TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

CAPÍTULO 6

INCIDENCIA OBLICUA DE ONDAS PLANAS UNIFORMES EN FRONTERAS PLANAS.

 

En la sección anterior consideramos ondas planas uniformes que inciden de manera normal en fronteras planas. En esta sección vamos a considerar ondas planas uniformes que inciden en fronteras planas con ángulos de incidencia arbitrarios. Vamos a suponer otra vez que la frontera entre los dos medios esta en el plano XY. Y supongamos también que los vectores de Poynting de las ondas incidente, reflejada y transmitida van a estar en el plano XZ; éste se conoce como el plano de incidencia. El ángulo de incidencia de la onda incidente, i, se va a medir con respecto a una normal a la superficie, como se muestra en la figura 1. De manera similar, el ángulo de reflexión de la onda reflejada, r, también se va a medir con respecto a esta normal. Una parte de la onda incidente se va a transmitir en el medio 2, y el ángulo de transmisión de esta onda transmitida, t, también se va a medir con respecto a una normal a la frontera, como se muestra en la figura 1.

 

Figura 6.1 Ilustración de la frontera y de las OPU incidente, i, Reflejada, r, Transmitida, t.

 

En el caso de la incidencia normal considerada previamente, podemos suponer, sin perder generalidad, que el campo eléctrico de la onda incidente está polarizado en la dirección X. Para la incidencia oblicua, tenemos un número infinito de diferentes posibilidades de polarización para el campo eléctrico de la onda incidente. Para considerar todos estos casos, vamos a descomponer la onda incidente en dos ondas polarizadas linealmente, con

los campos eléctricos de éstas ortogonales uno con el otro. Una onda con polarización arbitraria se puede manejar como la suma de dos ondas polarizadas linealmente. Entonces, el resultado para una onda con polarización arbitraria es la superposición de los resultados para estas dos ondas individuales (suponiendo que el medio es lineal).

Antes de considerar estos casos, vamos a revisar algunas propiedades para la incidencia oblicua.

 

 

 

 

6.1 Leyes de Snell.

La ecuación 6.1a se conoce como la ley de Reflexión de Snell o Primer Ley de Snell:

 Ecuación 6.1a

La ecuación 6.1b se conoce como la ley de Refracción de Snell o Segunda Ley de Snell:

   Ecuación 6.1b

 

El ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión (esta ley no se va a demostrar). Si suponemos que los dos medios son sin pérdidas, ==

  Ecuación 6.2

Esto indica que el ángulo de la onda transmitida se relaciona con el ángulo de incidencia por las propiedades de los dos medios. Para medios dieléctricos típicos que no son ferromagnéticos r=1, así que:

   Ecuación 6.3

Para estos medios el índice de refracción se define como

    Ecuación 6.4

Donde Vo=Velocidad de la luz en el espacio libre y Vp velocidad de la luz en el medio. En términos del índice de refracción, la ley de refracción de Snell se escribe como

 

    Ecuación 6.5

 

 

 

 

 

6.2 Angulo crítico de reflexión total.

El ángulo crítico de reflexión total es un valor particular de i y ocurre cuando t=90o, es decir, cuando la transmisión es cero. Substituyendo t=90o en 6.5:

     Ecuación 6.6a

    Ecuación 6.6b

 

Si suponemos que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico, i >c, re-examinando 6.5 vemos que:

   Ecuación 6.7

entonces

 Ecuación 6.8

 

Esto implica que no hay ángulo real parat si i >c. De 6.7, elevando al cuadrado y rearreglando:

     Ecuación 6.9a

 Ecuación 6.9b

Ya que Sent>1. Entonces t es imaginario. Podemos escribir

 Ecuación 6.10

Donde:

   Ecuación 6.11

Nótese que se eligió el resultado negativo de 6.9. Utilizando 6.10 y 6.11, la ecuación de la OPU" transmitida", cuando i >c es:

     Ecuación 6.12

Este resultado muestra que la onda transmitida se propaga en la dirección X (a lo largo de la frontera) con la constante de propagación, igual a 2Sent. Sin embargo, el campo también está multiplicado por un término e-2z que se origina porque el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico de reflexión total. Así, tenemos una onda plana no uniforme que se propaga a lo largo de la frontera en la que el campo no es constante sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación, sino que se atenúa exponencialmente. La ondas de este tipo se conocen como Ondas de Superficie.

 

 

 

 

 

 

6.3 Incidencia oblicua de O.P.U. a través de medios sin pérdidas ( 1= 2=0).

Como ya hemos indicado, vamos a considerar cualquier polarización arbitraria como la superposición lineal de dos ondas, cada una compuesta de dos ondas polarizadas linealmente, cuyos campos eléctricos son ortogonales. La expresión del problema se ilustra en la figura que ya hemos visto.

El plano de incidencia es el que contiene el vector de propagación de la onda incidente y la normal a la frontera, en este caso, el plano de incidencia es el plano XZ. Vamos a considerar dos polarizaciones para el campo incidente, polarización perpendicular y polarización paralela. Para polarización perpendicular el vector del campo eléctrico incidente es perpendicular al plano de incidencia, como se muestra en la figura .Para polarización paralela el vector del campo eléctrico incidente es paralelo o está en el plano de incidencia.

 

 

6.3.1 Polarización Perpendicular.

Para este caso podemos escribir los vectores de los campos en forma fasorial como

   Ecuación 6.13a

   Ecuación 6.13a

 

 Ecuación 6.13c

 Ecuación 6.13d

 

 Ecuación 6.13e

   Ecuación 6.13f

 

Donde hemos substituido i =r de acuerdo a la ley de refracción de Snell. Las condiciones de frontera requieren la continuidad de las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético en Z = 0:

  Ecuación 6.14

 

   Ecuación 6.14b

 

De la ecuación 6.14a se puede volver a obtener la ley de refracción de Snell:

   Ecuación 6.15

Y como se trata de medios sin pérdidas:

  = 0 y Ecuación 6.16a

     Ecuación 6.16b

Aplicando las condiciones de frontera (Z=0), las cuales indican la continuidad de acuerdo a:

   Ecuación 6.17a

   Ecuación 6.17b

 

Las incógnitas en 6.17 se pueden manejar como:

     Ecuación 6.18

Resolviendo para estas dos incógnitas obtenemos los coeficientes de transmisión y reflexión para polarización perpendicular:

  Ecuación 6.19a

    Ecuación 6.19b

   Ecuación 6.19c

 

    Ecuación 6.20a

     Ecuación 6.20b

 Ecuación 6.20c

Las formas alternas de estas ecuaciones (las últimas) en términos únicamente de i, se

obtienen con la ley de refracción de Snell en 6.2 y substituyendo . La

cantidad es la velocidad de fase en el medio correspondiente. Nótese que para incidencia normal i = t = 0, así que 6.19 y 6.10 se reducen, como debe ser, a los resultados derivados previamente para ese caso. También se puede demostrar que

   Ecuación 6.21

como también ocurre con la incidencia normal.

Las ecuaciones 6.19 y 6.20c son conocidas como ecuaciones de Fresnel . Debemos notar que t se relaciona con i por medio de la ley de refracción de Snell en 6.1b, 6.2 y 6.3, así que las ecuaciones en 6.19 y 6.20c únicamente se pueden calcular conociendo las propiedades del medio y el ángulo de incidencia i .

 

 

 

 

 

 

6.3.2 Polarización paralela.

Recuérdese que en este caso el vector del campo eléctrico incidente es paralelo o está en el plano de incidencia. Para este caso podemos escribir los fasores de los campos vectoriales de la siguiente forma:

   Ecuación 6.22a

   Ecuación 6.22b

 

  Ecuación 6.22c

   Ecuación 6.22d

 

   Ecuación 6.22e

  Ecuación 6.22f

Aplicando a 6.22  las condiciones de frontera de la continuidad de las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético en Z = 0 obtenemos:

 

   Ecuación 6.23a

  Ecuación 6.23b

De nueva cuenta, de la ecuación 6.23b, se puede obtener la ley de refracción de Snell

    Ecuación 6.24

Si se aplican las condiciones de frontera y 6.25 para medios sin pérdidas en 6.23, se obtiene:

   Ecuación 6.25a

 

    Ecuación 6.25b

Otra vez, como en la polarización perpendicular, obtenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, las cuales pueden ser:

  Ecuación 6.26a

   Ecuación 6.26b

 

 

Resolviendo 6.25 para las incógnitas indicadas en el lado derecho de 6.26, obtenemos los coeficientes de transmisión y de reflexión para la polarización paralela

    Ecuación 6.27a

   Ecuación 6.27a

   Ecuación 6.28a

   Ecuación 6.28b

Las formas alternas de estas ecuaciones en términos dei únicamente, 6.27b y 6.28b, se

obtienen con la ley de refracción de Snell en 6.2 y substituyendo .

Como en el desarrollo anterior, la cantidad    es la velocidad de fase en el medio. Para este caso se puede demostrar que:

   Ecuación 6.29

 

 

 

 

 

6.3.3 Angulo de Brewster para la transmisión total.

Este ángulo es el valor de i para el cual el coeficiente de reflexión es cero, es decir, no hay onda reflejada y por lo tanto la transmisión es total.

Para la polarización perpendicular:

    Ecuación 6.30a

   Ecuación 6.30b

El ángulo de incidencia que satisface esta ecuación es el ángulo de Brewster y se denota por , esta notación indica que es el ángulo de Brewster para la polarización perpendicular.

  Ecuación 6.31

Nótese que para los materiales que no son ferromagnéticos rrY, así que la ecuación 6.31 se indefine y por loa tanto: no existe un ángulo de Brewster para estes tipo de materiales y con esta polarización.

 

 

 

Para la polarización paralela:

si  1Cosi =2Cost así que, aplicando identidades trigonométricas y substituyendo las fórmulas para calcular el ángulo de transmisión y la impedancia intrínseca:

 

   Ecuación 6.32

Despejandoi de 6.32 obtenemos el ángulo de Brewster para la polarización paralela:

 

  Ecuación 6.33

 

 

 

 

 

 

6.4 Incidencia oblicua de O.P.U: en conductores perfectos ( 2=).

Consideremos la incidencia oblicua de una onda que viaja en un medio sin pérdidas y que incide sobre la superficie de un conductor perfecto, 2=. Una vez más descomponemos una onda que tiene una polarización general en polarizaciones paralela y perpendicular.

 

 

6.4.1 Polarización perpendicular.

De los tres resultados para incidencia en medios sin pérdidas, tenemos, puesto que 2=0.

  Ecuación 6.34

   Ecuación 6.35

Los campos incidente y reflejado se pueden escribir con los resultados de 6.13. Los campos totales en el medio 1 son de particular interés, de 6.13a hasta 6.13b tenemos:

   Ecuación 6.37a

     Ecuación 6.3b

=     Ecuación 6.37c

     Ecuación 6.38a

    Ecuación 6.38b

    Ecuación 6.38c

Las formas en el dominio del tiempo se obtienen multiplicando estos resultados por e-jt y tomando la parte real del resultado:

    Ecuación 6.39a

     Ecuación 6.39b

El vector de densidad de potencia promedio es:

    Ecuación 6.40a

   Ecuación 6.40b

   Ecuación 6.40c

Substituyendo las formas fasoriales en (6.39) y después multiplicando por  e-jt 

obtenemos

  Ecuación 6.41

De esta manera, el flujo promedio de potencia está en la dirección +X. De las expresiones en (6.30) observamos algo interesante. La componente ay de E1y la componente ax de H1 producen patrones de onda plana uniforme en la dirección az, variando con Z de la forma

puesto que estas componentes están desfasadas 90o, no hay potencia transmitida en la dirección ayXax=az, como se ve en 6.41. Sin embargo, la componente ay de E1 y la componente az de H1 están en fase y se combinan para dar una onda que se desplaza en la dirección ax con velocidad de fase:

   Ecuación 6.42a

   Ecuación 6.42b

Esta es una onda plana no uniforme porque su magnitud varía con Z de acuerdo a Sen(1Cosi). Nótese que la componente Y del campo eléctrico es cero cuando se aleja de la frontera, donde Sen( 1Cos iZ)=0, es decir:

E1=0 cuando 1Cos iZ =-n  Ecuación 6.43

Para n=1,2,3,...En términos de la longitud de onda de este medio, E1=0 cuando:

 Ecuación 6.44

En estos puntos se pueden insertar planos perfectamente conductores sin afectar la solución. La superficie perfectamente conductora soporta una densidad de corriente lineal dada por:

   Ecuación 6.45a

 Ecuación 6.45b

 

 

 

 

 

6.4.2 Polarización paralela.

De los resultados de polarización paralela para incidencia en medios sin pérdidas (caso general), para tenemos, puesto que 2=0:

 Ecuación 6.46a

    Ecuación 6.46b

Los campos totales en la región son (puesto que ):

 Ecuación 6.47a

 

  Ecuación 6.47b

 Ecuación 6.47c

Las expresiones en el dominio del tiempo se obtienen multiplicando estos resultados por e-jt y tomando la parte real del resultado de la multiplicación. Después de ésto, las expresiones en el dominio del tiempo quedan de la siguiente forma:

 

 Ecuación 6.48a

 Ecuación 6.48b

 

El vector de densidad de potencia promedio se obtiene a través de:

  Ecuación 6.49a

 Ecuación 6.49b

Substituyendo las formas fasoriales de 6.47 en 6.49b obtenemos:

 Ecuación 6.50

 

Una vez más, el flujo promedio de potencia está en la dirección ax.

De las formas en el dominio del tiempo en 6.48 vemos que la componente X de E1 y la componente Y de H1 producen patrones de onda estacionaria en la dirección az de acuerdo a Sen(1Cos iZ) y Cos( 1Cos iZ). De manera similar, la componente Z de E1 y la componente Y de H1 producen ondas que se desplazan en la dirección ax con una velocidad de fase:

   Ecuación 6.51a

 Ecuación 6.51b

Esta onda es una onda plana no uniforme puesto que su amplitud varía con Z de acuerdo a Cos( 1Cos iZ). Otra vez, la componente ax del campo eléctrico es cero en los panos XY para los siguientes valores de Z:

1Cos iZ=-n   Ecuación 6.52 

La ecuación 6.52 es válida para n=1,2,3,...Por lo tanto, se pueden insertar planos conductores en:

 Ecuación 6.53

lejos de la frontera sin afectar las soluciones, lo cual es idéntico al caso de polarización perpendicular. El conductor perfecto soporta una densidad de corriente lineal:

   Ecuación 6.54a

 Ecuación 6.54b