cap 9.3 rev 3.pdf

Flujo Adiabático 9- 35

A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte en un instrumento sumamente útil.

Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de cambio

de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades en la dirección de la corriente.

Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el

flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico.

El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la

computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores.

9.3 FLUJO CON AREA VARIABLE

1 2

A mínima A As

Po pB

To TB

o m B

Vo = 0

p, T, m

V, M,

Fig. 9.13 Conducto de área variable A (x).

Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde

descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección

cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo másico,

número de mach, así como la eficiencia del dispositivo utilizado.

x

RESERVORIO AMBIENTE CONDUCTO

FLUJO COMPRESIBLE

DATOS CONOCIDOS

DATOS CONOCIDOS

Flujo compresible 9- 36

9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE

Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde

la sección 1 a la sección 2.

El estado de estancamiento y el estado crítico correspondiente a la

sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso

isentrópico, de manera que po1 sería su presión de estancamiento y el área

crítica A*1, sería el área en la cual se alcanzaría el estado crítico a partir del

punto 1. Igual significado para po2 y A*2.

Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: (a) Expansión adiabática.

En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2):

11

211

2

kk

k oTo k poM

T p

[ ]

El flujo másico en dicha sección cualquiera: m = V A

o o

o o

p Tpm M KRT A

R T p T

o

o

TK pm po M A

R To p T [ ]

To

T*

p2* p1*

A1* A2*

p0 po2

0

p1

p2

p

1

2

T

S S1

S2 S

p*

A*

p01

A


i) Si se conoce el área A y la presión p:

De la ecuación (): 𝑀 = √ [ (𝑝𝑜

𝑝)

𝑘−1

𝑘− 1]

2

𝑘−1

√ 𝑇𝑜

𝑇 = (

𝑝𝑜

𝑝)

𝑘−1

2 𝑘

En la ecuación ():

�� = √ 𝐾

𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √

2

𝑘 − 1 [ (

𝑝𝑜

𝑝)

𝑘−1𝑘

− 1] 𝑝

𝑝𝑜 (

𝑝𝑜

𝑝)

𝑘−12 𝑘

�� = √ 𝐾


2

𝑘 − 1 [ (

𝑝𝑜

𝑝)

𝑘−1𝑘

− 1] (𝑝𝑜

𝑝)

− (𝑘+1) 2 𝑘

�� = √ 𝐾


2

𝑘 − 1 [ (

𝑝𝑜

𝑝)

−2𝑘

− (𝑝𝑜

𝑝)

− (𝑘+1) 𝑘

]

�� = √ 𝐾


2

𝑘 − 1 [ (

𝑝

𝑝𝑜 )

2𝑘

− (𝑝

𝑝𝑜 )

(𝑘+1) 𝑘

]

�� = √ 𝐾


2

𝑘 − 1 (

𝑝

𝑝𝑜 )

2𝑘

[ 1 − (𝑝

𝑝𝑜 )

(𝑘−1) 𝑘

]

Para M = 1 y A = A* = A G:

De (a): 𝑝

𝑝𝑜= (

2

𝑘+1 )

𝑘

𝑘−1 �� = √

𝐾

𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴∗ √ (

2

𝑘+1 )

𝑘+1

(𝑘−1)

O �� = √ 𝐾

𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴∗ (

2

𝑘+1 )

𝑘+1

2 (𝑘−1)


ii) Si se conoce el área A y el número de Mach:

0

( 1)

1 2( 1)

k k

k kp To T To To

po T T T T

Se obtiene: )1(2

)1(

2

2

11

k

k

Mk

MApoToR

Km [ 9.32 ]

Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y temperatura,

son usualmente ploteadas con po/Tom como variable de flujo. De esta

manera el resultado de una prueba dada, llega a ser aplicable para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba.

( 1)

2 ( 1)211

2

kkm To K k

M MA po R

0,10 0,001 M 0,10 1,0 10

Fig. 9.15 Flujo másico

Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de ( ) se obtiene:

22

11

1M

kM

R

k

wp

T

A

m o

=

Aplicando la ecuación anterior (9.32) a las condiciones críticas:

)1(2

)1(

2

11*

k

k

kApo

ToR

Km [ 9.33 ]


Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:

( 1)

2 ( 1)

2

11 2

1*1

2

k

kkA

kA MM

)1(2

1

2

2

12

11

1

*

k

k

k

Mk

MA

A [ 9.34 ]

Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno.

Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e

igualando, resulta:

po1 A*1 = po2 A*2 [ 9.35 ]

Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en

cualquier punto del flujo adiabático. Así:

2

* *

1 2 12

*11 2 2*

1

A

A A Apox

Apo A A

A

[ 9.36 ]

Si se conocen po2 / po1; A1 / A2 y M1, se pueden determinar el resto de

propiedades del flujo en el estado 2.

Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1.

Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 .

Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 .

Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el estado

o sección 2.

Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una

relación que sea función del número de Mach local. Así:

1

2( 1)2

2 1

11

1 1 21* 1

1 22

k

k

k

k

kM

p A

kpo A MkM


1

2( 1)

1

2 1 2( 1)

1 1 1

1* 11 22

k

k

k k

k k

p A

kpo A MkM

1

2( 1)

1

2 2

1 1 1

1* 11 22

k

k

p A

kpo A MkM

Finalmente: 1

12

1 1

*1 1

12 2

k

k

p A

po A Mk k

M

[ 9.37 ]

que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de flujo isentrópico.

Volviendo la atención a la ecuación [9.33]:

)1(2

)1(

2

11*

k

k

kApo

ToR

Km

El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable

descarga al medio ambiente.

��𝑚á𝑥 √ 𝑇𝑜

𝐴∗ 𝑝𝑜

= √

𝐾

𝑅 [ 1 +

𝑘 − 1

2 ]

− (𝑘+1)

2 (𝑘−1)

Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión adiabática

To

T*

p2* p1*

A1* A2*

p0 po2

p1

p2

p

1

2

T

S S1

S2 S

p*

A*

p01


EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de

entropía en función de las presiones de estancamiento.

SOLUCION

De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica: T ds = dh - dp /

de la Figura 9.14 : So2 –So1 = S2 – S1 = ∆S

dSo = ds

dho = 0; ho = constante

To dso = - dpo / o

Ecuación del gas ideal : o . To = po / R

y dso = - R ( dpo / po )

So2 –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S

También: po. e - S / R = constante

EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de

área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 =

574,263 kPa y T1 = 200º C.

a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas

abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V2 es supersónica.

SOLUCION

a) En la sección 1 :

3

1

5742634,2303 /

287,13 / 473

Pakg m

J kg K x K

1 20,045 473 436 /C m s

11

1

1840,422

436

VM

C

Usando la relación isentrópica:

11

211

2

kk

kTo k po oM

T p


se tiene: 1

1

2 1 1

3

11 0,422

473 2 574,263 4,2303 /

kk

kTo k po o

KPa kg m

To = 489,85 K

Po1 = 649,094 KPa

1 = 4,6171 kg / m 3

Usando la ecuación: )1(2

1

2

2

12

11

1

*

k

k

k

Mk

MA

A ( )

Con M1 = 0,422, se obtiene: 1

*

1

A= 1,52314

A

Como 2 2

1A (0,344) 0,092944

m

→ * 2

1 0,0610A m

b)

1 2 1 2

A1 = 0,09294 m2 A1 = 0,09294 m2

A2 = 0,06975 m2 A2 = 0,06975 m2

V2 subsónica V2 supersónica

Se observa que el valor del área A2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte

convergente del conducto así como en parte divergente:

Caso de flujo subsónico:

2

*

0,069751,1434

0,0610

A

A

En ( ): M 2 = 0,0642

m x

m x


luego: 2

2

0,4

1,4649,0941 0,2 0,642

p

p2 = 491,931 KPa

Caso de flujo supersónico:

2

*

0,069751,1434

0,0610

A

A

En ( ): M 2 = 1,449

luego: 2

2

0,4

1,4649,0941 0,2 1,449

p

p2 = 190,276 KPa

9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE

( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL )

Ecuaciones básicas

Ecuación de estado para un gas ideal: p / = R T = constante.

Ecuación de continuidad: 1 1 1 2 2 2m V A V A V A constante

Ecuación de energía:

2 2 2

1 21 2

2 2 2

V V Vho h h h constante

Ecuación de impulso: 1 1 1 2 2 2p A mV p A mV p A mV constante

Proceso isentrópico: 1 2

1 2

k k k

p p p

constante

Segunda ley de la termodinámica: S1 = S2 = constante

Ahora, para un gas ideal: 1

K ph Cp T

k

tank

pcons te


La ecuación de energía queda:

2 2

1 1 2 2

1 21 2 1 2

p V p VK K

k k

2 2

2 1 1 2

1 2

( )2 1

V V p pK

k

de la ecuación de continuidad : 2 2

1 2

1 1

AV V

A

y 1 2 1

22 2

1 1 22 1 2 1

1 21

11 ( / ) ( / )

p pKV

k pA A

proceso isentrópico: 1/

1 2 1 2/ ( / ) kp p

1

12 2 1

1

21 ( / )

1

k

kpK

V fc p pk

donde

2 2

2 1 2 1

1

1 ( / ) ( / )fc

A A

es un factor de corrección por aproximación de velocidad.

Considerando p/ =R T y condiciones de estancamiento para el punto 1:

V = 0; A1 ∞ y V 2 = Vs, velocidad en cualquier sección del conducto, se

tiene que fc = 1 y

12

1 ( / )1

k

ko

K R ToV p p

k

[9.38]


12

1 ( / )1

k

o ko

o

pKV p p

k

El flujo másico por unidad de área:

1

( / ) ko o

mG V p p V

A

2 12

( / ) ( / )1

k

k ko o o

K RToG p p p p

k

[9.39]

Es decir G = G (K, R, To, po, , p) G = G ( p )

9.3.2.1 Flujo másico máximo

Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones y

tiene un valor máximo para:

12

2 10 ( / ) ( / )

( / )

k

kkdG k

p po p pod p po k k

1

0

2( )

1

k

kp

p k

[9.40]

Para: K p/po

Aire 1,4 0,5283

Gases en turbina a gas 1,402 0,5279

Vapor sobrecalentado 1,30 0,5457

Vapor saturado 1,135 0,5774

* Vapor húmedo 1,035 + 0,1 x

* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la

entrada y la salida de la tobera.

Reemplazando en [9.39]:

2 1

1 1

max

2 2 2( ) ( )

1 1 1

k

k k

o

K RG To

k k k


2

1

max

2 2 2( ) 1 ( )

1 1 1

k

o

K RG To

k k k

2

1

max

2 2 1( )

1 1 1

k

o

K R kG To

k k k

1

1

max

2 2( )

1 1

k

oG Cok k

Como. 2

*1

C Cok

1

10 2( )

* 1

k

k

G max = * c* = G* [9.41]

O sea que en una expansión isentrópica, el estado en que se alcanza Gmàx es

el estado crítico.

Aplicando la ecuación de conservación de masa:

max *m G A G A

es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su máximo

valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la garganta,

donde reinan las condiciones críticas. Luego:

A min = A* = A G [9.42]

En conclusión, para que se esté produciendo la máxima descarga, se

requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta

Graficando la ecuación ( 9.39 ), la gráfica teórica sería una parábola, pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por una disminución de presión de descarga que viaja con velocidad sónica no puede alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje de variar el flujo


másico; y este último, permanece constante ( recta horizontal en el gráfico ), por lo que se dice que el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga.

Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por unidad de área en un flujo isentrópico

Volviendo la atención a la ecuación (9.39):

2 12

( / ) ( / )1

k

k ko o o

K RToG p p p p

k

Con 0 = po / R To y 1

0

2( )

1

k

kp

p k

1

1max 0

0

2max ( )

* 1

k

km pkG

A R k T

se obtiene:

1

0 0 1maxmax

0 0

2( )

* 1

k

kT Tm k

Gp A p R k

[9.43]

Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente de la relación

Topo / . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se

duplica Gmàx se reduce en aproximadamente 29%.

Real

p/po p*/po 1 0

G

G máx

Ecuación [9.39]


Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – K

0 0

max

0 0

0,0404*

T TmG

p A p [9.44]

Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios. P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que

se encuentra a po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente

divergente circular hasta un número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto es de 3 kg / s, calcular:

a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A.

a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG

Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene:

2

4

GG

DA

[ f ]

Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*.

EL flujo másico. VAm , está dado por: ( 1)

2( 1)2

( 1)

2 ( 1)max

11 ( )

2

1* .......... ( )

2

o

o

o

o

k

k

k

k

pK km M A M

R T

pK km A

R T

Para aire:

(9.44)

Reemplazando valores:

5003 /

0,040418* 200 000

Kkg s

A Pa

A* = 0,0082985 m 2 DG = 10,28 cm

po=200 KPa

p*

ps

500 k=To

As

AG

T

S

Ms = 2,5

1

1max2

0,040418* 1

k

ko

o

Tm k

A p R k


b. Como se conoce el número de Mach en la salida, utilizando la ecuación () , se determina As = 0,021880676 m2

(1,4 1)2 2(1,4 1)1,4 200 000 1,4 1

3 / 2,5 1 2,5 ( )2500287,13

/

S

Pakg s A

J K

kg K

As = 0,021880676 m2

y usando: k

k

ps

pMs

k

Ts

T oo

1

2

2

11

kk

spTs

1

2 200)5,2(2,01

500

pS = 11,706 kPa.

Ts = 222,22 K

Cs = 298,812 m / s

2,5 Vs 747,03 /298,8

V VsM m s

C

P. 9.014: Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a un conducto y se

expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la sección de salida.

Solución

Proceso politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:

nn

n

T

T

p

p

p

p

constantep

1

2

2

1

22

1 1

)(

1

1

2

1

1

2

1

2 bp

p

T

Tn

n

n

Reemplazando valores en (b):

T2 = 908,95 K nT 3,1

13,1

2

8

5,3

1100

1 2 n = 1,3

p1 = 8 bar T1 = 1100 K

p2 = 3,5 bar

3 kg / s

1

2

2s

p2S = p2

T To

S


La ecuación de energía: constanteV

hV

hho 22

22

11

Gas ideal: h = Cp T

)(22

22

11 aconstante

Cp

VT

Cp

VTTo

Cp

VK

Cp

VKTo

295,908

21100 21

No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): V2 = 619,53 m / s:

También C2 = 20,045 2T = 604,33 m / s

y 2

619,53M = = 1,025

604,33

se trata de un flujo supersónico en la salida del conducto.

9.3.2.2 EFECTO DE LA VARIACIÓN DE ÁREA EN LOS FLUJOS SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS

9.3.2.1 LA FUNCION IMPULSO

9.3.4 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.

Los conductos en los cuales la velocidad se incrementa, se denominan toberas;

y cuando es la presión la que se incrementa, se denominan difusores.


9.3.3 LA FUNCIÓN IMPULSO

En problemas relacionados con propulsión de cohetes es conveniente el empleo

de una cantidad denominada función impulso, definida por:

I = p A + A V 2 [9.50]

Empleando la ecuación de momentum, se tiene:

I = ( p A + A V 2 ) 2 - ( p A + A V 2 ) 1 [9.51]

Donde I es la fuerza externa que actúa sobre el conducto para equilibrar la fuerza

o empuje producido por la corriente fluida entre las secciones (1) y (2). En este

caso I actúa en dirección contraria al flujo.

p1

T1

V1

p2

T2

V2 x

1 2


9.3.4

cap 9.3 rev 3.pdf

Documents