogéneo de Boussinesq, se tiene que:

λ = 0 y por tanto

E(z) = E(o) en el semiespacio.

Para el caso = E(o) = 0, es un modelo poco realista, resultando la ecuación:

E(z)= λ ·Z (237)

Sin embargo, este modelo se acepta en el caso de arenas sueltas.

Prof. Silvio Rojas


F lt d d I i í

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Fundaciones

La fig. 103, presenta los tres modelos mencionados.

Fig. 103.- Modelos de estimación del módulo

en el semiespacio heterogéneo.

El modelo de Winkler se identifica con este

modelo elástico heterogéneo, dado por la ec.

237, y donde inicialmente se expreso por la

relación k = q/s, es decir el asentamiento en unpunto de la superficie es proporcional a la carga

que hay sobre él.

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Fundaciones

Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga en Faja

Gibson (1967), propuso la siguiente expresión para la estimación del módulo de

rigidez transversal cuando υ = 0.5, es decir considerando que el terreno esincompresible.

G(z)= G(0)+m.z (238)

on e:

G(z): Módulo de rigidez transversal variando linealmente con la profundidad “z”.

G(o): Módulo de rigidez transversal en la superficie del terreno.

m: Pendiente de la variación del modulo G con la profundidad “z”.

La fig. 104, muestra la representación de la ec. 238

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Fundaciones

Fig. 104.- (a) Variación lineal del módulo de rigidez transversal con la profundidad.

(b) Carga en faja en el semiespacio heterogéneo.

(c) Variación lineal del módulo de Youngcon la profundidad.

Carga en faja

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De acuerdo a la fig. 104, la pendiente de la variación del módulo se puede

expresar a través de:

(239)

β: Parámetro con dimensiones de longitud que caracteriza el grado deheterogeneidad



Fundaciones

β

)0(G

m =

De la ec. 239, se escribe:

(240)

•Si β = 0, se obtiene el módelo de Winkler

•Si β = ∞, resulta el caso de Boussinesq

Sustituyendo la ec. 239 en la ec. 238, se obtiene:

(241)

(242)

m

G)0(

= β

zG

G zG ⋅+= β

)0(

)0()(

+⋅=

β

zG zG 1)(

)0(

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Fundaciones

Comparando los resultados para β=0 y β=∞, Gibson encontró, que la

distribución de las tensiones verticales en esos casos es idéntica, por tanto para

heterogeneidad intermedia, la distribución debe ser parecida a la correspondiente

a Boussinesq. En principio esto sólo podría ser válido para ν =.1/2

Para el modelo de Winkler, el asentamiento a cualquier profundidad a cierta

distancia “x” del origen, se estima a través de:

−+

+

⋅⋅

=−−

z

zb

z

xb

m

q z xS

11tantan

2

),(

π

β =0 (modelo Winkler)

(243)

donde:

q: Carga uniformemente repartida en la faja.m: Pendiente de la varaicón del módulo de rigidez transversal.

b: Ancho de la franja.

x: distancia horizontal a partir del origen de la carga.

z: Profundidad a la cual se quiere estimar la carga.

varaicón del módulo de rigidez transversal.

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Fundaciones

La fig.105, permite estimar el asentamiento de acuerdo al modelo de Winkler.

Fig. 105.- Carga en faja

infinita. Semiespacio de

Winkler. Distribución de

asentamientos según

x/b

Gibson (1967).

2.m.S(x,z) /q

Asent en superficie Asent a una prof igual a “b”

s.r

Aparentemente G toma en cuenta la deformación que sufre el suelo en

sentido horizontal, ya que las profundidades donde analiza el problema son

pequeñas (z/b)=0 hasta (z/b)=1Prof. Silvio Rojas



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Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Circular

Brown y Gibson (1972), presentan gráficas para estimar el asentamiento para una

carga circular en un semiespacio elástico heterogéneo, aplicando el modelo lineal de

variación del módulo de rigidez transversal, dado por la ec. 242. Las figuras 106 y

107, presenta dichos resultados.

La fig. 106, permite estimar el coeficiente de influencia I, para la estimación del

g


Fundaciones

asentamiento en el centro del circulo Sz(r=0) tal como se indica:

I G

aPS

r z⋅

⋅=

=

)0(

)0(

2 (244)

donde:

Sz(r=0): Asentamiento superficial en el centro del círculo.I: Coeficiente de influencia (figura 106).

P: Carga uniformemente distribuida aplicada en la superficie circular

a: Radio del área circular.

G(0): Módulo transversal en la superficie- Prof. Silvio Rojas



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g


Fundaciones

En la fig. 106, la relación β /a, representa el grado de heterogeneidad. También se

muestra como influye el coeficiente de Poisson “ ν” en el asentamiento.

Ejemplo si β /a = 10 el asentamiento cuando ν=0 es mayor que dos veces el

asentamiento que cuando ν = 0,5.

Para menor

hetero eneidad el

Coeficiente de

influencia

Da el asent en superficie y

en el eje

Grado de heterogeneidad

Baja

heterogeneidad

Alta heterogeneidad

( )

a p

GSzo

⋅

⋅⋅2

asentamiento se hace más

independiente de ν

Fig. 106.- Carga circular sobre semiespacio elástico heterogéneo con variación lineal del módulo deYoung. Coeficiente de influencia para el asentamiento del ¡centro del círculo según Brown y Gibson



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Fundaciones

La fig. 107, permite estimar el asentamiento a cualquier distancia medida a partir del

centro de la carga circular, para diferentes para valores del coeficiente de Poisson de

ν= 0, ν= 1/3 y ν= 1/2 .

o Asentcentr

Asent distanccualquiera

EjeBorde Alta heterogeneidad

heterogeneidad

)0(

)(

=r z

r z

S

r/a

Son casi iguales la

forma de la

superficie de losasentamientos

sr

Entre el eje y

el borde, el

asent es mayor

cuando existe

alta

heterogeneidadProf. Silvio Rojas



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Fundaciones

Eje Borde

Difiere

respecto a losanteriores

Fig. 107.- Carga circular sobre semiespacio elástico heterogéneo con variación lineal del

módulo de Young. Asentamientos en superficie para distintos coeficientes de Poisson, según

Brown y Gibson (1972).

En la fig. 107, se observa:

•Los perfiles de ν = 0 y ν = 1/3 difieren del perfil de ν =1/2de Winkler. La presenciade cierta compresibilidad es importante.

•β tiene gran influencia en la forma y magnitud de los asientos.

•El valor de ν es importante a medida que aumenta β.

•El asentamiento Sz (r = 0) se determina de la primera figura.Prof. Silvio Rojas



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Fundaciones

Solamente para ν = 0.5 tiene significado elástico el modelo de Winkler. Se

comprueba que para ν = 1/3, aún para pequeños valores de β el perfil de

asentamientos difiere mucho del resultante del modelo de Winkler. Ya que las formas

de las superficies de asentamientos son casi iguales para ν = 1/3 y ν =0, secomprende que la presencia de una cierta compresibilidad es mucho más importante

que los aumentos relativos de la misma.

Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Rectangular

Brown y Gibson (1973), también estudió este caso. Ley de variación de la

deformabilidad, referida al módulo de Young, es idéntica a la establecida en

la ec. 242 para carga en faja y circular, siempre y cuando se considere que elcoeficiente de Poisson es constante. En este caso por tanto, la variación de

módulo es (ver fig. 104.c):

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D d Ví

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Fundaciones

(245)

Donde:

E (z): Módulo de Young variando linealmente con la profundidad “z”.

E(o): Modulo de Young en la superficie, del terreno.

m: Pendiente de la variación de modulo E con la profundidad “z”

+= β

z E E z 1)0()(

Ley de variación de

la deformabilidad

igual caos circular

Si β aumenta, la influencia es mayor en el valor del asentamiento. De la fig.la pendiente se expresa, por:

(246)

Para la solución se aplica el método general del sector de Poulos, basado en

los resultados numéricos obtenidos por Gibson para los asentamientos bajo el

centro de un área circular uniformemente cargada.

El asentamiento total producido por determinado sector del círculo como el

indicado en la fig. 108, se expresa como:

β

Eom =

s.r mayores asentamientos

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D d Ví

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Fig. 108.- Carga

rectangular. Aplicación del

método de Poulos al


Fundaciones

cálculo de los

asentamientos.

θ π ∆=

2

)(

sec

R

tor

SS

Asentamiento producido por el

sector del circulo en la esquina del

rectángulo

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D t t d Ví

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Fundaciones

(247)

Donde:

Ssector: Asentamiento producido por determinado sector del circulo.S(R): Asentamiento en el centro de un círculo uniformemente cargado de radio

“R”

∆θ: Diferencial del án ulo θ medido en el centro del círculo.

θ π ∆=

2

)(

sec

R

tor

SS

Integrando el área rectangular de la fig. 108, por sectores de radio “R” variables,

se plantea:

(248)

Donde:

Sesquina: Asentamiento total bajo la esquina de un área rectangular

La fig. 109 permite estimar el factor de influencia “I” para el cálculo del

asentamiento en la esquina de un rectángulo la heterogeneidad del semi espacio

elástico.

θ π

π

d S

SR

esquina ∫=

2 /

0

)(

2

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Departamento deVías

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La ec. 248, se escribe:( )

I E

BqS

squinae ⋅−⋅⋅

=

0

21 ν


Fundaciones

(249)

Boussinesq

Independiente

de ν. Da

mayores

asentamientos

β /B altos (baja

heterogeneidad).

Mayor asent

Fig. 109.- carga rectangular sobre semiespacio elástico heterogéneo con

variación lineal Módulo de Young. Asiento bajo la esquina del rectángulo según

Brown y Gibson (1973).

β /B bajos

(alta

heterogeneidad)

. Menorasentamientos

( )21 ν −⋅⋅

⋅

Bq

EoSc




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Fundaciones

Butler (1974).

Estudió el caso de una carga rectangular sobre una capa elástica con heterogeneidad

lineal apoyada en una base rígida. Aplicó un método de análisis aproximado,

extrapolando simplemente el método de Steinbrenner, Consideró un sistemamulticapa (fig. 110), en que los módulos de elasticidad de las distintas capas varían

linealmente con la profundidad, y con ello determinó los asentamientos bajo la

. .

Fig. 110. Esquema de modelo multicapa simulando una capa elástica heterogénea con variación lineal del

modulo de Young sobre base rígida, según Butler (1974)

Modelo multicapa

Estas variaciones están

representadas a través del

factor K

Carga

rectangular

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Fundaciones

Los módulos de elasticidad de las distintas capas varían linealmente con la

profundidad, expresando:

(250)Donde:

E: Módulo de Young a determinada profundidad “z”

B: Ancho del rectángulo.

⋅+=

B

zk E E o 1

+=

β

z E E

z

10)(

Eom =

k: Grado de heterogeneidad.

La Ec. 250 se escribe

(251)

Donde:B/K: Representa el grado de heterogeneidad del suelo.

Por tanto:

(252)

+=

k

B

z Eo E 1

β =

k

B

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Fundaciones

Se determina que:

K pequeño

•β alto

•Mayor asentamiento

•Poca Heterogeneidad•Tiende al semi espacio de Boussinesq

K altos

•

β =k

B

•Alta Heterogeneidad

•No tiende al semi espacio de Boussinesq

•Altos módulos y asentamientos menores

El asentamiento en la esquina de un rectángulo se estima, a través

de:

Donde:

S: Asentamiento en la esquina de un rectángulo.

Eo: Modulo de Young en superficie

B: Ancho de rectángulo.Is: Coeficiente de influencia

s

I B Eo

qS ⋅⋅

=

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epa ta e to eV as

Fundaciones

Z/B =0 - Is=0.

Asent en superf cero

?????

s I B Eo

qS ⋅⋅

=

(a)

Se interpreta que si Z=0, no existen capas

compresibles

Alta

heterogeneidad.

Menor

asentamiento

Baja heterogeneidad.

Mayor asentamiento.Semi-espacio de Boussinesq

Si existe varias capas, se

aplicara el método de

superposiciónProf. Silvio Rojas




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p

Fundaciones

(b) Prof. Silvio Rojas




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p

Fundaciones

(c)Prof. Silvio Rojas




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Fundaciones

(d)Prof. Silvio Rojas




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Fundaciones

(e)Prof. Silvio Rojas




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Fundaciones

(f)Fig. 111.- Carga rectangular sobre capa elástica heterogénea con variación lineal del módulo de

Young y base rígida. Asentamiento bajo la esquina del rectángulo para diversas formas del rectángulo

y coeficientes de Poisson según Butler (1974).Prof. Silvio Rojas

La Fig. 112 y 113, pertenecen a Burmister, para la solución del sistema de dos capas,

donde consideran

b t

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La capa superficial infinitaen la dirección lateral,

pero de profundidad finita

capa subyacente es

infinita tanto en ladirección horizontal

como vertical.

Fig. 112 Basic pattern of Burmister two-layer stress influence curves (From

Burmister, Highway Research Bulletin 177)

Los materialeshomogéneos,

isotropicos y

elásticos.

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capa superficial este libre de cortante y de esfuerzos normales fuera del

área cargada

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capas estén en

contacto

continuos

Los esfuerzos y deflexiones, dependen de la

relación de módulos, de la capa de refuerzo y de

la subrasante.Prof. Silvio Rojas

La fig. 112, da los esfuerzos verticales bajo el centro de un plato circular de radio

“a”.

El efecto de la capa de refuerzo es notable, en el valor de los esfuerzos,

d l i i d B i A did E1/E2

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comparado con el semi espacio de Boussinesq. A medida que E1/E2 aumentan,

los esfuerzos a cualquier profundidad disminuyen.

Ensayos han demostrado, que los esfuerzos y deflexiones obtenidas por las

ecuaciones de Boussinesq, son mas grandes que las medidas, y observadas.

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Fundaciones

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Fundaciones

La deflexión total de la superficie en el caso del sistema multicapa, puede ser

obtenida por medio de:

(254)225.1 F E

a p

f ⋅

⋅⋅=∆

a p ⋅

Plato flexible

(255)

∆r: Asentamiento total para plato rígido.

∆f: Asentamiento total para platos flexibles.

p: Carga por unidad de área sobre el plato circular.

a: radio del plato.

E2: Modulo de elasticidad de la capa subyacente.F2: Factor adimensional que depende de la relación de módulos y de la relación de

espesor de la capa de refuerzo respecto al radio (Fig. 113).

2

.

E

⋅⋅

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Fundaciones

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Fundaciones

Fig. 113.- Influence values – two layer theory. (From Burmister, Proceeding, Highway Research Borrad,




Fundaciones

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TEORIA DE DOS CAPAS

Fórmulas de Palmar y Barber (ver fig. 114).

Fundaciones

Fig. 114.- (a) Desplazamientos en la primera capa y en la subrasasnte. (b) Sistema de dos capas.

(c) Sistema equivalente de dos capas a una capa.

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Fundaciones

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Fundaciones

Haciendo referencia a la misma nomenclatura utilizada anteriormente, se escribe:

Desplazamiento en la superficie del pavimento ∆T

+

−⋅

⋅⋅⋅

=∆

1

2

3 / 2

22

1

2

2

15,1

E

E

E

E E a

E

aqT

(256)

2

E a

Desplazamiento de la primera capa ∆P

+

−⋅⋅=∆

32

2

1221

15,1

E

E ha

a E

aPP (257)

Desplazamiento en la superficie de la subrasante ∆s

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Fundaciones

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2 / 13 / 2

2

1222

25,1

+⋅

⋅⋅=∆

E

E ha E

aqs

(258)

METODO DE ODEMARK

Base del Método (fig. 114.b y 114.c)

( )2

2

1

1

9,0 −

−⋅⋅⋅+=

a

b

Eb

Ea

hahbhe ν

ν

Cálculo de la deflexión total superficial

+

+

+

−⋅⋅

=∆3 / 22

21

2

29,01

1

9,01

115,1

Eb

Ea

a

h E E

a

h EbaqT

(260)

Cálculo de la deflexión superficial de la subrasante ∆s

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Fundaciones

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+

⋅⋅=∆

3 / 22

29,01

15,1

Eb

Ea

a

h Eb

aqs (261)

∆P = ∆T - ∆s (262)

+

−= 32

1

11

hc

aq

vσ

(263)

39,0 Eb

Eahhc ⋅⋅=

(264)

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capiii_073-103

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