cap. 2 dist de esfuerzos (ligero).pdf

CAPITULO

Distribución de Esfuerzos en la Masa de Suelo

Mecánica de Suelos Teórica J.A. Díaz-Rodríguez

T 2. Distribución de esfuerzos en la masa de suelo

2.1 INTRODUCCIÓN

La construcción de una estructura y su cimentación causa un cambio en el estadode esfuezos en la masa de suelo de soporte. El incremento de esfuezos en lamasa de suelo depende de la magnitud de la carga, la forma del área cargada, lageometría de la carga, la profundidad de desplante y de otros factores más.

Este capitulo trata con los problemas de ingeniería civil en los cuales es necesariodeterminar el estado de esfuezos inducido en la masa de suelo, debido a laaplicación de cargas aplicadas cerca de la superficie del terreno, sin inducir fallapor capacidad de carga. La distribución de esfuezos no depende de lascaracterísticas esfuezo-deformación del suelo, en cambio la distribución dedeformaciones si.

Para la solución de un gran número de problemas prácticos, se utiliza la Teoría dela elasticidad, considerando al suelo como un medio continuo, homogéneo eisotropo y, además, que existe una relación lineal o proporcional entre esfuerzos ydeformaciones.

Las inexaciitudes que resultan debido a que los sueios no son elásticos, son demagnitudes desconocidas y parece difícil que se puedan entender completamente.Además, las condiciones existentes en un problema real, rara vez son semejantesa las condiciones sobre las cuales se han basado las formulas que se obtienen.

Desde luego que el uso de la teoría de la elasticidad involucra grandessimplificaciones, que pueden estar alejadas de las características de un suelo real;sin embargo, se reconoce que las soluciones a las que se llega, aunqueaproximadas, resultan en no pocos casos, de aproximación suficiente para lapráctica profesionai.

Mecánica de suelos teórica J. A. Díaz-Rodríguez


Desde luego que los resultados deberían verse con criterio y, no pocas vecesajustarse con la experiencia.

2.2 HIPÓTESIS SIMPLIFICATORIAS

Los suelos son materiales complejos que no pueden modelarse matemáticamentesin introducir hipóiesis que simplifiquen su caracterización. Para el cálculo deesfuezos, se hacen las siguientes hipótesis:

. Es un medio continuo. El suelo en realidad es un medio particulado, sinembargo esta hipótesis evita las complicaciones de la distribución deesfuerzos derivadas de las concentraciones de esfuezos en los contactos,las fisuras, las grietas y demás imperfecciones.

r Es un med¡o homogéneo. Esto significa que las propiedades mecánicasson la mismas en todos los puntos del medio. Es decir que el medio notiene vetas, manchas o puntos débiles, blandos o duros.

. Es un medio isótropo. Esto significa que sus propiedades no sondireccionales, es decir no dependen de la dirección en que se miden.

. Es un medio linealmente elástico. Lo cual significa que a todo incrementode esfuezos está asociado un incremento de deformación proporcional, eneste medio es válido el principio de superposición.

2.3 LA TEORíA DE LA ELASTICIDAD

El problema fundamental en la teoría de la elasticidad es determinar en cadapunto y en cada dirección de un cuerpo elástico los seis componentes de esfuezo(o,, or, o., ryy, tyz, rzx),los seis componentes de deformación (e", er, er, vry, yy., yr"),y los tres componentes de desplazamiento (u, v, w) dadas las constanteselásticas, tamaño y forma del cuerpo, así como las condiciones de frontera.



Aa^ /li /lL-'? ", / |I't / |

,*y' --.' /.\t*/

\¿

;-1i

Ildvtr

l-"

I

Fig. 2.1 Estado de esfuerzos en un elemento en coordenadas rectangulares

Un medio elástico lineal esiá caracterizado con tres constanteó:

' Módulo elástico (Módulo de Young) -+ E= o / e

. Módulo al cortanie (Módulo de rigidez) -> G = t lv

. Relación de Poisson -) v = - et / t

Donde:6' = esfuerzo normal = P /At = deformación normal

r = esfuerzo codante = T /A

1 = deformación cortante

er = deformación transversal

Existe una relación entre las tres constantes

EG = 2(1+,

Las condiciones de frontera pueden prescribirse como cargas aplicadas' como

Jásplazam¡entos aplicados o como ambos'

4

Mecánica de suelos teóricaJ. A. Díaz-Rodriguez

T 2. Distribución de esfuezos en la masa de suelo

F+

Fig. 2.2 Definición de deformación normal y deformación de cortante

Fig. 2.3 Definición de relación de Poisson

Existen 15 incógnitas y se tienen 1 5 ecuaciones diferenciales parciales, seisrelaciones esfuezo-deformación, seis relaciones deformación-desplazamiento ytres ecuaciones de equilibrio, teóricamente estas 15 ecuaciones diferenciales sonnecesarias y suficientes para determinar las 15 incógnitas.

Relaciones esfuezo-deformación :

llre. ="lo^-v1or+o,)l

1r 'r

€r=rlor-v(o,+o")l



'.=ib.-v(o-+o,)]

T*u r '"Iry G rrz-

G

Au au Av

ox dy dx

", -xuG

av Av aw'oydzoy

aw aw auI^_ ^ó7, dX d7.

Relaciones deformación-desplazamiento:

Condiciones de equilibrio:

áo" * &r

* &* ..,. ¡ = ga(4Az

&t*óor*á.o*y=6AxqAz

&u,&u,óo,,- ^AxfuAz

Las condiciones de frontera son usadas para evaluar las constantesintegración. Las ecuaciones de compatibilidad son usadas para asegurar quedesplazamientos son funciones continuas del espacio de variables.

El propósito es obtener soluciones matemáticas para todo problema que se nospresente en la práctica de la ingeniería. Una solución analítica es una expresiónmatemática que proporciona los valores de las incógnitas en cualquier punto delcuerpo, como consecuencia es válida en un número infinito de puntos del cuerpo.

delos



Sin embargo, una solución analÍtica sólo puede ser obtenida únicamente para

ciertas situaciones simples.

2.4 SOLUCIONES OBTENIDAS

2.4.1 T eoria de Boussinesq (1 885)

Una solución original e importante para el cálculo de los esfuerzos en el interior deun semi-espacio linealmente elástico debido a una carga puntual actuando en ladirección normal a la super{icie del semi-espacio se debe a J. V. Boussinesq en

1885. (Fis. 2.4)

Fig. 2.4 Sistema coordenado para el caso de Boussinesq

Las hipótesis consideradas por Boussinesq son:

i" El medio es elástico, homogéneo, isÓtropo, semi-infinito y obedece la ley de

Hooke.

z. El medio no tiene peso propio.3. El medio no tiene historia previa de esfuezos.4. La distribución de esfuerzos es independiente del iipo de material del medio.

5. En el medio es válida una distribuciÓn de esfuerzos lineal.



u. Existe continuidad de esfuerzos.*. La distribución de esfuezos es simétrica con respecto al eje z.

Al comparar y evaluar la cercanía que existe entre las hipótesis empleadas en el

desarrollo de la teoría y las condiciones reales de un sitio, se puede llegar a laconclusión que no es apropiada la teoría de Boussinesq para conocer la

distribución de esfuezos en una masa de suelo.

Por otro lado, los resultados de experimentos realizados tanto en el laboraioriocomo en el campo han demostrado que cuando las condiciones de froniera delmodelo analítico se aproximan a las condiciones in slúu la distribución corresponderazonablemente

Por último debe aclararse que el uso de una teoría podrá considerarse apropiadaen la medida que los casos reales guarden suficiente aproximación con laspredicciones.

Los resultados obtenidos por Boussinesq (1885), en coordenadas cartesianas,son:

3P 2,3 3P

2¡ R5 2nz'.(1)

[, *1.)'1"'L \,/ l

Tp I 3t2z) ¿'li I _qL x*

(2)

(3)' t-lx'¿ \ ¡*t ¡

¡,-.t/ [

I -¿ - -.¿(i - "a') (--" --' -t

\tr t2 (¡. + r)

L, --?(.i -2vil I -.* -f\RtZ tt * =¡

.,2" \l::^l It¡r'/l

y en coordenadas polares:

P l3zr' 1- 2v Io =-l ---l

' 2nlR' R(R+z)l

p I t zfo" =l(l-2url ' - -,

I' 2n ' '[ R(R + zt R'_l

(4)

B

Mecánica de suelos teórica

(5)

J. A. Díaz-Rodríguez


3P zzr

2n Rj

ru.=t*=0

Nótese que en la ecuación (1 ) la magnitud del esfuezo vertical es independientede las constantes elásticas del medio, por lo tanto, podemos escribir:

Po, = I^i (8)

z'

en donde ls és un coeficiente o valor de influencia, el cual depende de lageometría del problema y cuya magnitud está dada por:

r" =:. -L-'. (9)¿ttt / -\r ¡

lr+f ll II tz/ lLos valores de ls están tabulados en func¡ón de la relación (rlz) enlaTabla2.l .

2.4.2 Formas de distribución del esfuezo vertical

Utilizando la ecuación de Boussinesq se puede representar la distribución delesfuezo vertical de tres formas:

a. A lo largo de una horizontal

Datos: P, z

. . _T D.. \Jz - rB.r

con esta expresión se calcula la tabla siguiente

z = constanter rlz ls oz

(6)

(7)

IMecánica de suelos teórica J. A. Díaz-Rodríguez

T 2. D¡stribución de esfuerzos en la masa de suelo

Tabl¡ 2 I Valores del coeftctente cle inlluencta e i. segun la teoria .le Bor:ssines'¡8-

tlz lR IBIBIB

0.00 0.47746 2.45 0.00368 4.90 0 0001s

0.05 0.41449 2.50 0.00137 4.95 0.00015

0.10 0.465'13 2.55 0.00310 5.00 0.00014

0.15 0.451ó3 2,60. 0.00285 5.05 0.0lnl3

0.20 0.4328'1 2.65 0.00262 5.10 0'0001J

0.25 0.41032 z.:to 0.00241 5;15 0 00012

'0.30 0.38492 2.75 0.00223 5.20 0-00011

0.35 0.15766 2.80 0.00206 5.25 0.00011

0.40 0.32946 2.85 0,00190 5.30 0.00010

0.45 0.301I ¡ 2.90 0.00176 5.35 0 00010

0.50 0:273J2 2,95 0.00163 5.40 0.00010

0.55 A-24660 3,00 0.00151 5.45 0.00009

0.60 a.22t36 3.0s 0.00140 5.50 0'00009

0.65 0.19784 3.10 0.00130 5.55 0.00008

0.70 0.r?619 3.15 0.00121 5.60 0.00008

0.?5 0.t5646 3.20 0.00lll 5.ó5 0.00008

0.80 0.138ó2 3.25 0.00105 5.70 0.00007

0.85 0.t2262 3.30 0.00098 5.75 0.00007

0.90 0.10831 3.35 0.000t1 5.80 0.00(10?

0.95 0.09564 3.40 0.00085 5.85 0 00006

l.o0 0.08440 3.45 0.00080 5.90 0.0000ó

t.05 o.o'1449 3.50 0.m075 5.95 0.00006

l.l0 0.06576 1.55 0.00070 6.00 0.00006

l.l5 0.05s09 3,60 0,0006ó , 6.05 0,0000ó

t.20 0.05t34 3.65 0.00062 6.10 0.00005

1.25 0.04543. 3.70 0.00058 6.15 0.00005

1.30 0.04023 3.75 0.00054 6.20 0.m005

1,35 0.035¡8 3.80 0.00051 6.2s 0.00005

1.40 . 0.03168 3.85 0.00048 ó,30 q.m005

1.45 0.02816 3,90 0-00045 6,35 0,00m4

t.50 0.02508 3.95 0.00M3 6.40 0.00004

1.55 0-02236 4.00 0.000(} 6.45 0i0004

1,60 0.01997 4.05 0.00038 6.50 0 00004

r.ó5. 0.01?86 4.10 0.m03ó 6.55 0 00004

l.?0 0.01600 4.15 0.00034 ó.ó0 0.00004

t.'tl 0.01436 4.20 0.00032 6.65 0.00003

r.80 0.01290 4.25 0.m030 6.'10 0.00003

1.85 0.0 61 4.30 0.00028 6.75 0.00003

r.90 0.0t04? 4.35 0,0002'l ó 80 0.00003

r.95 0.00945 4.40 0.0002ó ó.85 0 00003

2.OO 0.00854 4.45 0.00024 ó.90 0.00003

2.05 UAO'I'| 4.50 0.00023 ó.95 0.00003

z.to 0.00?01 4.55 0.00022 7.00 0.00003

:t .05 0.00003

7.lo 0.000037.r5 0.00002't.20 0.00002

2.ts 0.00ó37 4.60 0.00021

2.20 0.00579 4-65 0.00020

2.2s 0.0052¡ 4.70 0.00019

2,30 0.00481 4.'15 0.00018

7 -35 0.00002

1.4A 0.00002

?.45 0.000027-50 0.00002

7.55 0.00002

7.ó0 0.00002

7.6s 0.00002

7.70 0.000027.15 0.00002

7.80 0.00002

7.85 0.00002

1.90 0.00001

1.95 0.0000r8.00 0.0000t8.05 0.0000¡8. t0 0.00001

8. ¡5 0.00001

8.20 0.00001

s.25 0.00001

8.30 0.00001

8.35 0.00001

8.40 0.00001

8.45 0.00001

8.50 0.0000t

8.55 0.0000¡8.60 0.0000¡8.óJ 0.00001

8.?0 0.00001

8.75 0.00001

8.80 0.00001

s.85 0.00001

I90 0.00001

8.95 0.00001q.00 0.000019.05 0.00001

9.t0 0.00001

9.15 0.0000t9.2A 0.00001

9.25 0.00001

9.30 0,000019.35 0.00001

9.40 0.00001c.4s 0.00001

9.j0 0.00001

9.60 0.00001

9.?0 0.00001

9.80 0.00001

9.90 0.00000

10.00 0.000002.35 0.00440

2.40 0.00402

4.80 0.00017 't.25 0.00002

4.85 0.0001ó ?.30 0.00002

Mecánica de suelos teórica10


\---._.


b. A lo largo de una vertical

Datos: P, rP

o. =Ie ,7.

r = constantez rlz le 22

c. Diagrama de isobáricas

una isobárica es el lugar geométrico que une todos los puntos de igual esfueao.

En otras palabras una isobárica es un contomo de igual esfuezo.

Datos: P, o'

PCOITIO o, = I";

Z-aT^

entonces r. --K:+ .. Ie =iztPz'En este caso las incógnitas son tanto r como z, esta Última tiene un valor límite

que deberá calcularse.

Cuando r=0; la =0.478

EA.n-miÁ 1 r

o' = constantez ls rlz r




2.4.3 Soluciones de R. E. Fadum (1948)

Basado en las hipótesis y solución de Boussinesq para una carga puntual, Fadum(1948), obtuvo soluciones, para tres casos muy útiles para la práctica profesional.

Esfuezo vefical causado por una carga de línea.

La figura 2.5 muestra el sistema de referencia para la solución de Boussinesqpara la condición de una carga lineal uniformemente distribuida de longitud Y y dep unidades de carga por unidad de longitud.

Se utiliza la expresión para la carga puntual pero de intensidad diferencialexpresada mediante:

dP=Pdy

Fig. 2.SEsfuerzo veñical causado por una carga lineal uniformemente distribuida.

lPd ,3d6=--r't a-L)t-¡:(z'+¡-¡'

o = l' 3!'' ^ du' k 2rQ'+r') "


J. A. Diaz-Rodríguez


a. A lo largo de una horizontal

c. Diagrama de

Fig. 2.5 distribución del esfuezo vertical según

b. A lo largo de una vertical

isobáricas

la solución de Boussinesq (1B85)


l?J. A. Díaz-Rodríguez


cuya solución es:.1I yz-

^11¿1t x +y

z1p2n

2)rl'xt+zt)

Haciendo las transformaciones m=* y n=I

se tlene

'+yt +z'

n ( t , 2 )_,(m' +t¡1ffi ¡ *1 [m' +n' +[' m' +lJ -'an

en forma simplificada la expresión puede escrib¡rse:

6' =I"rPz

en donde

(10)

lep es el valor de influencia,

Es importante hacer notar que los valores de "m y "n" no son intercambiables.

Si se desea calcular el esfuezo en un punto que no se encuentre bajo laintersección de los ejes, bastará suponer el origen de otro sistema sobre el puntodeseado, calcular el esfuezo actuante debido a una línea cargada de longitud y+y restar el esfuezo provocado por una linea de longitud " ".




rectanoular.

Fig.2.6 Esfuezo vertical causado por una carga uniformemente repartida sobre

una suPerficie rectangular'

Utilizando la expresión para carga puntual

diferencial de carga se tiene;

dP = w d*dv

. 3wd-d, z'"'= , o= * r=r"

o ,3a23 zt

".=IItrr;,,,'.0.0'cuya solución es

2xyz(x'z + y' + ,')t'' x' +y + lz Zxyz(xz +y' +t')t''

y considerando la acción de una

+ ang tanz'1xt +y'+z'¡-x

o,Io =-l' 4nl x'+yt +zt

xm=- YZ

4nl z'7x= + y' + z') + x'y'

Haciendo las transformacionesz




r.'t 2mn(mr + nt + l)"t4zr (m: + n: + l) - m:nr

finalmente la expresión queda:

02 = ls¡y W

en donde

lsr,4/ es el valor de influencia, en función de "m" y "n", los cuales en este caso soninte rcam b ia bles.

Si se quiere calcular el esfuezo vertical en un punto que no esté situado bajo elorigen del sistema de ejes, será necesario util¡zar el principio de superposición deesfuezos.

Esfuezo vertical causado por una carqa uniformemente distribuida sobre un áreacircular.

dÁ = p dlldp

Fig.2.7

Utilizando la expresión para cargadiferencial de carga se tiene:

dP = r¡dA ; dA = pd pdo

puntual y considerando la acción de una

II

I,¿+----^

n)I

I

I

-I


J. A. Díaz-Rodrlguez


, 3opdpd0 z'OO- =- ^--' 2n (z- + r')"''

Á i lr', z l

o.=l[ , ,.-pdpdoü "r ht(z- + r- )' -

cuya solución es:f , .¡rr-lllrlo =col l-i t I' | 1l+trlz\' Il

En forma abreviada

O¿- lgq W

en donde

leo es el valor de influencia

2.4,4 Carta de Newmark (1935)

Basándose en la ecuación anterior, N. M. Mewmark (1935) desanolló un métodográfico para calcular la distribución de esfueaos en un medio que cumple con lashipótesis de Boussinesq para el caso de una carga uniformemente repartida sobreuna superficie de forma cualquiera.

- 1l 12

r =l-l ' ,l"' [1+ 1ri z¡']

Para explicar la construcción de la gráfica de Newmark o red de esfuezos seprocederá de la forma siguiente:

Se plantea uno la sigu¡ente pregunta:

¿Cuál es el radio de un área circular cargada con una carga uniforme "rd" para

causar un esfuerzo vertical de 0.1 to a una profundidad z?

datos: o, z, o, = 0.1 a




r

lsrtrt=0.1 tr)

r 1lt2lllt_t

It +1, tt¡' I

IB" =0.1=1-

lncognita:

como: oz

Iz

=0.27

Si se escoge un segmento que a escala represente a z, se puede dibujar uncírculo de r = 0.27 z.

Si queremos causar un esfuerzo del doble del caso anterior a la mismaprofundidad, la relación será:

L =o.qz

el cÍrculo correspondiente tendrá r = 0.40 zi

Fis.2.7




Las rd¿'ot y d" .Urla wu r¿ ¡¡.¡ l1a ¡ryr sr '

y- i Ó.2+Zf " O. 2?(2'?ú)f . O"72? cn. ,//¿.t¿n)

t_ -- a. qa

i, o''to ( 2 la¡( '- /.08( 14 r' P a-¡

d /a drs+ Aé

a)' (S Z' G*T'O.)

X drkrmtnA /.

Fig. 2.8 Carta de Newmark para esfuezos verticales (Newmark, 1942)




Si se dibujan los círculos correspond ientes á lsq = 0.3 ... 0.9 se obtiene una cartacon 9 círculos. Si se divide cada cuadrante con 5 radio vectores, se tendrá unamalla cuyo valor de influencia será 0.1120 = 0.005, lo cual significa que cadasegmento contribuirá con 0.005 i¡ al esfuezo causado a la profund¡dad z.

En la figura 2.8 se tiene un área cargada de la geometría mostrada, y se deseacalcular el esfuerzo causado por esa área cargada a una profundidad z.

Procedimiento:

1 . Deiermine la profundidad z a la cual se requiere conocer el esfuerzo,

2. Dibuje a escala (z) la geometría (planta) del área cargada en un papel.

3. Coloque la planta sobre la carga de tal manera que el punto bajo el cual sedesea conocer el esfuezo quede sobre el origen de la carta.

4. Cuente el número de segmentos (N) que cubre el área cargada.

5. Calcule el incremento de esfuerzo vertical

Mecánica de suélos teórica20



II

I

Fig. 2.9 Plantas del área cargada a diferentes escalas.


J. A. Díaz-Rodriguez


2.4.5 Solución de Jurgenson (1934)

Las expresiones para el cálculo de los esfuerzos debido a una banda de longitudinfinita cargada q de carga pqr u_nrd¿d._elc uea para un medio semi-

lnf-nito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico se deben a Jurgenson (1934.)

Ao. = 9 [cr + sencr cos(o + 26)]

1t

¡o" - 9[c, - senacos(a + 26)]1t

donde s y 6 se miden en radianes.

Las expresiones de ios ángulos en función de la geometría dei problema son:

,lx) ,lx-B)c(. = tan 'l - l- tan-'l

- |

\") \')

,lx -B)¡t=tan'l

-l\r)

q = carga por unidad de area



2.4.6Teo¡ia de Westergaard (1938)

cuando un suelo contiene laminacioneq de materiales más gruesos que acentúegrandemente la condición puede darresultados poco aproximados.


H. M, Weslergaard (1938) obtuvo una solución elástica para un mater¡al que sesupone refozado lateralmente laminaciones )nrates. poco

, lo cual evitaas y de espesor sumamente peroque la masa experimente deformaciones laterales.

La expresión de westergaard para esfuezos verticales causados por una cargapuntual es:

P

en donde

P es la magnitud de la carga puntual

z es la profundidad a la que se requiere determinar el esfuezo

v es la relación de Poisson

r es la misma de Boussinesq.

En forma abreviada ypara v=0.

Do, =-I*

en donde

_11'-=;¡qq'

6z

J. A. Díaz-RodrÍguezMecánica de suelos teórica23


Comparando la figura ls y l* se puede apreciar que la distribución de Westergaardda valores para los esfuerzos verticales que son aproximadamente iguales a dostercios de los valores dados por la teoría de Boussinesq.

En la tabla 2.2 se presenta una tabla para los valores de influencia l* paradiferentes valores de v.

T,A3ra 2.2

Valores de Influencia pala carga nornral puntual (Fadum 1948)

Solucion de Boussinesq -to.- luo f,

Soluc¡lon de Westergald Ao, - lup P,

,5

3

leP I 'r,P

'BP wPo.?o o,u62 o.rr4lI O.I72! O,Ir¡92 0,l5ar 0.r09t, 0. 164r o. 10/2| 0,réo, 0,1050

6 o.ri2? c, 10067 0¡144r o.@393 0,L4tt 0-@e9 o,trr2o o.o94.r

!t5

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J. A. Díaz-Rodríguez24



superficie rectangular

Ver gráficas del Taylor y del Bowles.

2.4.7 Teoria de Frdlich (1942)

Frólich propuso una fórmula para calcular la distribución del esfuerzo vertical

inducida por una carga concentrada actuando en la superficie de un medio semi-

infinito, elástico y ?!¡sotrópico.

vPo,, = -1;cos'-- ty

llfz-

.z'COS-\1,= .1 f,(f'+z')

7*2

"[ I I'r _ /!t I¡. --t . I2nll + (r /z't' )

Finalmente la expresión queda

Po,=I¡ "z

Nótese que cuando X = 3 se tiene la solución de Boussinesq'




Gráfica de los valores de influencia la e I' para carga puntual

para d¡stintos valores de rlz y v (solución de

¡.5

+

Valores de la relación o.lwWestergaard)

v=0orlw rlz000 0 000010 0 3430.20 0.5300,30 0.721040 0 9430.50 1.2270.60 1.6200.70 2.2490.80 3 4634090 7 036

", --.1,v

I2¡

['.e)']"I

["'(',)]"

v=0.4o,lw rlz0.00 0.0000i0 0.1980.20 0.3060.30 0.4170.40 0 5440.50 0.7070.60 0.9350.700.80 2 0000.90 4 062

Mecánica de suelos teóricalo



\2,.,/q \{ \\_.-._\\

FiS. Esfuerzo vertical en un punto debido a un área rectangular uniformementecargada

t\t\

r__{

Fig. Esfuezo vertical en un punto debido a una carga puntual aplicada en lasuperficie.

\ \\ lo,

-\



X = 1.5 , aproximadamente la solución de Westergaard para un suelofuertemente estratificado reforzado por estrato horizontales múltiples eindeformables, _1_1Q-

x = 2 suelo estratificado, con estratos de diferentes deformabilidades.

X = 3 solución de Boussinesq, suelo homogéneo e isótropo.

X = 4 suelo homogéneo en que la compresibilidad se reduce con laprofundidad, como en el caso de las arenas.

Haciendo uso de la expresión LC se pueden construir redes de esfuerzos pormedio de las cuales se determinan las influencias unitarias lo en el subsuelo enáreas cualesquiera cargadas con q = +1. La distribución de esfuezos en la masadel suelo puede determinarse con suficiente precisión por medio de la siguienteexpresión:

AH = m,H"Ao

Ao = Iir .g

Paraa=2

t( r \t,, = :l d" + :sen2a. lisenry, - senry,)' 7r\ ¿ )

Para X= 3

r,, = a[*no" - *)* -,y, ) + sen(,y, -,y,)co,(,y, +,],, )]

Para y= 4

q" =tan'

t, = *(; "" + 1 r"n2o" *,"no".or' o"). {{,o,,*,

- r"n,y,) - 1 (r",",y, - r"n'v, }

Los argumentos angulares en las fórmulas anteriores son:.y' - dr,lrtnú., l, I oy,¡tn a lo ¡)ora ¿t crÁ4,^Io

z - f( J <t y.l ro" e-e( ¿.& ntLt




1"x +-^,)

Vr = tan """""!z

1"x--,l,')Vr = tan """'L

z

AH=muHoAo

Ao =l.q

| = coeficiente de influenciaq = carga uniformemente rePartida

I { : l?l'fr"n'" derárea cargadalL . Localización del punto

.rNI ..^Jl

Coeficiente de influencia en j debido a la carga en i en el estrato N

En lo que sigue se usará la teoría de Frólich




Fis.

ESTRATO A{ Z^. d^. M^l

ESTRATO a( 2.. ó'. M.)

ESTRATO c(z<, dc, M.l

E STRATO O(Z¡. do. Llo)

ESTRATO N(zi. dr, l¡dl

r', F+--f e- -+-a. -+-a. --+-"" -+*". -

.t

IIII

-]

J

II

II-+

I

_t

Fig


J. A. Díaz-Rodriguez


Solución de Mindlin (1936)

1. Carga puntual normal a la frontera en el interior de un medio semi-infinito

p l(r-zv)(z-c) . (l -2v)\z-c) 3(z-cl 5o' = 8(r-v) L-- *; - E -S- "-

_3(3 - 4v'tz(z + c)2 - 3clz + c)(52 - c) -

30cz(z + c)r I-r-R-r

,6,0r = ffi l+--'t =,. $ . %*]

31Fig.

(O,O- ¿)


:i'¡*r "


2. Carga puntual paralela a la frontera en el interior de un medio semi-infinito

p ['-2v) (t-2v) j(z-c)'z 3(3-4v)(z+c\'1 kn'Xa ho'i-,..hil)

o'(x'z),=o = f,,,trSl-.-- n.f --n-- - R- Apkaaán pnlab/c- t*zr/as

* I f, -(, -z'X"* "¡- s"(t+ o' | |R:f- '' -'t\" -/ Rj Jl

P(l +v)xIc (3-av)co(x,o)y-o =ñ(,_,)lRi. q Rr(R, + c)

,l4(1- v)(l - 2v

At'l''"-0.03

Fig




.-. Teoría del medio estratificado

Burmister (1943) desarrolló una teoría para tratar una condición comúnmenteencontrada en depósitos naturales. El efecto de una superficie o capa rígida sobreuna material blando, la solución para un área circular uniformemente cargada es:

,t, thlcknessof top layer

+P

(o)

(at lnterface)

Fig

(torf = 1)

flp/,e,c,o't piolab/e:^ /Zt m rzzTt fu¡

- b¿as c4 u ncntat2á4

Mecánica de suelos teóricaÓJ



Referencias

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cap. 2 dist de esfuerzos (ligero).pdf

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