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Cap. 1: Principales dificultades en física Las dificultades mayores en física son de dos naturalezas:
• Epistemología -‐ La epistemología, estudia el conocimiento; ¿qué es y a que sirve el conocimiento (la ciencia)?
• Matemáticas -‐ disciplina formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos);
Para poder responder a estas preguntas necesitamos buscar la respuesta a esta otra grande pregunta: ¿Porque la física sigue la matemática? Respuesta del primer matemático “puro” Pitágoras de Samos (580-‐495 a. C.):
• Metafísica de Pitágoras: “…en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática”
¡Esto no es consistente con la visión actual de la ciencia y en matemática!
• La mecánica cuántica sugiere que la realidad no es “determinista” no sigue relación de causa a efecto – en aparente contradicción con el proceso de inferencia de la lógica – la derivación de conclusiones a partir de premisas
• La mayoría de los fenómenos físicos no se pueden exprimir de manera sencilla por una formula matemática analítica
Por lo tanto: ¿Cual es la origen de la lógica? ¿cual son los principios de la demostración e inferencia válida? ¿Como hacemos para reconocer que un argumento es “verdad”? En 1900, David Hilbert conforma una lista de 23 problemas matemáticos – el segundo problema = probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal completo que no supone una contradicción) La respuesta viene de Kurt Gödel (en 1931): ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa Entonces, ¿cual es el origen de la lógica? La respuesta viene de la epistemología – ¿como el cerebro humano construye un modelo de la “realidad”?
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Definición de la inteligencia: Jean Piaget (1949 Introduction à l’épistémologie génétique) “La inteligencia es el proceso de integración de la acción del sujeto sobre el objeto.”
• Sujeto = conciencia, fuente de interacción y integración • Objeto = realidad – no es directamente observable (realidad escondida),
pero tampoco es arbitraria (objetividad) • Acción = interacción con la realidad escondida = única fuente de información
sobre la realidad escondida o Cada acción se reproduce en el cerebro en la forma de un patrón
psicomotor, formando ideas y conceptos • Integración del acción = inter-‐conexiones entre los patrón psicomotores
o Origen de la lógica y matemáticas
Consecuencias:
• La realidad que percibimos es una imagen (forma) en el cerebro, reflejando las acciones posible sobre la realidad escondida
o Observación (experiencia) no es directa, por lo que no se puede separar el sujeto del objeto
• Del otro lado, los patrón de acciones, la lógica (matemática) son verificable (efectiva) – se repiten de manera no aleatoria – esto introduce la noción de realidad objetiva
• La lógica y matemática permiten aumentar nuestro potencial de acción sobre la realidad escondida -‐ producir nuevas interacciones efectivas
o Conocimiento = amplificación del potencial de acciones posible sobre la realidad escondida ⇒ al origen de la “tecnología”
Para una visión más reciente ver presentación de Daniel Wolpert: http://www.ted.com/talks/daniel_wolpert_the_real_reason_for_brains.html
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La inteligencia es un proceso de adaptación (viejo de ~ 3-‐4 mil millones de anos) è el conocimiento = aumenta nuestras chancas de sobrevivir
Nota: aproximación asintótica de la realidad è pero no hay limites a la adaptación IMPORTANTE: Esta teoría del conocimiento no es metafísica – no hace referencia a nada fuera de nuestros patrón de acción
• El significado (sentido) atrás del lenguaje (formal) esta confinado por completo por nuestras acciones posibles sobre la realidad escondida
o NOTA esto implica otra formas de expresiones, como la música, la danza o las artes visuales, que pueden transmitir también emociones
o Pero si estas formas no se puede relacionar con una experiencia efectiva comuna (las emociones también son comunes, por ejemplo el miedo, o el amor) no se puede entender
• Por principio, cualquier concepto que describe algo fuera de este patrón⎯que no implica una extensión de nuestras acciones posibles sobre el real escondido⎯“no existe”
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Origen de la conciencia y de la lógica En el modelo de la inteligencia de Piaget falta entender dos elementos: el origen de la conciencia y de la lógica En este modelo:
• La conciencia = la fuente del acción sobre el real • Estas acciones tiene la forma de interacciones – a la base, son interacciones
entre las partículas de nuestro cuerpo y las partículas del ambiente
• La lógica = el conjunto de acciones efectivas sobre el real escondido • De todas las acciones posibles, solo las acciones efectivas tiene un
sentido⎯que permiten ampliar nuestro potencial de acción sobre el real escondido
• Realidad objetiva⎯el conjunto de todas las interacciones posible entre partículas
A la base, de la conciencia + realidad = interacción entre partículas
• Es el conjunto de interacciones entre las partículas que nos forman que es a la base de nuestra conciencia
• También, es el conjunto de todas las interacciones posibles entre partículas formando el universo que determina la realidad (objetiva)
Por lo que la física, como conocimiento del real, sólo describe las interacciones entre partículas NOTA: Este modelo no es metafísico, no implica una realidad independiente de la experiencia que podemos haber del real
• No impone ninguno modelo, o forma, a-‐priori de la realidad • Resuelve los problemas de interpretación relacionadas con la mecánica
cuántica y la relatividad En particular, resuelve el problema del origen del espacio y tiempo:
• La matemática amplifica nuestro potencial de acción sobre el real o Por lo que la geometría describe un espacio de acción, no un ente
“metafísico” pre-‐existente • La física describe las interacciones entre partículas
o Por lo que el espacio-‐tiempo es el producto de las interacciones entre partículas
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La matemática aumenta nuestro potencial de acción Demostración: siguiendo el desarrollo del formalismo matemático Primero nivel (nombre “natural”) = los nombres enteros (I)
• Describen cuantidades de manera cualitativa (magnitud o escalar) = poniendo entes en relación lógica
Operación lógica simple: si A, B ∈I
1- Relación de equivalencia: o Identidad o reflexividad: A = A o Simetría: si A = B entonces B = A o Transitividad: si A = B y C = B entonces A = C
2- Proporcionalidad A B∝
o AA qB qB
= ⇒ = , donde q ∈I y es constante
o Nota que cuando esto es una extensión de la identidad En física, el concepto de proporcionalidad es primordial: las leyes de la naturaleza son relaciones de proporcionalidad, transformadas por identidad por una constante – las operaciones matemática describen transformaciones Ejemplos: • Relación entre masa y energía (Einstein): E ∝m⇒ E = mc2 donde c es la
velocidad de la luz⎯velocidad máxima de interacción entre partículas = por un cambio de un fotón
• Relación entre la energía y frecuencia (Planck):E ∝ν ⇒ E = hν donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia relacionada con un fotón⎯el quantum de energía representa la cantidad de energía mínima que se puede cambiar durante una interacción entre partículas = de nuevo un cambio de fotón
Ambas relaciones determinan una limite de las acciones posibles ΔEΔt ≥ h4π
:
• Un cambio arbitrario pequeño de energía de un sistemaΔE→ 0 no es posible, porque esto implicaría que la energía debe ser infinita
o Por lo que las interacciones entre partícula es cuantificada = base de la mecánica cuántica
• Tampoco no es posible interacciones instantáneaΔt→ 0 o La velocidad de interacción debe ser finita vinteracción = c (o bien c→∞
no es posible) = base de la relatividad de Einstein
q = 1
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Un grupo G,( ) es una estructura algébrica, lógica que consiste en un conjunto de entes matemáticos, G, con un a conjunto de operaciones, , posibles El símbolo describe las acciones posibles (relación lógica o transformación) Axiomas de grupos: condiciones sobre las operaciones posibles dentro del grupo Clausura, Asociatividad, Identidad, Invertibilidad
• Clausura: si x, y∈G entonces existe una operación tal que x y = z∈G Para el conjunto de número entero I, dos operaciones posibles = adición y multiplicación I , +,×{ }( ) ; x, y∈I ⇒ x y = z∈I También posible son:
• Comutatividad: x y = y x
• Asociatividad: x y z( ) = x y( ) z Pero tenemos una primera extensión con la identidad:
• Identidad: e x = x o Existe para la multiplicación: e× = 1∈I ⇒1× x = x o Pero no existe para la adición
§ Debemos inventar un nuevo ente (cero): e+ = 0∉I ⇒ 0 + x = x § Esto implica extender el conjunto de entes: Z+ = 0, I+{ }
Otra extensión necesaria para la invertibilidad: • Invertibilidad x k = e
o Para la adición, e = 0 , debemos inventar los enteros negativos: Z = I− ,0, I+{ } de manera que x + (−x) = 0
o Para la multiplicación, e = 1 , debemos inventar los nombre
racionales, Q, de manera que ; p,q∈I ⇒ z = pq∈Q⇒ p × 1
q= 1
NOTA que mismo así el cero es especial, en que no tiene inverso a0= x ∉Q porque
0 × x = 0 por lo que tampoco 00 es definido
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Otro problemas: los nombres racionales, Q, no son soluciones a ecuaciones algebraica y no pueden servir como limites en la definición de derivadas en calculo
• Ej. x2 − 2 = 0⇒ x = 2 ∉Q Nota que por definición un número racional siempre se puede reducir a una forma donde p y q no tienen factor común = números primos
• Pero esto implica que para un número primo p, p ∉Q Inventando los nombres irracionales se obtiene el conjunto de nombres reales R Interpretación geométrica: el conjunto R puede ser visto con una línea continua de puntos = concepto de dimensión física continua (a la base de la definición de derivada) La invención de números imaginarios o complejos, Im, es para poder resolver ecuaciones algebraicas que no tienen raíz reales Ej. x2 +1= 0⇒ x = −1∉R -‐ Inventamos un nuevo ente i ≡ −1∈Im
Interpretación geométrica: asumimos una nueva dimensión física (imaginaria) al espacio geométrico que da forma al plano complejo: para x, y∈R y z∈Im; z = x + yi = reiθ
donde r = x + yi = x2 + y2 y tanθ = yx
Con la invención de los número complejos tenemos el teorema fundamental de la algebra:
• Cada polinomio tiene pelo menos una raíz en el plano complejo • Cada polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en el plano complejo
cuando estas raíces son correctamente contada Tanto R como Im se usan como campos = bases de la representación geométrica de las interacciones en física
• La geometría describe el espacio de acciones posible sobre el real no una entidad metafísica independiente (espacio o “manifold”)
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La naturaleza del espacio-‐tiempo en física Isaac Newton (1642-‐1727) – invento la mecánica clásica y el calculo diferencial integral En la mecánica de Newton, se usa la matemática para describir las interacciones de las partículas en términos de las variaciones de sus propiedades = posición en el espacio, en función del tiempo Leyes de Newton:
3- Inercia – en ausencia de fuerza externa, una partícula con masa m conserva su cantidad de movimiento constante:
(1.1) o
4- Fuerzas externas sobre una partícula cambia su cantidad de movimiento:
(1.2)
F = d
pdt
= m dvdt
= ma
3-‐ Acción = reacciones⎯todas las fuerzas vienen en pares NOTA: en la física de Newton, esta tercera ley es algo arbitrario⎯pero no lo es más cuando se sabe que las fuerzas describen interacciones entre partículas En este modelo, el tiempo y el espacio son cuantidades metafísicas = existen a-‐priori (conceptos relacionados a ninguna experiencia) y por lo tanto viola el principio epistemológico
p = mv = m drdt
= Constant
dpdt
= 0
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Casi al mismo tiempo Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 –1716) invento la mecánica analítica
• En la mecánica analítica, el espació-‐tiempo es un producto natural de la descripción de las interacciones, no entidades separadas
Cuando una fuerza actúa sobre una partícula moviendo la de la posición a a la posición b que es importante es el trabajo hecho por la fuerza:
(1.3)
Donde es el desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partícula
• Esta definición incluye de manera implícita la fuerza y el espacio-‐tiempo (desplazamiento) en un solo parámetro escalar
La mecánica analítica es que se aplica en la física moderna – relatividad de Einstein (gravedad = la estructura del espacio-‐tiempo) y mecánica cuántica (la estructura de la materia)
F
Wa→b
Wa→b =
F ⋅dl
a
b
∫ dl
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¿Como el espacio-‐tiempo sale de la interacciones entre partículas?
• Consideramos una interacción entre dos partículas (un cambio de fotón) • Asumiendo que ninguna interacción es instantánea – el fotón se propagan a
la velocidad de la luz (Einstein) ⇒ noción física del espacio-‐tiempo
• La interacción es descrita como
• Aplicando Teorema de Pitagoras ⇒ magnitud del desplazamientoh = Δx :
• En el caso del fotón • Consecuencias: no se puede separar espacio de tiempo, los dos conceptos
son intrínsecamente ligados – tiene origen física comuna en la interacción entre partículas = espacio-‐tiempo
• Las interacciones son relativas – misma interacción descrita en otro referencial debe ser igual (Einstein)
7 1.5 Construction of the coordinates used by another observer!t
t
x
Tangent of thisangle is !
!Figure 1.2 The time-axis of a frame whose velocity is v.
t
x
a
a
–a
!
!Figure 1.3 Light reflected at a, as measured by O.
events that reflect light rays in such a manner that they return to the t axis at +a if they leftit at !a, for any a. Now look at this in the spacetime diagram of O, Fig. 1.4.
We know where the t axis lies, since we constructed it in Fig. 1.2. The events of emis-sion and reception, t = !a and t = +a, are shown in Fig. 1.4. Since a is arbitrary, it doesnot matter where along the negative t axis we place event E , so no assumption need yetbe made about the calibration of the t axis relative to the t axis. All that matters for themoment is that the event R on the t axis must be as far from the origin as event E . Havingdrawn them in Fig. 1.4, we next draw in the same light beam as before, emitted from E ,and traveling on a 45" line in this diagram. The reflected light beam must arrive at R,so it is the 45" line with negative slope through R. The intersection of these two lightbeams must be the event of reflection P . This establishes the location of P in our dia-gram. The line joining it with the origin – the dashed line – must be the x axis: it does
Δx = cΔt
Δx( )2 − cΔt( )2 = 0
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• Por lo que
• En tres dimensiones, incluyendo interacciones menos rápida que la luz: (1.4)
• El intervalo, , es un invariante (no depende del sistema de referencia) (1.5)
8 Special relativity!t
a
x
–a
!
"
#
t
x
!Figure 1.4 The reflection in Fig. 1.3, as measured O.
t!
!
x
x
t
(a)
t
!
! x
x
t
(b)!Figure 1.5 Spacetime diagrams of O (left) and O (right).
not coincide with the x axis. If you compare this diagram with the previous one, youwill see why: in both diagrams light moves on a 45! line, while the t and t axes changeslope from one diagram to the other. This is the embodiment of the second fundamentalpostulate of SR: that the light beam in question has speed c = 1 (and hence slope = 1)with respect to every observer. When we apply this to these geometrical constructions weimmediately find that the events simultaneous to O (the line t = 0, his x axis) are not simul-taneous to O (are not parallel to the line t = 0, the x axis). This failure of simultaneity isinescapable.
The following diagrams (Fig. 1.5) represent the same physical situation. The one on theleft is the spacetime diagram O, in which O moves to the right. The one on the right isdrawn from the point of view of O, in which O moves to the left. The four angles are allequal to arc tan |v|, where |v| is the relative speed of O and O.
Δx( )2 − ct( )2 = 0 = Δx( )2 − ct( )2
Δs2 = − cΔt( )2 + Δx( )2 + Δy( )2 + Δz( )2
Δs2
Δs2 = Δs 2
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Consecuencias: La dilatación del tiempo:
(1.6)
La contracción de Lorentz:
(1.7) Ej. En la película Prometeo (Ridley Scott 2012) – astronautas viajan en 2 años ¡Esto es imposible! Asumimos viajando a la velocidad de la luz, tomaría 35 años para llegar y con la dilatación del tiempo habría pasado 1.6 años para los astronautas Velocidad real posible (pero difícil a realizar) seré 0.1c que produciría un viaje de 346 años, pero a esta velocidad solo se salve ~3 años con la dilatación del tiempo
Δt = Δt
1− v2
c2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
l = l 1− v( )2
3.27 ×1014 km
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La estructura del espacio tiempo (Einstein) = el espacio causal:
13 1.6 Invariance of the interval!The events that are lightlike separated from any particular event A, lie on a cone whose
apex is A. This cone is illustrated in Fig. 1.8. This is called the light cone of A. All eventswithin the light cone are timelike separated from A; all events outside it are spacelikeseparated. Therefore, all events inside the cone can be reached from A on a world linewhich everywhere moves in a timelike direction. Since we will see later that nothingcan move faster than light, all world lines of physical objects move in a timelike direc-tion. Therefore, events inside the light cone are reachable from A by a physical object,whereas those outside are not. For this reason, the events inside the ‘future’ or ‘forward’light cone are sometimes called the absolute future of the apex; those within the ‘past’ or‘backward’ light cone are called the absolute past; and those outside are called the abso-lute elsewhere. The events on the cone are therefore the boundary of the absolute past
Galileo:
Einstein:
Two events:
t
t
t
Future of event !
Past of event !
Past of !
‘Elsewhere’of ! ‘Elsewhere’
of !
Futureof !
Commonfuture
Futureof !
Futureof "
Past of !
Past of "
x
x
x
‘Now’ forevent !
‘Now’ is only! itself
!
!
"
!
Common past!Figure 1.9 Old and new concepts of spacetime
13 1.6 Invariance of the interval!The events that are lightlike separated from any particular event A, lie on a cone whose
apex is A. This cone is illustrated in Fig. 1.8. This is called the light cone of A. All eventswithin the light cone are timelike separated from A; all events outside it are spacelikeseparated. Therefore, all events inside the cone can be reached from A on a world linewhich everywhere moves in a timelike direction. Since we will see later that nothingcan move faster than light, all world lines of physical objects move in a timelike direc-tion. Therefore, events inside the light cone are reachable from A by a physical object,whereas those outside are not. For this reason, the events inside the ‘future’ or ‘forward’light cone are sometimes called the absolute future of the apex; those within the ‘past’ or‘backward’ light cone are called the absolute past; and those outside are called the abso-lute elsewhere. The events on the cone are therefore the boundary of the absolute past
Galileo:
Einstein:
Two events:
t
t
t
Future of event !
Past of event !
Past of !
‘Elsewhere’of ! ‘Elsewhere’
of !
Futureof !
Commonfuture
Futureof !
Futureof "
Past of !
Past of "
x
x
x
‘Now’ forevent !
‘Now’ is only! itself
!
!
"
!
Common past!Figure 1.9 Old and new concepts of spacetime
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El error de Newton Segundo Newton, la geometría solo describe el espacio – esto es (vector): (1.8)
r = xi + yj + zk Donde la métrica es Euclidiana: (1.9) r2 = Δx( )2 + Δy( )2 + Δz( )2 Definida de esta manera, tenemos que la fuerza que describe la interacción es:
(1.10)
F = ma = m dv
dt= m d 2r
dt 2
Y por definición de la integral, como v = f t( ) (1.11) a = lim
Δt→0
v t + Δt( )− v t( )Δt
La interacción es instantánea La manera correcta es de tomar en cuenta la rapidez de interacción, y así la geometría es relacionada con el intervalo: (1.12) Δs2 = Δx( )2 + Δy( )2 + Δz( )2 − cΔt( )2 La geometría de este espacio no es Euclidiana, pero Riemanniana (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826 -‐ 1866)
• En esta geometría, el espacio-‐tiempo es curva, la trayectoria más corta en dos posición es una curva no una reta
Que Einstein demostró en la Relatividad General es que la curvatura de este espacio-‐tiempo depende de la masa, y por lo tanto es esta curva que nosotros interpretamos como la gravedad: en la relatividad general, la gravedad es la curvatura del espacio-‐tiempo
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Extensiones matemáticas actual Existen otras extensiones en matemáticas avanzadas, como convergencia de serias, o serias infinita de funciones (seria de potencias) que amplifica aún más nuestro potencial de acción sobre el real: estas extensiones toman la forma de serias, que corresponden a solución de ecuaciones diferenciales (fenómenos físicos) Algunas extensión des estas serias, en serias divergentes o asintóticas, traen la invención de una nueva matemática = los fractales que describen comportamiento no determinístico = teoría de chaos Ex. = logistic map (causal system)
Tλ : x → xλ = λx 1− x( ) Empezando con un punto 0x en el intervalo 00 1x< < , se genera una secuencia de
puntos xn{ }con xn+1 = λxn 1− xn( ) para 0 < λ < 4( ) En principio, describe un sistema dinámico determinista è cada estado inicial se transforme en otro estado de manera causal Ej.
• Interacción sucessiva del orbita de una partícula con un plano fijo • El conteo de populación de diferentes especias de un ecosistema a intervalo
de tiempo finito Pero aparece el fenómeno periódico de desdoblamiento y transición al chaos -‐ el sistema no tiene un comportamiento determinístico
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Para la secuencia ( )1 1n n nx x xλ+ = −
• Para 1λ < , convergencia a 0 • Para 1λ > , no hay convergencia a 0 • Para 3λ > , oscilación del sistema entre dos soluciones (periodo 2) • Para 1 6 3.4495λ = + ≅ , bifurcación en ciclos estables de periodo 4
(desdoblamiento de periodo) • Bifurcación se continua después de intervalos más y más chicos de λ , hasta
llegar a 3.56994cλ ≅ , donde el sistema es chaótico • Con islas de periodicidad y regreso al chaos
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Existe, en mecánica cuántica, una experiencia que viola el principio de causalidad de Einstein
Alain Aspect (1982): se realice una experimento en una región del espacio en relación causal N, pero los detectores R1 y R2 son separados de manera no causal, separada por la región V, por lo que ninguna interacción puede influir sobre el resultado observado por los detectores La experiencia consiste a mandar un par de fotones con dos sentidos de polarización posibles (+,-‐)
• La mecánica cuántica describe el estado del sistema como la combinación de dos estados posibles (“entanglement”): Ψ = +,−( ), −,+( )⎡⎣ ⎤⎦ no separable
ψ ≠ Ψ1 +,−( ) +Ψ2 −,+( )( ) , de manera no determinista, porque a cualquier momento, el sistema existe en los dos estados al mismo tiempo
• Que determina el sentido de la polarización es el observador: si R1 observa + (es porque el forzó la respuesta – reducción del paquete de onda), R2 observara – , o vice versa
• Asumiendo una variable escondida deterministaλ , que no es parte de la mecánica cuántica, se puede demostrar que la probabilidad que se observa este tipo de correlación es P +,−,λ( ) ≤ 2 (inegualdades de Bell 1960)
• Pero las experiencia de Alain Aspect da resultado consistente con P +,−,λ( ) > 2que es consistente con la mecánica cuántica – no existe variable escondida
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El universo no causal El Big Bang describe la creación de la materia, alrededor de 13.7 ×109 años; una vez creado la materia, automáticamente aparece el espacio-‐tiempo; El Big Bang es observado por la radiación cósmica de fundo, resultado de la primeras interacciones entre partículas, que muestra exactamente la misma temperatura en cualquier dirección El problema es que al momento que se emitió la radiación del fundo cósmico, el universo no estaba en relación causal -‐ el Big Bang corresponde a un evento cuántico no causal