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UNIVERSIDAD MARÍTIMA DE CHILE ESCUELA DE MARINA MERCANTE FACULTAD DE NAVEGACIÓN

NAVEGACIÓN 3

LA NAVEGACIÓN COSTA AFUERA

CAPITULO 01 ; LA NAVEGACIÓN LOXODRÓMICA

CAPITULO 2.- LA NAVEGACIÓN ORTODRÓMICA

CAPITULO 3.- INTRODUCCIÓN A LA COSMOGRAFÍA

CAPITULO 4.- LA ESFERA CELESTE

CAPITULO 5.- LAS HORAS SOLARES

CAPITULO 6.- LA ESFÉRA CELESTE

CAPITULO 7.- CORRECCIÓN DE ALTURAS OBSERVADAS

CAPITULO 8.- LA LATITUD AL PASO DE UN ASTRO POR EL MERIDIANO LOCAL

CAPITULO 9.- EL TRIÁNGULO DE POSICIÓN

CAPITULO 10.- LÍNEAS DE POSICIÓN ASTRONÓMICAS

CAPITULO 11.- LÍNEAS DE POSICIÓN TRANSPORTADAS

CAPITULO 12.- FENÓMENOS DE LUZ Y OSCURIDAD

CAPITULO 13.- PLANIFICACIÓN E IDENTIFICACIÓN

EXTRACTO DEL ALMANÁQUE NÁUTICO

Autor: SERGIO YUSEFF SOTOMAYOR

PROFESOR DE NAVEGACIÓN

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CAPITULO 01

La navegación loxodrómica Importancia de la carta Mercator

Propiedades de las cartas Mercator

Relación gráfica entre paralelos y meridianos

Distancia entre paralelos separados un minuto en la carta

Estiramiento de los meridianos en la carta

Unidad de longitud (u. De g.)

Las partes meridionales o latitud aumentada

La diferencia de partes meridionales

Latitud intermedia (L.I.)

Uso de las partes meridionales

Cuestionario del Capitulo V

Problemas del Capitulo V

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CAPITULO 01

LA NAVEGACIÓN LOXODRÓMICA IMPORTANCIA DE LA CARTA MERCATOR

La Carta Mercator le permite al navegante, resolver gráficamente los problemas de navegación a Rumbo fijo. Para ello, sobre una Carta Mercator, se une el lugar de salida con el de llegada con una línea recta y luego; midiendo el ángulo con que esa línea, corta a los meridianos, se obtiene el Rumbo que se deberá hacer efectivo, durante todo el viaje, cualquiera sea la distancia a recorrer. La distancia aproximada se obtiene, midiendo la separación entre el lugar de salida y el de llegada, en la Escala de Latitud, lo más cerca posible de la Latitud media.

Por otra parte, el conocimiento de las propiedades de la Carta Mercator y de la relación entre Paralelos y Meridianos, permite construir graticulados donde trazar Líneas de Posición Astronómicas y resolver analíticamente problemas de navegación a Rumbo Fijo o Loxodrómicos, "cualquiera" sea la distancia a navegar. PROPIEDADES DE LAS CARTAS MERCATOR

Las Cartas Mercator se construyen de manera que: - Los rumbos Fijos aparecen como líneas rectas y; - Tal como sucede en la Tierra, mientras no se cambie el Rumbo, el ángulo entre el Meridiano y la derrota o Track, se mantiene inalterable.

Para que se cumpla con esta última condición, es esencial que: - El Ecuador aparezca como línea recta - Los Paralelos aparezcan como líneas rectas paralelas al Ecuador - Los Meridianos aparezcan como líneas rectas, paralelas entre sí y perpendiculares al Ecuador.

En áreas de dimensiones limitadas, la Carta Mercator es semejante a un plano de la superficie de la Tierra que representa y las formas en la Carta, son iguales a las formas de la Tierra. Sin embargo, esto no se cumple en áreas de dimensiones apreciables.

Por ejemplo; independiente de la latitud en que se encuentre, una isla de superficie moderada, como por ejemplo; Chiloé o Navarino, en la Carta Mercator figuran semejantes a la realidad. Pero, una Isla de enormes dimensiones como Groenlandia, que se encuentra en latitud 70° N, aparece tan grande como África que se encuentra en el Ecuador. Sin embargo, África es casi tres veces más grande que Groenlandia.

En materia de direcciones, tal como sucede en la Tierra, la línea Norte Sur, siempre figura en la Carta a 90 grados respecto a la línea Este Weste. Pero a excepción de los Meridianos y el Ecuador, cualquier otro círculo máximo entre dos lugares en la superficie de la Tierra, aparece en la Carta Mercator, como una línea curvada hacia el Polo más cercano. RELACIÓN GRÁFICA ENTRE PARALELOS Y MERIDIANOS

La línea horizontal de la figura 1.1, de la izquierda (A B), representa la distancia entre paralelos en la latitud considerada (Escala de distancias) y la distancia entre meridianos en el Ecuador. Una línea divergente un ángulo igual a la Latitud del lugar (A C), representa la distancia entre meridianos en la latitud considerada.

Manteniendo el ángulo recto en la posición mostrada en la figura de la izquierda; cuando la Latitud es cero grados (B C tiende a cero), la distancia entre Paralelos es igual a la distancia entre Meridianos. Pero a medida que aumenta la Latitud, la distancia entre Paralelos (A B), permanece constante, pero la distancia entre Meridianos (A C) disminuye hasta llegar a cero cuando la Latitud es 90 grados. Lo anterior es exactamente lo que sucede en la tierra.

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La línea horizontal de la figura 1.1 (A C), de la derecha, representa la distancia entre meridianos en la latitud considerada. Una línea divergente un ángulo igual a la Latitud del lugar (A B), representa la distancia entre paralelos en la latitud considerada (Escala de distancias), y la distancia entre meridianos en el Ecuador.

Manteniendo el ángulo recto en la posición mostrada en la figura; cuando la Latitud es cero grados, la distancia entre Paralelos (A B), es igual a la distancia entre meridianos (A C). Pero a medida que aumenta la Latitud, la distancia entre Meridianos (A C), permanece inalterable, pero la distancia entre Paralelos (A B), aumenta hasta el infinito, cuando la Latitud es de 90 grados. Lo anterior es exactamente lo que sucede en la carta.

Sin embargo, en ambos casos se cumplen las siguientes propiedades: 1.- La Escala de Longitudes está representada por el cateto adyacente a la Latitud. 2.- La Escala de Latitudes y Distancias está representada por la Hipotenusa. 3.- La distancia entre Meridianos, medida a lo largo de un Paralelo de Latitud, es igual a la distancia entre esos mismos Meridianos en el Ecuador, multiplicado por el Coseno de la Latitud.

Nótese que en un triángulo rectángulo cualquiera, la hipotenusa, representa siempre la Escala de Latitud y distancia. El cateto adyacente a un ángulo igual a la Latitud, representa la Escala de Longitud en esa Latitud.

Fig. 1.1

DISTANCIA ENTRE PARALELOS SEPARADOS UN MINUTO EN LA CARTA

Para que una Línea de Rumbo en la Carta, sea paralela a la misma línea de Rumbo en la tierra, cualquiera sea la distancia, la tangente del Rumbo en la Carta, tiene que ser igual a la Tangente del Rumbo en la tierra.

En el triángulo rectángulo formado en la Tierra (figura 1.2 izquierda), la Tangente del Rumbo, entre dos paralelos de latitud separados una Milla Náutica, es igual; al Apartamiento en Millas Náuticas, dividido por la distancia entre paralelos separados un minuto. O sea, una Milla Náuticas.

En el triángulo rectángulo formado en la Carta (figura 1.2 derecha), entre dos paralelos de latitud separados una Milla Náutica, la Tangente del Rumbo, es igual a; la diferencia de Longitud (Unidades de Longitud), dividida por la distancia entre dos paralelos separados un minuto de diferencia de Latitud. Digamos "x" (Unidades de Longitud). O sea:

EN LA TIERRA EN LA CARTA

Apartamiento d.Lon Tan R = ------------------- = ----------------

1 x

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Fig. 1.2

Pero como el Apartamiento es; d. Lon ⋅ Cos L:

d. Lon. 1

x = --------------------- = ----------------- Unidades de Longitud d. Lon ⋅ Cos L Cos L

De esta forma, queda demostrado que si en la Carta, la distancia entre paralelos separados un minuto de diferencia de Latitud, es igual a: 1 / Cos L., Unidades de Longitud, se produce una semejanza en las direcciones con respecto a la Tierra. Lo anterior es absolutamente cierto, sólo si se considera a la Tierra como una esfera perfecta. En cuyo caso, la distancia entre paralelos permanece constante, cosa que; para efectos prácticos, es generalmente aceptable. ESTIRAMIENTO DE LOS MERIDIANOS EN LA CARTA

Como los Meridianos en la Carta aparecen paralelos entre sí, y en la Tierra van convergiendo hacia los Polos, la distancia entre Meridianos de la Carta va representando menos distancia de la Tierra, a medida que aumenta la Latitud.

Para que la Escala de la Carta, en un punto cualquiera, sea la misma en todas las direcciones y así mantener la semejanza con la Tierra; cuando el graticulado cubre distancias apreciables, resulta imperativo ir estirando los Meridianos a medida que aumenta la Latitud. La figura 1.3, de la izquierda representa la distancia entre paralelos y meridianos en la Tierra. La distancia entre dos paralelos separados 1 minuto de diferencia de latitud, es constante en cualquier latitud e igual a; una milla. La distancia entre meridianos disminuye, de una milla por cada un minuto de diferencia de longitud en el Ecuador, a cero en los Polos. En una latitud cualquiera, la distancia entre meridianos es igual; a la distancia que existe entre ellos en el Ecuador (en este caso una milla), multiplicado por el coseno de esa latitud. Por ejemplo; en la latitud 60º S, la distancia entre meridianos, separados un minuto de diferencia de longitud, es igual; a la distancia que existe entre ellos en el Ecuador (una milla), multiplicado por el coseno de 60º (=0.5). O sea, 1/2 millas.

La figura 1.3, de la derecha representa la distancia entre paralelos y meridianos en la Carta Mercator. Los meridianos aparecen, como líneas rectas, paralelos entre si, perpendiculares al Ecuador, e igualmente espaciados. Por lo tanto, la separación entre dos meridianos apartados un minuto de diferencia de longitud es constante en cualquier latitud (en este caso; uno). Para que en una latitud cualquiera de la carta, la separación entre meridianos, separados un minuto de diferencia de longitud, sea la misma fracción de milla, que en la Tierra, es necesario ir aumentando la separación entre paralelos a medida que aumenta la latitud. Para ello, es necesario tener en cuenta que en la Carta; “la distancia entre paralelos, es igual;

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a la distancia entre meridianos (constante), dividido por el Coseno de la Latitud”. Por ejemplo; en latitud 60º S, la separación entre dos paralelos separados un minuto de diferencia de latitud; es igual, a la separación que existe entre los meridianos (constante), dividido por el Coseno de 60º. O sea, 1 / Cos 60º = 2

Fig.- 1.3.-

UNIDAD DE LONGITUD (U. de G.)

Además de aparecer como líneas rectas, perpendiculares al Ecuador, los Meridianos aparecen en las Cartas Mercator, igualmente separados entre ellos. A la dimensión, en la Carta, entre dos Meridianos separados un minuto, se le llama” Unidad de Longitud”. Esta medida es importante, porque es la única constante en la Carta y porque sirve para medir el largo de los Meridianos, entre el Ecuador y una Latitud cualquiera. LAS PARTES MERIDIONALES O LATITUD AUMENTADA

Al largo de un Meridiano en la Carta (en Unidades de Longitud), entre el Ecuador y una Latitud cualquiera Norte o Sur, se le llama “Partes Meridionales de esa Latitud”, y su valor es igual a la suma de los largos dibujados entre; el Ecuador y el Paralelo 0° 1', más el largo entre el Paralelo 0° 1' y 0° 2', más el largo entre el Paralelo 0° 2' y 0° 3', etc., hasta llegar a la Latitud deseada.

El largo del meridiano dibujado, entre el Ecuador y el Paralelo 0° 1', en U. de G. es: 1 / Cos 0° 1'. Entre el Paralelo 0° 1' y 0° 2', es: 1 / Cos 0° 2'. Entre el Paralelo 0° 2' y 0° 3' es: 1 / Cos 0° 3', etc.

Considerando la Tierra como una esfera, y sumando: 1 / Cos L., entre 0 y la latitud L., se tiene:

Partes Meridionales = (1 / Sen 1')⋅ ln Tan ( 45 + L/2) U. de G. O bien:

Partes Meridionales = 7915.7045⋅ log Tan( 45 + L/2) U. de G. ln ; es el logaritmo natural log; es el logaritmo base 10. El valor de las Partes Meridionales se puede obtener también mediante Tablas. Pero, los valores tabulados generalmente corresponden al esferoide internacional de 1924. La figura 1.4., muestra un fragmento de la Tabla 6 de Bowditch, la cual proporciona el valor de las Partes Meridionales para cualquier latitud en grados y minutos.

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El uso de Tablas facilita la transformación de Partes Meridionales en Latitud. Las Partes Meridionales correspondientes al esferoide internacional de 1924, se pueden obtener también mediante la siguiente fórmula: Partes Meridionales = 7915.7045 log Tan (45 + L/2) – 23.1108 Sen L - 0.052 Sen³ L

El estiramiento que experimentan los Meridianos en la Carta, es parecido (pero no igual), al que experimentarían al proyectar la superficie de la esfera Terrestre, desde el centro, sobre un cilindro tangente al Ecuador.

Esta similitud conduce frecuentemente al error de creer que el graticulado de una Carta Mercator responde a una proyección cilíndrica. En esta última proyección, el largo del Meridiano entre el Ecuador y una Latitud cualquiera, es igual al Radio de la Tierra multiplicado por la Tangente de la Latitud.

Estrictamente hablando la Carta Mercator no es una proyección, sino una representación matemática. Sin embargo, los cartógrafos, suelen referirse a ella como una Proyección Cónica, de constante 0 (La constante del Cono, es el Seno de la latitud de origen. En este caso el Ecuador).

Fig.- 1.4.-

LA DIFERENCIA DE PARTES MERIDIONALES

Al largo (o separación), del Meridiano en la Carta, entre dos Paralelos, (que bien pueden ser el de un lugar de salida y otro de llegada), es igual; a la Diferencia entre sus respectivas Partes Meridionales, multiplicadas por el valor de la Unidad de Longitud (o separación entre meridianos cuya diferencia de longitud es un minuto).

Como el triángulo formado en la Tierra (Fig.- 1.2), que tiene como catetos la Diferencia de

Latitud y Apartamiento, es semejante al triángulo formado en la Carta que tiene como catetos la Diferencia de Partes Meridionales y la Diferencia de Longitud respectivamente, se puede deducir que:

Ap d.Lon. ------- = -------- d.Lat. d.P.M.

Por lo tanto: Ap = d.Lon ⋅ d.Lat / d.P.M.

El tratamiento que se le da a las partes meridionales para calcular su diferencia, es el mismo que se le da a las Latitudes para calcular sus diferencias. LATITUD INTERMEDIA (L.I.)

Al Paralelo sobre el cual se hace efectiva la distancia entre Meridianos, cualquiera que sea la distancia entre ellos, se le llama Latitud Intermedia, (para diferenciarla de la Latitud Media).

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Pero como el Apartamiento es la distancia entre dos Meridianos, medida a lo largo de ese Paralelo de Latitud Intermedia, e igual a:

Ap. = d.Lon.⋅ Cos L.I. y Ap. = d. Lon ⋅ (d.Lat / d.P.M.) quiere decir que:

Cos L.I = d. Lat / d.P.M. USO DE LAS PARTES MERIDIONALES Las Partes Meridionales (P.M.), o su diferencia (d.P.M.), se usan para calcular; 1º.- Distancia entre paralelos cuando se desea dibujar una Graticulado que abarca una distancia apreciable. 2º.- La Distancia a navegar y el Rumbo Fijo que se debe mantener para ir de un lugar a otro. 3º.- La Longitud por la que pasa el Track en una Latitud común a dos Cartas. O bien, la Latitud por la que pasa el Track en una Longitud común a dos Cartas, para trazar el Track durante la planificación de una navegación. 4º.- La distancia navegada o la distancia que falta al punto de llegada, para marcarla sobre el Track. 5º.- La posición estimada, después de haber navegado una distancia específica. Ejemplos: 1º) Se dispone de una cartulina de 60 Cm. de ancho para dibujar el graticulado de un área oceánica entre los Paralelos 31° S a 35° S y Meridianos 071° W a 075° W. Respuesta:

En la Escala de Longitudes: a) 240 U. de G. [(75° - 71°)⋅60] miden = 600 mm. (Ancho Carta) b) 1 U. de G. Mide = 600/240 = 2.5 mm. c) 60 U. de G., miden = 150 mm ó 15 cm (A marcar en el papel)

En la Escala de latitudes: La diferencia de Partes Meridionales entre dos grados de Latitud adyacentes (d.P.M.),

multiplicada por la magnitud de la Unidad de Longitud, es la distancia en milímetros entre ellos. La distancia entre paralelos extremos o alto de la Carta, es igual; a la suma de las

distancias parciales entre paralelos adyacentes. LAT P.M. d.P.M. d.P.M.⋅ 2.5 31° S 1946.2 -1957.84

70.0 -70.36 175.0 - 175.900 mm 32° S 2016.2 -2028.20

70.8 -71.14 177.0 - 177.850 mm 33° S 2087.0 -2099.34

71.6 -71.95 179.0 - 179.875 mm 34° S 2158.6 -2171.2

72.5 -72.80 181.3 - 182.000 mm 35° S 2231.1 -2244.09 Alto de la Carta.........= 712.3 - 715.625 mm Los valores en cursiva corresponden a los valores usando la Tabla 6 (Fig.- 1.4). Los otros corresponden a una esfera perfecta. Para resolver todos los problemas siguientes, vale decir, relacionados con la navegación entre dos lugares, se deben dibujar siempre a mano alzada dos triángulos semejantes. Uno representa lo que sucede en la Tierra y el otro lo que sucede sobre la Carta. Ambos triángulos deben tener la diferencia de latitud y la diferencia de Partes Meridionales respectivamente, formada sobre el meridiano de salida. De ese modo el ángulo R, adyacente a este último cateto, será del Norte o del Sur hacia el Este o hacia el Weste. 2º) Calcular la distancia y el rumbo fijo para ir de: Robinson Crusoe (A); Lat.:33° 37' S, Lon.:078° 50' W a Honolulu (B); Lat.21° 05' N, Lon 157° 50' W. Respuesta:

En el triángulo rectángulo formado en la Carta, todas las dimensiones lineales son Unidades de Longitud.

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Fig.- 1.5

Las Partes Meridionales de llegada son; 7915.7045 log Tan ( 45 + 21° 05'/2) = 1294.55 N Las Partes Meridionales de salida son; 7915.7045 log Tan ( 45 + -33° 37'/2) = 2143.80 S La diferencia de Partes Meridionales es; d. P.M. = 1294.55 - -2143.80 = 3438.35 N La diferencia de longitud es; d. Lon.= (-157° 50' - -78° 50') ⋅ 60 = 4740 W U. de G.

En el triángulo rectángulo formado en Tierra, todas las dimensiones lineales representan millas náuticas.

Fig.- 1.6

La diferencia de latitud es; d. Lat.= (21° 05' - -33° 37') ⋅ 60 = 3282' N El Apartamiento se obtiene por semejanza de triángulos; Ap. = d. Lon.⋅ d. Lat / d.P.M. = -4740 ⋅ 3282 / 3438.5 = 4524.46 M.N. al W La distancia se obtiene aplicando Pitágoras = (3282² + 4524.46²)½ = 5589.47 M.N. Conociendo los tres lados del triángulo rectángulo formado en la Tierra, el Rumbo es: Rumbo = 2 ⋅ Tan-¹(Ap. /(d. Lat.+ Dist. )) (+360) = 2 ⋅ Tan-¹(-4524.46 /(3282 + 5589.47)) (+360)

= 305.9567966° Como se puede apreciar, la única diferencia que existe entre este método y el usado en la

navegación de Estima, radica en el cálculo del Apartamiento. En este método, se obtuvo por semejanza de triángulos en vez de considerarlo igual a la diferencia de Longitud multiplicado por el Coseno de la Latitud media.

3º) En el mismo problema anterior, supongamos ahora que las Cartas de ploteo, para trabajar líneas de posición astronómicas y sobre las cuales se lleva la navegación de estima, tienen en común las latitudes o longitudes múltiplos de 5°. Se requiere conocer un punto en la parte inferior de la Carta y otro en la parte superior. O bien, uno en el extremo derecho y otro en el extremo izquierdo, a fin de unirlos con una línea recta y dejar trazado la derrota o Track. 3º a) Asumamos primero, que se desea saber cual es la longitud cuando la latitud es 20° S. Respuesta:

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En el triángulo rectángulo formado en la Tierra:

Fig.- 1.7

La diferencia de latitud navegada es; d. Lat.= ( -20 - -33° 37')⋅60 = 817.00' N El Apartamiento es; Ap. = d. Lat.⋅ Tan Rv = 1126.29’ W

En el triángulo rectángulo formado en la Carta:

Fig.- 1.8

Las Partes Meridionales de la latitud 20° S son; 7915.7045 log Tan ( 45 + -20/2) = 1225.14 S Las P. Meridionales de la latitud 33° 37’ S son; 7915.7045 log Tan ( 45 + -33° 37'/2) = 2143.80 S La diferencia de Partes Meridionales es; d. P.M. = -1225.14 - 2143.80 = 918.66 La d. Lon., se obtiene por proporción de triángulos d. Lon.= d. P.M.⋅ Ap. / d. Lat. = 1266.4' W La longitud es = -1266.4 / 60 + -78° 50' = 99° 56.4' W 3º b) Asumamos ahora que se desea saber cual es la latitud, cuando la longitud es 100° W. Respuesta:

En el triángulo rectángulo formado en la Carta:

Fig.- 1.9

La diferencia de longitud navegada es; d. Lon. = (-100 - -78° 50')⋅ 60 = 1270' W La diferencia de Partes Meridionales es; d. P.M. = d. Lon./ Tan Rv = 921.25 N Las P. Meridionales de la Lat. Estimada es; P.M. Lat. Est = d. P.M. + P.M.Lat. Sal. = 1225.55 S

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La latitud se obtiene despejando L. de la fórmula, o saliendo con latitud en la Tabla de Partes Meridionales) Lat. = 20° 00.4' S 4º) En el mismo problema anterior supongamos que se desea saber cual es la distancia al lugar de destino cuando el buque este pasando por la Latitud 10° S. Respuesta:

En el triángulo formado en Tierra:

Fig.- 3.10

La diferencia de latitud navegada, es igual; d. Lat. = ( -10° - -33° 37')⋅60 = 1417.0’ N La distancia navegada es; d. Lat./ Cos Rv = 2413.25 M.N. La distancia que falta es igual; Dist. por navegar = Dist. Navegada - Dist. Total Dist. por navegar = 2413.25 - 5589.47 = 3176.22 M.N. 5º) En el mismo problema anterior se desea ahora, obtener la Posición estimada después de haber navegado las primeras 1000 M.N. Respuesta:

En el triángulo rectángulo formado en Tierra:

Fig.- 3.11

La diferencia de latitud recorrida es; d. Lat.= Dist.⋅ Cos Rv = 1000⋅ Cos 307° 57.4' = 587.18' N La latitud de estimada es; Lat. Est. = -33° 37' + 587.18 / 60 = 23° 49.8’ S En el triángulo rectángulo formado en la Carta:

Fig.- 3.12

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La P. Meridionales de la Lat. 23° 49.8' S son; 7915.7045 log Tan( 45 + -23° 49.8'/2)= 1472.90 S La P. Meridionales de la Lat. de salida son; 7915.7045 log Tan( 45 + -33° 37'/2) = 2143.80 S La diferencia de P. Meridionales es; d. P.M. = -1472.90 - 2143.80 = 670.9 N La diferencia de longitud es; d. Lon.= d. P.M.⋅Tan Rv = 924.8' W La longitud estimada es; Lon. Est. = - 78° 50' - -924.8/60 = 94° 14.8' W

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CUESTIONARIO DEL CAPITULO 1 1.- Con ayuda de dos triángulos rectángulos semejantes, explique: a) La relación existente sobre una carta Mercator y sobre la tierra entre paralelos y meridianos. b) Los valores que se mantienen constantes sobre una carta y sobre la superficie de la tierra. c) Los valores variables sobre una carta y sobre la superficie de la tierra. d) La Unidad de Longitud. e) Las Partes Meridionales (Latitudes aumentadas). Reglas para calcular la diferencia de partes meridionales. 2.- Indique cuales son las unidades de medida que se usan sobre el graticulado de una Carta Mercator PROBLEMAS DEL CAPITULO 1 1.- Cual es la distancia entre los paralelos que se indican, en una carta dibujada gráficamente a escala de 1 milla náutica igual ¼ centímetro: 1.1.- Entre Paralelos: 10° S Y 11° S Respuesta: 15 Cm 1.2.- " " 19° S Y 20° S 15 Cm 1.3.- " " 65° N Y 66° N 15 Cm 2.- Cual es la distancia entre los meridianos que se indican, en una carta dibujada gráficamente a escala: 1 milla náutica igual ¼ centímetro, sobre el paralelo correspondiente. Entre Meridianos Paralelo 2.1.- 25° W Y 26° W 10° 30.0’ S Respuesta: 14.75 CM 2.2.- 83° W Y 82° W 19° 30.0’ S 14.14 Cm 2.3.- 16° E Y 17° E 65° 30.0’ N 6.22 Cm 3.- Cal es la distancia entre paralelos que se indican, en una carta dibujada gráficamente a escala 1 grado de longitud igual 10 cm. 3.1.- Entre Paralelos: 10° S Y 11° S Respuesta: 10.17 Cm 3.2.- " " 19° S Y 20° S 10.61 Cm 3.3.- " " 65° N Y 66° N 24.11 Cm 4.-Calcular la distancia y el rumbo fijo que se debe mantener para ir de un lugar al sur del Cabo Buena Esperanza Lat.,34° 40’ S. Lon.,18° 30’ E., a otro situado al sur del Cabo de Hornos Lat.,56° 40’ S. Lon., 68° 30’ W. Respuesta: Dist. = 3813.1, RV = 249.75 5:-Calcular la distancia y rumbo fijo que se debe mantener para ir de un lugar de salida a otro de llegada que se indica: 5.1) DE: 35° 26’ N 139° 39’ E Respuestas: Distancia Rumbo A: 37° 48’ N 122° 25’ W 4717.8 088.3 5.2) DE: 37° 40’ S 178° 36’ E A: 33° 02’ S 071° 39’ W 5375.2 087.0 5.3) DE: 51° 56’ N 010° 19’ W A: 47° 34’ N 052° 41’ W 1661.7 261.0

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5.4) DE: 38° 42’ N 009° 11’ W A: 40° 42’ N 073° 59’ W 2993.5 272.3 5.5) DE: 36° 07’ N 005° 21’ W A: 10° 39’ N 061° 31’ W 3418.4 243.4 5.6) DE: 23° 03’ S 043° 09’ W A: 29° 15’ S 016° 52’ E 3251.4 096.6 5.7) DE: 22° 14’ N 159° 28’ W A: 00° 36’ S 174° 24’ E 2053.1 228.1 5.8) DE: 00° 36’ S 174° 24’ E A: 01° 57’ N 157° 28’ W 1694.7 084.8 5.9) DE: 01° 57’ N 157° 28’ W A: 29° 16’ S 177° 55’ W 2211.4 212.1 6.- DE: Evangelistas Lat.; 52° 24’ S Lon.; 075° 15’ W A : Sn. Francisco Lat.; 37° 48’ N Lon.; 122° 35’ W 6.1.- Calcular el rumbo fijo y la distancia Respuesta: Dist.= 5959.9 Rv. = 335.23927 6.2.- En el problema anterior, calcular la longitud (λ.X.), por la que pasa el track en latitudes (Ф.X.), múltiplos de 5° Respuesta: ФX. = 50° S Dada d.P.M. = 229.88 N P.M.X. - P.M.A. d.Lon. = 106.00’ W d.P.M.⋅ Tan Rv λX. = 77° 01.0' W d.Lon./60 + λ.A. Ф.X. = 45° S = 40° S = 35° S = 30° S λ.X. = 80° 26.1’ W = 83° 33.9’ W = 86° 28.4’ W = 89° 12.6’ W Ф.X. = 25° S = 20° S = 15° S = 10° S λ.X. = 91° 48.7’ W = 94° 18.5’ W = 96° 43.6’ W = 99° 05.4’ W Ф.X. = 05° S = 00° = 05° N = 10° N λ.X. =101° 25.0’ W =103° 43.6’ W =106° 02.1’ W =108° 21.7’ W Ф.X. = 15° N = 20° N = 25° N = 30° N λ.X. =110° 43.5’ W =113° 08.6’ W =115° 38.5’ W =118° 14.6’ W Ф.X. = 35° N λ.X. =120° 58.7’ W 6.3.- En el problema anterior calcular la Latitud (Ф.X.), y Longitud (λ.X.), estimada después de

navegar una distancia dada (D.A.X.), desde evangelistas. Respuesta: D.A.X. = 500 M.N. (Dada) d.Lat. = 454.0’ N D.A.X.⋅ Cos Rv Ф.X. = 44° 50.0’ S d.Lat./60 + Ф .A. d.P.M. = 688.6 N P.M.X. - P.M.A. d.Lon. = 317.6’ W d.P.M. Tan Rv λ.X. = 80° 32.6’ W d.Lon/60 + λ.A. D.A.X. = 1000 M.N. = 1500 M.N. = 2000 M.N. = 2500 M.N. Ф.X. = 37° 15.9’ S = 29° 41.9’ S = 22° 07.9’ S = 14° 33.8’ S λ.X. = 085° 10.8’ W = 089° 22.2’ W = 093° 15.3’ W = 096° 56.1’ W

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D.A.X. = 3000 M.N. = 3500 M.N. = 4000 M.N. = 4500 M.N. Ф.X. = 06° 59.8’ S = 00° 34.2’ N = 08° 08.3’ N = 15° 42.3’ N λ.X. = 100° 29.4’ W = 103° 59.4’ W = 107° 29.5’ N = 111° 03.7’ W D.A.X. = 5000 M.N. = 5500 M.N. Ф.X. = 23° 16.3’ N = 30° 50.4’ N λ.X. = 114° 46.1’ W = 118° 41.5’ W 7.- De : I. Mocha Lat; 38° 20’ S, Lon: 073° 05’ W A : Pta. Angamos Lat; 23° 01’ S Lon; 070° 45’ W 7.1.- Calcular el rumbo fijo y la distancia Respuesta: Dist. = 926.8 M.N. Rv. = 007.427 7.2.- En el problema anterior, calcular la Longitud (λ.X.), por la que pasa el track en las latitudes comunes de las cartas (Ф.X.) dada. Respuesta: Ф.X. = 36° 30.0’ S Latitud Común d.P.M. = 138.51’ N P.M.X. - P.M.A. d.Lon. = 18.1' E d.P.M. ⋅ Tan Rv λ.X. = 072° 46.9’ W d.Lon / 60 + λ.A. Ф.X. = 33° S = 30° S = 27° S = 23° S λ.X = 072° 13.6’ W = 071° 46.1’ W = 071° 19.1’ W = 070° 44.9’ W 7.3.- En el mismo caso anterior, calcular las coordenadas del lugar en la ruta cuando falta una distancia determinada al punto de llegada (d.X.B.) Respuesta: D.X.B. = 900 M.N. AL Punto de Llegada 926.8 - D.X.B. = 26.8 D.A.X. d.Lat. = 26.7’ N D.A.X.⋅ Cos Rv Ф.X. = 37° 53.4’ S d.Lat./60 + Ф.A. d.P.M. = 33.7’ N P.M.X. - P.M.A. d.Lon. = 4.4’ W d.PM.⋅Tan Rv λ.X. =073° 00.6’ W d.Lon./60 + G.A. D.X.B. = 800 = 700 = 600 = 500 Ф.X. = 36° 14.3’ S = 34° 35.1’ S = 32° 56.0’ S = 31° 16.8’ S λ.X. = 072° 44.4’ W = 072° 28.5’ W = 072° 13.0’ W = 071° 57.7’ W D.X.B. = 400 = 300 = 200 = 100 Ф.X. = 29° 37.6’ S = 27° 58.5’ S = 26° 19.3’ S = 24° 40.2’ S λ.X. = 071° 42.7’ W = 071° 28.0’ W = 071° 13.5’ W = 070° 59.1’ W 8.- De : Arica Lat: 18° 20’ S Lon: 070° 25’ W A : Kermadec Lat: 29° 16’ S Lon: 177° 55’ W 8.1.- Calcular la distancia y el rumbo fijo Respuesta: DIST. = 5925.457 Rv = 263.643826 8.2.- En el problema anterior, calcular la Latitud (Ф.X.), por la que pasa el track en longitudes múltiplos de 10° (λ.X.). Respuesta: λ.X. = 80° W Común en Cartas Adyacentes

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d.Lon. = 575' W (λ.X. - λ.A.)⋅60 d.P.M. = 64.05 S d.Lon./ Tan Rv P.M.X. = 1183.32 S d.P.M. + P.M.A. Ф.X. = 19° 20.6' S P.M. / 7915.7045= log Tan(45 + Ф/2) λ.X. = 90° W = 100° W = 110° W = 120° W Ф.X. = 20° 23.5’ S = 21° 25.9’ S = 22° 27.9’ S = 23° 24.9’ S λ.X. = 130° W = 140° W = 150° W = 160° W Ф.X. = 24° 30.5’ S = 25° 31.1’ S = 26° 31.1’ S = 27° 30.9’ S λ.X. = 170° W Ф.X. = 28° 29.7’ S ( En longitudes intermedias, se puede considerar la latitud media). 8.3.- En el problema anterior, calcular las coordenadas del lugar en la ruta (Ф.X., λ.X.), cuando falte una distancia determinada al punto de llegada (D.X.B.). Respuesta: D.X.B. = 5500 M.N. Al Punto de Llegada D.A.B.- D.X.B. = 425.46 D.A.X. = Distancia Navegada. d.Lat. = 47.1' S D.A.X.⋅ Cos Rv Ф.X. = 19° 07.1’ S d.Lat./60 + Ф.A. d.P.M. = 49.73 S P.M.X. - P.M.A. d.Lon. = 446.5' W d.P.M.⋅ Tan Rv λ.X. = 77° 51.5’ W d.Lon./60 + λ.A. D.X.B. = 5000 = 4500 = 4000 = 3500 Ф.X. = 20° 02.5’ S = 20° 57.8’ S = 21° 53.2’ S = 22° 48.5’ S λ.X. = 086° 38.9’ W = 095° 29.5’ W = 104° 23.3’ W = 113° 20.6’ W D.X.B. = 3000 = 2500 = 2000 = 1500 Ф.X. = 23° 43.9’ S = 24° 39.2’ S = 25° 34.6’ S = 26° 29.9’ S λ.X. = 122° 21.5’ W = 131° 26.3’ W = 140° 35.1’ W = 149° 48.2’ W D.X.B. = 1000 = 500 Ф.X. = 27° 25.3’ S = 28° 20.6’ S λ.X. = 159° 05.7’ W = 168° 27.9’ W