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LÍNEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURASISOSTÁTICAS... Continuación
! Líneas de Influencia para Trabes! Líneas de Influencia para Reacciones! Líneas de Influencia para Cortantes! Líneas de Influencia para Momentos Flectores! Valores Máximos! Líneas de Influencia para Armaduras! Líneas de Influencia para Reacciones! Líneas de Influencia para la Carga Axial! Valores Máximos
A B C D EFGH
(b/L)P1 (a/L)P1 P2
P1
a b
P2
L
A B
P1
D
P2
A
B C D
FGH
Línea de Influencia para Trabes� Fuerzas aplicadas a la Trabe
A FGH
1
0.5 0.5
RGRH
RH
1
� Reacción
A
FGH
RG
1
0.5 0.5
RG
11
RH
A
FGH
La b b b
1
0.5 0.5
1
1
VC
VC
VCx
2b/L
-(a+b)/L
1
C
� Cortante
A
FGH
L
VCD
VCD
1
0.5 0.5
1
0.5 0.5
VCD x
-a/L
b/L
a b
A
C
FGH
L
a b
ab/L
1
0.5 0.5
MCx
1
1
MCMC
C
� Momento Flector
A
B C D E
FGH
L
MFx
1
0.5 0.5
1
0.5 0.5
MFMF
a b
ab/L
1.5 m 1.5 m
A
C D
HF
3 m 3 m 3 m 3 m
G
Ejemplo 1
Dibujar las líneas de influencia para:- Las Reacciones RG y RF- Cortante VCD- Los Momentos Flectores MC y MH
1
RG
x
RG
1.333
0.6670.333
1.5 m 1.5 m
A HF
3 m 3 m 3 m 3 m G
RF
x
RF
10.667
0.333
-0.333
1.5 m 1.5 m
A HF
3 m 3 m 3 m 3 m G
1.5 m 1.5 m
A HF
3 m 3 m 3 m 3 m G
VCD
x
VCD
VCD
1
0.5 0.5
4.5/9
-4.5/9
0.333
-0.333
0.333
C D
1.5 m 1.5 m
A HF
3 m 3 m 3 m 3 m G
MCMC
1
1
MC
x
(3)(6)/9 = 2
-2
1
C
MHMH
1
0.5 0.5
MH
x
(4.5)(4.5)/9 = 2.25
1.51.5
-1.5
1.5 m 1.5 m
A HF
3 m 3 m 3 m 3 m G
2 m
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
Ejemplo 2
Dibujar las líneas de influencia para la trabe:- Las reacciones en C y G- Cortante en E y H- Momento Flector en H
RC
RC
10.75 0.50 0.25
1.25
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
2 m
SOLUCIÓN
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
2 m
RG
RG
1
1
10.25 0.50
0.75
-0.25
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
2 m
VE
1
1
1
1
VE
VE
8/16 = 0.5
-8/16 = 0.5-0.25
0.250.25
8 m 8 m
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
2 m
6/16 = 0.375
-10/16 = 0.625
VH
1
1
VH
VH
1
0.5 0.5
-0.25
0.250.25
-0.50
10 m 6 m
AGB
6 @ 4 m = 24 m
C D E FH
2 m
MH
1
1
1
0.5 0.5
MHMH
(10)(6)/16 = 3.75
1.50 2.50
-1.50
3
10 m 6 m
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
Ejemplo 3
Dibujar las líneas de influencia para:- Reacciones RG y RH- Cortantes VC y VCD- Momentos Flectores MC, MD y MF
Y determine los valores máximos para:- Reacciones (RG)max y (RH)max- Cortante (VCD)max
Debido a:- Una carga muerta uniforme de 2 kN/m- Una carga viva uniforme de 5 kN/m- Una carga viva concentrada de 50 kN
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
RG
1
0.5 0.5
10/146/14
2/141/14
RG
11
RH
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
E
FGH
1
0.5 0.5
RGRH
RH
1 12/148/14
4/146/14
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
VC
VC
1
0.5 0.5
VCx
8/14
-6/14
1
1
1
-2/14
4/14
-1/14
-8/14
6/14
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
VF
VF
1
0.5 0.5
1
0.5 0.5
VCD x-1/14 -2/14
-6/14
4/14
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
(6)(8)/14 = 3.43
1
0.5 0.5
MCx
(4/8)(3.43)(2/6)(3.43)
1
1
MCMC
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
E
FGH
1
0.5 0.5
1
1
MD x
(10)(4)/14 = 2.86(6/10)(2.86)(2/10)(2.86)
MDMD
(8)(6)/14=3.428
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D
FGH
MFx
1
0.5 0.5
1
0.5 0.5
2.2852.5710.8570.429
MFMF
[0.5×4 (2/14)] + [(0.5)(2/14 + 1)(12) = 7.143RG
110/14
6/142/14
1/14
2 kN/m5 kN/m
50 kN
(RG)max = (2)(7.143) + (5)(7.143) + (50)(1)
= 100 kN
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D E
FGH
Reacción Máxima
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D E
FGH
(0.5)(16)(12/14) = 6.857RH
12/148/14
4/146/14
2 kN/m5 kN/m
50 kN
(RH)max = (2)(6.857) + (5)(6.857) + (50)(12/14)
= 90.86 kN
Reacción Máxima
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
2 m 2 m
A
B C D E
FGH
+ (0.5)(5.6)(4/14) = + 0.8
-[0.5(4)(2/14) + 0.5(2/14) + (6/14)(4) + 0.5(2.4)(6/14)] = -1.943
2.4 mVCD
-1/14 -2/14-6/14
4/14
2 kN/m
5 kN/m50 kN
(VCD)max = (2)(-1.943 + 0.8) (5)(-1.943) + (50)(-6/14)
= -33.43 kN
C D
Cortante Máximo
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
A B E C D
Tarea
Dibujar las líneas de influencia par:- Las reacciones de los apoyos A y D- La cortante y el momento flector en E- El momento flector en B y C .
RA
x
1
RE
x
1
(3/4)(2/4)
(1/4)
(2/4)(3/4)
(1/4)
AB C
E
GH
D
F
4 @ x m
h
Línea de Influencia para Armaduras
AB C
E
GH
D
F
4 @ x m
h
1 kN
FCB
RE
FGB
FGH
FBC x
(2x/h)(1/4)
+ ΣMG = 0:
0)()2( =− hFxR BCE
EBC RhxF 2
=
RE
x
1 (2/4)
(3/4)
(1/4)
Considerar la sección a la derecha
AB C
E
GH
D
F
4 @ x m
h
1 kN
FBC
RA
FBG
+ ΣMG = 0:
0)2()( =− xRhF ABC
ABC RhxF 2
=
FBC x
(2x/h)(1/4)
RA
x
1 (3/4)
(2/4)(1/4)
(2x/h)(1/4)
(2x/h)(2/4)
Considere la sección a la izquierdaFHG
4 kN 1.5 kN2 m
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
Ejemplo 4
Determinar la fuerza máxima desarrollada enlos miembros BC, BG y CG de la armaduradebido a las cargas de las ruedas del vehículo.Suponga que las cargas se aplican directamentea la armadura.Vehículo
RA
x
1 0.75
0.50.25
RE
x
0.50.75
0.25
1
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
SOLUCIÓN
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m1 kN
FBC = (6/4) RE = 1.5 RE
FCB
RE
FGB
FGH
RE
x
0.50.75
0.25
1
FBC x
1.5(0.25) = 0.375
+ ΣMG = 0:
Considerar la sección de la derechaLínea de Inluencia de FBC
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
0.375
1.5(0.5) = 0.75
1 kN
FBC
RA
FBG
RA
x
1 0.75
0.50.25
FBC = 1.5 RA
FBC
x
0.375
+ ΣMG = 0:
Considerar la sección de la izquierdaFHG
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
RE
x
0.50.75
0.25
1
1 kN
ΣFy = 0 ;
FBG cos θ = RE
FGH
FGB
FCB
RE
θ
FBG = 1.25 RE
FBG (4/5) = RE1.25(0.25) = 0.3125
FBG x
Línea de Inffluencia para FBGConsiderar la sección de la derecha
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m1 kN
ΣFy = 0 ;
FBG cos θ + RA = 0RA
x
1 0.75
0.50.25
FHG
FBC
RA
FBGθ
0.3125
FBG x
FBG = -1.25 RA
FBG (4/5) = -RA
-0.3125-1.25(0.5) = -0.625
Considerar la sección de la izquierda
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
FCG x
1 kN
0
1 kN
0
Línea de Influencia para FCG
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
FCG x
1 kN
1
1
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
(FBC)max = (4)(0.75) + (1.5)(0.5)
= 3.75 kN (T)
0.375
0.75FBC
x
0.375
4 kN 1.5 kN2 m
0.5
(FBC)máx por las cargas del vehículo
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
(FBG)max = (4)(-0.625) + (1.5)(-0.417) = -3.126 kN (C)
FBG x
-0.3125
0.3125
-0.625
4 kN 1.5 kN2 m
-0.417
(FBG)máx por cargas del vehículo
AB C
E
GH
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
FCG x
1
0.333
(FCG)max = (4)(1) + (1.5)(0.333) = 4.50 kN (T)
4 kN 1.5 kN2 m
(FCG)máx por cargas del vehículo
AB C
E
HI
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
GJ
Ejemplo 5
Dibujar las líneas de influencia de FBC , FBH y FCH.
RA
x
1 0.75
0.50.25
RE
x
0.50.75
0.25
1
AB C
E
HI
4 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
GJSOLUCIÓN
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
1 kN
FBC = (6/4) RE = 1.5 RE
FCB
RE
FHB
FHI
RE
x
0.50.75
0.25
1
FBC x
1.5(0.25) = 0.375
+ ΣMH = 0:
Línea de Influencia de FBCConsiderar la sección de la derecha
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
0.375
1.5(0.5) = 0.75
1 kN
FBC
RA
FBH
RA
x
1 0.75
0.50.25
FBC = 1.5 RA
FBC
x
0.375
+ ΣMH = 0:
Considerar la sección de la izquierdaFHI
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
RE
x
0.50.75
0.25
1
1 kN
ΣFy = 0 ;
FBH cos θ = RE
FHI
FBH
FCB
RE
θ
FBH = 1.25 RE
FBH (4/5) = RE1.25(0.25) = 0.3125
FBH x
Línea de Influencia de FBHConsiderar la sección de la derecha
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
1 kN
ΣFy = 0 ;
FBH cos θ + RA = 0RA
x
1 0.75
0.50.25
FHI
FBC
RA
FBHθ
0.3125
FBH x
FBH = -1.25 RA
FBH (4/5) = -RA
-0.3125-1.25(0.5) = -0.625
Considerar la sección de la izquierda
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
FCH x
1 kN
FGH
FCH
FCB
RE
x
0.50.75
0.25
1
REΣFy = 0 ;FCH = -RE
-0.25
Línea de Influencia de FCH
AB C
E
HI
4 m
D
G
3 m 3 m 3 m 3 m
FJ
FCH x
1 kN
FGH
FCH
FCBRA
ΣFy = 0 ;FCH = RA
-0.25
RA
x
1 0.75
0.50.25
0.50.25
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
Ejemplo 6
Dibujar las líneas de influencia para FBC , FBG y FHG.
RA
x
1 0.75
0.50.25
RE
x
0.50.75
0.25
1
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
SOLUCIÓN
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
FBC = (6/4.5) RE = 1.33 RE
RE
x
0.50.75
0.25
1
FBC x
1.33(0.25) = 0.333
+ ΣMG = 0:
RE
FBC
FBG
FHGLínea de Influencia de FBC
Considerar la sección de la derecha
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
FBC = (6/4.5) RA = 1.33 RA
FBC x
1.33(0.25) = 0.333
+ ΣMG = 0:
RA
RA
x
1 0.75
0.50.25
FBC
FBG
FHG
1.33(0.5) = 0.667
1.33(0.25) = 0.333
Considerar la sección de la izquierda
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
RE
x
0.50.75
0.25
1
FHG x
+ ΣMB = 0:
RE
FBC
FBG
FHG
26.57o
(FHG cos 26.57)(3) = -9REFHG = -3.35RE
-3.35(0.25) = -0.84
Considerar la sección de la derechaLínea de Influencia de FHG
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
RA
RA
x
1 0.75
0.50.25
FBC
FBG
FHG
FHG x
-0.84
+ ΣMB = 0:
(FHG cos 26.57)(3) = -3RAFHG = -1.12RA
-1.12(0.5) = -0.56-1.12(0.25) = -0.28
Considerar la sección de la izquierda
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
RE
x
0.50.75
0.25
1
FBG x
RE
FBC
FBG
FHG
26.57o
FHG x
-0.84-0.56
-0.28
33.69o
1.2(0.25)-0.54(-0.84) = 0.75
Línea de Influencia de FBGConsiderar la sección de la derecha
+ ΣFy = 0:
-FBG cos 33.69- FHGsen26.57 + RE = 0FHG = +1.2RE - 0.54 FHG
FHG x
-0.84-0.56
-0.28
AB C
E
G
H
3 m
D
F
3 m 3 m 3 m 3 m
1.5 m
1 kN
RA
FBC
FBG
FHG
RA
x
1 0.75
0.50.25
FBG x
0.75
-1.2(0. 5)-0.54(-0.56) = -0.30 -1.2(0. 25)-0.54(-0.28) = -0.15
Considerar la sección de la izquierda
+ ΣFy = 0:
RA + FBG cos33.69+ FHG sen 26.57 = 0
FBG = -1.2RA - 0.54FHG