capacidades matematicas_subido por profesor jose de la rosa visaitame-

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Propuesta Pedagógica para el Desarrollo de las Capacidades Matemáticas

© MINISTERIODEEDUCACIÓN-2005

DerechosReservados

ISBN:9972-845-86-9

HechoelDepósitoLegalNº2005-6993

Edición:DirecciónNacionaldeEducaciónInicialyPrimaria-DINEIP

Documento sometidoa consultaen lasRegionesde:Piura,Loreto,Ayacucho,CuzcoyTacna.

Diseñoydiagramación:ImaggioS.A.C.

ImpresoenelPerú

Comisión Pedagógica de Matemáticas

MarthaVillavicencioUbillúsCoordinadora - DINEA

GustavoCruzAmpueroUMC

MarcosDíazAbantoDINESST

WilsonIzquierdoGonzálezDINESST

GuidoPilaresCasasDINEBI

FreddyRaymundoJustinianoDINEIP

HolgerSaavedraSalasEDUDIST

WillmaSánchezVásquezDINEIP

DawnTwomeyChumpitazi-MontepaganoDINFOCAD

Se agradecen los comentarios y sugerencias de:

TeresaArellanoBadosOCI

NirmaArellanoNuevoOCDER

AnaAyalaFloresEDUDIST

MarcosBrionesEDUDIST

NeryEscobarBatzDINFOCAD

NormaHuertaLoliDINEIP

KatyaHurtadoCorderoDINEIP

DavidPalominoUMC

AmeliaValdezEmergencia Educativa

GloriaZúñigaFigueroaDINEA

Comisión Especial de Emergencia Educativa

Presidenta

TeresaTovarSamanez

Asesora del Despacho Ministerial

Integrantes

JuanBoreaOdría

Jefe del Gabinete de Asesores del Despacho Ministerial

MiriamPonceVértiz

Directora Nacional de Educación Inicial y Primaria

GuillermoMolinariPalomino

Director Nacional de Educación Secundaria y Superior Tecnológica

GuillermoSánchezMoreno

Director Nacional de Formación y Capacitación Docente

HeribertoBustosAparicio

Jefe de la Oficina de Coordinación para el Desarrollo Rural

FranciscoMarcone

Jefe de la Oficina de Tutoría y Prevención Integral

ModestoGálvezRíos

Director Nacional de Educación Bilingüe Intercultural

Ministro de Educación

JavierSotaNadal

Vice Ministro de Gestión Pedagógica

IdelVexlerTalledo

Vice Ministra de Gestión Institucional

HelennChávezDepaz

Secretario General

PedroPatrónBedoya

6

ÍnDiCe

PReSenTACiÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i . emergencia educativa y Propuesta Pedagógica para el desarrollo de capacidades matemáticas . . . .11

1.1 ReconocimientodelProblema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 ObjetivodelaEmergenciaEducativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 PrincipiosdelProgramadeEmergenciaEducativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 ¿CuáleselpropósitodelaPropuestaPedagógica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ii . enfoque de la Propuesta Pedagógica y capacidades priorizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1 ElenfoquedelaPropuesta:MatemáticaparalaVida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Perspectivaintercultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 ValoresyMatemáticaparalaVida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 CapacidadesdeláreadeMatemáticapriorizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

a) ResolucióndeProblemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

b) RazonamientoyDemostración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

c) ComunicaciónMatemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 ComponentesdeláreadeMatemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii . Matriz de capacidades priorizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 NiveldeEducaciónInicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 NiveldeEducaciónPrimaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 NiveldeEducaciónSecundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7

iV . Gestión para la implementación de la Propuesta Pedagógica para el desarrollo de Capacidades Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Organizaciónyconformacióndeequiposparaconseguirlosobjetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Lagestióncentradaenlogrosdeaprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Accionesdeconcertación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Estrategiasinstitucionalesparaeldesarrollodeláreadematemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Estrategiasanivellocaloregional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

V . Aspectos teóricos y prácticos sobre el enfoque problémico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Vi . experiencias de aprendizaje para niños y niñas de educación inicial y educación Primaria . . . . . . . . 93

6.1 ExperienciasdeaprendizajeparaEducaciónInicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2 ExperienciasdeaprendizajeparaEducaciónPrimaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vii . experiencias de aprendizaje para estudiantes de educación Secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

BiBLiOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

PReSenTACiÓn

Unadelascausasdelbajorendimientodelosestudiantesesladesconexióndelamatemáticaconlavidadelosestudiantes.Losestudiantesrequierenaprenderausarelcálculooperacionalyelrazonamientológicomatemáticopararesolverproblemasdelavidadiaria,paratomardecisiones,parapensaryactuar.

ElMinisteriodeEducación, comopartedel ProgramadeEmergenciaEducativa, poneenmanosde lacomunidad, la ciudadanía y, en especial, de losmaestros, una propuesta pedagógica para desarrollarcapacidadesmatemáticas, que implicanprocesos complejos que se desarrollan conjuntamente conelaprendizajede conocimientos sobrenúmeros, álgebra, geometría,medida,estadística yprobabilidades.Requieren de estrategias pedagógicas innovadoras que permitan establecer conexiones con losacontecimientosyelcontexto.

Soncapacidadesquesepuedentransferiroaplicaraotrosaprendizajesysituacionesdelavida.Necesitamosasí,que losniños,niñas, adolescentes, jóvenesy adultos aprendanaordenardatos, calcular yentenderladimensióndeunproblema, representar y graficar ideas,organizarel pensamiento, argumentar. Sonmatemáticasdecaraa larealidad,queayudanapensarmejor,aplanificar losactos,encontrarcaminosysolucionesposiblesygenerarproyectos.

Esta propuesta, acompañada de la campaña “Matemática para la vida” es parte de una movilizaciónnacional amplia yplural, dondeconvergeneducadores,padresde familia yotros actores comomediosde comunicación,empresarios,enelmarcodelAcuerdoNacional ydelPactoSocial deCompromisosRecíprocos.El resultadoquebuscamos sonniñas yniñosque sumenbien y al hacerlomultipliquen suéxito.

Javier Sota NadalMinistrodeEducación

EmErgEncia Educativa y ProPuEsta PEdagógica Para El

dEsarrollo dE caPacidadEs matEmáticas

I

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1 .1 ReCOnOCiMienTO DeL PROBLeMA

Los resultados de las evaluaciones que se hanrealizado en el país constituyen una importanteinformaciónacercade las fortalezas,dificultadesynecesidadesdelsistemaeducativo,quedebenserconsiderados para formular cualquier propuestaqueapunteaunaeducaciónmatemáticadecalidad.Al respecto, las evaluacionesnacionales sobreelrendimiento escolar en matemática, realizadasporlaUnidaddeMedicióndelaCalidadEducativa(UMC), en particular la efectuada en el año2001,ubicaa losestudiantesenunnivelbajodedesarrollodelosaprendizajesmatemáticos,locualinfluyeenellogrodesusaprendizajesposteriores.

Estasituaciónseobservaconmayor incidenciaenlas InstitucionesEducativas ubicadasenentornoscon niveles de desarrollo socioeconómico másbajos, sobre todoen aquellas ubicadasen zonasrurales ybilingües (en lasque sehabla castellanoy una o más lenguas originarias). Tal situacióntambiénsevereflejadaeninstitucioneseducativasprivadas,queaunqueconmejores resultados,noalcanzanlosnivelesdelogroprevistos.

Entre los resultados de la evaluación nacional2001, realizadapor laUnidaddeMediciónde laCalidadEducativa,UMC, sepuedendestacar lassiguientesconclusiones:

El porcentaje de estudiantes a los que lesgustalamatemáticadecrecealpasardelniveldeEducaciónPrimaria al niveldeEducaciónSecundaria. Una probable explicación esque,coneltiempo,losestudiantesenfrentanmayores dificultades en la medida en queexistemayor exigencia y complejidadeneldesarrollo de capacidades para enfrentarnuevosretos.

Encuantoal factordocente, se reportaqueaquellos que tienen expectativas positivassobre la capacidad de aprendizaje de susestudiantes constituyenun factor influyentede manera favorable sobre los logros deestosúltimosenmatemática.

En lo que respecta al currículo, se llega auna interesante conclusión: las capacidades,para cuyo desarrollo se ofrecieron másoportunidadesde aprendizaje, son aquellasrelacionadascon losnúmerosnaturales,quetradicionalmente sonunode los contenidosbás icos más trabajados en el aula. Encontraposición, las capacidades, para cuyodesarrolloseofrecieronmenosoportunidadesdeaprendizaje,sonlasreferidasaorganizaciónde datos y organización del espacio. Porúlt imo, no se incidió lo suficiente en eldesarrollodelaresolucióndeproblemas.

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R e c o n o c i m i e n t o d e l P R o b l e m a

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Deacuerdoconlosresultadosdelasevaluacionesnacionales, sobre todo, la que se reealizó en elaño2001, presentamos las dificultades quemásinfluyeneneldesarrolloadecuadodecapacidadescorrespondientes al área de Matemática en laEducaciónBásicaRegular:

Dificultades en la orientación en el espacio

Se evidencia l imitado manejo espacial, tantoen Educación Pr imar ia como en EducaciónSecundaria,locualsetraduceenseriasdificultadesparalaorientaciónenelespacioylarealizacióndetransformaciones geométricas en el plano. Estasdificultades tienen consecuencias negativas paraidentificar,interpretaryelaborarrepresentacionesgráficas de figuras y objetos (modelos, planos,mapas).

De igual manera, se han detectado dificultadespara identificar ydiferenciarobjetos geométricos(sólidosypolígonos),suselementosprincipales,yestablecerrelacionesbásicasentreellos.

Dificultades para el razonamiento y demostración

Sehan identificadodificultades relacionadas conla capacidad de razonamiento y demostración,ev idenc iadas en la escasa comprens ión einadecuado manejo de la estructura del sistemadenumeracióndecimalydelasnocionesdecadauna de las operaciones numéricas elementales,en capacidades como representar, interpretar ycomunicarcantidadesyatributoscuantificablesdelosobjetosdelmundoreal.

Sehadetectado,porejemplo,quelosestudiantesdecuartodeprimariaaúntienendificultadesparaestablecer relaciones de orden con números

naturales;yquelosdesextodeprimarianotienendominiodelmanejodelanocióndefracciónquelespermitarepresentarlademaneragráfica,simbólicaoexpresarla verbalmente yestablecer relacionesde orden o de equivalencia entre dos o másfracciones.Asímismo, seevidencian limitacionesalutilizar larepresentacióndecimalparaexpresarcantidades de dinero y establecer equivalenciasentremonedasdedistintadenominación.

Dificultad para operar con números naturales, fracciones y números decimales

Se determinó que los estudiantes de EducaciónPrimaria presentan limitaciones en la realizacióndeoperaciones connúmeros naturales y, sobretodo, con fracciones y números decimales. Porotro lado, tanto los estudiantes de EducaciónPr imar i a como de Educac ión Secundar i at ienen di f icul tades para traducir y expresarmatemáticamente las condiciones propuestas enproblemasdeenunciadoverbal,aplicarestrategiasdesoluciónparaobtenerlarespuestayjustificarlaconargumentosmatemáticosválidos.Enestudiosinternacionales como el de PISA, realizado conestudiantesde15años,losperuanoshanmostradounbajonivel dedesempeñoen la resolucióndeproblemas,inclusoenaquellastareasenlasquelaformulaciónmatemáticaestáexplícita;asítambién,en la resolucióndeunproblema rutinario en elquesóloseexigeunpasoparasusolución.


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Dificultad para resolver problemas usando unidades de medición

Se ha identificado que los estudiantes tienendificultadespara resolverproblemas sencillosqueexigen laelecciónde launidadmásadecuadaparamedir la característicadeunobjetoo laduraciónde un evento; de igual modo, para comprenderlas relacionesdeequivalenciaentre lasprincipalesunidadesconvencionalesdemedida,laconversióndeunacantidadenotraequivalenteutilizandodiferentesunidadesdemediday lacomparacióndecantidadesde una misma magnitud expresadas en distintasunidadesdemedida.Estascarencias son limitantespararesolverproblemascotidianosrelacionadosconla comprensiónyusode lasunidadesdel sistemainternacionaldepesasymedidas;particularmenteparacomprendere interpretar la informaciónquebrindanlosmediosdecomunicaciónmasivaatravésdetextos,noticias,entreotros.

Dificultad para resolver problemas organizando, representando e interpretando información estadística

Se ha detectado que existen dificultades pararesolver problemas que demandan organizar,representar e interpretar informaciónestadísticamediantelautilizacióndecuadrosdedobleentrada,diagramasdebarrasydiagramascirculares;asícomolarealizacióndecálculossencillosdeaplicacióndelamediaaritméticasimpleyponderada.

Lasdeficiencias identificadas son limitantesparaeladecuado desempeño de los estudiantes en losdiferentes ámbitos de su vida personal, social eincluso laboral,que se traducen,porejemplo,enla dificultadpara comunicar la ruta a seguir parallegar a un lugar determinado, utilizar planos omapas,estimarel tamañodelpapelparaenvolver


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un regalo, interpretar expresiones fraccionariaso decimales demedidas, que se incluyenen lasindicaciones de ciertos medicamentos; calcularel costodeunobjeto, cuyoprecio seoferta condescuento;compararpreciosyrealizarlaelecciónmás conveniente; estimarel presupuestoque senecesitaparacomprarvariosartículos, interpretargráficos estadísticos, que actualmente son muyutilizadosenlaprensaescrita;interpretartablasdedatos,comolasqueseusanpararegistrarlosgolesenuncampeonatode fútbol; resolverproblemasque impliquenuntipodecambiodesolesenunamonedaextranjeraoviceversa.

La informacióndetalladade los resultadosde losestudiantesen lasevaluaciones realizadaspuedenserencontradasporellectoraccediendoalapáginawebdelMinisteriodeEducaciónodirectamentea la páginawebde laUnidaddeMediciónde laCalidadde la Educación: //www.minedu.gob.pe/umc/

En el Perú, como en otros países del mundo,los estudiantes no siempre aprenden a apreciarla matemática como creación de los diferentesgrupos socioculturales y comoactividadesencialde la culturauniversal, útil para su vidapersonal,social y laboral. En efecto, las actividades quetradicionalmente se les propone realizar no lespermiten tenerevidenciasde la relaciónexistenteentre la matemática y el mejoramiento de lacalidaddesuvidapersonal,laboralysocial;muchomenoslespermitecomprenderquédesarrollo,delasciencias socialesyel avance tecnológicoactualhan sido posibles, en gran parte, debido al usoinstrumentaldelamatemática.

1 .2 OBJeTiVO De LA eMeRGenCiA eDUCATiVA

El Programa Nacional de Emergencia Educativatiene como finalidad revertir el fracaso escolaren laeducaciónbásica ydisminuir lasbrechasdeequidad, promoviendo una sociedad educadoracomprometidaconlaeducaciónnacional.

En este marco, el Programa de EmergenciaEducativa,ha considerado importantedarénfasis,en esta etapa, al desarrollo de las capacidadesmatemáticas para lograr al 2006 que los niños,niñas y adolescentesdenuestropaís, enespeciallos más pobres y vulnerables, sean capaces deresolverproblemas, razonar lógicamenteyaplicarlamatemáticaensusvidas,desarrollándosecomopersonaséticasconelrespaldodelaciudadanía

Con relación al desarrollo de las capacidadesmatemát icas , se busca garant izar que losestudiantes lleguen a ser usuarios de la culturamatemática, que resuelvanproblemas utilizandoestrategias adecuadas para hallar soluciones, apartir del pensamiento lógico y la demostracióncreativa, así comoelmanejoy la construccióndenuevos conocimientos y capacidades aplicables ala vida.Sepretende formarpersonasautónomas,capaces de pensar, interpretar y transformar suentorno, a partir del usode lamatemática y deejercerunaciudadaníaplenaporsucapacidadpararesolverproblemasenlavidadiaria.

Eldesarrollodelascapacidadesmencionadasexigela participación de la escuela en su conjunto, lafamilia, medios de comunicación y comunidad,por ello, se busca impulsar una movil izaciónnacional or ientada a elevar el logro de lascapacidadesmatemáticas,asícomolascapacidadescomunicativasylaformaciónenvalores.

o b j e t i v o d e l a e m e R g e n c i a e d u c a t i v a

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1 .3 PRinCiPiOS DeL PROGRAMA De eMeRGenCiA eDUCATiVA

La Propuesta Pedagógica para el desarrol lode capacidades matemáticas del Programa deEmergenciaEducativaseenmarcaenlossiguientesprincipios:

La equidad de género

Esdecir,brindarigualdaddeoportunidadesytratoavaronesymujeres.Paraello sepondráespecialatenciónalamatrícula,permanenciaycontinuidadde las mujeres en la escuela, como derecho yestrategiaquelaayudaráamejorarsuscondicionesdevidaylasdesufuturafamilia.

La interculturalidad

Entendida como diálogo e intercambio entrediversas expresiones culturales de las personasy los pueblos, que se establece en términosequitativos,encondicionesdeigualdadyquellevaalenriquecimientomutuo.Promuevelavaloraciónyelrespetodelaculturapropiayladiversidaddelenguas con sus variedadesdialectales.Recuperalostemasdelavidapersonal,culturalydelmedioambiente de los estudiantes para potenciar elaprendizajedesdesupropiarealidad.

o b j e t i v o y P R i n c i P i o s d e l P R o g R a m a d e e m e R g e n c i a e d u c a t i v a

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¿ c u á l e s e l P R o P ó s i t o d e l a P R o P u e s t a P e d a g ó g i c a ?

La inclusión

Es un derecho de todos a tener las mismasoportunidades de educación, al margen de susnaturales diferencias: de género, procedencia,d iscapac idad o s i tuac ión soc io económica,sobre todo para los estudiantes que provienende escuelas unidocentes o multigrado o de lossectoresmásvulnerables.

La campaña de matrícula oportuna ayudará aconcretar este derecho. Además, la propuestapropicia la inclusión, en la gestión educativa, deautoridadescomunalesyfamilias.

el trato democrático

Elejerciciode lademocraciaexigeque laescuelapromuevarelacioneshorizontales,laexpresióndelasopinionesdelosestudiantes,suparticipaciónenla tomadedecisionesendeterminados aspectosdelavidaescolar,fundamentadasenlaconcepciónqueconsideraniñosy adolescentes comosujetosdederechoyde responsabilidad,quedesarrollansus talentos y habilidades en un ambiente detoleranciayrespetoporlasideasdelosotros.

La calidad

La gravedad de la situación exige garantizar lacal idad de los logros de aprendizaje que losestudiantes deben alcanzar, esto supone lograrcondiciones adecuadas en las intervenciones yprocesos pedagógicos del aula, así comomayoreficienciaenlasaccionesdecapacitaciónygestióndelainstituciónescolar.

1 .4 ¿CUÁL eS eL PROPÓSiTO De LA PROPUeSTA PeDAGÓGiCA?

La Propuesta Pedagógica de Matemática tienecomoobjetivo:

“Lograr que niños, niñas y adolescentes del país, en especial los más pobres y vulnerables, sean capaces de resolver problemas, razonar lógicamente y aplicar la matemática en sus vidas, desarrollándose como personas éticas con el respaldo de la ciudadanía” .

El presente documento pretende ser unaherramientapedagógica,cuyopropósitoesbrindarorientaciones específicas para desarrollar trescapacidadesclaves:

Laresolucióndeproblemas

Elrazonamientoylademostración

Lacomunicaciónmatemática

En torno a ellas se espera generar conciencianacional de corresponsabilidad, que lleve a losdocentes a asumirlas como prioritarias. En lacomunidadseesperatambiénlograrundesplieguedeesfuerzosparacolaborarconsudesarrollo.

Esta propuesta es válida a nivel nacional, perodebe ser adecuada y enriquecida en cada zona,con la f inalidad de atender con pertinencia alas características, necesidades e intereses deaprendizajedelosestudiantes.

E l p r o c e s o e d u c a t i v o d e a d e c u a c i ó n yenriquecimiento corresponde a las DireccionesRegionales,UnidadesdeGestiónEducativa,RedeseInstitucionesEducativas.

ElProgramadeEmergenciaEducativa,así como laPropuestaPedagógica,enfatizaneldesarrollodeunaformaciónenvalores.Laformaciónética,democráticayciudadanasonobjetivoscentralesen laeducacióndeestudiantes.Estatienecaráctertransversalydebeestarpresenteentodapropuestaeducativa.

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EnfoquE dE la ProPuEsta PEdagógica y caPacidadEs Priorizadas

II

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2 .1 eL enFOqUe De LA PROPUeSTA: MATeMÁTiCA PARA LA ViDA

La matemática debe ser significativa y atractivano sólopara losmatemáticos, sino tambiénparatodos los niños, niñas, adolescentes, jóvenesy adultos. Por ello, tiene que ser aprendida demaneracomprensiva,sindescuidarsurelaciónconlavidacotidiana.

Lamatemática,por sunaturalezaeminentementehumana, cobra significadoy se comprendemejorcuando seaplicadirectamentea situacionesde lavida real; así los estudiantes sienten que tienenmás éxito cuando pueden relacionar cualquieraprendizajenuevo conalgoqueellos ya sabenyconlarealidad.

Enestesentidoelenfoquede“MatemáticaparalaVida”implicaconsiderarlosiguiente:

Los procesos de enseñanza y aprendizaje de lamatemática se generanenel contextode la vidareal. Cuando los estudiantes pueden establecerrelaciones con situacionesde la vidadiaria, ellosestánmejorequipadosparaexpresarsusopinionesytomardecisiones.

Esto significaqueenel futuro, todosnecesitaránaplicar cadavezmásmatemáticadurante suvida;por lo tanto, su aprendizajedebe ser activo, conlos estudiantes implicados en el proceso, y norecibiendopasivamentelainformación.

Las ca l cu ladoras y l a s computadoras sonherramientasesencialesparaenseñar, aprenderyhacermatemática;proporcionanimágenesvisualesde ideas matemáticas, facilitan la organización yelanálisisdedatosyhacencálculosconeficaciayexactitud.Conunusoapropiadodelastecnologías,losestudiantespuedenaprendermatemática conmayorprofundidad.

La enseñanza y aprendizaje de lamatemática sedebe relacionar con lahistoriade lamatemática.Ésta es esencial no solamente para valorar yentender su rol en el desarrollo cientí f ico ytecnológico, sinoqueademásayudaaunamejorcomprensiónde losconceptos, losmétodosy lasteorías matemáticas al develar sus orígenes, suevolución y sus relaciones; y al mismo tiempo,ofrecerunavisión integradade losmismos.Sabercómohaevolucionadoyevolucionalamatemática,ayuda aentendermejor las conexionesentre losconceptos y procedimientos que la vertebran ypermite apreciar sunaturaleza viva yhumana.Lamatemática aparece así como una ciencia ligadaa las circunstancias históricas y culturales, a losproblemasde la humanidad, y no comouna fríasucesióndedefiniciones,propiedades,ejercicios,teoremas y métodos desvinculados de todasituaciónhumana. Lapotencialidadde la historiade lamatemática comorecursopedagógicoponedemanifiesto su indudable valoren losprocesosdeenseñanzayaprendizajedelamatemática.

Ensíntesis,elenfoque“MatemáticaparalaVida”,seorientaaldesarrollodecapacidadesfundamentalesy comprens ión y u so de conoc im ien tosmatemáticos básicos, para que los estudiantespuedan desempeñarse con eficiencia, eficacia yéticaensuvidapersonal,socialylaboral.

e l e n f o q u e d e l a P R o P u e s t a : m a t e m á t i c a P a R a l a v i d a

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2 .2 PeRSPeCTiVA inTeRCULTURAL

Cuando se sostiene que la matemática tieneuna perspectiva intercultural, se está afirmandoque ella forma parte de la cultura: las formasde comunicarse, las expresiones artísticas, elconocimiento, y una de las formas de conocereshaciendousode las ciencias. El conocimientocientíficotienevariasformasdepresentarse,yunadeellas es lamatemática, que se ha constituidocomo modelo del pensamiento rigurosamenteformal. Elmayor logrode lamatemáticaha sidoeldeconvertirseenpoderosaherramientaparaeldesarrollotecnológico.Todalamodernatecnologíaestábasadaenlamatemáticaaplicada.

Otroaspectoimportantequesedejadeladoeneldebatesobrelanaturalezadelamatemáticaesque,dependiendodel grupo social, las construccionesmatemáticas pueden ser diferentes. Esas son lasmatemáticas culturalesoetnomatemáticas.Cadacultura tiene una forma de enfrentar y resolvercuestiones relativas a cantidades, continuidades,medidasycambios.

Sin profundizar en el tema, podemos advertirque, en las culturas peruanas, por ejemplo,ademásdelossistemasnuméricosqueusualmenteempleamos, podemos encontrar tradicionesnuméricasmuyclaramentediferenciables:

a. La tradición quechua, de base decimal,basada en agregación y multiplicación. Porejemplo,elnúmero234sediceenquechuamásomenosasí:doscentenas,tresdecenasycuatro.

b. Latradiciónaymara,quesehaadaptadoa latradiciónquechuaperoqueconservahuellasdeunantigüosistemaquinario,demodoqueelnúmero8seexpresacomotresycinco

c. La tradición centro amazónica (arahuac,pano), de base binaria y procedimientos

duplicativos, distinguiendo claramente laparidad y la imparidad de los números. Enestaslenguas,elnúmero8seexpresamásomenoscomoeldobledeldoblededos.

d. La tradic ión harakmbut, cuya base denumeración es ternaria, de manera que elnúmero6sedicecomotresytres

e. Latradiciónnor-amazónica,debasequinariaydecimal,basadaenladescripcióndelosdedos,demodoqueel número4,en aguaruna sedice algo así comoel dedo (conel quemepintolacaraconachiote)refiriéndosealíndice;pueselnúmero1correspondealmeñique.

Si, enefectoqueremosuna “Matemática para laVida”, necesitamos incorporar al currículo todosestos conocimientos adquiridos yestablecidosenlas culturas en las cuales trabajamos. Por cierto,se puede decir que, independientemente de lamaneradeexpresarlanocióndeunciertonúmero,elhechoesqueésterepresentaunacantidad,yencualquierlengua,esacantidadserálamisma.Ochoesocho,enmatsigenka,quechuaoarahuaca.Estaafirmaciónes verdadera; pero sólo enun ciertoniveldelanálisis.Enarahuaca,elnúmeronueveseentiendecomo5+2+2,mientrasque,enaymara,como10–1.Estesimpledetalleestádemostrandoque la construcciónde sistemasnuméricospasa,enunprimercaso,eldelaymara,porelconceptode complementonumérico;mientras que, enelamahuaca se tieneun sistemade agregaciónporpares.

No se t ra ta , entonces , de emplear es tosconocimientoscomounabaseparaluegoconstruirsobreellalamatemáticaescolar,sinodedesarrollarpotencialidades del estudiante en la coherenciadel sistema que su propia cultura le ofrece,incorporandoaella losotros.Laetnomatemáticaen la escuela se desarrol la para ayudarle alestudiante a desarrollar capacidades lógicas queemplearáluego,ensuvidafutura,cuandocomerciemaderaensucomunidad,cuandosalgaaviviralos

P e R s P e c t i v a i n t e R c u l t u R a l

22

pobladospróximos,ocuandoopereconsutarjetadecréditoenunaciudadmoderna.

Para lograrunaeducaciónmatemáticadecalidad,considerando la situación de pluriculturalidad ymultilingüismo del país, se debe considerar queestudiantes, maestros, padres de familia, y lacomunidad establecen interrelaciones haciendousodepautasculturalesespecíficas.Elestudiante,en particular, forma parte de una sociedad concaracterísticas culturales y lingüísticasparticulares,con reglas de vida diferentes unas de otras.Nuestro estudiante es un ser igual a todos loshumanos;peroalmismotiempodiferentedecadaunodeellos.Esélmismo,unapersonadiferentedetodaslasdemáspersonas.Tieneformaspropiasdeconstruirsumundoqueenpartecoincidenconlasdetodos,enparteconladesuspaisanosyenparte sonexclusivamente suyas.Nobasta, pues,aplicar losprincipiosgeneralesdelaprendizaje;nobasta conocer la lengua del estudiante; se debetrabajar personalmente con él. En la educaciónmatemática, es decisivo favorecer la relaciónpersonalrespetuosaentremaestroyestudiante.

Interesa mucho dejar claramente establecidoque la complejidad de la enseñanza matemáticarequiere usar una lengua que el estudiante laentiendaadecuadamente.Estosólopuedeocurrirsi la educación sehaceen la lenguaqueel niñoaprendió en el seno de su familia. No habráeducaciónmatemáticasinoselogralacomprensiónmatemática,esdecir,lainterpretacióninteligenteyracionaldeldatomatemático.

Otro punto que no debe olvidarse es que losconocimientos no están siempre ordenadosde la misma manera en todas las culturas. Elconocimientogeométrico les sirvió a losegipciosparamedirsustierrasdecultivo;alosgriegosparaconstruirsusteoríassobrelaverdad,yaloscashibocacataibo, para representar el movimiento y elreposoensusdibujos.ObservemoslossiguientesdibujostomadosdeunateladeAguaytía:

Consideremos además que está formado porvariosdibujos:


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Seobservauna reglamatemática: las figurasquerepresentan movimiento, son figuras abiertas; ylas que representan cosas que no se mueven,cerradas.Con todasestas figuras,el lienzoesunmapa de la región del Aguaytía: El río principal,con una gran serpiente llamada runin; al bordedel río, casas y pueblos; más allá caminos querodean los bosques; dentrodel bosque, nuecesyalimentos;másalládelosbosques,otrascasasyotrospueblos.

Esteejemplomuestraque las figuras geométricasy los conceptos de abierto / cerrado, se usanpara representar conceptos diferentes que losque estamos acostumbrados a ver; y mientasnosotros enfrentamosestas cuestioneshaciendousodelatopología;loscashibolohacenmedianteexpresionesartísticas.

Algunos aspectos del manejo del espacio porlos escolares de distintas culturas también estánaceptablementeestudiados.GuidoPilares (2005)informaque, cuando se leda aunestudiantedeeducacióninicialyprimerosgradosdeprimariaunconjuntodeobjetossimilares,detamañodiferente(por ejemplo, piedras) para que organicen unasucesión de tamaños, el maestro espera unresultadocomoelsiguiente:

Gráfico A:

Expectativadelmaestropara laejecucióndeunasucesióndetamaños:

Sin embargo, esta prueba t iene ejecucionesdiferentessegúnseanlasculturasdelaspersonasalasqueselespiderealizarlas.

Gráfico B:

E jecuc ión de un es tud i an te quechua deQuispicanchi:

Gráfico C:

EjecucióndeunestudiantemachiguengadelBajoUrubamba:

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2 .3 VALOReS Y MATeMÁTiCA PARA LA ViDA

La situación crítica de los valores éticos que semanifiestaennuestropaís,demandaquelaescuela,los padres de familia y la sociedad replanteenlos valores, actitudes y comportamientos éticos.Se requiere de un impulso hacia el ejercicioresponsable de la c iudadanía, la honest idady la transparencia en los actos de todo tipo deinstituciones,incluyendoalaescuela.

El clima que se viva en la vida cotidiana de laescuelayelaulaharáqueseasumanlasactitudesylosvaloresqueahísepercibanysevivencien.Eldocente, comopartede la InstituciónEducativa,debe conocer y reflexionar sobre sus propiasact i tudes, habi l idades y formas de expresary concretar los valores, pues es la escuela laque tiene que vivirlos y trasmitirlos de manerapráctica.

Va lo re s como re sponsab i l i d ad , i gua l dad ,democracia, colaboración, tolerancia, eficaciase viven también al interior de la escuela. Lasconcepcionesqueenestaconvivenciaconstruyenlos estudiantes determinan sus ideas, opiniones,convicciones sobre “lo correcto”, lo bueno”“lo permitido” y desarrol lan la capacidad deautorregulaciónyautonomíadesupersona.

El docente tiene que dar especial relevancia alas situaciones que puedan aprovecharse paraayudar a los estudiantes a construir su mundova lorat ivo, y crear este nuevo espac io deaprendizaje fundamental para la vida, a travésdelasexperienciaspedagógicasquese llevenacaboparaeldesarrollode la resolucióndeproblemas,el razonamiento y la demostración, así como lacomunicaciónmatemática.

v a l o R e s y m a t e m á t i c a P a R a l a v i d a

Estasejecucionesmuestranquelaorganizacióndelespaciopuedevariardeunamatrizculturalaotra.Lacomplejidaddeltemanopermitedesarrollarenestaspáginas toda la teoríaqueestá a labasedeestoshechos,ysólosemuestracomounejemplode lasprofundasdiferenciasquepueden implicarhaber sido criadoenuna cultura forestal, enunadepastoresdealturaoenunasociedadurbana

Rol del docente

Eldocentedebeevaluartodasestascircunstanciaspara orientar su trabajo con mayor pertinencia.Lo esencial es reconocer que las diferenciasculturales son las formasnaturalesdeexpresarsedelaspersonasylospueblos;queentodasparteshallaremospersonasquepiensan,actúanyhablandedistintamanera; yqueesoesuna riqueza,nounadebilidadniunproblema.

Por esta razón la educación peruana concibe elcurrículocomo flexible, adaptableydiversificable,al igual que las estrategias metodológicas, lasformasylosprocesospedagógicos.

Interesa también intermediarconelmaterialy losrecursospropiosdellugar,pueslamatemáticaeselestudiode las relacionescuantitativas, topológicasymétricasde losobjetos, ynoel estudiode laspropiedadesdelmaterial educativo.El estudiantedebe entender claramente que las operacionesde clasificación y las relaciones departiciónquepuedan surgir de conjuntos y subconjuntos, seaplicana losobjetosdelentorno, yno sóloa losútiles de la escuela. Por esemotivo, elmaestrodebepreferirelmaterial localparaoperarconél.Los recursosde la localidad, sonelmáspreciadomaterial educativo que tiene el maestro paratrabajarconsusestudiantes.

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Apartir de la resolucióndeproblemas sepuederef lexionar acerca de las act itudes, causas yconsecuenciasdelasaccionesqueenlassituacionesde la vida cotidiana se presentan. Se trata deincidiren la formacióndelpensamientocrítico, lavaloración autónoma, la tomadedecisiones y lamayorresponsabilidadsobrelospropiosactos.

Porotro lado,el razonamientoy lademostraciónp ropo r c i onan f o rmas de a r gumen t a c i ónbasadas en la lógica. Razonar y pensar analíticay ref lexivamente, implica identi f icar causas yconsecuencias (a partir de las cifras quemuestrael entorno), factores y variables que influyenendeterminados fenómenosnaturaleso socialesdelentorno; desempleo, desnutrición, migración,entreotros.

A travésdel razonamientoy lademostración, losestudiantes desarrollan el pensamiento crítico,reflexivo, aplicando propiedades y relacionesmatemáticasdelavidacotidianaafindeemitirunjuiciodevaloral respecto.Porejemplo:comparaofertasencampañasescolares:ropasyartefactos;realizacálculosydecidecuáleslamejoroferta.

Es necesario, desde lasaulas,tomarconcienciadelasdemandassociales,serpersonas responsables,conscientes y sensibles asurealidad,concapacidadpara la posición crítica ylatomadedecisionesquegaranticen ser agentesdecambio.

Finalmente, comunicarsematemáticamente implicainterpretar hechos de lavida cotidiana: fluctuacióndel precio del dólar, delpetróleo,delosproductosde pr imera necesidad,

etc; representar e interpretardiagramas, gráficasy expresiones simbólicas, que evidencian lasrelacionesentreconceptosyvariablesmatemáticas:gráficas estadísticas de exportación-importación,demografía, contaminaciónambiental, productos-precio,entreotros;cuantificarycaracterizartodoacontecimiento,quepermitanelementosdejuicioyvalor,deanálisisycrítica.

Matemat izar con prec is ión y verac idad losacontecimientos diarios, permite una constantereflexiónytomadeconcienciadelavida,saberque“algo” sucede, sentirse involucrado, y por endeasumir el reto de responder, ser “responsable”desde el rol que desempeñe en ese momento:opinando, proponiendo alternativas de solución,gestionando una alternativa, comunicando a losdemás, promocionando campañas de alerta, devigilancia,etc.

Eldesarrollodelascapacidadesmatemáticasdebecontribuir a la formaciónéticade lapersona y laconstruccióndesociedadesmásjustas,tolerantes,participativasycríticas.

v a l o R e s y m a t e m á t i c a P a R a l a v i d a

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2 .4 CAPACiDADeS MATeMÁTiCAS PRiORizADAS

En la perspect iva de la presente propuestapedagógica: “Matemát ica para la Vida”, lascapacidadespriorizadaspara serdesarrolladasenlosdiferentesnivelesdelaEducaciónBásicason:

ResolucióndeProblemas

RazonamientoyDemostración

ComunicaciónMatemática

a. rEsolución dE ProblEmas

La capacidad de resolución de problemas es desumaimportanciaporsucarácterintegrador,yaqueposibilitaeldesarrollodelasotrascapacidades.

Resolverproblemas implicaencontrarun caminoque no se conoce de antemano, es decir, unaestrategiaparaencontrarunasolución.Paraelloserequieredeconocimientospreviosycapacidades.

A travésde la resolucióndeproblemas,muchasveces se construyen nuevos conocimientosmatemáticos. En este sentido,en la propuesta pedagógica“Matemática para la Vida”, sehacenotarquelaresolucióndeunproblema puede servir decontexto para la construccióndenuevos conocimientos y eldesarrollodeotrascapacidades,ynocomotradicionalmentehavenidosucediendoenlasclasesde matemática, en las que laresolución de problemas sereducíasolamentealaaplicacióndeconocimientosprevios.

Los contextos de los problemas pueden variardesde las experiencias familiares o escolares delos estudiantes a las aplicaciones científicasodelmundo laboral. Los problemas deberán integrarmúltiplestemas,locualimplicaquesehadetomarcomo punto de partida lo que el estudiante yasabe.

A fin de que la comprensión de los estudiantesseamásprofundayduradera, sehadeproponerproblemas cuya resolución lesposibilite conectarideas matemáticas. Así, pueden ver conexionesmatemáticas en la interacción entre contenidosmatemáticos, en contextos que relacionan lamatemática con otras áreas y con sus propiosinteresesyexperiencias.Deestemodoseposibilitaademásquesedencuentadesuutilidad.

A través de la resolución de problemas, secrean ambientesde aprendizajequepermiten laformacióndepersonasautónomos,críticos,capacesdepreguntarseporloshechos,lasinterpretacionesy las explicaciones. Los estudiantes adquierenformas de pensar, hábitos de perseverancia,curiosidadyconfianzaensituacionesno familiaresquelesserviránfueradelaula.Resolverproblemasposibilita el desarrollo de capacidades complejascomolacreatividadyprocesoscognitivosdeordensuperior como la inferencia que permiten una

c a P a c i d a d e s m a t e m á t i c a s P R i o R i z a d a s

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diversidadde transferencias y aplicacionesaotrassituacionesyáreas;yenconsecuencia,proporcionagrandesbeneficiosenlavidadiariayeneltrabajo.Deallíqueresolverproblemasseconstituyeenelejeprincipaldeltrabajoenmatemática.

Desdeestaperspectiva,eldesarrollodelacapacidadderesolucióndeproblemas,sefavoreceráalolargode la EducaciónBásica a travésde la generaciónde espacios pedagógicos pertinentes para quelos estudiantes construyan sus conocimientosmatemáticosmediante la resolucióndeproblemas,ydesarrollencapacidadespara:

Modelar,quesignificaasociaraunasituaciónu objeto no matemático una expresiónu ob je to matemát ico que representedeterminadas relaciones o característicasconsideradasrelevantesparalasolucióndeunproblema.Estopermitereconoceryaplicarlamatemáticaencontextosnomatemáticos.

Formular , que s i gn i f i c a e l abora r unenunciadooeltextodeunproblema,apartirde situaciones de la vida real y a partir decontextosmatemáticos.

Se lecc ionar , que s i gn i f i ca e leg i r unaalternativaderespuestaparaunapregunta,oelegirunaestrategiaparahallarlasolucióndeunproblema.

Apl icar , que cons i s te en e jecutar unprocedimiento o estrateg ia en base aconceptos matemáticos y propiedades derelacionesmatemáticas,pararesponderaunapreguntaohallarlasolucióndeunproblema.Comprende la realización de operacionesnuméricas.

Verificar, que significa controlar el procesoseguido para encontrar la solución de unproblema, evaluando la val idez de cadauno de los procedimientos matemáticosutilizados.

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b. razonamiEnto y dEmostración

Para comprender la Matemática es esencialsaber razonar, desarrollando ideas, explorandofenómenos, just i f icando resultados y usandoconjeturasmatemáticasentodosloscomponentesoaspectosdelárea.

El razonamiento y la demostraciónmatemáticosproporcionan modos potentes de desarrollar ycodificarconocimientossobreunaampliavariedadde fenómenos, de all í que sea una capacidadfundamentalquetodoestudiantedebedesarrollar.

Razonar y pensar matemáticamente impl icapercibir patrones, estructuras o regularidades,tanto en situaciones del mundo real como enobjetos simbólicos; ser capaz de preguntarse siesos patrones son accidentaleso si hay razonesparaqueaparezcan;poder formular conjeturas ydemostrarlas. “Unademostraciónmatemática esunamanera formaldeexpresar tiposparticularesderazonamientoydejustificación”.

Lasexigenciasalosestudiantesenloqueserefierealacapacidadderazonamientoydemostraciónvaríanenfuncióndesuniveldedesarrollocognitivo.Losniñosde5a7añospuedenrazonarapartirdesusexperiencias,ellos generalizandemodonatural apartirdeejemplos;enestaetapadebenreconocerpatrones y clasi f icar objetos manipulables ofigurales.Losniñosde8a10añosdebenformularconjeturasyevaluarlasapartirdelosdatos;debenaprenderquenobasta dar varios ejemplosparaestablecer la verdad de una conjetura, y quedeben utilizarse contraejemplos para refutarla;pueden razonar sobre las relacionesque aplicana los números, las figuraso lasoperacionesqueestudian.Losestudiantesde11 a13añosdebenutilizar los razonamientos inductivo y deductivopara formular argumentos matemáticos; aúncuandoenestasedades,elargumentomatemáticocarece del rigor y formalismo asociados a una


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demostraciónmatemática, compartemuchas desuscaracterísticasimportantestalescomoformularunaconjeturaplausible, comprobarla, ypresentarel razonamiento asociadoparaque seaevaluadoporotros.Deterceroaquintodesecundaria, losestudiantesdeben comprenderqueel hechodedisponerdemuchosejemplosque cumplen conuna conjetura puede sugerir que la conjetura esverdadera,peronolademuestra,mientrasqueuncontraejemplopruebaqueunaconjeturaes falsa.Losestudiantesdelosúltimosgradosdesecundariadebenreconocerlapotenciadelasdemostracionesdeductivasparaestablecerresultados.

En definitiva, el desarrollo de la capacidad derazonamientoydemostración,queimplicaprocesosdenaturaleza compleja, se favorecerá a lo largode laEducaciónBásica a travésde intervencionespedagógicas en las que los estudiantes tengan laoportunidadde reconocer que el razonamientoy lademostración sonaspectos fundamentalesdelasmatemáticas, formular e investigar conjeturasmatemáticas, seleccionar y utilizar diversos tiposde razonamiento y métodos de demostración,relacionar las ideas matemáticas e interpretar laconexiónentreellas,ydesarrollarprioritariamentelascapacidadesde:

identificar, que significadistinguirunobjetomatemáticosobrelabasedesuscaracterísticasesenciales.

Relacionar,quesignificaencontrarunvínculoo nexo cuantitativo o cualitativo entre dosobjetosmatemáticosdeunmismoconjuntoo clase, lo cual permite reconocer y usarconexionesentreideasmatemáticas.

Algoritmizar, que significa establecer unasucesión de operaciones matemáticas quedescribanunprocedimientoconducentea lasolucióndeunproblema.

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e s t i m a r , q u e s i g n i f i c a c u a n t i f i c a raproximadamenteunacaracterísticamediblede un objeto, as í como pronost icar elresultadodeunprocesomatemático sobrela basedeexperiencias anterioreso juiciossubjetivos.

Argumentar, que signif ica fundamentar,utilizando razones lógicasomatemáticas, lavalidezdeunprocesooel valorde verdaddeunaproposiciónoresultado.Comprendeel desarrollo y evaluaciónde argumentos ydemostracionesmatemáticas.

c. comunicación matEmática

La comunicación matemática es una de lascapacidadesdel áreaque adquiereun significadoespecial en la educación matemática porquepermite expresar, compartir y aclarar las ideas,las cuales l legan a ser objeto de ref lexión,perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste,entre otros. El proceso de comunicación ayudatambiénadarsignificadoypermanenciaalasideasyadifundirlas.

Escuchar las expl icaciones de los demás daoportunidades para desarrollar la comprensión.Lasconversacionesenlasqueseexploranlasideasmatemáticasdesdediversasperspectivas, ayudanacompartirloquesepiensayahacerconexionesmatemáticasentretalesideas.

Comprender implica hacer conexiones. Estacapacidadcontribuye tambiénaldesarrollodeunlenguaje para expresar las ideas matemáticas, yapreciarlanecesidaddelaprecisiónenestelenguaje.Losestudiantesquetienenoportunidades,estímuloyapoyoparahablar,escribir,leeryescucharenlasclasesdematemática, sebeneficiandoblemente:comunicanparaaprendermatemática,yaprendenacomunicarmatemáticamente.

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Debidoaque lamatemática seexpresamediantesímbolos, la comunicación oral y escrita de lasideasmatemáticas esunaparte importantede laeducación matemática. Según se va avanzandoen los grados de escolaridad, la comunicaciónaumentasusnivelesdecomplejidad.

Es necesario tener presente la autonomía dellenguajematemáticoen relación conel lenguajecotidiano. Por ejemplo el término “igual” enlenguajematemáticosignificaquedosexpresionesdiferentesdesignanaunmismoobjetomatemático;así en la igualdad “3+4 = 9-2”, tanto “3+4”como“9-2”representanelnúmero“7”,yporellodecimosque“3+4 igual9-2”;mientrasqueenellenguaje castellanoqueutilizamosadiario, “igual”significa“parecido”,“familiar”.

Losestudiantesquehablanunalenguaoriginariayquenotienenelcastellanocomolenguamaterna,necesitan ayuda adicional para comprender ycomunicarsusideasmatemáticas.

La forma de representar las ideas matemáticases de suma importancia. Hoy aceptamos connaturalidad las representaciones usuales de losnúmeros expresados en el sistema decimal oen el binario, las fracciones, las expresionesalgebraicas y las ecuaciones, las gráficas y lashojas de cálculo. Sin embargo conocemos porla historia que son el resultado de un procesocultural desarrollado a lo largodemuchos años.Seentiendepor representación tantoel procesocomoelproducto (resultado),estoes, al actodecaptarunconceptomatemáticoounarelaciónenuna formadeterminadaya la formaen símisma;porejemplo,elcomerciantequeescribeeldineroquenecesitausandosuspropiossímbolos,usaunarepresentación; asímismo, la gráficade f(x)=5xestambiénotrarepresentación.Porotraparte,eltérminoseaplicaalosprocesosyalosproductosobservables externamente y, también, a los quetienen lugar “internamente”, en las mentes dequienesestánhaciendomatemática.


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Las diferentes formas de representación, talescomo losdiagramas, las gráficas y lasexpresionessimbólicas,nodebenserconsideradascomofinesen sí mismas, sino que deben ser consideradascomo elementos esenciales para sustentar lacomprensión de los conceptos y relacionesma temá t i c a s , p a r a comun i c a r en foques ,argumentos y conocimientos, para reconocerconexionesentre conceptosmatemáticos yparaaplicarlamatemáticaaproblemasreales.

Desde esta perspect iva, el desarrol lo de lacapacidad de comunicación matemática, queimplica procesos de naturaleza compleja, sefavorecerá a lo largo de la Educación Básica atravésde la generacióndeespaciospedagógicospertinentesparaque los estudiantesorganicen yconsolidensupensamientomatemáticoatravésdelacomunicación,analicenyevalúen lasestrategiasy el pensamiento matemático de los demás,modelene interpretenfenómenos físicos,socialesymatemáticos,ydesarrollencapacidadescomo:

interpretar, que es atribuir significado aexpresiones matemáticas de modo queadquieran sentidoen funcióndel problemaplanteado. Implica tanto los procesos decodificacióncomodecodificación.

Representar, que significa expresar ideasmatemáticas con precis ión mediante ellenguajedelamatemática.

Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos,esquemas, diagramas, formas geométricas,tablas,entreotros,paraorganizar,registrarycomunicarideasmatemáticas.

Recodi f icar , que s i gn i f i ca t raduc i r l adenominación de un mismo objeto dellenguajematemáticoaotro.Expresaelmismotipodeobjetoendiferenteforma.

Cabe tener presente que la matemática no esun fin en sí misma sino un medio a través delcual se desarrolla una mente flexible, abierta,creativa, analítica y crítica.El áreadeMatemáticaen Educación Básica permite desarrol lar enlos estudiantes aprendiza jes fundamenta lesindispensablesparalavida.

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Número,relacionesyfunciones

Geometríaymedida

Estadísticayprobabilidad

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c o m P o n e n t e s d e l á R e a d e m a t e m á t i c a

2 .5 COMPOnenTeS DeL ÁReA De MATeMÁTiCA

Los contenidos de matemát ica que sepriorizan en “Matemática para la Vida” lospodemosorganizarentrescomponentes:

Los conten idos de estos componentes seencuentraninmersosbajodistintasdenominaciones,tantoeneláreadeLógicoMatemáticaenelDiseñoCurricularNacionaldelaEducaciónBásicaRegularparael nivel deEducación Inicial ydeEducaciónPrimaria, como en el área de Matemática en elnivel de Educación Secundaria. Al respecto, acontinuación se señala enqué sedebeenfatizarpara el logro de los aprendizajes esperados encadaunodeloscomponentesmencionados.

a. númEro, rElacionEs y funcionEs

Unaprimerapartedeestecomponenteserefierealconocimientoylascapacidadesrelativasacontar,alosnúmerosyalaaritmética,asícomounaformade comprender los conjuntos numéricos y susestructuras. Incluye losconceptosyalgoritmosdela aritméticaelemental y las característicasde lasclasesdenúmerosque intervienenen los iniciosde la teoríadenúmeros.Elpuntocentraldeestaprimerapartedelcomponenteeseldesarrollodelsentidonumérico: lahabilidadparadescomponernúmerosdeformanatural,utilizarciertosnúmeroscomo100o½comoreferentes,usarlasrelacionesentre las operaciones aritméticas para resolverproblemas,comprenderelsistemadenumeración

decimal, estimar, dar sentido a los números yreconocerlasmagnitudesrelativayabsolutadelosnúmeros.

Losprincipiosquerigenlaresolucióndeecuacionesen á lgebra co inc iden con las propiedadesestructurales de los conjuntos numéricos. EnGeometría y Medida, los atributos se describenconnúmeros. El análisis dedatos conlleva a darsentidoalosnúmeros.

A través de la resolución de problemas, losestudiantes pueden explorar y consolidar susconocimientossobrelosnúmeros.Elrazonamientomatemáticodelosmáspequeñosesmásprobableque sede sobre las situacionesnuméricas, y susprimerasrepresentacionesprobablementeseandenúmeros.

“Las invest igaciones han demostrado que elaprendizaje relativo anúmeros yoperacionesesunprocesocomplejoparalosestudiantes”.Enestaprimera parte del componente, la comprensióndel número y las operaciones, el desarrollo delsentidonuméricoyconseguir fluidezenelcálculoaritmético, constituyenel núcleode laeducaciónmatemáticaen losniveleselementales.Segúnvanavanzando, desde el nivel Inicial hasta el últimoniveldeEducaciónBásica,losestudiantesdeberíanalcanzarunaclaracomprensióndelosnúmeros:lo

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queson;cómopuedenrepresentarseconobjetos,numeralesorectasnuméricas;cómoserelacionanunosconotros;cómoestáninmersosensistemasque poseen estructuras y propiedades; y cómouti l izar números y operaciones para resolverproblemas.

En determinadas ocasiones, debería util izarsecalculadoras, en particular cuando se necesitanmuchos o engorrosos cálculos para resolverproblemas.Sinembargo,cuandolosdocentesestántrabajandocon losestudianteseneldesarrollodelos algoritmosde cálculo, nodeberíanutilizarse.La calculadoraeshoyunaherramientadecálculocomúnmenteusadafueradelaula;elambienteenéstadeberíareflejartalrealidad.

La segundapartedeeste componente se centraen las relaciones entre cantidades –incluyendolas funciones-, las formas de representación derelacionesmatemáticasyelanálisisdelcambio.Lasrelaciones funcionalespuedenexpresarseusandola notación simbólica, lo que permite expresarsuscintamente ideas matemáticas complejas yanalizar el cambio con eficacia. Actualmente, eltrabajoenmuchasáreasseapoyaenlosmétodose ideas del Álgebra. Por ejemplo, las redes dedistr ibución y comunicación, las leyes de lafísica, losmodelosdepoblación y los resultados

estadísticos pueden expresarse en el lenguajesimbólicoalgebraico.

Mucho del énfasis simbólico y estructural en elÁlgebra puede construirse sobre la extensaexperiencianuméricadelosestudiantes.

Trabajarconrelacionesyfuncionesesmásquemanipular símbolos. “Losestudiantesnecesitan comprender sus conceptos,las estructuras y principios que rigen lamanipulación de los símbolos y cómopuedenusarseéstospararegistrar ideasyampliarsucomprensióndelassituaciones.Hoy, las computadoras y las calculadoraspueden dibujar gráf icas de funciones,real izar operaciones con s ímbolos yhacer al instante cálculos sobrecolumnasde datos. Los estudiantes neces i tanahora aprender cómo interpretar lasrepresentacionestecnológicasycómousarlatecnologíaconeficaciayprudencia”.

En todos los ciclos ynivelesdeEducaciónBásicase enfatizará el desarrollo de actividades queposibilitenquelosestudiantes:

Comprendan los números, las diferentesformasderepresentarlos,lasrelacionesentreellosylosconjuntosnuméricos.

Comprendan lo s s i gn i f i c ados de l a soperaciones y cómose relacionanunas conotras.

Calculen con fluidez y hagan estimacionesrazonables.

Comprendan pa t rones , re l a c iones yfunciones.

Representen y ana l i cen s i tuac iones yestructurasmatemáticas utilizando símbolosalgebraicos.

Usenmodelosmatemáticospararepresentarycomprenderrelacionescuantitativas.

Analicenelcambioencontextosdiversos.

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b. gEomEtría y mEdida

En loque concierne al estudiode laGeometría,en Educación Básica los estudiantes aprendensobrelasformasyestructurasgeométricasycómoanalizar suscaracterísticasy relaciones.Asimismo,losestudiantesdesdeelniveldeEducación Inicialdeben tener laoportunidadde vivir experienciasparauna adecuada construcciónde lanocióndelespacio,medianteexploraciones, investigacionesydiscusionesque les ayuden a familiarizarse conla localización y las transformaciones, lo cual lespermitirá comprender no sólo el mundo queles rodea, sino también otros contenidos dematemática,otemasrelativosaotrasáreas.

Para el lo, necesitan desarrol lar capacidadesrelativasaladirección,ladistanciaylaposiciónenelespacio.Estas ideas sedebendesarrollarenelniveldeeducaciónprimariamediantelalocalizaciónde puntos, creación de caminos y medición dedistancias en un sistema de coordenadas o enformadirectaconinstrumentosdemedición.

En los pr imeros grados de secundar ia, losestudiantes pueden realizar las representacionesgeométr icas y a lgebra icas requer idas en la

resolucióndeproblemas,mediante laGeometríade coordenadas; y en los últ imos grados desecundaria, los problemas geométricos puedenpresentarse y abordarse de diversas maneras,incluyendoelenfoquedelaGeometríaAnalítica.

La visualización espacial, esto es, construir ymanipular mentalmente representaciones deobjetos de dos y tres dimensiones y percibirun objeto desde perspectivas diferentes, es unaspecto importantedelpensamientogeométrico.LaGeometríaesellugarnaturalparaeldesarrollodelrazonamientoydelacapacidaddeargumentar,culminando en la educación secundaria con larealización de demostraciones. La construcciónde modelos geométricos y el razonamientoespacial ofrecen vías para interpretar y describirentornos físicos ypuedenconstituirherramientasimportantesenlaresolucióndeproblemas.

Las ideas geométricas sonútilespara representary resolver problemas en otras áreas de lasmatemáticasyensituacionesdelmundoreal;poreso, laGeometríadebería integrarse, cuando seaposible,conotrasáreas.


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LaGeometríaesmásquedefiniciones;esdescribirrelaciones y razonar. La idea de construir elconocimientogeométricoa travésde losniveles,desde el pensamiento informal al más formal,está de acuerdo con lo que opinan teóricos einvestigadores internacionales en los últ imosdecenios.

La Geometría, ha s ido considerada durantemucho tiempocomoel lugardel currículodondelos estudiantes aprenden a razonar y a ver laestructuraaxiomáticadelasmatemáticas.Lapartedel componente referida a laGeometría incluyeunenfoque intensosobreeldesarrollocuidadosodel razonamiento y la demostración, utilizandodefinicionesyestableciendohechos.

La tecnología desempeña también un papelimportante en la enseñanza y el aprendizaje dela geometría. Actualmente existen programasinformáticosdeGeometríaDinámica,queayudanalestudianteadiseñarunagranvariedaddefigurasde dos dimensiones y le permiten tener unaexperiencia interactiva conellas. Losestudiantes,utilizando tecnologías, pueden generar muchose jemplos como un medio de establecer yexplorar conjeturas, pero es importante que seden cuentadequegenerarmuchosejemplosdeun determinado fenómeno no constituye unademostración.La visualización yel razonamientoespacial se enriquecen mediante la interacciónconprogramas informáticosyenotros contextostecnológicos.

EnlasegundapartedelcomponentequeserefiereaMedida, se ha de tener presente que “Medir”es asignarunvalornuméricoaunatributodeunobjeto; por ejemplo, a la longitud de un lápiz.A nivelesmás complejos, lamedición supone laasignacióndeunnúmero a una característica deunasituación;taleselcaso,porejemplo,delíndicedepreciosalconsumo.

Se debe hacer hincapié principalmente en lacomprensióndequéesunatributomedibleyenllegar a familiarizarsecon lasunidadesyprocesosempleadosen la tomademedidas.A travésde laexperiencia en educaciónbásica, principalmentedesde el nivel Inicial hasta el cuarto ciclo de laEducaciónBásicaRegular, losestudiantesdeberíanllegar a ser hábiles en el uso de instrumentos,técnicas y fórmulas para medir, en situacionesdiversas.

El estudio de la Medida, desde Inicial hasta laSecundaria, es importante debido a su prácticaypresencia constanteenmuchos aspectosde lavidadiaria.Seaplica aoperacionesconnúmeros,nociones geométricas y estadísticos a través detécnicas de medición con instrumentos u otrosimilar.

Lamedicióndebe realizarseutilizandomaterialesconcretos. De hecho, es improbable que losniños puedan llegar a comprender realmentesu signif icado sin manipular materiales, hacercomparaciones físicamenteyutilizar instrumentosdemedida. Los conceptos relativos a lamedidadebencreceren complejidady amplitud a travésde los niveles de Educación Básica Regular. Sinembargo,elénfasisdebería sermayorenelniveldeEducaciónPrimaria,sobretodoenlosprimerosgrados.

En todos los ciclos ynivelesdeEducaciónBásicase enfatizará el desarrollo de actividades queposibilitenquelosestudiantes:

Analicen las características ypropiedadesdefiguras geométricas en el plano y cuerposgeométricos en el espacio y desarrollenrazonamientosmatemáticossobrerelacionesgeométricas.

Localicen y describan relaciones espacialesm e d i a n t e s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a sr e c t a n g u l a r e s y o t r o s s i s t e m a s d erepresentación.

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Apliquentransformacionesyutilicenlasimetríaparaanalizarsituacionesmatemáticas.

Util icen la visualización, el razonamientomatemático y la modelización geométricapararesolverproblemas.

Comprendanlosatributosmensurablesdelosobjetos y las unidades, sistemas yprocesosdemedida.

Apliquen técnicas, instrumentos y fórmulasapropiadasparaobtenermedidas.

c. Estadística y Probabilidad

En este componente se recomienda que losestudiantes formulen preguntas que puedanrespondersemediantedatosyqueafrontenloqueesto requiere: la recogidade los datos y su usopertinente.Deberían aprender a recoger datos,organizarlospropiosylosajenos,yrepresentarlosen gráficos y diagramas que resulten útiles pararesponder a las preguntas. Incluye también elaprendizaje de algunos métodos para analizarlosdatos y algunas formasdehacer inferencias yobtenerconclusionesapartirdeellos.Tambiénseabordan los conceptos y las aplicaciones básicasde laprobabilidad,haciendohincapiéencómoserelacionanconlaEstadística.

Es abrumador el número de datos disponiblespara ayudar a tomardecisionesen los negocios,lapolítica, la investigacióny la vidaordinaria. Lasencuestas sobre consumoorientanel desarrolloy el estudio de mercado de los productos. Lossondeosdeopinióncontribuyenadefinirestrategiasen las campañas polít icas. Los experimentosestadísticos yprobabilísticos seusanpara valorarla seguridad y eficacia de nuevos tratamientosmédicos.Sinembargo,lasestadísticassemanipulanfrecuentementeconobjetodeinfluirenlaopiniónpúblicao sobrevalorar la calidadyeficaciade los

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productos comerciales. Losestudiantesnecesitansaberanalizardatosyotrosaspectosrelativosa laprobabilidadparapoderrazonarestadísticamente.Son habi l idades necesarias para l legar a serciudadanos bien informados y consumidoresinteligentes.

El crecienteénfasis curricular sobreel análisis dedatos que se da en esta propuesta se pretendeextender a todos los niveles, demaneraque, alfinaldelaEducaciónBásicaRegular,losestudiantestengan un sólido conocimiento de la estadísticaelemental.Para ayudarlos a comprender las ideasestadísticas fundamentales, losestudiantesdebentrabajar directamente con datos. El énfasis deltrabajo con datos posibilita que los estudiantesencuentrennuevasideasyprocedimientosnuevossegún avancen en los niveles de la EducaciónBásica,en lugarde repasar lasmismasactividadesy losmismoscontenidos.El análisisdedatos y laestadística permiten a profesores y estudiantesestablecer conexiones importantes entre ideasy procedimientosde losotros componentes delárea (Número,relacionesy funciones;Geometríaymedida).Trabajar conel análisisdedatosy conlaprobabilidadofrecea losestudiantesuna formanatural de conectar las matemáticas con otrasáreasdelcurrículoyconlasexperienciasdelavidacotidiana.

Losprocesos inherentes al análisis dedatos y laestadística servirána losestudiantesenel trabajoyenlavida.Algunasdelascosasquelosalumnosaprendenen la institucióneducativa les parecenpredeterminadasyacotadasporreglas.Al realizaranálisis dedatos y actividades deEstadística, losestudiantes pueden también aprender que “lassoluciones a algunosproblemasdependende lashipótesisqueseestablezcany tienenciertogradode incertidumbre.Nosiemprees intuitivoel tipode razonamientoque seutilizaenprobabilidadyestadísticay,sinoseincluyeenelcurrículo,nolodesarrollaránnecesariamentelosalumnos”.


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En todos los ciclos ynivelesdeEducaciónBásicaRegular seenfatizaráel desarrollode actividadesqueposibilitenquelosestudiantes:

Formulenpreguntas quepuedan abordarsecondatosyrecojan,organicenyrepresentendatosrelevantespararesponderlas.

Seleccionenyutilicenlosmétodosestadísticosapropiadosparaanalizarlosdatos.

Elaborengráficosrepresentativosdelosdatoseinterpretenlainterrelacióndevariables.

Desa r ro l l en y eva lúen i n fe renc i a s yprediccionesbasadasendatos.

Comprendan y apliquen conceptos básicosdeprobabilidad.

Con f ines operat ivos para la programacióncurricular, desarrollo de procesos pedagógicosy de evaluación, las tres capacidades y loscomponentesdeláreadeMatemáticasepresentana continuación bajo la forma de aprendizajesesperadospriorizados,paracadagrado,enbasealDiseñoCurricularNacionalvigentedelaEducaciónBásicaRegular:Inicial,PrimariaySecundaria.

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matriz dE caPacidadEs Priorizadas Educación básica rEgular

III

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m a t R i z d e c a P a c i d a d e s P R i o R i z a d a s e d u c a c i ó n b á s i c a R e g u l a R

Lapresentematrizpresentaloscomponentesdeláreaenfuncióndelascapacidadespriorizadas.

Laorganizacióndelapresentematriz,respondeaunanecesidaddevisualizaraquellascapacidadesquedesde laEmergenciaEducativa son fundamentalesde desarrollar en nuestros estudiantes. Para losnivelesdeInicialyPrimaria,nosignificaabandonarel trabajo curricular por competencias, sinoquesehanpriorizado capacidades como: resoluciónde problemas, razonamiento y demostracióny comunicación matemática. Cabe destacar queal desarrollar una capacidadde área, ésta puedeimplicar el desarrollodehabilidades relacionadasconuna,dosomáscapacidadespriorizadas.

La totalidad de las capacidades de área de laPropuesta son lasmismas que se consideran enel Diseño Curricular Nacional de la EducaciónBásica Regular. La secuencia u orden en el cualsedesarrollen las capacidades seevidencia en laplanificación de actividades, que dependerá engranpartedelagestiónpedagógica.

Elcartelpropuestoexigesudiversificación,esdecir,adecuarlo,contextualizarlosegúnlasnecesidadesyposibilidadesregionales,localeseinstitucionales.

Es necesario tener en cuenta también, que elpresente Cartel de la Propuesta Pedagógica esflexible y permite la articulación e integraciónde componentes y capacidades. Esta flexibilidadse hace evidente en el empleo de diferentesestrategiasmetodológicaspropiasdel área, comotambiénlascontenidaseneldocumento.

El docente podrá planificar el trabajo de aulaconsiderando el empleo de medios, materiales,recursos didácticos, que se presentan comoalternativasde actividad yempleodeestrategias,enlapresentePropuestaPedagógica.

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e d u c a c i ó n i n i c i a l - 5 a ñ o s

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - P R i m e R g R a d o

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - s e g u n d o g R a d o

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - t e R c e R g R a d o

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - c u a R t o g R a d o

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - q u i n t o g R a d o

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e d u c a c i ó n P R i m a R i a - s e x t o g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - P R i m e R g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - P R i m e R g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - s e g u n d o g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - t e R c e R g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - t e R c e R g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - c u a R t o g R a d o

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e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a - q u i n t o g R a d o

gEstión Para la imPlEmEntación dE la ProPuEsta PEdagógica

matEmática Para la vida

IV

56

La implementaciónde laPropuestaPedagógicade “Matemática para la Vida”, debe ser

adecuadaa las característicasde losestudiantes ydelcontextoenelquesevaatrabajar.

Establecer los niveles de interacción ideal paraconseguir losobjetivosde la Propuesta requieredeequipos formalmente constituidos quehayandefinidoconclaridadsusobjetivosylosresultadosquepretendenalcanzar,quedispongandetiempoespecialmentededicadopara realizar las accionesquesepropongan,quesemantengan informadossobre los diferentes avances de la PropuestaPedagógicaenelámbitoregionalynacionalyquedispongan de recursos para poder ejecutar lastareasnecesarias.

LaEmergenciaEducativanoessóloresponsabilidadde losdocentes, loes tambiénde losmunicipios,delosmediosdecomunicación,sobretododelasinstanciaslocales,delasinstitucionesdelasociedadcivil,de lasempresasyde todoaquelquequieracomprometerseenunespíritudeamplioapoyoalaeducaciónde losniñosy adolescentesdecadaunadelaslocalidades.

en la escuela los actoresprincipales son losestudiantes, los directores, los docentes ylospadresdefamilia.

en la comunidadlosactoresson,entreotros,el presidente de la comunidad, el tenientegobernador, las organizaciones indígenas,los coordinadores de comités comunalesexistentes, lapresidentadelclubdemadres,eldelegadodelmunicipio.

en el ámbito provincial la Unidad deGest ión Educat i va Loca l (UGEL) contodos sus especial istas y directivos, losmunicipiosprovincialesodistritales a travésde sus regidores de educación y cultura.También participan los directores de lasInst ituciones Educativas de nivel inicial,

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primaria y secundaria, representantes deredes educativas, los institutos superioresp e d a g ó g i c o s , p r o g r a m a s e d u c a t i v o sinnovadores, facultades de educación deuniversidades,ONG,representantesdesalud,agricultura y de medios de comunicaciónlocal.

en el nivel regional, los actores son elPresidente Regional, sus consejeros, elGerente de Desarrol lo Social y la SubGerenc ia de Desarro l lo Educat ivo, laDirecciónRegionaldeEducación(DRE)ysusespecialistas de inicial, primaria, secundaria,educación especial, educación bil ingüe yeducación rural, el Municipio Provincialy el Consejo de Participación Regional, losinstitutos superiorespedagógicos, facultadesdeeducacióndelasuniversidadesnacionalesyparticulares,ONG,proyectoseducativos,lasredeseducativascomolasdeFeyAlegría,Diaconía,RedesdelaNiñaRural,RedRecrea,RedesdeISP,RedesEducativasRurales,etc.

en el nivel nacional se consideran actoresal Ministerio de Educación y las diferentesdirecciones nacionales responsables deestablecerrelacionesconelConsejoNacionalde Educación y las organizaciones de lasociedad civil, enelmarcodelAcuerdodeGobernabilidadyelPactodeCompromisosRecíprocosporlaEducación.

Conocedoresdeladiversidadnacional,respetuososde ella, y en coherencia con el proceso dedescentralizaciónencurso,seproponen formasdeorganizaciónparaquelospropiosactoreseducativoslasdefinan,demaneraparticipativa,afindeprecisarlosobjetivos,estrategiasyresultadosdelaPropuestaPedagógicadeEmergencia.Todoellosobre labasede las diversas experiencias de losmiembrosdela comunidadeducativa y teniendoen cuenta lasdiferentesformasdeorganizaciónqueyaexisten.

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g e s t i ó n P a R a l a i m P l e m e n t a c i ó n d e l a P R o P u e s t a P e d a g ó g i c a d e m a t e m á t i c a P a R a l a v i d a

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4 .1 ORGAnizACiÓn Y COnFORMACiÓn De eqUiPOS PARA COnSeGUiR LOS OBJeTiVOS

Las instancias que pueden ayudar a gestionarla propuesta pedagógica para desarrol lar lascapacidadesmatemáticasdenuestrosestudiantessonlassiguientes:

El EquiPo dE la institución Educativa

El equipo de la institución educativa es el queestará directamente a cargo de la ejecución delas accionesorientadas al logrode losobjetivosde la Propuesta Pedagógica “Matemática para laVida”. Losparticipantesdeesteequipo serán losrepresentantes de la comunidad educativa: eldirector, los docentes, los padres de familia, losestudiantes. El Consejo Educativo Institucionalapoyarálasaccionesqueseprogramen.

Es necesario considerar las diferencias entre lasdistintas institucioneseducativas.Existendesde laspequeñasescuelasunidocentesdelaszonasruralesalejadasode frontera, conun reducidonúmerode estudiantes, hasta las instituciones educativasmultigrado y polidocentes de primaria, y lasinstitucioneseducativasdesecundariaquecuentancon más de mil estudiantes y más de ochentadocentes.Además, estas instituciones presentandiferentesnivelesdeorganizaciónyfuncionamientoensusconsejoseducativosinstitucionales.

No conviene generar nuevas instancias. Espreferiblefuncionarsobrelabasedelasinstanciasyaexistentes,comoeselcasodelConsejoEducativo

Institucional. Es decir conviene potenciar lasinstanciasqueesténiniciandosufuncionamiento.

Es fundamental que la comunidad educativase ponga de acuerdo para precisar cómo seorganizará de manera funcional para atender laEmergenciaEducativa.Además,es recomendableque las Instituciones Educativas promuevan laparticipaciónybusquenelapoyodelasautoridadesyorganizacionescomunalesexistentes,sobretodoen los ámbitos más alejados. En muchos casos,existen organizaciones propias de la comunidadmuyvinculadasa la tareaeducativa.Esel casodelas Comunidades Nativas de la Amazonía, o delasComunidadesCampesinasde la zona andina.Todas ellas, si así lo deciden los interesados,pueden asumir responsabilidades y apoyar a lasescuelasyasusConsejosEducativos.

Enotros casos sería conveniente la coordinacióncon otras organizaciones, como las Mesas deConcertación,lasJuntasVecinales,lasDefensorías,losComitésdeProductores, losComitésdeVasode Leche, los Grupos Juveniles, las APAFAS, elMunicipioEscolar,etc.

Son funciones principales del equipo de la institución educativa:

a. Propiciar la participaciónde losestudiantes,de losdocentes, los padresde familia y losdirigentes comunales, para diversificar laPropuestaydefinirplanesdeacción,estrategiasycronogramasparallevarlaacabo.

b. Prop i c i a r l a coord inac ión con o t r a sinstituciones educativas de su ámbito paradefinir metas y unir esfuerzos para elevarlos aprendizajes y crear las condicionesnecesarias.

c. Mantener informada a la comunidad sobrelapropuesta, las actividades realizadas y loslogrosalcanzados.

o R g a n i z a c i ó n y c o n f o R m a c i ó n d e e q u i P o s P a R a c o n s e g u i R l o s o b j e t i v o s

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d. Buscar apoyo de las instancias comunaleso locales, participación de adolescentes yjóvenes y redeseducativasparapropiciareldesarrollode las capacidadespriorizadasenlacomunidad.

e. El grupo de los directores. Los directoresde las institucioneseducativasdeunmismoámbito pueden organizarse y const ituirun grupo de trabajo para la planificaciónconcertadadelasaccionesdesujurisdicción.Cuando existan redes educativas, éstaspromoverán una estrecha relación parapotenciarlasacciones.

El EquiPo dE las instancias dE gEstión Educativa local

LaUGELconvocará y coordinará al equipo localdondeseanecesario.

Se deben considerar también las formas deorganizacióndelasinstitucioneseducativasydelosdocentes (redes educativas, redes rurales, redesde ISP, Grupos de Interaprendizaje, Círculos deCalidad, etc.), las divisiones geográficas, socialesode comunicación (cuencas, áreas de influenciade desplazamiento poblac ional , corredorescomerciales definidos por una carretera o vía),dificultaddeacceso,etc.

Considerandoesta información sepodrádefinir,demaneraparticipativa, la formadeorganizaciónque más se adecue a la realidad y a la muestraseleccionada. Así, una región determinada quehubieraseleccionadounasolainstitucióneducativaenunaprovinciadefinirásiéstatrabajasola,osiseunealasinstitucioneseducativasdelared,cuenca,distritooprovinciamáscercana.

Enel equipo intermedio, según seael diseñodeorganizaciónque sedefina, podránparticipar losactoresindicadosanteriormente.

Son funciones principales del equipo Local:

a. Adecuar la propuesta pedagógica a lasnecesidades y características propias de surealidad.EfectuarunseguimientopermanenteyevaluarelavancedelaPropuesta.

b. Convocar a las instituciones locales paraque compartan sus experiencias, avances einnovaciones,conel finde incorporarlasa lapropuestapedagógicadelaregión.

c. Desarrollar las acciones de capacitación enmatemáticas conénfasis enel desarrollodelascapacidadespriorizadas.

d. Brindar acompañamiento a losdocentesensus aulas, sobre la base de un cronogramade apoyo a su s d i f i cu l t ades : puedecomprometerse la part ic ipación de losdocentes formadoresypracticantesde ISPP,de los representantesdelmunicipio, de losespecialistasdelaDREodelaUGELodeloscoordinadoresdered.

e. Promover y apoyar el funcionamiento deredesydelosgruposdeinteraprendizaje.

f. Promover campañas para que se usen enlas aulas los materiales distribuidos por elMinisteriodeEducación.

El EquiPo rEgional

Eselqueestaráacargodelacoordinaciónyapoyode las actividades a nivel de toda la región. Parasu conformación se sugiere tener en cuenta lasdistintas instancias regionales y organizacionesexistentes.

En los casos en que sea posible, el cargo decoordinadordel EquipoRegional deEmergenciadebe cubrirsepor concurso, buscandopersonascon compromiso, l iderazgo y conocimientoespecializado.


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Son funciones principales del equipo Regional:

a. Realizareldiagnósticode las condicionesenque se encuentran las escuelas con datosde las instituciones educativas, para buscarcon la comunidad alternativasde solución yparacrear lascondicionesquegaranticen losaprendizajes

b. FormularlosproyectosyconveniosnecesariosycoordinarconlosGobiernosMunicipalesyRegionales el apoyo a las actividades de laPropuesta Pedagógica sobre la base de lospresupuestosparticipativos.

c. Mantenerinformadaalacomunidadsobrelapropuesta, sobre las actividades realizadas yloslogrosalcanzados.

d. Procurar atender con materiales fungiblesa los estudiantes en coordinación conGobiernosLocales,Regionalesyotrasfuentesdefinanciamientoycooperación.

e. Diseñarunplandeformaciónenservicioparadocentes de inicial, primaria y secundaria.Convienequedichoplan sedesplieguea lolargodel añoyqueatiendaeldesarrollodelas capacidadesmatemáticas dedocentes yestudiantes, conénfasis en la resolucióndeproblemas,elrazonamientoylademostraciónylacomunicaciónmatemática.

f. Organizar con la comunidad acc ionesen favor de la resolución de problemas,de l razonamiento, l a demostrac ión yla comunicación matemát ica. Para el loconvendría comprometer a los medios decomunicación local, para la promoción ydifusiónde lapropuesta,de lasactividadesydelosprogramasdeapoyoparaeldesarrollodelascapacidadesmatemáticas.

El EquiPo nacional

Está conformado por representantes de lasdirecciones de todo el país, unidades y oficinasde la SedeCentral delMED (DINEIP,DINESST,DINFOCAD, DINEBI, OCDER, UMC) y delViceministeriodeGestiónPedagógicaydeGestiónInstitucional.

Son funciones del equipo nacional:

a. Difundir laPropuestaPedagógicaMatemáticaparalaVidaparalaEmergenciaEducativa.

b. Incorporar en los planes de trabajo de lasdistintas direcciones, unidades y oficinasdel MED, las actividades de la PropuestaPedagógica Matemática para la Vida comounadesusprioridadesuniendoesfuerzosendistintosproyectosqueejecutana findenoduplicaracciones.

c. Orientaryrealizarelseguimientoalasaccionesanivel nacional para verificar los resultadosy sugerir los reajustes correspondientes a laPropuestaPedagógica.

d. Asegurar la d i fus ión de los mater ia leseducativos, las actividades y los resultadosde laPropuestaPedagógicaMatemáticaparala Vida. Trabajar para ello con los mediosde comunicación comprometidos como LaEscueladelAire,Huascarányotros.

e. Activar un espacio de la página web delMin is ter io de Educac ión para d i fundirinnovaciones,materialesdeapoyoal trabajoenelaulayalacapacitacióndocente.


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4 .2 LA GeSTiÓn CenTRADA en LOGROS De APRenDizAJe

Lagestiónde laPropuestaPedagógicaMatemáticapara la Vida debe dar cuenta de los resultadosa lcanzados. De los resultados en cuanto aaprendizajespertinentes yde calidaden relaciónsobre el desarrollo de capacidades matemáticascon énfasis en la resolución de problemas, elrazonamientoylademostraciónylacomunicaciónmatemática.

Laevaluacióndebeentendersecomounprocesoqueayudaalosdocentes,paracomprendermejorlas capacidades involucradas en la resolucióndeproblemas, el razonamiento y la demostracióny la comunicación matemática, así como en losprocesos que los estudiantes deberían realizarpara alcanzarlas. Además, la evaluación de losaprendizajesdebe concebirse también comounaherramienta pedagógica de informaciónpara lasinstanciasresponsablesparacomprobarsiseestánalcanzandoloslogrosdeaprendizajeplanteados.

Laevaluaciónde losaprendizajesenelámbitodeuna red,deundistritoodeunaprovincia esunmecanismoparaobtenerlalíneadebase,esdecir,conocer la situación inicial del procesoque sirveparatomardecisionesyatendera lasnecesidadesdetectadas, y que permita la verificación de losresultados alcanzadosdespuésde la intervenciónmediantelasaccionesdeemergenciapararediseñarotrasestrategiasycontinuarconelproceso.

Se evaluarán los logros de las capacidadesmatemáticas sobre la base de los indicadorespriorizadosporlaPropuestaPedagógicaMatemáticaparalaVidaydelosqueseconsiderennecesarios.En estos casos los resultados deben ser dadosa conocer a la comunidadpara sensibilizar a lasautoridadesyalosdocentessobrelaproblemática

encontradayparageneraraccionesque reviertanlasituación.

Los resultados obtenidos en las evaluaciones sedarán a conocer a los padres de familia y a lacomunidadparagenerarsudiscusiónyparalograrmayorcompromiso.Deestemodosegarantizaunmejoramientoenlacalidaddelosaprendizajes.

Bien aprovechada esta información permitetambién al docente conocer las fortalezas ydebilidadesde su trabajopedagógicoyoptarporlas medidas necesarias, tanto para potenciar losaprendizajes,comoparareplantearseestrategiasymetodologías.

Convienedifundir la ideadeque laevaluacióndelosaprendizajesa losdiversosgruposdeescuelases un proceso participativo en el que puedanintervenir las redes educativas, los consejoseducativos institucionales, los especialistas deUGEL,DREylosformadoresyalumnosdeISPP.

l a g e s t i ó n c e n t R a d a e n l o g R o s d e a P R e n d i z a j e

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4 .3 ACCiOneS De COnCeRTACiÓn

Con Gobiernos Regionales

LosGobiernosRegionales vienendiseñandounaserie de proyectos en los que sería importanteincorporar las act iv idades de la PropuestaPedagógica.Laelaboracióndeplanesyproyectoscomo el Proyecto Educativo Regional (PER) ylos planes educativos que tienen apoyo de lospresupuestos participativos constituyen sin dudaun espacio para ir construyendo una propuestaregionalpropia.

Con Municipios

Las Direcciones Regionales y las Unidadesde Ges t ión Educa t i va Loca l e s t ab leceráncoord inac iones con los mun ic ip ios de sujurisdicción para lograr su participación en eldesarrollodelProgramadeEmergenciaEducativay de su Propuesta Pedagógica. Todo ello estárespaldadopor loqueestablece la LeyOrgánicadeMunicipalidades.

Con institutos Pedagógicos Públicos

Por su experiencia en la formacióndedocentesypor contar conespecialistasenmatemática, losinstitutos pedagógicos públicos se desempeñancomo un factor importante de apoyo para losequipos responsables de la conducción de laPropuestaPedagógicaMatemáticaparalaVida.

Losrepresentantesdeestasinstitucionesformaránparte de los equipos regionales o intermedioscomo núcleo técnico que oriente las accionespedagógicas y de capacitación en coordinaciónestrecha con los demás integrantes del equipo.

Deberántenerexperienciaencapacitacióndocenteymatemática ydemostrar liderazgopedagógico.Susestudiantespodríanapoyar,preferentemente,enlasescuelasunidocentesymultigradodezonasruralescomopartedesuprácticaprofesional.

Es recomendable que los institutos pedagógicospúblicoscontribuyanconestrategiasmetodológicaspara la resolucióndeproblemas,el razonamientoy la comunicación matemática para las escuelasunidocentes y multigrado de las zonas rurales.Asímismo, podrían convertirse en un apoyoefectivoparaevaluarlosaprendizajesylosefectosdelaEmergenciaEducativa.

Con Redes educativas y Grupos de interaprendizaje

Desde hace algún tiempo las DRE, UGEL, lospropiosdocentesylasONGvienenpromoviendoeldesarrolloyfuncionamientoderedeseducativasy gruposde aprendizaje. Estas instanciaspuedenconstituir un apoyo para el desarrol lo de laPropuesta Pedagógica, en la medida en quetienen experiencia de trabajo acumulada, existecompromisoentresusdocentesconeldesarrolloeducativoyhandefinidosuorganización.Además,enel casode las escuelas rurales, contribuyen asuperarelaislamientodocente.

a c c i o n e s d e c o n c e R t a c i ó n

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4 .4 eSTRATeGiAS inSTiTUCiOnALeS PARA eL DeSARROLLO DeL ÁReA De MATeMÁTiCA

A continuación se presentan algunas estrategiasquepueden trabajarseen la institucióneducativapara favorecer el desarrollo de las capacidadesmatemáticas:

El club dE matEmática

EncadainstitucióneducativasepuedeorganizarunClubdeMatemática.Los integrantesdeesteclubserán aquellos estudiantes que voluntariamentedeseen formarparte delmismo. Se recomiendaqueel club tengaunoomás asesores, que seandocentesdeláreadeMatemáticadelainstitución.

Entre lasactividadesquepuederealizarelclubseencontraríanlassiguientes:

a. Laorganizacióny renovación sistemáticadel“PaneldeMatemática”delainstitución.

b. Difundir y participar en la realización detorneos de juegos matemáticos locales,regionales (TOJUMAT), o nacionales (lasOlimpíadasdeMatemáticaporejemplo).

el Panel de Matemática

Puedeconstruirseconun tablerodecorchodonde, semanalmente, se expone materialinformativosobre:

N o t i c i a s r e l a c i o n a d a s c o n l a smatemáticas.

Historiadelasmatemáticas.

Aspectosderesolucióndeproblemas.

InformaciónypuntuacionesdelConcursodeProblemas.

Artesymatemática.

Presentacióndejuegos.

Debeestarubicadoenunlugardecirculaciónde losestudiantes.Enelpatioprincipaloenelpasillomásfrecuentado.

Debetenerunbuentamañoyestarcolocadoaunaalturaadecuadapara facilitar la lecturadelosestudiantes.

Debe dársele una presentación estética,que atraiga la atención por su colorido,luminosidadycolocación.

Cadasemanadedebepresentaralgonuevo.

Usarrótulosgrandes,tiposvariadosdeletras,materialesmotivadores.Setratadequepocoapoco,losestudiantesseacostumbrenairalpanelparabuscarinformaciónreciente.

Aparecerán las preguntas, los porqué, eldeseodesabermás.Elprofesoraprovecharáesamotivaciónparadesarrollarsusclases.

Si se convoca aun concursodeproblemas,en el panel se expondrán cadaproblema ylas posibles soluciones quepuedahaber, laexplicacióndelasestrategiasutilizadas,lalistadepuntuaciones,etc.

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e s t R a t e g i a s i n s t i t u c i o n a l e s P a R a e l d e s a R R o l l o d e l á R e a d e m a t e m á t i c a

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Si funciona el tal ler de juegos, aquí seanunciarátodolorelativoaél,yseexpondráelpróximojuegoportrabajar.

Sisecuentaconunabibliotecadematemática,se comentará algún libro y se propondrásu lectura.También seofreceráuna guíadelecturadelmismo.

El panel será el espacio informativo de lospropios estudiantes en temas relacionadoscon lamatemática. Ellos podránbuscar suspropiasnoticiasyaportarlasaldocente.

Este panel puede subdividirse y, entonces,situar varios paneles de manera que cadaunodeellos sepuedadedicar aunaspectoespecífico.Porejemplo:

Tablerodeproblemas

Esquinadelosenigmas

Noticiariomatemático

Lacuriosidadmatemáticadelasemana

Elproblemadelasemana

Puedepresentarseenunmarcoexterior alaula, en soporte escrito o gráfico. Puedenacceder todos los estudiantes aunque elpanelvayaexpresamentedirigidoaungrupodeellos.

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el Tablero de Problemas

Si se dispone de espacio suf iciente, puedenindependizarse los temasdelPanel.Casi siempreel primero que toma formato independiente esel relativo a losproblemas. Eneste caso, podríamantenerse en el panel principal lo relativo a lainformaciónsobreconcursos,torneosyolimpiadasydarun tratamientoespecial a las estrategiasdepensamiento,losproblemasinusualesodivertidos,los problemas basados en gráficos o dibujos,etc. Se puede solucionar el tema con un panelnuevo que acompaña al de tipo más general, oempleandomarcossencillos,delosqueseutilizanpara enmarcar láminas. En ellos se colocan losrecortesde revistas, libros viejoso cuartillasquecontienen losproblemas y las informacionesquequeremospresentar.

Cuandoseexponeunproblemasedebeplantearde manera atractiva y mantenerlo durante untiempo, de modo que los estudiantes tenganposibilidaddeverlo,depensarlo,dehaceraportes.Cuando haya pasado un tiempo prudencial, seexpondrásusolución.

La esquina de los enigmas

Respondeaprincipiosparecidosa losdelTablerodeProblemas,pero, adiferenciadeésta,empleaenigmas, adivinanzas, asuntos de actual idad,etc. Losestudiantes se sientenmuy atraídosporeste tipode cuestiones,pues al contenermenos“aparato” matemático es más fácil que formenpartede sus conversaciones,en lasquediscutenlasposibles soluciones,presumendeconocer lasrespuestas, etc. Tienen, en general, un campomás amplio que los problemas estrictamentematemáticos.Cada semana sepuedenproponercuatroenigmasdecaracterísticasvariadas, con lassoluciones(enalgunoscasos“posiblessoluciones”)a losenigmasde lasemanaanterior.Elenunciadosueleilustrarseconalgunaimagenrelacionadaconeltema.


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Con mayor o menor contenido matemático,divertidos o serios, con diferentes grados dedificultad,unosmásconocidosyotrosmenos, losquesiguensonejemplosdeenigmaspropuestos:

Otros elementos

Obviamente, cualquierade losespacios sepuedeindependizar.Sidisponemosdelugarydemedios.

Pero hay otros elementos interesantes quepueden completar el Panel. Por ejemplo, s idisponemosdeunoodos armarios tipo vitrina.Ahí podremos hacer exposiciones sencillas dematerialescomplementariose interesantes.Estos,por ejemplo, podrían ser libros antiguos, librosde texto de planes anteriores, libros de lecturaactuales de contenido matemático, materialesdidácticoscuriosos,juegos,rompecabezas,barajas,sellos,monedas,yunsinfíndecosasmás.

A continuación proponemos otros ejemplos deestrategiasinstitucionales.

La Semana Matemática

Se tratadehacerunaofertaduranteuna semanadel año escolar. Dicha oferta puede l legar acontenerunaconsiderablecantidadyvariedaddeactividades conel propósitoprincipal deque losestudiantesparticipenenalgunadeellas, siempreenfuncióndesusintereses,gustosoinquietudes.

Porotrolado,setratatambiéndelosiguiente:

Depresentarotra “cara”del área, pues losestudiantes están acostumbrados a asociarla matemática con lo que se desarrolla ensus clases.Ante estas actividadesmuestransu extrañeza y casi siempre su agrado, alcomprobar que l legan a aprender unoscontenidosmatemáticosdistintos, así comoa desarrol lar capacidades para estudiarmejoresta ciencia, a travésdeuna seriedeactividades que no siempre se plantean ydesarrollanenlahoradeclase.

Dedaroportunidadalosestudiantesparaquetomen concienciade las relacionesentreeláreadematemáticayotrasáreas,mostrandoasíelcarácterglobalizadordelconocimiento.

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Comida para tres

Unviejoacertijoárabedicelosiguiente:

Uncazador seencontró condospastores,unode loscuales tenía trespanesyelotrocinco. Todos los panes eran del mismotamaño. Los tres hombres acordarondividirelpanenpartes iguales.Despuésdehabercomido,elcazadordioa lospastoresochomonedas comopago. ¿Cómodebenrepartírselaslosdospastores?

(Adaptados de P. Sloane; Ejercic ios de pensamiento latera l; Zugarto Ed.,1999; ydeElhuevodechocolate,páginadeInternetdonde se encuentran también muchas“fuentes”deinspiración)

El hombre solitario

Unhombrevivió soloenuna casadurantedosmeses.Norecibióvisitasni saliónuncadelacasa.Alfinaldelosdosmesessevolvióloco y una noche apagó todas las luces,cerró el gas y el agua y salió de la casa.Comoconsecuenciadesupartidamurieron90personas.¿Porqué?

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A continuación se presentan algunas de lasactividades que pueden desarrollarse durante la“SemanaMatemática”.Cada institucióneducativapuedeescoger entre ellas, pero tambiénpuedeidearotras,lasquepuedaorganizarenfuncióndelosmediosmaterialesyhumanosdequedisponga.Unobjetivointeresanteesconseguirlaparticipacióndel estudiante. Si ellos son coprotagonistas, lasposibilidadesdeéxitoseránmayores.

1 . Concursos

Sepretendeofreceralosestudianteslaposibilidadde desarrollar su creatividad a través de estaactividad.Esnecesariodarpublicidadalasbasesyanimaratodoslosestudiantes.Convienegarantizarquelainformaciónllegueatodos.

Losestudiantesdebenserconvocadoscontiemposuficienteparaquelostrabajosquesepresentennoserealicenconprecipitaciónoimprovisadamente.Además , o f recemos unos mode lo s que ,obviamente, tendrán que ser adaptados a cadalugar y circunstancia. De este modo, sólo sepretendeorientar sobre los aspectosquedebencontener pensando siempre que se trata deconcursosalosqueseconvocasóloalosalumnosde la institucióneducativa. Por eso aconsejamosleer lasbasesatentamente.Sisedesea irmásalláquizáconvengaalgúntipodeasesoramiento.

Los trabajos presentados a los concursos seexponentodosdurantelaSemanaMatemática.

a . Concurso de carteles que anuncian la Semana Matemática .

Se debe invitar y animar a los docentes deEducaciónporelArteparaquetenganlaposibilidaddeañadirlocomoactividadensuprogramación.

El cartel ganador seestampará comoportadadeltrípticoque sehagapara anunciar las actividadesdelasemana.

b . ¡Yo sí sé!, un campeonato de matemática

Es un campeonato entre equipos de dos atresestudiantes.

Consiste en trabajar cinco o seis sesionesde problemas de matemáticas recreativas,y en conceder un tiempo para entregarlosresueltos.

Seestablecen tres premios: para el equipoconmáspuntos,parael equipo conmenospuntosperoquehayaparticipadoen todaslassesionesyparaelequipoquemássehayaesmeradoenlapresentación.

Se formaráun “ComitédeCompetición”enel que participará un grupo de estudiantesencargados de controlar los detalles, deprepararlassesiones,etc.Dichocomitéserácoordinadoporalgúnprofesordelárea.

En la sección de anuncios del Panel deMatemática se expondrán las clasificacionesde losequipos y las solucionesextraídasdelas respuestas presentadas por los equiposquecontenganmásoriginalidad.

Lasmodalidadesdeben ser adaptadas a cadaunode los diferentes niveles educativos, con quecuentalainstitución.

c . Trabajos para visitas pedagógicas

DurantelaSemanaMatemáticaseorganizarávisitasa lugares de interés científico y cultural en sitiospróximos a la institucióneducativa (porejemplo,alguna refinería, la planta industrial de algúnproducto,el serviciometereológico, losmuseos,elplanetario,etc).

Convocar yestimular a los interesadosenacudira la actividad, o convocar un cierto número deplazas (entre30y40,porejemplo,pensandoenunómnibusde tamaño intermedio,o tambiénenfunción del número de docentes que pudieran

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acompañarlos). Los que aspiren a alguna deesasplazasdeben realizar un trabajoen torno aalgunodelostemasqueselesproponganconunaextensiónmínimaprefijadayparapresentarlosenlafechaqueseindique.

Eltemasecentraráenasuntosrelacionadosconlaactividaddel lugarquesevayaavisitaroenalgúncientífico,acontecimientooideaqueseconsiderede interés. Tal vez algún tema de actualidadrelacionadoconlacienciaolatecnología.

Ejemplos:

ElSeñordeSipán.

“Si laTierraestuviesea1kmdelSol,¿aquédistanciadelSolestánlosdemásplanetas?

“Describe todos los elementos o hechosmatemáticos que observas en el trayectodesdetucasaatuinstitucióneducativa”.

“Elaboraun trabajo sobreel científicoAlbertEinstein cuyo centenario celebramos esteaño”.

2 . Revista

Se elaborará una revista aprovechando lasso luc iones de problemas que aportan losestudiantesparticipantesenel campeonato “Yo sísé”.Seincluiránlasrespuestasmásinteresantesyaseapor lapresentaciónopor laoriginalidadde lasolución.

Además, losprofesoresde la institucióneducativacolaboraránconartículoscortos,pasatiempos,etc.También seextraerán trabajos realizadospor losestudiantesdel tallerdematemáticas.Otra fuenteinteresanteconsisteen incluirartículosaparecidosen revistas,noticias,entrevistas a algúncientífico,etc.

Elnúmeroderevistasqueseediten,dependerádelosrecursosmaterialesyhumanoscon losquesecuente.

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3 . Talleres

El docente siempre encontrará estudiantes quehayan desarrol lado a lgún t ipo de habi l idadmatemáticaendeterminadasactividades.EsprecisoidentificarloseinvitarlosacompartirsutalentoconsuscompañerosenuntallerdurantelaSemanadeMatemática.Porejemplo:

a . Taller de origami

Conladebidaanticipaciónseinvitaalosestudiantesa participar de este taller. Se puede desarrollardurantedosdías conun total de cincohoras. Elgrupodeparticipantespuedelimitarseaveinte.

b . Taller de Palillos

Estetallerconsisteenlarecopilaciónycreacióndeun sinfínde juegosde trasfondomatemático conpalillos.Atravésdeellosdisfrutarándelaaventuramatemática que supone resolver mister ios,encontrar las claves matemáticas, enfrentarse aenigmas,almismotiempoquerepasanlageometríayelcálculo.

c . Taller de rompecabezas

En la SemanaMatemática sepuede trabajar conrompecabezas planos y espaciales. Para el lopueden elaborarse en madera, cartón, cartulinaplastificada,etc.

Los materiales elaborados podrían formularseen torno a la resolución de problemas: queel rompecabezas encierre un enigma para serresuelto, resolución de situaciones con sólidos(dados,prismas,pirámidescuriosas),etc.

d . Tómbola de problemas

D u r a n t e l a S e m a n a M a t e m á t i c a p o d r í aacondicionarse un aula con una exposición dematerialesmanipulativos,enlaqueademáspuedecolocarse una urna que contenga problemas dematemáticas recreativa, para que los visitanteslosenfrentendurante lavisitaose los lleveny losentreguenaldíasiguiente.


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4 .5 eSTRATeGiAS A niVeL LOCAL O ReGiOnAL

Esdesumaimportanciaelapoyoquelacomunidadbrindaparael desarrollodel pensamiento lógicomatemáticodelosestudiantes.Porende,paraquesetomeconcienciadequelamatemáticaespartedenuestracultura.

e s t R a t e g i a s a n i v e l l o c a l o R e g i o n a l

Torneodejuegosmatemáticos

Eventosdeeducaciónmatemática

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Conestepropósito, se recomiendaque lasDRE,UGELuotras institucionesorganicenactividadescomolassiguientes:

el TOJUMAT

A fin de propiciar la participación de muchosestudiantesde laUGEL,esnecesariodifundir lasnormasycompromisosdelTorneodeMatemáticas.Para esto, laUGEL solicitará a los directores delas institucioneseducativasque losdifundanentrelosestudiantesyquelosexponganenelpaneldeMatemáticas.

A cont inuac ión se presentan las normas ycompromisosdelTorneodeMatemáticas.Éstashansido adecuadas sobre labasede las experienciassistematizadas del InstitutoVera yClavijo de lasIslasCanarias.

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TOJUMAT

TORNEO DE JUEGOS MATEMÁTICOS

normas generales y compromisos

1. Se trata de un TORNEO competiciónporqueloquecompiteserátuinteligencia,notufuerza.

2. Labasede laspruebas consisteen juegosrelacionadosconlamatemática.

3. Laspruebasseharánunavezalasemana.

4. El juego se explicará el mismo día de laprueba.Cuandoel juego seexpliqueparaserutilizadolasemanasiguiente,losequiposentrenarán a lo largo de la semana paraestar“enforma”eldíadelacompetencia.

5. ParaqueelequipoquedeconstituidoeldíadelTORNEO,bastaconqueestépresenteunodesusmiembros.

6. Puestoqueel tiempode competencia eslimitado, si un equipo se retrasa más decincominutos,perderá laprueba siemprequeelotroequipoestépresenteyésteseanotarálostrespuntosenjuego.

7. Losequiposque rivalizanen cadapruebase sortearáneldía anterioryno lo sabránhastaelmomentodeiniciarseeljuego.

8. Hay un COMITÉ DE COMPETICIÓN,cuyos miembros son designados por laUGEL. Este comité estará encargado deresolver los problemas que puedan ir

surgiendo. Ellos serán los árbitros de laspruebas. Si el equiponoestáde acuerdocon algo, lo comunicará por escrito ala Dirección de la UGEL que será quienresuelvatrasoiralaspartes.

9. S i un equipo no se presenta en dosocas iones, quedará e l iminado de lacompetencia.Enalgunoscasoslosequiposdeberán construir e l tablero con lasindicacionesquesedarán.Elequipoquesepresentesinél,perderáesaprueba.

10.Quedaprohibidodecir aotrosequipos lasolución de cualquiera de las actividadesquesepresentan.Siserompeestanorma,elequipoquedaráconceropuntosypodráseguirenelTorneo.

11.Los resultadosdecadapruebasepondránenelPaneldeMatemáticade laUGEL.Elqueganelaprueba,sumarátrespuntos.Siempatan,unpuntoparacadaequipo.

12.Se agradece a todos los jugadores suparticipación. Sin embargo, no debemosperder de vista que se trata de pasar unratoagradable,porloquenosepermitiránactitudesantideportivas.

13.Al finaldelTORNEOhabrásorpresasparalosparticipantesque jueguenen todas lasjornadasdecompetición.

e s t R a t e g i a s a n i v e l l o c a l o R e g i o n a l

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t o j u m at

EjemplosdeJuegosparaelTorneo:

1 . el zorro y las ovejas

Este juego, or ig inar io de las comunidadesandinas, empleademodopredominante formasgeométricas triangulares y cuadriláteras. En estejuegoseefectúandesplazamientossobrelosladosde los triángulos y cuadriláteros los cuales sedistribuyen talcomose indicaenelesquemaquesepresentaacontinuación:

Este juegopermite el desarrollode la capacidadde razonamiento y predicción de los jugadoresque intervienen, pues ambosdebendiseñar unaestrategiaadecuada,yaseapara“atraparalzorro”o para “comerse a las ovejas”, según el rol quedesempeñeneneljuego.

En“Elzorroylasovejas”,losniñosyniñasmarcanenelsuelouncuadrado(lapraderade lasovejas)y un triángulo (la gruta del zorro) y trazan ensu interior “caminos” horizontales, verticales ydiagonales. Ovejas y zorro pueden desplazarsede una intersección a otra contigua. El objetivodel zorroes comersea lasdiezovejas (siguiendoreglas semejantes a las del juegodedamas). Lasovejas no se pueden comer al zorro, pero sípueden acorralarlo e inmovilizarlo, u ocupar sugrutay“desalojarlo”.

Las ovejas só lo pueden avanzar en formahorizontal, vertical y diagonal. El zorro puedeavanzaryretrocederen formahorizontal,verticalydiagonal.

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Torneo de Juegos Matemáticos

El Zorro y las Ovejas

normas para el Desarrollo de la Prueba en el Torneo de Juegos Matemáticos

1. Sejuegantrespartidas.

2. Participandosequipos.

3. Encadapartidajuegaunrepresentantedecadaequipo.

4. Sedisponedetresminutoscomomáximoparacadajugada,loscualesseráncontroladosporelotroequipo.

5. Alfinaldecadapartidaseanotan10puntosparaelequipocuyorepresentanteganelapartida.

6. Ganalapruebaelequipoqueobtuvo20puntosomás.

t o j u m at

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t o j u m at

2 . Buscando números Alegres

Estejuegoconsisteenelegirunnúmeroalazaryenrealizarunprocesorepetitivoapartirdeél,segúnuncriterioque seexplicará a continuación con2ejemplos. Si el resultado final de lasoperacionesefectuadas sucesivamente da como resultado elnumero1, se considera que el númeroelegidoal principio es un “número alegre”. Esta pruebala ganaráel equipoqueencuentremásnúmerosalegresentre1y100(inclusive).Acontinuaciónseexplicaelprocedimientoconlosnúmeros7y5.

¿Seráel5unnúmeroalegre?Vamosa repetir el proceso anterior, estavez aplicado al 5, escribiendo losresultadosuno trasotropara ver sisellegaal1:

5alcuadrado=25

4+25=29

4+81=85

64+25=89

64+81=145

1+16+25=42

16+4=20

4

16

1+36=37

9+49=58

¿qué ha pasado?

Quenohacefaltaquesigamosporqueel58 yel 85 (queestámás arriba), tienenlos mismos dígitos y, por tanto, nuncallegaremos al 1 pues si continuamos elproceso,empezaremosadarvueltasconlosmismosnúmeros.

Conclusión:el5noesunnúmeroalegre.

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Conel 7: Si se parte del número7,entonceséstedeberáelevarse alcuadrado.Elnúmeroresultantees49yenseguidacadadígitodelresultado,el4yel9,seelevaalcuadrado.Estavez las resultantes son 16 y 81,respectivamente. Luego, estos dosnúmeros se suman y así se repitereiteradamenteelproceso:

16+81=97

81+49=130

1+9=10

Al elevar al cuadrado las cifras de10,el resultadoes1 ¡aquí acabaelproceso!

Por lo tanto, si en algúnmomentodeesteproceso se llega al número1, entonces el númerodepartida,enestecasoel7,sedicequeesunnúmeroalegre.

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La Prueba en un TOJUMAT

BUSCANDO NÚMEROS ALEGRES

Consisteen:

Buscar la mayor cantidad de “números Alegres” entre 1 y 100 (inclusive) .

1. Tienen15minutosparaintentarlo

2. Silosdosequiposlosdeducentodos,ganaráelquelohagaprimero.

3. Al acabar la prueba, entregar las hojas con cálculos a algúnmiembrodelComitédeCompetencia.Noolvidarponerelnombredelequipo.

Clasificación final

t o j u m at

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t o j u m at

eventos de educación Matemática

Es recomendable que lasUGEL, conjuntamentecon l a s in s t i tuc iones educa t i vas , con losgobiernos locales y con todas las institucionesde la sociedad c iv i l comprometidas con eldesarrollo de las potencialidades matemáticasde la comunidad local y en coordinación con laDirección Regional correspondiente, impulsenmediante alianzas estratégicas, la organizacióny desarrollo de actividades locales, regionales omacroregionales que generen espacios para laactualizaciónsistemáticade losdocentes.Atravésdeestosespaciossepuedereflexionar,sepuedenintercambiarexperienciasinnovadorasyresultadosde investigaciones relacionadas con la educaciónmatemática, y también ampliaroprofundizar lospropios conocimientos. Estas actividadespuedenserseminarios,talleres,mesasredondas,ciclosdeconferencias,congresos;ynoestádemásrecordarquedeberánserplanificadoscuidadosamenteparagarantizarsubuenacalidad.

asPEctos tEóricos Prácticos sobrE El EnfoquE Problémico

V

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¿qué Es un ProblEma?

Con propósitos operativos, en la propuesta“Matemát ica para la V ida”, entendemospor problema a una situación signif icativade contenido matemático que implica unadificultad,cuyasoluciónrequieredeunprocesode reflexión, búsquedadeestrategias y tomadedecisiones.

¿qué Es rEsolvEr un ProblEma matEmático?

De modo general, podemos decir queresolverunproblemaes:

Encontrar un camino allí dondenose conocía previamente caminoalguno.

Encontrar la formade salir de unadificultad.

Hal lar la forma de superar unobstáculo.

Lograr lo que uno se propone,utilizandolosmediosadecuados.

En términos específ icos, resolver unproblema matemát ico qu iere dec i rencontrar una solución de contenidomatemático, a través de unprocesodereflexiónytomadedecisiones.

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a s P e c t o s t e ó R i c o s y P R á c t i c o s s o b R e e l e n f o q u e P R o b l é m i c o

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b . Clases de Problemas Matemáticos

En la literaturapropiadeeducaciónmatemática,existen numerosas clasificaciones de problemas,tantoenfuncióndelaestructuradelenunciadodelosproblemasydelcontenidodelosmismos,comodeltipodeoperacionesyprocesosnecesariospararesolverlos.

Asíporejemplo,Polyadiferenciaentreproblemasde demostración y problemas de construcción,

b.1 ProblemasTipo

b.2 ProblemasHeurísticos

b.3 ProblemasconContextoReal

b.4 ProblemasRompecabezas

b.5 ProblemasdeDemostración

a . Resolución de Problemas y Aprendizajes esperados en Matemática

Es de suma importancia tener en cuenta que laresolucióndeproblemasnoesuntemaespecífico,nitampocounapartediferenciadadelcurrículodeMatemática.

La resolución de problemas es un proceso quedebe:

Impregnaríntegramenteelcurrículo.

Proporcionar el contexto que posibilite ellogrode los aprendizajesesperados, lo cualimplica tanto la construccióny aplicacióndeconceptos y procedimientos matemáticoscomo e l desarro l lo de capac idades yactitudes.

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Por razonesmetodológicas,en lapropuestadistinguimoslassiguientesclasesdeproblemas:

La resolucióndeproblemas concebida comounproceso ha de constituirse en uno de los ejesvertebradores alrededor del cual se organiza elaprendizajeyenseñanzaeneláreadematemática.

En “Matemática para la Vida”, es a través de laresolución de problemas que el estudianteconstru irá nuevos conceptos matemát icos,descubrirá relacionesentreobjetosmatemáticos,elaborará procedimientos y también los aplicaráen situacionesdiversasde su realidad individual ysocial.

segúnel carácterde las tareasque se tienenqueejecutar.Realizar lademostracióndeuna fórmulamatemáticapodríaserunejemplodelprimertipodeproblema,mientrasquetrazarunabisectriz,esunejemplodeproblemadeconstrucción.Enotrostrabajos, se distinguen entre “problemas tipo” y“problemasheurísticos”.


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b .1 Problemas Tipo

Los“problemastipo”sonaquellosencuyoenunciadoestáimplícitamenteexpresadalaoperaciónquetienequerealizarelestudianteparaobtenerlarespuestadelproblema.

EntrelosproblemastipousualessehaidentificadolosProblemasAritméticosdeEnunciadoVerbal.

b.1.1 Problemasaditivos

b.1.2 Problemasmultiplicativos

Estaclasedeproblemasdeenunciadoverbal,asuvez,sesubdividenenotrastrescategorías: i. ProblemasdeCombinación

ii. ProblemasdeCambio

iii. ProblemasdeComparación-Igualación

Problemas Aritméticos de enunciado Verbal (PAeV)

LosPAEV son losprimerosquegeneralmente seplanteanalosestudianteseneláreadeMatemática.Alconstituir laresolucióndelproblemalaprimeraactividadconlaqueseencuentranlosniñosensuvida escolar, debeponerse toda la atención y elcuidadoquemerececualquierprimerpasoenunnuevocampodeactividad.

La resolución de problemas ar i tmét icos deenunciadoverbal tienequever convariosde los

Entrelosproblemasaritméticosdeenunciadoverbal se puedendiscriminar dos clases deproblemas:

b .1 .1 Problemas Aditivos de enunciado Verbal

Losproblemas aditivos de enunciado verbal son aquellos cuya solución se halla aplicandounaomásoperacionesdeadicióny/osustracción,queimplícitamenteseindicanenelenunciadodelproblema.

aprendizajes esperados de Matemática, de losnivelesdeEducaciónInicial,PrimariaySecundaria.

EnlosPAEVestáimplícitalaoperaciónoelconjuntodeoperaciones aritméticas quehayque realizarparaencontrar lasolucióndelproblema.Esdecir,en los enunciados de esta clase de problemasse sugiere qué operaciones aritméticas hay querealizarparallegaralarespuesta.


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i . Problemas de Combinación6

Son aquellos en cuyo enunciado se describeuna relación entre conjuntos que responden ala estructura parte-parte-todo. La pregunta delproblemapuedeversar acercadel todooacercadeunadelaspartes.

Enelprimercaso,laspartesconstituiránlosdatos(D)delproblemayeltodoserálaincógnita(I).Enel segundocaso,encambio,el todoyunade laspartesconstituiránlosdatosdelproblemamientrasquelaotraparteserálaincógnita.Enestecontexto,según laoperaciónde adicióno sustracciónquese requierautilizarpara resolverel problemadecombinaciónsegenerandosposibilidades:

Cabemencionarquenoexisteunaterceraclasedeestructura‹I,D,D›deproblemasdecombinaciónpuestoquelaspartessonintercambiables.

Estructuradelosproblemasaditivosdecombinación

En estos dos problemas la re lac ión entrelas proposiciones está dada a través de lossustantivos “varones”, “mujeres” y “personas”,cuyos significadosmantienen las relacionesparte-parte-todoque caracterizan a los problemas decombinación.

6.PUIG,LuisyCERDÁNFernando.Problemasaritméticosescolares.EditorialSíntesis.Madrid,España,1988;p.101.


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ii . Problemas de Cambio7

Sonaquellosproblemasencuyoenunciadoestánestablecidas relaciones lógicas aditivas en unasecuencia temporalde sucesos.Enconsecuencia,en esta clase de problemas es posible distinguirtres momentos diferentes relacionados con elhechodecómounacantidad inicialessometidaaunaacciónquelamodifica.

Lastrescantidadesqueaparecenenlosenunciadosdeesta clasedeproblemas reciben losnombresdecantidad inicial, final ydecambio.Lapreguntadelproblemapuedeversar acercade la cantidadinicial,finalodecambio.

Así, dos de las tres cantidades deben estarcontenidasen la parte informativadel enunciadodel problema, es decir, sondatos,mientras quela restante es el objeto de la pregunta.Deestamanera generamos tres clases diferentes deproblemasdecambio.

Si además consideramos la posibilidaddeque laacción aque se somete la cantidad inicial puedeaumentar o disminuir a esta, entonces estamosfrenteaseisdiferentesproblemasdecambio.

Acontinuaciónpresentamosel cuadroconstruidoporPuigEspinozayCerdánPérez:

Estructuradelosproblemasaditivosdecambio

7.PUIG,LuisyCERDÁN,Fernando.Op.cit.pág.99-100.


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iii . Problemas de Comparación-igualación8

Sonaquellosproblemasencuyosenunciadossepresentanrelacionesdecomparaciónentredoscantidades.Estascantidadessedenominancantidadesdereferencia,cantidadcomparadaydediferencia.Lacantidadcomparadaaparecealaizquierdadelaexpresión“másque”,“menosque”,“tantocomo”ylacantidaddereferenciaasuderecha.Puestoquecualquieradelastrescantidadespuedeserobjetodepregunta,ydadoqueelsentidodelacomparaciónpuedeestablecerseenmás,enmenos,oentantoscomo,elnúmerodetiposposiblesdeproblemasdecomparaciónesseis.

Losproblemasdecomparación3y6requierendelusodelaoperacióndelaadiciónparasuresolución,mientrasquelosdemásseresuelvenconunaresta.

Parafacilitarlalecturadelatabladeejemploscanónicos,lacantidaddereferenciaessiempreladeSamuely la comparada, la deKusi; además usaremos las letras a, b y c para representar a las cantidades dereferencia,comparadaydiferencia,respectivamente.Estructuradelosproblemasaditivosdecomparación-igualación

8.PUIG,LuisyCERDÁN,Fernando.Op.cit.pág.102-103.


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b .1 .2 Problemas Multiplicativos de enunciado Verbal

Losproblemasmultiplicativosdeenunciadoverbal sonaquellos cuya solución seobtieneaplicandounaomásoperaciones demultiplicación y/o división, que implícitamente se indican en el enunciadodelproblema.

Adiferenciade losproblemasaditivosdeenunciadoverbal,elestadoactualde losconocimientos sobrelosproblemasmultiplicativoses aún incipiente.Eneste sentido,no sedispone, como resultadode lasinvestigacionesrealizadas,deuncuadrotancompletoy,hastaciertopunto,cerradocomoenelcasodelosproblemasaditivos;másbien,seestáenlafasedeestablecerhipótesis,realizarinvestigacionespuntualesycomenzaraacumularresultados.

A continuación se presentan ejemplos que ilustran el tratamiento clasificatorio de los problemasmultiplicativosdeenunciadoverbal,hastalafecha,mejorlogrado.

Consideramos lassiguientescuatroclasesdeproblemasmultiplicativos: Prob lemas de i somor f i smo de

medidas.

Problemasdeescalaresgrandes.

Problemasdeescalarespequeños.

Problemasdeproductocartesiano.

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Acontinuaciónpresentamosl a d e s c r i p c i ó n g e n e r a lde estas cuatro clases deproblemasmultiplicativosdeenunciadoverbal:

Losejemplosquesepresentanacontinuaciónilustranlosdiferentestiposdeproblemasmultiplicativosmásconocidos.


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b .2 Problemas Heurísticos

Leamos y ana l icemos e l enunciado de losproblemassiguientes:

1. RobertodebepagarS/.25porunachompa.¿De cuántas maneras puede pagar si sólotienemonedasde1 y 5nuevos soles y unbilletede10nuevossoles?

2. Unorganizadordecompetenciasdeportivasencargó aun joyero la acuñacióndenuevemedallasdeorode24quilatesparapremiara los deport i s tas sobresa l ientes de latemporada.Cadamedalla deberíapesar18gramosexactamente.

Sin embargo, cuando verificó el peso delas monedas, descubrió que ocho de ellas

pesaban18 gramos, y una de ellas pesabaun gramo menos. Aprovechando estacircunstancia,elpromotordeportivoplanteóelproblemaasuhijo.

Presentóalchicolasnuevemedallasdeoroyleadvirtióqueunadeellaspesabaungramomenos y le pidió que con la ayuda de unabalanzadeprecisióndedosplatillos,deberíadeterminar cuál era la moneda que pesamenos.Unacondiciónnecesariaesque,ensolodospesadas,debe identificar lamedallademenorpeso.

Los problemas en cuyo enunciado no se sugiere implícitamente el procedimiento a aplicar, incidiéndose más en la búsqueda de una estrategia para encontrar la solución,

se denominan problemas heurísticos.

Enningunodelosenunciadosdelosproblemasanterioreshayexpresionesquesugieranelprocedimientoautilizarpararesolverelproblemaplanteado.Encadacaso,esnecesariopensarybuscarunaestrategiaquepermitaencontrarunarespuesta.

Unasubclasedeproblemasheurísticosloconstituyenlosdenominadosproblemasdegeneralizaciónlineal.


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Problemas de Generalización Lineal [PGL]

Los problemas de general ización l ineal sonaquellosproblemasquetratandeuntipoparticularde sucesiones aritméticas simples, cuyo términogeneral es de la forma f(n) = an + b, con a ybnúmerosenteros talesque a 0, b 0, a>0 y a+b>0 (bpuede ser unnúmeroenteronegativo).

El problema consiste en lo siguiente: dados losprimeros términosdeuna sucesión f(1), f(2), f(3)...encontrar términos relacionadoscon tres tiposdecuestiones:

a. Cuestiones introductorias:Sepidealalumnoqueencuentreel númeroque correspondealtérmino:f(4)óf(5).

b. Cuestión de generalización próxima: Sepidealalumnoelnúmerodeuntérminoquepuedecalcularlomedianteunprocedimientoderecuentodirecto,comof(8)óf(10).

c. Cuestión de generalización lejana:Sesolicitaal alumnoelnúmeroquecorrespondeauntérminode la sucesióncuyocálculoesdifíciloresultacomplejoporunprocedimientoderecuentodirecto,comof(20)óf(100).

La expres ión genera l izac ión próx ima hacereferencia auna cuestiónquepuede ser resueltamediante un recuento directo sobre un dibujoconstruido para el efecto o mediante extensiónde la sucesión numérica correspondiente; eltérmino generalización lejana, hace referencia aunacuestiónquenosepuedeabordaroesdifícildehacerporprocedimientospasoapasodescritospor la general ización próxima, y requiere labúsquedadeunaexpresiónofórmulamatemática.

Ejemplo:

Usando palitos, podemos construir escalerasde diferentes tamaños: en la construcción de laescalera con 2 peldaños (tamaño 1) usamos 8palitos y en la construcciónde la escalera con3peldaños(tamaño2)usamos11palitos.

a. ¿Cuántos palitos necesitaré para construirunaescalerade lamisma claseque tenga5peldaños?

b. ¿Cuántos palitos necesitaré para construirunaescalerade lamismaclasequetenga10peldaños?

c. ¿Cuántos palitos necesitaré para construirunaescalerade lamismaclasequetenga20peldaños?

d. ¿Cuántos palitos necesitaré para construirunaescaleradelamismaclasequetenga100peldaños?


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b .3 Problemas en Contexto Real

Enuna famosaobra9 delmatemático rusoYakovPerelman seplantea el siguienteproblema: ¿Porqué el eje delanterode una carreta se desgastamásysecalientaconmayorfrecuenciaqueelejetrasero?La soluciónpropuestadeesteproblemaporPerelman se inicia con la siguiente frase: «Detodoses conocidoqueeldiámetrode las ruedasdelanterasesmenorqueeldelastraseras...».Estainformaciónresulta importanteparadarrespuestaalapreguntaformulada.

Elmatemático españolMiguel deGuzmán10, enuna de susobras plantea el siguiente problema:«Entregaacualquieradelospresentesunjuegodecincodadosnormalesypídelequeloscoloqueenformadetorre,enelordenquequiera,sinquesepuedaver cómo lohace,dejandoporejemplo lacaradel3enlapartesuperior.

Echandounarápidamirada:“Lasumadelospuntosdelascarasqueestánocultases32”.Yresultaqueasíes.

Resultaasombrosoparacasitodoelmundo.¿Cómosepuedeencontrarelresultado?Generalmentelagenteno sabeque tradicionalmente losdados sehacendeunformamuyespecial.Lacaradel1esparalelaa ladel6, ladel2a ladel5, ladel3a ladel 4, esdecir carasopuestas suman siempre7.Para quien lo conoce, el truco resultaobvio. Lasumade todas las caras horizontales es siempre35.Siseveun3enlapartesuperioresclaroquelascarasocultassuman32»11

En laresolucióndeesteproblema, la informaciónrelacionada“lasumadelascarasopuestasdeldadoessiempre7”resultaimprescindible.

Deestemodo, vemosquepara la resolucióndedeterminadosproblemas,elmanejodeinformacióndeciertosdatosnoexplícitosjuegaunroldeprimerorden,en lamedidaquesindicha informaciónescasiimposibleresolverelproblema.

Los problemas, para cuyas soluciones se requieren de un cierto conocimiento de la situación real que se alude en el problema, se suele denominar Problemas en Contexto

Real.

9.PERELMAN,Y.Matemáticasrecreativas,Madrid,MartínezRoca,1968.

10.DEGUZMÁN,Miguel.Parapensarmejor.Madrid,EdicionesPirámide,S.A.,1995.

11.DEGUZMÁN,Miguel.Op.Cit.pág.228.


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Problemas Derivados de Proyectos

Analicemos y caractericemos los enunciados deestassituacionesproblemas:

1. Los alumnos de sexto grado de educaciónprimariadeunaescuelaruralquierenviajaralaciudaddelCuzco.

¿Quépresupuestonecesitan?

2. Los miembros de una comunidad andinadecidieronconstruirunsalóncomunal.

¿Cuántodineronecesitan?

En la vida diaria, nosotros nos enfrentamosfrecuentemente a una ser ie de s i tuac ionesproblemáticas, cuya solución requiere de unaplanificación,precisiónyanálisisdealternativasdesolución,utilizandolaMatemática.Talessituaciones,corresponden a lo que convencionalmente seidentificacomoproyectos.

Una situación problemática, cuya solución requiere como condición

previa su formulación, se suele llamar Problema Derivado de Proyecto. En este sentido, un Problema Derivado de Proyecto es aquél que se genera en la formulación de un proyecto a ejecutarse en una situación real.

Los proyectos derivados de proyectos son unasub-clasedelosproyectosencontextoreal.

Al respecto, es importante tener en cuenta lareflexióndeMiguelDeGuzmán12:“Elconocimientodeloscontenidosenqueseencuadraunproblemaes extraordinar iamente importante para susolución.Nosepuedepensarqueelconocimientode estrategias generales de pensamiento, porsofisticadoque sea,puede suplirel conocimientopuntualdelcampoconcreto”.

Ejemplos:

Hay varios gatos en el patio.Cada unodeellos veaotros tres. ¿Cuántosgatoshayenelpatio?

María tiene cinco hijos varones. Cada hijodeMaría tieneunahermana. ¿CuántoshijostieneMaría?

Tengotresperrosycuatrogallinas. ¿Cuántaspatasdeestosanimaleshayentotal?

Cuento 10 patas de perros y gal l inas.¿Cuántosperrosygallinashay?

En un corral hay conejos y gall inas. Hay11 animales. Entre todos tienen 32 patas.¿Cuántosconejosycuántasgallinashay?

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12.Ibicem.,pág.237-238.


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b .4 Problemas Rompecabezas

Estaclasedeproblemaspuedeplantearseaniñosyniñasdesdeinicial.

1. Armalafiguraconlaspiezasdadas.

2. Enlafigura,¿cuántosrectánguloshay?

3. Eltriángulomágico:Colocalosnúmeros1,2,3,4,5,y6enloscírculosdelafigurademodoquelasumaencadaladosea10.

Problemas rompecabezas son aquellos cuya solución se encuentra por ensayo y error.


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b .5 Problemas de Demostración

AnalicemosunaposibledemostracióndelteoremadePitágoras.

Dentro del estudio de las figuras semejantes,el teorema de Pitágoras puede deducirse de larelaciónentre las áreasde triángulos semejantes,unavezquesehaestablecidoque la razónentrelasáreasdefigurassemejanteseselcuadradodelarazóndesemejanza:

Los problemas de demostración son aquellos cuya solución se obtiene utilizando la deducción, a partir de otras proposiciones; el método inductivo, el método de reducción al

absurdo, o mediante la presentación de un contraejemplo.


90

¿qué clase de problemas se recomienda que resuelvan los estudiantes?

EnelenfoquedeMatemáticaparalaVida,todoslosestudiantes,alconcluirlaEducaciónBásica,debensercapacesderesolvercualquierproblemaaritméticodetipoaditivoomultiplicativodeenunciadoverbal;deallíquesehadetenerespecialcuidadoenbrindarleslaoportunidaddeaprendizajeparaello.

EnlosnivelesInicial,PrimariaySecundarialosproblemasaplantearhandeserprioritariamenteencontextoreal,heurísticosyderivadosdeproyectos.

Losproblemasdedemostración se reservanparael nivel deSecundaria. En funciónde los intereses ynecesidadesde losestudiantes, sepropondránproblemas rompecabezasdesdeel nivel de Inicial hastaSecundaria.

¿Cómo resolver un problema?

Para resolverunproblema,es importantehacernotar a losestudiantesquedeben leer, comprendereinterpretarelproblema;diseñarunaestrategianovedosaoadoptarunayaconocidapararesolverlo;ejecutarlaestrategiaelegida;interpretarlosresultadosqueobtieneycomprobarestosresultadosconsiderandolosdatosyla(s)pregunta(s)planteadas.

Talesfasesserepresentanenelsiguientediagrama:


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Comprensión del problema

Paraellolosestudiantesdebensaberleer,esdecircomprender loque leen.Luego, la tareaconsisteen: identificar la pregunta, las condiciones delproblema y efectuar representaciones gráficaso diagramas, lo que permitirá idear un plan oestrategiadesolución.

Diseño o adaptación de una estrategia de solución

En esta fase, los estudiantes deben establecerconexiónentredatos,condicionesyrequerimientosdelproblema;estopermitiráplantearecuacionesyproponerestrategiasdesolucióncomo:

Efectuarunaomásoperacionesaritméticas.

Organizarlainformaciónenunatabla.

Buscarpatrones.

Inducirlaaplicacióndefórmulas.

ejecución del plan o estrategia

Enesta fase, el estudiante llevará a caboel plano estrategia elegida, verificando paso a paso elproceso que sigue y efectuará los cálculos quefuesenecesario.

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Retrospección y verificación

En esta fase, los alumnos deben comprobar yanalizar el resultadoobtenido.Estemomentoesun excelente ejercicio de aprendizaje que sirveparadetectar y corregirerrores.Como formadeverificación deben buscar diferentes formas desolución, así comoestablecer la coherenciade larespuesta con las condiciones del problema. Laretrospecciónpermitequeelalumnorevisecómopensóinicialmente,cómoencaminóunaestrategia,cómoefectuó loscálculos;en fin, todoel caminorecorridoparaobtener la solución.Esteproceso,es un excelente ejercicio de aprendizaje y sirveparadetectarycorregirposibleserrores.

Comunicación de la solución en forma oral y escrita

Para apoyar a losestudiantesen la consolidacióndesusaprendizajes,debedárseles laoportunidadpara que compartan las soluciones con suscompañeros, de modo que todos se beneficiende la experiencia.Asimismo, se recomiendaqueanalicen el proceso seguido en la resolucióndel problema, examinando sus estrategias. Estopermitirádesarrollarsushabilidadescomunicativas,el usodel lenguajede lamatemática, reflexionarsobresuspropias ideasydesarrollar sucapacidadderazonamiento.


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Lasaccionesantes indicadas son importantesynecesariasperono son suficientes.Se requiereademásde la reflexión,eldesarrollodelpensamientocríticoycreativodelalumno,paraelloserecomiendaproponeralestudianteque:

Compruebe que la respuesta es posible y razonable . Porejemplo,unpesode22450gramosnopareceposibleparaalguienquetengasieteañosdeedad,tienemássentidodecirquepesa22,45kilogramos.

Cambie las condiciones del problema . En esta actividad, el docente y los estudiantesrealizancambiosenlascondicionespropuestasinicialmenteenelproblema,incrementandoladificultadyel requerimiento.Responder interrogantes como: ¿quéocurre si...? ¿y si ...?conduceaprocesosdepensamientomásprofundos.

extienda el problema .Luegodereflexionarsobrelasoluciónefectuada,seproponelanzaralgunashipótesiscomo:“entoncesquieredecirque....”,“engeneralsepuedeestablecerque....”.Estasextensionespuedenestimularalestudianteparaqueenuncieconceptos,deduzcafórmulasyestablezcageneralizaciones.

Formule problemas .Enestaetapa,elalumnodebetratardeformularproblemassimilaresa losque trabajaron, losquepodrán resolverutilizandoestrategias yprocedimientosqueemplearonenlasolucióndelproblemaoriginal.

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ExPEriEncias dE aPrEndizajE

Para niños y niñas dE Educación inicial y Educación Primaria

VI

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inTRODUCCiÓn

El presente capítulo presenta un conjunto deexperiencias de aprendizaje que permiten a losniños y niñas de los niveles deEducación Inicialy Primaria descubrir y cult ivar el desaf ío deenfrentarse a retos que les inviten a pensar yrazonar. Estas experiencias son atractivas parael los porque responden a las necesidades yexpectativasde losniñosyniñas,demaneraquelos impulsa a la indagación, a la originalidad einnovación,permitiendoquedesarrollenprocesosdepensamientomatemáticoporpropiainiciativa,yasumandemodoindependientelaresponsabilidaddelosresultadosqueobtienen.

Para ello se presentan una serie de recursosmateriales y de estrategias metodológicas quepermit i rán e l desarrol lo de habi l idades depensamiento lógico, reflexivo, crítico y creativo,puesenmuchasdeestashabilidades tendránquehacerusodeéstas al crear susmodelos,plantearsusestrategiasde cálculo,plantearestrategiasdejuego óptimas, argumentar sus propuestas desolución,asociarprocesoslógicosyplantearlosenunasituaciónnueva,entreotros.

Las experiencias de aprendizaje para EducaciónInicialpropuestassonlassiguientes:

Jugandoconlasnocionesespaciales

Los niños y las niñas juegan con números,funcionesyrelaciones

Jugandocontablasdedobleentrada

Jugamosyordenamos

Lo s n i ñ o s y l a s n i ñ a s j u e g a n c o ncuantificadores

Jugandoalatienda

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Las Experiencias deAprendizaje para EducaciónPrimariapropuestassonlassiguientes:

Organizamos el r incón del área lógicomatemáticaAprendemosconlasnoticiasLahoradenuestrosjuegosDominómatemáticoLoteríaTangramaElbancomatemáticoJugamosconlatiendaLacajadeacertijos

Todas e l l a s cons t i t uyen una her ramien tapedagógica valiosa pues nos posibilita clasificardesde esta óptica ciertos juegos y materiales, yreconocerlosen cuanto seutilizan como recursoocomomedio.

Las actividades puedendesarrollarse enparejas,en pequeños gruposo en grupode clase. Estasformas de organización y de trabajo brindan laoportunidad de intercambiar ideas y opinionesy desarrollan el compromiso de participación,fortaleciendoel aprendizaje constructivoy activo,asícomolareflexiónylacreatividadenequipo.

Lasexperienciasdeaprendizajepropuestaspuedenayudaralosiguiente:

a. Superarelrechazoquealgunosniñosyniñastienenhacialamatemática.

b. E n f r e n t a r y s o l u c i o n a r p r o b l e m a smatemáticos.

c. Favorecerloshábitosderazonamiento.

d. Estimularelpensamientocrítico.

e. Crearlabaseparaunaposteriorformalizacióndelosaprendizajesenmatemática.

Estas experiencias de aprendizaje propuestaspuedenservirtambiéncomoelementomotivadorquepermitacrearotrasexperienciasquerespondana las características culturalesdel contextode losniñosyniñasconlosquetrabajasyasusnivelesdedesarrollo.

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i n t R o d u c c i ó n

95

o R i e n t a c i o n e s g e n e R a l e s

el desarrollo de la curiosidad, la autonomía y la creatividad de los estudiantes

Esto suponeque las experiencias de aprendizajedeben propiciar que los estudiantes desarrollenprocesosdepensamientomatemáticoporpropiainiciativa, asumiendo de modo independiente laresponsabilidad de los resultados que obtienen.Todo ello a partir de actividades atractivas querespondana susnecesidadesyexpectativas, y losimpulsealaindagación,originalidadeinnovación.

el placer por el descubrimiento

Supone generar espacios de aprendizaje en losqueelestudianterealiceactividadesdeindagacióno investigación, preferentemente autónomaso mediante prácticas y tareas cuidadosamentegraduadas por el docente, que le permitansatisfacersucuriosidad,sentirelplacerdedescubriralgonuevoparaélycomprobarquefuncionanlasestrategias que ha creado o se comprueban lasconjeturasquehaelaborado.

el trabajo colaborativo

Significa que las experiencias de aprendizajequeseutilicendebenbrindaralosestudiantesespaciosparadesarrollaractividadesentrepares,yaseaquese organicen en pequeños grupos de trabajo oen grupo clase. Estas formas de organización yde trabajo permiten brindar a los estudiantes laoportunidadde intercambiar ideas yopiniones, yelcompromisodeparticipacióndentrodelequipodetrabajo.Estosespaciosfortalecenelaprendizajeconstructivoyactivo,asícomolareflexiónprofunda

ORienTACiOneS MeTODOLÓGiCAS

La construcción de aprendizajes significativos

Suponeasegurarque losnuevos aprendizajesdelos estudiantes se conecten en forma adecuadacon sus aprendizajes previos, al relacionarsesignificativamenteconloqueyaconocenoconsuposibleutilizaciónenlavidacotidiana.

el gusto por la actividad mental y el desafío

Las experiencias de aprendizaje handepermitirquesedesarrolleelgustoporlaactividadmentalyporeldesafío.Estosuponeayudaralosestudiantesaquedescubranycultiveneldesafíodeenfrentarsea retos que les demanden pensar o razonar. Esdecir,suponeproponerlessituacionesnovedosasydiferentesdelaquesevivenenunaulatradicional,es decir, que no se resuelven “a primera vista”o siguiendo una receta o un procedimientoprescrito.Setratadellevarlasacomprometerseconellosmismosocon sus compañerospara “buscaruna salida”,paracrear, adaptaro idearestrategiasparaencontraruna soluciónaldesafíoplanteado.Tales situacioneshande sermotivadoraspara losestudiantesypresentarunniveldeexigenciaqueseaalavezatractivo,desafianteyaccesibleparaellos.

Un clima democrático, de seguridad y confianza

Esfundamentalpermitir lageneracióndeespacioso ambientes donde se establezcan interaccionesentrelosestudiantes,yentreellosyeloladocente,sustentadasenel respetomutuo, laparticipaciónespontánea,elsentimientodeconfianza,laempatíaycomunicaciónpermanente.

96

importancia de las actividades lúdicas

En la propuesta “Matemát ica para la Vida”entendemos que el tratamiento lúdico de todaactividadde aprendizaje resulta indispensableenlosnivelesdeeducación inicial yprimaria apartirdelassiguientesconstataciones:

El juegoes la primera actividadnatural quedesarrollan niños y niñas, para aprender,desarrollando sus primeras habil idades ydestrezas. Es de esta manera como vaningresando al mundo de lo formal y de loabstracto.

Los juegospermitendinamizar losprocesosdepensamiento,puesgeneran interrogantesymotivanlabúsquedadesoluciones.

Además,presentandesafíos yestímulosqueincitan la puesta en marcha de procesosintelectuales. Losmatemáticosde todos lostiempos han reconocido esta condición.Leibniz (1646-1716), por ejemplo, quefueun granpromotorde la actividad lúdicaintelectual, decía en una carta de 1715:“Nuncasonloshombresmásingeniososqueenlainvencióndelosjuegos...Seríadeseableque se hiciese un curso entero de juegos,tratadosmatemáticamente”.

Los juegos estimulan la competencia sanay actitudes de tolerancia y convivencia quecreanunclimadeaprendizajefavorable.

Favorecenlacomprensión.

Faci l i tan la consolidación de contenidosmatemáticos.

Ejercitancapacidades.

Conectaneljuegoconlavidayelaprendizaje,y,deestemodo,vinculanmatemáticayvida.

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delainformaciónylacreatividadqueesteprocesoimplica.

Para que el trabajo colaborativo tenga éxito,debeasegurarsequeelgruposeorganice,que laestructura y tomadedecisiones seademocráticay participativa, que se delimiten y distribuyanfunciones y acepten responsabilidades, quehayaconducción, coordinación y liderazgo, que hayacomplementación humana interpersonal, que lacomunicaciónentrelosintegrantesdelequiposeafluida y transparente, que se tenga la capacidaddeaprovechar conflictos yoposiciones,quehayaespaciopara la atenciónpersonal, refuerzode laautoestimaybúsquedadelespíritudeequipo.

el uso de la tecnología

Suponeque las experiencias de aprendizaje quese desarrollen faciliten la utilización oportuna yadecuada del vídeo, la televisión, la calculadoray la computadora, así como la incorporaciónde las Tecnologías de la Información y de laComunicación (TIC), dadas sus potencialidadescomoherramientasenlosprocesosdeaprendizajeyenseñanzadelamatemática.

La importancia de las herramientas tecnológicaspara la educaciónmatemática está asociada a sucapacidadparaofrecermayorcantidadderecursospara la expresiónde ideasmatemáticas y formasinnovadoras de manipulación y aproximaciónsignificativa a los objetos matemáticos, pues loshacentangiblesyvisibles.

La literatura vigente relacionada con educaciónmatemática nos da el sustento necesario paraproponer experiencias basadas en la resolucióndeproblemasyenlosjuegos,desdeelnivelinicialhastalasecundaria.

o R i e n t a c i o n e s g e n e R a l e s

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eXPeRienCiAS De APRenDizAJe

Lasexperienciasdeaprendizajesontodasaquellassituaciones, acciones y vivencias quedan al niñola oportunidad de desarrol lar capacidades yhabilidades.Paraellotendránqueserexperienciasdesuinterés,esdecir,quetenganrelaciónconsucontextoysusconocimientosprevios.

Losejemplosdeexperienciasdeaprendizajequesepresentanenestedocumentoserefierenaalgunosaspectosimportantesquesedebentrabajarconelniñoylaniña.Sonaspectoscomoelconocimientode las propiedades de los objetos, relaciones,cuantificadores, seriación, clasificaciones, etc. Através de ellos se pueden plantear actividadesdiferentes a f in de promover en el niño y laniña el desarrollo de capacidades matemáticas.Además, sedeberáconsiderar como fundamentalenelmomentode la programación curricular laincorporaciónde elementos pertinentes al nivelmadurativodelniñoyniñaydesucontextosocioculturalylingüístico.

Es importante también recordar quetodas estas experiencias requieren unaorganización adecuadadel espacio, unusoadecuadodemateriales y de lamediaciónadecuadadeladulto.

e x P e R i e n c i a s d e a P R e n d i z a j e

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6 .1 eXPeRienCiAS De APRenDizAJe De eDUCACiÓn iniCiAL

1. jugando con las nocionEs EsPacialEs

A través de esta experiencia los niños y niñasrelacionan objetos según su ubicación en elespacio. Por ello, tenien como referente a supropio cuerpo yotrospuntosde referencia.Deesta manera interiorizan nociones espaciales:dentro de, fuera de, arriba, debajo de, delante,atrás, cercade, lejosde, aun lado, alotro lado,a la izquierda, a la derecha, etc, que permitendesarrollar laorientaciónenelespacio,quees labaseparafuturosaprendizajesrelacionadosconlamatemática, con la comunicación, con lo social yafectivo.

El sentidodeorientaciónen losniños yniñasesutilizadoenlavidacotidiana.Paradesplazarsehaciaunlugardeterminado,paraubicarunadirecciónenunmapa,etc.Enprimaria también seutilizaparala lecturayescritura.Porejemplo, cuando se leeuntextosehacedeizquierdaaderecha,deabajohaciaarribaydearribahaciaabajo,hayletrasaltasyletrasbajas,etc.

Moviéndonos en el espacio

e x P e R i e n c i a s d e a P R e n d i z a j e d e e d u c a c i ó n i n i c i a l

¿qué aprenden los niños y las niñas?

Identifican las nociones espaciales(arriba,abajo,cercade,lejosde,alladode,delantede, atrás, yotrasmás).

Utilizan los términosmatemáticosadecuados al vivenciar lasdiversasnocionesespaciales.

Representanlasnocionesespacialesanivelverbal,gráfico,plástico,etc.

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Secuencia Didáctica

Vivencia Corporal

Demanera lúdicayespontánea losniños sedesplazanporel espacio: arrastrándoseporel suelo, saltando, rodando, corriendo,etc,individualygrupalmente.

Mientrasjuegan,ayúdalesaverbalizarenquéposición se encuentra su cuerpo y cuálesson las partes de éste. De esta manera sepromueve que los niños también puedantomarconcienciadelaposicióndesucuerpoenelespacio.

Si esnecesarioproponles juegos como “lasestatuas”, las chapadas, u otros más en lasqueseprioriceelmovimiento.

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Trabajo con material concreto

Dales materiales grandes o pequeños paraqueexplorencontodosucuerpo.Puedensercajas,telas,costales,muñecos,pelotas,etc.

Si lesofrecespelotas,dejaque jueguenconellas libremente.Pídelesquelasmuevancondiferentespartesdelcuerpo,quelosponganendiferentesposicionesen relación con sucuerpoyeldesuscompañeros.

Realizapreguntasabiertas:¿conquépartedenuestro cuerpopodemosmover la pelota?,¿de qué otras formas podemos moverla?,¿cómocaminaríamosconlapelotaennuestrocuerpo?, ¿enquépartesdenuestro cuerpopodemosponerlapelota?,etc.

Acoge las propuestas de juego y ayúdalos aidentificarlanociónespacial.Diles,porejemplo:“veoquetieneslapelotaentretusdospiernas”,“asíque lapelota lahaspuestodetrásde ti”,“estáslanzandolapelotabienarriba”,“lapelotalaestáspateandomuylejosdeti”,etc.

Luego,dales algunas consignas grupalesquerefieran a las nocionesespacialesqueestántrabajando.Dalesoportunidadparaque losniños den consignas también. Por ejemplo:lanzamos la pelota hacia adelante, nossentamossobrelapelota,etc.

Representación

Enestemomentopromueveeldiálogosobreel juegoqueserealizó.Destaca lasnocionesespaciales, sin ser repetitivo. Por ejemplo,conversaengruposobreeljuegoquejugaron,cómo semovieron, cuál fue la posicióndelobjetoenrelaciónasucuerpo,sipusieronlapelotadelantedeellosodetrás,encimadesucabezaodebajodesuspies,etc.

Al final les puedes ofrecer materiales paraque representen lo que jugaron: hoja paradibujar, arcilla para modelar, bloques paraconstruir, etc.Evitadirigir yproponer sobresusrepresentaciones.

Viajando por el mar / río


¿qué aprenden los niños y las niñas ?

Seubicandentroyfuera.

Ubicanobjetosdentroofuera,deacuerdoaconsignas.

Escuchanconatención.

Sostienen con fluidez y conargumentos sus puntos devista.

Expresan y comparten susexper ienc i a s de l a v idacotidiana.

Argumentansusideas.

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Vivencia Corporal

Sedanlassiguientesindicaciones:

Los niños y las niñas salen o entran de uncírculo dibujado en el piso (elaborado conlana,elástico,pabilo,etc.).

Se indica a losniñosque salganoentren alaula.Losniñosy lasniñastambiénparticipanenlasindicaciones.

100


Losniñosformangrupos.

Los integrantes de los grupos hacen depasajerosdeunbarcoviajaporelmar/río.

Elbarcoenelqueviajanesrepresentadoporuncírculograndedibujadoenelpiso (oporunagran liga, lanaopabilo).El círculodebeserlosuficientementegrandecomoparaquetodoslosniñossesientancómodosenél.

Además,se les indicaque loshula,hula,porejemplo,representanlanchassalvavidas.

Si se forman 4 grupos habrán dos lanchassalvavidas; si se forman 6 grupos habrán 3lanchas salvavidas. Además, habrá una isladondevayan todos losniñosqueno logransalvarseenlossalvavidas.

Todoslosniñosqueestánviajandodentrodelbarcodebenhacermovimientos simulandoestar enelmar (inclinanel cuerpopara unladoyparaelotrolado).

Súbitamente anuncias túounniñoelegido:”elbarconaufragó”.Todossalendelbarcoytratandeubicarsedentrodeunodeloshula,hula. Los niños y niñas que queden fuerade los salvavidas se van a la isla. Sehace lomismovariasveces.Eljuegoterminacuandoencadasalvavidasquedan4niños.

Al final cuentas cuantos niños de los quequedarondentrodel hula hula sonde cadagrupo. Gana el grupo que más integrantessalvódentrodeloshula,hula.

Representación

Los niños pueden representar el juegoa través de un dibujo donde se vea a laspersonasquequedarondentroyfueradeloshula,hula.

Variante: Entrega a los niños una hoja conel dibujodedos casas conpuertas grandesy abiertas. Cada niño debe recibir ademássiluetas objetos que deben ir dentro (sofá,ol la, cama, espejo etc.) y fuera (árbol,manguera, carro, etc.) de las casas. El niñoubica y pega dentrode la primera casa losobjetos que van dentro y alrededor de lasegundacasalosobjetosquevanfuera.

El niño argumenta sobre las observacionesrealizadas.


101

2. los niños y las niñas juEgan con númEros, funcionEs y rElacionEs

En esta experiencia de aprendizaje los niñosidentificancaracterísticasperceptualesyfuncionalesde forma. Se pueden realizar variaciones paratrabajar:color,tamaño,textura,espesor,estructurayuso.

Gracias al conocimientode las características delosobjetos,losniñospodránestablecerrelaciones,agrupaciones, etc. Estodará al niño y la niña, lanoción de número y cantidad. Es decir, podrándarse cuenta del orden y la equivalencia de losmismos. Así les resultará más sencil lo poderelaborarenelfuturo(primaria)sumasyrestas.

De igualmanera,elniñoy laniñadebenconocerelmundoque les rodea, y ser conciente de lascaracterísticasde susobjetos, de sus semejanzasy d i ferencias, dar les oportunidad para quepuedan observar las diferencias ayudará a quesupercepciónvisual sepueda ir perfeccionando.Porejemplo,elniñopodráayudaren laselecciónde semillas. Entonces se les preguntará ¿cuántasveces nos hemos sentado a separar el arroz?,¿separábamos losgranosmarronesonegroso laspiedritas de los granosde arrozblanco?Enestecaso se están utilizando las figuras geométricasparaqueelniñoseapropiedelmundoyobservelasdiferentes formas,colores,etc.,de losobjetosydescubra las funcionesde losmismos. ¿Nonoshace pensar en las diferentes formas que luegotendránlasletras?

De lamismamanera, al interactuar con losotroselniñosedarácuentadequedeberespetara losotros y trabajarenequipo, actitudque le serviráparatodalavida.


Vivencia Corporal

Muéstrales a losniños lasdiferentes formasgeométricas.

Losniñosintentanformarfigurasgeométricascon los segmentos gruesos y finos de sucuerpo.


Nombran objetos de diferenteforma.

Relacionanobjetoscon las formasgeométricas (cuadrado, círculo ytriángulo).

Cuentanobjetos.

Participan y fortalecen el trabajoenequipo.

Toman dec i s iones en formaconjunta.

Argumentansusideas.

Completan cuadros de dobleentrada.

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102

Daoportunidada losniñosyniñasparaquese agrupen varias veces. Todos los niñosformanunamismafigurademaneraconjuntaconsucuerpo.

Losniñosylasniñasreconocenensucuerpoalgunasformasgeométricas.

Dibuja con cinta, tiza, o en la arena, lasdiferentes figuras geométricas para que losniñoscaminensobreellas.

Losniñossobre la tierra, laarenaocon tizadibujanlasfigurasgeométricas.

Si se desea trabajar también los colores,los niños puedenobservar la ropade cadauno (la formayel colorde losbotones, losbolsillos,elpantalón,etc.).


Prepara grandes f i guras geométr i cas .Colócalas formandounacolumnaenelpisodel aulaodel patio; luego, con tiza, dibujaun cuadrodedoble entrada. Invita a cinconiñosparaquesecoloquenal iniciodecadacolumnaportandodiferentesobjetos.

Cada niño enseña el objeto que tiene enla mano. Por turnos, con tu ayuda y la desus compañeros, cada uno, va diciendo laformayvamarcandoconlatizaenelespaciocorrectodelcuadro:

Niño(a)

1

Niño(a)

2

Niño(a)

3

Niño(a)

4

Niño(a)

5

Prepara tar jetas con di ferentes f igurasgeomét r i c a s . Cada n i ño de maneraespontánea el ige una, luego la levantaante la indicaciónde ladocenteo lade suscompañerosycompañeras.

Losniños formangruposdeacuerdocon lafiguraentregada.

Cada grupo de niños sale al patio y buscalamayor cantidaddeobjetos con formadecuadrados,círculosytriángulos.Dalesalgunosejemplos: ventanas, casa aledaña, juegosdelpatio,puertas,letreros,avisos,estrado,etc.

Representación

Prepara una hoja con un cuadro de dobleentrada(puedestomarcomomodeloelquese propone líneas abajo). Pide a unniñooniña que las reparta. Por cada forma quevayanobservandoenelpatioanotanunpalitojuntoalaformacorrespondiente.

FORMAS CANTIDAD

Luego, puedes entregar otras hojas congráficos formadospor figuras geométricas yalladouncuadrodedobleentrada.Endichocuadro losniños trazaránunpalitopor cadafigurageométricarespectivaencontrada.


103

FORMAS CANTIDAD

I I I

I I I


Losniñosylasniñascuentanycomentansusexperienciasdebúsquedadefigurasgeométricas.

Los niños y las niñas realizan dibujos libres. Luego encuentran en sus dibujos y en los de suscompañeroslasfigurasgeométricas.

Losniños y lasniñas recortandiferentes figuras geométricasdepapel (uotromaterial) yelaborangráficospegandolospapeleselegidos.

Elaboracuadrosdedobleentradaparaque losniños transcriban la información.Porejemplo,enelsiguientecuadrolosniñosdebentrazarpalitosenloscasilleroscorrespondientesdeacuerdoconlasformasquecoinciden:

I I I I

I I I

I

Losniñoscompartensusrespuestasconrazonessobresueleccióndelasfigurasgeométricasquehanencontradoencadadibujo.

104

3 . Jugando con Tablas de Doble entrada

A través de esta experiencia de aprendizaje losniñosy lasniñas jueganaorganizar la informaciónentablasdedobleentrada.Establecenrelacionesycorrespondenciasentreloselementos.

Ellogrodeestosaprendizajespermitiráalosniñosorganizar y registrar hechos relacionados con suquehacercotidiano.Porejemplo,podránrelacionareltiempoconlastareasparalasiembra,eltiempocon las actividadesde laescuela, losobjetos conlas personas o solo los objetos, etc. Tambiéncuando registran su asistencia están ejercitandosu responsabilidad yutilizando cuadrosdedobleentrada.Y, al realizar investigaciones a travésdeencuestas y entrevistas, los niños consolidan lainformaciónendiferentes cuadros y códigosquelos inician en capacidades relacionadas con laestadística.

Javier ✔

Arón ✔

María ✔

Anita ✔


Usancuadrosdedobleentradaparaorganizarunasituación.

Identifican los elementos queconforman la tabla de dobleentrada.

Explican los criteriosqueestánincluidos en cada uno de losespacios correspondientes alcuadrodedobleentrada.

Comparan y descr iben l a sre l ac iones en te d i f e ren teselementos.

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Conversa con losniñosy lasniñas sobreuntemaenparticular.Puedesersobreunjuego,unacomida,oun juguetepreferidoo sobrelastareasqueserealizandentrodelaula,etc.Diles que para visualizar mejor lo que hanconversado les mostrará un cuadro. Ellospuedenayudaraprepararelcuadro.

Si han conversado sobre las tareasquehaydentro del aula, preparar una lista de ellasjunto con los niños y acordar quién seencargarádecadatarea.Porejemplo:limpiarlasmesas, repartir elmaterial, entregar losrefrigerios, recoger los materiales u otrasactividadesmás.

Preséntales un cuadro de doble entradagrandecon susnombresaun ladoyalotrolosdibujosde las tareasquedeben realizardentrodelaulasegúnloacordado.

Deja que cada niño o niña se acerque amarcar en el espacio que corresponda latareaquesehacomprometidoarealizar.

Revisa con todos el cuadro promoviendoque se establezcan relaciones: ¿quiénestuvieron tareas?, ¿qué tareasestán señaladasenel cuadro?, ¿aquién le correspondecadatarea?.

4 . Jugamos y Ordenamos

Losniños y las niñas juegan a compararobjetos.Identificanunaomáscaracterísticasdeestosy losordenansegúnunoomáscriterios.

La noción de secuencia les permitirá a los niñosy niñas relacionar objetos en la vida cotidiana,organizarlos segúncaracterísticas,buscar criterioscomunes.Porejemplo,quealcruzarlapistasesigueunasecuenciaparaelcuidadopersonal,primerosemiraalsemáforo,luegoaloscarrosydespuéslapistaparapodercruzar.Otroejemploeseldelasrutinasdiarias:unoprimeroselevanta, luegosecambiaderopa,tomalaleche,selavalosdientes,etc.


Comparanobjetossegúnunoomáscriterios.Identif ican la regla de unaserie(patrón).Organizanobjetosen series,segúnunaomáscualidades.D e s c r i b e n a t r i b u t o s opropiedadesdelosobjetos.

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Vivencia Corporal

Invita a losniños y a las niñas aque reconozcanlas partes de su cuerpo e ident i f iquen suscaracterísticas para que luego las comuniquen alosdemás yestablezcanotras relaciones con suscompañerosycompañeras.

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Si el criterio a trabajar es el “tamaño”, sepuedepreguntar: ¿sus brazos son del mismo tamaño?,¿cuáleseldedomáslargodelamanoycuálelmáscorto?,¿cómoesnuestrocabello?,¿quiénestienenelcabellomáscorto?,¿quiénesmásalto,quiénesmasbajo?,etc.


Ofrécelesdiversosmateriales:piedritas,conchitas,hojitassecas,semillas,bloques,ramas,cajasgrandesopequeñas,telasgrandesopequeñas,lápices,etc,que lespermitanestablecer comparacionesentreobjetos,segúnelcriterioqueseestátrabajando.

Dejaqueexplorendichosmateriales, reconozcancuáles son suspropiedades y losordenen segúnsuspropioscriterios.Aceptasuspropuestassobreelmaterial.

Puedes real izar preguntas que despierten lacuriosidadrespectoalascaracterísticasdelmaterial.¿Cómoes?,¿quétexturatiene?,¿quéformatiene?,¿quétamañotiene?,etc.

Al trabajar conpiedritas,pídelesque lasordenenlibrementeyque luegocomentenel criterioqueutilizaron.¿Cuálpusieronalinicioycuálalfinal?

Enunciaalgunasconsignasquerefuercenelcriterioque se trabaja. Por ejemplo: “Vamos a ordenarlaspiedrasde lamásgrandea lamáspequeña”otambién“Delamáslisaalamásáspera”,etc.

Representación

Propiciaquecomentenloquehanrealizado.Cómohanordenadoelmaterial, cuál es elmás grandey cuál el más pequeño etc. Destaca también elcriterioquehanutilizado.

Luegodejaquedibujenlibrementesobreunahojaoenlapizarrraeljuegoquerealizaron.

5 . Los niños y las niñas Juegan con Cuantificadores

En este caso los niños y las niñas relacionanlos objetos de una colección por medio decuantificadores: “uno”, “pocos”, “muchos”. Sepuedenrealizarvariacionesparatrabajar:“varios”.

Al igual queen las experiencias anteriores, sirvepara sentar las bases de la noción de númeroy cantidad. Podrá uti l izar estas nociones endiferentes situaciones y relaciones de la vidacotidiana.Almismo tiempo, se trabajael sentidodeequidad.¿Cómo?Eneltrabajocotidianoqueserealizadecorrespondenciaunoauno, acompañaeldescubrimientodelniñoen la relación con losotros.Esto,enuncasoespecíficoque sepuedenrepartir o dar las cosas de manera equitativa,unopara cadauno, y además,de las variacionesquepuedeexistir entreelmás y elmenos. ¿Noestaremos fortaleciendoel valorde la justicia enestoscasos?.



Comparancantidadesymencionadondehayuno,másymenos.

Reconocen cantidades con uno,muchosypocoselementos.

Fortaleceneltrabajoenequipo.

Toman dec i s iones en formaconjunta.

Opinan,participan y argumentansusideas.

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Vivencia Corporal

Todoslosniñosylasniñasenelpatiocorren,caminan rápido, lento, de acuerdo al ritmodelapanderetaquetocaladocenteoalgunodelosniñosodelasniñas.

Establecencorrespondenciasentrelosdedosdesumanoy losdedosdelasmanosdelosotros.Puedenusar losbrazosy lospies, losojosylasmanos,etc.

Cada cierto tiempo dales ciertas pautascomo: agrúpensede a dos, de a treso dea cinco. Pideopiniónparaotras formas deagrupación.

Establececonlosniñosyniñascomparacionesentre grupos donde hay más y donde haymenos.

Cadagruposeformaenunahileraunodetrásdeotro.Leponennombreasugrupoycontuayudacuentacuántosparticipanteshayencadauno.


Prepara con losniñosyniñas sombrerosdepapel y ayúdales aque seden cuentade lacorrespondencia:niño-sombrero.

Formaunafiladebotellasdeplástico.Colocaunobjeto(palito,bolita,lápiz,etc.)dentrodelabotella.Quelosniñosextraiganlosobjetosde las botellas y formen una fila con ellos.Esdecirdemaneraque lasbotellasquedenparalelasalosobjetos.Luegopregunta:“¿Haymás botellas o más objetos? ¿Hay menosbotellas? ¿Hay lamismacantidaddebotellasydeobjetos?”.Comparasihaytantasbotellascomoobjetos.

Losniñosylasniñasrepitenelmismoejerciciopero quitándole un frasco. Establecen lacorrespondencia, y ven dónde hay más ydóndehaymenos.Tambiénsepuedetrabajaralternandoelnúmerodeobjetosyenvases.

Repartediferentesobjetosparaqueloslancena una caja vacía.Realiza las comparacionesentremuchosypocosobjetos.

De manera grupal, prepara una fila con elnúmerodecajascorrespondientealnúmerode grupos. Losniñospodrán ir embocandodiferentes objetos en las cajas. Al términodel juego cada grupo observa las cajas ydetermina en qué caja habrá muchos y enquécajamenosobjetos.

Se pueden separar las cajas con muchosobjetosylascajasconpocosobjetos.

Representación

Para trabajar la correspondencia entrégalesunahojacondibujosenlosquepuedanunir,conunalínea,laspersonasconloselementosquemáslesgustan:

Argumentandondehayuno,pocosymuchosobjetos.Permitey alienta laparticipacióndetodos.

Entrégales una hoja con el dibujo de doscanastas (cajas, baúles, árboles, etc.). Unacon muchas frutas y otra con pocas frutas.Deben pintar sólo las frutas de la canastadondehaypocas frutas,odondehaymenosodondehayuna.


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6 . Jugando a la Tienda

Es juego se inic ia cuando la t ienda ya estáorganizada. En él los niños y las niñas realizanactividades típicas que se dan en una tienda, esdecir, que les permiten realizar acciones comopesar,medir, clasificar, organizar, agregar, quitar,conocerelvalordelosbilletes,etc.

Asimismo, este tipo de juego promueve queasumandiferentes responsabilidadesde atenciónalcliente,laventa,lacompradeproductos,etc.Esdecir, preparapara las diferentes actividadesquerealizademaneracotidianaensurelaciónconlosdemás.



Agrupan ob je tos segúndiferentescriterios.

U t i l i z a n d i f e r e n t e sestrategiasde recolecciónycuantificacióndedatos.

Ut i l i z an cuan t i f i c adorespara referirse a objetos ycolecciones.

Represen tan can t idadesgráficamente.

Resuelven problemas querequieren la aplicación deoperacionessencillas.

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Losniñosylasniñasparticipandemaneraactivaenla realizacióndeeste juego,esdecir, planteandoacuerdoscomunesyasumiéndolos.

Permíteles que el los recolecten, agrupen yclasifiquen loselementos.Quecreenypreparensupropiodineropara jugar a comprar y vender.Queseorganicensegún funciones,quecreensuspropiasestrategias,etc.

Facilítales que puedan organizar sus ideas paralograr sus propósi tos y la comprensión desituaciones problemáticas según su nivel depensamiento,promueveeltrabajoenequipo,queutilicenelementosde su entorno cotidiano, quepuedanutilizar términos apropiados para referircantidadesycaracterísticasdelosobjetos,etc.

Registra con losniños losmaterialesde la tiendautilizandodiferentesestrategias:cuadrosdedobleentrada,palotes,etc.

Al terminar el juego ofréceles materiales queles permitan representar loquehicieron: arcilla,plastilina, hojas, pintura, crayolas, maderas deconstrucción,lego,etc.Asíestarásfavoreciendoeldesarrollodesupensamientosimbólico.

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6 .2 eXPeRienCiAS De APRenDizAJe De eDUCACiÓn PRiMARiA

1. organizamos El rincón matEmático

ParticiparenlaorganizacióndelRincónMatemáticobrindaalosniñosyniñaslaoportunidadderealizaruna actividad grupal en la cual se organizan,estab lecen responsabi l idades, c las i f ican losmaterialesylleganinclusoaevaluarelcumplimientodesus responsabilidades.Posteriormente,cuandoeste rincón se encuentre habilitado, el uso delos materiales permitirá que los niños y niñasdescubransuspropioserroresyquecompruebensuspropiosaciertos.

Cuando el Rincón Matemático se encuentreorganizado y a disposición de los niños y niñas,el docentepuedeproponer actividadesparaquecon el uso de los materiales los niños y niñasdesarrollenlascapacidadespropuestasparaeláreacurriculardematemáticas.

Además de organizar los materiales que ya setienen en aula, es necesario recopilar y tener adisposición de los niños y niñas otro tipo dematerialesquepuedaninteresarparaeltrabajoenmatemáticas.

Se requiere también que haya una renovaciónperiódicade losmaterialespara lo cual sepuedecontarconelapoyodelacomunidad.


Plantea a los niños y niñas la s iguienteinterrogante:¿PorquénecesitamosunRincónMatemático?¿Cómolopodemosorganizar?

Forma equipos de trabajo con los niños yniñasparalaactividadplanteada.

Nombrenresponsablesparalastareasquesevanaproponer.

Escojanunnombreparaelrincón.

¿qué aprenden los niños y niñas cuando organizan el Rincón Matemático?

Se ponen en contacto conmateriales educativos que lespermiten desarrollar diversascapacidadesmatemáticas.

Organizan, hacen propuestas,forman hábitos de orden ycumplenresponsabilidades.

Establecen y cumplen normasp a r a e l c u i d a d o d e l o smateriales.

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e x P e R i e n c i a s d e a P R e n d i z a j e d e e d u c a c i ó n P R i m a R i a

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Proporciona a los niños y niñas losmateriales que tienen a sudisposiciónenel aula (materialeselaboradosporellosmismos,materialesproporcionadosporelMinisteriodeEducación, comoelMaterialBaseDiezoMultibase,lasregletasdeCuisenaireodecolores,loseslabones,etc.).

Losniñosyniñaselaboranunalistadelosmaterialesentregadosylosorganizan.

Preparenunalistadeotrosmaterialesquepudieranserdeutilidadenelrincóndelosmateriales.Porejemplo,botellasoenvasesdeplásticovacíos,cajas,botones,piedritas,chapas,semillas,periódicos,revistas,juguetes,plumones,palitosdechupete,gomaoengrudo,tijeras,etiquetas.

Seorganizanparaimplementarelrincón.Puedeselaborarconlosniñosyniñasuncronogramaparaqueorganicenel trabajo,paraqueaprovechenel tiempoypuedasevaluar laparticipacióndecadaunodeellosensusgrupos.

Elabora una ficha de evaluación para que los niños y niñas controlen el cumplimiento de susresponsabilidades.


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2. aPrEndEmos con las noticias

Los per iód icos y rev is tas pueden ser unaherramienta educativa importante y única paralos estudiantes. Se pueden utilizar para trabajaruna variedad de situaciones de aprendizaje. Lashabilidades de pensamiento de los estudiantessonagudizadasysuinterésymotivación,aumentausando estos materiales como guía de estudio,además de hacerlos tomar parte activa en sucomunidad, al decidir, analizar y cuestionar lassituacionesanalizadas.

El uso de los periódicos tendría que llegar aconvertirseenunhábito,paraquelosniñosyniñasbusquenenellos la informaciónnecesariaparasuvidadiaria.Sonmuchos losconocimientosqueseaprenden fácilmenteconelusode losperiódicostalescomoconceptosdedinero,del tiempoydecantidad.

Las actividades pueden dirigir al estudiante alperiódico, relacionando las experiencias deaprendizajeconelmundodehoy.

Enlosperiódicospodemosencontrarartículosconinformaciónsobregráficas,juegosdeazar,precios,entreotros.Contienenejemplosysituacionesmásvivas ypróximasque lasde los librosde textoolas propuestas personales del profesor.Además,suponenunnexoentrelasmatemáticasylavida.

¿qué aprenden los niños y niñas con las noticias?

Conocen y analizan lo queocurreensucomunidadysupaís.

Anal izan cr í t icamente lassituacionesencontradas.

S i n te t i z an y eva l úan l ainformaciónrecogida.

Participan en la solución deproblemas.

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Secuencia didáctica

Puedesplantear a losniños yniñas las siguientesactividadesparaelusodelosperiódicosenelaula.Recuerdaqueéstasnosonúnicasniexcluyentes:

Pide a losniños yniñasquebusquenenunperiódico elementos matemáticos. Queanalicenperiódicosy revistaspara identificartópicos que con frecuencia son los quepresentanlassituacionesmatemáticas.

Pídelesquerealicenunaselecciónsobretemasmatemáticos conmateriales recopiladosdediferentes periódicos y en fechas distintas:gráf icas, estadíst ica, probabi l idad, entreotros.

Las posibles preguntas para formular enel análisis de periódicos y revistas seríanlas s iguientes: ¿Cuáles son los temas ósecciones del periódico que cont ienen


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símbolos y números matemáticos? ¿Quétipode informaciónpodríamosdiferenciar?(Cant idades, magni tudes, porcenta jes ,fórmulas,etc.).

Puedes trabajar también asuntos concretosqueaparecenconregularidadenlosperiódicosy que contienen información matemática:deportes y clasi f icación de los mismos,informaciónsobreeltiempo,programacionesdelasdiferentescadenasdeTV,etc.

Utiliza artículos concretos extraídos de laprensa.Trabájalosconpreguntasopropuestasde ac t i v idades , como l a formu lac iónde problemas a partir de un artículo, lasolucióndeunproblema,el estudiodeunaproblemática (salud,porejemplo)con todoslosaspectosyconceptosimplicados.

El siguiente ejemplo ilustra cómo a partir deuna información específica se pueden plantearinterrogantesinteresantesalosniñosyniñas:


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3. la Hora dE nuEstros juEgos

Elproponerun tiempopara realizar juegosenelaulapermitedesarrollar capacidadesmatemáticasdeunaformaactivayenunambientequeofrecelaposibilidaddeconstruirelpensamientomatemáticodesdelaexperienciapersonal.

Losniños yniñasparticipan,preferentementeenequipo,enlaelaboraciónyejecucióndediferentesjuegos.Estospermiten la interaccióncondiversosmateriales manipulables, para que aprendan encondicionesdondehayespacioparael error y laimaginación.

“Lahoradenuestros juegos”ofrece laposibilidadde contarenel salónde claseuna gran cantidady variedad de materiales y abordar actividadesmatemáticasexperimentales,recreativasylúdicas.

Los materiales manipulables que pueden serempleadosen “Lahorade los juegos” son,entreotros: Dominó matemático, Rompecabezas,Loteríadenúmeros,Mosaicomatemático, JuegosdeCartasonaipes,etc.

Acontinuación seproponen secuenciasdidácticasparalossiguientesjuegos:

a. Dominómatemático

b. Loteríadenúmeros

c. Casinos

d. Tangrama

e. ElBancoMatemático

f. Jugamosalatienda

¿qué aprenden los niños y niñas en “La hora de los juegos”?

Relacionan las matemáticas con lavidacotidiana.

Interpretan, codificany representangráficamentenúmeros.

Interpretan la relación que existeentrelasoperaciones.

Creanyaplicanestrategiasdecálculorápidopararesolveroperaciones.

Reconocen cantidadesequivalentesexpresadasdediferentesformas.

Desarrollan habilidades de cálculoy creatividad (flexibil idad, fluidezy originalidad) necesarios para eldesarrollo del pensamiento lógicomatemático.

Contextualizan sus conocimientosmatemáticos, desarrollan hábitosde razonamiento para explorar,exper imen ta r y a c tua r en l arealidad.

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Pasos para la organización de la hora de juego:

Elabora un listado mínimo de materialesnecesarios para equipar el ambiente dejuegos.

Organiza tus actividades y determina unespacio físicoquepuedas implementar conelmaterialdelosjuegos.Puedeserunrincóndel aula o una caja con materiales que sepuedanllevardeunsalónaotro.

Observayanalizaatugrupodeniñosyniñasparaque,segúnsuscaracterísticas,habilidadesy estilos de aprendizaje, seleccionesel tipodejuegosquepropondrás.

Determina las habi l idades que deseasdesarrollar en tus niños y niñas a travésdelos juegos: juegosdeestrategias, juegosdedesarrollodecontenido, juegosderefuerzo,entreotros.

Para que los niños y niñas participen enlos juegos, pueden ser útiles las siguientesindicaciones:

Conforma pequeños grupos para quetodos puedan participar en el juegoactivamente.

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Cada grupo jugará demanera colectivaa partir de sus propias reglas. Se debepropiciar el juego grupal dejándolosparticiparlibremente.

Los niños y niñas pueden escoger eljuegoo tupuedes indicarlesel juegoenelqueparticiparán.Así,porejemplo, lespuedesdecirquevanajugaral“DominóMatemático” y luegoexplicarles dequésetrataestejuego.

Losniños yniñasparticipanenel juegoapartirdereglaspropuestaspara todos,procurandoque se respeten los turnos,prestenatenciónaljuegoyesténatentosduranteeldesarrollodeljuego.

A medida que se lleva a cabo el juegopropuesto, por ejemplo, el DominóMatemático,losniñosyniñasdescubriránpor si solos la forma de ganar. Es estolo que les permitirá ir aprendiendo aconstruir estrategias y a entender loscontenidos relacionados con el juego.Quiendesee avanzarenel dominiodeljuegoiráadquiriendoporsísolotécnicassimplesqueloconduciránaléxito.

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a. dominó matEmático

Este juegopermite a los niños y niñas aprenderconceptos matemáticos específicos a través delDominó Matemático. Este juego posee granversatilidadypuedeplantearsesuaplicaciónaunavariedaddeconceptosmatemáticos.

El dominóes un juegoque consta de28 fichas.Cadaunadeellas estádivididaendos seccionesquecontinen representacionesnuméricas, sumas,sustracciones, etc. Estodependede la intenciónqueeldocentetengaconeljuegopropuesto.


Conformapequeñosgruposparaque todospuedan participar en el juego de dominóactivamente.

Cada grupo jugará a partir de sus propiasreglas. Se deberá propiciar el juego grupaldejándolosparticiparlibremente.

Indica a losniños yniñasquevan a jugar alDominó Matemático. Explícales de qué setrataestejuego.

Los niños y niñas pueden participan en eljuegoapartir de reglaspropuestas.Que serespeten los turnos, que presten atenciónal juego y que estén atentos durante eldesarrollodeljuego.

A medida que se lleva a cabo el “DominóMatemático” los niños y niñas descubriránporsísoloslaformadeganar.

Sugerencia de actividades con el Dominó Matemático

El uso del Dominó Matemático ayuda a losestudiantes a visualizaresquemasde sumashasta9 + 9, también premite la comprensión delsignificado de la adición y sustracción, así comolas relacionesentreestasoperaciones.Eldominóque se muestra más abajo, con tres puntos yochopuntos,porejemplo, apoya al estudiante apensar en los tres números involucrados: 3, 8,11.Demodoque cadapiezadedominópuedeusarse teniendo presentes estos tres númerospara escribir dos adiciones y dos sustraccionescorrespondientesaestructurasaditivasbásicasporseraprendidas.

¿qué aprenden los niños y las niñas con el Dominó Matemático?

Interpretan, codifican y representagráficamentenúmeros.

Interpretan la relación que existeentrelasoperaciones.

Desarrollan habil idades de fluidezy flexibilidad al plantear diferentesdistribucionesdelDominó,en cortotiempo, y para que se garantice eléxitoeneljuego.

Creanyaplicanestrategiasdecálculorápidopararesolveroperaciones.

Rea l izan act iv idades recreat ivasrelacionadas con lasmatemáticasdemodo que se generan aprendizajesy actitudes posit ivas, tanto en elnivel individual como en el grupal,superando el rechazo que algunostienenhacialamatemática.

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Equivalenciasenlaestructuranumérica:

7= = = =

Elconjuntodefrasesnuméricasquesereflejanenestapiezadedominópuedeescribirse:

3+9=12 12–9=3

9+3=12 12–3=9

Laspiezasdedominópuedenemplearseendiversasformasparaconstruirnocionesbásicastalescomo:

Lapropiedadconmutativadelaadición:

3+4=7 4+3=7

Formashorizontalyverticaldemodelosnuméricos:

3+4=7

4 +3 7

Relacióninversaentreadiciónysustracción:

4+3=7 7–4=3

3+4=7 7–3=4


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Suma de puntos (iii Ciclo)

Semuestraunapiezaenposición vertical uhorizontal yel estudiantedebeencontrar lasumade lospuntos.Puedeagregarse comorequisito,quelarespuestaincluyalosmismosnúmeros endiferenteorden (por ejemplo:4+3=7,3+4=7).

Engruposde trabajodea cuatro, sepuedepedir que las respuestas sean verbales,rápidas y también realizar las sumasde tresfichasenformaconsecutivaencadaturno.

Sumas y restas (iV Ciclo)

El niño o niña de turno dice previamente unnúmero dentro de un ámbito acordado (porejemploentre1y5,oentre4y9,omás),luegodebe tomar una ficha que represente la sumaquedé como resultadoese número; finalmenteotra ficha que represente la resta quedé comoresultadoesemismonúmero.

Cuadrados de dominó (iV Ciclo)

Estascuatrofichasformanuncuadradodedominó.Sellamaasíporquelospuntosdecadaladosumanen total lo mismo: 3. Los estudiantes puedenjugarengruposde4.Primerocadaunoarmauncuadradoy, luego,por turno,cadauno tienequehacermentalmentelassumasparadecirdecuántoes el cuadrado. Para este juego se requieren,en principio, fichas de dominó. Pero tambiénes posible que los estudiantes jueguen usandohojasdepapel con laestructuradel cuadradodedominó. Sólodebe ser llenadapor ellos usandolápiz para hacer los puntitos. Es posible hacerpreguntas tales como: ¿cuántos cuadrados dedominódiferentespuedeshacer?(usandounjuegocomúnycorriente). ¿Cuáleselnúmeromenoromayor,quepuedensumarlospuntosdecadaunode los lados? (Probar a formar el cuadrado conlasmenores sumasposibles, y lasmayores sumasposibles).


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b. lotEría

Para este juego se requiren los s igu ientesmateriales:

Tarjetitas con mensajes que pueden ser:operacionessimples,combinadas,problemas,uotrosimilar.

Cartillasdelotería.

Semillasófichasparaseñalarlascasillas.


Preparatarjetitasquecontenganlossiguientesmensajes como: “3+2=...” , “8-5=...”, ó“4x5=...”, “12x3=....”, “El doble de 7es....”,“Lamitadde18es...”,etc.Elaboralastarjetitasen funcióndelnivel y gradode losniñosyniñas,detalformaquepuedasincluircontenidosdeoperaciones,desdeconceptosde número y operaciones simples, hastaoperaciones complejas,encualquierade losconjuntosatratarenelniveldePrimaria.

Elabora cartillasde lotería.Éstaspueden serde3x3 casillas. En cadaunodeellas debesescribir un número que responda a lastarjetitaspreparadasanteriormente.

Explica en forma clara y con ejemplos elprocedimientodeljuego.

Indicaacadagrupoqueelijauncoordinadorquesortearálascartillas.Losdemásintegrantesresolverán las diferentes situacionesque sepresentenenlastarjetassorteadas.

Dejaqueamedidaquesedesarrolleeljuego“Lotería”, losniñosyniñasdescubranpor sísolos la formade ganar. Es esto lo que lespermitiráiraprendiendoaconstruirestrategiasyentender los contenidos relacionados coneljuego.

¿qué aprenden los niños y las niñas jugando con la lotería?

Interpretan la relaciónqueexisteentrelasoperaciones.

Crean y ap l i can es t ra teg i a sde cálculo rápido al resolveroperaciones.

Desarrollanhabilidadesdecálculoe ind icadores de creat iv idad(flexibilidad, fluidezyoriginalidad)necesariospara el desarrollodelpensamientológicomatemático.

Realizan actividades recreativasrelacionadas con lasmatemáticasd e m o d o q u e s e g e n e r a naprendizajes y actitudespositivastantoenel nivel individual comogrupal, superando el rechazoque a lgunos s ienten hac ia lamatemática.

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Lotería de la Multiplicación y División (V Ciclo)

Participantresocuatroniñosyniñas.

Sorteoparaelegirquiénseráelmoderadordeljuego.

Cadaniñooniñaeligeunacartilla.

Elmoderadordeljuego“canta”losmensajesunoauno.Anotaelnúmerorespectivamenteencartillassimilaresalasdelosniñosoniñas.

Cadamensajeleídocorrespondeaunúniconúmeroqueseregistraenlacartilla.

Elniñooniñaquecompleteprimerosucartillaseráelganador.

Tableros

25 17 4 22

23 12 19 14

3 21 5 15

23 16 18 1

9 21 4 10

23 8 17 2

20 16 14 19

3 13 6 25

13 8 12 7

14 24 16 10

6 13 15 9

4 21 11 20

24 11 3 25

5 8 20 6

12 10 9 23

19 7 21 2


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Mensajes de la lotería

Eldoblede21 6en36

Sucuádruplees80 49divididopor7

Sudoblees38 Laoctavapartede64

Multiplicadopor4resulta72 Latercerapartede27

Multiplicadopor2resulta32 Elcocientede100y10

Multiplicadopor4resulta60 Unodivididoporuno

Multiplicadoporunadecenaresulta140 Lamitaddecuatro

Sudoblees26 Latercerapartede9

Sucuádruplees48 Lamitadde8

Sudoblees24 6en30

13veces1 42divididopor7

Doblede7 63divididopor9

Triplede5 24divididopor3

Cuádruplede4 90divididopor9

Sudoblees34 Lamitadde22

Doblede9 2en24

Cuádruplede5 Ladécimapartede170

Sudoblees38 69divididopor3

Triplede11 Lamitadde48

Productode2,3y4 Lamitadde50

2divididopor2 Eltriplede60

4divididopor2 48divididopor4

27divididopor9 Mitadde24

12en60 Lacuartapartede16

Cuartapartede36 Terciade48


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c. juEgos dE casinos

Eljuegodecasinosconstadeungrupodetarjetasnumeradasenestiloarábigodel2al10yenletrasrepresentativas A=1ó14 según seael juego,J=11, Q=12, K=13. Cada juego de Casinoscontiene4palosóbarajas,desdeAhastaK,cuyasecuencia es como sigue:A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K y 2 “jocker “ o “comodines”, haciendo untotalde54cartasporjuego.


Conformapequeñosgruposparaque todospuedan participar en el juego de casinosactivamente.

Cada grupo juega a partir de sus propiasreglas. Propicia el juego grupal dejándolosparticiparlibremente.

Indícales que van a jugar al “casino” yexplicalesdequésetrata.

Paraparticiparenel juego losniños yniñasse guían a partir de reglas propuestas paratodos, procurando que se respeten losturnos, presten atención al juego y esténatentosduranteeldesarrollodeljuego.

A medida que se lleva a cabo el “Casino”losniños yniñasdescubriránpor sí solos laformadeganar.Estoes loque lespermitiráir aprendiendo a construir estrategias yentender los contenidos relacionadosconeljuego.Quiendeseaavanzareneldominiodeljuego irá adquiriendodeterminadas técnicassimplesqueloconduciránaléxito.

¿qué aprenden los niños y las niñas cuando juegan con los casinos?

Matematizanobjetosysituacionesde su entorno a t ravés der e p r e s e n t a c i o n e s g r á f i c a s ,esquemáticas,numéricas.

Desarrollanhabilidadesdecálculoe indicadores de creat iv idadcomo la f lexibi l idad, f luidez yoriginalidad, necesarios para eldesarrollodelpensamientológicomatemático.

Interpretan,codificanyrepresentagráficamentenúmeros.

Interpretan la relaciónqueexisteentrelasoperaciones.

Crean y aplican estrategias decá lcu lo rápido para resolveroperaciones.

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escalera de “Dos–tres” (iii Ciclo)

Sereparten8cartasacadaniñooniña.

El resto de cartas se colocan al centro (enmazo).

Cada niñoo niña trata de formar entre lascartas recibidas, grupos de3 (mínimo)ó4cartas. Estas cartas deben ser consecutivas,contadasde2endosodetresentres.Ej:2,4,6,8;1,4,7;3,5,7,9,etc.

El juego empieza cuando el primer niño oniña toma una carta del mazo. Si no tieneninguna “escalera”o grupopara “bajarse” alamesa,simplementeescogelacartaquenole sirve, la deja en el centro y continúa elsiguienteniñooniña.

Si alguno del grupo desea la carta dice “lacompro”yjalaunacartadelcentro.

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Si algúnniñooniña ya formó suescaleraovarias deellas (aunque seadesdeel inicio),espera su turno, jala una carta del centroy baja a la mesa mostrando su escalera oescaleras: pueden ser dos escaleras, unadedosendos yotrade tresen tresodosde tresen tres,etc.Luegodeja la cartaquemenoslesirvaenelcentro.

Terminael juegocuandoseacabanlascartasdelcentrooningunotienealternativa.

Cuentan cuántos puntos acumulan en suscartasenmano.

Gana el niño o niña que menos puntosacumula.

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Gana con 10 (iV Ciclo)

Formagruposde4ó5niñosoniñas.

Sereparten8cartasacadaniñooniña,yel“mazo”secolocaalcentro.

Cadaniñooniñaobserva sus cartas ydebeagruparlas,siesposible,enparejasdecartascuya suma o resta sea 10. Si lo consigue,reserva sus pares hasta que le toque elturno.

Al empezar el juego, el primer niño oniña toma una carta del mazo, y estudia sile conviene o no conservarla. Si hubieraformadoalgúnparde10,entonces“baja”supar(es)de10,mostrándoloalgrupo.Luego,tiralacartamenosútilalcentro.

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Sialgúnniñooniñaquisieralacartaquehantiradoenelcentro,dice“lacompro”,tomalacartayjalaunamásdelmazo(aunquenoseasu turno). Si conesa carta yapuede “bajar”algúnpar,debeesperarnuevmantesu turnoparahacerlo.

Eljuegoconcluyecuandoseacabanlascartasdelcentrooningunotienealternativa.

Cuentan cuántos puntos acumulan en suscartasenmano.

Gana el niño o niña que menos puntosacumula.

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124

d. tangrama

Eltangramaesunrompecabezasde7piezasmuyentretenidoeincrementalacapacidadparapercibirformasgeométricas.Constade:

5regionestriangulares

1regióncuadrada

1regiónromboidal

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Conformapequeñosgruposparaque todospuedanparticipardelTangramaactivamente.

Cada grupo juega a partir de sus propiasreglas. Se deberá propiciar el juego grupaldejándolosparticiparlibremente.

Anuncia a los alumnos que van a jugar alTangramayexplícalesdequésetrata.Puedeser construir la siluetamás largaposible, lamás corta, la que tenga más lados, menoslados,etc.

Losniñosyniñas seguíanparaparticiparenel juego a partir de reglas propuestas paratodos, procurando que se respeten losturnos,queprestenatenciónaljuegoyesténatentosduranteeldesarrollodelmismo.

A medida que se lleva a cabo el Tangramalosniños yniñasdescubriránpor sí solos laformadeganar.Estoes loque lespermitiráir aprendiendo a construir estrategias y aentender los contenidos relacionadosconeljuego.Quiendeseaavanzareneldominiodeljuego va adquiriendodeterminadas técnicassimplesqueloconduciránaléxito.


125

Desarrollo

1. Anota en la siguiente tabla el perímetrodecadaunadelaspiezasquetieneeltangrama.Es importanteque respetes el númeroquecorrespondeacadapieza.

Númerodelapieza

Forma Perímetro

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Calcula el total del perímetro de todas lasfiguras

3. Utiliza las siete piezas y, sin superponerlas,formacadaunadeestasfiguras.

Cisne Gato

Marcadentrode la silueta cómodistribuistelaspiezasparapoderarmarla.

4.Anotaelperímetrodecadafigura:

Gato:__________________________________

Cisne:__________________________________

5. ¿Porquécreesqueocurreesto?

_______________________________________

_______________________________________

¿qué aprenden los niños y las niñas con “Siluetas con tangrama”?

In terpretan y gra f ican enu n m i s m o c u a d r i c u l a d ol a t r a s l a c i ó n d e f i g u r a sgeométricasplanas(cuadrado,rectángulo,etc.).

Resuelven problemas queimp l i c an e l c a l cu lo y l aes t imac ión de long i tudesde ob je tos en un idadesoficiales de medida (metro,centímetros,etc.).

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Siluetas con Tangrama (iii Ciclo)


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Figuras Geométricas con Tangrama (iV Ciclo)

Operando con el Tangrama (V Ciclo)

¿qué aprenden los niños y las niñas formando figuras con el tangrama?

R e s u e l v e n y f o r m u l a np rob l emas de ad i c i ón ysustracc ión con fracc ioneshomogéneas.

E s t a b l e c e n r e l a c i o n e s“mayor”, “menor”, “igual” yordenannúmerosnaturales yfracciones.

Estableceny cumplennormasp a r a e l c u i d a d o d e l o smateriales.

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Desarrollo

Utiliza las siete piezas del tangrama y, sinsuperponerlas, formaconellasuncuadrado.Luegodibújaloycalculasuárea.

Utiliza las siete piezas del tangrama y, sinsuperponerlas, arma un rectángulo. Luegodibújaloycalculasuárea.

Utiliza las siete piezas del tangrama y, sinsuperponerlas, forma un triángulo. Luegodibújalo. ¿Cuál creesque seráel área? ¿Porqué?

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¿qué aprenden los niños y las niñas cuando operan con el tangrama?

Crean y aplican estrategias decálculo rápido al resolver lasoperaciones.

Desarro l l an hab i l idades dec á l c u l o e i n d i c a d o r e s d ecreatividad como la flexibilidad,f l u i d e z y l a o r i g i n a l i d a dnecesariosparaeldesarrollodelpensamientológicomatemático.

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Desarrollo

Enumera arbitrariamente las piezas parallevar un “orden”.Analiza las áreas de cadafigura,suponiendoquetodaslaspiezasjuntassumen1u2, luego,completaenlosespaciosenblanco:

¿Qué parte del cuadrado total representacadaunadelaspiezas?

Pieza 1 2 3 4 5 6 7

…...u2


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Siquisierassumar:

1+1

164

PensaríasdeinmediatoenlaspiezasNº5yNº1.

¿CuántasvecesestácontenidolapiezaNº5enlapiezaNº1?

Entonces,escomosituviéras…….piezasdelaNº5.

Seconcluyeentoncesqueen

1+1 164

hay.…………veces116 ,esdecir,

larespuestaes:

1+1=....... 164

Calculaenformaanáloga:

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E. El banco matEmático

Setratadeunaestrategiadeaprendizajeenlaquelosniñosyniñas, apartirde situaciones lúdicas yde la vida cotidiana diversas, ponen en prácticalas capacidades fundamentales de comunicaciónmatemáticayresolucióndeproblemas.

Apartirdesituaciones lúdicasdiversas,descubrenel sentido de contenidos matemáticos de lasoperacionesbásicasycomprendenlalógicapropiadel sistema de numeración decimal en distintostemas, desde la representación de númerosenteros con unidades y decenas, hasta la denúmerosdecimales.


¿qué aprenden los niños y la niñas con el Banco Matemático?

Reconocendistintas formasderepresentaciónde losnúmeros apartirdelusodematerialconcreto,gráficoynumérico.Practicansuscapacidadespara laresolucióndesituacionesproblemáticas, imaginariasyreales,utilizandorecursosdiversos.Identi f ican el valor de posición de losnúmerosenel tableroposicionaly resuelvenoperacionesbásicasconelapoyodematerialesrepresentativos.Relacionan representacionesdiversasde losnúmerosconobjetosreales.Explican las representaciones que elaboranantesugrupodecompañerosycompañeras,manejandonocionesdenumeraciónytécnicasoperativas.Enriquecen su lenguaje matemático alfundamentar las estrategias utilizadas pararesolverlassituacionesproblémicasplanteadas.Ponenenpráctica actitudes colaborativas yenriquecen su autoestima al participar enprocesosdeaprendizajecolectivo.

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Para los primeros grados de primaria, seráimportantequemotives a tus niños y niñaspara que organicen el Banco Matemático.Indícales quepara aprender algunos temas,sevaaorganizarenelaula,unbanco.

Pregúntales:

¿Sabenquéesunbanco?

¿Cuáleslatareadeunbanco?

¿Paraquévalagenteaunbanco?

Conversa con los niños y niñas sobre loquevan a aprender conel juegodelBancoMatemático.

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Explícales que en el Banco Matemáticoencontrarán que el dinero tendrá otrasformas.Elbancocuentaconmaterialesquerepresentan a las unidades, las decenas,las centenas, etc. (según el grado en queestán).

Trata de definir con ellos cuáles podríanser los materiales que representarían lasunidades, las decenas, etc. Solicítales, deacuerdo con lo que ellos han propuesto,que traigan los materiales que estén a sualcance.Algunas posibilidades podrían serlassiguientes:

Materiales

Materialrepresentativo Valornumérico

Semillas, frijoles uotros productospropios de la regiónque sepuedanconseguirencantidadyseanpequeños.

•UNIDADES

Jaboneritas,cajitasdefósforos,bolsitaspequeñasuotrosproductospropiosdelaregión.

•DECENAS

Cajas o envases de cartón, paja o plástico y otros para las siguientesposiciones.

•CENTENAS*

*Estevalordeposiciónseincluyeenelcasodesegundogrado.

Tarjetas de cartulina o de papel con los que elaborarán “Cheques”

Conel formatodeun tablerodevalorposicionalenelque se consigna la representacióngráficadeunnúmero,loquepuedeincluircantidadesmayoresadiez,demodoqueelniñooniñadebanrealizarcanjes.Porejemplo:


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Tarjetas de cartulina o papel, con tableros posicionales con representaciones numéricas

C D U

7 2

Plantéales las reglasde juegoparaelBancoMatemático y explícales que para poderefectuar canjes, se deben formar gruposde diez, porque así funciona el Sistema deNumeración Decimal . Como ejemplo,plantéales esta pregunta. “Si los fri joles,semillas (u otro) son las unidades y tienesdoce,¿elBancotepodráhaceralgúncanje?”,“¿Dónde dibujarías estas cantidades en tutablero?”,“¿Cómoescribiríasestacantidadennúmeros?”

IndícalesqueparajugaralBancoMatemático,algunos niños desempeñarán el papel decajeros (pocos niños/as), que a ello se lesentregará el “dinero” (que son las semillas,cajitas, etc.). El resto serán los clientes, alosque también se lesentregará “dinero” y“cheques”.

Para iniciarel juego,entregaa losclientesel“dinero”en cantidadesdiversasen lamano.Conestodeberániralbancoycanjearloquesea necesario paraobtener el número realqueestematerialrepresenta.

Pídelesrepresentareneltableroendibujitos,la cantidad de dinero que tienen. Luegopuedenhacerloconnúmerosenotrotableroquepreparesoensupropiocuaderno.

Acércate para observar si el cl iente y elcajeroestándeacuerdo,paraluegoponerles

un punto por cada ejercicio realizado yaprendido.Noolvidesestimular susaciertosyretroinfórmalosconstantemente.

Recuerdapropiciar unespacioparaque losniñosyniñasevalúensusavances.

Re v i s a e l t e x t o L ó g i c o M a t e m á t i c acorrespondiente al grado y ubica algunaact iv idad que puedas as ignar les comoaplicacióndeloaprendido.

Adecuación a los niveles de avance

Cuando los niños y niñas tenganunmayormanejodel sistemadenumeracióndecimal,les puedes entregar los cheques con larepresentacióngráficadeldineroquedebencobrar,comoseveenelmodeloalinicio.

Entrega uno a cada niño y pídeles que seacerquen al banco a cobrar el cheque.Indícalesqueellosdeben indicarle al cajeroqué van a cobrar, luego de real izar lasconversiones necesarias. Por ejemplo, si elchequeindica18frijoles(unidades),elniñoolaniñadeberá solicitarunacajitamásapartedelasquehayenelcheque,ysólo8frijoles.El cajero/a deberá corroborar si lo que lepideelcliente,estábien.

Losniñosyniñasensegundogrado,siavanzanencapacidadesparainterpretaryrepresentargráficaynuméricamente,cifrasdedosdígitos(unidades y decenas), pueden acceder a lanumeración hasta las centenas, utilizandodiversosmaterialesconcretosysimbólicos,lasbarrasdeCuisenaire,elmaterialBaseDiezoMultibase,billetes fotocopiadosodibujados,u otros materiales similares propios de laregiónycontextourbanoorural.

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Es importante buscar que en el BancoMatemático, hacia tercer y cuarto grado,seprivilegieelusodematerialesmás realescomo copias de monedas de uno y cinconuevossoles,billetesde10,00;20,00;50,00y100,00 ó como los bloques del materialBaseDiez.Aúnsepuedenutilizarloschequesconestasrepresentaciones.

Cuando los niños real icen práct icas deoperacionesbásicashastaelIVciclo,éstassepuedenrepresentarconestosmaterialesyuntableroposicionalencartulinaparacadaniñooniñadondeprimeroresuelvanlaoperaciónconelmaterial,para luego recodificarlo conla representaciónnumérica.Mientras estánenlaetapadetrabajoconmaterialsimbólico,ofréceles laposibilidadde realizar canjesdemonedas en el Banco Matemático, el cualpuedeserunrecursopermanenteenelaula.

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f. jugamos a la tiEnda

Se trata de una experiencia de aprendizaje quefavorece la práctica de las capacidades parala resolución de problemas en la vida cotidianaaplicando recursosde cálculo, argumentando lasestrategias utilizadas frente a las situaciones decompra y venta, imaginarias o reales cuando lapráctica puede llevar a una experiencia vivencialenelaula,lafamiliaolacomunidad.Lacreatividadde cadadocentepermitirá diversificar las formasde realizar laexperienciayelproducto finalde lamisma.El usodemateriales concretos y gráficosfavorece la comprensión y hace evidente larelaciónde lamatemática con lasexperienciasdelavidacotidiana.

Estas experiencias de aprendizaje son idóneasespecialmenteparalosestudianteshastaelIVciclodeEducaciónPrimaria.


¿qué aprenden los niños y las niñas cuando juegan a la tienda?

Resuelvenproblemassencillosvinculadosconexperienciasimaginariasorealesdecomprayventadeproductosdiversos.

Descubrenelvalordelamatemáticaenlavidacotidiana,alenfrentary resolversituaciones sencil las vinculadas a suexperienciadevida.

Seejercitanenelmanejodelastécnicaspara resolver operaciones de adición,sustracción, multiplicación o división,connúmerosnaturalesy/odecimales.

Descubren en situaciones prácticas,el valor económico y social de losproductosqueseelaborany/oconsumenen las familiasycomunidades,alutilizarelsistemamonetarionacional.

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En el caso de los niños y niñas de III y IVciclo,puedesorganizar la tienda segúnestasvariantesuotrasqueconsideresmásacordesconelcontextodetuaulaycomunidad:

Los niños y niñas pueden traer alaula objetos diversos en función dealgún concepto: juguetes, productosvegetales,útilesescolares,etc.Indícalesque estos objetos o productos seránprestadosparaorganizaruna“tienda”enlaquerealizaránactividadesdecomprayventa.

Según el valor real que tienen estosobjetos en las tiendas del barrio o lacomunidadyconelaportedelosniñosyniñas,pídelesponerunprecioacadaartículo.

Entrégaleuna tarjetitadepapelpequeñaa cada uno, donde deberán anotar elprecio acordadoparael productoquetrajeronalaula.

Con tu grupo de aula, pongan un nombrea la tienda. Luego,para su funcionamiento,deberánconformargruposde “vendedores”queasumiráneste rolpor turnos,demodoque todos pasenpor esta experiencia.Delmismomodoseprocederáconelrolde los“clientes”.

Que losvendedorespreparen su “vitrina” y,con la ayudade todos, definan los precios.Luegolosvendedorescolocaránloscartelitosconlospreciosalavista.Estosdebencontarconuntalóndetarjetitasenpapelocartulinadonde anotaránel preciode los productosquecomprael clienteyel costo totalde sucompra.

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Los “clientes” deberán manejar cantidadesd i s t i n t a s d e “ m o n e d a s y b i l l e t e s ”(considerando el valor de posición hastadonde les corresponde l legar: decenas,centenas, millares, céntimos), una hoja depapel donde anotarán sus operaciones. Enfunción del dinero con que cuentan indicaquedeberánversiestánencondicionesonode realizar las comprasquedeseanhaceroseleshapropuesto.

Daalosclientesunaindicaciónenfuncióndelacualrealizaránlacompra.

Tienda de Juguetes (iii Ciclo)

Con la cantidad que tienes, ¿qué juguetespodríascomprar?

Preguntasitodospuedencomprarlosmismosjuguetes señalados por el compañero quepresenta sucaso,osiademáspuedenhacerotrascompras.

“Si Pedrito (cualquier niño) quiere comprarla pelota y el carro, ¿le alcanzará?” Buscaaquíque todosseenterendecuántodinerotiene este niño para que puedan hacer suoperaciónyconfrontarsusresultados.

Si lo crees necesario, haz otras preguntasproblémicas.

Pide a algunos niños indistintamente quepresentensusoperacionesydenrazonesporlasquerealizaronunascomprasuotras.

Buscaquelosniñosyniñasseñalensuacuerdoodesacuerdoconlosresultadosobtenidosyquedenrazonesdesuopinión.

Evalúacon losniñosyniñas losaprendizajesalcanzados.


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Adecuación a los niveles de avance

En ámbitos más urbanos, puedes pedirlesrecolectar encartes de supermercados enlosque aparezcanproductosdiversos y susprecios.Estavariantepuedesermásútilparael cuartooquinto grado, cuando los niñosy niñas ya conocen y requieren prácticascon números dec ima les y f racc iones .Estos encartes pueden ser manejados porlos cajeros de la tienda y las operacionesejecutadasporamboscajerosyclientes.

Puedes organizar una experiencia real decomprayventa sihasprevistounaactividadde venta pro-fondos para resolver algunanecesidadenelaula:paraunpaseo,lacomprade materiales educativos, apoyo solidarioa alguna familia, etc. Una vez definidos losproductos en venta, los niños y las niñasdeberán poner precio a los productos queofrecerán.

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4. oPEramos con las rEglEtas dE cuisEnairE

Las regletas se uti l izan en el área de LógicoMatemática, conniños yniñasde inicial5 añosyde primaria, tanto en forma individual como enpequeños grupos. Mediante su uso, las niñas yniños desarrollarán diversas actividades dondepodrán identificar los números, comprender lasrelacionesexistentesentreellos, realizar cálculosoperativos,entreotrasactividades.


¿qué aprenden los niños y niñas cuando operan con la Regletas de Cuisenaire?

Empleandiversasestrategiasdeconteo(1en1,porpares,gruposde3,4,5,etc.).Comparannúmerosnaturales,empleandolasrelaciones“mayorque”,“menorque”e“iguala”ylossímboloscorrespondientes>,<,=.Construyenseriesconobjetosconcretosenbase de criterios determinados y de otroselegidosporellosmismosyporellasmismas.Estiman el resultado de un cálculo en unaadición, sustracción,multiplicaciónydivisiónconnúmerosnaturales.Calculan sumas, restas, multiplicaciones ydivisionesefectuandocanjes.Cuantifican situaciones de la vida cotidianautilizando con sentido números naturales,demostrandoseguridad,en laelaboraciónderegistrosnuméricosquerealizan.Calculandobleymitaddelosnúmeros.Descubrenestrategiasdecálculooperativo:adición,sustracción,multiplicación,divisiónypotenciación.Midenla longituddelosobjetosutilizandolasregletascomounidaddemedida.

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Reconocimiento de las regletas y de su valor (iii Ciclo)

Señala una regleta determinada y preguntaqué regletavaantesy cuál vienedespués, yquévaloresnuméricosrepresentan.

Muestra dos reg letas y pregunta cuá lrepresentaunnúmeromenor(omayor).

Muestra una serie de regletas consecutivasenlasquefalteunaintermedia,ypreguntadequénúmerosetrata.

Establece relaciones entre las regletas ylos números naturales. Para ello ordenanlas regletas por tamaño y descubren elvalorque corresponde a cadaunadeellas.Comprendidoesto,losniñosyniñaspuedenseleccionaruna regleta e indicar el númeroque le corresponde, luego comprobarán sisu respuesta es correcta alineando tantasregletasblancas como indiqueelnúmero.Sicoincidenlaslongitudeshabránacertado.

Comparan regletas yobservan las primerasleyesnuméricas:quelosnúmeroscrecendeunoenuno,etc.

Realizanlasprimerassumasyrestascolocandolasregletasdeestaforma:

Sumas con Regletas (iii Ciclo)

Para desarrollar estas actividades se usan lasregletasytarjetasnuméricasyconsignos.

Seleccionandosregletasiguales.

Cambianunadeellasporotrasdosqueseandelmismotamaño.

Colocandebajode cada regleta el númerocorrespondiente.Losnúmerosnosepuedenjuntar como se hace con las regletas, usarlastarjetasconlossignospararepresentar larelaciónestablecida:

Esta actividad siempre será doble, primerose suma y luego sedescompone, para quepuedancomprobarlareversibilidad.


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Restas con Regletas (iii Ciclo)

Esta actividad es complementaria de la anterior. Al operar con las regletas, se trata en este caso deconocerquéregletafaltaaotraparaformarunatercera,obienquéregletahabríaquequitaraunaregletadeterminadaparaconseguirotramáspequeña.

Setieneunaregletabase(minuendo)yotramáspequeña(sustraendo).Losniñosyniñascolocanlapequeñasobrelagrandeysepregunta¿Quéregletasedebecolocarenelespacioquequeda?

Estoseexpresanuméricamenteconlastarjetas.

Operamos con Regletas (iii Ciclo)

Primerorepresentannuméricamentesumas.

Luegorepresentannuméricamentelasrestasyobservanqueéstaeslaoperacióninversadelasuma.

Luegorepitenlasactividadespropuestasanteriormente,peroestavezproponiendoasuscompañerosycompañerassituacionessimilares.

Proponenadicionesosustraccionesparaqueseanrepresentadasconlasregletas.

Representan sumas “llevando”, escritas endisposición vertical, e insistiendoen la ideadeque10unidadespuedencambiarseporunadecenayviceversa:

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Multiplicación: Doble y Mitad (iii Ciclo)

Sebuscaque losniñosyniñasse familiaricenconlos conceptos de doble y mitad, que permitenentender poster iormente los conceptos demultiplicaciónydivisión.

Eligenunaregletacualquieradel1al5.

Los niños y niñas toman otra regleta igual.Cuandojuntenlasdosobtendránotraregletaque equivalga a las otras dos juntas; éstaseráel doblede laelegida inicialmente.Porejemplo: la regleta rosada es del doble detamañoquelaroja.

“Doble”equivaleadecir“dosveces”.Sijuntasdos regletas iguales representan la sumadedossumandosiguales.

Cuando losniños sehayan familiarizadoconelconcepto“doble”,serealizarálaoperacióninversa con el mismo procedimiento y seobtendrála“regleta-mitad”.

Si la regleta naranja vale el doble que laamarilla, la amarilla valdrá la mitad que lanaranja.

inicio de la Multiplicación(iii Ciclo)

El concepto de la multiplicación se desarrollamediantelasumadesumandosiguales.Si lasumahasidocomprendidaporlosniñosyniñas,estonorepresentaráningunadificultad,yaqueelprocesoseguidoessimilar.

Seeligenvariasregletasdeunmismocolor.

Se juntandos, tres, cuatro regletas iguales ysepidequeexpliquenloqueestánhaciendo.“Pongounaregletarojayotraigual,yotra...

Se puede plantear preguntas intencionadasparaorientar la acción: “¿Cuántas veceshaspuestolaregletaroja?”

Utilizarexpresionessinónimasa laexpresiónmultiplicación: “hemos juntadocuatroveceslaregletaroja”.

Representan la mult ip l icac ión como laoperación de repetir una cantidad y hacerobservarque larepresentacióndelproductosiempreesunrectángulo,exceptoenciertoscasosespecíficos,enlosqueesuncuadrado.

Representan con sus regletas de valor 3 laoperaciónsiguiente:

3+3+3+3


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R e s p o n d e n : ¿ Q u é f o r m a t i e n e l arepresentación que has hecho: cuadrado,rectánguloocírculo?

Reconocen que esa suma de cantidadesrepetidastambiénpuedeescribirseen formademultiplicación3x5,quesignifica“el tres,cincoveces”

Representanconsusregletasyluegoescribenlaoperaciónenformademultiplicación:

Eltres,dosveces3x2=6

Eldos,seisveces

Eltres,cincoveces

Eldos,tresveces

Luegoquelosniñoscomparanlasrepresentacionesy p r e g ú n t a l e s p o r q u é c r e e n q u e l a srepresentacionesde2x3y3x2soniguales.

Proponles también representaciones conlas regletas para que ellos escriban quéoperacionesseestánrepresentando.Queaveriguen si todas las representacionestendrán la forma del rectángulo y quejustifiquensurespuesta.Querepresentenlastablasdemultiplicar.Queestablezcancomparacionesentresumasyproductos.

Multiplicación (iV Ciclo)

Los niños y niñas observan y descubrenvisualmente propiedades internas de laoperación de multiplicar. Por ejemplo, lapropiedadconmutativa:

La tabla pitagórica. Se trata de representartodos losproductoshastael10x10.En laprimera filasecolocan losproductos1x1 ;1x2;1x3;1x4;…hasta1x10;enlasegundafila2x1;2x2;…hasta2x10;yasísucesivamentehastallegaraladécimafila,en laqueserepresentan losproductos10x1 ;10x2 ;hasta10x10.Comosepuedededucir, se necesita un espacio bastantegrande.Esta tablapermitehacernumerososdescubrimientos.Porejemplo,observarunadiagonaldondesólohaycuadrados;obuscarproductosconrectángulosiguales,quemediatabla está repetida, etc. Posteriormente, sepuedepasara larepresentaciónescritade latablapitagórica:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Los niños empiezan a practicar la divisióncomooperación inversade lamultiplicación.Paraello, sepuedepreguntar,porejemplo,cuántas regletas del 3 se necesitan paraconstruirel12.

Construyen los cuadrados de los d iezprimerosnúmerosnaturales.


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Dividimos con Regletas (iV Ciclo)

Representanel algoritmode la divisiónporunacifra.Porejemplo18÷7.¿cuántasvecessepuedenhacergruposde7conelnúmero18?Elprocesoaseguirseríaelsiguiente:

Pensar cuántas veces el número 18puedecontenerlaregletadel7.

Representarel18conregletasyencimacolocarregletasdel7.

Observar que caben 2 regletas del 7(divisor)yquedan4unidadesporcubrir(elresto).

Que respondan preguntas s in usar e lmaterial:

¿Cuántasregletasdevalor2senecesitanpararepresentarlacantidad6?



Usan l as reg le tas para con f i rmar susrespuestas:

Enelprimercaso,pararepresentarlacantidad6,senecesitantresregletasdevalor2.

Seha repartidoel 6 en tres partes iguales.Cadapartevale2.

Laoperación anterior se puedeescribir enformadedivisión:6÷3=2.

Representanconregletasy luegoescriben laoperaciónen formadedivisión, comoenelejemplo:

Elochoencuatropartes8÷4=2Cadapartevale2

Elnueveentrespartesiguales

Elveinteencincopartesiguales.

Quepiensencuáldelossiguientesgruposderegletasrepresentaladivisión12÷4.

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Calculamos usando Regletas (V Ciclo)

Operan productos de tres factores. Porejemplo2x4x3serepresentaelproductode2x4yseconstruyentrespisos.

Se puede introducir la noción de cubovisualmente, colocandoporejemplo cuatroveceselcuadradode4,unoencimadeotro(4x4x4).

Introducen el signif icado del paréntesis,tambiénvisualmente.

Porejemplo:(3+2)x4:

Descubren nuevas propiedades de losnúmeros y las operaciones, como porejemplolapropiedaddistributivadelproductorespectodelasuma:

También pueden multiplicar por la unidadseguidas de ceros: multiplicar por10, porejemplo,significahacerunnúmero10vecesmayor. Por lo tanto, si tenemos cualquiernúmero representado (por ejemploel12),bastaráconhacerdiezvecesmayorcadaunade sus partes (las unidades y las decenas).Debe tenerse presente que al hacer lasunidadesdiez vecesmayores, se conviertenendecenas,ylasdecenasencentenas.

Prosiguen la representacióncon regletasdelalgoritmodeladivisión.


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5. El calEndario matEmático

LaCajadeAcertijospermitequelosniñosyniñasresuelvan problemas poniendo en práctica lashabilidadesmatemáticasadquiridas.Setratadeunaforma entretenida de poner a los niños y niñasen situaciónde resolver problemas, peroenunmarcolúdicointeresante.

Extraerá al azarunade las tarjetasde laCajadeAcertijos.

Leeráenvozaltaelproblemaparaquelosniñosyniñasdesusalónloresuelvan.

Los niños que den con la respuestaal problema planteado expl icarán laestrategiautilizadapara llegar a resolverelproblema.

Evalúa la actividaddesarrolladacon losniñosyniñas ¿Quépodemosmejorar? ¿Qué fue loquemáslesgustó?¿Quéaprendimosestedía?

UsalaCajadeAcertijoscadadíadelasemanaodeacuerdoconloquecreasconveniente.

Adecuación según su avance

Enfuncióndelgradoconelqueteencuentrestrabajando,puedesusar“LaCajadeAcertijos”convariaciones:

Loscontenidosmatemáticosimplícitosenlosproblemasplanteados.

La mayor o menor dif icultad para laresolucióndedichosproblemas.

Estaexperienciadeaprendizajepuedeproponersecon otras variantes. Por ejemplo, en lugar decolocar los acertijos matemáticos en la cajita sepuede proponer a los niños y las niñas queelaboren un Cuaderno de Acertijos en el cualrecolecten situaciones, problemas interesantes ytambiénpuedencolocarenélsusproducciones.Elmismotratamientopuede tener laelaboracióndeun “CalendarioMatemático”, a travésdel cual sepuedenpresentarproblemasque serán resueltosdiariamenteenelaula.

En la s iguiente dirección electrónica: http://www.minedu.gob.pe/el-ministerio/emergencia_educat iva/ puedes ub icar e l Bolet ín de laEmergencia Educat iva. En él encontrarás el“CalendarioMatemático” correspondiente a cadames,asícomosusrespectivossolucionarios.

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Recolecta problemas interesantes paraplanteara losniñosyniñas.Tambiénpuedesproponer a los niños y niñas que elaborensusproblemas y éstospodrán formarpartedelosproblemasdelaCajadeAcertijos.

Escr ibe los prob lemas en tar je tas decartulina.

Preparaunacajaparaqueenellasecoloquenlas tarjetas. Decórala para que l lame laatencióndelosniñosyniñas.

Cadadíade lasemana,porturnos,unode losniñosoniñasseencargarádedirigirlaactividad.

¿qué aprenden los niños y las niñas usando el Calendario Matemático?

Cons t ruyen nuevos concep tosmatemáticos.

E l a b o r a n p r o c e d i m i e n t o s d eresolucióndeproblemas.

Aplicanprocedimientosyaaprendidosensituacionesdiversasdesurealidadindividualysocial.

Adquierensolturaen laaplicacióndealgoritmos.

Intercambian ideas en un ambienteagradable,secomunicanentreellosyconeldocente.

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139

El c

alE

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ari

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át

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140

6. rEsolución dE un ProblEma matEmático (v ciclo)

Proceso de resolución de problemas

Comprensióndelproblema

Plantea preguntas que permitan en elalumno la comprensióndel problema:¿De qué tra ta e l prob lema?, ¿decuántos...serefiere?

Identifica las condicionesdelproblema:¿es de compra-venta?, ¿de cálculo degastos?,¿medidadedistancias?,etc.

Tr a z a g r á f i c a s o d i a g r a m a s d erepresentac ión: dibujo de objetosconcretos que representan conjuntos,agrupaciones, gráf ica s imból ica deobjetos, trazo de diagramas de árbol,cuadrosotablasdeinformación.

Diseño o adaptación de una estrategia desolución

Facilita a los niños y niñas la conexiónen t re l o s d a to s , cond i c i one s yrequerimientosdelproblema:

“...tratadeldineroqueteníaahorradoydeloquegastó...”;“....delpreciodelacarterayelporcentajededescuento...”;“... del área del parque rectangular ylamedidadeunode sus lados...” ; “...de la producción en una hectárea desembríoylade“x”hectárea...”,etc.

Plantea ecuaciones u operaciones apartir de la simbolizaciónde los datosadquiridos:

49-12=...;(30-13)+56=...;X+7=30.

Formula una propuesta de solución queimplique:

E fec tuar una o más operac ionesaritméticas.

Organizarlainformaciónenunatabla.

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¿qué aprenden los niños y niñas con la resolución de un problema matemático?

Formulanestrategias creativasderesolucióndeproblemas.

R e s u e l v e n y f o r m u l a nprob lemas empleando lascuatro operaciones básicasconnúmerosnaturales.

D e s a r r o l l a n h a b i l i d a d e sde f luidez y f lexibi l idad depensamiento.

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141

Buscarpatrones.

Inducirlaaplicacióndefórmulas.

Ejecutarelplanoestrategia

Recuerda a los n iños y n iñas laspropiedadesdeoperaciones.

Revisayaplicaconellos lasdefinicionesdecontenidosmatemáticosaprendidos.

Acompaña el desarrollo de cálculo delos niños y niñas. Aclara y especificaalgunodeelloscuandoseanecesario.

Enfat iza la jerarquía operatoria, lasecuencialógicadelasoperaciones.

Solicita el resultado de cálculo y lasolucióndelproblemaplanteado.

Hacerlaretrospecciónyverificación

Revisaconellos loscálculosplanteadosyefectuados.

Responde a la pregunta inic ia l delproblema.

Replantea lasoperacionesuecuacionessi no respondieran al problemao si elresultadofueraunabsurdo.

Interpreta y reflexiona la respuestadelproblema: “...esto significaque...”, “¿esverdad que puedo gastar... cuandotenía... de dinero?”, “¿es posible queun niño de 6 años pese 224,50 kg?”,“¿quizásólofueron22,45kg?”

Ejemploderesolucióndeunproblema:Enunagranjahaytantosconejoscomopatos. Si en total se han contado 72patas, ¿cuántos conejos hay en lagranja?

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Comprensióndelproblema

¿Quédatosnospresentaelproblema?,¿quénospregunta?, ¿quées loque sequieresaber?

Identificacióndedatos:

Cantidaddepatasdeunpato=2

Cantidaddepatasdeunconejo=4

Cantidaddeconejosenlagranja=?

Diseño o adaptación de una estrategia desolución

Seplanteacomoestrategiaelaboraruncuadroparallevarlacuentadelnúmerodepatasdelosconejosydelospatos:

Nºdepatos Nºdepatas

1 2

2 4

3 6

4 8

Nºdeconejos Nºdepatas

1 4

2 8

3 12

4 16

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142

Ejecutarelplanoestrategia

2x___+4x___=72 ,ó x+2x=72.Apartirde las tablaselaboradas seva llevando lacuentadelnúmerodepatasydeconejos:

Nºdepatos Nºdepatas

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

.............. .........

12 24

Nºdeconejos Nºdepatas

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

6 24

.............. .............

12 48

24+48=72patasentotal

Hacerlaretrospecciónyverificación

2x12+4x12=72

Hay12patosy12conejos.Eslaúnicaposibilidaddequeelnúmerodepatastotalessea72,siendolacantidaddepatosydeconejosiguales(comoindicalacondicióndelproblema).

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ejemplos de Problemas

Tres amigos tienen21 vasosde refresco,7deellosestánllenos,7vacíosy7llenoshastalamitadexactamente.

¿ C ó m o d e b e nrepartirse los vasospara que los t resse l leven el mismonúmero de vasos ylamismacantidadderefresco?

Un coche vaporuna carretera a velocidadconstante.Enunmomentodadopasadelantedeunpostekilométricoquetieneunnúmerode dos cifras. Al cabo de una hora pasadelantedeotropostequecuriosamentetiene

lasmismasdoscifras,peroenordeninverso.Su sorpresaesenorme, cuando, al cabodeotrahora,pasaporotroposteque lleva lasm i s m a sc i f r a sseparadasp o r u ncero.

¿ A q u éve l o c i d advaelcoche?

Hice muchos viajes. Todos fueron a Brasilmenos dos. Todos los que hice fueron aBolivia,menosdos.YtodosfueronaMéxicomenosdos.¿Cuántosviajeshiceentotal?


ExPEriEncias dE aPrEndizajE

Para EstudiantEs dE

Educación sEcundaria

VII

144

inTRODUCCiÓn

Este documento te presenta experiencias deaprendizajeseleccionadasquepermitendesarrollarlascapacidadespriorizadasdelárea.Lasactividadespresentadas imp l i can que los es tud ian tesexperimenten diversas y variadas situaciones,relacionadasentresí,que los llevenarealizarcongusto las tareasmatemáticas, desarrollar hábitosmentalesmatemáticosyentenderyapreciarelrolquelaMatemáticacumpleensituacionesdelavidacotidiana.Así,sepretendequelosestudiantes:

Se animenaexplorar, realicenestimacionese inclusivecometanerroresy loscorrijandemanera que ganen confianza en su propiacapacidad de dar respuesta a situacionesproblemáticas.

Puedan leer, escribir, debatir y elaborarconjeturas sobre situaciones problemáticasreales: es decir, que formulenhipótesis, lasverifiquen y elaboren argumentos sobre lavalidezdelashipótesisformuladas.

C o m p r e n d a n s u e n t o r n o h a c i e n d omatemáticademaneraactiva.

Se espera que el estudiante desarrol le lascapacidadesdeláreadeMatemáticadeEducaciónSecundaria al enfrentar situacionesproblemáticasque se constituyanenun reto y queponganenjuegounconocimientomatemáticorelevante.Hayquetenerencuentaqueunasituaciónproblemáticadadapuedenecesitardemásdeunaestrategia.

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*

Puedes realizar las adaptacionesomodificacionespertinentes; claro está, teniendo en cuenta losrecursosdisponiblesy la realidadde tu InstituciónEducativa. Debemos tener en cuenta que lamatemática t iene un valor formativo , dadoque promueve el desarrollo del pensamientológico-matemático de los estudiantes; un valor instrumental, dado que provee al estudiantede capacidades, habilidades y destrezas que setraducenenelmanejoprecisoyeficazdeprocesosoperativos; y un valor social, como medio decomunicación.

Eneste contexto, la enseñanzade lamatemáticaen laEducaciónSecundariadebepropiciarelusodel lenguaje matemático en la comunicación deideas; desarrollar el pensamiento deductivo einductivo; desarrollar el pensamiento crítico asícomoenseñarapensar.Laeducaciónmatemáticapermanentees,porlotanto,unanecesidad.

i n t R o d u c c i ó n

145

1 . nUeSTRO CUeRPO eS UnA FÁBRiCA

El propósito de esta experiencia es que losestudiantes discriminen información relevante,que infieran informaciónnueva apartir dedatosexplícitos y emitan apreciaciones personales.Se pueden hacer variaciones elaborando otrasgráficasestadísticas y tablasde frecuencias.Teneren cuenta que la presentación de la Estadísticacomienzacomounametodologíaderecopilación,presentacióneinterpretacióndedatos.

debe recordar a losestudiantesque interpretar yanalizardatos suponeobservarlospara identificarsus características y luegoenunciarlas.La claridadenlarepresentacióngráficadelainformacióndebeserunapremisaportenerencuenta.Dadoquelaestadísticatienesuorigenenproblemasprácticos,sepresentalasiguienteactividad.

Alimentación y nutrición

Siconsideramosanuestrocuerpocomounafábrica,lógicamenteparamantenerla en funcionamientonecesitamos ofrecerle el combustible necesariopara ponerla en movimiento y para que cadacomponente realice su trabajo a la perfección.Se sugiere previamente que el docente tratealgunos conceptos básicos relacionados con lanutriciónysu importancia.Porejemplo,convienedistinguirentre alimentaciónynutrición.Se llama alimentación al acto deproporcionar al cuerpoalimentosydeingerirlos.Esunprocesoconscienteyvoluntarioy,porlotanto,estáennuestrasmanosmodificarlo.Seentiendepornutriciónelconjuntodeprocesosfisiológicosporloscualeselorganismorecibe, transformayutiliza las sustanciasquímicascontenidasenlosalimentos.Luegoderealizarunaintroducción similar a la sugerida y una reflexiónporpartede losestudiantes llegaelmomentodeplantearlaactividad.

Eldocentepresentaelsiguienteenunciado:

Una dieta equilibrada debe tener aproximadamente una cuarta parte de grasas, un 15% de proteínas, un 3% de fibra y un 57% de carbohidratos. Se pide a los estudiantes que dibujen un diagrama circular que represente estas cantidades.

Eldocente luegodedejarunosminutosparaquelosestudiantescomprendanelenunciado,preguntaa sus estudiantes sobreel proceso a seguir paraelaborarelgráficosolicitado.

¿qué aprenden los estudiantes?

Recopilandatos.

Interpretan yorganizan datosdisponibles.

Elaborane interpretangráficasestadísticas.

Formulanresultados.

Infierendatosimplícitos.

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Se pide a los estudiantes trabajar en equiposconformados por cinco integrantes y exponersus resultados (diagramas circulares y tablas defrecuencias)paralosdatosrecopilados.Inicialmenteel docente presenta un ejemplo en el aula. Se

e x P e R i e n c i a s d e a P R e n d i z a j e P a R a e s t u d i a n t e s d e e d u c a c i ó n s e c u n d a R i a

146

Una alumnaexpresa la idea dequeprimerodebenescribirlosdatos.Esdecir:

Grasas 25%

Proteínas 15%

Fibra 03%

Carbohidratos 57%

Otra alumnaproponeefectuar una regla de tres: lacircunferencia es a 360° como el todo equivale al100%.Estoes:

360° 100%

Finalmente, un alumno sugiere graficar una tabla yrelacionar los grados con los porcentajes. Luegopropone a sus compañerosque cadauno lo realiceindividualmenteparacompararlosresultados.Deestemaneraobtuvieronlatablasiguiente:

Grasas Proteínas Fibra Carbohidratos

25% 15% 03% 57%

90° 54° 10,8 205,2°

El docente les hacenotarqueeste cuadro facilita larepresentación en un diagrama circular, y proponeque cada estudiante: ¡Dibuje y luego compare suresultado!

Finalmenteseobtienelasiguientegráfica:

Comprendenelproblema

interpretandatos

Representan losdatosenlastablas

ylosrelacionan

Buscanyaplicanunaestrategia

Grafican diagramascirculares


147

Acontinuación,eldocenteproponeacadagrupodetrabajolossiguientesenunciadosparatrabajarlosenequipos:

1. Basándote en los da tos de l e jemplopresentado,calculaahora losporcentajesdeconsumode fibra y de carbohidratos en laComunidaddeSanFranciscodeCruz, cuyapoblaciónconsumeun25%menosde fibrade lo recomendado, y cuyo consumo decarbohidratoses inferioral recomendadoen19%.

2. Unkilogramodegrasapuraequivalea7000Kcal. Si una persona consume 2625 Kcalal día, que cubren las necesidadespara susactividadescotidianas,ymedianteelejerciciofísico gasta 300Kcalmás por día, ¿cuántosdíasdeejercicionecesitapara adelgazardosKgdegrasapura si cadadía consume1900Kcal?

3. Unaconocidamarcadecerealespresenta lasiguienteinformación:

Informaciónnutricionalporcada30g

Proteínas 2,5

Hidratosdecarbono 25,6

Grasas 0,65

Fibra 1,25

Valorenergético 110Kcal

Calcula el porcentaje que representa cadaunodelostiposdenutrientes.

4. El índicedemasacorporalpermitaaveriguarfácilmente si una persona tiene un pesoadecuadoa suestatura.Calcula tu índicedemasacorporalutilizandolasiguientefórmula:

PESO(Kg) IMC=

TALLA2(m2)

Unavezobtenidoelresultadocompáraloconlasiguientetabla:

Rangonormal 18,5–24,9

Sobrepeso 25–29,9

ObesidadgradoI 30–34,9

ObesidadgradoII 35–39,9

ObesidadgradoIII >39,9

Fuente:OrganizaciónMundialdelaSalud–O.M.S.1998

Si el IMC deun compañerodeestudios esbajo,¿aquécreesquesedeba?

Para personas de más de 65 años el IMCnormal es de 24-29 Kg/m2. Si es posiblecompruébaloconalgúnfamiliardeesaedad.

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2 . PROGRAMA Mi ViVienDA

A través de esta experiencia se busca que losestudiantes discriminen información relevante,inf ieran información nueva a partir de datosexplícitos y emitan apreciaciones personales. Loimportantedelrecojodedatosestadísticosesquetenga todo lonecesariopara leerlo, interpretarloy analizarlo pertinentemente. Se pueden hacervar iac iones para ca lcular otras medidas detendencia central así comoelaborarotras gráficasestadísticas.


Se pide a los estudiantes trabajar en equiposconformados por cinco integrantes y exponersus resultados para los datos presentados. Sepone énfasis en el trabajo de equipo dado quese enmarca dentro de una metodología activa,es decir se propicia el trabajo cooperativoen laconsecución de las actividades asignadas por elprofesor. El docente interactúa con los distintosequipos conformados. Se invita al estudiante aexponersusinterpretacionesycomentariossobresus resultadosasí comoenjuiciar lasopinionesdelosotrosestudiantes.Acontinuaciónsepresentanlassiguientesactividades:

Consumo de electricidad

Un conjunto habi tac ional , conformado por3 edif icios, del Programa MI VIVIENDA estáconstituido por 30 departamentos. Se tiene lossiguientesdatos respectoal consumomensualdeelectricidaddecadaunodelosedificios.

edificio 1:Tiene12departamentos,lamediadelosconsumoses45nuevossoles.

edificio 2: Tiene 8 departamentos cuyosconsumosennuevos soles son:38,42,56,60,43,52,41,44.

edificio 3 : Los consumos se dan en lasiguientetabla:

Consumoennuevossoles

CantidaddeDepartamentos

[30;40[ 2

[40;50[ 3

[50;60[ 4

[60;70[ 1

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Interpretan y organizan datosdisponibles.

Calculanlamediaaritmética.

Elaboran tablas de frecuenciasrelativasyporcentuales.

Elaboran e interpretan gráficasestadísticas.

Formulanresultados.

Infierendatosimplícitos.

Evalúan el proceso cognitivopara in terpretar grá f i cos yexpresionessimbólicas.

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¿Cuáldelosedificiostieneelmenorconsumodeelectricidad?

¿Cuál es el consumo promedio de todo elconjuntohabitacional?

Consumo de Agua

Losconsumosdeagua(enmetroscúbicos)delos30departamentosenelmesdeoctubrefueron:

4,3 7,8 6,1 15,7 12,8 17,2

3,5 16,1 12,4 6,9 18,0 11,5

13,4 6,5 14,3 8,7 13,0 9,2

12,8 3,0 4,2 11,2 16,2 7,0

4,5 7,8 15,9 16,5 8,4 5,9

Construir la distr ibución de frecuenciasrelativasyporcentualesusando5intervalosygraficarlaojiva.

Usando la ojiva calcular aproximadamenteelporcentajedeviviendasqueconsumieronmásde14metroscúbicos.

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3 . JUeGOS MATeMÁTiCOS

Los juegos matemát icos, p lanteados comodesafíos cognitivos, posibilitan un acercamientoextraordinario al mundo de los números y delas formas. Tienen la particularidad de traspasarel aula de clase y llegar hasta los hogares comoentretenimientocolectivoqueal ser compartidosenfamiliamotivaelinterésyelplacerporaprender.Se invita a losestudiantesa laprácticadel cálculomental, a través de la realización de actividadeslúdicas que impliquen el uso de operacionescombinadas.


D i s c r i m i n a n p r o c e s o scogni t ivos usados en e lrazonamiento.

Anticipanel usopertinentedealgoritmos.

O r g a n i z a n l o s d a t o sdisponibles.

A n a l i z a n c o n d i c i o n e sdeterminadas.

Elaboranresultados.

E v a l ú a n c o n c e p t o s yrelaciones.

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Eldocentepresentalosdosjuegosarealizar.Elprimer juego (TABLeRO 36) requieredematerialmanipulativoespecífico; en cambioel segundo juego (¡AL CeRO en CinCO PASOS!)enunprimermomentosólonecesitade lápiz y papel; opcionalmente comoinstrumento de verificación del resultadoobtenidopuedeutilizarunacalculadora.

Sepidea losestudiantes trabajarenequiposconformadosporcuatrointegrantes.

Los estudiantes leen las instrucciones y/oreglas propuestas para todospor igual paraasí poderparticiparenel juegomatemáticorespetandolosturnosyprestandoatenciónaldesarrollodelmismo.

Eldocenteinteractúaconlosdistintosequiposconformados.

Al finalizar la actividad se puede formularlas siguientes preguntas a los participantes:¿quéteparecióeljuego?,¿esunjuegodondeintervieneel azaroel razonamiento?, ¿quécapacidades crees que desarrollas en laactividad?

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a . Tablero 36

Materiales

Untablerocuadriculadocomoelindicadoenlafiguraadjunta.

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

Tresdados.

36fichas.

Unahojapara registrar lospuntajesdecadajugador.

Uncronómetro.

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151

instrucciones

Elprimerjugadortiralostresdados.Utilizandolostresnúmerosquesalenylasoperacionesq u e c o n o z c a ( a d i c i ó n , s u s t r a c c i ó n ,multiplicación,división,potenciación)obtieneun número que está en el tablero. Porejemplosiaparecenlosnúmeros2,3y6,sepuede formarelnúmero7 (así:6+3–2),entoncessecolocaunafichasobreelnúmero7eneltablero.

Elsegundojugadorlanzalostresdadosyconlos númerosque aparecen (porejemplo5,3y1)obtieneunnúmerovecinoalnúmero7:puedeser14(así:5x3–1);entoncesestejugador coloca una ficha sobre el 14 y seadjudicaunpunto,porqueseencuentrajuntoaunafichayaubicadaeneltablero.

El siguiente jugador tira los tresdadosyconlosnúmerosqueaparecenintentaformarunnúmerovecino,eneltablero,al7oal14;esdecirtratadelograrunodelosresultados:1,2,8,9,15,21,20,19ó13.Losnúmeros1,2,9,15,19,20y21 sólogananunpunto,porque son vecinos de sólo uno de losnúmeros(7ó14),encambiolosnúmeros8y13ganandospuntosporquesonvecinosdelosdosnúmeros.Elegidoelnúmero, colocaunafichasobreéleneltableroyseadjudicalospuntosquelecorresponden.

Eljugadorquesiguehacelopropio,tratandode lograr lamayorcantidaddepuntos.Sinopuede formar u obtener ningún número,leda losdados al siguienteparticipante, singanarniperderpuntos.

El juego termina cuando todos los casilleroshan sido cubiertos por las f ichas. Ganael part ic ipante con más puntos a favorobtenidos.

Tener en cuenta que el participante que iniciael juego no se adjudica punto alguno. Cadaparticipante tiene a lo más 90 segundos paraformarsunúmero.

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b . ¡Al cero en cinco pasos!

Estejuegoconsisteenlosiguiente:

Setratadereducirunnúmeronaturaldetrescifrasacero.Puedeshacerestomediantesumas,restas,multiplicacionesodivisiones. Puedes repetir unaoperación las vecesquequieras.Lasoperacionesdebenefectuarseconelnúmeroque sepresentayotronúmeroque túelijas.Elnúmeroqueelijasdebeserdeunacifra (1,2,3,4,5,6,7,8ó9).Puedes usar el número que elijas las veces quequieras.

Cada operación que hagas se cuenta como unpaso. El resultadode cadaoperaciónquehagasdebeserunnúmeronatural.

Ganaseljuegosi,alomásencincopasos,puedesreduciracerocadaunodelosnúmerosdados.

Ejemplo:Reduzcamoselnúmero869acero.

Paso1: 869-5=864

Paso2: 864/9=96

Paso3: 96/8=12

Paso4: 12/6=2

Paso5: 2-2=0


152

Se invita a los estudiantes a trabajar en equiposconformadospor dos integrantes, luego sepidecompararlosresultadosobtenidos.Opcionalmentelosestudiantespuedenutilizar la calculadoraparaencontrarmanerasdereduciracerolossiguientesnúmeros:

789 629 823

Paso1:

Paso1:

Paso1:

Paso2:

Paso2:

Paso2:

Paso3:

Paso3:

Paso3:

Paso4:

Paso4:

Paso4:

Paso5:

Paso5:

Paso5:

952 997 857

Paso1:

Paso1:

Paso1:

Paso2:

Paso2:

Paso2:

Paso3:

Paso3:

Paso3:

Paso4:

Paso4:

Paso4:

Paso5:

Paso5:

Paso5:

4 . eMPReSA De SeRViCiOS S .R .L .

Lageometríaeselresultadodeunainteracciónentreelmundorealynuestracapacidaddeabstracción.Estaeslaideacentraldelapresenteexperienciadeaprendizaje.Específicamentesepresentaelcálculodeáreas superficialesdecilindrocirculares rectosaplicado a una situación económica. Se puedenhacer variaciones trabajando con otros cuerposgeométricos:prismas,pirámides,esferas,etc.


Organizanlosdatosdisponibles.

Iden t i f i c an in te r rogan tes eincógnitas.

Anticipan argumentos lógicos yelusopertinentedealgoritmos.

E l aboran d i seños , t ab l a s yresultados.

Analizanestrategiasderesolucióndeproblemas.

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Se pide al estudiante que calcule y compareáreas superficiales. El docenteponeénfasis en lanecesidadque tieneel estudiantedeprecisar lasunidadesdemedidas a considerar (porejemplo:cm,cm2);asimismoes importante recalcarqueeláreaesunnúmeroque se le asignaauna regióndeterminada. Se pide a los estudiantes trabajarenequipos conformadospor cuatro integrantes.


153

El docente interactúa con los distintos equiposconformados. A continuación se presenta lasiguienteactividad:

elaboración de Costos

AlaEmpresadeServiciosS.R.L.selehaencargadocolocar etiquetas a los tarros de leche de unamarca conocida. Los tarros de forma cilíndrica,tienen un diámetro de 6 cm y10cm de altura.Laetiquetadebe cubrir toda la superficie lateral.El metro cuadrado de papel que empleará laEmpresa de Servicios S.R.L., cuesta1,5 nuevossoles.Elrecortedelpapelaltamañorequeridoporcada tarro,más la colocacióndelpapel cuesta25céntimosdenuevo sol.Además, laetiquetade lamarcadelecheyeldibujocorrespondientecuesta45céntimosdenuevosolparacadatarro.

Sientotalseencarga lacolocacióndeetiquetasa20000tarros,sequieresaber:

¿Quécantidaddepapel,enmetroscuadrados,seemplearáenestalabor?

¿Qué costo implica para la Empresa deServic ios S.R.L. cumpl ir con el trabajoencomendado?

Sisequiereganarel30%delcosto,¿cuántodebecobrarlaEmpresadeServiciosS.R.L.?

*

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5 . BeniTO eL MOTOCiCLiSTA

Lapresenteestrategiadeaprendizaje tienecomopropósitoqueelestudiantecomprendaelconceptode razón trigonométrica aplicado a situacionesproblemáticas de la vida real (transferenciapertinentedelainformaciónocontenidotemáticopresentado).


Identificandatosyconceptosdisponibles.

Analizandatosdisponibles.

I n t e r p r e t a n e s t r a t e g i a sd e r a z o n a m i e n t o ydemostración.

Infierenprocedimientos.

E v a l ú a n c o n c e p t o s yrelaciones.

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El docente presenta una situación problemáticarecreada, a partir de esta presentación se pideal estudiante veri f icar el resultado obtenidode tal manera que le pueda ser de utilidad enotras situaciones problemáticas de la vida real(TRANSFERENCIA) Se enfatiza que la carenciadeuna transferenciapertinentede la informacióno contenido temático presentado repercute enunaprendizajepoco significativoenelestudiante.Acontinuación sepresentaenel aula la siguientesituaciónproblemática:

Benito, el motociclista, visualiza un cerro en unprimer momento bajo un ángulo de medida αgrados.

Alacercarseen línearectadmetros,observaqueelángulodeelevaciónmideβgrados.

Nuestro amigo Benito desea calcular la alturahde lamontaña; luegode realizar algunas cuentasobtuvolassiguientesigualdades:

SepideverificarquelaalturahdelamontañadelafiguraadjuntaestádadaporlafórmulaobtenidaporBenitoyluegoaplicarloalassiguientessituaciones(transferencia).

Altura de una montaña

Utilicelasfórmulasobtenidasparacalcularlaalturahde lamontañasiα=20°,β=29°yd =245metros.

Solución:

Longitud de un lago

Desde un globo estacionario de aire calientesituadoa152metrossobreelsuelosehacendosobservacionesdeun lago.Calcular la longituddellago.


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6 . OPTiMizACiÓn

Se invita a los estudiantes a resolver situacionesproblemáticas de la vida real que involucran latomadedecisiones, comparacióny seleccióndelresultadomás apropiadopara los requerimientosplanteados y comunicación de los alcances desu trabajo desde la modelación matemática conparábolas.Sepuedenhacervariacionestrabajandoconotrascónicas,porejemplolaelipse.


Eldocentepresentadossituacionesproblemáticasque se pueden modelar mediante la gráfica deunaparábola(recordandolaspropiedadesdeestacónica).Luego, sepidea losestudiantes resolverdichas situaciones problemáticas trabajando enequipos conformados por tres integrantes. Eldocente interactúa con los dist intos equiposconformados. Se invita a los diferentes equiposde trabajo a exponer sus resultados, asimismose propicia el intercambio de opiniones entrelos estudiantes. A continuación se presentan lassituacionesproblemáticasamodelar:

Cerca de un campo rectangular

Un agricultor dispone de 400 metros de cercay desea rodear un área rectangular con ella. Sepide:

a. Expresarel áreaAdel rectángulocomounafuncióndesuanchurax.

b. ¿Quévalorespuedetomarlaletrax?

c. Haga lagráficadeA=A(x). ¿Paraquévalordexesmayorelárea?


Ident i f i can in terrogantes eincógnitas.

Anticipan argumentos lógicosy e l u s o p e r t i n e n t e d ealgoritmos.

A n a l i z a n e s t r a t e g i a s d eresolucióndeproblemas.

Interpreta resultados y datosimplícitos.

Elaboraconjeturas.

E v a l ú a n e s t r a t e g i a sm e t a c o g n i t i v a s p a r a l aresolucióndeproblemas.

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Producción PYMe

Supongaqueelfabricantedeunamini-secadoraderopadiseñadaparaelPROGRAMAMIVIVIENDAhaencontradoquecuandoelprecioporunidadesp nuevos soles, el ingresomensualR (ennuevossoles)esR(p)=-4p2+4000p.Sepide:

a. Hacer la gráficadeR=R(p). ¿Quévalorespuedetomarlaletrap?

b. ¿Quépreciounitariosedebeestablecerparamaximizarelingreso?

c. ¿Cuáleselingresomáximo?


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BiBLiOGRAFÍA

ACUERDO CAB / GTZ PARA BOLIVIAECUADORYPERÚ.

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