Captulo 5 REVISIN DE CONCEPTOS DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

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La planeacin y el diseo de proyectos relacionados con el agua necesitan informacin de diferentes eventos hidrolgicos que no son gobernados por leyes fsicas y qumicas conocidas, sino por las leyes de azar. Por ejemplo, el caudal de un ro vara da a da y ao tras ao, y no puede predecirse exactamente cual ser su valor en un perodo de tiempo cualquiera. En el caso del diseo de un puente, el estudio hidrolgico determinara la creciente asociada con una probabilidad crtica(se busca determinar el caso crtico), la cual se supone representa el riesgo para el puente. Esto solo puede determinarse a travs del anlisis probabilstico y estadstico basado en los registros hidrolgicos del pasado. Es dable afirmar que la hidrologa, en algunos casos, trata con variables aleatorias cuyo comportamiento no puede predecirse con certidumbre. El comportamiento de una variable aleatoria est descrito por una ley de probabilidades, la cual asigna medidas de probabilidad a posibles valores o rangos de ocurrencia de la variable aleatoria. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Se dice que una variable aleatoria es discreta si ella slo puede tomar valores especficos. Por ejemplo, si N denota el nmero de das lluviosos en el mes de diciembre, entonces N es una variable aleatoria discreta. En este caso, la ley de probabilidades asocia medidas de probabilidad a cada posible ocurrencia de la variable aleatoria.U U

Una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores en un rango de ocurrencia. Por ejemplo, si Q es una variable aleatoria que denota el valor de los caudales promedios diarios del ro Magdalena, entonces QU U

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puede asumir cualquier valor y es entonces una variable aleatoria continua En este caso la ley de probabilidades asigna medidas de probabilidad a rangos de ocurrencia de la variable aleatoria. En el anlisis probabilstico y estadstico en hidrologa, se asume que la informacin histrica disponible de una variable hidrolgica representa una muestra tomada de una poblacin cuyas caractersticas se desconocen. En el anlisis probabilstico se analizan posibles leyes de probabilidad que pueden describir el comportamiento de las variables de la poblacin. En el anlisis estadstico, se hacen inferencias sobre la variable (la poblacin), usando la muestra. Por ejemplo, cuando se calcula una media con observaciones disponibles, se est infiriendo que la media calculada es la media de la poblacin, lo cual no necesariamente es verdad, pues esto depender de la calidad de la informacin, del nmero de observaciones y otros aspectos. El hecho es que muchos fenmenos hidrolgicos son errticos, complejos y de naturaleza aleatoria, y solo pueden ser interpretados en un sentido probabilstico. Uno de los problemas ms importantes en hidrologa es la interpretacin de registros de eventos pasados para inferir la ley de probabilidades de la variable hidrolgica (poblacin) de inters, procedimiento que en hidrologa se conoce con el nombre de anlisis de frecuencia. Por ejemplo supngase que se tienen registros del caudal del ro Magdalena durante un perodo de 50 aos. Son factibles dos tipos de anlisis: descriptivo y de inferencia. El primero se realiza sin ninguna referencia a su poblacin, de la cual se tiene una muestra de 50 aos. Consiste, bsicamente, en calcular propiedades estadsticas, como media, varianza y otras. En el segundo, la muestra se analiza para inferir las propiedades de su poblacin, lo cual ayudar a derivar las caractersticas probabilsticas del caudal. El primero es una aplicacin de los mtodos estadsticos que

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requieren poca decisin y poco riesgo. El segundo involucra riesgos y requiere una total comprensin de los mtodos empleados y el peligro involucrado en la prediccin y estimacin de las variables. Los objetivos bsicos de la estadstica en la hidrologa son entre otros: 1) 2) 3) 4) 5) Interpretacin de las observaciones Anlisis de la calidad de la informacin Inferencia sobre el comportamiento de la variable Extraccin del mximo de informacin de los registros Presentacin de la informacin en grficas, tablas, ecuaciones, que bsicamente ayudan a la toma de decisiones en el planeamiento de los recursos hdricos.

En resumen, el objetivo principal de la estadstica en hidrologa es obtener informacin de los fenmenos hidrolgicos pasados y hacer inferencias acerca de su comportamiento en el futuro.

5.1 CONCEPTOS BSICOS 5.1.1 Concepto de probabilidad. La probabilidad de ocurrencia de un evento dado es igual a la relacin entre el nmero de sucesos favorables m y el nmero de sucesos totales, n:P( X = x ) = m n

(5.1)

La teora de la probabilidad se basa en los siguientes axiomas:

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1)

La probabilidad de ocurrencia de un evento, Pi, siempre tiene un valor entre 0 y 1, as:B B

0 Pi 1 . La probabilidad de un evento cierto es 1:

(5.2)

Pi =1B B B B

i

=1

(5.3)

2) Si X1 y X2 son eventos independientes y mutuamente excluyentes, entonces:

P ( X 1 X 2 ) = P( X 1 ) + P( X 2 )

(5.4)

Dos eventos son independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro,. y se dice que son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro. Los axiomas anteriores permiten la definicin de conceptos importantes. Por ejemplo, si dos eventos X1 y X2 no son mutuamente excluyentes, la probablidad de que ocurra X1 u ocurra X2 est dada as:B B B B B B B B

P ( X1 X 2 ) = P ( X1 ) + P ( X 2 ) P ( X1 X 2 )

(5.5)

La P( X 1 X 2 ) es llamada unin de probabilidades y se lee la probabilidad de X1 o X2.B B B

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La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran de manera simultnea es el producto de las probabilidades individuales as:

P ( X1 X 2 ) = P ( X1 ) P ( X 2 )

(5.6)

La P( X 1 X 2 ) es llamada la probabilidad de interseccin y se lee la probabilidad de X1 y X2.B B B B

La probabilidad de que ocurra un evento X1 dado que ha ocurrido X2 se llama probabilidad condicional y se denota as:B B B B

P(

X1

X2

) = P(

X1 X 2 ) P( X 2 )

(5.7)

Ejemplo 5.1 Supngase que el ro Cauca alcanza cada invierno un nivel de creciente con una frecuencia relativa de 0.2. En el Cauca hay un puente cuya probabilidad de falla en los estribos es 0,3 y la experiencia muestra que cuando hay creciente, las probabilidades de esta falla suben a 0,5. Las probabilidades son: P(creciente) = P(C) = 0,2 P(no creciente) = P(C) = 0,8 P(falla) = P(F) = 0,3 P(no falla) = P(F) = 0,7 P (falla dada creciente) = P(F/C)= 0,5 Se desea conocer la probabilidad de falla del puente. Solucin: El puente falla (queda inutilizado) cuando falla en los estribos o cuando hay creciente; esto se puede denotar as:

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P( C F ) = P( C ) + P( F ) P( C F )

Aplicando la ecuacin 5.7 de probabilidad condicional: P ( C F ) = P( C ) P ( F ) C Reemplazando valores, se obtiene:P ( C F ) = 0. 2 . 0 . 5 = 0. 1 Al reemplazar este valor en la expresin de unin de probabilidades, se concluye finalmente que P(CF)=0.4

5.1.2

Perodo de retorno:B B

Se define el perodo de retorno, Tr, de un evento de cierta magnitud como el tiempo promedio que transcurre entre la ocurrencia de ese evento y la prxima ocurrencia de ese evento con la misma magnitud. Se define tambin como el tiempo que transcurre para que un evento sea excedido o igualado, al menos una vez en promedio. Si P es la probabilidad de excedencia, se puede demostrar matemticamente que: 1 (5.8) Tr = P Por ejemplo, si un caudal de 8098 m3/s es excedido en promedio una vez cada 10000 aos, entonces su perodo de retorno, Tr, es de 10000 aos.P P B B

5.1.3

Concepto de riesgo.

En el diseo de obras hidrulicas expuestas a grandes avenidas, es necesario considerar el riesgo asociado con el valor seleccionado para el diseo. Por lo comn, el ingeniero disea una obra para resistir una avenida de cierta magnitud. Se define el riesgo R de un diseo como la probabilidad de que la avenida para la cual se disea la obra sea excedida. Se entiende que sta es

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una situacin de riesgo, pues la obra se disea para soportar cierta avenida mxima , y crecientes mayores le podran hacer dao o incluso destruirla. El riego R puede entonces escribirse como: 1 n R = 1 - (1 - ) (5.9) Tr La confiabilidad se define como el complemento del riesgo (Confiabilidad = 1-R). Se quiere que la obra tenga un riesgo pequeo de daarse o, lo que es lo mismo, una alta confiabilidad. Ejemplo 5.2 Qu perodo de retorno debe escoger un ingeniero en el diseo de un box-culvert, si se acepta solo el 10% de riesgo de avenida en una vida til, n, de 25 aos? Solucin: Aplicando la ecuacin 5.9 se tiene: R = 0.1 = 1 - (1 1 Tr )25T

Reemplazando los valores de Tr y n se obtiene:B B

TR = 238 aosB B

Ejemplo 5.3 Una presa por gravedad puede fallar por deslizamiento (A), por crecientes (B), o por ambas. Asumir que : 1) La probabilidad de falla por deslizamiento es dos veces la probabilidad de falla por creciente: P(A)=2 P(B)

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2) La probabilidad de falla por deslizamiento, dado que ha habido creciente, es 0.8 3) La probabilidad de falla de la presa es de 1*10-3P

Determinar la probabilidad de que ocurra un deslizamiento, P(A). Solucin: La presa queda inutilizada cuando se presenta una falla por deslizamiento o cuando hay una creciente, lo que puede expresarse como:P( A B ) = 0.001 = P( A ) + P( B ) P( A B )

(1)

Se tiene adems que: P(A) = 2 P(B) Reemplazando la (2) en la (1):0.001 = 3P( B ) P( A B )

(2)

(3)

Se sabe que: P( A B ) = 0.8 = P( AB ) P( B ) (4)

Resolviendo simultneamente la (3) y la (4), se obtiene: P(A) = 9.1 * 10-4P

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Ejemplo 5.4 De 1000 circuitos de tubera de acueducto en una ciudad, se reportan 15 contaminados con materias fecales; 5 tienen excesivas concentraciones de plomo (Pb) y entre stos dos de ellos contaminados tambin por materias fecales. Se pregunta:B B

a) b)

c)d)

Cul es la probabilidad de que un sistema seleccionado al azar resulte con contaminacin fecal? Suponiendo que un sistema se encuentre contaminado con materias fecales, cul es la probabilidad de que tambin est contaminado con plomo? Cul es la probabilidad de que un sistema seleccionado al azar est contaminado? Suponiendo que la probabilidad de contaminacin hallada en el numeral anterior no es satisfactoria, y que se desea que no exceda de 0.01, cul es el valor permisible para la probabilidad de contaminacin por materias fecales, asumiendo que el valor de la probabilidad condicional hallada en el numeral b an se puede aplicar?

Solucin: Llamemos P(F) a la probabilidad de contaminacin por materia fecal, P(Pb) a la probabilidad de contaminacin por plomo y P(C) a la probabilidad de contaminacin por plomo o por materia fecal. Se tiene entonces:B B

a) P(F) = 17/1000 b) La probabilidad condicional P(Pb/F) puede expresarse como:B B

P( Pb / F ) =

P(Pb F) P(F)

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y P(Pb) = 5/1000. Reemplazando, se obtiene que: P(PBI/F) = 2/17B B

c)Se pregunta en este numeral el valor de P(C); este valor establece la probabilidad de que un circuito est contaminado con plomo o con materias fecales. Como hay 15 circuitos contaminados con materias fecales y 5 contaminados con plomo, se tiene entonces que: P(C) = 20/1000= 0.002 d) La probabilidad de contaminacin C se puede expresar como: P( C) = P( F Pb ) P( F ) + P( B ) P( F Pb ) y se conoce el valor de la probabilidad condicional:P( Pb / F ) = 2 / 17 = P( Pb F ) P( F )

(1)

(2)

Resolviendo la (1) y la (2) simultneamente se halla que: P(F) = 0.00567

5.2 DISTRIBUCIONES DE FUNCIONES DE PROBABILIDADES EN HIDROLOGIA

Tal como se haba mencionado anteriormente, el comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ley de probabilidades asociada, que asigna medidas de probabilidad a ocurrencias o a rangos de ocurrencia de la variable. Estas leyes de probabilidad reciben el nombre de funciones de distribuciones de probabilidad. Como notacin, se representa por una letra mayscula la variable aleatoria, y por una letra minscula, un valor especfico, una relacin o una muestra de la variable.U U U U U U

P(X = a) indica la probabilidad de que la variable aleatoria X tenga un valor de a; similarmente, P(a