1. 13.1. La Luna tiene una masa de 73:5(1021) kg, yla masa terrestre es de 5:98(1024) kg. Si los cen-tros de ambas se encuentran a 384(106) m, de-termine la fuerza de atracción gravitacional entreambos cuerpos.

2. 13-2. Los diámetros de Marte y la Tierra son de6775 km y 12755 km, respectivamente. La masade Marte es 0:107 veces la de la Tierra. Si uncuerpo pesa 200 N en la super�cie terrestre ¿cuálsería su peso en Marte? Asimismo, ¿cuál es lamasa del cuerpo y la aceleración de la gravedaden Marte?

3. 13.3. Determinar (sólo) la "atracción gravita-cional" entre un hombre de 80 kg Y una mujerde 50 kg. La distancia entre los centros de masade ambos es de 0:5 m.

4. *13-4. El camión de equipaje A tiene una masade 800 kg y se le usa para jalar los carros de 300kg cada uno. Determine la tensión en las unionesB y C si la fuerza de tracción F sobre el camiónes F = 480 N. ¿Cuál es la rapidez del tractorcuando t = 2 s, iniciando desde el reposo? Lasruedas de los carros tienen libertad absoluta pararodar. Ignore la masa de las ruedas.

5. 13.5. El camión de equipaje A tiene una masade 800 kg y se le usa para jalar los carros de300 kg cada uno. Si la fuerza de tracción F esde F = 480 N, determine la aceleración inicialdel camión. ¿Cuál es la aceleración del tractorsi de pronto falla la unión en C? Las ruedas delos carros ruedan con absoluta libertad. Ignorela masa de las ruedas.

6. 13-6. Al utilizar un plano inclinado para retar-dar el movimiento de un objeto que cae y por

lo tanto poder realizar observaciones más pre-cisas, Galileo pudo determinar de manera exper-imental que la distancia que recorre un objetoen caída libre es proporcional al cuadrado deltiempo necesario para realizar tal recorrido. De-muestre que si éste es el caso, es decir, s 1 t2,al determinar los tiempos tB ; tC Y tD necesar-ios para que un bloque de masa m partiendo delreposo en A se deslice hasta los puntos B, C y D,respectivamente. Ignore los efectos de !a fricción.

7. 13-7. El ensamble de combustible de un reac-tor nuclear, con un peso de 500 kg, es levantadodesde el reposo en el centro del reactor nuclearutilizando el sistema de poleas que se ilustra. Sile eleva con una aceleración constante tal ques = 0 cuando t = 0 Y s = 2:5 m cuando t = 1:5s. Determine la tensión en el cable en A duranteel movimiento.

8. 13-8. El ensamble de combustible de un reac-tor nuclear, con un peso de 500 kg, es levantadodesde el reposo en el centro del reactor nuclearutilizando el sistema de poleas que se ilustra. Sila carga sostenida por el cable no puede exceder 8kN, determine el menor tiempo posible necesariopara elevar el conjunto a s = 2:5 m. Asimismo,¿qué rapidez tiene cuando s = 2:5 m? Orig-inalmente, el conjunto se encuentra en reposo

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cuando s = 0.

9. 13-9. Un remolcador tira de un buque tanquecuya masa es de 4:5 Gg, con una aceleraciónconstante de 0:001 m/s2, utilizando un cable queforma un ángulo de 15� con la popa del remol-cador, como se observa en la �gura. Determine lafuerza del cable sobre la popa del buque tanque.No tome en cuenta "la resistencia del agua.

10. 13-10. Un remolcador tira de un buque tanquecuya masa es de 4:5 Gg, con una aceleración con-stante de 0:001 m/s2, utilizando un cable queforma un ángulo de 15� con la popa del remol-cador, como se observa en la �gura. Determinela fuerza horizontal del agua sobre la hélice delremolcador, necesaria para lograr esto. La masadel remolcador es de 50 Mg. También, ¿cuál esla fuerza del cable sobre la popa del remolcador?No tome en cuenta la resistencia del agua.

11. 13-11. Durante un periodo de 30 segundos setraza la grá�ca de la rapidez de un automóvil

deportivo, de 3; 500 lb. Dibuje la variación de lafuerza de tracción F necesaria para provocar elmovimiento.

12. *13-12. Durante un periodo de 30 segundos setraza la grá�ca de la rapidez de un automóvildeportivo, de 3; 500 lb. Determine la fuerza detracción F que actúa sobre el auto para provocarel movimiento en t = 5s Y t = 20s.

13. 13-13. El hombre pesa 180 lb Y soporta unjuego de pesas de 100 lb. Si las eleva 2 piesy las mantiene en el aire en 1.5 s desde el re-poso, determine la reacción de ambos pies so-bre el piso durante el levantamiento. Supongaque el movimiento se realiza con una aceleraciónuniforme.

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14. 13-14. El muchacho, con un peso de 80 lb, cuelgaen forma uniforme de la barra. Determine lafuerza en cada uno de sus brazos en t = 2 s si labarra se desplaza hacia arriba con (a) una veloci-dad constante de 3 pies/s y (b) una rapidez dev = (4t2) pies/s, donde t se expresa en segundos.

15. 13-15. El juego acuático que se ilustra consisteen un trineo de 800 lb que desde el reposo sedesliza por una pendiente hacia abajo. para lle-gar a una piscina. Si la resistencia a la fricciónen la pendiente es Fr = 30 lb, Y en la piscinadurante una breve distancia Fr = 80 lb, deter-mine la rapidez con la que viaja el trineocuandos = 5 pies.

16. *13-16. Cada uno de los dos bloques tiene unamasa m. El coe�ciente de fricción cinética en to-das las super�cies en contacto es �. Si se aplica

una fuerza horizontal P al bloque inferior, deter-mine la aceleración de dicho bloque en ambos.casos.

17. 13-17. Un collarín liso C de 2 lb se ajusta conholgura a la barra horizontal. Si el resorte no seencuentra extendido cuando s = 0, determinela velocidad del collarín cuando s = 1 pie siéste recibe una velocidad horizontal inicial de 15pies/s cuando s = 0.

18. 13-18. El conductor trata de remolcar la cajautilizando una cuerda que posee una fuerza detensión de 200 lb. Si la caja se encuentra orig-inalmente en reposo y tiene un peso de 500 lb,determine la mayor aceleración que puede exper-imentar si el coe�ciente de fricción estática entrela caja y el camino es �s = 0:4, y el coe�cientede fricción cinética es �s = 0:3.

19. 13-19. Una maleta de 40 lb se desliza hacia abajo20 pies, partiendo del reposo, por una rampa lisa.Determine el punto en donde toca el suelo en C.¿Cuánto tiempo requiere para ir de A a C?

20. *13-20. Resuelva el problema 13-19 si la maletatiene una velocidad inicial hacia abajo por larampa de VA = 10 pies/s y el coe�ciente de fric-ción cinética a lo largo de la distancia AB es

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�k = 0:2.

21. 13-21. Determine la aceleración del cilindro Ade 5 kg. Ignore la masa de las poleas y las cuer-das. El bloque en B tiene una masa de 10 kg.Suponga que la super�cie en B es lisa.

22. 13-22. Determine la aceleración del cilindro A de5 kg. Ignore la masa de las poleas y las cuerdas.El bloque en B tiene una masa de 10 kg. Elcoe�ciente de fricción cinética entre el bloque By la super�cie es �k = 0:1:

23. 13-23. El tambor rotatorio D recoge el cable conuna aceleración de 5 m/s2. Determine la tensión

en el cable si la caja suspendida tiene una masade 800 kg.

24. *13-24. Se aplica una fuerza F = 15 lb a lacuerda. Determinar la altitud a la que se elevael bloque A en 2 s desde el reposo. Ignore el pesode las poleas y de la cuerda.

25. 13-25. Determine la fuerza constante F que espreciso aplicar a la cuerda a �n de que el bloqueA, de 30 lb, tenga una rapidez de l 12 pies/scuando se desplaza 3 pies hacia arriba a par-tir del reposo. Ignore el peso de las poleas y lacuerda.

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26. 13-26. En un instante determinado. el bloque A,de 10 lb, se mueve hacia abajo con una rapidezde 6 pies/s. Determine su rapidez 2 s después. Elbloque B tiene un peso de 4 lb y el coe�ciente defricción cinética entre éste y el plano horizontales de �k = 0:2.Ignore la masa de las poleas y dela cuerda.

27. 13-27. El bloque B, de 5 lb, está en reposo so-bre una super�cie lisa. Determine su aceleracióncuando el bloque A, de 3 lb, es liberado del re-poso. ¿Cuál sería la aceleración de B si el bloqueA fuera sustituido por una fuerza vertical de 3lb que actúa sobre la cuerda anexa?

28. *13-28. El vagón minero, de 400 kg, es subidopor un plano inclinado utilizando el cable y elmotor M. Durante un breve tiempo, la fuerza enel cable es F = (3200t2) N, donde t se expresaen segundos. Si el vagón tiene una velocidadinicial V1 = 2 m/s cuando t = O, determine lavelocidad cuando t = 2 s.

29. 13-29. El vagón minero, de 400 kg, es subidopor un plano inclinado utilizando el cable y elmotor M. Durante un breve tiempo, la fuerza enel cable es F = (3200t2) N, donde t se expresa ensegundos. Si el vagón tiene una velocidad inicialV1 = 2 m/s cuando s = 0 Y t = 0, determine ladistancia que se mueve en el plano cuando t = 2

s.

30. 13-30. El collarín C de 2 kg se desliza libre so-bre la barra lisa AB. Determine la aceleracióndel collarín C si (a) la barra está �ja. (b) el col-larín A, que está �jo en la barra AR, se muevehacia abajo con una velocidad constante sobrela barra vertical, y (c) el collarín A está sujeto auna aceleración hacia abajo de 2 mls2. En todoslos casos. el collarín se mueve sobre el plano.

31. 13-31. El collarín C de 2 kg se desliza libre so-bre la barra lisa AB. Determine la aceleracióndel collarín C si el collarín A, está sujeto a unaaceleración hacia arriba de 4 m/s2.

32. *13-32. La caja de 10 kg descansa sobre uncarro cuyo coe�ciente de fricción estática es de�s = 0:3 entre la caja y el carro. Determine el

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mayor ángulo � del plano de modo que la caja nose deslice sobre el carro cuando éste recibe unaaceleración de a = 6 m/s2 hacia abajo.

33. 13-33. Determine la fuerza normal que ejercela caja A, de 10 kg. sobre el carro liso si ésterecibe una aceleración de 2 m/s2 hacia abajopor el plano inclinado. También. ¿cuál es laaceleración de la caja? Establezca 9 = 30�.

34. 13-34. La banda transportadora hace llegar cadacaja de 12 kg a la rampa en A de tal forma quela rapidez de la caja es VA = 2:5 m/s. dirigidahacia abajo sobre la rampa. Si el coe�ciente defricción cinética entre cada caja y la rampa es�k = 0:3, dermine la rapidez con la que cadacaja se desliza por la rampa B. Suponga que noexiste volcadura. Tome � = 30�.

35. 13-35. La banda transportadora hace llegar cadacaja de 12 kg a la rampa en A de tal forma quela rapidez de la caja es VA = 2:5 m/s, dirigidahacia abajo sobre la rampa. Si el coe�ciente defricción cinética entre cada caja y la rampa esde �k = 0:3, determine la inclinación mínima ede la rampa de modo que las cajas caigan en el

carro.

36. *13-36. La banda transportadora se desplaza a4 m/s. Si el coe�ciente de fricción estática entrela banda y el paquete B de 10 kg es �s = 0:2, de-termine el mínimo tiempo para detener la bandade manera que el paquete no se deslice sobre labanda.

37. 13-37. La banda transportadora se diseña paraconducir paquetes de diversos pesos. Cada pa-quete de 10 kg tiene un coe�ciente de friccióncinética �k = 0:15. Si la rapidez de la banda esde 5 m/s, y se detiene súbitamente, determinela distancia que se deslizará el paquete sobre labanda antes de llegar al reposo.

38. 13-38. Determine la rapidez del collarín en elejemplo 13-4 en el instante y = 1 m. Sugeren-cia: combine las ecuaciones (2), (3) y (4) paradeterminar a = f(y). Después sustituya en laecuación vdv = ady e integre.

39. 13-39. Cada uno de los bloques A y B tiene unamasa m. Determine la máxima fuerza horizontal

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P que es posible aplicar a B de manera que A nose mueva en relación con B. Todas las super�ciesson lisas.

40. *13-40. Cada uno de los bloques A y B tiene unamasa m. Determine la máxima fuerza horizontalP que es posible aplicar a B de manera que Ano se deslice hacia arriba de B. El coe�cientede fricción estática entre A y B es �. Ignore lafricción entre B y C.

41. 13-41. Un automóvil de masa m se desplazalentamente con una velocidad vo. Si el vientole opone una resistencia al avance proporcionala su velocidad, es decir, FD = kv, determinela distancia y tiempo que recorrerá el automóvilantes de que su velocidad sea de 0.5 vo. Supongaque ninguna otra fuerza de fricción actúa sobreel automóvil.

42. 13-42. Una paracaidista, con una masa m, caea va cuando abre el paracaídas a una gran al-titud. Si la resistencia atmosférica al avance esFD = kv2, donde k es constante, determine lavelocidad que alcanza después de caer una dis-tancia h. ¿Cuál es la velocidad en el momentodel aterrizaje? Esta velocidad se conoce comovelocidad terminal, la cual se calcula al permitirque la distancia de caída y �!1.

43. 13.43. Una paracaidista, con una masa m, abreel paracaídas desde el reposo a una gran alti-tud. Si la resistencia atmosférica al avance es

FD = kv, donde k es constante, determine la ve-locidad que alcanza después decaer durante untiempo t. ¿Cuál es la velocidad en el momentodel aterrizaje? Esta velocidad se conoce comovelocidad terminal, la cual se calcula al permitirque el tiempo de caída t �!1.

44. *13.44. Con un ángulo �0, se dispara unapartícula de masa m con una velocidad Vo ha-cia el interior de un líquido el cual desarrollauna resistencia al avance F = �kv, donde k esuna constante. Determine la rapidez terminal omáxima que alcanza la partícula.

45. 13.45. Se dispara una partícula con masa m ha-cia el interior de un líquido con una velocidadinicial Vo y un ángulo �0. Si el líquido oponeuna resistencia al avance del proyectil propor-cional a su velocidad, es decir, F = kv, donde kes una constante, determine las componentes x yy de su posición en cualquier instante. Además,

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¿cuál es la distancia máxima, Xmax que recorre?

46. 13-46. El peso del bloque A es de 8 lb Y el delB es de 6 lb. Ambos se encuentran en repososobre una super�cie que tiene un coe�ciente defricción cinética de �k = 0:2. Si el resorte tieneuna rigidez de k = 20 lb/pies y está comprimido0.2 pies, determine la aceleración de cada bloquedespués de haberlos soltado.

47. 13-47. Cada una de las tres pacas tiene una masade 10 kg. Si los coe�cientes de fricción cinética yestática de cada super�cie en contacto son �s =0:3 Y �k = 0:2, respectivamente, determine laaceleración de cada placa cuando se aplican lastres fuerzas horizontales.

48. *13-48. Determine el tiempo necesario para jalarde la cuerda en B hacia abajo 4 pies, iniciandodel reposo, cuando se aplica una fuerza de 10 lba dicha cuerda. El bloque A pesa 20 lb. Ignorela masa de las poleas y las cuerdas.

49. 13-49. El bloque B descansa sobre una super�-cie lisa. Si los coe�cientes de fricción estática ycinética son �s = 0:4 Y �k = 0:3. respectiva-mente, determine la aceleración de cada bloquesi alguien empuja el bloque A en forma horizon-tal con una fuerza de (a) F = 6 lb, Y (b) F = 50lb.

50. 13-50. La caja B tiene una masa m y es liber-ada del reposo cuando se encuentra en la partemás elevada del carro A, que tiene una masa 3m.Determine la tensión necesaria en la cuerda CDpara impedir que el carro se mueva cuando B se

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desliza hacia abajo. Ignore la fricción.

51. 13-51. El bloque liso B, de tamaño despreciable,tiene una masa m y descansa en el plano horizon-tal. Si la tabla AC empuja el bloque en un ángulo� con una aceleración constante 30, determine lavelocidad y la distancia que recorre el bloque so-bre la tabla como una función de tiempo t. Elbloque inicia del reposo cuando s = 0, t = 0.

52. *13-52. El cilindro B tiene una masa m y es lev-antado utilizando el sistema de cuerdas y poleasque se ilustra. Determine la magnitud de lafuerza F como una función de la posición ver-tical y del bloque de tal forma que cuando seaplica F, el bloque se eleva con una aceleraciónconstante aB . Ignore la masa de la cuerda y las

poleas.

53. 13.53. La masa del elevador E es de 500 kg Yla del contrapeso en A es de 150 kg. Si el motorproporciona una fuerza constante de 5 kN sobreel cable en B, determinar la rapidez del elevadoren t = 3 s a partir del reposo. Ignorar la masade las poleas y el cable.

54. 13-54. El bloque A tiene una masa mA Y se en-cuentra sobre la placa B, que tiene una masa mB .Ambos se encuentran en reposo sobre un resortecon una rigidez k y que a su vez está adherido

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al suelo en el fondo de la placa. Determine ladistancia d que es preciso empujar hacia abajola placa desde la posición de equilibrio y luegosoltarla desde el reposo de modo que el bloquese separe. de la super�cie de la placa en el in-stante en que el resorte regresa a su posición nodeformada.

55. 13-55. Detennine la rapidez constante máximacon la que el piloto debe recorrer una curva ver-tical cuyo radio de curvatura es � = 800 m, demodo que experimente una aceleración máximaan = 8g = 78:5 m/s2. Si el piloto tiene unamasa de 70 kg, detemine la fuerza nonnal queejerce sobre el asiento del avión cuando éste seencuentra en el punto más bajo con esta fapidez.

56. *13-56. En el instante � = 60�, el centro de masaG del niño tiene una rapidez hacia abajo Vo = 15pies/s. Detennine el aumento en la rapidez y latensión en cada una de las dos cuerdas de soportedel columpio en ese instante. El niño tiene unpeso de 60 lb. Ignore el tamaño y la masa delasiento y de las cuerdas.

57. 13-57. En el instante � = 60�, el centro de masaG del niño está momentáneamente en reposo.Detennine la rapidez y la tensión en cada una delas dos cuerdas de soporte del columpio cuando� = 90�, El niño tiene un peso de 60 lb. Ignoreel tamaño y la masa del asiento y de las cuerdas.

58. 13-58. El aparato que se ilustra está diseñadopara producir la experiencia de ingravidez en elpasajero cuando llega al punto � = 90�, sobrela trayectoria. Si el pasajero tiene una masa de75 kg, determine la rapidez máxima que deberátener cuando llegue a A de modo que no ejerceuna reacción normal sobre el asiento. La sillaestá conectada por un perno al marco BC demodo que el pasajero permanece siempre sen-tado con la cabeza hacia arriba. Durante elmovimiento su rapidez permanece constante.

59. 13-59. El pasajero tiene una masa de 75 kg Ytodo el tiempo permanece sentado con la cabezahacia arriba. En el instante � = 30�, tiene unarapidez de 5 m/s y un aumento en la misma de 2m/s2. Determine las fuerzas horizontal y verticalque ejerce la silla sobre el pasajero para producir

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este movimiento.

60. *13-60. La bola de demolición de 600 kg estásuspendida de una grúa por un cable cuya masaes despreciable. Si la bola tiene una rapidez v =8 m/s, en el instante en que se encuentra en elpunto más bajo, � = 0�, determine la tensión enel cable en este instante. Además, determine elángulo e que describe en su oscilar la bola antesde detenerse.

61. 13-61. La bola de demolición de 600 kg está sus-pendida de una grúa por un cable cuya masaes despreciable. Determine la rapidez de labola cuando se encuentra en el punto más bajo(� = 0�) si se observa que el cable oscila descri-biendo un ángulo � = 30� cuando el movimiento

se detiene momentáneamente. Calcule la tensiónen el cable en cada posición.

62. 13-62. La lenteja del péndulo tiene una masa my se le suelta desde el reposo cuando � = 0�. De-termine la tensión en la cuerda como una funcióndel ángulo de descenso �. Ignore el tamaño de lalenteja.

63. 13-63. La motocicleta acuática y su conductortienen una masa total de 350 kg y un centro demasa en G. Si el conductor da un viraje cuyo ra-dio de curvatura es � = 8 m y un ángulo de per-alte de 30�, mientras se desplaza con una rapidezconstante v = 10 m/s, determine la magnitud dela fuerza resultante del agua sobre la quilla. Ig-

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nore el tamaño de la motocicleta y del conductor.

64. 13-64. Si la cresta de la colina tiene un radiode curvatura p = 200 pies, detennine la rapidezconstante máxima a la que el automóvil puededesplazarse sobre la colina sin despegarse de lasuper�cie del camino. Ignore el tamaño del au-tomóvil en el cálculo. El auto tiene un peso de3500 lb.

65. 13-65. El hombre de 150 lb yace contra uncolchón para el cual el coe�ciente de fricción es-tática es �s = 0:5. Determine las fuerzas re-sultantes normales y friccionales que el colchónejerce sobre él si, debido a la rotación en tornodel eje z. tiene una rapidez constante v = 20pies/s. Ignore el tamaño del hombre. Considere� = 60�.

66. 13-66. El hombre de 150 lb yace contra uncolchón para el cual el coe�ciente de fricción es-tática es �s = 0:5. Si el hombre gira en torno deleje z con una rapidez constante v = 30 pies/s,detemine el ángulo mínimo � del colchón en el

que el hombre comenzará a resbalarse.

67. 13-67. Oetennine la rapidez constante de lospasajeros en el juego en el parque de diversionessi se observa que los cables de soporte se dirigenhacia � = 30� con respecto de la vertical. Cadasilla, incluyendo el pasajero, tiene una masa de80 kg. También, ¿cuáles son las componentesde la fuerza en las direcciones n, t y b que lasilla ejerce sobre un pasajero de 50 kg durante elmovimiento?

68. �13-68. El avión que se desplaza a una rapidezconstante de 50 m/s, ejecuta un viraje horizon-tal, si el avión tiene un peralte en � = 15�,cuando el piloto experimenta sólo una fuerza

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normal sobre el asiento del avión, detennine elradio de curvatura p del viraje.

69. 13-69. Un motociclista en un circo monta sumáquina dentro de una esfera hueca. Si el coe�-ciente de fricción estática entre las ruedas de lamotocicleta y la esfera es de �s = 0:4, determinela rapidez mínima a la que debe desplazarse siha de moverse por el muro cuando � = 90�. Lamasa de la motocicleta y del piloto es de 250 kg.Y el radio de curvatura al centro de gravedad es� = 20 pies. Ignore el tamaño de la motocicletaen el cálculo.

70. 13-70. El paquete tiene un peso de 5 lb y sedesliza hacia abajo por un ducto. cuando llegaa la parte curva AB, se desplaza a 8 pies/s (� =0�). Si el ducto es liso, determine la rapidez delpaquete cuando alcanza el punto intermedio C(� = 30�) y cuando alcanza el plano horizontal

(� = 45�). Asimismo, calcule la fuerza normalsobre el paquete en C.

71. 13-71. Se pide que los cartones que tienen unamasa de 5 kg se desplacen sobre la línea de en-samble con una rapidez constante de 8 m/s. De-termine el radio mínimo de curvatura, p, para eltransportador, de modo que los cartones no sedeslicen. Los coe�cientes de fricción estática ycinética entre un cartón y la banda son �s = 0.7y �k = 0.5, respectivamente.

72. *13-72. Al cruzar una esquina, un motoci-clista encuentra un leve peralte, o abultamiento,provocado por el camino que intersecta. Si lacresta del peralte tiene un radio de curvaturap = 50 pies, determine la rapidez máxima con-stante a la que puede desplazarse si abandonala super�cie del camino. En el cálculo, ignore eltamaño de la motocicleta y del tripulante. Estos

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tienen un peso total de 450 kg.

73. 13-73. La niña, que tiene una masa de 25 kg, sesienta en el borde del carrusel de modo que sucentro de masa G se encuentra a una distancia de1.5 m del eje de rotación. Si el movimiento an-gular de la plataforma se incrementa lentamente,de modo que sea posible ignorar la componentetangencial de aceleración de la niña, determinela rapidez máxima que puede alcanzar antes decomenzar a resbalarse hacia afuera del carrusel.El coe�ciente de fricción estática entre la niña yel carrusel es �s = 0.3.

74. 13-74. El carrete de 2 kg S tiene un ajuste �ojocon la barra inclinada cuyo coe�ciente de fricción

estática es �s = 0.2. Si el carrete se encuentraa 0.25 m de A, determine la rapidez constante :mínima que debe alcanzar para que no se caigade la barra.

75. 13-75. El carrete de 2 kg S tiene un ajuste �ojocon la barra inclinada cuyo coe�ciente de fricciónestática es �s = 0.2. Si el carrete se encuentraa 0.25 m de A, determine la rapidez constantemáxima que puede alcanzar para que no se salgade la barra.

76. 13.76. El collarín tiene un peso de 5 lb Y elresorte anexo posee una longitud, cuando no estáestirado, de 3 pies. En el instante �= 30�, elcollarín tiene una rapidez v = 4 pies/s, determinela fuerza normal sobre el collarín y la magnitudde la aceleración del mismo. Ignore la fricción.

77. 13.77. El collarín tiene un peso de 5 lb Y el re-sorte,anexo posee una longitud, cuando no estáestirado, de 3 pies. Si el collarín se encuentraen una posición sobre la barra de tal forma que�=30� Y se le suelta a partir del reposo, deter-mine la aceleración inicial del collarín y la fuerza

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normal sobre el mismo. Ignore la fricción.

78. 13.78. El hombre tiene una masa de 80 kg Yse sienta a 3 m de distancia del centro de laplataforma giratoria. Debido a la rotación, surapidez se incrementa desde el reposo por v =0.4 rn/s2. Si el coe�ciente de fricción estáticaentre la ropa del hombre y la plataforma es de�s = 0.3, determine el tiempo necesario para quecomience a deslizarse hacia el borde.

79. 13-79. El perno cilíndrico con peso de 2lb tienelibertad para moverse dentro de los límites deun tubo liso. El resorte tiene una rigidez k = 14lb/pies y cuando no existe movimiento, la dis-tancia d = 0.5 pies. Determine la fuerza del re-sorte sobre el perno cuando éste se encuentra enreposo con respecto del tubo. El perno se de-splaza con una rapidez constante de 15 pies/s,a causa de la rotación del tubo en tomo del eje

vertical.

80. *13-80. Una cuerda elástica que tiene una lon-gitud no estirada l, una rigidez k y una masapor unidad de longitud mo, se encuentra enrol-lada en tomo de un tambor de radio r (2�r>l). Determine la rapidez de la cuerda, debida ala rotación del tambor, que le permitirá perdercontacto con éste.

81. 13-81. Calcular la masa del Sol, sabiendo que ladistancia entre éste y la Tierra es de 149.6(106)km. Sugerencia: use la Ecuación 13-1 para rep-resentar la fuerza gravitacional que actúa sobrela Tierra.

82. 13-82. El bloque tiene un peso de 2 lb y presentalibertad para moverse sobre la ranura lisa deldisco giratorio. El resorte tiene una rigidez de 2.5lb/pies y una longitud no estirada de 1.25 piesDetermine la fuerza del resorte sobre el bloque yla componente tangencial de la fuerza que ejerce

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la ranura sobre los lados del bloque, cuando éstese encuentra en reposo con respecto del disco yéste se desplaza con una rapidez constante de 12pies/s.

83. 13-83. El bloque de 2 lb se suelta desde el reposoen A y se desliza sobre una super�cie cilíndricalisa. Si el resorte anexo tiene una rigidez k = 2lb/pies, determine la longitud no estirada de talmanera que no permita que el bloque se despeguede la super�cie hasta � = 60�.

84. *13-84. Si la bicicleta y el ciclista tienen un pesototal de 180 lb, determine la fuerza nonnal re-sultante que actúa sobre la bicicleta cuando seencuentra en el punto A mientras se desliza enmovimiento libre a VA = 6 pies/s. Asimismo,calcule el incremento en la rapidez del ciclista eneste punto. Ignore la resistencia debida al viento

y el tamaño de la bicicleta y el ciclista.

85. 13-85. El bloque B, de 2 kg, tiene una velocidadVA = 2 m/s cuando llega al punto A. Deter-mine la rapidez v del bloque y la fuerza nonnalNB del plano sobre el bloque, como una funciónde e. Trace estos resultados como v contra � yNB contra � yespeci�que el ángulo en el cual lafuerza normal es máxima. Ignore la fricción y eltamaño del bloque en el cálculo.

86. 13-86. Una partícula, que tiene una masa de 2kg, se desplaza sobre una trayectoria tridimen-sional de�nida por las ecuaciones r = (IOt2 +3t) m, � = (O. 1t3) rad y z = (4t2 + 15t -6) m,donde t se expresa en segundos. Determine las

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componentes r, � y z de la fuerza que la trayec-toria ejerce sobre la partícula cuando t = 2 s.

87. 13-87. La trayectoria de movimiento de unapartícula de 5 lb en el plano horizontal se de-scribe en términos de las coordenadas polarescomo r = (2t + 10) pies y � = (5t2 -6t) rad,donde 1 se expresa en segundos. Determine lamagnitud de la fuerza no equilibrada que actúasobre la partícula cuando t = 2 s.

88. *13-88. Una partícula, que tiene una masa de1.5 kg, se desplaza sobre una trayectoria tridi-mensional que se de�ne por las ecuaciones r =(4 + 3t) m, � = (r2 + 2) rad y z = (6 -t3) m,donde t se expresa en segundos. Determine lascomponentes r, � y z de la fuerza que ejerce latrayectoria sobre la partícula cuando t = 2 s.

89. 13-89. El rastreador incorporado a un resorteAB tiene un peso de 0.75 lb Y se desplaza ha-cia adelante y hacia atrás a medida que su ex-tremo se mueve sobre la super�cie irregular dela leva, donde r = 0.2 pies y z = (0.1 sen �) pies.Si la leva gira con una rapidez constante de 6rad/s, determine la fuerza en el extremo A delrastreador cuando � = 90�. En esta posición,el resorte está comprimido 0.4 pies. Ignore lafricción del rodamiento en C.

90. 13-90. El rastreador incorporado a un resorteAB tiene un peso de 0.75 lb Y se desplaza ha-cia adelante y hacia atrás a medida que su ex-tremo se mueve sobre la super�cie irregular dela leva, donde r = 0.2 pies y z = (0.1 sen �) pies.Si la leva gira con una rapidez constante de 6rad/s, determine las fuerzas máxima y mínimaque ejerce el rastreador sobre la leva si el resorte

está comprimido 0.2 pies cuando � = 90�.

91. 13-91. Un niño tiene una masa de 40 kg Y se estádeslizando por un tobogán espiral con una rapi-dez constante de tal manera que su posición, me-dida a partir de la parte más elevada del ducto,tiene componentes r = 1.5 m, � = (0.7t) rad yz = (- 0.5t) m, donde t se expresa en segundos.Determine las componentes de la fuerza F r�F� Y Fz, que ejerce el tobogán sobre el muchachoen el instante t = 2 s. Ignore el tamaño del niño.

92. *13-92. Un niño tiene una masa de 40 kg Yse está deslizando por un tobogán espiral de talforma que después de una revolución z = 2 msu rapidez es 2 m/s. Determine las componentesr,� y z de la fuerza que ejerce el tobogán sobre elmuchacho en ese instante. Ignore el tamaño delniño.

93. 13-93. Una partícula tiene una masa de 0.5 kgY se encuentra con�nada a moverse en la ranura

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horizontal lisa debida a la rotación del brazo OA.Determine la fuerza de la barra sobre la partículay la fuerza normal de la ranura sobre la partículac.uando �= 30�,La barra gira con una velocidadangular constante � = 2 radls. Suponga que lapartícula tiene contacto con sólo un lado de laranura en cualquier instante.

94. 13-94. Resuelva el problema 13-93 si el brazotiene una aceleración angular de �\ = 3 rad/scuando � = 2 rad/s en � = 30�.

95. 13-95. La barra OA gira en sentido opuesto alas manecillas del reloj con una rapidez angularconstante � = 4 rad/s. El collarín doble B estáconectádo por pernos de tal manera que uno deellos se desliza sobre la barra giratoria y el otrolo hace sobre la barra circular que describe laecuación r = (1.6 cos �) m. Si ambos collarinestienen una masa de 0.5 kg, determine la fuerzaque ejerce la barra circular sobre uno de los col-larines y la que OA ejerce sobre el otro collarínen el instante � = 45�. El movimiento es sobreel plano horizontal.

96. *13.96. Resuelva el problema 13-95 como si el

movimiento ocurriera sobre el plano vertical.

97. 13.97. La partícula de 0.5 lb es guiada sobre latrayectoria circular utilizando la guía del brazoranurado. Si el brazo tiene una velocidad angu-lar �` = 4 rad/s y una aceleración angular �\ = 8rad/s2 en el instante � = 30�, determine la fuerzade la guía sobre la partícula. El movimiento serealiza sobre el plano horizontal.

98. 13-98. Resuelva el problema 13-97 como si elmovimiento ocumera sobre el plano vertical.

99. 13-99. La partícula lisa tiene una masa de 80g. Está unida a una cuerda elástica que se ex-tiende de O a P y, debido al brazo ranurado deguía, se mueve sobre la trayectoria circular hor-izontal r =(0.8 sen �) m. Si la cuerda tiene unarigidez k = 30 N/m y una longitud no estiradade 0.25 m, determine la fuerza de la guía sobrela partícula cuando �= 60�. La guía tiene unavelocidad angular constante �`= 5 rad/s.

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100. *13-100. Resuelva el problema 13-99 si �\ = 2rad/s2 cuando �` = 5 rad/s y � = 60�.

101. 13-101. Durante un breve lapso, el carro de lamontaña rusa, de 250 kg, se mueve por la pistaen espiral con una rapidez constante de tal man-era que la posición medida desde la parte másalta de la pista tiene componentes r = 10 m, � =(0.2t) rad y z = (~0.3t) m, donde t se expresa ensegundos. Determine las magnitudes de las com-ponentes de la fuerza que la pista ejerce sobre elcarro en las direcciones r, � y z en el instante t= 2 s. Ignore el tamaño del carro.

102. 13-102. La bola tiene una masa de 2 kg y untamaño despreciable. Originalmente, se desplazaen tomo de una trayectoria circular horizontal deradio ro = 0.5 m tal que la rapidez angular derotación es e�o = 1 rad/s. Si la cuerda ABCes recogida a través del agujero con una rapi-dez constante de 0.2m/s, determine la fuerza que

ejerce la cuerda sobre la bola en el instante r =0.25 m. También, calcule la velocidad angularde la bola en este instante. Ignore los efectosde la fricción entre la bola y el plano horizontal.Sugerencia: antes demuestre que la ecuación demovimiento en la dirección e da como resultadoao = re + 2re = 1

rd(r2e0)dt = 0; Cuando se integra,

r2e�= C, donde la constante C se determina apartir de los datos del problema. Nota e= teta.

103. 13-103. El brazo OA guía la bola de 0.5 lb poruna trayectoria circular vertical. Si el brazo tieneuna velocidad angular e = 0.4 rad/s y una acel-eración angular e = 0.8 rad/s2 en el instante e= 30�, determine la fuerza del brazo sobre labola. Ignore la fricción y el tamaño de la bola.Establezca r c = 0.4 pie.

104. *13-104. La partícula de masa m es guiada sobrela trayectoria circular vertical de radio r c uti-lizando el brazo DA: Si el brazo tiene una veloci-dad angular constante eo, determine el ángulo een el que la partícula comienza a despegarse de

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la super�cie del semicilindro.

105. 13-105. El collarín, que tiene un peso de 3 lb, sedesliza sobre la barra lisa situada sobre el planohorizontal y que tiene la forma de una parábola r= 4/(1 -cos e), donde e se expresa en radianes yen pies. Si la rapidez angular del collarín es con-stante e igual a e = 4 rad/s, determine la fuerzatangencial de retardo P necesaria para causar elmovimiento y la fuerza normal que ejerce el col-larín sobre la barra en el instante e = 90�.

106. 13-106. Resuelve el problema 13-105 si la trayec-toria parabólica (barra) se encuentra en el planovertical.

107. 13-107. El brazo gira con una rapidez de 9 = 5rad/s cuando e = l 2 rad/s2 y e = 90�. Deter-mine la fuerza normal que se debe ejercer F sobrela partícula de 0.5 kg si ésta se encuentra desti-nada a desplazarse sobre la trayectoria ranuradade�nida por la espiral hiperbólica horizontal re= 0.2 m.

108. *13-108. Resuelva el problema 13-107 si la

trayectoria es vertical.

109. 13.109. Un muchacho que se encuentra de pieen tierra �rme hace girar a la niña sentada enel trineo o "plato" redondo con una trayectoriacircular de radio ro = ~m, de tal forma que larapidez angular de rotación de la niña es 80 =0.1 rad/s. Si el cable que los une, OC, se recogehacia adentro con una velocidad constante;r�= -0.5 mis, determine la tensión que ejerce sobre eltrineo en el instante r = 2 m. La masa total deltrineo y la niña es de 50 kg. Ignore el tamaño deéstos y los efectos de la fricción entre el trineo yel hielo. Sugerencia: antes que nada, demuestreque la ecuación de movimiento en la dirección 8da como resultado ae = re + 2;6 = dldt(r26) =o. Cuando se integra, r26 = C, donde la con-stante C se determina a partir de los datos delproblema.

110. 13.110. Utilizando la presión del aire, se fuerzaa la bola de 0.5 kg a atravesar el tubo que se

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encuentra en el plano horizontal, que tiene laforma de una espiral logarítmica. Si la fuerzatangencial, debida al aire que se ejerce sobre labola es de 6 N, determine el ritmo del incrementode la rapidez de la bola en el instante 8 = 7t/2.¿En qué dirección actúa, medida a partir de lahorizontal? ;

111. 13-111. Resuelva el problema 13-110 si el tubose encuentra en un plano vertical.

112. *13-112. El collarín tiene una masa de 2 kg Yviaja a lo largo de la barra lisa horizontal quese de�ne por la espiral equiangular r = (ee) m,donde e se expresa en radianes. Determine lafuerza tangencial F y la fuerza normal N queactúan sobre el collarín cuando e = 45�, si lafuerza.F mantiene un movimiento con una rapi-dez angular constante e = 2 rad/s.

113. 13-113. El collarín tiene una masa de 2 kg Yviaja a lo largo de la barra lisa horizontal quese de�ne por la espiral equiangular r = (ee) m,donde e se expresa en radianes. Determine lafuerza tangencial F y la fuerza normal N queactúan sobre el collarín cuando e = 90�, si lafuerza.F mantiene un movimiento con una rapi-

dez angular constante e = 2 rad/s.

114. 13-114. La barra en forma de horquilla se em-plea para mover la partícula lisa de 2 lb sobrela trayectoria horizontal en la forma de caracol,r = (2 + "cos e) pies. Si en todo momento e= 0.5 rad/s, determine la fuerza que ejerce labarra sobre la partícula en el instante e = 90�.La horquilla y la trayectoria hacen contacto conla partícula en sólo un lado.

115. 13-115. Resuelva el problema 13-114 en el in-stante e = 60�.

116. 13-116. La barra en forma de horquilla se em-plea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre latrayectoria horizontal en la forma de caracol, r =(2 + cos e) pies. Si e = (0.5r) rad, donde t se ex-presa en segundos, determine la fuerza que ejercela barra sobre la partícula en el instante t = 1 s.La horquilla y la trayectoria hacen contacto con

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la partícula en sólo un lado.

En los problemas siguientes, suponga que elradio de la Tierra es 6378 km, su masa es5.976(1024) kg, la masa del Sol es 1.99(103�) kgY la constante gravitacional es G = 66.73(10�12)m3/kg s2

117. 13-117. Si la órbita de un asteroide tiene unaexcentricidad de e = 0.056 en tomo del Sol, de-termine el periapsis de la órbita. El apoapsis dela misma es de 2.0(109) km.

118. 13-118. Un satélite se desplaza con una trayec-toria elíptica cuya excentricidad es e = 0.25. De-termine su rapidez cuando se encuentra a las dis-tancias máxima A y mínima B de la Tierra.

119. 13-119. Se pone en órbita un satélite con unavelocidad de 6 km/s, paralela a la super�cieterrestre. Determine la altitud adecuada delsatélite encima de la Tierra de tal forma que la

órbita permanezcan circular. ¿Qué le ocurrirá alsatélite si su velocidad inicial es de sólo 5 kmlscuando se coloca tangencialmente en la órbita?

120. *13-120. Un satélite de comunicaciones serácolocado en una órbita circular ecuatorial entomo de la Tierra de tal forma que permanecerásiempre sobre un punto de la super�cie terrestre.Esto requiere que el periodo sea de 24 horas(aproximadamente); determine el radio de la ór-bita y la velocidad del satélite.

121. 13-121. Un cohete se desplaza en una órbitaelíptica de vuelo libre en tomo de la Tierra detal manera que e = 0.76 y su perigeo es de 9Mm, según se observa. Determine su rapidezcuando se encuentra en el punto B. También, de-termine el decremento súbito en su rapidez quedebe sufrir el cohete en A con objeto de recorreruna órbita circular en tomo de la Tierra.

122. 13-122. Un asteroide se encuentra en una órbitaelíptica en torno del Sol de tal forma que su pe-riapsis es de 9.30(109) km. Si la excentricidadde la órbita es e = 0.073, determine el apoapsisde la órbita.

123. 13-123. Se colocará un satélite en una órbitaelíptica en tomo de la Tierra, de tal forma que laaltitud de la órbita será de 800 km en el perigeo yde 2400 km en el apogeo. Determine la velocidadnecesaria del lanzamiento tangencial a la Tierraen el perigeo y el periodo de su órbita.

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124. *13-124. Demuestre que la rapidez de un satélitelanzado en una órbita circular en tomo de laTierra está dada por la ecuación13-25. De-termine la rapidez de un satélite que se lanzaparalelo a la super�cie terrestre de modo que sedesplace en una órbita circular a 800 km de lasuper�cie terrestre.

125. 13-125. La trayectoria elíptica de un satélitetiene una excentricidad e = 0.130. Si tiene unarapidez de 15 Mm/h cuando se encuentra en elperigeo, P, determine su rapidez cuando llega alapogeo, A. También, ¿a qué distancia de la su-per�cie de la Tierra está en A?

126. 13-126. Se lanza un satélite con una velocidadinicial Vo =2500 mi/h, paralela a la super�-cie terrestre. Determine la altitud necesaria (orango de altitudes) sobre la super�cie terrestrepara el lanzarniento si la trayectoria de vuelolibre ha de ser (a) circular, (b) parabólica, (c)elíptica y (d) hiperbólica. Tome G = 34.4(10-9)(lb. pies1/slug2, Me = 4O9(1~1 slug, el radioterrestre re = 3960 mi, y 1 mi = 5280 pies.

127. 13-127. El planeta Júpiter recorre una órbitaelíptica en tomo del Sol de tal forma que su ex-centricidad es e = 0.048. Si el periapsis entreJúpiter y el Sol es ro = 440(106) mi, determinar(a) la rapidez de Júpiter en el periapsis y (b) elapoapsis de la órbita. Tomar G = 34.4(10-9) lb.pies2/slug2, Ms = 197(1027) slug ~1 mi =5280pies.

128. *13-128. Demuestre la tercera ley del

movimiento de Kepler. Sugerencia: use las ecua-ciones 13-19, 13-28, 13-29 Y 13-31.

129. 13.129. Un cohete recorre una trayectoria elíp-tica A �A en vuelo libre. El planeta tiene unamasa de 0.60 veces la de la Tierra. Si el cohetetiene el apoapsis y el periapsis que se ilustran enla �gura, determine la rapidez del cohete cuandose encuentra en el punto A.

130. 13-130. Un cohete se acopla con un satélite ubi-cado a 18 Mm sobre la super�cie terrestre. Siel satélite recorre una órbita circular, determinela rapidez que súbitamente debe darse al cohete,relativa al satélite, de tal forma que se aleje deéste en una trayectoria parabólica de vuelo libre

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como se ilustra.

131. 13-131. Un satélite S recorre una órbita circularen torno de la Tierra. En el apogeo de su órbita,para la cual e = 0.58, se ubica un cohete. De-termine el cambio súbito en la rapidez que debeocurrir en A para que el cohete pueda entrar ala órbita del satélite mientras se encuentra envuelo libre sobre la trayectoria elíptica que semarca con una línea punteada. Cuando llegue aB, determine al ajuste súbito en la rapidez quees preciso dar al cohete para que mantenga una

órbita circular.

132. *13-132. Un asteroide se encuentra en una ór-bita elíptica en torno del Sol de tal forma que superiapsis es 9.30(109) km. Si la excentricidad dela órbita es e = 0.073, determine el apoapsis dela órbita.

133. 13-133. El cohete que se ilustra se encuentraen una órbita circular a 6 Mm sobre la super-�cie terrestre. Es necesario que se desplace enotra órbita circular que tiene una latitud de 14Mm. Para hacerlo, se da al cohete un breve im-pulso en A de modo que recorra, en vuelo libre,la trayectoria elíptica punteada desde la primeraórbita hasta la segunda. Determine la rapidezque debe alcanzar en A justo después del im-pulso, así como el tiempo necesario para llegar ala órbita externa sobre la trayectoria AA�. ¿Quéajuste en su rapidez es preciso hacer en A�para

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mantener la segunda órbita circular?

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