Capacitancia eléctrica.

Un capacitor o condensador eléctrico es un dispositivo empleado para almacenar cargas eléctricas, como se ve en la figura siguiente.

Capacitancia

La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.

La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.

TierraBatería Conductor

- - - - ---- -- - - - -e-e-

Capacitancia:

Q, V

Unidades: Coulomb por voltVQ

C

La capacidad de almacenar carga aumenta si se acercan más las placasA y B entre sí o bien, al incrementarse el área de las placas o el voltajeDe la batería.

--------

++++++++

A B

+-

Un capacitor simple como el mostrado en la figura anterior, consta de dos láminas metálicas separadas por un aislante o dieléctrico que puede ser aire, vidrio, mica, aceite o papel encerado.

La capacidad o capacitancia de un capacitor se mide por la cantidad de carga eléctrica que puede almacenar. Para aumentar la capacitancia se hacen las siguientes modificaciones:

Factores para disminuir o aumentar la capacitancia:1.- Disminuir la distancia entre las placas metálicas,

de tal manera que al acercarse, la placa positiva provocará que se atraigan más cargas negativas de la batería sobre la placa negativa y por supuesto más cargas positivas sobre la carga positiva.

2.- Aumentar el área de las placas, pues mientras mayor superficie tengan, mayor será su capacidad de almacenamiento.

3.- Aumentar el voltaje de la batería.

La cantidad de carga Q que puede ser almacenada por un capacitor a un voltaje dado es proporcional a la capacitancia C y al voltaje V de donde:

Q = CV.

Al despejar C de la fórmula anterior se obtiene la ecuación que permite definir la unidad de capacitancia:

C = Q V

Donde:

C = capacitancia del capacitor en farads (F).

Q = carga almacenada por el capacitor en coulomb (C).

V = diferencia de potencial entre las placas del capacitor en volts (V).

A la unidad de capacitancia se le ha dado el nombre de farad o faradio (F) en honor de Michael Faraday (1791-1867), físico y químico inglés, pionero del estudio de la electricidad.

Unidad del capacitor Por definición: un capacitor tiene la capacitancia de

un farad cuando al almacenar la carga de un coulomb su potencial aumenta un volt:

1farad = 1coulomb 1volt

Debido a que el farad es una unidad muy grande, en la práctica se utilizan submúltiplos de ella, como:

mili El micro El pico

Capacitancia de placas paralelasCuando de desea calcular la capacitancia de

un capacitor de placas paralelas se utiliza la siguiente expresión matemática:

C = ε A d

Donde: C = capacitancia en farads (F). ε= constante que depende del medio aislante y recibe el nombre de permitividad en

F/m. A = área de una de las placas paralelas en metros cuadrados (m2). d= distancia entre las placas en metros (m).

d

Área A

+Q

-Q

Materiales dieléctricosLa mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica.probabilidad de descarga eléctrica.

La separación de la carga dieléctrica permite que más carga La separación de la carga dieléctrica permite que más carga se coloque en las placas; mayor capacitancia C > Cse coloque en las placas; mayor capacitancia C > Coo..

++++++

------

aireaire

CCoo

EEoo

++++++

------

- +- +- +- +- +- +

C > CC > Coo

E < EE < Eoo

++++++

------

- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +

dieléctricodieléctrico

EE reducido reducido

Menor separación de placas sin contacto. Aumenta la capacitancia de un capacitor. Se pueden usar voltajes más altos sin

descarga disruptiva. Con frecuencia permite mayor resistencia

mecánica.

Menor separación de placas sin contacto. Aumenta la capacitancia de un capacitor. Se pueden usar voltajes más altos sin

descarga disruptiva. Con frecuencia permite mayor resistencia

mecánica.

Ventajas de los dieléctricosVentajas de los dieléctricos

La constante ε llamada permeabilidad eléctrica o simplemente permitividad del medio aislante, es igual al producto de la constante de permitividad del vacío εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, y εr o sea, la permitividad relativa o coeficiente dieléctrico del medio aislante. Por lo tanto:

ε = εo εr.

Los valores de la permitividad relativa o coeficiente dieléctrico (εr) de algunas sustancias aislantes se dan en el cuadro siguiente. Finalmente cabe señalar que las unidades de la permeabilidad eléctrica o permitivad ε son F/m equivalente a C2/Nm2 igual que las unidades de εo.

Permitividad relativa de algunos medios. Medio aislador permitividad relativa (εr)

Vacío 1.0000Aire 1.0005Gasolina 2.35Aceite 2.8Vidrio 4.7Mica 5.6Glicerina 45Agua 80.5

Ejemplo 1

3 mmd

A

0.4 m2

0

Q AC

V d 0

Q AC

V d

C = 1.18 nFC = 1.18 nF

Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen una área de 0.4 m2 y están separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es la capacitancia?

2

2

-12 2CNm

(8.85 x 10 )(0.4 m )

(0.003 m)C

Ejercicio 2 2.- Las placas de un capacitor tienen una separación de 5

mm en el aire. Calcular su capacitancia si cada placa rectangular mide 15 cm x 20 cm.

Datos Fórmulad = 5 mm C = ε AA = 0.15 m x 0.20 m dεr = 1εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2,C = ?

Solución: como la permitividad relativa para el aire prácticamente puede ser considerada igual a uno, el valor de la permitividad ε del aire es igual a la permitividad en en vacío εo, es decir:

εaire = εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2

15mm x20cm

5 mmd

Usos de los capacitores Los capacitores tienen muchos usos en los

circuitos de corriente alterna, en los circuitos de radio y en el encendido de la mayoría de los automóviles.

Aplicaciones de los capacitores

+++++++

-

-

---

-- A

Capacitor variable

Área cambiante

0

AC

d 0

AC

d

d

d cambiante

micrófonoQ

VC

Q

VC

Un micrófono convierte las ondas sonoras en una Un micrófono convierte las ondas sonoras en una señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar d.d.

El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El área cambiante área cambiante A A altera la capacitancia hasta que se altera la capacitancia hasta que se obtiene la señal deseada.obtiene la señal deseada.

Los capacitores también se utilizan en algunas cámaras fotográficas en las cuales una lámpara electrónica utiliza un capacitor para almacenar la energía de una batería. Al cerrar el fotógrafo el interruptor, el capacitor se descarga por medio del foco electrónico que tiene instalado, así, se convierte en luz y calor la energía almacenada.

Energía de capacitor cargado

La energía potencial U de un La energía potencial U de un capacitor cargado es igual al capacitor cargado es igual al trabajo (qV) que se requiere para trabajo (qV) que se requiere para cargar el capacitor.cargar el capacitor.Si se considera que la diferencia Si se considera que la diferencia de potencial promedio de 0 a Vde potencial promedio de 0 a Vf f es V/2:es V/2:

Trabajo = Q(V/2) = ½QVTrabajo = Q(V/2) = ½QV

221 1

2 2; ; 2

QU QV U CV U

C

221 1

2 2; ; 2

QU QV U CV U

C

Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la capacitancia era be 11.1 nF, el voltaje 200 V y la carga 2.22 C. Encuentre la energía potencial U.

212 (11.1 nF)(200 V)U

U = 222 JU = 222 J

212U CV

212U CV

C = 11.1 nF

200 V

Q = 2.22 C

U = ¿?

Capacitor Capacitor del ejemplo del ejemplo 5.5.

Conexión de capacitores en serie y en paralelo.

Al igual que las resistencias eléctricas, los capacitores también pueden conectarse en serie y en paralelo como se ven en las figuras siguientes, con la diferencia de que las dos ecuaciones para los capacitores son las contrarias de las utilizadas para las resistencias en serie y en paralelo.

Circuitos en serieLos capacitores u otros dispositivos Los capacitores u otros dispositivos conectados a lo largo de una sola trayectoria conectados a lo largo de una sola trayectoria se dice que están conectados en se dice que están conectados en serieserie. Vea . Vea el circuito siguiente:el circuito siguiente:

Conexión en serie de

capacitores. “+ a – a + …”La carga dentro de los puntos es

inducida.

batería

C1 C2C3

++

--

++

++

--

--

Carga sobre capacitores en serie

Dado que la carga interna sólo es Dado que la carga interna sólo es inducida, la carga sobre cada inducida, la carga sobre cada capacitor es la misma.capacitor es la misma.

La carga es la misma: conexión

en serie de capacitores.

Q = Q1 = Q2 =Q3

Battery

C1 C2C3

++

--

++

++

--

--

Q1 Q2 Q3

Voltaje sobre capacitores en serie

Dado que la diferencia de potencial entre los Dado que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es independiente de la puntos A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería trayectoria, el voltaje de la batería V V debe debe ser igual a la suma de los voltajes a través ser igual a la suma de los voltajes a través de cada capacitor.de cada capacitor.

El voltaje total V de la conexión en serie es la suma de los voltajes

V = V1 + V2 + V3

batería

C1 C2C3

++

--

++

++

--

--

V1 V2 V3

• •A B

Capacitancia equivalente: serie

V = V1 + V2 + V3

Q1= Q2 = Q3

++

--

++

++

--

--

C1 C2 C3

V1 V2 V3 ; Q Q

C VV C

31 2

1 2 3

QQ Q Q

C C C C

1 2 3

1 1 1 1

eC C C C

CCe e equivalente equivalente para para capacitores en capacitores en serie:serie:

1

1 1n

ie iC C

1

1 1n

ie iC C

Ejemplo 1. Encuentre la capacitancia equivalente de los tres capacitores conectados en serie con una batería de 24 V.

++

--

++

++

--

--

2 F

C1 C2 C3

24 V

4 F

6 F

1

1 1n

ie iC C

1

1 1n

ie iC C

CCee para para serie:serie:1 1 1 1

2 4 6eC F F F

10.500 0.250 0.167

eC

1 10.917 or

0.917ee

CC

Ce = 1.09 F

Ce = 1.09 F

Ejemplo 1 (Cont.): El circuito equivalente se puede mostrar como sigue, con una sola Ce.

++

--

++

++

--

--

2 F

C1 C2 C3

24 V

4 F 6 F

1.09 F

Ce

24 V

1

1 1n

ie iC C

1

1 1n

ie iC C

Ce = 1.09 F

Ce = 1.09 F

Note que la capacitancia equivalente Note que la capacitancia equivalente CCee para capacitores en serie siempre para capacitores en serie siempre es menor que la mínima en el circuito. es menor que la mínima en el circuito. (1.09 (1.09 F < 2 < 2 F)

1.09 F

Ce

24 V

++

--

++

++

--

--

2 F

C1 C2 C3

24 V

4 F 6 F

QC

V

Q CV

Ce = 1.09 F

Ce = 1.09 F

QQTT = C = CeeV = V = (1.09 (1.09 F)(24 F)(24 V);V);

QT= 26.2C

QT= 26.2C

Para circuito en Para circuito en serie:serie:

QQTT = Q = Q11 = Q = Q22 = Q = Q33

Q1 = Q2 = Q3 = 26.2 C

Q1 = Q2 = Q3 = 26.2 C

Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuál es la carga total y la carga en cada capacitor?

++

--

++

++

--

--

2 F

C1 C2 C3

24 V

4 F 6 F

; Q Q

C VV C

VT= 24 V

VT= 24 V

11

1

26.2 1

C3.1 V

2 F

QV

C

22

2

26.2 6

C.55 V

4 F

QV

C

33

3

26.2 4

C.37 V

6 F

QV

C

Nota: VT = 13.1 V + 6.55 V + 4.37 V = 24.0 V

Nota: VT = 13.1 V + 6.55 V + 4.37 V = 24.0 V

Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuál es el voltaje a través de cada capacitor?

Camino corto: Dos capacitores en serie

La capacitancia equivalente La capacitancia equivalente CCee para para dosdos capacitores en serie es el capacitores en serie es el producto divido por producto divido por la sumala suma..

1 2

1 1 1;

eC C C 1 2

1 2e

C CC

C C

1 2

1 2e

C CC

C C

3 F 6 F

++

--

++

--

C1 C2

EjemploEjemplo::

(3 F)(6 F)

3 F 6 FeC

Ce = 2 F

Ce = 2 F

Circuitos en paraleloLos capacitores que están todos Los capacitores que están todos conectados a la misma fuente de potencial conectados a la misma fuente de potencial se dice que están conectados en paralelo. se dice que están conectados en paralelo. Vea a continuación:Vea a continuación:

Capacitores en paralelo: “+ a +; - a

-”C2 C3

C1 ++

--

++

--++

--Cargas:

QT = Q1 + Q2 + Q3

Voltajes: VT = V1 = V2 =

V3

Capacitancia equivalente: en paralelo

Q = Q1 + Q2 + Q3

; Q

C Q CVV

CCe e equivalente equivalente para para capacitores en capacitores en paralelo:paralelo:

1

n

e ii

C C

1

n

e ii

C C

Voltajes iguales: Voltajes iguales: CVCV = C= C11VV11 + C + C22VV22 + +

CC33VV33

Capacitores en paralelo:

C2

C3

C1

++

--

++

--

++

--

CCee = C = C11 + C + C22 + + CC33

Ejemplo 2. Encuentre la capacitancia equivalente de los tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 24 V.

CCee para para paraleloparalelo::

Ce = 12 FCe = 12 F

C2C3

C1

2 F 4 F 6 F

24 V

Q = Q1 + Q2 + Q3

VT = V1 = V2 = V3

1

n

e ii

C C

1

n

e ii

C C

CCee = (2 + 4 + 6) = (2 + 4 + 6) FF

Note que la capacitancia equivalente Note que la capacitancia equivalente CCee para capacitores en paralelo siempre es para capacitores en paralelo siempre es mayor que la más grande en el circuito. mayor que la más grande en el circuito. (12 (12 F > 6 > 6 F)

Ejemplo 2 (Cont.) Encuentre la carga total QT y la carga a través de cada capacitor.

Ce = 12 FCe = 12 F

C2C3

C1

2 F 4 F 6 F

24 V

Q = Q1 + Q2 + Q3

V1 = V2 = V3 = 24 V

; Q

C Q CVV

QQ11 = = (2 (2 F)(24 V) = F)(24 V) = 48 48 CCQQ11 = = (4 (4 F)(24 V) = F)(24 V) = 96 96 CCQQ11 = = (6 (6 F)(24 V) = F)(24 V) = 144 144

CC

QQTT = C = CeeVV

QQTT = (12 = (12 F)(24 F)(24 V) V)

QT = 288 C

QT = 288 C

Ejemplo 3. Encuentre la capacitancia equivalente del circuito dibujado abajo.

C1

4 F

3 F

6 F

24 V

C2

C3

C1

4 F

2 F24 V C3,6 Ce 6 F

24 V

3,6

(3 F)(6 F)2 F

3 F 6 FC

CCee = 4 = 4 F + 2 F + 2 FF

Ce = 6 F

Ce = 6 F

Ejemplo 3 (Cont.) Encuentre la carga total QT.

C1

4 F

3 F

6 F

24 V

C2

C3

Ce = 6 F

Ce = 6 F

Q = CVQ = CV = (6 = (6 F)(24 F)(24 V)V)

QT = 144 CQT = 144 C

C1

4 F

2 F24 V C3,6 Ce 6 F

24 V

Ejemplo 3 (Cont.) Encuentre la carga Q4 y el voltaje V4 a través del capacitor de 4 F

C1

4 F

3 F

6 F

24 V

C2

C3

V4 = VT = 24 V

V4 = VT = 24 V

QQ44 = = (4 (4 F)(24 F)(24 V)V)

Q4 = 96 C

Q4 = 96 C

El resto de la carga (144 El resto de la carga (144 C – 96 C – 96 C) está C) está en CADA UNO de los otros capacitores en CADA UNO de los otros capacitores (en serie).(en serie).

Q3 = Q6 = 48 C

Q3 = Q6 = 48 C

Esto también se puede encontrar de

Q = C3,6V3,6 = (2 F)(24 V)

Esto también se puede encontrar de

Q = C3,6V3,6 = (2 F)(24 V)

Ejemplo 3 (Cont.) Encuentre los voltajes a través de

los capacitores de 3 y 6 F

C1

4 F

3 F

6 F

24 V

C2

C3

Nota: V3 + V6 = 16.0 V + 8.00 V = 24 V

Nota: V3 + V6 = 16.0 V + 8.00 V = 24 V

Q3 = Q6 = 48 C

Q3 = Q6 = 48 C3

48 C16.

3V

F0V

6

48 C8.0

6V

F0V

Use estas técnicas para encontrar el voltaje y la capacitancia a través de cada capacitor en un

crircuito.

Use estas técnicas para encontrar el voltaje y la capacitancia a través de cada capacitor en un

crircuito.

Resumen: circuitos en serie

1

1 1n

ie iC C

1

1 1n

ie iC C

Q = Q1 = Q2 = Q3

Q = Q1 = Q2 = Q3

V = V1 + V2 + V3

V = V1 + V2 + V3

1 2

1 2e

C CC

C C

1 2

1 2e

C CC

C C

Para dos capacitores a la Para dos capacitores a la vez:vez:

Resumen: Circuitos en paralelo

Q = Q1 + Q2 + Q3

Q = Q1 + Q2 + Q3

V = V1 = V2 =V3V = V1 = V2 =V31

n

e ii

C C

1

n

e ii

C C

Para circuitos complejos, reduzca el circuito en pasos con la reglas para conexiones en serie y en paralelo hasta que sea capaz de resolver el problema.

Para circuitos complejos, reduzca el circuito en pasos con la reglas para conexiones en serie y en paralelo hasta que sea capaz de resolver el problema.

Encortar capacitancia equivalente carga y voltaje 1.- Tres capacitores de 3, 6, y 8 pF se

conectan primero en serie y luego en paralelo. Calcular la capacitancia equivalente en cada caso.

+-

C1 C2 C3

- + - + - +

Las ecuaciones empleadas para calcular las capacitancia equivalente de las conexiones en serie son:

1 = 1 + 1 + 1 + … 1Ce C1 C2 C3 Cn

QT = Q1 = Q2 = Q3 =… Qn

Q = CV

VT = V1 + V2 + V3 +… Vn

Las ecuaciones empleadas para calcular la capacitancia equivalente de las conexiones en paralelo son:

Ce = C1 + C2 + C3 + … + Cn

VT = V1 = V2 = V3 =… Vn

V = Q C

QT = Q1 + Q2 + Q3 +…+ Qn

Ejercicio 2 2.- Tres capacitores de 2, 7 y 12 pF se

conectan en serie a una batería de 30 V. Calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La carga depositada en cada capacitor. C) La diferencia de potencial en cada capacitor.

Solución:

Ejercicio.3 4.- Tres capacitores están conectados en paralelo a una

diferencia de potencial de 120 volts y sus valores son C1 = 6 μF, C2 = 8 μF y C3 = 12 μF calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La diferencia de potencial en cada capacitor. c) La carga depositada en cada capacitor. d) La carga total almacenada por los capacitores.

d) La carga total almacenada por los tres capacitores es: Q = Q1 + Q2 + Q3.

Q = (720 + 960 + 1440) x 10-6 C = 3120 x 10-6 C o 3120 μC. Nota: esta cantidad de carga será la misma que

obtendremos al multiplicar la capacitancia equivalente por el voltaje que suministra la batería:

Q = Ce V = 26 x 10-6 F x 120 V = 3120 x 10-6 C o 3120 μC.

Ejercicio 4 5.- De acuerdo con el siguiente arreglo de

capacitores mostrados en la figura siguiente. Calcular: a) la capacitancia equivalente del circuito en paralelo. b) la capacitancia total equivalente del circuito. c) El voltaje existente en cada capacitor.

+-

+-

C1 = 2 pF

+-

C2 = 4 pFC3 = 5 pF

60 V