ESTRUCTURA FINA DEL ATOMO DEHIDROGENO.

Ciertas lneas del hidrogeno y de los alcalinos mostraban perfiles con varias com-ponentes muy proximas entre s, indicando un desdoblamiento de los niveles deenerga entre los cuales se produce la transicion. Esto se llama estructura finade los niveles.Vimos que al resolver la ecuacion de Schrodinger para el atomo de H, los auto-valores corresponden a los niveles de energa segun el numero cuantico n.

En = Z2e4

2h2n2para n = 1, 2, 3...

De acuerdo a esto, cada nivel es simple, depende solamente de n y por lotanto las transiciones originan lneas simples. Pero debemos recordar que lateora de Schrodinger tiene dos aproximaciones: por un lado considera energano-relativista para el electron y por otro, considera que el electron solo se muevealrededor del nucleo, sin tener en cuenta el spin.Al introducir estas dos correcciones, veremos que se produce un corrimientoy/o desdoblamiento de los niveles de energa y que ademas del numero cuanticon, la energa dependera de otros numeros cuanticos. La estructura fina delhidrogeno consiste entonces, en la suma de dos correcciones que son del mismoorden de magnitud:

Correccion relativista. Correccion debida a la interaccion spin-orbita, originada por el acoplamientode los momentos angulares ~L y ~S.

~J = ~L+ ~S

Correccion relativista: La teora de Schrodinger toma la expresion

no-relativista: E =p2

2m+ V (r)

1

Expresion correcta siempre que la velocidad del electron sea pequena respectoa c. Pero vimos (modelo de Bohr), que la velocidad maxima del electron, paran = 1, vale vmax = 2.2 108 cm/s, por lo tanto, vmax

c 7 103 1%

Si bien la relacion es pequena, existen efectos relativistas que pueden ser ob-servables. Si m0 es la masa en reposo del electron:

T =c2p2 +m20c4 m0c2

Er =c2p2 +m20c4 m0c2 + V (r)

Er = m0c2[(

1 +c2p2

m20c4

)1/2 1]+ V (r)

Considerando que m0v m0c, tomamos = p2

m20c2 1 y desarrollamos en

serie:(1 + )1/2 1 + 12 182 + ...

Er = m0c2[1 +

p2

2m20c2 p

4

8m40c4 1]+ V (r)

Er =[p2

2m0+ V (r)

] p

4

8m30c2

Los dos primeros terminos corresponden a la expresion clasica de la energay el tercer termino es la correccion relativista de primer orden.

Er = p4

8m30c2=

m0v4

8c2 9.11 10

28(2.2 108)48(3 1010)2

Er = 3 1016erg = 2 104eVSe trata como una pequena perturbacion y podemos estimar su valor medio

usando las autofunciones normalizadas:

Er = 18m30c2V ol

nlmp4nlmdV

Er =RhcZ42

n3

(34n 1l+1/2

)(1)

= e2

hc 1137 Se denomina constante de estructura fina.Como l n, siempre tendremos que Er < 0, es decir, provoca un corrimientodel nivel hacia valores mas negativos.La correcion relativista depende de n y l y destruye la degeneracion respecto aeste ultimo numero cuantico. Para un n dado, cuanto menor es el l, mayor esla correccion.Si expresamos (1) en numero de ondas:

Tr =RZ42

n3

(34n 1l+1/2

)cm1 (2)

2

Interaccion spin-orbita:

Consideremos al electron moviendose en una orbita circular y masa delnucleo infinita, por lo tanto despreciamos efectos debidos al movimiento delnucleo. El electron se mueve con una velocidad v en un campo electrico ~Eproducido por el nucleo.

Tomaremos dos sistemas de referencia inerciales: S en el cual el nucleo estaen reposo y S en el que instantaneamente el electron esta en reposo. Para elsistema S el nucleo se mueve con una velocidad v que es perpendicular a ~Een cada instante en que el electron se considera en reposo. Para el electron enS el nucleo cargado genera una corriente ~j

~j = Ze~vc

Segun la ley de Ampere, el campo magnetico producido por esa corriente en ellugar donde se halla el electron es:

~B =~j ~rr3

= Zecr3

(~v ~r)

~E =Ze~r

r3

~B = (~v ~E)

c

En el sistema S el electron ve un campo magnetico y habra una energade interaccion entre el campo y el momento magnetico de spin s. Como eneste sistema de referencia estamos considerando fijo al electron, L = 0 y l = 0.La energa de interaccion en S sera:

E = ~s ~B

~s = gsBh~S

E = gsBh~S ~B

3

Vimos en captulos anteriores que el efecto del campo ~B es generar unmovimiento de precesion de ~s alrededor del campo con una frecuencia llamadafrecuencia de Larmor:

~L = gsBh

~B

E = ~L~S

Ahora bien, estas expresiones corresponden al sistema S y lo que realmenteinteresa es conocer sus valores en el marco de referencia donde el nucleo esta enreposo y el que se mueve es el electron. Se puede demostrar que al transformaral sistema S, cambiara la precesion de Larmor:L , donde = L + TT se llama precesion de Thomas y representa la precesion del sistema S

respecto al marco normal. Su valor resulta ser:T = 12L = = 12L

De donde resulta que en el marco normal S, la energa de interaccion sera:

ELS =12~L~S =

gs2

e

2mc~B~S

Pero:~B = Ze

cr3(~v ~r) = Ze

mcr3m(~r ~v) = Ze

mcr3~L

Reemplazando:

ELS =Ze2

2m2c2r3~L~S

ELS =Ze2

2m2c21r3LS cos LS

Por conservacion del momento angular, ~J y el angulo LS deben permanecer in-variantes durante la precesion. Podemos evaluar el producto LS cos LS median-te el diagrama vectorial:

J2 = L2 + S2 2LS cos(pi LS) = L2 + S2 + 2LS cos LS

LS cos LS =12(J2 L2 S2)

4

Reemplazando:

ELS =Ze2

4m2c21r3(J2 L2 S2)

Como r depende de Z, n, l el termino1r3

cambia para cualquier estado, porlo tanto se obtiene un valor medio:

= r=0

pi=0

2pi=0

nljmj1r3nljmjr

2 sin drdd

=Z3

r31n3l(l + 12 )(l + 1)

r1 =h2

me2es el radio de la primera orbita de Bohr.

Introducimos las constantes:

=e2

hc 1

137constante de estructura fina

R =me4

4pih3cconstante de Rydberg

R2 = 5.819cm1

ELS =Z4R2hc

2n3l(l + 12 )(l + 1)[j(j + 1) l(l + 1) s(s+ 1)] (3)

Expresada en numero de ondas:

TLS(cm1) =Z4R2

2n3l(l + 12 )(l + 1)[j(j + 1) l(l + 1) s(s+ 1)]

O bien:

TLS(cm1) = a2 [j(j + 1) l(l + 1) s(s+ 1)] (4)donde:

a(cm1) =Z4R2

n3l(l + 12 )(l + 1)

De acuerdo a (3) y (4), la interaccion spin-orbita indica que los numeroscuanticos necesarios para especificar el estado del electron son n, l, j. La energadepende de ellos, pero subsiste la degeneracion respecto al numero cuantico mj .Veremos mas adelante que se destruye esta degeneracion cuando consideramosun atomo en un campo magnetico externo (Efecto Zeeman).

Cuando l = 0 (estados s), el nivel es simple y no hay corrimiento (ELS =0). Siempre s = 1/2 y para cada valor de l, el numero cuantico j toma dosvalores: j = (l+1/2) y j = (l1/2), ya que ~S puede tener solo dos orientacionesposibles. Es decir la multiplicidad de los niveles sera 2.La nomenclatura utilizada para designar cada nivel es:

2lj Si

l=0 Terminos Sl=1 Terminos Pl=2 Terminos D... ...... ...

5

Como la correccion relativista y la interaccion spin-orbita son del mismoorden, podemos sumar (2) y (4), para obtener la expresion final de la estructurafina:

TEF (cm1) = T r +TLS

TEF (cm1) =RZ42

n3

[34n

1l + 1/2

+[j(j + 1) l(l + 1) s(s+ 1)]

2l(l + 1/2)(l + 1)

]

TEF (cm1) =RZ42

n3

[34n

1j + 1/2

](5)

La expresion entre corchetes es siempre negativa, por lo tanto los niveles secorren hacia abajo (valores mas negativos). Vemos ademas que la estructurafina, desarrollada hasta el primer orden de aproximacion, depende solamente den y j:

Tnj(cm1) = RZ2

n2+RZ42

n3

[34n

1j + 1/2

](6)

Veamos la estructura fina de los 3 primeros niveles del hidrogeno:

n l s j Config-electr. Niveles1 0 1/2 1/2 1s 2S1/22 0 1/2 1/2 2s 2S1/2

1 1/2 1/2,3/2 2p 2P1/2,2 P3/23 0 1/2 1/2 3s 2S1/2

1 1/2 1/2,3/2 3p 2P1/2,2 P3/22 1/2 3/2,5/2 3d 2D3/2,2D5/2

De acuerdo a (5) el desplazamiento de los niveles de estructura fina seran:

n Niveles TEF (cm1)1 2S1/2 -1.452 2S1/2, 2P1/2 -0.455

2P3/2 -0.0913 2S1/2, 2P1/2 -0.161

2P3/2, 2D3/2 -0.0532D5/2 -0.018

Las transiciones entre estos niveles estan regidas por las reglas de se-leccion, las que indican que cambios en los numeros cuanticos dan las tran-siciones mas probables :

l = 1j = 0,1

Por ejemplo la transicion n = 3 n = 2, correspondiente a la lnea H de laSerie de Balmer, son en realidad 5 transiciones de estructura fina:2D5/2 2 P3/22D3/2 2 P3/2

6

2S1/2 2 P3/22D3/2 2 P1/2 o 2P3/2 2 S1/22P1/2 2 S1/2 o 2S1/2 2 P1/2

El perfil de H tendra cinco componentes muy cercanas y de distintas in-tensidades. Las mas intensas corresponden a las dos transiciones que involucranlos mayores valores de j (2D5/2 2 P3/2 y 2D3/2 2 P3/2) y las tres restantesson mas dediles.

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