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8/16/2019 Cap16_Sec9_2x4

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Capítulo 16Cálculo Vetorial


16.9O Teorema do Divergente

Nesta seção, aprenderemos sobre:

O Teorema do Divergente para regiões sólidas simples esuas aplicações em campos elétricos e fluídos.

CÁLCULO VETORIAL


INTRODUÇÃO

Na Seção 16.5, reescrevemos o Teorema de

Green na versão vetorial

onde C é a curva fronteira da região do

plano D, orientada positivamente.

div ( , )C

D

ds x y dA F n F


Se quisermos estender esse teorema para

campos vetoriais em R³, podemos

conjecturar que

onde S é a superfície fronteira da região

sólida E .

div ( , , )S E

dS x y z dV

F n F

INTRODUÇÃO Equação 1


TEOREMA DO DIVERGENTE

A Equação 1 é verdadeira sob hipóteses

apropriadas e é chamada Teorema do

Divergente.


Observe sua semelhança com os Teoremas

de Green e de Stokes, pois ele relaciona a

integral da derivada de uma função

(div F, nesse caso) sobre uma região com a

integral da função original F sobre a fronteira

da região.



Nesse estágio, você pode fazer uma revisão

dos vários tipos de regiões sobre os quais

calculamos integrais triplas na Seção 15.6.



REGIÕES SÓLIDAS SIMPLESEnunciaremos e demonstraremos o Teorema

do Divergente para as regiões E que são

simultaneamente dos tipos 1, 2 e 3, às quais

chamaremos regiões sólidas simples.

Por exemplo: regiões limitadas por elipsoides ou

caixas retangulares são regiões sólidas simples.

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A fronteira de F é uma superfície fechada e

usaremos a convenção, introduzida na

Seção 16.7, de que a orientação positiva é

para for a.

Ou seja, o vetor normal unitário n apontará

para fora de E .

REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES


Seja:

E uma região sólida simples

S a superfície fronteira de E , orientada

positivamente (para fora).

F um campo vetorial cujas funções componentes

tenham derivadas parciais contínuas em uma

região aberta que contenha E .

Então, divS E

d dV F S F



Portanto, o Teorema do Divergente afirma

que:

sob as condições dadas, o fluxo de F pela

superfície fronteira de E é igual à integral tripla

do divergente de F em E .



TEOREMA DE GAUSS

O Teorema do Divergente é às vezes

chamado Teorema de Gauss, em

homenagem ao grande matemático alemão

Karl Friedrich Gauss (1777 -1855).

Ele descobriu esse teorema durante suas

pesquisas sobre eletrostática.


TEOREMA DE OSTROGRADSKY

Em muitos países da Europa, o Teorema do

Divergente é conhecido como Teorema de

Ostrogradsky, em homenagem ao

matemático russo Mikhail Ostrogradsky

(1801-1862).

Ele publicou esse resultado em 1826.


Seja F = P i + Q j + R k

Então,

logo,

div P Q R

x y z

F

div E

E E E

dV

P Q RdV dV dV

x y z

F

TEOREMA DO DIVERGENTE Demonstração


Se n é o vetor normal unitário para fora de S,

então a integral de superfície do lado

esquerdo do Teorema do Divergente é

S S

S

S S S

d d

P Q R dS

P dS Q dS R dS

F S F n S

i j k n

i n j n k n



Portanto, para demonstrar o Teorema do

Divergente, é suficiente demonstrar as três

seguintes equações:

S E

S E

S E

P P dS dV

x

QQ dS dV

y

R R dS dV

z

i n

j n

k n

TEOREMA DO DIVERGENTE Equações 2 - 4

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Para demonstrar a Equação 4, usamos o

fato de que E é uma região do tipo 1:

onde D é a projeção de E sobre o plano xy .

1 2, , , , , , E

x y z x y D u x y z u x y



Pela Equação 15.6.6, temos

Portanto, pelo Teorema Fundamental do

Cálculo,

TEOREMA DO DIVERGENTE Equação 5


A superfície fronteira

S é formada por três

partes:

a superfície do fundo S1

a superfície do topo S2

possivelmente, uma superfície vertical S3, que está

acima da curva fronteira de D (Pode acontecer de

S3 não existir, como no caso da esfera.)



Observe que sobre S3, temos k · n = 0,

porque k é vertical e n é horizontal, e assim

3

3

0 0

S

S

R dS

dS

k n



Logo, independentemente da existência de

uma superfície vertical, podemos escrever

1 2S S S

R dS R dS R dS k n k n k n

TEOREMA DO DIVERGENTE Equação 6


A equação de S2 é z = u 2( x , y ), ( x , y ) D,

e o vetor normal que sai de n aponta paracima.

Da Equação 16.7.10

(com F substituído por

R k), temos

2

2, , ,

S

D

R dS

R x y u x y dA

k n



Sobre S1, temos z = u 1( x , y , mas aqui a

normal n aponta para baixo, então

multiplicamos por –1:

1

1, , ,

S

D

R dS

R x y u x y dA

k n



Portanto, a Equação 6 fica

2 1, , , , , ,S

D

R dS

R x y u x y R x y u x y dA

k n


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Comparando com a Equação 5, temos que

As Equações 2 e 3 são demonstradas de modo

análogo, usando as expressões para E como

uma região do tipo 2 ou do tipo 3.

S E

R R dS dV

z

k n



Observe que o método de demonstração

do Teorema do Divergente é muito

semelhante ao do Teorema de Green.



DIVERGENTE EXEMPLO 1

Determine o fluxo do campo vetorial

F( x , y , z ) = z i + y j + x k

sobre a esfera unitária

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Primeiro calcularemos o divergente de F:

div 1 z y x x y z

F


A esfera unitária S é a fronteira da bola

unitária B dada por: x 2 + y 2 + z 2 1

Então, o Teorema do Divergente dá o fluxo como

34

3

div 1

41

3

S B B

F dS dV dV

V B

F



Calcule onde:

F( x , y , z) = xy i + (y 2 + e xz 2) j + sen( xy) k

S é a superfície da

região E limitada pelo

cilindro parabólico

z = 1 – x 2 e pelos planos

z = 0, y = 0, y + z = 2

S

d F SDIVERGENTE EXEMPLO 2


Seria extremamente difícil calcular a integral

da superfície dada diretamente.

Teríamos de calcular quatro integrais de

superfícies correspondentes às quatro partes de S.

Além disso, o divergente de F é muito menos

complicado que o próprio F:



Portanto, usamos o Teorema do Divergente

para transformar a integral da superfície dada

em uma integral tripla.

O modo mais fácil de calcular a integral tripla é

escrever E como uma região do tipo 3:

2, , 1 1, 0 1 , 0 2 E

x y z x z x y z



Assim, temos:DIVERGENTE EXEMPLO 2

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UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES

Apesar de termos demonstrado o Teorema

do Divergente somente para o caso de

regiões sólidas simples, ele pode ser

demonstrado para regiões que são a união

finita de regiões sólidas simples.

O procedimento é semelhante ao usado na Seção

16.4 para estender o Teorema de Green.


Por exemplo, vamos considerar a região E

que está entre as superfícies fechadas S1 e

S2, onde S1 está dentro de S2.

Sejam n1 e n2 as normais apontando para

fora de S1 e S2.



Então, a superfície fronteira de E é:

S = S1 S2

e sua normal n é dada por:

n = –n1 sobre S1n = n2 sobre S2



Aplicando o Teorema do Divergente a S,

obtemos

1 2

1 2

1 2

div E S

S

S S

S S

dV d

dS

dS dS

d d

F F S

F n

F n F n

F S F S

UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES Eq. 7


APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS

Vamos aplicar isso ao campo elétrico (veja o

Exemplo 5 na Seção 16.1):

onde S1 é uma pequena esfera com raio a e

centro na origem.

3Q

E x xx


Você pode verificar que div E = 0 (Exercício 23).

Portanto, da Equação 7 vem

2 1

1

2

divS S E

S

S

d d dV

d

dS

E S E S E

E S

E n



O ponto importante nesse cálculo é que

podemos calcular a integral de superfície

sobre S1 porque S1 é uma esfera.

O vetor normal em x é x/|x|.



Portanto,

já que a equação de S1 é |x| = a.

2 23 4

Q Q Q Q

a

xE n x x x

xx x x


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Assim, temos

2 1 1

2

12

2

2

4

4

S S S

Qd dS dS

a

Q A S

a

Qa

aQ

E S E n



Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4 Qatravés de qualquer superfície fechada S2

que contenha a origem.

Esse é um caso especial da Lei de Gauss

(Equação 16.7.11) para uma única carga.

A relação entre e 0

é = 1/4 0.



APLICAÇÕES—FLUIDOS

Outra aplicação do Teorema do Divergente

aparece no escoamento de fluidos.

Seja v( x , y , z ) o campo de velocidade de um

fluido com densidade constante .

Então, a vazão do fluido por unidade de área

é F = v.


Se P 0( x 0, y 0, z 0) é um ponto no fluido e Ba é

uma bola com centro em P 0 e raio muito

pequeno a.

Então, div F(P ) div F(P 0) para todos os pontosde Ba , uma vez que div F é contínuo.



Aproximamos o fluxo sobre a fronteira

esférica Sa como segue:

0

0

div

div

div

a a

a

S B

B

a

d dV

P dV

P V B

F S F

F

F



Essa aproximação se torna melhor à medida

que a 0 e sugere que:

0 01

div lim

a

aa S

P d V B

F F S

APLICAÇÕES—FLUIDOS Equação 8


FONTE E SORVEDOURO A Equação 8 nos diz que div F(P 0) é a vazão

total por unidade de volume que sai de P 0.

(essa é a razão para o nome divergente).

Se div F(P ) > 0, o escoamento total perto de P é

para fora e P é chamado fonte.

Se div F(P ) < 0, o escoamento total perto de P é

para dentro e P é denominado sorvedouro.


FONTEPara o campo vetorial da Figura 4, parece

que os vetores que terminam próximo de P 1

são menores que os vetores que iniciam

perto do mesmo ponto P 1.

Então, o fluxo total é

para fora perto de P 1.

Assim, div F(P 1) > 0e P 1 é uma fonte.

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SORVEDOURO

Por outro lado, perto de P 2, os vetores que

chegam são maiores que os que saem.

Aqui o fluxo total é

para dentro.

Assim, div F(P 2) < 0

e P 2 é um sorvedouro.


Podemos usar a fórmula para F para

confirmar essa impressão.

Como F = x 2 i + y 2 j, temos div F = 2 x + 2y ,

que é positivo quando y > – x .

Assim os pontos acima da reta y = – x

são fontes e os pontos abaixo da reta são

sorvedouros.

FONTE E SORVEDOURO

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