cap 5 planificación de lotes de producción-mrp-2

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PLANIFICACIÓN DE LOTES DE PRODUCCIÓN-MRP

MLG-516

Facultad de IngenieríaDepartamento de Ciencias de la IngenieríaMagíster en Logística y Gestión de Operaciones

UNIVERSIDADANDRES BELLO

1er semestre 2006Prof.: Ignacio Carrasco G.

1er Semestre 2006 Prof: Ignacio Carrasco. 2

-Definición y Conceptos-Métodos Determinación Lotes

-Lote a Lote-Economic Order Quantity (EOQ)-Economic Time Cycle (ETC) -Least Unit Cost (LUC)-Part-Period (PP)-Método Silver-Meal-Método Groff

-Resumen-Modelo de Loteo No capacitado (ULSP)-Método Wagner-Within-Otros métodos de Solución-Modificaciones al ULSP

INDICE

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MRP: El Problema del Requerimiento de los Materiales, es Conocido como MRP (Material Requirement Planning) y básicamente consiste en determinar las partes y piezas necesarias para producir y satisfacer una demanda no constante en multiples períodos.

BOM : Bill of Materials, lista de materiales. Consiste en la desagregación de: el tipo y la cantidad de partes y piezas requeridas para producir un producto determinado en sistemas de ensamblaje.

BOP : Bill of Products, es el listado de procesos por el cual una parte o pieza puede ser procesado. Esto se usan el sistema de multiples etapas.

Definición y Conceptos


Definición y Conceptos-BOMEjemplo de un BOM : Supongamos que tenemos una silla (SI) que consta de :

1 Respaldo (RE)1 Asiento (AS)2 Patas Largas (PL)2 Patas cortas (PC)4 Soportes del asiento (SA)2 Travesaño Laterales (TL)

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Definición y Conceptos-BOMEsta silla se puede esamblar de Diferentes Maneras, supongamos esta secuencia:

1.- Una pata larga (PL) se une con una pata corta (PC) y un soprte del asiento (SA) y un travesaño lateral (TL), produciendo una parte intermedia conocida como media silla (MS).

2.- Luegos dos medias sillas (MS) se unen con el respaldo (RE) y dos soportes de asiento (SA) produciendo el armazón (AM).

3.- Finalmente el Armazón (AM) se junta con el Asiento (AS) produciendo finalmente la Silla (SI).


Definición y Conceptos-BOMEl diagrama del BOM sería como sigue:

1-PC

1-PL

2-TL

2-SA

1-MS 1-RE

2-SA

2-MS

1-AM

1-AM

1-AS

1-SI

Primer Esamblaje Segundo Esamblaje Esamblaje Final

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Definición y Conceptos-MRP

Ahora tenemos el siguiente requerimiento de sillas para las siguientes 8 semanas, dado por el plan de producción maestro:

87654321Período

35356505003025Requirimiento

Supongamos finalmente que las sillas hay que barnizarlas, con loque cada lote de producción debemos incurrir en un costo de limpieza de circuito de pintado.

Como debieramos producir estas sillas.?


MRP-Lote a Lote

35356505003025Manufactura35356505003025Requirimiento

87654321Período

00000000Stock

Una manera sería hacer 25 sillas la primera semana, luego en la segunda semana hacer 30, luego descanzar la tercera semana, etc.Esto consiste en producir Lote a Lote, con esto Tendríamos.

Tenemos otras alternativas?

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Definición y Conceptos-MRP

0000000240Manufactura35356505003025Requirimiento

87654321Período

03570135135185185215Stock

Sí, otra manera sería trabajar a full la primera semana, producir 240 sillas y luego dar vacaciones.

Cual de ambas situaciones es mejor?


Definición y Conceptos-MRPVeamos los costos. Sea:CF = 100 La limpieza del circuito de pintura ($)CA = 1 Costo de almacenaje ($/u)CT = Costo Total

En el primer Caso, lote a lote tendríamos: CT = 100+100+100+100+100+100 = 600 $

En el segundo Caso, de un solo lote tenemos:CT = 100+ 215+185+185+135+135+70+35 = 1060 $

No hay nada Mejor?

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Lotes EOQ

87654321Período

6826614949222252Stock770770770077Manufactura35356505003025Requirimiento

La demanda promedio por cada semana es de D = 30 unidades de sillas. Podríamos aplicar el Lote de Wilson , alias EOQ. Recordemos que:

2( ) 2 100 30 771

× ×= = = =opt

CF DEOQ QCA

Es decir debemos hacer lotes de 77 sillas cada vez que sea necesario


Lotes EOQ

Cuyo Costo Total da CT = 749 $.

Por que, el EOQ esta diseñado para sistemas donde la demanda sea constante, es decir, en sistemas muy JIT.

También, al ser un lote promedio, en algunos períodos siempre queda un saldo en inventario. Por ejemplo en los períodos donde los requerimientos son 0.

Por que el EOQ da un resultado tan malo?

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Economic Time Cicle

87654321Periodo

035065650030Stock070001150055Manufactura

35356505003025Requirimiento

El problema de tener saldos innecesarios lo podríamos resolver con lotes que sean “calzados” a períodos exactos. Es así, por ejemplo que asginameros los lotes cada 3 períodos. Con esto tenemos:

Cuyo costo Total es CT = 495 $.


Least Unit CostAhora, que tal si tomamos el siguiente criterio: Producimos aquella cantidad que minimiza el costo unitario en un rango de períodos dado. Es decir :

1.- Sumamos las cantidades de periodo en periodo (QQ(t))2.- Y calculamos el costo total hasta el período en cuestión. (CCTT(t))3.- Luego dividimos UC = CCTT(t)/QQ(t), aquel t* donde UC sea min escogemos el QQ(t*) como el lote a producir.4.- Repetimos el proceso para los períodos en t* en adelante.

Si el lote cubre 1 periodo Q = 25 el CT = 100 y el LUC = 4 ($/u)Si el lote cubre 2 periodos Q = 55 el CT = 130 y el LUC = 2.4 ($/u)Si el lote cubre 3 periodos Q = 55 el CT =130 y el LUC = 2.4 ($/u)Si el lote cubre 4 peridos Q=105 el CT = 280 y el LUC = 2.7 ($/u)

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Least Unit Cost

87654321Periodo


De esta manera el LUC de menor magnitud es 2.4 para 3 y 4 períodos.Aplicando nuevamente esta regla a partir del 4 período nos dá elsiguiente esquema:

Cuyo costo Total es CT= 465 $


Least Unit Cost

( )

∑

∑

=

=+−

= m

ii

m

ii

md

CFidCAu

1

11

bab

a bba

ba

∆≤∆∆+∆+

≤ a si solo y si

( ) 11

11

1 +=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ∑∑ m

m

iim

m

ii CAmdddCFidCA

Matemáticamente el costo unitario se puede ver como

La idea es escoger el “m” que minimize esta expresión. Podemos iterar m desde 1 hasta que um suba de valor o usar la siguiente regla :

Con esto llegamos a que um ≤ um+1 si se cumple, si y solo si:

Que lo podemos simplificar y saber si um+1 es mayor que um si se cumple

( ) CACFimdm

ii∑

=≥+−

1/1

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Part – Period

El siguiente método es también conocido como el costo total minimo. Este método escoge el tamaño del lote que hace que los costos dealmacenaje sean similares a los costos fijos. Esto es :

Con esto llegamos a que debe escoger el lote hasta un m que se cumpla:

( ) CACFidm

ii∑

=≈−

1/1

( )∑=

−≈m

ii idCACF

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Part – Period

Con este método tendríamos la siguiente tabla:

El cual es un resultado similar al LUC, pero esto no es general para otros casos. El costo Total es de CT= 495 $

87654321Período


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Silver- MealLa heurística de Silver – Meal es bastante similar a la heuristica LUC pero en vez de minimizar el costo unitario para un lote, este minimiza el costo por período sobre un numero de períodos que el lote cubre. Si nosotros calculamos el costo por unidad de período empezando desde t=1 y usamos la misma notación tenemos:

( ) ./11

mCFidCACm

iim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∑

=

( ) 12

11 +

=≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∑ m

m

ii CAdmCFidCA

( ) CACFiddmm

iim /1

11

2 ≥−− ∑=

+

Usando el mismo razonamiento de la regla del LUC tenemos que el m que hace cm ≤ cm+1, debe cumplir :

Reordenando debemos escoger m tal que:


Silver- MealLa tabla para la heuristica Silver-Meal es:

0035000030Stock0351000500055Manufactura35356505003025Requirimiento87654321Período

Cuyo costo Total es CT = 465 $

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Heurística de GroffEn esta heurística el lote se debe escoger de manera que el incremento marginal en los costos de inventario por año; cuando el lote es aumentado en un ε; sea igual a una disminución marginal en los costos de setup por año.

El problema de calcular el costo marginal en los costos de inventario en un loteo dinámico es dificil, puesto que el costo depende deltamaño del lote. Sin embargo, haciendo uso una analogía del calculo del EOQ, se podría sugerir que un incremento en los costos de mantención del inventario por período es proporcional a la mitad del incremento del tamaño del lote en el siguiente período, esto es (CA*dm+1)/2.


Heurística de GroffUna disminución en los costos de setup por período se puede calcular como:

Para el caso antes visto, esta heuristica da la misma solución que la Heuristica Silver Meal, cuyo costo Total es CT = 465 $

( )11 +=

+−

mmCF

mCF

mCF

( ) CACFdmm m /2/1 1 ≈+ +

( ) CACFdmm m /2/1 1 ≥+ +

Esto deja como conclusión que “m” debiera escogerse de manera que se cumpla:

O alternativamente debieramos escoger “m” tal que:

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Resumen En el caso expuesto tenemos la siguinet tabla de resultados

749EOQ

465Silver Meal

495Economic Time Cicle495Part Period

465Groff

1060Lot For Lot600Un solo Lote

Costo TotalHeuristica

En estudios computacionales se ha encontrado que la Heuristica de Groff y la Heuristica de Silver-Meal dan resultados consistentemente superiores. En cambio el EOQ, fue uno de los más deficientes.


Resumen

Existen Otras reglas de Loteo como la de McLaren y la heuristica de Freeland-Colley.

En los softwares se utiliza por lo común el LFL, EOQ, PP, Silver-Meal y el método de Wagner Within (WW).

De otodos estos el método que es óptimo es el WW.

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Modelo de Loteo No Capacitado (ULSP)Los métodos anteriores son heuristicas, es decir que ninguno de ellos garantiza la optimalidad de la solución. Los métodos estandares para resolver el problema MRP con demandas dinámicas son Ramificacióny Acotamiento (Branch and Bound) y la Programación dinámica.

El modelo matemático más basico fue propuesto por Wagner y Within, quienes ademas dieron un método de solución.

“Desde los comienzos de la investigación de operaciones y ciencia de la administración, modelos para la planificación de la producción han sido un importante objeto de estudio con la formula EOQ de Harris o el modelo de Wilson (Q,r) y el modelo dinámico de Wagner-Whitin, las piedras angulares para el tratamiento de la demanda estacionaria y dinámica, respectivamente”. Wolsey y Pochet (2006)*

* Wolsey, L., Pochet, Y. (2006). Production planning by mixed integer programmning. Springer Series in Operation Research. EE.UU. 499 pp.


El resumen el modelo es:

Modelo de Loteo No Capacitado (ULSP)

{ }

1 1 1

1

t t

0

1 1

0, x 0, y 0,1 10

n n n

t t t t t tt t t

t t t t

t t

t

n

p x h s q y

sas x s d t nx My t ns t ns s

= = =

−

+ +

+ = + ∀ ≤ ≤

≤ ∀ ≤ ≤

≥ ≥ ∈ ∀ ≤ ≤

= =

∑ ∑ ∑

Donde:xt : Cantidad o lote a producir en el período t.st : Stock o inventario al final del período t.yt : Variable binaria, 1 si se incurre en un costo de setup, 0 sino. M : Constante muy grande.

Min

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Este Modelo se puede ver como un problema de flujos en redes.

Modelo de Loteo No Capacitado (ULSP)

0

54321

(p1,q1)

(p2,q2) (p3,q3) (p4,q4)(p5,q5)

(h4,0)(h3,0)(h2,0)(h1,0)

(d1) (d2) (d3) (d4) (d5)

Arco

PERIODO

Demanda

Costo Variable del Flujo

Costo Fijo del arco


Método Wagner-WhitinDe este modelo se puede obtener las siguientes onservaciones:

Obs 1. No hay ciclos: Un resultado de la teoría de redes indica que el flujo en una red no forma circuitos.

Obs 2. Caracteristica de la solución: Una caracteristica de la Solución óptima es que se deb cumplir que st-1xt=0. Es decir para que exista producción en u período (xt<>0), no debe existir un inventario previo (st-1= 0) o, si hay un invenatrio de un período a otro, el período subsiguienteNo tiene producción.

Obs 3. Reformulación: Por la ecuación de balance de inventarios, es posible eliminar la variable de stock o la variable de producción del modelo.

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Método Wagner-Whitin

1 1 1 1 1 1 1

n n n t n n n

t t t t t i it t t t t t itt t t i t t t

p x q y h x d c x q y h d= = = = = = =

⎛ ⎞+ + − = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

El método que propusieron Wagner y Within consiste en la aplicación de la programación dinámica, pero además hicieron uso de las observaciones antes vistas para obtener un algoritmo más eficiente.Empecemos por definir:

dit : Como la demanda acumulada entre los periodos “i” y “t”.

Ahora. considerando que s0=0, y haciendo uso de la ecuación del balance de inventarios, podemos hacer:

Reemplazando esto en la función objetivo tenemos:

1

t

it ii

d d=

= ∑

11

t

t i ti

s x d=

= −∑

Donde el ultimo término es una constante


Método Wagner-Whitin

{ }( ) min ( -1) t t tkH t H t q c d= + +

De esta manera ct está definido como:

1

t

t t ii

c p h=

= −∑Ahora hagamos H(k) como la solución de mínimo costo entre los períodos 1…k. Si t ≤ k, es el último período donde hubo producción, resulta que los períodos previos : 1…(t-1) , tambien pertenecen a la solución optima y por lo mismo tenemos que H(t-1)

Esto permite hacer la siguiente recursión:

1 t k≤ ≤

Con H(0)=0.

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Método Wagner-WhitinVeamos un ejemplo

Sea n=4, d = (2,4,5,1), p=(3,3,3,3), h=(1,2,1,1) y, q = (12,20,16,8).Primero debemos obtener ct y dit.

c = ( 8,7,5,4)

(d11, d12, d13, d14) = ( 2,6,11,12)

y tenemos que la constante es : 11

37n

i tt

h d=

=∑


Método Wagner-WhitinAhora determinemos H(k) usando la recursión:

H(1) = q1+c1d1= 12+2*8= 28H(2) = Min {28+c1d2; H(1)+q2+c2d2} = {28+4*8; 28+20+4*7}={60;76} = 60H(3) = Min {60+c1d3; 76+c2d3;H(2)+q3+c3d3}= {100,111,101} = 100H(4) = Min {100+c1d4; 111+c2d4;101+c3d4; H(3)+q4+c4d4} = {108,118,106,112}= 106

Trabajando hacia atrás, tenemos que:

H(4) = 106 = H(2)+q3+c3d34 , entonces esto implica y3=1 x3=6, y4= x4=0H(2) = 60 = q1+c1d12, entonces esto implica y1=1, x1=6, y2=x2=0.

Así tenemos que la solución óptima es:x = (6,0,6,0) y =(1, 0, 1,0) s= (4,0,1,0)

Cuyo valor en la función objetivo inicial es 106-37=69.

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Otros métodos de soluciónEl problema original se puede formular y resolver como un problema de Rutas mínimas. Para esto debemos obtener todos las posibles alternativas y representarlas en una red. Para nuestro ejemplo tenemos.

Esta red se puede resolver por el método de Dijsktra de rutas mínimas.

0 1 2 3 428 4841 12

108

10060

46

83

90


Modificaciones al ULSPDel modelo ULSP se pueden extraer varias alternativas.

1.- Incluyendo Devolución de lotes.2.- Incluyendo posibilidad de perder ventas.3.- Con perecibilidad en los productos.4.- Con remanufactura.5.- Con ventanas de tiempo.6.- Producción con Capacidad.

Para cada uno de estos de debe aplicar un algoritmo nuevo, y de todos ellos el más importante es el 6. Dando origen al MRP-II.

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