CAPITULO 2

LA NAVEGACIÓN ORTODRÓMICA

La distancia más corta entre dos lugares

Propiedades de los círculos máximos

Cartas en proyección gnomónica

Lados y ángulos del triángulo esférico

Soluciones matemáticas del triángulo esférico

Calculo de la distancia

Cálculo del rumbo de salida

Cálculo del rumbo de llegada

Calculo de la latitud del vértice

Cálculo de la longitud al cruzar el ecuador

Análisis de la ruta

Resolución de los triángulos esféricos rectángulos iniciales

Resolución de los triángulos rectángulos que se forman en la ruta

Resolución del triángulo cuyos vértices son: polo norte, punto de caída y lugar de

llegada

Ejecución de los cálculos

Calculo de la distancia

Cálculo del rumbo de salida

Cálculo del rumbo de llegada

cálculo de la latitud del vértice

Cálculo de la longitud del vértice

Resolución de los triángulos esféricos rectángulos iniciales

Resolución de los triángulos rectángulos que se forman en la ruta

cuando el vértice se ubica en hemisferio contrario al del lugar de salida

Resolución del triángulo cuyos vértices son: Polo Norte, Punto de Caída y Lugar de llegada

Ejecución de los cálculos

Calculo de las distancias

Cuestionario del capitulo 2

Problemas del capitulo 2

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ANEXO I

SÍNTESIS DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Propiedades de los triángulos esféricos

1.- Teorema de los senos

2.- Teorema de los cósenos

3.- Fórmula de los cuatro elementos consecutivos

4.- Analogías de Napier

Triángulos esféricos rectiláteros

5.- Ageton

6.- otras fórmulas para obtener el rumbo de salida1.- el coseno del rumbo2.- la tangente de la mitad del ángulo:

7.- Fórmulas para el cálculo de la diferencia de longitud entre el lugar de salida o llegada y el vértice.

CAPITULO 2

LA CARTA GNOMÓNICA Y LA NAVEGACIÓN ORTODRÓMICA

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LA DISTANCIA MÁS CORTA ENTRE DOS LUGARES La menor distancia entre dos lugares en la superficie de la Tierra, es a lo largo de la

circunferencia máxima que pasa por esos lugares. Lo anterior queda demostrado al considerar que, el arco de una circunferencia que pasa

por dos lugares, se asemeja más a la línea recta y por lo tanto se aproxima a la distancia más corta, en la medida que mayor sea su radio. Pero el mayor radio, que se puede considerar, navegando en la superficie de la Tierra, es el propio radio Terrestre, y como la única manera de hacerlo, es siguiendo una circunferencia máxima, ésta última es el camino más corto entre dos lugares.

PROPIEDADES DE LOS CÍRCULOS MÁXIMOS

Fig. 2.1

Las figuras de la parte superior muestran, desde diferentes ángulos, una semi esfera hueca que bien podría representar el hemisferio Sur de la Tierra.

Tapando la semi esfera, se ha puesto un círculo, cuyo centro coincide siempre con el centro de la esfera. Mediante un eje, perpendicular al eje Norte Sur, la tapa descansa en dos puntos del Ecuador (GQ), separados un ángulo de 180º.

Las dos primeras figuras, muestran la Tierra vista desde un punto situado en el espacio sobre el Ecuador. El primero de ellos está situado justo sobre el punto donde la tapa cruza el Ecuador. O sea, sobre el eje de la tapa. La segunda figura esta vista desde un lugar separado 90º de diferencia de longitud respecto al primero. O sea, perpendicular al eje de la tapa. La tercera figura muestra la esfera vista desde un punto situado sobre el Polo Norte.

Haciendo rotar el eje de la tapa que descansa en el Ecuador y luego inclinándola, su borde o circunferencia (roja), se puede hacer pasar por dos lugares cualquiera en la superficie de la esfera, representando el camino más corto entre ellos.

Una vez que la tapa se ha inclinado, los puntos de la circunferencia, que más se acercan a los Polos, se encuentra perpendicular al eje y se denominan Vértices del círculo máximo. Uno de ellos, se acerca al Polo Sur (VS), y otro diametralmente opuesto al anterior (VN), se acerca al Polo Norte.

La figura inferior muestra como se vería un círculo máximo sobre una carta Mercator.Mediante análisis de las figuras, se puede comprobar que:

a) Todo círculo máximo, excepto el Ecuador, tiene dos Vértices. Uno en el hemisferio Sur (VS), y otro con la misma latitud (VN), pero en el hemisferio Norte.

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b) En el Vértice y solo en el Vértice, el círculo máximo corta al meridiano de ese lugar, con un ángulo de 90º. Por este motivo, cuando se cruza el Vértice de un círculo máximo, el rumbo es 090º o 270º, posteriormente el rumbo cambia de cuadrante. Por lo tanto, si el rumbo de salida y el de llegada están en el mismo cuadrante, no hay Vértice en la ruta. Pero si el rumbo de salida y el de llegada están en diferentes cuadrantes, hay Vértice en la ruta.

c) El ángulo con que el círculo máximo corte al Ecuador, es igual a la latitud de los vértices (LV). Por lo tanto, al cruzar el Ecuador el Rumbo es siempre; 90º ± LV o 270º ± LV.

d) La diferencia de longitud entre un Vértice y el punto donde el círculo máximo corta al Ecuador (GQ), es de 90º. Del mismo modo, la diferencia de longitud entre el cruce del Ecuador y cada Vértice es de 90º

e) La distancia entre el punto donde el círculo máximo corta al Ecuador (GQ), y cada Vértices (VN y VS), es de 5400 millas. Del mismo modo, la distancia entre cada Vértice y el cruce del Ecuador es 5400 millas.

Por ejemplo; Un círculo máximo tiene un Vértice en latitud 30º S y en Longitud 10º W. Luego;a) La latitud del otro Vértice es 30º Nb) La Longitud del otro Vértice es 170º E (360 – (10 + 180)). c) El círculo máximo corta al Ecuador en las longitudes; 100º W (10 + 90), y 80º E (360 –

(100 + 180))d) En los Vértices el rumbo es 090º o 270ºe) Al cruzar el Ecuador el rumbo es; 90º ± 30º o 270º ± 30º.f) La distancia entre cualquier Vértice y el Cruce del Ecuador es de 5400 millas.

CARTAS EN PROYECCIÓN GNOMÓNICA La proyección gnomónica se forma al proyectar la superficie de la esfera terrestre, desde

el centro de la misma, hacia un plano que toca (Tangente), la superficie de ella. Debido a que:1º.- Una circunferencia máxima se forma al cortar la esfera mediante "un plano" que pasa por el centro de la misma.2º.- En la proyección Gnomónica, "ese plano" se corta con "otro", tangente a la superficie de la Tierra. y que:3º.- "Dos planos", se cortan siempre formando una línea recta:

- EN LA PROYECCIÓN GNOMÓNICA, "LAS CIRCUNFERENCIAS MÁXIMAS, APARECEN COMO LÍNEAS RECTAS" -.

Esto, resulta particularmente conveniente para un navegante que desea resolver un problema de navegación a lo largo del camino más corto entre dos lugares. O sea, una navegación Ortodrómica. Sobre todo, si la distancia es considerable.

Cuando el punto de tangencia, de la Carta Gnomónica, es el Polo, los Meridianos aparecen como rectas, divergentes del centro y los paralelos aparecen como círculos concéntricos. Cuando el punto de tangencia se encuentra en el Ecuador, los Meridianos también aparecen como rectas, paralelas entre si, desigualmente separados, pero simétricos a ambos lados del Meridiano de tangencia. En este caso, los paralelos, aparecen como parábolas enfocadas hacia los Polos más cercanos.

Los Servicios Hidrográficos de Gran Bretaña y Estados Unidos de N.A., confeccionan cartas Gnomónicas, con el punto de tangencia en el Ecuador, en una Latitud intermedia o en el Polo.

A pesar que existen cartas Gnomónicas de los océanos, También existen otras en que, el meridiano de tangencia figura con el numero cero. En estas últimas, el navegante puede igualar el meridiano de tangencia con el correspondiente a una Longitud entera, ubicada entre un lugar de salida y otro de llegada. Naturalmente en este tipo de cartas, aparece sólo el graticulado de Meridianos y Paralelos, sin aparecer contorno alguno de costa.

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Fig. 2.2.

Luego de identificar y numerar los meridianos a ambos lados del de tangencia, se sitúan los lugares de salida y llegada, mediante sus coordenadas geográficas. Estos se unen con una línea recta y se mide sobre la Carta la Latitud por la que pasa el Track, en las Longitudes múltiplos de 5 grados. Finalmente, las coordenadas de esos puntos, se vacían a una Carta en proyección Mercator y se navega de un punto a otro, en la forma ya explicada en los capítulos anteriores.

La figura 2.2, representa una carta en proyección Gnomónica, en la cual el punto de tangencia se encuentra en el Ecuador.

Por lo general, en las mismas Cartas existen detalladas instrucciones sobre su uso, incluyendo las navegaciones trans hemisféricas

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Fig.- 2.3

LADOS Y ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO ESFERICOEl problema de identificar las coordenadas geográficas de una serie de puntos a lo

largo de una derrota ortodrómica, para luego transferirlos a una carta Mercator, donde además queden indicados los nuevos rumbos y las distancias al punto de llegada, se puede resolver con una calculadora científica de bolsillo, logrando una precisión muy superior que empleando una carta gnomónica.

El primer paso en la resolución de un problema de navegación a lo largo de una circunferencia máxima, consiste en identificar los tres arcos de círculo máximo que forman un triángulo esférico. Estos son:a) El arco de círculo máximo que pasa por los puntos de salida y llegadab) El arco de meridiano local entre el lugar de salida y un Poloc) El arco de meridiano que pasa por el punto de llagada y un Polo.

Uno de los vértices de ese triángulo, corresponde al lugar de salida (A), otro vértice corresponde al lugar de llegada (B) y finalmente el tercer vértice corresponde a uno de los dos Polos (P), normalmente el norte, pero puede ser también el sur cuando los lugares de salida y llegada se encuentran en el hemisferio sur o cuando no se desee sobrepasar un determinado paralelo de latitud. Naturalmente, estos vértices no deben confundirse con el vértice “V”, que es el lugar donde el círculo máximo correspondiente a la ruta, corta el meridiano local con un ángulo de 90º.

En la figura 2.4:PA = Co latitud de A = 90º - LAPB = Co latitud de B = 90º - LBAB = Distancia angular de la derrota entre A y B.Ángulo en P = Diferencia de longitud entre el lugar de salida y llegadaÁngulo en A = Rumbo de salida, del Norte al EsteÁngulo en B = Ángulo entre el Norte y la popa. Igual ángulo entre el Sur y la proa.Ángulo en V = Vértice del círculo máximo. En este caso, fuera de la ruta.

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Fig.- 2.4

SOLUCIONES MATEMÁTICAS DEL TRIÁNGULO ESFÉRICODadas las coordenadas de un lugar de salida y las de otro de llegada, los primeros

cálculos se reducen a resolver un triángulo esférico en el que se conocen dos lados (co latitud de salida, co latitud de llegada), y el ángulo comprendido entre ellos (la diferencia de longitud). Debe tenerse presente que en las fórmulas que presentamos en los problemas resueltos, las longitudes se trabajan sin signo. Sin embargo, el signo (E o W), es de capital importancia para traducir los resultados matemáticos, en respuestas de navegación.

Como norma general, toda vez que no exista posibilidad de confusión en materia de rumbos por encontrarse tanto el lugar de salida como el de llegada en el mismo hemisferio, se usaran las latitudes en valor absoluto, de lo contrario se respetaran los signos de las latitudes. En este último caso, el triángulo esférico tendrá necesariamente un vértice en el Polo Norte.

Ejemplos:DE VALPARAISO; 33º 02’ S, 071º 40’ WA HONOLULU; 21º 18’ N, 157º 52’ W

Fig. 2. 5Los vértices del triángulo a resolver inicialmente son, Polo Norte (P.N.), Lugar de salida

(A), y Lugar de llegada (B). Los lados son; 90º - Latitud de salida, 90º - latitud de llegada y el círculo máximo que pasa por Valparaíso y Honolulu. Las latitudes (solo las latitudes), se

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trabajarán con sus correspondientes signos. El ángulo formado en el lugar de salida, que proporciona la fórmula, es RA. El ángulo formado en el lugar de llegada que proporciona la trigonometría es, RB. El ángulo formado en el Polo Norte entre los meridianos de salida y llegada es, la diferencia de longitud.

Antes de iniciar los cálculos que se presentan a continuación, es indispensable que el alumno se familiarice con los teoremas del coseno, del seno, la fórmula de los cuatro elementos consecutivos y las analogías de Napier para triángulos rectángulos y rectiláteros, que se presentan en el Anexo I de este Capitulo.

CALCULO DE LA DISTANCIAPara calcular la distancia se emplea la siguiente fórmula basada en el teorema del

Coseno:

Cos (Dist./60) = sen LA · sen LB + Cos LA · Cos LB · Cos [d.Lon.]Donde:LA Latitud de Salida. Con su signo correspondiente. En este caso negativo (-)LB Latitud de Llegada. Con su signo correspondiente. En este caso positivo (+).[d.Lon.] Valor absoluto (Sin signo) de la diferencia de longitud (86º 12’) El resultado de la fórmula es; 5904.6La respuesta es; 5904.6 Millas.

CÁLCULO DEL RUMBO DE SALIDAEl ángulo formado en A, cuyo vértice se encuentra en el centro del compás,

corresponde al arco de horizonte entre el meridiano que conduce al Polo Norte y el circulo máximo que conduce al lugar de llegada. Para obtener el valor de este ángulo, se emplea la siguiente fórmula basada en la fórmula de los cuatro elementos consecutivos:

Tan RA = Sen [d.Lon] / (Cos LA · Tan LB – Sen LA · Cos [d.Lon] )

Igual que en el caso anterior, las latitudes Norte llevan signo positivo y las Sur negativo. La diferencia de longitud se trabaja en valor absoluto.

El resultado de la fórmula (RA) es; 070º 00.6’Como el valor obtenido es positivo y corresponde al ángulo entre el punto cardinal

Norte y la proa, se le antepone signo Norte (N). Como el lugar de llegada se encuentra al Weste del de salida se le agrega signo W. Por lo tanto:

La respuesta es; Rumbo de salida = N 070º 00.6’ W = 289º 59.4’

CÁLCULO DEL RUMBO DE LLEGADAEn el mismo triángulo anterior, se calcula el valor del ángulo formado en el punto de

llegada, (RB), usando la misma fórmula anterior, pero cambiando LA por LB y viceversa. O sea;

Tan RB = Sen [d.Lon] / (Cos LB · Tan LA – Sen LB · Cos [d.Lon] )

Esta vez, el resultado de la fórmula es; - 57º 44.2’ El signo menos indica que el ángulo formado en B, mide más de 90º y que su valor

corresponde al suplemento del valor absoluto mostrado en pantalla. Ello se debe a que la tangente de 90º es infinito y en el segundo cuadrante el valor de la tangente es negativo. Por lo tanto, el valor buscado (RB) es; - 57º 44.2’ + 180 = 122º 15.8’

Este resultado, corresponde al ángulo formado en el centro del compás entre el punto cardinal Norte y la popa del buque. Por lo tanto, para transformar el resultado matemático en una respuesta de navegación, se le deben agregar otros 180º. Con lo que se obtiene;

Rumbo de Llegada = 302º 15.8’Nótese que el valor absoluto obtenido en el resultado de la fórmula [RB]; 57º 44.2’ es el

ángulo entre el punto cardinal Sur y la popa. Pero como ese ángulo es opuesto por el vértice con el ángulo entre el punto cardinal Norte y la proa, podríamos haber dicho de inmediato que el rumbo de llegada era; N 57º 44.2’ W = 302º 15.8’.

CALCULO DE LA LATITUD DEL VÉRTICEComo norma general, es conveniente conocer la latitud del vértice, la cual, a su vez, es

igual al ángulo con que el círculo máximo corta al Ecuador. La latitud del vértice permite

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resolver triángulos esféricos rectángulos, los cuales facilitan el cálculo de las coordenadas, rumbos y distancias al lugar de llegada en los lugares de caída o Way Point.

La fórmula que proporciona la latitud del vértice se puede deducir a partir del teorema del Seno o empleando Napier para resolver triángulos esféricos rectángulos.

Cos Lv = Sen RA · cos LA o bienCos Lv = Sen RB · Cos LB

En estas fórmulas, no es necesario respetar los signos, ya todo círculo máximo (exceptuando al Ecuador), tiene un vértice en el hemisferio Norte y otro con la misma latitud en hemisferio Sur.

El resultado de la fórmula es; 38º 01.0’. Por lo tanto, un vértice se encuentra en la latitud 38º 01.0’ N y el otro en 38º 01.0’ S.

CÁLCULO DE LA LONGITUD AL CRUZAR EL ECUADORLa diferencia de longitud entre el lugar de salida y el meridiano en que la ruta corta el

ecuador, se puede obtener sin necesidad de calcular los rumbos de salida y llegada, empleando la siguiente fórmula:

Tan [d.Lon AQ] = Tan LA · Sen [d.Lon. AB] / (Tan LA · Cos [d.Lon AB] – Tan LB)

El resultado de la fórmula es; 56º 17.0’. La diferencia de longitud entre el lugar de salida el meridiano en que la ruta corta el ecuador es; 56º 17.0’ W. Por lo tanto la longitud con que se cruzará el ecuador es: 071º 40.0’ W + 56º 17.0’ W = 127º 57.0’ W.

ANÁLISIS DE LA RUTAComo el rumbo de salida y el de llegada, se encuentran en el mismo cuadrante (NW),

no hay vértice en la ruta.Por otra parte, tal como sucede toda vez que el lugar de salida queda en distinto

hemisferio que el lugar de llegada, se forman dos triángulos esféricos rectángulos. Uno en el hemisferio de salida y otro en el de llegada. Estos triángulos rectángulos, tienen el ángulo recto en el lugar donde el meridiano de salida o llegada, según corresponda, corta el ecuador.

En el triángulo rectángulo de salida, los lados son; un arco de meridiano entre el ecuador y el lugar de salida, vale decir; la latitud del lugar de salida (LA). Un arco de ruta entre el lugar de salida hasta el ecuador, vale decir; la distancia de salida al ecuador, dividida en sesenta (DAQ / 60) y un arco de ecuador entre el meridiano de salida y el lugar donde la ruta corta el ecuador, vale decir; la diferencia de longitud entre el meridiano de salida y el ecuador (d.Lon.AQ). Los ángulos de este triángulo son; entre el meridiano de salida y la ruta (RA), ya calculado. Entre la ruta y el ecuador, la latitud del vértice (LV). Reacuérdese la semi esfera hueca, con su tapa inclinada vista lateralmente como línea recta.

En el triángulo rectángulo de llegada, los lados son; un arco de meridiano entre el ecuador y el lugar de llegada, vale decir; la latitud del lugar de llegada (LB). Un arco de ruta entre el lugar en que la ruta corta el ecuador y el lugar de llegada, vale decir; la distancia del ecuador al lugar de llegada, dividida en sesenta (DQB / 60) y. Un arco de ecuador entre el lugar donde la ruta corta el ecuador y el meridiano de llegada, vale decir; la diferencia de longitud entre el ecuador y el lugar de llegada (d.Lon.QB). Los ángulos de este triángulo son; entre la ruta y el meridiano de llegada, el valor absoluto y menor de 90º obtenido al calcular RB, vale decir [RB]. Entre la ruta y el ecuador, la latitud del vértice (LV). Opuesto por el vértice con mismo LV del triángulo anterior.

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Fig. 2. 6

Como todos los lados y ángulos de estos triángulos son menores de 90º, y no hay posibilidad de ambigüedades, no será necesario respetar los signos, y se usarán sólo los valores absolutos.

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTANGULOS INICIALESAplicando las analogías de Napier que se explican en Anexo I, se tiene:En la resolución de cada uno de los tres elementos desconocido se deben usar

siempre los mismos dos elementos conocidos. En este caso LA y RA, en el triángulo del hemisferio sur y LB y [RB], en el triángulo del hemisferio norte.

Fig. 2. 7

TRIÁNGULO DE SALIDA TRIANGULO DE LLEGADASen (90º - LV) = Cos LA · Cos (90º - RA) Sen (90º - LV) = Cos LB · Cos (90º - [RB])Cos LV = Cos La · Sen RA Cos LV = Cos LB · Sen [RB]LV = 38º 01.0’ LV = 38º 01.0’

Sen LA = Tan d.Lon AQ · Tan (90º - RA) Sen LB = Tan d.Lon BQ · Tan (90º - [RB])Tan d.Lon AQ = Sen LA · Tan RA Tan d.Lon BQ = Sen LB · Tan [RB]d.Lon AQ = 56º 17.0’ W d.Lon QB = 29º 55.0’ W Lon. A = 071º 40.0’ W Lon. B = 157º 52.0’ WLon Q = 127º 57.0’ W Lon Q = 127º 57.0’ W

Sen (90º - RA) = Tan LA · Tan (90º - DAQ/60) Sen (90º - [RB])= Tan LB · Tan (90º - DQB/60)Tan (DAQ /60) = Tan LA / Cos RA Tan (DBQ /60) = Tan LB / Cos [RB]DAQ = 3736.0’ DQB = 2168.6’

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTANGULOS QUE SE FORMAN EN LA RUTAEn los meridianos múltiplos de 5º o 10º, se debe determinar; la latitud de caída, el

nuevo rumbo y la distancia al lugar de llegada. Pero esta vez se conocen; la diferencia de longitud entre el meridiano de caída y el meridiano donde la ruta corta el ecuador y el ángulo con que la ruta corta el ecuador. Este ángulo es igual a la latitud del vértice (LV).

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Fig. 2. 8

Fig. 2. 9

TRIÁNGULO DEL HEMISFÉRIO SUR TRIÁNGULO DEL HEMISFÉRIO NORTESen ( 90º - RX) = Sen ( 90º - RX) =Cos [d.Lon.XQ] · Cos (90º - LV) Cos [d.Lon.QX] · Cos (90º - LV)Cos RX = Cos [d.Lon XQ] · Sen LV Cos RX = Cos [d.Lon QX] · Sen LV

Sen (90º - LV) = Sen (90º - LV) =Tan (d.Lon XQ]·Tan (90º - DXQ/60) Tan (d.Lon QX]·Tan (90º - DQX/60)Tan DXQ / 60 = Tan DQX / 60 =Tan [d.Lon XQ] / Cos LV Tan [d.Lon QX] / Cos LV

Sen [d.Lon XQ] = Tan LX · Tan (90º - LV) Sen [d.Lon QX] = Tan LX · Tan (90º - LV)Tan LX = Sen [d.Lon XQ] · Tan LV Tan LX = Sen [d.Lon QX] · Tan LV

Las fórmulas en cursiva, para calcular el rumbo, distancia y latitud, en cada longitud múltiplo de 5º o 10º, son las mismas en ambos triángulos.

RESOLUCIÓN DEL TRIÁNGULO CUYOS VÉRTICES SON: POLO NORTE, PUNTO DE CAÍDA Y LUGAR DE LLEGADA

Conociendo la latitud de llegada (LB), el ángulo formado en el punto de llegada entre el norte y la popa (RB) y la diferencia de longitud entre el lugar de caída y el lugar de llegada (d.Lon XB), se pueden calcular: Las latitudes de caída (LX), la distancia desde el lugar de caída al de llegada (DXB) y el nuevo rumbo en el lugar de caída (RX), empleando las siguientes fórmula:

Tan LX = Sen [d.Lon XB] / ( Cos LB · Tan RB) + Tan LB · Cos [d.Lon XB]

Tan DXB / 60 = Cos LB / (Sen LB · Cos RB + Sen RB / Tan [d.Lon XB])

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Cos RX = Sen RB · Sen ]d.Lon XB[ · Sen LB – Cos RB · Cos [d.Lon XB]

En las fórmulas anteriores, todas las latitudes llevan su signo correspondiente. Por otra parte, un resultado negativo en el cálculo de la latitud de caída, indica que la latitud es sur.

Las diferencias de longitud no llevan signo. El ángulo formado en el lugar de llegada entre el norte y la popa (RB), se usa con

valores entre 0º y 180º. Por otra parte, si el resultado de la fórmula para calcular el nuevo rumbo en el lugar de caída (RX), resulta negativo, se le deben sumar 180º. Luego la respuesta se obtiene anteponiéndole el punto cardinal Norte y agregándole el punto cardinal Este o Weste, según la dirección que se encuentra el lugar de llegada respecto al de caída, que es el mismo que corresponde a la diferencia de longitud para ir de “A” a “B”.

Estas Fórmulas y en general todas aquellas en las cuales se trabaja con tres elementos conocidos, resultan convenientes cuando se dispone de planilla electrónica para realizar los cálculos.

EJECUCIÓN DE LOS CÁLCULOSAntes de ejecutar los cálculos, se confecciona un cuadro que se irá llenando en la

medida que estos progresenEn el trabajo con calculadora es altamente recomendable emplear las memorias

constantes con aquellos datos que son comunes a todas las fórmulas.

LONGITUD d.Lon. XQ d. Lon XB LATITUD RUMBO DISTANCIA071º 40’ W 56º 17’W 86º 12’ W 33º 02.0’ S 289º 59.4’ 5904.6080º 00’ W 47º 57’W 77º 52’ W 30º 08.1’ S 294º 21.7’ 5444.7090º 00’ W 37º57’ W 67º 52’ W 25º 40.5’ S 299º 03.3’ 4851.1100º 00’ W 27º 57’ W 57º 52’ W 20º 07.4’ S 302º 57.6’ 4206.1110º 00’ W 17º 57’ W 47º 52’ W 13º 32.7’ S 305º 52.0’ 3509.7120º 00’ W 07º 57’ W 37º 52’ W 06º 10.2’ S 307º 35.2’ 2771.7130º 00’ W 02º 02’ E 27º 52’ W 01º 36.1’ N 307º 59.2’ 2012.5140º 00’ W 12º 02’ E 17º 52’ W 09º 16.1’ N 307º 02.1’ 1259.0150º 00’ W 22º 02’ E 07º 52’ W 16º 21.3’ N 304º 48.5’ 536.1157º 52’ W 29º 55’ E 0 21º 18.0’ N 302º 15.8’ 0

DE VALPARAISO; 33º 02’ S, 071º 40’ WA THREE KING N.Z; 33º 50’ S, 172º 02’ E

CALCULO DE LA DISTANCIAPara calcular la distancia se emplea la misma fórmula del problema anterior:

Cos (Dist./60) = sen LA · sen LB + Cos LA · Cos LB · Cos [d.Lon.]

Considerando que la diferencia de longitud es; 116º 18.0’ W, el resultado de la fórmula es; 5417.3. La respuesta es; 5417.3 Millas

CÁLCULO DEL RUMBO DE SALIDAEn el triangulo esférico cuyos vértices son; Polo Norte, lugar de salida (A), y lugar de

llegada (B), se calcula el ángulo, formado en “A”: Este ángulo, cuyo vértice se encuentra en el centro del compás, corresponde al arco de horizonte entre el meridiano que conduce al Polo Norte y el círculo máximo que conduce al lugar de llegada. Para obtener el valor del ángulo se emplea la misma fórmula del problema anterior:

Tan RA = Sen [d.Lon] / (Cos LA · Tan LB – Sen LA · Cos [d.Lon] )

En este caso, ambas latitudes llevan signo negativo por ser sur. La diferencia de longitud se usa en valor absoluto.El resultado de la fórmula es; - 48º 07.9’Como el valor obtenido es negativo, su valor absoluto corresponde al suplemento del

valor solicitado. Ese valor absoluto, corresponde al ángulo entre el punto cardinal sur y la proa, razón por la cual, se le podría anteponer signo sur. Sin embargo, para obtener el valor del

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ángulo solicitado, que se usará en cálculos futuros, se le suman 180º y se obtiene el ángulo medido desde el norte. Como el lugar de llegada se encuentra al Weste del de salida, se le agrega signo W. Por lo tanto:

La respuesta es; Rumbo de Salida = N 131º 52.1’ W = 228º 07.9’

CÁLCULO DEL RUMBO DE LLEGADAEn el mismo triángulo anterior, se calcula el valor del ángulo formado en el punto de

llegada, (RB), usando la misma fórmula anterior, pero cambiando LA por LB y viceversa. O sea;

Tan RB = Sen [d.Lon] / (Cos LB · Tan LA – Sen LB · Cos [d.Lon] )

Esta vez, el resultado de la fórmula es; - 48º 43.7’ El signo menos indica que el valor buscado es mayor de 90º y que su valor

corresponde al suplemento del valor absoluto mostrado en pantalla. Por lo tanto, el valor buscado es; - 48º 43.7’ + 180 = 131º 16.3’

Fig. 2. 10

Este resultado, corresponde al ángulo formado en el centro del compás entre el punto cardinal norte y la popa del buque. Por lo tanto, para obtener la respuesta se le deben agregar otros 180º. Con lo que se obtiene;

Rumbo de Llegada = 311º 16.3’Nótese que el primer valor absoluto obtenido; 48º 43.7’ es el ángulo entre el punto

cardinal sur y la popa. Pero como ese ángulo es opuesto por el vértice con el ángulo entre el meridiano que conduce hacia el Polo Norte y la proa, podríamos haber dicho de inmediato que el Rumbo de Llegada era; N 48º 43.7’ W = 311º 16.3’

CALCULO DE LA LATITUD DEL VÉRTICEAplicando la fórmula;

Cos LV = Sen RA · Cos LA = Sen 33º 02’ · Cos 48º 07.9’ LV = 51º 22.1’ S

CÁLCULO DE LA LONGITUD DEL VÉRTICELa diferencia de longitud entre el lugar de salida y el vértice más cercano, se puede

obtener sin necesidad de calcular los rumbos de salida y llegada, empleando la siguiente fórmula (Ver AnexoI):

Tan [d.Lon AV] = (Tan LB / (Tan LA · Sen [d.Lon AB] ) – 1 / Tan [d.Lon AB])

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El resultado de la fórmula es; 58º 41.4’. La diferencia de longitud entre vértice y el lugar de salida es; 58º 41.4’ W. Por lo tanto la longitud de un vértice es;071º 40.0’ W + 58º 41.4’ W = 130º 21.4’ W.

El otro vértice del círculo máximo difiere 180º en longitud. Por lo tanto queda en longitud; 49º 38.6’ E.

Un eventual resultado negativo, indica que el valor de la diferencia de longitud entre el lugar de salida y el vértice ubicado en dirección al lugar de llegada, es mayor de 90º. Por lo tanto, al resultado (negativo), se le deben sumar 180º. Por ejemplo, en el caso de la navegación de Valparaíso a Honolulu, el resultado de la fórmula para calcular la diferencia de longitud entre el lugar de salida y el Vértice más cercano es; - 33º 43.0’. Por lo tanto, la diferencia de longitud entre el lugar de salida y el vértice queda: 146º 17’ W. Si a esa diferencia de longitud se le suma la longitud de salida, se obtiene la longitud del Vértice ubicado en dirección al lugar de llegada. En este caso: 142º 03’ E (360º - (146º 17’ + 71º 40’)). Ahora bien, si a esa longitud, se le suma 90º, se obtiene la longitud con que la ruta corta el Ecuador. O sea, 127º 57’ W (360 – (142º 03’ + 90)). Cosa que coincide con el resultado calculado anteriormente.

Conociendo la diferencia de longitud entre el lugar de salida y el vértice de la ruta, se pueden resolver dos triángulos esféricos rectángulos.

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTANGULOS INICIALESDebido a que tanto el lugar de salida como el de llegada se encuentran en el mismo

hemisferio, no se presentan ambigüedades resolviendo los triángulos esféricos rectángulos formados en el hemisferio sur. Por lo tanto, no será necesario respetar los signos de las latitudes. Aplicando luego las mismas analogías de Napier que en el caso anterior, se tiene:

Fig. 2.11

Fig. 2 .12

14

En el triángulo de salida se conocen, la latitud de salida y la diferencia de longitud entre A y el vértice.

En el triángulo de llegada se conoce la latitud de llegada y la diferencia de longitud entre el vértice y B, que es; 116º 18’ – 58º 41.4’ = 57º 36.6’ W

TRIÁNGULO DE SALIDA TRIÁNGULO DE LLEGADASen (90º - [d.Lon.AV]) = Sen (90º - [d.Lon.VB]) =Tan (90º - LV) · Tan LA Tan (90º - LV) · Tan LBTan LV =Tan LA / Cos [d.Lon. AV] Tan LV = Tan LB / Cos [d.Lon. VB]LV = 51º 22.1’ S Tan LV = 51º 22.1’ S

Sen DAV / 60 = Sen DVB / 60 =Cos (90º - [d.Lon.AV] · Cos LA Cos (90º - [d.Lon.VB] · Cos LBSen DAV /60 = Sen [d.Lon AV] · Cos LA Sen DVB /60 = Sen [d.Lon.VB] · Cos LBDAV = 2744.8’ DVB = 2672.5’

Sen LA = Sen LB =Tan (90º - [d.Lon.AV]) · Tan (90º - RA) Tan (90º - [d.Lon.VB]) · Tan (90º - RB)Tan RA = Tan RB =1 / ( Sen LA · Tan [d.Lon. AV]) 1 / (Sen LB · Tan .[d.Lon.VB])RA = 48º 08.0’ RB = 48º 43.6’Rbo. Salida = S 48º 08.0’ W = 228º 08.0’ RBo. Llegada = N 48º 43.6’ W = 311º 16.4’

Como se puede observar, estas últimas respuestas concuerdan con las obtenidas anteriormente mediante el cálculo directo de los rumbos de llegada.

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTANGULOS QUE SE FORMAN EN LA RUTA

Fig. 2. 13

15

Fig. 2. 14

ANTES DEL VÉRTICE DESPUÉS DEL VÉRTICESen ( 90º - RX) = Sen ( 90º - RX) =Cos (90º - LV) · Cos (90º - [d.Lon. XV]) Cos (90º - LV) · Cos (90º - [d.Lon. XV])Cos RX = Sen lv · Sen [d.Lon XV] Cos RX = Sen lv · Sen [d.Lon XV]

Sen (90º - LV) = Sen (90º - LV) =Tan (90º - [d.Lon XV] · Tan DXV / 60 Tan (90º - [d.Lon XV] · Tan DXV / 60Tan DXV / 60 = Cos LV · Tan [d.Lon XV] Tan DXV / 60 = Cos LV · Tan [d.Lon XV]

Sen (90º - [d.Lon XV]) = Sen (90º - [d.Lon XV]) =Tan (90º - LV) · Tan LV Tan (90º - LV) · Tan LVTan LX = Cos [d.Lon XV] · Tan LV Tan LX = Cos [d.Lon XV] · Tan LV

Las fórmulas en cursiva, para calcular el rumbo, distancia y latitud, en cada longitud múltiplo de 5º o 10º, son las mismas en ambos triángulos.

RESOLUCIÓN DEL TRIÁNGULO CUYOS VÉRTICES SON: POLO NORTE, PUNTO DE CAÍDA Y LUGAR DE LLEGADA

Conociendo la latitud de llegada (LB), el ángulo formado en el punto de llegada entre el norte y la popa (RB) y la diferencia de longitud entre el lugar de caída y el lugar de llegada (d.Lon XB), se pueden calcular: Las latitudes de caída (LX), la distancia desde el lugar de caída al de llegada (DXB) y el nuevo rumbo en el lugar de caída (RX), empleando las mismas fórmulas del ejemplo anterior. Vale decir:

Tan LX = Sen [d.Lon XB] / ( Cos LB · Tan RB) + Tan LB · Cos [d.Lon XB]

Tan DXB / 60 = Cos LB / (Sen LB · Cos RB + Sen RB / Tan [d.Lon XB])

Cos RX = Sen RB · Sen ]d.Lon XB[ · Sen LB – Cos Rb · Cos [d.Lon XB]

En las fórmulas anteriores, todas las latitudes llevan su signo correspondiente, en este caso menos (Sur). Por otra parte, un resultado negativo en el cálculo de la latitud de caída, indica latitud sur.

Las diferencias de longitud no llevan signo. El ángulo formado en el lugar de llegada entre el norte y la popa (RB), se usa con

valores entre 0º y 180º. Por otra parte, si el resultado de la fórmula para calcular el nuevo rumbo en el lugar de caída (RX), resulta negativo, se le deben sumar 180º. Luego la respuesta se obtiene anteponiéndole el punto cardinal Norte y agregándole el punto cardinal Este o Weste, según la dirección que se encuentra el lugar de llegada respecto al de caída, que es el mismo que corresponde a la diferencia de longitud para ir de “A” a “B”.

EJECUCIÓN DE LOS CÁLCULOSAntes de ejecutar los cálculos, se confecciona un cuadro que se irá llenando en la

medida que estos progresen. En el trabajo con calculadora es altamente recomendable emplear las memorias constantes con aquellos datos que son comunes a todas las fórmulas.

LONGITUD d.Lon. XV d. Lon XB LATITUD RUMBO DISTANCIA071º 40’ W 58º 41.5’ W 116º 18’ W 33º 02’.0’ S 228º 07.9’ 5417.3080º 00’ W 50º 21.5’ W 107º 58’ W 38º 36.0’ S 233º 01.2’ 4892.5090º 00’ W 40º 21.5’ W 097º 58’ W 43º 38.1’ S 239º 26.7’ 4349.4100º 00’ W 30º 21.5’ W 087º 58’ W 47º 11.7’ S 246º 44.7’ 3877.7110º 00’ W 20º 21.5’ W 077º 58’ W 49º 33.3’ S 254º 13.8’ 3455.1120º 00’ W 10º 21.5’ W 067º 58’ W 50º 54.5’ S 261º 55.5’ 3063.1130º 00’ W 00º 21.5’ W 057º 58’ W 51º 22.1’ S 269º 43.2’ 2685.9140º 00’ W 09º 38.5’ E 047º 58’ W 50º 58.2’ S 277º 31.1’ 2309.2150º 00’ W 19º 38.5’ E 037º 58’ W 49º 41.0’ S 285º 13.4’ 1918.8160º 00’ W 29º 38.5’ E 027º 58’ W 47º 24.0’ S 292º 43.7’ 1499.0170º 00’ W 39º 38.5’ E 017º 58’ W 43º 56.2’ S 299º 53.6’ 1031.5

16

180º 00’ W 49º 38.5’ E 007º 58’ W 39º 01.0’ S 306º 31.9’ 494.3172º 02’ w 57º 36.5’ E 0 33º 50.0’ S 311º 16.3’ 0

DE VALPARAISO; 33º 02’ S, 071º 40’ WA THREE KING N.Z; 33º 50’ S, 172º 02’ ESIN SOBREPASAR EL PARALELO DE LATITUD: 40º S

.

Fig. 2. 15

Si por razones meteorológicas, glaciológicas o de cualquier otra índole, no resulta recomendable sobrepasar un determinado paralelo de latitud, la ruta más corta se produce navegando dos arcos de círculo máximo tangentes al paralelo de latitud máxima. Uno de ellos pasa por el punto de salida y el otro por el punto de llegada. El resto de la ruta se realiza navegando a rumbo fijo a lo largo del paralelo de latitud máxima. A este tipo de navegación, se le conoce como navegación mixta

Los elementos conocidos que se usaran para resolver los triángulos, son; las latitudes de salida y llegada respectivamente y la latitud máxima. Luego;

Fig. 2.16

Sen (90º - [d.Lon. AV1]) = Sen (90º - [d.Lon. V2B]) =Tan ( 90º - LV1) · Tan LA Tan ( 90º - LV2) · Tan LBCos [d.Lon.AV1] = Tan LA / tan LV1 Cos [d.Lon.V2B] = Tan LB / tan LV2[d.Lon.AV1] = 39º 12.1’ W [d.Lon V2B] = 36º 59.0’ WLon. A = 71º 40.0’ W Lon. B = 172º 02.0’ ELon. V1 = 110º 52.1’ W Lon. V2 = 150º 59.0’ W

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Sen LA =Cos (90º - LV1) · Cos (DAV1 / 60) Sen LB =Cos (90º - LV2) · Cos (DV2B / 60)Cos DAV1 / 60 = Sen LA / Sen LV1 Cos DV2B / 60 = Sen LB / Sen LV2DAV1 = 1919.9’ DV2B =1798.8’

Sen (90º - LV1) = Cos LA · Cos (90º - RA) Sen (90º - LV2) = Cos LB · Cos (90º - RB)Sen RA = Cos LV1 / Cos LA Sen RB = Cos LV2 / Cos LBRA = 66º 01.7’ RB = 67º 15.1’Rbo. Salida = S 66º 01.7’ W = 246º 01.7’ Rbo. Llegada = N 67º 15.1’ W = 292º 44.9’

CALCULO DE LAS DISTANCIASLon. V2 = 150º 59.0’ WLon. V1 = 110º 52.1’ Wd.LonV1 V2 = 40º 06.9’ WApart. = 1843.8’DAV1 = 1919.9’DV2B = 1798.8’Dist. Total = 5976.2’

De manera similar a los casos anteriores, antes de ejecutar los cálculos, se confecciona un cuadro que se irá llenando en la medida que estos progresen.

LONGITUD d.Lon XV1 d.LonXV2 d.Lon XB LATITUD RUMBO DIST. XB071º 40’ W 39º 12.1’ W 33º 02’.0’ S 246º 01.7’ 5562.5’080º 00’ W 30º 52.1’ W 35º 45.8’ S 250º 44.6’ 5118.8’090º 00’ W 20º52.1’ W 38º 05.9’ S 256º 45.8’ 4619.4’100º 00’ W 10º 52.1’ W 39º 29.4’ S 263º 02.3’ 4144.6’110º 00’ W 00º 52.1’ W 39º 59.8’ S 269º 26.5’ 3682.5’120º 00’ W 30º 59’ W 40º 00.0’ S 270º 00.0’ 3222.9’130º 00’ W 20º 59’ W 40º 00.0’ S 270º 00.0’ 2763.3’140º 00’ W 10º 59’ W 40º 00.0’ S 270º 00.0’ 2303.6’150º 00’ W 37º 58’ W 40º 00.0’ S 270º 00.0’ 1844.0’160º 00’ W 27º 58’ W 39º 39.0’ S 275º 46.9’ 1383.0’170º 00’ W 17º 58’ W 38º 25.5’ S 282º 5.4’ 911.4’180º 00’ W 07º 58’ W 36º 16.2’ S 288º 10.0’ 147.5’172º 02’ w 0 33º 50.0’ S 292º 44.9’ 0

Los puntos de caída con sus respectivos rumbos y distancias al lugar de llegada, se traspasan finalmente a las cartas en proyección Mercator.

CUANDO EL VÉRTICE SE UBICA EN HEMISFÉRIO CONTRARIO AL DEL LUGAR DE SALIDA

En este caso, se forma un triangulo esférico rectángulo en el hemisferio contrario al de salida en el que;a) La latitud máxima, o latitud del vértice, es igual al ángulo con que el círculo

máximo corta al Ecuadorb) La distancia del Ecuador al paralelo de latitud máxima es 5400 millas.c) La diferencia de longitud entre el Ecuador y el meridiano de llegada al paralelo de latitud máxima es 90º.Conociendo el ángulo con que el círculo máximo corta al Ecuador, así como la latitud de salida, conviene resolver el triángulo rectángulo formado en el Hemisferio de salida.

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Sen d. Lon AQ = Tan LA · Tan ( 90 – Lv)Sen d. Lon AQ = Tan La / Tan Lv La d.Lon AV = d. Lon AQ + 90

Sen LA = Cos (90 – Lv) · Cos (90 – DAQ/60)Sen DAQ/60 = Sen LA / Sen Lv DAV = DAQ + 5400

Sen (90 – Lv) = Cos LA · Cos (90 – RA)Sen RA = Cos Lv / Cos LA

Ejemplo:DE; OF PANAMÁ ( 8º 00’ N, 080º 00’ W)A; THREEE KING N.Z (33º 50’ S, 172º 02’ E)

Se desea navegar un círculo máximo con Vértice en el paralelo 30º S. Luego navegar a rumbo fijo hasta Three King.

Fig. 2.17Se debe tener en cuenta que la latitud de los vértices, tiene que ser mayor que la latitud del lugar de salida.

Solución.- Entre el lugar de salida (A), y el Vértice (V), en latitud 30º S, se forman dos triángulos rectángulos que tienen en común el ángulo con que el círculo máximo corta al Ecuador. Vale decir, LV = 30º.LA = 8º 00’LV = 30º 00’Sen d. Lon. AQ = Tan LA Tan (90º - LV) Sen d. Lon. AQ = Tan LA / Tan LVd. Lon. AQ = 14º 05.3’ WLon. A = 80º 00.0’ WLon. Q = 94º 05.3’ W

Sen LA = Cos (90º - DAQ) Cos 90º - LV)Sen DAQ = Sen LA / Sen LVDAQ = 969.7’DQV = 5400

19

DAV = 6369.7’

Sen (90º - LV) = Cos (90º - RA) Cos LASen Ra = Cos LV / Cos LARA = S 60º 59.4’ W = 240º 59.4’

Del Vértice en 30º S, 175º 54.7’ E al lugar de llegada 33º 50’ S, 172º 02’ E, la distancia y el rumbo se obtienen mediante Partes Meridionales.Lat P. Merid. d. P. Mer. d. Lon. d. Lat30º 00 1888.4

271.0 232.7’ W 230.0’ S33º 50’ 2159.4

Apart. = d. Lon. d. Lat / d. P. Mer. = 197.5’ WDist. V a B = 303.2’Dist. A a V = 6369.7’Dsit. A a B = 6672.9’Rbo = S 40º 39.1’ W = 220º 39.1’

LATITUD (LX), RUMBO (RX), Y DISTANCIA AL LUGAR DE LLAGADA (DXB), AL CRUZAR EL MERIDIANO 150º W

d. Lon. QX = 55º 54.7’ W

Sen d. Lon. QX = Tan LX Tan (90º - LV)Tan LX = Sen d. Lon. QX Tan LVLX = 25º 33.3’ S

Fig.- 2.18.-

Sen (90º - RX) = Cos d. Lon. QX Cos (90º - LV)Cos RX = Cos d. Lon QX Sen LVRX = S 73º 43.5’ W = 253º 43.5’

Sen (90º - LV) = Tan d. Lon. Qx Tan (90º - DQX)Tan DQX = Tan d. Lon. QX / Cos LVDQX = 3577.6’ DAQ = 969.7’DAX = 4547.3’DAB = 6672.9’DXB = 2125.6’

LONGITUD (LON X), RUMBO (RX), Y DISTANCIA AL LUGAR DE LLEGADA (DXB), AL CRUZAR EL PARALELO 20º S

Sen d. Lon. QX = Tan LX Tan (90º - LV)

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Sen d. Lon. QX = Tan LX / Tan LVd. Lon. QX = 39º 04.8’ WLon. Q = 94º 05.3’ WLon. X = 133º 10.1’ W

Sen ( 90º - LV) = Cos (90º - RX) Cos LXSen RX = Cos LV / Cos LXRX = S 67º 09.7’ W = 247º 09.7’

Fig. 2.19.-

Sen LX = Cos (90º - DQX) Cos (90º - LV)Sen DQX = Sen LX Sen LVDQX = 2589.6’DAX = 969.7’DAX = 3559.3’DAB = 6672.9’DXB = 3113.6’

LATITUD (LX), LONGITUD (Lon. X), Y RUMBO (RX), AL COMPLETAR 2976.0’ DESDE PANAMÁDQX = (2976 – 969.7)/60 = 33º 23.3’Sen LX = Cos (90º - DQX) Cos (90º - LV)Sen LX = Sen DQX Sen LVLX = 15º 59.6’ S

Fig.- 2.20.-

Sen (90º - LV) = Tan d. Lon. QX Tan (90º - DQX)Tan d. Lon. QX = Cos LV Tan DQXd. Lon. QX = 29º 45.8’ WLon. Q = 94º 05.3’ W

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Lon. X = 123º 51.1’ W

Sen (90º - DQX)= Tan (90º RX) Tan (90º - LV)Tan RX = 1 / (Cos DQX Tan LV)RX = S 64º 16.6’ W = 244º 16.6’

CUESTIONARIO DEL CAPITULO 2

1.- Con ayuda del gráfico que represente la esfera terrestre conteniendo un círculo máximo, explique porqué:a) Los vértices del círculo máximo son los puntos de máximo acercamiento a los polos.b) Los vértices del círculo máximo están separados por una diferencia de longitud de 180º.c) La diferencia de longitud entre el vértice y el ecuador es de 90º.f) El ángulo entre el meridiano que pasa por el vértice y el círculo máximo es de 90º.g) El ángulo con que el círculo máximo corta al ecuador, es igual a la latitud del vértice.

2.- Dados un lugar de salida y otro de llegada, indique:a) Cuales son los vértices del triángulo esféricob) Cuales son los lados del triángulo esférico.c) Cuales son los ángulos del triángulo esférico

3.- Explique que entiende por navegación mixta

4.- Un círculo máximo tiene un Vértice en la latitud 30º N y longitud 70º W.a) En que latitud se encuentra el otro Vérticeb) En que longitud se encuentra el otro Vérticec) En que longitudes el círculo máximo corta al Ecuadord) Con que ángulo el círculo máximo corta el Ecuadore) Cual es la distancia entre el cruce del Ecuador y el Vértice

PROBLEMAS DEL CAPITULO 2

1.- Calcular la distancia mas corta, el rumbo de salida, el rumbo de llegada, e indicar si existe o no, un vértice en la ruta, al navegar del lugar de salida (A) a otro de llegada (B) que se indican:

S A L I D A L L E G A D A LATITUD LONGITUD LATITUD LONGITUD

1.1.- 22 55' S 043 05' W 08 30' N 013 30' W1.2.- 35 26' N 139 39' E 37 48' N 122 25' W1.3.- 37 40' S 178 36' E 33 02' S 071 39' W

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1.4.- 51 56' N 010 19' W 47 34' N 052 41' W1.5.- 38 42' N 009 11' W 40 42' N 073 59' W1.6.- 36 07' N 005 21' W 10 39' N 061 31' W1.7.- 23 03' S 043 09' W 29 15' S 016 52' ERespuestas: Nº Dist..A.B. R. Sal. R. Lleg. Vert. 1.1.- 2563.36' 046º 01.7’ 042º 05.1’ NO1.2.- 4472.72' 054º 17.2’ 123º 08.8’ SI1.3.- 5025.03' 127º 27.7’ 048º 32.7’ SI1.4.- 1639.24' 277º58.3’ 244º 51.6’ SI1.5.- 2923.65' 29407.0’ 249º 58.7’ SI1.6.- 3394.02' 258º 01.1’ 233º 31.2’ NO1.7.- 3219.80' 110 15.4’ 081º 39.3’ SI

2.- Calcular la distancia total, rumbo de salida, distancia al vértice, latitud y longitud del vértice, rumbo de llegada y latitud por la que pasa la ruta en el meridiano que se indica, en una navegación a lo largo de la circunferencia máxima entre los lugares que se especifican:

2.1) De: El Cabo Lat. 3421' S., Lon.: 01829' E A : Perth., Aust. Lat. 3200' S., Lon.:11545' E

Meridiano: 35 E2.2) De: Fastenet Lt . Lat. 5123' N., Lon.: 00936'W A : Bermudas Lat. 3230' N., Lon.: 06440'W Meridiano: 2 W2.3) De: Ushant Lat. 4825' N., Lon.: 00515'W A : C. Bauld Lat. 5140' N., Lon.: 05520'W Meridiano :20 W2.4) De: El Cabo Lat. 3440' S., Lon.: 01830'E A : C. Hornos Lat. 5640' S., Lon.:. 06830'W Meridiano :20 W2.5) De: Three King N.Z. Lat. 3350' S., Lon.:. 17202'E A : C. Hornos Lat. 5640' S., Lon.:. 06830'WRespuestas:2.1) 4671.1 M.N., Rbo. Sal. 120º 37.6’. Dist. Vért.: 2202.1 M.N., Lat. Vért.: 4443.8'S., Lon. Vért.: 6451.6' E Rbo. Lleg.: 056º 54.1’. Lat. Caída: 40 40' S2.2) 2630.7 M.N., 266.5., Rbo. Lleg. 227º36.9’, Resto fuera de ruta.

Lat. Caída: 50 31' N2.3) 1901.5 M.N., Rbo. Sal.: 295º 06.6’, Dist. Vért.: 1238.0 M.N., Lat. Vért.:5304.0'N., Lon. Vért.: 3719.0' W. Rbo. Llegg.: 255º 41.3’. , Lat. Cída: 51 46.5’ N2.4) 3604.4 M.N., Rbo. Sal.: 219º 17.1’., Dist. Vért.: 2893.2 M.N., Lat. Vért.: 5837.0'S.,

Lon. Vért.:4632.8'W. Rbo. Lleg. : 288º 36.7’., Lat. Caída : 5542.7'S2.5) 4564.5 M.N., Rbo. Sal.: 150º 28.1’., Dist. Vért.: 3143.4 M.N., Lat. Vért.: 6549.8.0'S., Lon. Vért.: 11528.4'W. Rbo. Lleg.: 48º 10.1’.

3.- En la navegación de Three King (N.Z.) a C. Hornos, se ha resuelto no sobrepasar el paralelo 60 S. Calcular:3.1. – Lon. Vért. 1 3.2.- Dist. Vért. 1. 3.3.- Rumbo de Salida. 3.4.- Lon. Vért., 23.5. – Dist. Vért. 2 al Pto. de Lleg. 3.6.- Dist. Total 3.7.- Rbo. De Llegada.Respuestas:3.1.- Lon. V1 = 120 44.0'W., 3.2.- Dist. V1 = 2999.4 M.N.3.3. - R. Sal. = 142º 59.5’, 3.4.- Lon. V2 = 97 07.2'W3.5.- Dist. V2 Lleg. = 915.6 M.N., 3.6.- Dist. Total = 4623.4 M.N.3.7.- R. Lleg. = 65º 29.5’

4.- Calcular la distancia, rumbo de salida, distancia al vértice, latitud y longitud del vértice y rumbo de llegada, para ir del lugar que se indica a:4.1) De: Yokohama Lat. 3526' N Lon.: 3939' E

23

A: San Francisco Lat. 3748' N Lon.: 12225' W4.2) De: C. East N.Z. Lat. 37 40' S Lon.: 178 36' E A : Valparaíso Lat. 33 02' S Lon.: 071 39' W4.3) De: Valentia Lat. 51 56' N Lon.: 010 19' W A : St. John's Lat. 47 34' N Lon.: 052 41' W4.4) De: Lisboa Lat. 38 42' N Lon.: 009 11' W A : N. York Lat. 40 42' N Lon.: 073 59' W4.5) De: Gibraltar Lat. 36 07' N Lon.: 005 21' W A : P. España Lat. 10 39' N Lon.: 061 31' W4.6) De: Rio Janeiro Lat. 23 03' S Lon.: 043 09' W A : P. Nolloth Lat. 29 15' S Lon.: 016 52' ERespuestas:Probl.. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Dist. Tot.= 4472.7 5025 1639.2 2923.6 3394

3219.8R. Sal. = 054º 17.2’ 127º 27.2’ 277º 50.3’ 294º 07.0’ 258º 01.1’ 110º 15.4’D. V. = 2361.9 2294 365.8 1621.3 FUERA 2348Lat. V. = 48 35’ N 51 04’ S 52 21’ N 44 35’ N FUERA 30 19’ SLon. V. =169 14’ W 129 58’ W 02014’ W 044 47’ W FUERA 000 09’ ER. Lleg. =123º 08.8’ 048º 32.7’ 244º 51.6’ 249º 58.7’ 233º 31.2’ 081º 39.1’

5.- Calcular la distancia, rumbo inicial, distancia al ecuador, longitud y rumbo al cruzar el ecuador y rumbo de llegada para ir del lugar de salida al de llegada que se indican:5.1) De: Kanai : Lat. 22 14' N Lon.: 159 28' W A: Sydenham: Lat. 00 36' S Lon.:.174 24' E5.2) De: Sydenham Lat. 00 36' S Lon.: 174 24' E A: Christmas I. Lat. 01 57' N Lon.: 57 28' W5.3) De: Christmas I. Lat. 01 57' N Lon.: 157 28' W A: Kermadec . Lat. 29 16' S Lon.: 77 55' WRespuestas:Problema 5.1 5.2 5.3 Dist. Total = 2052.4 1694.7 2210.7Rbo. Inic. = 231º 34.8’ 084º 45.3’ 210º 33.0’Dist. Al Ecuad. = 2000.1 392.2 135.8Lon. En el Ecuad. =133 57.9’ E 179 05.5’ W 156 19.0’ WRbo. En el Echad. = 226.5 084.7 210.5Rbo. Lleg. = 226º 29.3’ 085º 05.6’ 215º 36.9’

6.- Calcular la distancia al Vértice 1, rumbo de salida, longitud del Vértice 1, distancia al vértice 2, rumbo de llegada, longitud del Vértice 2, y distancia total en las siguientes navegaciones:EJ.: 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5De : Yokohama El Cabo Ushant Gough is. T. KingLat: 35 26' N 34 21' S 48 25' N 40 19' S 33 50' SLon: 139 39' E 018 29' E 005 15' W 009 44' W 172 02' EA : Sn. Fco. Perth N. York Grim Cape C. HornosLat: 37 48' N 32 05' S 40 42' N 40 40' S 56 40' SLon: 122 25' W 115 45' E 073 59' W 144 42' E 068 30' WL. Máx: 42 N 40 S 49 N 52 S 59 SRespuestas:Dist. V.1.: 1797.2 1717.2 459.0 2088.5

2969.5Rbo. Sal.: 065º 47.6’ 121º 53.8’ 278º 42.4’ 126º 09.2’ 141º 40.9’Lon. V1: 177 27' E 065 22' E 016 49.3’ W 038 44' E 121 43' WDist. V.2 : 1419.3 2056.6 1813.6 2052.7 774.8

24

R.Lleg.: 109º 51.8’ 064º 42.5’ 239º 55.4’ 054º 15.6’ 069º 35.9’Lon. V2: 152 56' W 074 05.4’ E 032 22.5' W 096 52' E 092 30' WDist. Tot. 4337.4 4699.5 2884.9 6288.2 4647.2

7.1.- De Evangelistas : Lat. 52º 24’ S, Lon.: 075º 15’ WA San Francisco : Lat. 37º 48’ N, Lon.: 122º 35’ W

Calcular:7.2.- El rumbo de salidaRespuestas:R. Sal. = 323º 57.0’ 7.3.- La latitud por la que pasa el track en longitudes múltiplos de 3, y la distancia de ese punto, al lugar de llegada.Respuestas::G.C. = 78 W = 81 W = 84 W = 87 W . d.Lon.A.C. = 2 45.0' W = 5 45.0' W = 8 45.0' W = 11 45.0' WL.C. = 49 56.1' S = 46 50.4' S = 43 15.3' S = 39 06.2' SDist.C.B. =5767.96 =5547.18 =5297.33 =5013.81G.C. = 90 W = 93 W = 96 W = 99 W . d.Lon.A.C. = 14 45.0' W = 17 45.0' W = 20 45.0' W = 23 45.0' WL.C. = 34 18.7' S = 28 49.3' S = 22 36.8' S = 15 43.9' SDist.C.B. =4692.16 =4328.86 =3922.65 =3476.16G.C. =102 W =105 W =108 W =111 W . d.Lon.A.C. = 26 45.0' W = 29 45.0' W = 32 45.0' W = 35 45.0' WL.C. = 8 18.5' S = 0 34.5' S = 7 11.0' N = 14 40.6' NDist.C.B. =2997.37 =2499.84 =2000.96 =1518.43G.C. =114 W =117 W =120 W . d.Lon.A.C. = 38 45.0' W = 41 45.0' W = 44 45.0' WL.C. = 21 38.4' N = 27 57.1' N = 33 32.8' NDist.C.B. = 1066.54 = 654.12 = 284.517.4.- Diferencia de longitud del lugar de salida al vértice más cercano (d.Lon.A.V1.)Respuesta: d.Lon.A V = 60 01.7' E7.5.- Longitud del vértice más cercano (G.V1)Respuesta: G.V1. = 15 13.3' W 7.6.- Longitud al cruzar el Ecuador (G.Q.)Respuesta: G.Q. = Lon.Ver. + - 90 = 105 13.3'W7.7.- Distancia al Ecuador desde el lugar de salida (D.A.Q.)Respuesta: D.A.Q. = 3485.5 M.N.

8.- De: Cape East Lat. 37 40' S, Lon.: 178 36' E A : Valparaíso. Lat.: 33 02' S, Lon.: 071 39' WCalcular:8.1.- La distancia más cortaRespuesta; Dist.A.B. = 5025.0 M.N.8.2.- El Rumbo de salidaRespuesta; R. Sal. = 127º 27.7’8.3.- La distancia al Vértice Respuesta; Dist..A.V. = 2294.10 M.N.8.4.- La latitud del VérticeRespuesta; L.V. = 51 04.4' S8.5.- La longitud del VérticeRespuesta; d.Lon.A V = 051 25.8' E G.V. = 129 58.2' W

9.- Considerando el mismo lugar de salida y llegada del problema anterior, se desea no sobrepasar el paralelo 45 S.Calcular:9.1.- Distancia desde el lugar de salida al paralelo de latitud máxima (45 S).

25

Respuesta; Dist.A.V1. = 1812.7 M.N.9.2.- Rumbo de salidaRespuesta; R. Sal. = 116º 42.7’9.3.- Diferencia de longitud entre el lugar de salida y el vértice 1 (d.Lon.A.V1.)Respuesta; d.Lon.A.V1 = 39 28.2' E9.4.- Longitud del vértice 1 (G.V1.)Respuesta; G.V1. = 141 55.8' W9.5.- La latitud de caída en meridianos múltiplos de 5, y la distancia, de esos puntos, al lugar de llegada en el paralelo de latitud máxima.Respuestas:G.C. =180 =175 W =170 W =165 W . d.Lon.A.C. = 1 24.0' E = 6 24.0' E = 11 24.0' E = 16 24.0' EL.C. = 38 12.7' S = 39 57.8' S = 41 25.4' S = 42 36.9' SDist.XB. = 4996.7 =4741.3 =4497.5’ = 4263.5 G.C. =160 W =155 W =150 W =145 Wd.Lon.A.C. = 21 24.0' E = 26 24.0' E = 31 24.0' E = 36 24.0' EL.C. = 43 33.1' S = 44 14.9' S = 44 42.9' S = 44 57.5' SDist.XB = 4037.4 = 3817.2 = 3601.4 =3388.29.6.- La distancia del lugar de salida del paralelo 45s al punto de llegada (Dist.V2.B.)Respuesta; Dist.V2.B. = 2373.77 M.N.9.7.- El rumbo de llegada (R.L.)Respuesta; R.L. = 57.505921979.8.- Diferencia de longitud entre el punto de llegada y el punto de salida del paralelo de latitud máxima (d.Lon.B.V2.)Respuesta; d.Lon.B.V2. = 49 26.4' W9.9.- La longitud de salida del paralelo de latitud máxima (G.V2.)Respuesta; G.V2. = 121 05.4' W9.10.- La latitud de caída (l.c.), y distancia al punto de llegada (d.c.b.) desde puntos en el track cuyas longitudes son múltiplos de 5Respuestas;G.C. =120 W =115 W =110 W =105 W . d.Lon.B.C. = 48 21.0' W = 43 21.0' W = 38 21.0' W = 33 21.0' WL.C. = 44 59.7' S = 44 50.3' S = 44 27.6' S = 43 51.3' SDist.XB. =2327.50 =2114.88 =1900.29 =1682.06G.C. =100 W =095 W =090 W =085 W . d.Lon.B.C. = 28 21.0' W = 23 21.0' W = 18 21.0' W = 13 21.0' WL.C. = 43 00.9' S = 41 55.6' W = 40 34.5' S = 38 56.5' SDist.XB. =1458.50 =1227.82 = 998.18 = 737.63G.C. =080 W =075 W . d.Lon.B.C. = 08 21.0' W = 05 21.0' WL.C. = 37 00.3' S = 34 44.5' SDist.XB. = 474.18 = 195.819.11.- La distancia a lo largo del paralelo 45 SRespuesta; Apart. = 60 d.Lon.V1.V2 Cos L.V1. = 884.14 M.N.9.12.- La distancia total (Dist.Tot.)Respuesta; Dist..Tot.. = Dist.A.V1. + 60 d.Lon.V1.V2. + V2.B Dist..A.V1. = 1812.66 Apart. = 884.14 Dist..V2.B. =+ 2373.77 Dist.Tot. = 5070.57 M.N.

26

ANEXO I

SÍNTESIS DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOSEn navegación, se consideran sólo aquellos triángulos esféricos cuyos lados y ángulos

son menores de 180º. Para estos triángulos:a) La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercero.b) La suma de los tres lados es menor de 360ºc) Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales, y recíprocamente.d) Si dos lados son desiguales, los ángulos opuestos son desiguales y el lado mayor se opone al ángulo mayor.e) La suma de los tres ángulos es mayor de 180º y menor de 540º.

1.- LEY DE LOS SENOS

27

Fig.1.-

CD = CE Sen A = OC Sen b Sen A

CD = CF Sen B = OC Sen a Sen B

Sen b Sen A = Sen a Sen B

Sen b / Sen B = Sen a / Sen A = .... = Sen c / Sen C

2.- LEY DE LOS COSENOS

Fig.2.-

28

DE² = AD² + AE² - 2 AD AE Cos A

DE² = OD² + OE² - 2 OD OE Cos a

AD² + AE² - 2 AD AE Cos A = OD² + OE² - 2 OD OE Cos a

2 OD OE Cos a = ( OD² - AD²) + ( OE² - AE²) + 2 AD AE Cos A

2 OD OE Cos a = OA² + OA² + 2 AD AE Cos A

Cos a = (OA/OD) ( OA/OE) + (AD/OD) (AE/ OE) Cos A

Cos a = Cos c Cos b + Sen c Sen b Cos a

Cos b = Cos a Cos c + Sen a Sen c Cos B

Cos c = Cos a Cos b + Sen a Sen b Cos C

3.- LOS CUATRO ELEMENTOS CONSECUTIVOS

Cos b = Cos a Cos c + Sen a Sen c Cos B

Cos c = Cos a Cos b + Sen a Sen b Cos C

Cos c = Cos a (Cos a Cos c + Sen a Sen c Cos B) + Sen a Sen b Cos C

Cos c = Cos c ( 1 - Sen² a) + Cos a Sen a Sen c Cos B + Sen a Sen b Cos C

Cos c Sen a = Cos a Sen c Cos B + Sen b Cos C

(Cos c / Sen c) Sen a = Cos a Cos B + ( Sen b / Sen c) Cos C

Sen b / Sen c = Sen B / Sen C LEY DE LOS SENOS

Sen a / Tan c = Cos a Cos B + Sen B / Tan C

POR ANALOGÍA:

Sen A / Tan C = - Cos A Cos b + Sen b / Tan c

HACIENDO :

C = ÁNGULO EXTERIOR = A.E.

a = LADO INTERIOR = L.I.

B = ÁNGULO INTERIOR = A.I.

c = LADO EXTERIOR = L.E.

Fig.3.-

Sen L.I. / Tan L.E. = Cos L.I. Cos A.I. + Sen A.I. / Tan A.E.

4.- ANALOGÍAS DE NAPIER Son reglas que permiten resolver triángulos esféricos rectángulos o rectiláteros en

forma práctica, empleando siempre dos elementos conocidos y una incógnita.

29

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOSPara resolver los triángulos esféricos rectángulos, se deja afuera el ángulo recto. Los

otros elementos se ordenan en una figura de cinco espacios. En los dos espacios superiores, se introducen los elementos adyacentes al ángulo recto en el sentido que giran los punteros del reloj. Los elementos restantes, se ordenan siguiendo también el sentido reloj en los tres casilleros inferiores, pero teniendo presente que a estos tres últimos, se les debe anteponer: 90º - (a cada uno de ellos).

Luego, se plantean las ecuaciones considerando siempre dos elementos conocidos y uno desconocido. Habiendo tres elementos, necesariamente uno de ellos queda al medio de los otros dos.

Ese elemento del medio es igual:Al producto de las tangentes de los elementos adyacentes o,Al producto del coseno de los elementos opuestos.

Fig.4.-

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTILÁTEROSSi el triángulo es rectilátero, se procede igual que en el caso anterior, pero el ángulo

opuesto al lado de 90º (casillero inferior), se le agrega - 90º. De esa manera, este último elemento, queda delante de - 90º.

Fig.5.-

30

En cualquier caso (triángulo rectángulo o rectilátero), se cumple que; Ese elemento del medio es igual:Al producto de las tangentes de los elementos adyacentes o,Al producto del coseno de los elementos opuestos.

Al usar las analogías de Napier, no es necesario respetar los signos de las latitudes, ya que por lo general, se resuelven problemas relacionados con un solo hemisferio y por lo tanto no hay posibilidades de confusión.

Ejemplo:Usando “a” como elemento del medio, en el triángulo rectángulo de la figura, se

cumple:

Sen a = Tan b · Tan (90º - B) = Cos (90º - A) · Cos (90º - c)

Usando “A” como elemento del medio, en el triángulo rectilátero de la figura, se cumple:

Sen A = Tan B · Tan (90º - b) = Cos (90º - a) · Cos (C – 90º)

5.- AGETON

EN FIGURA 6:

A = PUNTO DE SALIDA

B = PUNTO DE LLEGADA

B, K = CÍRCULO MÁX. QUE PASA POR B Y CORTA EL MERIDIANO DE SALIDA

CON UN ÁNGULO DE 90P.N. = POLO NORTE

d.Lon.A.B. = DIFERENCIA DE LONGITUD

Q = ECUADOR

Q,A = LA = LATITUD DE A

Q,B = LB = LATITUD DE B

B,P.N. = 90 - LB

RS = RUMBO DE SALIDA

Dist. = DISTANCIA MAS CORTA ENTRE A Y B

31

Fig.6.-

- EN TRIANGULO; B, P.N., K:

Sen (90 – d.Lon.A.B.) = Tan (90 - K) Tan LB

Tan K = Tan LB / Cos d.Lon.A.B.

Sen LB = Cos p Cos (90 - K)

Cos p = Sen LB / Sen K

Sen (90 - K) = Tan p Tan (90 – d.Lon.A.B.)

Tan p = Cos K Tan d.Lon.A.B.

- EN TRIANGULO; A, B, K:

Sen (90 – Dist./60) = Cos p Cos (K - LA)

Cos (Dist./60) = Sen LB Cos (K - LA) / Sen K

Sen (K - LA) = Tan p Tan (90 - RS)

Tan RS = Tan p / Sen (K - LA)

Tan RS = Cos K Tan d.Lon.A.B. / Sen (K - LA)

6.- OTRAS FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL RUMBO DE SALIDA

32

Fig. 7.-

1.- El Coseno del Rumbo

En la misma figura anterior:

De la fórmula de los cuatro elementos consecutivos:Tan R = Sen d. [Lon] / ( Cos LA · Tan LB – Sen LA · Cos [d. Lon])

De la Ley de los Senos:Sen R = Cos LB · Sen [d. Lon] / Cos D/60

1 / Tan R = Cos R / Sen R = Cos LA · Sen LB / Cos LB – Sen LA · Cos [d. Lon] / Sen [d. Lon]

Simplificando:Cos R = (Cos LA · Sen LB – Sen LA · Cos LB · Cos [d. Lon]) / Cos LA

En el empleo de esta fórmula, sólo las latitudes llevan signo. Latitudes Norte, Positivas. Latitudes Sur, Negativas. Diferencia de longitud, siempre positiva.

E resultado obtenido siempre será positivo. Pero si la diferencia de longitud es al Este, el resultado, corresponde al Rumbo de Salida. Si la diferencia de longitud es al Weste, el resultado se debe restar de 360º para obtener la respuesta.

2.- La Tangente de la mitad del ángulo:

Tan ½ R = Sen R / (1 + Cos R) ( I )

De la Ley de los Senos:

Sen R = Cos LB · Sen d. Lon. / (Sen (D/60)

De la Ley del Coseno:

CosR = (Sen LB – Sen LA · Cos (D/60)) / (Cos LA · Sen (D/60))

Reemplazando en ( I ) y simplificando:

Tan 1/2 R = (Cos LA · Cos LB · Sen d. Lon.) / (Cos LA · Sen (D/60) + Sen LB – Sen LA · Cos (D/60))

Pero:

Cos LA · Sen (D/60) – Sen LA · Cos (D/60) = Sen (D/60 - LA)

Luego:

Tan ½ R = (Cos LA · Cos LB · Sen d. Lon) / (Sen (D/60 – LA) +Sen LB))

33

En el empleo de esta fórmula, todas las variables llevan signo. Latitudes Norte y diferencia de longitud Este, Positivas. Latitudes Sur y diferencias de longitudes Weste, Negativas.

Si el resultado obtenido es positivo, corresponde al Rumbo de Salida. Si el resultado es negativo, se le deben sumar 360º y el resultado, así obtenido, siempre mayor de 180º, corresponde al rumbo de Salida.

7.- FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LA DIFERENCIA DE LONGITUD ENTRE EL LUGAR DE SALIDA O LLEGADA Y EL VÉRTICE.

Fig.- 8

En el triángulo: P.N., A, V.Sen La = Tan (90º - RA) Tan (90º - d. Lon. AV)Tan d. Lon. AV = 1 /(Sen LA Tan RA)Pero, de acuerdo a la fórmula de Cuatro Elementos consecutivos:1 / Tan RA = (Cos LA Tan LB – Sen LA Cos d. Lon. AB) / Sen d. Lon. ABLuego, reemplazando:Tan Tan d. Lon AV = (Tan LB /(Tan LA Sen d. Lon AB) – 1 / Tan d. Lon AB),Por analogía:Tan Tan d. Lon VB = (Tan LA /(Tan LB Sen d. Lon AB) – 1 / Tan d. Lon AB),

34