Unidad 4

FUNCIONES Y GRÁFICAS

4.1. Sistemas de coordenadas cartesianas, graficación. 4.2. Funciones definición, clases, variación y paridad. 4.3. Función cuadrática. 4.4. Análisis de la función lineal. Punto medio, distancia

entre puntos y pendiente de una recta 4.5. Ángulo entre dos rectas 4.6. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas.

4.7. Formas de la ecuación de la recta.

FUNCIONES REALES

Antes de iniciar con este capítulo, recuerde que el término función o aplicación es uno de los más importantes en el estudio de la matemática. Además, tenga presente los principales conjuntos numéricos: N, Z, Q, I=R-Q, R, C

Hagamos unas preguntas preliminares:

¿Qué diferencia hay entre funciones recíprocas y funciones inversas?

¿Qué diferencia hay entre valores recíprocos y funciones inversas?

Qué son de lo anteriormente mencionado:

¿El seno y la cosecante?

¿El seno y el arco seno?

¿Cuál es la función inversa de la función seno?, ¿cómo están definidos sus dominios y recorridos?

Aplicación, dominio, codominio, recorrido

Sean A,B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se llama Aplicación (o función)

de A en B y se denota f: AB, cuando cada elemento de A se corresponde con uno y un solo elemento de B.

f: A B

x f(x)

Al conjunto A (donde está definida la función) se lo llama Dominio de la función; esto es Dom(f) = A

Al conjunto B (donde están los valores de la función) se lo llama Codominio de la función; esto es Cod(f) = B

Al elemento de B correspondiente de x mediante la función f se llama Imagen de

x, se denota f(x). La correspondencia entre x e y=f(x) se expresa: x y = f(x); o x

f(x)

Al conjunto de todas las imágenes se llama Conjunto Imagen o recorrido de f, se

denota f(A) o Im(f), o también Rec(f). En general f(A)B.

Si yf(A), al elemento x de A tal que y = f(x) se lo llama Pre imagen de y

DEF. Se llama gráfico (o grafo) de una función real en y se denota al siguiente conjunto

= {(x,f(x)) / xDom(f)}

dichos puntos se obtienen con la ecuación de la función y=f(x) por todo x del dominio de f

NOTA. El término Aplicación es más general que el de Función.

EJEMPLO: De aplicaciones:

1. T: / T(x,y,z) = (x+y-2z, y+z, 2x-3y) (Aplicación lineal)

2. T: C R+ / T(a+bi) = (Aplicación módulo de un complejo)

3. T: K / T(A) =A (Aplicación determinante)

4. T: K / T(A) = (Aplicación traza de una matriz)

5. T:x / T(A,B) = A+B (Aplicación adición de matrices)

6. D: K[x] K[x] / D() = (Aplicación derivada de un polinomio)

7. f: R x R R / f(a,b) = a+b (Aplicación adición de reales)

8. f: R R / f(x) =2x-3 (esta aplicación está definida en R y toma valores en R)

NOTA. Cuando el dominio y codominio son subconjuntos reales, se prefiere utilizar el término función.

NOTA. Una función f: AB, más concretamente:

Si A R, B R se dice función real de variable real

Si AZ, B R se dice función real de variable entera

Si A R, BZ se dice función entera de variable real

Si AN, B R se dice función real de variable natural

Si AQ, B R se dice función real de variable racional

Si AC, B R se dice función real de variable compleja

Veamos otros ejemplos

f: R , nZ función vectorial de variable real

f: R función real de variable vectorial (campo escalar)

f: función vectorial de variable vectorial (campo vectorial)

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Supongamos de tener un conjunto de enfermeras {a,b,c} con una inyección para cada persona, y un conjunto de personas {m,n,o,p}.

Cada enfermera debe elegir a una sola persona para inyectarla; así por ejemplo:

La enfermera a elige a la persona m

La enfermera b elige a la persona n

La enfermera c elige a la persona o

La persona p no fue elegida.

Es decir, dos enfermeras distintas inyectan a dos personas distintas. Una correspondencia de este tipo entre los elementos del dominio y codominio de una función se dice UNÍVOCA.

Estamos listos para dar la definición de función inyectiva.

DEF. Una función f: AB, se llama INYECTIVA sí:

, A f() f()

En las demostraciones, generalmente se utiliza su contra recíproca; es decir:

f es inyectiva (f() = f() = )

NOTA. De ser posible se pone como codominio el conjunto imagen; caso contrario se pone cualquier conjunto que contenga al conjunto imagen. (poner R

siempre está bien si Im(f)R)

Para entender el concepto de función sobreyectiva, supongamos de tener un conjunto de chicos {a,b,c} y un conjunto de bicicletas {m,n} en número menor o igual al de los chicos.

Supongamos que el juego consista en que todas las bicicletas deban ser llevadas por los chicos; y esto suceda de la siguiente manera:

El chico a se lleva la bicicleta m

Los chicos b y c se llevan la bicicleta n.

Es evidente que esta vez el conjunto imagen y el codominio coinciden, esto es, todos los elementos de B son imágenes; es decir:

f(A) = B

Ahora demos la definición:

DEF. Una función f: AB, se llama Sobreyectiva sí:

yB xA / y = f(x)

DEF. Una función f: AB se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

En este caso, entre los elementos de A y B se puede establecer una correspondencia biunívoca.

EJEMPLO. Demostrar que la siguiente función es biyectiva.

f: R R / f(x) = ax+b; a,bR, a0

Probemos que es inyectiva; en efecto:

f() = f() a+b = a+b a= a =

En la segunda igualdad sumamos b a los dos miembros y luego dividimos por a los dos miembros.

Probemos que es sobreyectiva; sea y’R, considerando x =, se cumple:

f(x) = f() = a()+b = y’ f(x) = y’

con lo que, hemos probado que para cualquier y’R, xR / f(x) = y’. De esta manera queda probado que la función es biyectiva.

Una función real graficada en se dice limitada superiormente (inferiormente) si el conjunto imagen (o recorrido) Im(f) es limitado superiormente (inferiormente); es

decir, si toda la gráfica está bajo (sobre) una recta y = k, kR

Una función real f se dice limitada si es limitada superior e inferiormente.

Monotonía y periodicidad de una función

Monotonía de una función

f: AB se dice estrictamente creciente ssí (sí y sólo sí):

, A < f() < f()

f: AB se dice no decreciente ssí:

, A < f() f()

f: AB se dice estrictamente decreciente ssí:

, A < f() > f()

f: AB se dice no creciente así:

, A < f() f()

TEOREMA 1. Toda función estrictamente monótona es biyectiva.

Periodicidad de una función

Una función f: AB se dice periódica de período wR+ si xA, kZ también

x+kwA y se cumple que f(x+kw) = f(x)

Se llama período principal (si existe) al mínimo de los períodos; todos los otros son múltiplos del período principal.

NOTA. Se debe hacer notar que la función periódica es invariante por traslaciones; es decir, cada cierto período del dominio se repite su gráfica.

¿Conoce usted funciones periódicas?. Diga cuáles.

EJEMPLO.

Las funciones trigonométricas: seno y coseno son periódicas de período 2,

tangente y cotangente son periódicas de período .

Función par e impar

Una función f : A B es:

a) Par si xA también xA y se cumple que f(x) = f(x)

b) Impar si xA también xA y se cumple que f(x) = f(x)

NOTA. a) Los puntos (x,y) y (x,y) son simétricos al eje y; por eso, la gráfica de una función par es simétrica al eje y

b) Los puntos (x,y) y (x, y) son simétricos al origen, por eso la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Algunos ejemplos de funciones reales

Función polinomial

Se llama función polinomial en una variable, a la siguiente:

f: R R / f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1x

n-1 +anxn ; a0, a1, ... , an R

si an0, el entero no negativo n se llama grado del polinomio f(x)

Función afín y lineal

Se llama función afín a la siguiente función polinomial de primer grado

f: R R / x f(x) = ax+b; a,bR

La gráfica de los puntos (x,f (x)) / f(x) = ax+b es una recta; luego, la gráfica de la función afín es una recta no paralela al eje y.

Analicemos la función afín:

a) Si a 0. El número a se llama coeficiente angular o pendiente, y el número b se llama ordenada en el origen de la recta y = ax + b

b) si a 0 y b = 0, nos queda la función f(x) = ax que se llama lineal porque verifica la siguiente propiedad:

m,nR )nf(x)mf(x )nxf(mx Dom(f)x,x 212121

En efecto:

)nxa(mx )nxf(mx 2121 )nf(x)mf(x )n(ax)m(axanxamx 212121

Para los casos a) y b), si a>0 la función es estrictamente creciente, si a<0 la función es estrictamente decreciente.

c) Si a =1 y b = 0, la función f(x) = x se llama identidad, su gráfica es la recta

bisectriz del primero y tercer cuadrantes. Si a =1 y b = 0, la gráfica de la función f(x)= -x es la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.

d) Si a = 0 y b 0, la función f(x) = b se llama constante, su gráfica es una recta paralela al eje de las x, intercepta al eje y en b; es: limitada, ya que su recorrido es {b}; par; monótona, periódica de cualquier período (luego, sin período principal).

NOTA. En los casos a), b), c) Dom (f) = Rec(f) = R; en el caso

d) Dom(f) = R, Rec(f) ={b}

Función Cuadrática

Se llama función cuadrática a la siguiente función polinomial de segundo grado

f: R R / xf(x) = ax2+bx+c; a,b,c R, a0

La gráfica de una función cuadrática es una parábola de eje paralelo al eje y.

Analicemos esta función:

a) Si b = c = 0, a > 0; la función f(x) = ax2 es estrictamente decreciente en ], 0[ y

estrictamente creciente en ]0, +[. Si a<0 es estrictamente creciente en ], 0[ y

estrictamente decreciente en ]0, + [. El único cero de f es 0, luego la función pasa por el origen.

b) Sea b = 0. Si a>0 y c>0 la gráfica de f no corta el eje x, luego f no tiene ceros

reales; el recorrido de f es [c, +[

Si a>0 y c<0; o, si a<0 y c>0, la gráfica de f corta al eje x en dos puntos, luego

tiene dos ceros reales; en el primer caso el recorrido de f es [c,+ [, y en el

segundo caso el recorrido es ], c]

c) Si a,b,c no son nulos. Ya que:

2a

4acbbx

2a

4acbbxacbxax

222

entonces:

- Si b24ac>0 la f tiene dos ceros reales: y

- Si b24ac = 0 la f tiene un cero real:

- Si b24ac<0 la f no tiene ceros reales

- Si a>0: la f es estrictamente decreciente en

y es estrictamente creciente en , su punto mínimo es las coordenadas de su vértice

- Si a<0 la f es estrictamente creciente en y es estrictamente decreciente en

, su punto máximo es . ¿Por qué?

NOTA. Si tenemos la función f(x) = ax2+c, el punto (x = 0, f(0) = c) es decir (0,c) es máximo si a<0, es mínimo si a>0.

Si tenemos la función f(x) = ax2+bx+c con a,b,c 0; ya que:

poniendo x’=, entonces, el punto es decir es el vértice de la parábola f(x) = ax2+bx+c, es máximo si

a<0 , es mínimo si a>0.

Función racional fraccionaria

DEF. Sean p(x), q(x)K[x] con q(x)0, se llama función racional fraccionaria la siguiente:

0q(x) ;xb...xbxbb

xa...xaxaa

q(x)

p(x)f(x)

m

m

2

210

n

n

2

210

Nótese que si grad(q) 1 una función racional no es polinomial

NOTA. Un caso particular de función racional fraccionaria es la denominada función homográfica, cuya ecuación es:

a,b,c,dR,

que geométricamente representa una hipérbola equilátera de centro el punto y asíntotas: x = , y =

Función valor absoluto

DEF. Se llama función valor absoluto la siguiente:

f: R R + / x f(x) = x :=

0 xsix

0 xsix

Analicemos esta función:

a) Como f (R) = [0,+[ la f es limitada inferiormente pero no superiormente.

b) Como -1<0<1 y -1>0<1, la f no es monótona (es monótona a trozos).

c) La f es par, ya que xR x=-x

d) No es periódica, ya que no existe wR+ / xR y kZ sea: x+kw=x

Su gráfica son dos semirectas bisectrices del primero y segundo cuadrantes.

NOTA. El punto mínimo de f(x) = x es (x = 0, 0) = (0,0). El punto mínimo de f(x)

= ax+b es (ax+b=0, 0); es decir, el punto de coordenadas

Función compuesta

Sean las funciones: f: A B, g: B C

Si xA la función g aplicamos a las imágenes f(x), es decir hacemos g(f(x)), obtenemos una nueva función h(x) = g(f(x)). Esta nueva función se llama función compuesta de f con g y se denota gof, misma que queda definida de la siguiente manera:

h = gof : AC / h(x) = (gof)(x) := g(f(x))

lo que es posible hacerlo sólo cuando Im(f) Dom (g). Nótese que: Dom gof = Dom f

Función inversa

Si la función f: AB es biyectiva, podemos considerar la función

g: B A

t.q a cada yB imagen de xA la asocie justamente la x preimagen de y, es decir g(y)=x

La función g se llama función inversa de f y se denota

Sea xA, sea y = f(x) la imagen de x mediante f, entonces, se cumple:

(gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x = I A

(fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y = I B

NOTA. Se demuestra que si f es estrictamente monótona es biyectiva, luego invertible.

Demostremos que la inversa de una función estrictamente monótona mantiene la monotonía.

LEMA 1. Si f es estrictamente creciente [decreciente] su inversa es también estrictamente creciente [decreciente]