Cinemática en Dos Dimensiones

Capítulo 04

Contenido

● Posición● Desplazamiento y distancia recorrida● Velocidad y rapidez media● Velocidad y rapidez instantánea● Aceleración media e instantánea● Movimiento con aceleración constante● Movimientos Unidimensionales● Caída Libre● Movimiento de Proyectiles● Movimiento Circunferencial Uniforme

Posición

rx

y

z

ˆ ˆ ˆ r xi + yj + zk=

2 2 2r = r = x + y + z

Módulo:

frir

Δr

Desplazamiento

vector desplazamiento

trayectoria

f iΔr r r≡ −

distancia recorridaΔ s

Desplazamiento

f iΔ r = r r−

Si: ˆ ˆ ˆi i i ir = x i y j + z k+ ˆ ˆ ˆ

f f f fr x i + y j + z k=y

Entonces:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ f i f i f iΔr x x i + y y j + z z k= − − −

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr Δx i + Δy j + Δz kΔ =

Magnitud del vector desplazamiento:

( ) ( ) ( )2 2 2 f i f i f ir = x x + y y + z zΔ − − −

En general:Magnitud del vector desplazamiento

distancia recorrida

Ejemplo:

En un año la Tierra gira en torno al Sol ...

f i

f i

r rΔrvΔt t t

−< > ≡ =

−

Velocidad Media

Δr

[ ] [ ][ ]Δ L mΔ T s

rv

t< > = = =

< >v

Si: ˆ ˆ ˆ i i i ir x i + y j + z k= ˆ ˆ ˆ f f f fr x i + y j + z k=y

Entonces:( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ f i f i f i

f i f i f i

x x y y z zv i + j + k

t t t t t t

− − −< > =

− − −

ˆ ˆ ˆ Δx Δy Δzv i + j + kΔt Δt Δt

< > =

ˆ ˆ ˆ x y zv v i+ v j+ v k< > = < > < > < >

Velocidad Media

f i

f i

r rΔrvΔt t t

−< > = =

−

“Componente y de la velocidad media”= “velocidad media en el eje y”

Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidadmedia, si el intervalo de tiempo entre las dos posiciones es Δt = 10 s y las posiciones estánmedidas en metros.

( )0 0

lim lim f iinst

Δt Δt f i

r rΔrv t v =Δt t t→ →

−= ≡

−

Velocidad Instantánea

recta tangente

[ ] [ ][ ]d L md T s

rv

t= = =

0( ) lim

Δt

Δr drv tΔt dt→

= =

0

ˆ ˆ ˆ( ) limΔt

Δx Δy Δzv t i + j + kΔt Δt Δt→

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 0

ˆ ˆ ˆ( ) lim lim limΔt Δt Δt

Δx Δy Δzv t i + j + kΔt Δt Δt→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆ ˆ ˆ( ) dx dy dzv t i + j + kdt dt dt

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆ ˆ ˆ( ) x y zv t v i v j v k= + +

Velocidad Instantánea

Ejemplo: Considere un automóvil moviéndose en línea recta ...

En este caso tendremos que:

( ) ˆ r x t i=

Suponga, además, que el auto se mueve de acuerdo a la siguienteecuación de itinerario:

( ) 2 ˆ 3r t t i=

con t en segundos y x en metros

¿Cuánto vale la velocidad instantánea cuando t = 3 s?

x

t1 2 3 4

612

2418

303642

0

x

t1 2 3 4

612

2418

303642

( )Δ t s ( )Δr m ( / )< >v m s

1,00 21,00 i 21,00 i

0,50 9,75 i 19,50 i

0,25 4,69 i 18,80 i

0,10 1,83 i 18,30 i

0,05 0,9075 i 18,15 i

0,01 0,1803 i 18,03 i

0,001 0,018003 i 18,003 i

Desplazamiento y velocidad media para diferentes intervalos de tiempo. (los intervalos comienzan en t = 3 s)

2 ˆ( ) 3r t t i=

( ) ( )ˆ ˆ3 0,01 3f iΔr r r x s + s i x s i= − = −Por ejemplo, para Δt = 0,01s:

( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ3 3,01 3 3 27,1803 27 0,1803r mi mi m m i miΔ = − = − =

pendiente de la tangente en t =3s

2 ˆ( ) 3r t t i=

Cálculo analítico del límite

Entonces:( ) ( )Δ Δf ir r r r t + t r t= − = −

( )2 2ˆ ˆ 3 Δ 3r t + t i t iΔ = −

( )2 2 2 ˆ3 2 Δ Δ 3r t + t t + t t i⎡ ⎤Δ = −⎣ ⎦2 ˆ6 Δ 3Δr t t + t i⎡ ⎤Δ = ⎣ ⎦

Dividiendo por Δt, se tiene:

[ ]Δ ˆ 6 3Δ

r t t it

= + Δ

Por lo tanto:( )

0

Δ ˆ 6 limΔΔt

rv t t it→

= =

( ) ˆ 6 v t t i=

Resumiendo, si:( ) 2 ˆ 3 r t t i=

Entonces:

“Ruta corta”:

¡ DERIVAR !

( ) ( ) ( )2 23 3 3 2 6d dt t t tdt dt

= = ⋅ =

( )f t d fd t

α 0

nt 1nn t −

( )s in t ( )cos t

( )co s t ( ) s in t−

( ) ( )g t h t+ d g d h+d t d t

( ) ( )g t h t⋅ ( ) ( )dg dhh t + g tdt dt

⋅ ⋅

( )( )g h t d g d hd h d t

⋅

Algunas derivadas útiles

RapidezLa rapidez se define como el módulo del vector velocidad.

2 2 2x y zv v v + v + v≡ =

Por lo tanto, la rapidez no es un vector, es un escalar.

v v v= ⋅

Δ Δ Δ

f iv vvat t

−< > ≡ =

Aceleración Media

x

y

vi

v f

v i

v fv

a< >

Entonces:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ xf xi yf yi zf zi

f i f i f i

v v v v v va = i + j + k

t t t t t t

− − −< >

− − −

Δ ΔΔ ˆ ˆ ˆ Δ Δ Δ

y zxv vv

a = i + j + kt t t

< >

ˆ ˆ ˆ x y za a i+ a j+ a k< > = < > < > < >

Aceleración Media

“Componente y de la aceleración media” = “aceleración media en el eje y”

Δ Δ Δ

f iv vvat t

−< > = =

Si: ˆ ˆ ˆi xi yi ziv v i + v j + v k= y ˆ ˆ ˆ

f xf yf zfv v i + v j + v k=

0 0

Δ( ) lim limΔ Δ

f iinst

Δ t Δ t

v vva t at t→ →

−= ≡ =

Aceleración Instantánea

r i

r f

v i

v f

v i

v fv a< >

Aceleración Instantánea

0( ) lim

Δt

Δv dva tΔt dt→

= =

0

ˆ ˆ ˆ( ) lim y zx

Δ t

Δv ΔvΔva t i + j + k

Δ t Δ t Δ t→

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

0 0 0

ˆ ˆ ˆ( ) lim lim limy zx

Δ t Δ t Δ t

Δv ΔvΔva t i + j + k

Δ t Δ t Δ t→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

ˆ ˆ ˆ( ) y zxd v d vd v

a t i + j + kd t d t d t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

ˆ ˆ ˆ( ) x y za t a i a j a k= + +Como:

( ) d rv td t

= ⇒2

2( ) d dr d ra tdt dt dt

⎛ ⎞= ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

Aceleración Instantánea

Caso particular: Movimiento Rectilíneo

ˆ( )r x t i= ˆ( )xv v t i= ˆ( )xa a t i=

( )xdxv t =dt

2

2( ) xx

dv d xa tdt dt

= =

x x x

vx vx vx

axaxax

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

v(t) = pendiente de la tangente en t

Ejemplo: Δ 1t s=

( ) ˆ2imv t + is

= ( ) ˆ4fmv t + is

=

2ˆ2x

ma is

= +

( ) ˆ4imv t + is

= ( ) ˆ2fmv t = + is

2ˆ2x

ma is

= −

( ) ˆ2imv t is

= − ( ) ˆ1fmv t is

= −

2ˆ1x

ma + is

=

( ) ˆ2imv t is

= − ( ) ˆ3fmv t is

= −

2ˆ1x

ma is

= −

Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.

vx

t

vx(t) = vx0 = constante

vx0

tfti

Δt

área "bajo la curva": Δ Δx0 f iv t = x = x x−

Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General

vx

ti tf

1 2Δ Δ ...x x + x +Δ =

1 2Δ Δ ...x1 x2x v t + v t +Δ =

1 2 ...x A + A +Δ ≈

x AΔ =

Δ f ix x x= −

x

ti ti t

vx

desplazamientoΔx entre ti y tf

= área delimitada por gráfico vx v/s t entre ti y tf

Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General

( ) ( )dtttv=Δtt

tv=Δx

f

itii

f

itiΔt∫∑

→lim

0

Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.A.

Este cálculo ya se hizo en el capítulo 2 y las leyes obtenidas son:

( ) ( ) ( )20 0 02

xx0

ax t x + v t t + t t= − −

( ) ( )0x x0 xv t v + a t t= −

.xa cte=

Además:( )2 2

02x x0 xv v + a x x= −

Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante

Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleración cte.

ˆ ˆ ˆx y za a i + a j + a k=

Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes: uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z

( ) ( ) ( )20 0 02

xx0

ax t x + v t t + t t= − −Eje x: ax= cte. ( ) ( )0x x0 xv t v + a t t= −

( ) ( ) ( )20 0 02

yy0

ay t y + v t t + t t= − −Eje y: ay= cte. ( ) ( )0y y0 yv t v + a t t= −

( ) ( ) ( )20 0 02

zz0

az t z + v t t + t t= − −Eje z: az= cte. ( ) ( )0z z0 zv t v + a t t= −

Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante

( ) ( ) ( )20 0 0 0

12

r t r + v t t + a t t= − −

( ) ( )0 0v t v + a t t= −

.a = cte

Además:

( ) ( )2 20 02v t v + a r r= ⋅ −

Caída Libre y Movimiento de Proyectil

.a cte g= ≡

Caida Libre y Movimiento de Proyectil

Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galilei fue matemático y músico. Estudió medicina en la Univ. de Pisa. 1589: Profesor de matemáticas en Pisa. En 1610 publica “Sidereus Nuncius”en el que presenta observaciones astronómicas efectuadas con su telescopio. En 1632 publica “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”. En 1638 publica “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delle due nuove scienze” (donde describe la caída libre).

Galileo Galilei

pelota

vy= 0 en el punto más alto

durante el ascenso ay = -g, la rapidez disminuye y la velocidad se hace menos positiva

durante el descensoay = -g, la rapidez aumenta y la velocidad se hace más negativa

g

( ) ( ) ( )20 0 02y0

gy t y + v t t t t= − − −

( ) ( )0y y0v t v g t t= − −

2ˆ ˆ 9,8 mg g j j

s= − = −

y(t) (m)

vy(t) (m/s)

t (s)

t (s)

En ambos lanzamientos, vy=0 m/s en el punto de alturamáxima velocidad

altura

lanzamiento “rápido”lanzamiento “lento”

Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectil en llegar a tierra, si éste se lanza con una velocidad de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m

-3,17 s 6,44 s

Movimiento de Proyectil● Podemos:

● Ignorar el roce con el aire● Ignorar la rotación de la tierra

● Con estas aproximaciones, tenemos que :

– Una vez liberado, sólo la gravedad actúa sobre el cuerpo, tal como en el movimiento de lanzamiento vertical.– Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo,

entonces:

Hay aceleración vertical hacia abajo.NO hay aceleración horizontal.El cuerpo sigue una trayectoria parabólica.

Si elegimos un sistema de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba, entonces:

ya g= −20 m/sxa =

0 0 mx = 0 0 my =

Supongamos también que en t0 = 0 el cuerpo parte del origen de coordenadas, es decir:

( ) 212y0y t v t gt= −( ) x0x t v t=

( )y y0v t v gt= −( )x x0v t v=2

12y0

x0 x0

x xy v gv v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

1( ) 2

y0

x0 x0

v gy x x xv v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g

x

y

x

y

0v 0

x0 y0v vg

2

2y 0vg

g

22

1 2

y0

x0 x0

v gy x xv v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22

2 2

21 1 2 2 2

x0 y0 x0 y0 y0

x0 x0

v v v v vg gy x x x +v g v g g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g

Alcance y Altura MáximaEl proyectil alcanza la altura máxima cuando: vy = 0 m/s

( ) 0 0yv t v senθ g t= − 0 00 hmv senθ gt= −

0 0h m

v sen θt

g= tiempo en que

alcanza la altura máxima

Al sustituir este tiempo en la ley de la posición vertical, se tiene:

( ) 20 0

12max hm hmy t h v senθ t gt= = −

20 0 0 0

0 012max

v senθ v senθh v senθ g

g g⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 20 0

2m axv sen θ

hg

=

Reemplazando en la ley de la posición horizontal, se tiene:

0 02tv senθ

tg

=

( ) 0 0co st tx t = v θ t

( ) 0 00 0cos 2

v senθR v θ

g⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

20 0 02cosv θ senθ

Rg

=

20 0( 2 )v sen θ

Rg

=

El tiempo total de vuelo es: tt = 2thm

Luego, el alcance R es:

Siempre que el punto inicial y final estén a la misma altura:

( )0 02πR θ R θ⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

20

m a xv

Rg

= 0Para: 4πθ =

ProblemaUn avión lanza un paquete a un grupo de exploradores. El avión vuela horizontalmente a una altura de 100 m sobre el suelo, con unarapidez de 40 m/s¿Dónde cae el paquete, relativo a la posición en que fue lanzado?

d

1. Introducimos un sistema de coordenadas

Eje y: dirigido hacia abajoEje x: dirigido hacia la derechaOrigen: en la posición del avión

cuando lanza el paquete

2. Tenemos que: x0 = 0 m y0 = 0 mvx0= +40 m/s vy0 = 0 m/sax= 0 m/s2 ay= +g = + 9,8 m/s2

( ) ( )2 2 213. 4,9 /2

y t gt = + m s t=

( ) ( )40 /x0x t v t = m s t=

2

1004. 100 4,52 4,9 /

my + m t sm s

= → = =

( ) ( ) ( )5. 4,52 40 / 4,52 181 d x s m s s m= = ⋅ =

0

Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.

irfr

iv

fv

iv

fvΔv

a< >

• La trayectoria del móvil es una circunferencia y• La recorre con rapidez constante: v = cte.

ac

iv

fv

Δ θ

Δ / 2θΔ / 2θ

ΔvΔθiv

fv

Δ2 2

vθsenv

Δ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ΔΔ2 2

rθsenr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ Δ vv rr

=

Δ ΔΔ Δ

v r vt t r

=

va vr

=Si: Δ 0t →

Aceleración Centrípeta.

2

cvar

=

AceleraciónCentrípeta:

VelocidadTangencial:

2π rvT

=

T = Periodo

Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.

Aceleración Radial (Centrípeta) y Tangencial

En general: c ta a + a=2

cvar

= t

d vdvadt dt

= =

2 2c ta a + a=

Movimiento Relativo

.u cte=

K'

r'

ut

r

Kpos. del cpo. c/r al sist. K = pos. del cpo. c/r al sist. K ' + pos. del sist. K ' c/r a Kr r' + ut=

v v' + u=

a a'=

vel. del cpo. c/r al sist. K = vel. del cpo. c/r al sist. K ' + vel. del sist. K ' c/r al sist. K

acel. del cpo. c/r al sist. K = acel. del cpo. c/r al sist. K ' (si vel. de K ' c/r a K es cte.)

Movimiento Relativo

N

S

EO

vbr

vrt

vbt

Movimiento Relativo

N

S

EOvbr

vbt

θ

vrt

Movimiento Relativo

bt br rtv v v= +