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Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
VII Circuitos de Segundo Orden Objetivos:
o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las
raíces de la ecuación característica de la red o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial
y senoidal Introducción En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. Comenzaremos nuestro estudio con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito. 7.1 Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura 7.1.1
is(t) R L C
v(t)
iL(t0)
vs(t)
LR
C
vC(t0) i(t) + -
Figura 7.1.1 (a) (b)
Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba:
iR + iL+iC = is(t), es decir: )()()()(1)(0
0
tidt
tdvCtidxxvLR
tvsL
t
t=+++ ∫
De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente:
vR + vC+vL = vs(t), es decir: )()()()(10
0
tvdt
tdiLtvdxxiC
iR sC
t
t=+++ ∫
Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos
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depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos:
dttdi
Ltv
dttdv
RdttvdC s )()()(1)(
2
2
=++ , que podemos expresarla como:
dttdi
CLCtv
dttdv
RCdttvd s )(1)()(1)(
2
2
=++ y
dttdv
Cti
dttdiR
dttidL s )()()()(
2
2
=++ , que podemos expresarla como:
dttdv
LLCti
dttdi
LR
dttid s )(1)()()(
2
2
=++
Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación. 7.2 Solución a la ecuación diferencial de segundo orden Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis de los circuitos RLC. De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma:
)()()()(212
2
tftxadt
tdxadt
txd=++
Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es: x(t) = xf(t) + xn(t) Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t) = A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la respuesta forzada como sigue:
AKadtdKa
dtKd
=++ 212
2
, se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será:
x(t) = A/a2 + xn(t) Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo orden igual cero:
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0)()()(212
2
=++ txadt
tdxadt
txd , donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y
simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma:
0)()(2)( 22
2
=++ txdt
tdxdt
txdnn ωζω , donde hemos hechos las siguientes sustituciones
simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn2.
Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden, la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución exponencial para la respuesta natural, xn(t) = Kst y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener: s2Kst + 2ζωnsKst + ωn
2Kst = 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre Kst se obtiene: s2 + 2ζωns + ωn
2 = 0 Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o coeficiente de amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t) = Kst es correcta. Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si:
12
442 2222
−±−=−±−
= ζωζωωωζζω
nnnnns
Por lo tanto hay dos valores de s, s1 y s2 que satisfacen la ecuación característica
121 −+−= ζωζω nns y 12
2 −−−= ζωζω nns Esto significa que 1
1 1( ) s tcx t K e= es una solución de la ecuación homogénea y que
22 2( ) s t
cx t K e= también es una solución a la ecuación homogénea; es decir,
1 1
22
1 1( ) 2 ( )s t s t s tn n
d dK e K e K edt dt
ζω ω+ + 11 0= y
2 2
22
2 2( ) 2 ( )s t s t s tn n
d dK e K e K edt dt
ζω ω+ + 22 0=
La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad
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1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) (s t s t s t s t s t s tn n
d dK e K e K e K e K e K edt dt
ζω ω+ + + + + ) 0=
Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma:
1 21 2( ) s t s
ntx t K e K e= +
Donde K1 y K2 son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:
11 2( ) 2s t s tx t K e K e= + , entonces, x(0) = K1 + K2 y 2211
0
)0()( KsKsdt
dxdt
tdx
t
+===
De aquí, x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven dan las constantes K1 y K2. 7.3 Respuesta natural de los circuitos de segundo orden Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle. 7.3.1 Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:
11 2( ) 2s t
ns tx t K e K e= + , donde s1 y s2 toman los valores:
12
1 −+−= ζωζω nns y 122 −−−= ζωζω nns
Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes. 7.3.2 Respuesta Subamortiguada Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como:
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dnn jjs ωσζωζω +−=−+−= 21 1
dnn jjs ωσζωζω −−=−−−= 21 1
Donde 1−=j , nζωσ = y 21 ζωω −= nd . Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces:
( ) (1 2( ) d )dj t
nx t K e K eσ ω σ ω− − − += + j t , que se puede escribir como:
1 2( ) ( )d dj t jtnx t e K e K eω ωσ −−= + t
jsen
Utilizando las identidades de Euler
cosje θ θ θ± = ± , obtenemos:
1 2( ) [ (cos ) (cos )]tn d d d dx t e K t jsen t K t jsen tσ ω ω ω ω−= + + − , reduciendo esto tenemos:
1 2 1 2( ) [( ) cos ( ) ]t
n d dx t e K K t jK jK sen tσ ω ω−= + + − , que lo podemos escribir como:
1 2( ) ( cos )tn d dx t e A t A sen tσ ω ω−= +
Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1
*. A1 = K1 +
K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada. 7.3.3 Respuesta críticamente amortiguada Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen cero y esto genera: s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente 3( ) nt
nx t K e ζω−= donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x1(t) es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x1(t)y(t) podemos transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t)
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Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la ecuación básica es:
0)()(2)( 22
2
=++ txdt
tdxdt
txd αα y una solución conocida es 1 3( ) tx t K e α−=
Empleando la sustitución x2(t) = x1(t)y(t) = K3-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en
22
3 3 32 [ ( )] 2 [ ( )] ( )t t td K e y t K e y t K e y tdt
α α αα α− − −+ + 0=
Evaluando las derivadas obtenemos:
3 3 3( )[ ( )] ( )t td dK e y t K e y t K e
dt dtα α αα− − −= − + t y t
2 2
23 3 3 32 2
( ) ( )[ ( )] ( )] 2t t t td dK e y t K e y t K e K edt dt dt
α α α αα α− − − −= − +y t d y t
Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene:
2
3 2
( ) 0t d y tK edt
α− = . Por lo tanto 0)(2
2
=dt
tyd , y de aquí,
y(t) = A1 + A2t. Por ende la solución general es: x2(t) = x1(t)y(t) = K3-αt(A1 + A2t), la cual puede escribirse como:
2 1 2( ) ( ) nt tnx t x t B e B t e nζω ζω−= = + −
t
, donde B1 + B2 son constantes derivadas de las condiciones iniciales. La Figura 7.3.1 ilustra gráficamente los tres casos para las situaciones en las que xn(0) = 0. Advertimos que la respuesta críticamente amortiguada tiene un pico y decae más rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del factor ζ. En realidad los términos ne ζω−± definen lo que se llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda
0
Críticamente amortiguado
xn(t)
Sobre amortiguado
t
0
-αt
Subamortiguado xn(t)
t
Figura 7.3.1
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de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas. Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RLC simples que contienen condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente amortiguada.
RL C
iL(0)
vC(0)
v(t)
+
-
Figura 7.3.2
Ejemplo 7.3.1 Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el voltaje v(t). Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKC. iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:
0)()()(1)(0
0
=+++ ∫ dttdvCtidxxv
LRtv
L
t
t, derivando esta expresión con respecto al
tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:
0)()(1)(2
2
=++LC
tvdt
tdvRCdt
tvd
Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:
0)()(5.2)(2
2
=++ tvdt
tdvdt
tvd
Entonces la ecuación característica será: s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -2 y s2 = -0.5 Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v(t) será de la forma: v(t) = K1-2t + K2-0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión:
0)()(1)(2
2
=++LC
tvdt
tdvRCdt
tvd , con la expresión:
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0)()(2)( 22
2
=++ txdt
tdxdt
txdnn ωζω , y quitando la variable v(t) que buscamos, obtenemos
la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn
2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de
amortiguamiento es CL
R21
=ζ y la frecuencia resonante es LCn1
=ω
y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -2 y s2 = -0.5, y la solución toma la forma: v(t) = K1-2t + K2-0.5t Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K1 y K2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = K10 + K20 = K1 + K2 = 4. La segunda ecuación necesaria para determinar = K1 y K2 normalmente se obtiene de la expresión:
2 01 2
( ) 2 0.5t tdv t .5K e K edt
− −= − −
Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:
0)()()(=++
dttdvCti
Rtv
L , que al despejar tenemos: C
titvRCdt
tdv L )()(1)(−−=
Y evaluándola para t = 0, obtenemos: 5)1(5)4(5.2)0()0(1)0(−=−−−=−−=
Civ
RCdtdv L ,
entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta
0 01 2
(0) 2 0.5dv K e K edt
= − − = −5 . El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
formado es:
55.02 21 −=−− KK K1 + K2 = 4. Multiplicando ésta ecuación por 2 y efectuando la reta de ambas se obtiene: -2K1 – 0.5K2 = -5 2K1 + 2K2 = 8 (3/2) K2 = 3 así K2 = 2 y K1 = 4 - K2 = 4, entonces K1 =2 Por lo tanto v(t) es:
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v(t) = 2-2t + 2-0.5t La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la Figura 7.3.3 y La corriente n la bobina se relaciona con v(t) mediante la ecuación
∫= dttvL
tiL )(1)( , entonces sustituyendo el valor de v(t) obtenemos:
2 0.51( ) [2 2 ]
5t t
Li t e e dt− −= +∫ , por lo
tanto la corriente en la bobina será:
2 0.51 4( )5 5
t tLi t e e A− −= − −
Ejemplo 7.3.2 El circuito RLC serie que se muestra en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F, L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el capacitor.
0
4
t (s)
v(t) (V)
1 2 3
0.6
Figura 7.3.3
RL
vC(0)C
iL(0)
R
i(t)
Figura 7.3.4
Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:
0)()(1)()( 00
=+++ ∫ tvdxxiCdt
tdiLtiR C
t
t, derivando esta expresión con respecto al
tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:
0)()()(2
2
=++LC
tidt
tdiLR
dttid
Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:
0)(25)(6)(2
2
=++ tidt
tdidt
tid
Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4
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Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i(t) será de la forma: i(t) = A1-3tcos4t + A2-3tsen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión:
0)()()(2
2
=++LC
tidt
tdiLR
dttid , con la expresión:
0)()(2)( 22
2
=++ txdt
tdxdt
txdnn ωζω , y quitando la variable i(t) que buscamos, obtenemos
la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn
2 = 0, donde 2ζωn = R/L y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de
amortiguamiento es LCR
2=ζ y la frecuencia resonante es
LCn1
=ω
y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s Como: ζ < 1 entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -3 + j4 y s2 = -3 – j4, Y la solución toma la forma: i(t) = A1-3tcos4t + A2-3tsen4t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2. Como i(t) = iL(t) entonces: iL(0) = i(0) = A10cos0 + A20sen0 = 4, entonces obtenemos A1 = 4 La segunda ecuación necesaria para determinar = A1 y A2 normalmente se obtiene de la expresión:
3 3 3 31 1 2 2
( ) 4 4 3 cos 4 4 cos 4 3t t tdi t 4tA e sen t Ae t A e t A e sen tdt
− − − −= − − + − Y así
0 0 0 0
1 1 2 2(0) 4 0 3 cos 0 4 cos 0 3di 0Ae sen Ae A e A e sendt
= − − + −
21 43)0( AAdt
di+−=
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Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla inicial podemos despejar dicha derivada, así:
0)()()( =++ tvdt
tdiLtiR C , que al despejar obtenemos:
)()()( ti
LR
Ltv
dttdi C −−= , que evaluado en t = 0 se obtiene:
20416
14)0(
)0()0(−=−=−−= i
LR
Lv
dtdi C
Por lo tanto 2043 21 −=+− AA y como A1 = 4, entonces A2 = -2, así la expresión para i(t) es: i(t) = 4-3tcos4t - 2-3tsen4t A Ahora el voltaje en el capacitor puede determinarse vía la LKV usando la corriente encontrada:
dttdiLtiRtvC)()()( −−= , entonces
sustituimos el valor de i(t) y obtenemos:
0
-4
t (s)
vC (V)
0.3 0.5 1 1.5
8
Figura 7.3.5
vC(t) = -24-3tcos4t + 12-3tsen4t +16-3tsen4t + 12-3tcos4t + 8-3tcos4t - 6-3tsen4t vC(t) = -4-3tcos4t + 22-3tsen4t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura 7.3.5
R1
R2C
L
i(t)
v(t) +
iL(0)
- vC(0)
Figura 7.3.6
Ejemplo 7.3.3 Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pide encontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R1 = 10Ω, R2 = 8Ω, C = 1/8F, L = 2H, vC(0) = 1V, iL(0) = 1/2A Solución: Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así: vL + vR1 + v(t) = 0 y sustituyendo obtenemos:
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0)()()(1 =++ tvtiR
dttdiL (1)
Ahora aplicamos LKC al nodo entre R1 y R2, para obtener:
i(t) = iC + iR2 = 0 y sustituyendo obtenemos: 2
)()()(R
tvdt
tdvCti += (2)
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y reacomodando, obtenemos:
0)()(1)(
2
211
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ tv
LCRRR
dttdv
LR
CRdttvd
Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene:
0)(9)(6)/2
2
=++ tvdt
tdvdt
tvd
Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 9 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = s2 = -3 Como las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente amortiguada y v(t) será de la forma: v(t) = B1-3t + B2t-3t
Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B1 y B2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = B10 + B2(0)0 = 1, entonces obtenemos B1 = 1 La segunda ecuación necesaria para determinar = B1 y B2 normalmente se obtiene de la expresión:
3 31 2 2
( ) 3 t tdv t 33 tB e B e B tedt
− −= − + − − , y evaluándola en t = 0, se obtiene:
0 0
1 2 2(0) 3 3dv 0(0)B e B e B e
dt= − + −
213)0( BBdt
dv+−=
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Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación (2) que del análisis nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:
CRtv
Cti
dttdv
2
)()()(−= , evaluando para t = 0,
38/8
18/12/1)0()0()0(
2
=−=−=CR
vC
idt
dv
Por lo tanto -3B1 + B2 = 3 y como B1 = 1, entonces B2 = 6, así la expresión para v(t) es: v(t) = -3t + 6t-3t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura 7.3.7 Entonces la corriente i(t) puede determinarse de la ecuación (2) del análisis nodal inicial, así:
0
0.2
t (s)
vC (V)
0.3 0.5 1 3
1
2
1.3
Figura 7.3.7
2
)()()(R
tvdt
tdvCti += , sustituyendo el valor de v(t) en dicha ecuación, obtenemos:
i(t) = (1/8)(-3-3t + 6-3t – 18t-3t) + (1/8)( -3t + 6t-3t) i(t) = (1/2)-3t – (3/2)t-3t A 7.4 Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Segundo Orden Una vez obtenida la ecuación diferencial de segundo orden que describe el circuito, que de forma general es:
)()()()(212
2
tftxadt
tdxadt
txd=++
La respuesta forzada xp(t) debe satisfacer dicha ecuación. Por tanto, al sustituir xp(t) en la ecuación se tiene:
)()()()(
212
2
tftxadt
tdxa
dttxd
ppp =++
Se necesita determinar una xp(t) tal que ésta y sus primera y segunda derivadas satisfagan la ecuación anterior. Si la función forzada es una constante, es de esperarse que la respuesta forzada sea también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función
C.R. Lindo Carrión 214
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
forzada es de la forma exponencial como f(t) = B-at , entonces las derivadas de f(t) son todas exponenciales de la forma Q-at y se espera que xp(t) = D-at. Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Si f(t) = Asenωot, se intentará con: xp(t) = Msenωot + Ncosωot = Qsen(ωot + θ) A continuación presentamos algunas funciones forzadas y su supuesta solución
Funciones Forzadas Solución supuesta
K A Kt At +B Kt2 At2 + Bt + C
Ksenωt Asenωt + Bcosωt K-at A-at
Ahora veamos algunos ejemplos.
if u(t) R L C
v(t)
i(t)
Figura 7.4.1
Ejemplo 7.4.1 Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor ip(t) en el circuito RLC paralelo mostrado en la Figura 7.4.1 cuando if = 8-2t, R = 6Ω, L = 7H y C = (1/42)F. Solución: Primero necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello aplicaremos LKC al nodo superior: iR + i(t) + iC = if , entonces, v(t) / R + i(t) + Cdv(t)/dt = if, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el voltaje del inductor por estar en paralelo, hacemos uso de v(t) = Ldi(t)/dt, sustituyendo esto en la ecuación nodal obtenida y reacomodando, tenemos:
LCi
tiLCdt
tdiRCdt
tid f=++ )(1)(1)(2
2
, sustituyendo los valores obtenemos:
2
22
( ) ( )7 6 ( ) 48 td i t di t i t edt dt
−+ + =
Como la única respuesta solicitada es la respuesta forzada, entonces suponemos que ip(t) será de la forma:
C.R. Lindo Carrión 215
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
ip(t) = A-2t, entonces la sustituimos en la ecuación diferencial para encontrar el valor de A, así: 4A-2t + 7(-2A-2t) + 6A-2t = 48-2t, entonces, (4 – 14 + 6)A-2t = 48-2t, entonces A = -12 por lo tanto la respuesta forzada será: ip(t) = -12-2t A Ejemplo 7.4.2 Determinemos el voltaje de salida v(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la Figura 7.4.2 El circuito para t < 0 esta en estado estable. Los valores son: R1 = 10Ω, R2 = 2Ω, L = 2H, C = (1/4)F. Solución: Primero debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, como es mostrado en la Figura 7.4.3. Ahora tenemos que encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello hay que utilizar las herramientas de análisis de circuitos. En este caso, haremos una combinación de dos leyes para poder obtener la ecuación diferencial. Primero aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obtenemos:
24)()()(1 =++ tvtiR
dttdiL (1) y aplicando LKC al nodo de salida obtenemos otra
ecuación,
2
)()()(R
tvdt
tdvCti += (2), como buscamos v(t), entonces sustituimos la ecuación (2) en
la ecuación (1) para obtener la ecuación diferencial en función de v(t), y reacomodando se obtiene:
LCtv
LCRRR
dttdv
LR
CRdttvd 24)()(1)/
2
211
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
Sustituyendo los valores de lo s componentes en la ecuación diferencial se obtiene:
24V
12V
L R1
C R2 v(t)
+
-
t = 0i(t)
Figura 7.4.2
24V
12V
L R1
C R2 v(t)
+
-
i(t)
Figura 7.4.3
C.R. Lindo Carrión 216
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
48)(12)(7)/2
2
=++ tvdt
tdvdt
tvd
De aquí, la ecuación característica es: s2 + 7s + 12 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 y s2 = -4 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vn(t) = K1-3t + K2-4t Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vp(t) = K3, por lo tanto la solución general es: v(t) = K1-3t + K2-4t + K3 Para obtener el valor de K3, lo sustituimos en la ecuación diferencial y obtenemos que: K3 = 48/2 = 4, Otra forma de encontrar el valor de K3, es considerando el circuito para t > 0 en estado estable, como se muestra en la Figura 7.4.4 y así encontrar v(t) en estado estable, a través de un divisor de voltaje,
10Ω
2Ω 24V v(t)
+
-
Figura 7.4.4 v(t) = (2/12)24 = 4V, entonces K3 = 4 10ΩiL(0-)
+
2Ω
Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.4.5
12V vC(0-) -
v(0-)
+
-
Entonces iL(0-) =12/12 = 1A y vC(0-) = (2/12)12 = 2V, así como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = i(0+) y vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0+), entonces podemos evaluar v(t) en t = 0 y obtener la primera ecuación, así:
Figura 7.4.5
v(0) = K1 + K2 + 4 = 2, reduciendo se tiene: K1 + K2 = -2 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -3K1-3t - 4K2-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -3K1 - 4K2
C.R. Lindo Carrión 217
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De la ecuación nodal (2) que utilizamos para obtener la ecuación diferencial podemos despejar la primera derivada de v(t), evaluarla en t = 0 y encontrar su valor para utilizarlo en la ecuación anterior, así
CRtv
Cti
dttdv
2
)()()(−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:
04/2
24/1
1)0()0()0(
2
=−=−=CR
vC
idt
dv , así la segunda ecuación es:
dv(0)/dt = -3K1 - 4K2 = 0, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = -8 y K2 = 6, por lo tanto la respuesta completa del circuito es: v(t) = -8-3t + 6-4t + 4 V 7.5 Problemas Resueltos Ejemplo 7.5.1 Encuentre io(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.1 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución: Para encontrar io(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego el voltaje del capacitor que es igual al voltaje v(t) ya que todos los elementos se encuentran en paralelo, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar io(t) como: io(t) = v(t)/5 El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.2. Para encontrar v(t) aplicamos la LKV al nodo superior, así:
1Ω 5Ω 1H1A iL(t)2
2/5 F
v(t)io(t)
t = 0
Figura 7.5.1
1Ω 5Ω 1H1A iL(t)2
2/5 F
v(t)io(t)
Figura 7.5.2
C.R. Lindo Carrión 218
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⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++ ∫∫ )()(1)(
5)(
1)()()(1
211 oL
t
toL
t
ttidxxv
LdttdvCtvtvtidxxv
L oo
Esta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ )(1)(
5)(
1)()(
21
2
2
tvLdt
tvdCdttdv
dttdvtv
L, reacomodando y sustituyendo valores
de L y C, obtenemos:
0)(45)(3)(
2
2
=++ tvdt
tdvdt
tvd ,
Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 3s + 5/4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -1/2 y s2 = -5/2 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1-t/2 + K2-5t/2 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.3.
1Ω1A 5ΩiL(0-)2
iL(0-) +vC(0-) -
Figura 7.5.3
Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(t), obtenemos: v(0) = K1 + K2 = 0, que es la primera ecuación, La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -(1/2)K1-t/2 – (5/2)K2-5t/2 y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2
C.R. Lindo Carrión 219
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Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que utilizamos para obtener la ecuación diferencial y despejamos la primera derivada de v(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
)(3)(45
25)( tvti
dttdv
L −−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:
2500
25)0(3)0(
45
25)0(
=−−=−−= vidt
dvL , así la segunda ecuación es:
dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2 = 5/2, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = 5/4 y K2 = -(5/4), entonces el voltaje v(t) es:
0 5 t (s)
io(t) (mA)
1 2 3 4
140
Figura 7.5.4
v(t) = (5/4)-t/2 – (5/4)-5t/2 V, por lo tanto la corriente io(t) será: io(t) = v(t)/5 = (1/4)-t/2 – (1/4)-5t/2 A La figura 7.5.4 muestra io(t) Ejemplo 7.5.2 Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.5 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.
24V
12KΩ
6KΩ
1KΩ
3KΩ
2mH
250pF
250pF t = 0
vo(t)+
-
Figura 7.5.5
Solución: Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego la corriente del inductor, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar vo(t) como:
3KΩ
1KΩ 12KΩ
6KΩ24V
2mH
125pF
vo(t)+
-iL(t)
i1i2
Figura 7.5.6
vo(t) = iL(t)*3K El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.6. Para encontrar iL(t) haremos uso del análisis de malla como es mostrado en la figura arriba. Aplicando LKV a la malla 1 tenemos: 24 = (12K + 6K)i1 - 6Ki2 (1)
C.R. Lindo Carrión 220
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
06)()(1)631( 12
22 =−+++++ ∫ KidtdiLtvdxxi
CiKKK
t
t oo
(2)
De la ecuación 1 podemos despejar i1 en función de i2, así:
KKii
18624 2
1+
= , e introducirla en la ecuación 2 para obtener:
028)()(1)10( 22
22 =−−+++ ∫ KidtdiLtvdxxi
CiK
t
t oo
(3)
Ahora como la corriente de malla i2 coincide con la corriente del inductor iL(t) y derivando la ecuación integro-diferencial de arriba, obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito:
0)(
2)(
)(1)()10( 2
2
2=−++
dttdi
Kdt
tidLti
Cdttdi
K LLL
L
Sustituyendo valores y reacomodando se tiene:
0)(4)(4)(2
2
=++ tTidt
tdiMdt
tidL
LL ,
Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 4Ms + 4T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = s2 = -2M Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1-2Mt + K2t-2Mt 1KΩ
3KΩ
12KΩ
6KΩ
Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.7.
24V
vC(0-) +
iL(0-)
-
Figura 7.5.7 Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = 0A, entonces evaluándola en la ecuación general de iL(t), obtenemos:
C.R. Lindo Carrión 221
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iL(0) = K1 = 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta iL(t), así: diL(t)/dt = -2MK2t-2Mt + K2-2Mt y evaluándola para t = 0 obtenemos: diL(0)/dt = K2 Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial (3) que obtuvimos de insertar la ecuación 1 en la ecuación 2 y despejamos la primera derivada de i2(t) (que es iL(t)), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
)(500)(44)( tvtMiKdt
tdiCL
L −−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:
KKvMiKdt
diCL
L 4004)0(500)0(44)0(=−−=−−= , así la segunda ecuación es:
0 t (s)
vo(t) (V)
1M 2M 3M
2
Figura 7.5.8
diL(0)/dt = K2 = 4K, entonces la corriente iL(t) es: iL(t) = 4Kt-2Mt A, por lo tanto el voltaje vo(t) será: vo(t) = iL(t)*3K = 12Mt-2Mt V La figura 7.5.8 muestra vo(t) Ejemplo 7.5.3 Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.9 y grafique la respuestaincluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.
10mV
4KΩ
4KΩ 30KΩ 15KΩ v(t)25 8mH 100pF v(t)
+ +
- - vo(t)
t = 0
Figura 7.5.9
Solución: Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y vo(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que ambos comparten el mismo par de nodos: El c
ircuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.10.
10mV
4KΩ
4KΩ 30KΩ 15KΩ v(t)25 8mH 100pFv(t)
+ +
- - vo(t)
Figura 7.5.10
C.R. Lindo Carrión 222
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial de segundo que define el ircuito, para ello aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: c
0)0()(1)(15
)(30
)(0
=++++ −∫ L
t
CCCC idxxv
Ldttdv
CKtv
Kt
la ecuación iferencial de segundo orden, característica del circuito, así:
v
Como podemos observar de la ecuación anterior, no aparece la fuente dependiente ya que v(t) = 0, porque el interruptor se encuentra abierto. Ahora ésta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtenerd
0)(1)(1530 LdtKdtKdt
reacomodando obtenemos:
)()(2
2
=+++ tvtvd
Ctdvtdv
CCCC , sustituyendo los valores de L y C y
0)(25.1)(
1)(
2
2
=++ tTvdt
tdvM
tvdC
CC dt
Como podemos observar ésta ecuación
os que encontrar a cual respuesta natural obedece, en e las raíces de la ecuación característica.
La ecuación característica es entonces
+ 1Ms + 1.25T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
ntonces la respuesta natural del circuito es subamortiguada, y por lo tanto toma la
los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, ara ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura
om :
(t) = (4K/8K)*10m = 5mV, entonces iL(0-) = -0.2mA
como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de C(t), obtenemos:
es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremependencia de los valores dd
:
s2
s1,2 = -(1/2)M ± j1M Eforma: vC(t) = -500Kt[K1cos(1Mt) + K2sen(1Mt)] Ahora para encontrar p7.5.11. C o podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = -v(t)/25, pero v(t) es v Yv
10m 4KΩ V
4KΩ
30KΩ 15KΩ 25
v(t)v(t) + +
vo(0-) vC(0-)+
-- - -iL(0 )
Figura 7.5.11
C.R. Lindo Carrión 223
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
vC(0) = K1 = 0
a segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
v (t)/dt = -500K-500Kt[K sen(1Mt)] + -500Kt[1MK cos(1Mt)] y evaluándola para t = 0
2
e aplicar la LKC al odo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en
L d C 2 2obtenemos: dvC(0)/dt = 1MK Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que obtuvimos dnt = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
)(1)(10Gidt LC −=
dv )(tMvt
tC− y al evaluarla en t = 0, tenemos:
MMMvGidt
dvCL
C 202)0(1)0(10)0(
=−−=−−=
así la segunda ecuación es:
vo(t) (V)
, dvC(0)/dt = 1MK2 = 2M, de d
2 = 2, entonces el voltaje vo(t) es:
vo(t) = vC(t) = 2-500Kt[sen(1Mt)] V
)
ito que se figura 7.5.13. Suponga que existen condiciones de
voltaje del capacitor o en nción de la corriente del inductor. l circuito para t > 0 se muestra en la figura 7.5.14:
hora procederemos a encontrar el voltaje v(t) como
e corriente.
onde obtenemos K
La Figura 7.5.12 muestra vo(t Ejemplo 7.5.4 Determine v(t) para t > 0 en el circu muestra en laestado estable cuando t = 0-. Solución: Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0, y el voltaje v(t) debe encontrarse en función del fuE Auna función del voltaje del capacitor (se le deja al lector, encontrar el voltaje v(t) en función de la corriente del inductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas dsuperior de la fuente independiente d
el circuito y la LKC al nodo
0 t (s)
1
2M 6M 4M
Figura 7.5.12
6Ω
2Ω
5/2 A 2H
t = 0
2Ω
5/2 A 2H1/8 F1/8 F
v+
-
Figura 7.5.13
6Ω
2Ω
5/2 A 1/8 F
2Hv +
- iC iL
Figura 7.5.14
C.R. Lindo Carrión 224
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
Aplicando la LKC al nodo superior de la fuente, tenemos:
rda del circuito, para obtener v(t), así:
demos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obtener v(t), sí:
= v2Ω + vL = 2i + v = 2iL + LdiL/dt (3)
e la ecuación (1) podemos despejar i en función de i , así: i = 5/2 - i e insertándola
5/2 = iC + iL (1) Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquie v = v6Ω + vC = 6iC + vC (2) Pero también poa v L L D L C L Cen la ecuación (3) obtenemos:
dtdi
Liidt
Liv CCC −−=−+−= 25)2
()2
(2 d C55 (4), ésta expresión la igualamos a la
teexpresión de la ecuación (2) para ob ner la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito
dtdi
Livi CCCC −−=+ 256 , sustituyendo iC = CdvC/dt y reacomodando el circuito
tenemos:
582
2 dvvd=++ C
CC vdt
Cdt
, sustituyendo los valores de L y C y reacomodando
obtenemos:
LC
20442
2v=++ C
CC vdt
dvdt
os observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución ción particular. La solución total será:
vC(t) = vCn(t) + vCf(t)
ara obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que
el valor de K3, así:
d
Como podemnatural y solu
Pla respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra
2044 333
2
++ KdKKd
2 = , de aquí que K3 = 20/4 = 5
s2 + 4s + 4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
dtdt Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así:
C.R. Lindo Carrión 225
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
s1 = s2 = -2
ntonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto
Cn 1 2t, entonces la solución total será:
2
0, como se muestra en la figura 7.5.15.
C L(0-)
C 1 1
C í:
t
C 2
mos de aplicar la LKC al nodo superior a evaluarla en t = 0
Etoma la forma:
(t) = K -2t + K t-2v
-2t + K t-2t + 5 vC(t) = K1 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el ircuito para t < v
- vC(0-) iL(0-)c
omo podemos observar del circuito v (0C -) = 0V, pero i
= 5/2 A, Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola env
la ecuación general de C(t), obtenemos:
(0) = 5 + K = 0, entonces K = -5 v
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v (t), as dvC(t)/dt = 10-2t - 2K2t-2 + K2-2t y evaluándola para t = 0 obtenemos: v (0)/dt = 10 + Kd
hora regresamos a la ecuación (1) que obtuviA
de la fuente de 5/2 A y despejamos la primera derivada de vC(t), par encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: y
CCdt−=
tt )(2/5)( iLC y al evaluarla en t = 0, tenemos: dv
08/12/5
8/12/5)0(
=−=dt
dvC , así la segunda ecuación es:
dvC(0)/dt = 10 + K2 = 0, de donde obtenemos K2 = -10, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = -5-2t - 10t-2 os uso e la ecuación (2):
v = 6iC + vC = 6CdvC/dt + os:
t + 5, pero como estamos interesados en encontrar v(t) haremd
vC, sustituyendo vC(t), tenem
( )2 2 2 2 23( ) 10 20 10 5 5 10t t t t tv t e te e e e− − − − −= + − + − − 4
- 10t , por lo tanto será: v(t) = 5 - 5 + 5t V v(t) = 15t-2t +5 - 5-2t -2t -2t -2t
+ +
-
2Ω
6Ω5/2 A
Figura 7.5.15
C.R. Lindo Carrión 226
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
Ejemplo 7.5.5 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.16. Suponga ue existen condiciones de estado estable
olución:
á del capacitor vC(t), ya que v(t)
encuentra entre las terminales del apacitor:
l circuito para t > 0, se muestra en la figura
ial de segundo orden característica del imero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así:
hora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:
qcuando t = 0-. S Para encontrar v(t) para t > 0, es necesariredibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) serigual al voltaje
o
sec E7.5.17. Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vLKC y la LKV para obtener la ecuación diferenccircuito. Pr
C(t) utilizando una combinación de la
v = vL + v6Ω = LdiL/dt + 6iL (1) A i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:
dtCi C
L −=4
(2) y sustitudvv C−4
yendo ésta en la ecuación (1) se tiene:
⎟⎠⎞⎛ −⎞⎛ − dvvdvvd CCCC 44
⎜ −+⎟⎜ −==t
CCLvC 6 , efectuando operaciones, tenemos: ⎝⎠⎝ ddtdt 44
v
dtC
dtCCC 6
262 −−+ , sustituyendo los valore
dvvvdLC
dtdvLv C
C3
4
2
−−= s de L y C y
acomodando obtenemos: re
241072
2
=++ CCC v
dtdv
dtvd
Como podemos observar ésta ecuación no esnatural y solución particular. La solución total será:
C(t) = vCn(t) + vCf(t)
igual a cero, entonces tendremos solución
v
10V
4Ω
1H ¼ F 4u(t) V v
+
-
t = 0
6Ω
Figura 7.5.16
10V
4Ω
6Ω
1H ¼ F 4V v
+
-
iCiL
Figura 7.5.17
C.R. Lindo Carrión 227
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que
el valor de K3, así: la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra
24107 332
++ KdKKd
32 = , de aquí que K3 = 24/10 = 2.4
s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando
= -2 y s2 = -5
atural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la rma:
Cn(t) = K1 + K2 , entonces la solución total será:
C(t) = K1 + K2-5t + 2.4
ara encontrar los valores de K1 y K2 aremos uso de las condiciones iniciales,
ara t < 0, como se muestra en la figura
(0 ) = 6/6 = 1A
= vC(0 ) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de C(t), obtenemos:
C(0) = K1 + K2 + 2.4 = 6,
La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
- 5K2 y evaluándola para t = 0 obtenemos:
al nodo superior el capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y
dtdt Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así:
la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
s1 Entonces la respuesta nfo
-2t -5tv
-2tv Ahora p
4Ω
hpara ello necesitamos redibujar el circuito p7.5.18. Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un divisor de voltaje, así: vC(0-) = (6/10)*10 = 6V y para obtener iL(0-) ap
-
licaremos la ley de Ohm, así:
iL Y como vC(0-) = vC(0) +
v v Y dvC(t)/dt = -2K1-2t -5t
dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC dencontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:
10V6Ω
0V+
-vC(0-)
iL(0-)
Figura 7.5.18
C.R. Lindo Carrión 228
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
CCCdtLCC
4−−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:
dv titvt )()(1)(
64/1
161)0(dv)4/1(44/1
−=−−=dtC , así la segunda ecuación es:
vC(0)/dt = -2K1 - 5K2 = -6, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1
2 = -0.4, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = v(t) = 4-2t – 0.4-5t + 2.4 V
muestra en la figura 7.5.19, si vf = 8-
u(t). Suponga que existen condiciones de uando t = 0-.
0, es necesario dibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) rá igual al voltaje del capacitor vC(t), ya
tre las terminales del apacitor:
remos a encontrar el voltaje v(KC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del
lla derecha del circuito, así:
= v Ω + v = 6i + Ldi /dt (1)
= iL + i , entonces despejando iL obtenemos:
d= 4, y K
Ejemplo 7.5.6 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se4t
estado estable c Solución: Para encontrar v(t) para t > reseque v(t) se encuentra enc El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.20. Ahora procede t) = vC(t) utilizando una combinación de la Lcircuito. Primero aplicaremos la LKV a la ma v 6 L L L Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: i4Ω C
dtCi CCf
L −=4
(2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1)dvvv −
se tiene:
⎟⎟⎠⎝⎠
⎞⎜⎜ −+⎟⎟⎜⎜
⎝−==
dtdv
Cdt
Ldt
Cv CCfCCfC 44
6 , efectuando operaciones,
tenemos:
⎛ −⎞⎛ − vvddvvvv
4Ω 6Ω t = 0
vf1H ¼ F 20V v
+
-
Figura 7.5.19
vf
4Ω 6Ω
1H ¼ F 20V v+
-
iLiCi4Ω
Figura 7.5.20
C.R. Lindo Carrión 229
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
2
2
446
23
23
dtvd
LCdt
dvLdt
dvLdt
dvC
vvv CCfCCf
C −−+−−= , sustituyendo los valores de L.
C y vf y reacomodando obtenemos:
24 4
2 7 10 32 48 16t tC CC
d v dv v e edt dt
− −+ + = − + = 4te−
ual a cero, entonces tendremos solución . La solución total será:
vC(t) = vCn(t) + vCf(t)
xponencial, así vCf(t) = K3-4t, ésta lución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor
omo podemos observar ésta ecuación no es igC
natural y solución particular
Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una señal exponencial, entonces suponemos que la respuesta forzada también será esode K3, así:
2 4 44 43 3
32
( ) ( )7 10( ) 16t t
t td K e d K e K e edt dt
− −− −+ + = , efectuando las derivadas tenemos:
46 t 4 4
3 3 3428 10 16t t tK e K− − +1 e K e e− − −= , de aquí que K3 = -16/2 = -8, así:
vCf(t) = -8-4t
ta natural, h cterística, para obtener las raíces, así:
0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces
tonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la
K2-5t , entonces la solución total será:
hora para contra los valores de K1 y
iciales, pa ello n esita os redibujar el muestra en la
gura 7.5.21.
0 = 12V y para obtener iL(0
Para obtener la respues acemos uso de la ecuación cara
s2 + 7s + 10 = s1 = -2 y s2 = -5 Enforma: vCn(t) = K1-2t + vC(t) = K1-2t + K2-5t - 8-4t
4Ω 6Ω
A en r K2 haremos uso de las condiciones +
-
iL(0-)
vC(0-) 20Vin ra ec mcircuito para t < 0, como se
0V
fiFigura 7.5.21
Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un divisor de voltaje, así: vC(0-) = (6/10)*2 -) aplicaremos la ley de Ohm, así:
C.R. Lindo Carrión 230
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
iL(0-) = 12/6 = 2A Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de
C(t), obtenemos:
C(0) = K1 + K2 - 8 = 12,
ción la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así:
-5t + 32-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos:
do superior el capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y
tilizado en la ecuación anterior, así:
v v Y La segunda ecua dvC(t)/dt = -2K1-2t - 5K2 dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 + 32 Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodencontrar su valor que será u
Cti
Ctv
Cv
dttdv LCfC )(
4)(
4)(
−−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:
124/1
−= , así la segunda ecuación es: 2)4/1(4
12)4/1(4
8)0(−−=
dtC
vC(0)/dt = -2K1 - 5K2 + 32 = -12, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1 = 56/3, y K2 = 4/3, enton
C(t) = v(t) = (56/3)-2t + (4/3)-5t - 8-4t V
.6 Problemas propuestos
.6.1 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.1, encuentre vC(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.2 L(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
dv
d
ces el voltaje vC(t) es:
v 7 7S 20KΩ 5nF v
+
1.6H
10mA C
-t = 0
Figura 7.6.1
7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.2, encuentre iS
1Ω 2mF
1/45 HiL5Ω
t = 0
Figura 7.6.2
12V
C.R. Lindo Carrión 231
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
7.6.3 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre iC(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.4 L(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.5 C(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.6 C(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.7 Para el circuito que se m figura 7.6.7, encuentre i(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
S
2.5µF 20mH2u(-t) A iC
50Ω Figura 7.6.3 7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, encuentre iS
¼ F2/13 H4u(-t) A iL
2Ω
Figura 7.6.4 7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, encuentre vS
2 F
0.5 H
vC
1Ω
5
Ω
+t = 012V
- Figura 7.6.5 7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6, encuentre vS 7 uestra en laS
2Ω
0.2F 0.25 H10u(-t) A
iL
Figura 7.6.6
3/8 F1/3 H
12V
i(t)t = 0
Figura 7.6.7
3Ω
C.R. Lindo Carrión 232
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
7.6.8 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8, encuentre vo(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.9 El circuito que se m isor de un stema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para a un utómata que opera en el espacio. Encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en
.6.10 El circuito que se m de suministro de otencia de 240W. Encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.
.6.11 Para el circuito que se cuentre v(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
S ¼ F
v
½ H12V
3
o(t) -+
Ωt = 0
8Ω
t = 0
6V
Figura 7.6.8
7 uestra en la figura 7.6.9, es un circuito transmsiat = 0-.
0.8H
5µFvC(t)250 Ω250Ω
t = 0 -
+
6V
Figura 7.6.9 7 uestra en la figura 7.6.10, es un circuito p
4H iL(t)
7 muestra en la figura 7.6.11, enS
¼ F
4Ω
t = 0
7A
8Ω2Ω
Figura 7.6.10
0.2µF100µH
v(t)
10V
3Ω t = 0200mA 17Ω-
Figura 7.6.11
+
C.R. Lindo Carrión 233
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
7.6.12 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.12, encuentre v(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.13 Para el circuito que se muestr C(t) para t > 0, uando a) C = (1/10)F, b) C = (1/18)F y c) C = (1/20)F. Suponga estado estable en t = 0-
.6.14 Para el circuito que se cuentre i(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.15 C(t) para t > 0, uando vC(0-) = 1V e iL (0-) = 0A.
.6.16 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.16, encuentre iC(t) para t > 0, onsidere if = -tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.
S 7 a en la figura 7.6.13, encuentre vc. 7 muestra en la figura 7.6.14, enS 7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.15, encuentre vc 7c
1/8 F
2Hv(t)
2Ω
t = 0
5/2 A 6
-
+Ω
Figura 7.6.12
4Ω
C
2H
vC(t) 8Ω-
Figura 7.6.13
+ 1u(t) A
1/12 µFH i(t)
2KΩ
2/5 µ2Kt = 0
8V
6K10mA
ΩΩ
Figura 7.6.14
1/12 F 0.5H vC(t)
1Ω
5cost V
1Ω
-
+
Figura 7.6.15
1F0.5H
i (t)C
3Ω
if 1Ω
Figura 7.6.16
C.R. Lindo Carrión 234
Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden
7.6.17 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.17, encuentre vC(t) para t > 0, onsidere if =9 + 3-2tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.
.6.18 Para el circuito que se muestr C(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.19 Para el circuito que se muestr L(t) para t > 0. uponga estado estable en t = 0-.
.6.20 C(t) para t > 0, cuando ) vf = 2u(t) V, b) vf = 0.2tu(t) V y vf = 1-30tu(t) V. Suponga estado estable en t = 0-.
c ½ F5H
v (t)
1.5
C
Ω 7 a en la figura 7.6.18, encuentre vS 7 a en la figura 7.6.19, encuentre iS 7 Para el circuito que se muestra en la figura 20, encuentre va
if
-
1Ω
Figura 7.6.17
+
0.5Ω
1/5 F1H
vC(t)4u(t) A -
+
6Ω
Figura 7.6.18
20mF
iL(t)
3A0.5Ω0.2H-3u(t) A
Figura 7.6.19
833.3µF
0.1H
+
7
vC(t)vf
-
Ω
Figura 7.6.20
C.R. Lindo Carrión 235