Concreto Armado 1 - 171

Ejemplo 9-11- Diseño por flexión de una viga continua. Diseñar la viga del eje B correspondiente a la planta mostrada a continuación. Se trata de una viga que no forma pórtico con las columnas ya que se apoya sobre otras vigas (las vigas principales de los ejes 1, 2, 3, 4).

Metrado de la vigaCM: pp viga = 2,400x0.3x0.6 = 432 kg/m

pp alig. = 300x4.70 = 1,410p.t. = 100x5.0 = 500

CV: s/c = 250x5.0 = 1,250 1,250x1.8 = 2,250 servicio = 3,590 kg/m

Modelo estructural a ejes

El análisis estructural se realizó suponiendo comportamiento elástico de la viga bajo la acción de las cargas amplificadas, sin considerar alternancia de sobrecarga, los resultados son:

2,342x1.5 3,510

u = 5,760 kg/m

u = 5,760 kg/m

6.0 m 6.0 m6.0 m(1))

(3)(2) (4)

M+u =16,590

13,825

Mu- = 20,735 kg-m

2.40

M+u = 5,1851.2 1.7

20,735 Vu =17,280 kg

Aligerado h=0.2 m

p.p. = 300 kg/m2

p.t. = 100 kg/m2

s/c = 250 kg/m2

6 66

5

5

5

A

1 2 3 4

B

C

(30x60)

(30x60)

(30x60) (30x60)

(30x60) (30x60)

(30x60)(30x60)(30x60)

(30x

80)

(30x

80)

(30x

80)

(30x

80)

fc = 210 kg/cm2

fy = 4,200 kg/cm2

Concreto Armado 1 - 172

La Norma permite diseñar con los momentos negativos reducidos a la cara del apoyo. El momento negativo reducido a la cara izquierda del apoyo interior es de 17,625 kg-m aproximadamente, y a la derecha de 18,145. El momento flector negativo de diseño sería el mayor de los dos valores, es decir 18,145 kg-m que representa una reducción del 12% con respecto del momento flector calculado al eje.El diseño se realizará con los momentos negativos sin reducir a la cara del apoyo para así tomar en cuenta, indirectamente, el aumento en los momentos negativos por efecto de la posible alternancia de la carga viva.

Diseño de la Sección 0.30x0.60. Peralte efectivo estimado d = 0.54 m

fc = 210 kg/cm2 As max = 0.75 Asb = 0.75 x 2.13% x 30 x 54 26 cm2

a) M+u = 16,590 As = 8.67 cm2

Colocar 13/4” + 3/8” As = 8.84 cm2 Mn = 16,885 kg-m s = 8.0 y

b) M+u= 5,185 As = 2.59 cm2

Colocar 2/8” As = 4 cm2 Mn = 7,930 kgm s = 19.5 y

c) Mu= 20,735 As = 11.04 cm2

Colocar 4/4” As = 11.36 cm2 Mn = 21,275 kgm s = 5.9 y

Esquema en elevación de la armadura seleccionada

As negativoNecesario 11.04Colocado 11.36 (+2.9%)

As positivoNecesario 8.67 2.59Colocado 8.84 (+2%) 4.00 (+54%)Resistencias negativasExigidas 20,735Suministradas 21,275 (+2.6%)Resistencias positivasExigidas 16,590 5,185Suministradas 16,885 (+1.8%) 7,930 (+53%)

Para completar el diseño es necesario realizar el diseño por fuerza cortante (estribos), verificar las deflexiones del tramo exterior, realizar el control de la fisuración y acotar las longitudes de los bastones (corte de fierro).Los aceros positivos y negativos colocados se aproximan bastante a los necesarios, por lo tanto, no habrá sobreresistencia en flexión importante. En el segundo tramo hay un exceso de acero positivo producto de la exigencia de la Norma relativa al acero mínimo.

1.1 1.3

13/4” + 1/8”

23/4”

23/4”25/8”

25/8”

23/4”

25/8”

CL

Concreto Armado 1 - 173

Es claro que la sección que gobierna la resistencia de la viga, si se aceptan los resultados del análisis elástico, es la de momento positivo en los tramos extremos, donde se ha proporcionado la menor sobreresistencia (+1.8%). Si imaginamos que la carga se incrementa desde cero hasta la carga última, el momento positivo en los tramos extremos será el primero que alcanzará su resistencia disponible. En consecuencia la carga máxima que se podrá aplicar a la estructura y el factor de seguridad de la viga frente a la falla por flexión, sobre la base de los resultados del análisis elástico, será aproximadamente:

(16,885 / 16,590) x 5,760 u 5,860 kg/mF.S. = 5,860 / 3,590 = 1.63 / 0.9 1.81

El valor calculado del coeficiente de seguridad, es muy parecido al que se hubiera logrado si se hubieran proporcionado áreas de acero exactamente iguales a las exigidas:

F.S. = 5,760 / 3,590 = 1.60 / 0.9 1.78

Verificación del factor de seguridad de la viga utilizando el diseño límite o diseño por capacidad, es decir el asociado con la formación de un mecanismo plástico controlado por flexión. Para ello haremos las siguientes suposiciones:

a) Los apoyos extremos son simples, es decir, no se desarrolla momento negativo. b) Las secciones poseen una buena ductilidad de curvatura. Los diagramas Momento –

Curvatura son del tipo bilineal con una ductilidad de curvatura alta. No hay endurecimiento del acero por deformación.

c) No existe posibilidad de una falla prematura por fuerza cortante ni por adherencia, en consecuencia, el diseño por fuerza cortante deberá realizarse sobre la base de la carga límite que resulte de este análisis.

Los posibles mecanismos plásticos, que son la base del análisis límite o por capacidad, son los siguientes:

El mecanismo plástico que controla la resistencia de toda la viga es el segundo. Se trata de un mecanismo parcial en el cual primero se formarán las rótulas en la zona de momento positivo de los tramos extremos y poco después (casi con la misma carga) se formarán las rotulas en los apoyos interiores. Para calcular la carga límite, analizaremos los tramos extremos y el tramo central:

Mecanismos parciales

Mecanismo completo

Concreto Armado 1 - 174

Análisis del tramo exterior

Del diagrama anterior se obtiene ul 5,880 kg/m. Si se hubiera supuesto que el máximo positivo se produce al centro de la luz tendríamos:

El error que se comete al suponer la rótula al centro de la luz, es en este caso, de tan solo el 4%. El factor de seguridad, frente a la formación de un mecanismo, para los tramos extremos será:

F.S. = 5,880 / 3,590 = 1.64 / 0.9 1.82

Análisis del tramo interior

La carga límite para el tramo central será ul 6,490 kg/m mayor que la correspondiente a los tramos extremos. En consecuencia el mecanismo plástico que controla la resistencia de la estructura es:

l = 6.0

21,275nM

21,275

16,885

Mn+ = 16,885

2.40

8,510

ul

l = 6.0

21,275nM

7,930nM

21,275nM

ul

Concreto Armado 1 - 175

En resumen:a) Con los resultados del análisis elástico controla el momento positivo de los tramos

extremos:u 5,860 kg/m F.S. 1.8

b) Con los resultados del análisis limite controla el mecanismo parcial asociado a los tramos extremos:

ul 5,880 kg/m F.S. 1.8

Ambos resultados son muy similares ya que las áreas de acero colocadas, se han ajustado bastante a los requerimientos provenientes del análisis elástico, es decir no hay ni excesos ni defectos significativos en el acero. Además el análisis y diseño se ha realizado sin considerar alternancia de la sobrecarga.Es interesante comparar los resultados del análisis elástico que se ha realizado, suponiendo sobrecarga plena en todos los tramos, con los que se obtendrían con alternancia de sobrecarga. Los patrones de carga que sería necesario analizar son:

Los porcentajes entre paréntesis indican la comparación con los resultados considerando todos los tramos con sobrecarga plena.

La envolvente de momentos flectores (resistencias requeridas) considerando alternancia es como se muestra a continuación:

Mneg sin alternancia = 20,735 Mneg máximo al eje = 22,090 kg-m (+7%) Resistencia de diseño = 21,275

Mpos sin alternancia = 5,185 Mmax positivo = 9,235 kg-m (+78%) Resistencia de diseño = 7,930

Mpos sin alternancia = 16,590 Mmax positivo = 18,250 kg-m (+10%) Resistencia de diseño = 16,885

Concreto Armado 1 - 176

El máximo negativo reducido a la cara del apoyo, en este caso a la derecha, es de 19,330 kg-m aproximadamente. La armadura negativa colocada suministra una resistencia de diseño de 21,275 kg-m por lo tanto la armadura provista cubre la posibilidad de alternancia en los negativos. En los momentos positivos de los tramos extremos no hay mucha diferencia, tan solo un 10%. Donde se produce la máxima diferencia es en el momento positivo correspondiente al tramo central (+78%). Esta diferencia importante se explicó en la sección 6.11 (ver tabla 6-2). La resistencia proporcionada a esta sección, que obedece a las exigencias de acero mínimo, es de 7,930 kg-m por lo tanto el exceso sobre la resistencia proporcionada es, en este caso, tan sólo del 16%. Por otro lado, la mayoría de los códigos permiten reducir la intensidad de la carga viva de diseño en función del área soportada por el elemento. Por ejemplo, la Norma Peruana de Cargas E-020, para este caso particular, permitiría una reducción cercana al 40%, es decir la sobrecarga de diseño pudo reducirse a 250x0.6 = 150 kg/m2. La Norma ASCE-95 permitiría, para este caso, una reducción de un 15% en la sobrecarga para el cálculo de los máximos positivos y de un 35% para los máximos negativos. Estas reducciones pueden aplicarse perfectamente a los patrones de carga que conduzcan a la determinación de los momentos máximos positivos y negativos. Sin embargo, no debería proporcionarse una resistencia muy inferior a la exigida por el íntegro de la sobrecarga actuando en todos los tramos simultáneamente.La reducción de la sobrecarga se basa en que los patrones de carga que producen los máximos positivos y negativos son distintos, y por lo tanto, los máximos no pueden ocurrir simultáneamente. Si se provee una adecuada ductilidad a la viga será posible una redistribución de los momentos máximos antes de que sobrevenga la falla. El diseño con reducción en el valor de la sobrecarga, podría originar sobreesfuerzos en algunas secciones en la eventualidad de que el 100% de la sobrecarga actúe en algunos de los patrones que originan los máximos momentos. Sin embargo la capacidad última del sistema, luego de la redistribución de momentos producto de los sobreesfuerzos, no será menor que la requerida para soportar el íntegro de la sobrecarga actuando en todos los tramos.

Para concluir con el ejemplo, veamos los resultados que se obtendrían si se aplicara el Método de los Coeficientes de la Norma con u =5,760 kg/m y ln = 5.7 m:

Mu negativo cara del apoyo = 1/10 u ln2 = 18,715 kgm vs. 19,330 (alternancia)

M+u positivo tramos extremos = 1/11 = 17,010 kgm vs. 18,250 (alternancia)

M+u positivo tramo interior = 1/16 = 11,700 kgm vs. 9,235 (alternancia)