cap 15 stewart7

Integrales múltiples

Losgeologos estudian como se formaron las comineras

y hacen estimaciones del trabajo necesario para

levantarlas sobre el nivel del mar. En la sección 15.8

se le pide que use integrales triples para calcular el

trabajo realizado en la formación del monte Fuji, en

&

© S f l . le e Piloto Tra-.elfer / S lu tler stock

En este capítu lo ex tendem os la idea de integral definida a integrales dob les y triples de funciones de dos

y tres variables. Estas ideas se usarán para calcular volúmenes, m asas y centroides de regiones más

generales de lo que pudimos hacer en los capítulos 6 y 8. T am bién usam os integrales dobles para

calcular probabilidades c uando se involucran dos variables aleatorias.

V erem os que las coordenadas polares son útiles para líi obtención de integrales dobles sobre algún

tipo de regiones. De un m odo similar, in troduciremos dos nuevos sistemas de coordenadas en tres

coordenadas espaciales — cilindricas y esféricas— que simplifican notablemente el cálculo de integrales

triples sobre ciertas regiones sólidas comunes.

973

Integrales dobles sobre rectángulos

CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

FIGURA 1

C asi d e la m i s m a m a n e r a q u e e l in te n to d e r e so lv e r e l p r o b l e m a d e á rea n o s c o n d u jo a la

d e f in ic ió n d e la in te g ra l d e f in id a , a h o ra b u s c a m o s d e te r m in a r e l v o lu m e n d e un só l ido , y

en e l p r o c e s o l le g a m o s a la d e f in ic ió n d e in te g ra l d ob le .

Revis ión de la integra l definida

P r im e ro r e c o r d a r e m o s los h e c h o s b á s ic o s re la c io n a d o s c o n in te g ra le s d e f in id as d e u n a so la

v a r iab le . Si f ( x ) e s t á d e f in id a p a r a a ^ x ^ b, e m p e z a m o s p o r d iv id i r e l in te rv a lo [ci, b] en

n s u b in t e r v a lo s [av-i , x,] d e ig u a l a n c h o A * = (b — a ) /n y e l e g i m o s p u n to s m u e s t r a x ?

en e s to s su b in te rv a lo s . E n to n c e s f o r m a m o s la s u m a d e R ie m a n n

m 1 f i x f ) A.v

y t o m a m o s e l l ím i te de las s u m a s c o n f o rm e n —* co p a r a o b te n e r la in te g ra l d e f in id a d e / d e

a a b:

E n el c a s o e sp e c ia l d o n d e / ( * ) ^ 0 , la s u m a de R iem a n n se p u e d e in te rp re ta r c o m o la s u -

m a d e las á rea s d e los r e c tá n g u lo s de a p ro x im a c ió n e n la f ig u ra 1, y / * / ( * ) d x r e p re se n ta

e l á rea b a jo la c u r v a y = f ( x ) d e a a b.

rA*

/(-V

r \

-V¡- l

| Volúmenes e in teg ra le s dobles

D e u n a m a n e r a s im ila r c o n s id e r a m o s u n a fu n c ió n / d e d o s v a r ia b le s d e f in id as so b re un r e c -

t á n g u lo c e r r a d o

R = [a , b] X [c , d] = {(.r, y) G R 2 1 a ^ x b, c y d}

y s u p o n e m o s p r i m e r o q u e / ( ^ r , y ) 5= 0. L a g r á f i c a d e / e s u n a s u p e r f i c i e c o n e c u a c i ó n

i = f ( x ; y) . S e a S e l só l id o q u e a p a re c e a r r ib a d e R y d e b a jo d e la g rá f ica d e f e s dec ir ,

S = {(*, y, z) S IR5 [ 0 =s z « / ( .v , y), (x, y) G r }

(V é a s e la f igu ra 2 .) El o b je t iv o e s h a l l a r e l v o lu m e n d e S.

E l p r im e r p a s o es d iv id i r e l r e c tá n g u lo R e n su b rec tán g u lo s . E s to se h a ce d iv id i e n d o el

in te rv a lo \a, b] en m su b in te rv a lo s [av-i, x7] d e igual a n c h o A x = (b — o ) /m y d i v id i e n -

d o [c, d] en n sub in terva los [y ,- i , yj\ d e igual ancho A y = (d — c ) /n . A l d ib u ja r rectas p a -

ra le la s a los e je s c o o r d e n a d o s p o r los p u n to s e x t r e m o s d e e s to s su b in te rv a lo s c o m o en

SECCIÓN 15.1 I N T E G R A L E S D O B L E S S O B R E R E C T Á N G U L O S 9 7 5

la f igu ra 3, se fo rm an los s u b re c tá n g u lo s

R¡i = [v f- i , * , ] X y>] = {(.v, y) | i , - , s t =s xb y,_, « y « y,}

c a d a u n o c o n un á rea A A = A x Ay.

F IG U R A 3

División de R en subrectángulos

Si se e l ig e e l p u n to m u e s tr a ( x ¡ f , yjj¡ ) e n c a d a /?,>, e n to n c e s p o d e m o s a p r o x im a r la p a r te

d e S q u e e s t á a r r ib a d e c a d a Rv m e d ia n te u n a d e lg a d a c a j a r e c t a n g u la r (o “ c o l u m n a ” ) c o n

b a se Rij y a l tu ra /(*»*, y tf ) c o m o se m u e s t r a en la f igu ra 4. ( C o m p a r e c o n la f igu ra 1.) El

v o lu m e n d e e s t a c a j a e s la a l tu ra d e la c a j a m u lt ip l ic ad a p o r e l á rea d e la b a se d e l r e c t á n -

gulo:

f ( x f , y f ) A A

Si se s igue e s te p ro c e d im ie n to p a r a los re c tán g u lo s y se su m a n los v o lú m e n e s d e las c a ja s

c o r re s p o n d ie n te s , se o b t ie n e u n a a p ro x im a c ió n d e l v o lu m e n to ta l d e S :

0 V - 2 2 / (* ,? , y * ) A A<=i ;=i

( V é a s e la f i g u r a 5.) E s t a d o b l e s u m a s i g n i f i c a q u e p a r a c a d a s u b r e c t á n g u l o se e v a l ú a

/ en e l p u n t o e l e g i d o y se m u l t i p l i c a p o r el á r e a d e l s u b r e c t á n g u l o y l u e g o se s u m a n

lo s r e s u l t a d o s .

F I G U R A 4 F IG U R A 5

9 7 6 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

L a in tu ic ió n n o s in d ic a q u e la a p r o x im a c ió n d a d a en [3] e s m e j o r c u a n d o m y n c rec en

y , p o r tan to , se e sp e ra r í a q u e

El significado del doble límite en la ecuación 4

es que la doble suma se puede hacer tan m n

cercana como se desee al número V [para r— i y _ \ \ f / , .* a icualquier elección de (xf, y,*) en /?*] al tomar L ? J n u «• ¿ í ~ f\' ’

m y /i suficientemente grandes.

U s a m o s la e x p re s ió n d e la e c u a c ió n 4 p a r a de f in i r e l v o l u m e n d e l só l id o 5 q u e y a ce d e b a jo

d e la g rá f ica d e / y a r r ib a d e l r e c tá n g u lo R. (Se puede d e m o s t r a r q u e e s ta d e f in ic ió n e s c o n -

g ru e n te c o n la f ó rm u la p a r a e l v o lu m e n d e la sección 6 .2 .)

L o s l ím i te s d e l t ipo q u e a p a re c e en la e cu a c ió n 4 o c u r re n c o n f r e c u e n c ia no só lo p a ra

h a l l a r v o lú m e n e s , s ino ta m b ié n e n d iv e r s a s s i tu ac ion es , c o m o se v e rá en la secc ió n 15.5,

in c lu so c u a n d o / n o e s u n a fu n c ió n posi t iva . A s í que p l a n t e a m o s la s ig u ien te de f in ic ión .

Observe la similitud entre la defiiición 5

y la definición de una integral sinple en

la ecuación 2.

[~5~] Definición L a in te g ra l d o b le d e / s o b r e e l r e c tá n g u lo R es

m n

f f / (* > y) dA = lím 2 2 y»?) AA*'* m9 } _i m

si e l l ím ite ex is te .

Aun cuando hemos definido la integral doble al

dividir R en subrectángulos de igual tamaño,

podríamos haber empleado subrectángulos de

tamaño desigual. Pero entonces lubieramos

tenido que asegurar que todas sus dimensiones

se aproximaran a O en el proceso de establecer

límites.

E l s ig n i f ic a d o p re c iso de l l ím ite en la de f in ic ión 5 e s q u e p a r a t o d o n ú m e r o e > O hay

un e n te r o N ta l q u e

í í / ( v, y) d A - 2 2 y«*) ^ A¿=1.7=1

< e

p a r a to d o s los e n te r o s m y n m a y o r e s q u e N y para c u a lq u ie r e le c c ió n d e p u n to s m u e s t r a

(*i*, y * ) e n Rij.U n a fu n c ió n / s e d e n o m i n a i n t e g r a b l e si ex is te e l l ím i te e n la d e f in ic ió n 5. E n c u rso s

d e c á l c u lo a v a n z a d o se d e m u e s t r a q u e to d as las fu n c io n e s c o n t in u a s son in teg rab le s . De

h e c h o , la in te g ra l d o b l e d e / e x i s t e s i e m p r e q u e j “ n o s e a t a m b ié n d i s c o n t i n u a ” . E n p a r -

t icu la r , si / e s t á a c o t a d a [es to e s , e x is te u n a co n s tan te M tal q u e | f ( x , y) \ M p a r a to d a

(*, y) en RJ, y / e s c o n t in u a ah í , e x c e p to e n un n ú m e ro f inito de c u r v a s su a v e s , e n to n c e s /

e s in te g rab le so b re R.

Se p u e d e e le g i r q u e e l p u n to m u e s t r a (.t,y, y,*. s e a c u a lq u ie r p u n to en e l s u b r e c t á n g u -

io /?,,, p e ro si se e l ig e q u e sea la e s q u in a su p e r io r d e r e c h a de Rr [a sab e r , (x ,, y r), v éase la

f igu ra 3], e n to n c e s la e x p re s ió n p a r a la in te g ra l dob le p a re c e s im p li f ica rse :

0 f f /(■*■» y ) dA — l í m 2 2 / ( * y ? ) A 41 --1

A l c o m p a r a r las d e f in ic io n e s 4 y 5, v e m o s q u e un v o lu m e n p u e d e e x p re sa r se c o m o u n a

in te g ra l doble:

Si f ( x , y) 5= O, e n to n c e s e l v o lu m e n V d e l só l ido q u e e s t á a r r ib a d e l r e c t á n g u lo R y

d e b a jo d e la su p e rf ic ie r = / ( * , y) es

V = j j f ( x , y ) d A

*R


L a sum a en la defin ición 5,

y t ̂ (L 2)

(2 ,2 )

n h

* .2

(1, 1)

*2.

0 .V

2 2 /(**♦ y*) a a»=i j=i

se l la m a d o b l e s u m a d e R i e m a n n y se e m p le a c o m o u n a a p ro x im a c ió n d e l v a lo r d e la i n -

teg ra l d o b le . [ O b s e rv e la s im il i tu d c o n la su m a d e R ie m a n n en \T\ p a r a u n a fu n c ió n d e u n a

so la v a r ia b le . ] Si su c e d e q u e / e s u n a fu n c ió n positiva , e n to n c e s la d o b le s u m a de R ie m a n n

r e p re s e n ta l a s u m a d e v o lú m e n e s d e c o lu m n a s , c o m o e n la f igu ra 5, y e s u n a a p r o x im a c ió n

d e l v o lu m e n b a jo la g rá f ica d e /

Q E H M H E s t im e el v o lu m e n d e l sól ido q u e e s tá a r r ib a d e l c u a d r a d o R = [0 , 2] X

[0, 2] y d e b a jo d e l p a ra b o lo id e e l íp t ic o r = 16 — x1 — 2y2. D iv id a R en c u a t ro c u a d r a d o s

ig u a le s y e l i j a e l p u n to m u e s t r a c o m o la e s q u in a su p e r io r d e r e c h a de c a d a c u a d r a d o R,j.

B o sq u e je e l só l id o y las c a ja s r e c ta n g u la re s de a p ro x im a c ió n .

SOLUCIÓN L o s c u a d r a d o s se m u e s t r a n e n la figura 6. El p a ra b o lo id e es la g rá f ica de

f ( x , y) = 16 — x 1 — 2 y2 y e l á r e a d e c a d a c u a d r a d o e s A A = 1. A l a p r o x im a r el

v o lu m e n m e d ia n te la s u m a d e R ie m a n n c o n m = n = 2, se t iene

FIGURA 6

v** 2 2 /(*», y¿) a ai=l 7=1

= / ( ! , 1 ) A A + / ( 1 , 2 ) A A + / ( 2 , 1) A A + / ( 2 , 2 ) A A

= 13(1) + 7 (1 ) + 10(1) 4- 4 (1 ) = 34

É s te es e l v o lu m e n d e las c a ja s r e c tan g u la re s d e a p r o x im a c ió n m o s t r a d a s e n la f igura 7.

Se o b t ie n e n m e jo r e s a p r o x im a c io n e s p a ra e l v o lu m e n d e l e je m p lo 1 si se i n c r e m e n ta e l

n ú m e r o d e c u a d ra d o s . En la f igura 8 se m u e s t r a c ó m o las c o lu m n a s c o m ie n z a n a v e r s e m ás

c o m o só l id o s re a le s y las a p r o x im a c io n e s c o r re s p o n d ie n te s se v u e lv e n m á s e x a c ta s c u a n d o

se u san 16, 6 4 y 2 5 6 c u a d r a d o s . En la s igu ien te secc ió n se p o d r á d e m o s t r a r q u e e l v o l u -

m e n e x a c to e s 48.

FIGURA 8

Las aproximaciones de la suma de

Riemann al volumen debajo de se

16 — x~ — 2y 2 vuelven más exactas

cuando se ncrementan m y n. b) t)¡ = « = 8. l ' « 44.875 c)ni = n= 16, V 553 46.46875

□ E JEM P LO 2 Si R = {(.v, y) I - 1 « .v « 1 2}, e v a lú e la in teg ra l

J f V i - .v2 dA

'R


SOLUCIÓN S e r í a d i f íc i l e v a lu a r e s t a in te g ra l d e m a n e r a d i r e c ta a p a r t i r d e la d e f in ic ió n 5

p e ro , d e b id o a q u e 1 — A2 3= O, se p u e d e c a lcu la r la in te g ra l i n te r p r e t á n d o la c o m o un

v o lu m e n . Si z = yj 1 — A2 , e n to n c e s x 2 + z2 = 1 y z > O, a s í q u e la in te g ra l d o b le d a d a

re p re se n ta e l v o lu m e n d e l só l id o S q u e y a c e d e b a jo de l c i l in d ro c i r c u la r x 2 + z2 = 1 y

a r r ib a d e l r e c tá n g u lo R. (V é ase la f igura 9.) E l v o lu m e n d e S es e l á rea d e un se m ic í r c u lo

c o n r a d io 1 m u l t ip l i c a d a p o r la lo n g itu d d e l c il indro . P o r c o n s ig u ie n te ,

I[fvT .v2 dA = T 7 r( l)2 X 4 = 2 t t

Regla del punto medio

L o s m é to d o s q u e se e m p le a r o n p a ra a p r o x im a r in teg ra le s s im p le s ( re g la d e l p u n to m e d io ,

r e g la d e l t r ap e c io , r e g la d e S im p s o n ) t ienen c o n tra p a r te s p a r a in te g ra le s d o b le s . A q u í se

c o n s i d e r a só lo la re g la d e l p u n to m e d io p a r a in teg ra le s d o b le s . E s to s ig n i f ica q u e se u sa

u n a d o b le s u m a de R ie m a n n p a r a a p r o x im a r la in te g ra l d o b le , d o n d e e l p u n to m u e s t r a

(.Vi;, y,J) e n R,j se e l ig e c o m o e l c e n t r o (Á*, yj) d e /&,. E n o t ras p a la b ra s , Aí e s e l p u n to m e d io

d e [a*-i, Xí] y y, e s e l p u n to m e d io d e [y>-i, y¿|.

R e g la d e l p u n to m e d io p a r a in t e g r a le s d o b le s

í f / ( * * y) d A ** f Í / ( I „ y ; ) A A

r 1=1 >='

d o n d e A, e s e l p u n to m e d io de x¡\ y y¿ e s el p u n to m e d io d e [y ,- i , y ,] .

y i

o (2,2)

3 • #12 ♦ R222

• # . l ♦ R2l

-0 1 2 *

FIGURA 10

Q E H u H E H U se ía re g la d e l p u n to m e d io c o n m = n = 2 p a ra e s t im a r e l v a lo r d e la

in te g ra l f f R (x - 3 y 2 ) dA, d o n d e R = {(.v, y) | O A 2, 1 y 2}.

SOLUCIÓN A l u sa r la r e g la d e l p u n to m e d io c o n m = n = 2, se e v a l ú a f ( x , y) = x — 3y en

los c e n t ro s d e los c u a t ro su b re c tá n g u lo s m o s t r a d o s en la f igura 10. P o r tan to , Ai = y»

Á2 = 2 , yi = 4 y >’2 = 4. El á rea d e c a d a su b re c tá n g u lo es A A = y- A s í q u e

2 2

f í ( a - 3 y 2 ) í iA ^ ¿ ¿ / ( Á , - , y ; ) A A

* '= 1>=l

= / ( Á i , y ,) A A + f ( x u y2 ) A A + / ( Á 2, y i ) A A + / ( a 2, y 2) A A

= f ( \ , | ) A A + / ( I , \ ) A A + / ( | ) A A + f ( i i ) A A

= ( - S ) i + ( - « ) * + ( - ! » * + ( - « ) i

= - f = - 1 1 .875

P o r tan to , se t iene ff ( a - 3 y 2) d A « - 1 1 . 8 7 5

N O T A E n la s ig u ien te secc ió n se d e s a r r o l l a r á un m é t o d o e f icaz p a r a c a lc u la r i n te g r a -

les d o b le s , y lu e g o se v e r á q u e e l v a lo r e x a c to de la in te g ra l d o b le d e l e je m p lo 3 e s —12.

( R e c u e r d e q u e la in te rp re ta c ió n d e u n a in te g ra l d o b le c o m o un v o lu m e n e s v á l id a só lo

c u a n d o e l in teg ran d o / e s u n a función positiva. El in teg rando de l e je m p lo 3 no es u n a func ión

p o s i t iv a , a s í q u e su in te g ra l n o e s un v o lu m e n . E n los e j e m p lo s 2 y 3 d e la s e c -

c ió n 15.2, se e x p l i c a c ó m o in te rp re ta r las in teg ra le s d e fu n c io n e s q u e n o s i e m p re son p o s i -

t iva s en té rm in o s d e volúmenes.) Si se s igue d iv id ie n d o c a d a s u b r e c tá n g u lo d e la f igu ra 10

en c u a t r o su b re c tá n g u lo s m á s p e q u e ñ o s c o n fo rm a s im ila r , se o b t ie n e n las a p r o x im a c io n e s


Número de

subrectángulos

Aproximaciones de

la regla del punto

medio

1 -1 1 .5 0 0 0

4 -1 1 .8 7 5 0

16 - I 1.9687

64 -1 1 .9 9 2 2

256 - 11.9980

1024 - 1 1.9995

F IG U R A 11

d e la r e g la d e l p u n to m e d io m o s t r a d a s en la tab la de l m a rg e n . O b s e rv e c ó m o e s tas a p r o x i -

m a c io n e s t ie n d e n al v a lo r e x a c to d e la in teg ra l d o b le , — 12.

Valor promedio

R e c u e rd e d e la s e c c ió n 6 .5 q u e e l v a lo r p ro m e d io d e u n a fu n c ió n / d e u n a v a r iab le defin í

d a so b re un in te rv a lo [«, b] es

fp f 7 ( 0 d x— /7 *

D e u n a m a n e r a s im ila r se d e f in e e l v a l o r p r o m e d i o de u n a f u n c i ó n / d e d o s v a r ia b le s d e -

f in idas sobre un r e c tá n g u lo R c o m o

/pn»J»m

f ( x , y ) dA

d o n d e A(R) e s e l á r e a d e R.

Si f ( x , y) 2= 0 , la e cu a c ió n

i n d ic a q u e la c a j a c o n b a s e R y a l t u r a / pr»m t i e n e e l m i s m o v o l u m e n q u e e l s ó l i d o q u e

y a c e d e b a j o d e la g r á f i c a d e / [Si z = f ( x , y ) d e s c r i b e u n a r e g ió n m o n t a ñ o s a y se c o r -

tan las c im a s d e las m o n ta ñ a s a u n a altura/prom, e n to n c e s se p u e d e n u s a r p a r a l l e n a r los

v a l l e s d e m o d o q u e la r e g ió n se v u e l v a c o m p l e t a m e n t e p l a n a . V é a s e la f i g u r a 1 l.J

EJEM PLO 4 El m a p a d e c o n to r n o d e la figura 12 m u e s t r a la n iev e , en p u lg a d a s , q u e c a y ó

en e l e s t a d o d e C o lo r a d o e l 2 0 y 21 de d ic ie m b re d e 2 0 0 6 . (E l e s t a d o t iene la f o r m a de

un r e c tá n g u lo q u e m id e 3 8 8 m il l a s d e oes te a e s te y 2 7 6 m il la s d e su r a no r te ) . U se el

m a p a d e c o n to r n o p a r a e s t im a r la n iev e p ro m e d io p a ra C o lo ra d o e n e s o s d ías .

F IG U R A 12

SOLUCIÓN C o lo q u e e l o r ig en en la e s q u i n a su roes te d e l e s tad o . E n to n c e s O ^ - t ^ 388 ,

0 y =s 2 7 6 y f ( x , y) e s la n iev e , e n p u lg ad a s , en un lu g a r a x m i l la s al e s te y

CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

F IG U R A 13

y m i l la s al n o r te d e l o r igen . Si R e s e l r e c tá n g u lo q u e re p re se n ta a C o lo ra d o , e n to n c e s la

n iev e p r o m e d io p a r a e l e s t a d o e n t r e e l 2 0 y 21 d e d ic ie m b re fue

fp to m — f f /{•*■» }') d A

d o n d e A(R) = 3 8 8 • 276 . P a ra e s t im a r e l v a lo r de e s t a in te g ra l d o b le , se e m p le a r á la

r e g la d e l p u n to m e d io c o n m = /? = 4. En o t ras pa lab ras , se d iv id e R e n 16

s u b r e c tá n g u lo s d e ig u a l t a m a ñ o , c o m o e n la figura 13. E l á rea d e c a d a s u b r e c tá n g u lo es

AA = -¿<388)(276) = 6 6 9 3 m i2

A l u sa r e l m a p a d e c o n to r n o p a r a e s t im a r e l v a lo r de / e n e l c e n t r o d e c a d a

su b re c tá n g u lo , o b te n e m o s

f f f ( x , y) d A ~ ¿ ¿ f { x u yy) A Ai=l 7=1

^ A A [0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 2 5 + 18.5 + 11

+ 4 .5 + 2 8 + 17 + 13.5 + 12 + 1 5 + 17.5 + 13]

= (6 6 9 3 ) (2 0 7 )

P o r tan to ,(6 6 9 3 ) (2 0 7 )

/pran (3 8 8 ) (2 7 6 )

E n tre e l 2 0 y 21 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 6 , C o lo r a d o r e c ib ió un p r o m e d io d e

a p r o x im a d a m e n te 13 p u lg a d a s d e n ieve.

Las integrales dobles se cjmportan de esta

manera debido a que las sumas dobles que las

originan se comportan de esa forma.

Prop iedades de la s in teg ra le s dobles

Se e n l i s ta n a q u í t re s p r o p ie d a d e s d e in teg ra le s d o b le s q u e se p u e d e n p ro b a r d e la m i s m a

m a n e r a q u e en la secc ió n 5.2. Se su p o n e q u e to d as las in te g ra le s e x is ten . L as p ro p ie d a d e s

7 y 8 se c o n o c e n c o m o l inea lidad d e la in tegral.

0 fí y ) + 9 ( x * y)]d A = ff /(*. y ) d A + ff s i * * y ) d A*R R 'Á

0 ff c f ( x , y) d A = c ff/( Xt y) d A d o n d e e e s u n a c o n s ta n te

Si f(Xy y) 3= g(Xy y) p a r a t o d a (x , y) e n R, en to n c es

0 ff f (X y y) d A > ff g(Xy y) d A

Ejercicios

1. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie

z = xy y arriba del rectángulo

R = {U , y) | O x ^ 6 ,0 ^ y 4}

Use una suma de Riemann con m = 3, n = 2 y tome el

punto muestra como la esquina superior derecha de cada

cuadrado.

b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del

sólido del inciso a).

2. Si R = LO, 4] X [—1, 2J, use una suma de Riemann con m = 4,

n = 2 para estimar el valor de 1 (1 — x y 2) dA. Tome los

puntos muestra que sean a) las esquinas derechas inferiores y

b) las esquinas izquierdas superiores de los rectángulos.

3. a) Use una suma de Riemann con m — n = 2 para estimar el

valor de jjR x e d A , donde R = [0, 2] X LO, 1J. Tome los

puntos muestra como las esquinas superiores derechas,

b) Use la regla del punto medio para estimar la integral del

inciso a).

4. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la

superficie z = I + x2 + 3y y arriba del rectángulo

R = [ I , 2] X [0, 3]. Use una suma de Riemann con

m — n — 2 y elija como los puntos muestra a las esquinas

inferiores derechas,

b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del

inciso a).

5. Se da una tabla de valores para una función f ( x , y) definida en

R = LO, 4] X [ 2 ,4J.

a) Estime 11̂ f ( x , y) d A por medio de la regla del punto medio

con ni = n = 2.

15.1

b) Estime la integral doble con ni = n = 4 y elija los puntos

muestra más cercanos al origen.

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0 - 3 - 5 - 6 - 4 - 1

1 - 1 —2 - 3 - 1 1

2 1 0 - 1 1 4

3 2 2 1 3 7

4 3 4 2 5 9

6. Una alberca de 20 pies por 30 pies se llena con agua.

La profundidad se mide a intervalos de 5 pies, empezando

en una esquina de la alberca, y se registran los valores en una

tabla. Estime el volumen de agua en la alberca.

0 5 10 15 20 25 30

0 2 3 4 6 7 8 8

5 2 3 4 7 8 10 8

10 2 4 6 8 10 12 10

15 2 3 4 5 6 8 7

20 2 2 2 2 3 4 4

7. Sea V el volumen del sólido que yace debajo de la gráfica de

/(JE, y) = v'52 — X2 — y 2 y arriba del rectángulo dado por

2 < X ^ 4 , 2 ^ y ^ 6. Use las rectas x = 3 y y = 4 para

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

dividir a R en subrectángulos. Sean L y U las sumas de

Riemann calculadas por medio de las esquinas inferiores

izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente.

Sin calcular los números V, L y U, dispóngalos en orden

creciente y explique su razonamiento.

8. En la figura se muestran las curvas de nivel de una fu n c ió n /e n

el cuadrado R = [0, 2J X [0, 2J. Use la regla del punto medio

con m = n = 2 para estimar jjR f { x , y) dA. ¿Cómo podría

mejorar su estimación?

9 . Se muestra un mapa de contorno para una fu n c ió n /so b re el

cuadrado R = [0, 4J X [0, 4J.

a) Use la regla del punto medio con m = n = 2 para est imar

el valor de jjR f ( x , y) dA.b) Estime el valor promedio d e / .

10 . En el mapa de contorno se muestra la temperatura, en grados

Fahrenheit, a las 16:00 del 26 de febrero de 2007, en

Colorado. (El estado mide 388 millas de este a oeste y 276

millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con

ni = n = 4 para est imar la temperatura promedio en Colorado

a esa hora.

11-13 Evalúe la integral doble identificándola primero com o el

volumen de un sólido.

11. JJr 3 d A R = {(.v, y) | - 2 sS .x í 2, 1 sS y ̂ 6}

12. (5 - x ) d A R = {(-x, y) | 0 sí .v 5, 0 y 3}

13. f f R ( 4 - 2y) d A , R = [0, 1] X [0, l]

14. La integral j f R y¡9 - y 2 dA, donde R = LO, 4] X [0, 2J,

representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido.

15. Use una calculadora programable o computadora (o el

comando s u m e n un SAC) para est imar

(*(* / I + xe~y dA

'R

donde R = [0, 1J X [0, 1J. Use la regla del punto medio con

los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1 ,4 , 16,

64, 256 y I 024.

16. Repita el ejercicio 15 para la integral |'|‘# sen(.v + v y ) dA-

17. S i / e s una función constante, f ( x , y) = k, y R = [«, b\ X Lc\ d],

demuestre que

|J k d A = k{b ~ a)(d - c )

*R

18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que

0 «S | (* sen 77 .veos t t y dA <

t

donde R - [0 , 7] X [ j , y]

Integrales iteradas

R e c u e rd e q u e u s u a lm e n te e s d i f íc i l e v a lu a r in teg ra le s s im p le s d i r e c ta m e n te d e la d e f in i -

c ió n d e u n a in teg ra l , p e ro e l t e o r e m a fu n d a m e n ta l d e l c á lc u lo p ro v e e un m é t o d o m u c h o

m á s fácil. L a e v a lu a c ió n d e in te g ra le s d o b le s a partir d e los p r im e ro s p r in c ip io s e s aún m á s

SECCIÓN 15.2 I N T E G R A L E S I T E R A D A S 9 8 3

d i f íc i l , p e r o e n e s t a s e c c ió n se v e c ó m o e x p r e s a r u n a in te g ra l d o b le c o m o u n a in te g ra l

i te rad a , q u e se p u e d e e v a lu a r c a l c u l a n d o d o s in te g ra le s s im ples .

S u p o n g a q u e / e s u n a fu n c ió n d e d o s v a r ia b le s q u e e s in te g rab le so b re e l r e c tá n g u lo

R = [a, b] X [c, d]. Se u s a la n o ta c ió n / / / ( * , y) d y p a ra i n d ic a r q u e x se m a n t ie n e fija y

f ( x , y) se in te g ra r e sp e c to a y a p a r t i r d e y = c h a s t a y = d. E s te p ro c e d im ie n to se l lam a

integración parcial respecto a y. (O b se rv e su simili tud con la d e r iv ac ió n parcial .) A h o r a

/ / / ( * * ^ d y e s un n ú m e r o q u e d e p e n d e d e l v a lo r d e x, a s í q u e d e f in e u n a fu n c ió n d e x.

A(.v) = \* f ( x 9 y) dyJe

Si a h o r a se i n te g ra la fu n c ió n A r e sp e c to a * a p a r t i r d e x = a h a s t a x = b, se ob t ien e

□ f A ( x ) d x - (*>A »ít

j V ( v, y) dy dx

L a in te g ra l d e l lad o d e r e c h o d e la e c u a c ió n l se l la m a i n t e g r a l i t e r a d a . P o r lo c o m ú n , se

o m ite n los c o rc h e te s . A s í ,

0 j ; PV(*. y» dydx = £ ̂ fV(̂ . y) dy j dx

i n d i c a q u e p r i m e r o se i n t e g r a r e s p e c t o a y a p a r t i r de c h a s t a d, y l u e g o r e s p e c t o a x

d e s d e a h a s t a b.

D e m a n e r a s im ila r , la in te g ra l i te rad a

/ ( .v , y ) d .v j dy

s ig n i f ic a q u e p r im e ro se i n te g ra r e sp e c to a x (m a n te n i e n d o fija y) d e s d e x = a a x = b y

d e s p u é s se i n te g ra la fu n c ió n r e su l ta n te d e y r e sp e c to a y d e y = c h a s t a y = d. O b s e rv e

q u e e n las e c u a c io n e s 2 y 3 se t r a b a ja d e dentro hacia fuera.

B H 5 I 3 I D E v a lú e las in te g ra le s i te radas.

a) f 3 f~.v2y d y d x b) í " f 3 x 2y d x d yJo J i Ji Jo

SOLUCIÓN

a) Si se c o n s i d e r a x c o m o u n a c o n s ta n te , se ob t ien e

]_ ̂ t) - <(t ) - ̂A sí , la fu n c ió n A en la e x p l i c a c ió n a n te r io r e s tá d a d a p o r A(.í) = -¡x2 e n e s te e je m p lo .

A h o r a in te g r a m o s e s t a fu n c ió n d e Arde 0 a 3

dx

= í5̂ = t T}o 2 J o

27

o


b ) A q u í se i n te g ra p r im e r o r e sp e c to a x.

f £ v2>’dx =f [£ dx] dy=£ [Ty\ j y= \j \ y d y = 9 —

O b s e r v e q u e e n e l e j e m p lo 1 se o b t ie n e la m is m a r e s p u e s t a si se i n te g ra p r im e r o r e s -

p e c to a y o x. E n g e n e ra l , r e su l ta (v é ase e l t e o r e m a 4 ) q u e las d o s in te g ra le s i te rad a s d e las

e c u a c io n e s 2 y 3 son s i e m p re igua les : e s d e c i r , no im p o r t a e l o rd en d e in teg rac ió n . (E sto

e s s im ila r al t e o r e m a d e C la i r a u t e n la ig u a ld a d d s las d e r iv a d a s p a rc ia le s m ix ta s ) .

E n e l s ig u ien te t e o r e m a se d a un m é lu d o p rác t ico p a r a e v a lu a r u n a in legi al d o b le e x p r e -

s á n d o la c o m o u n a in te g ra l i te r a d a (en c u a lq u ie r orden).

El nombre del teorema 4 es en honor al

matemático italiano Guido Fubini(1879-1943).

quien demostró una versión muygeneral de

este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes,

el matemático francés Augustin-Louis Cauchy

tenía conocimiento de la versión para funciones

continuas.

[~4~] Teorema de Fubini S i / e s c o n t i n u a en e l rec tán g u lo

R = {(.v, y) | a ^ x ^ b, c ^ y =£ d } , e n to n c es

( j / ( * , y) dA = f* f df ( x , y) d y dx = [ * / ( * , y) d x dyJ J J a J e J e J a

R

E n té rm in o s g e n e ra le s , e s to e s c ie r to si se su p o n e q u e / e s t á a c o t a d a so b re R , f e s

d i s c o n t in u a só lo e n un n ú m e r o finito d e c u rv as s u a v e s y las in te g ra le s i te rad as

e x is ten .

L a d e m o s t r a c ió n d e l t e o r e m a d e Fu b in i e s m u y d i f íc i l p a r a in c lu i r la e n e s te l ib ro , pe ro

al m e n o s se p u e d e d a r u n a in d ic a c ió n in tu i t iv a de p o r q u é se c u m p le p a r a e l c a s o d o n d e /

(x , y ) ^ O. R e c u e rd e q u e si / e s p o s i t iv a , e n to n c es se p u e d e in te rp re ta r la in te g ra l d o b le

/ Í r / ( * ’ y) dA c o m o el v o lu m e n V d e l só l id o 5 que e s tá a r r ib a d e R y d e b a jo d e la s u p e r f i -

c ie r = f ( x , y) . P e ro se t iene o t ra f ó r m u la q u e se u só p a r a e l v o lu m e n e n e l c a p í tu lo 6, a

sab e r ,

A(x)dxJét

EE3 Visual 152 ilustra el teorema de Fubini

mostrando una animación de las figuras 1 y 2.

d o n d e A(a:) e s e l á rea d e u n a secc ió n t r a n sv e rsa l de S e n e l p la n o q u e p a sa p o r x y e s p e r -

p e n d ic u l a r al e je x. D e la f ig u ra 1 se p u e d e v e r que A ( a t ) e s e l á rea b a jo la c u r v a C c u y a

e c u a c ió n es z = f ( x , y ) , d o n d e x se m a n t ie n e co n s tan te y c y d. P o r tan to ,

y t e n e m o s

A(x)= \df ( x t y)dy

ff f ( x , y) dA = V = P A(.v) dx = P fV(.v, y) d y dx

U n a r g u m e n to s im ila r , c o n se c c io n e s t ran s v e r sa le s p e rp e n d ic u la re s al e je y c o m o en la

f ig u ra 2 , m u e s t r a q u e

J J / ( .v , y) dA = f* f V ( .v , y) d x dy

FIGURA 1

Q | 2 ü i í l ü ¡ H E v a lú e la in te g ra l d o b le J j^ (.v — 3 y 2 )d A , d o n d e

R = { ( .v , y ) | O x 2 , 1 y 2}. (C o m p a re c o n e l e j e m p lo 3 d e la secc ió n 15.1).

Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no SOLUCIÓN 1 El t e o r e m a d e F u b in i d a hay nada malo con eso. La función/en ese

ejemplo no es una fundón positiva, así que su <v c2 C2 ■> f 2 í , i >=2integral no representa un volumen. De la figura 3 J J — 3 y ' ^ = J Q (x ~ ty ) dy dx = [ .v y — y J >=1 dxse ve que/ es siempre negativa en R, así que Rel volumen de la integral es el negativo del

volumen que yace arriba de la gráfica d e /y

debajo de R.í 2 (.v - 7 ) d x Jo H 'z Jo

12

FIGURA 3

Para una función/que tone valores positivos

y negativos. JJ, f ( x , y) dA es una diferencia

de volúmenes: V, - Vx, donde V, es el

volumen arriba de R y abajo de la gráfica d e /

y es el volumen debajo de R y arriba de la

gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo

3 sea 0, significa que estos dos volúmenes

son iguales. (Véase la figura 4.)

SOLUCIÓN 2 A l a p l ic a r d e n u e v o e l t e o r e m a de F u b in i , p e ro e s t a vez in te g r a n d o p r im e ro

r e sp e c to a x , se ob t iene

ff (x - 3y2)dA = f‘ f" (x - 3 y 2)d x d yJv > i »o

= f ' (2 - óy2 ) rfy = 2y - 2 y 3]; = - 1 2 ■

Q E E S E U H E v a lú e j j Ry sen(.vy) d A , d o n d e R = [ 1 , 2 ] X [O, ir\.

SOLUCIÓN 1 Si se i n te g ra p r im e r o re sp e c to <xx, se ob t ien e

ff y s e n ( .v v ) ú M = J * J ‘ y s e n ( x y ) d x d y = J ' [ - c o s ( . n ) ] ” i d y

%K

= | X ( —e o s 2 y +• e o s y ) d y

| 14T

= — 2 sen 2 y + sen y j 0 = O

SOLUCIÓN 2 Si se in v ie r te e l o rd en d e in te g rac ió n , se ob t ien e

|*|* y s e n ( .r y ) d A = I f * y s e n ( .v y ) d y d x

K

P a ra e v a lu a r la in te g ra l in te r io r se e m p l e a la in te g rac ió n p o r p a r te s c o n

u = v

d u — d y

d v = sen ( x y ) d y

cos(.vy)

r - y c o s ( .w ) I 1 r*' , p o r tan to , y sen(.vy) d y = — ------------1— I + — | c o s ( x y ) d y

Jo x J y-0 x «o

t t c o s t t x I r w— -------------------- + — [sen ( vy)Jv.I— 1

F IG U R A 4"77COS 7TX s e n 17A'

---------------------------------- 1-----------------i —

X x ~


En el ejemplo 2, las soluciones 1 y 2 son

igualmente directas, pero en el ejemplo 3,

la primera solución es mucho más fácil que la

segunda. Por tanto, cuando se evalúan

integrales dobles, es sabio elegir el orden

de integración que da integrales más simples.

FIGURA 5

Si a h o r a se i n te g ra e l p r im e r t é rm in o p o r p a r te s con u = — 1 ¡ x y dv = 7 rc o s t t x d x , se

o b t ie n e d u = d x / x 2, u = sen t t x y

d x

P o r tan to ,

y e n to n c e s

ITcos /7 t jc \ sen t t x f sen i,

' ( -arcos t t x sen i r * \ sen 1

( , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

c2 c~ y r sen '̂ ■■*■1Ji Jo y s e n \x y > d y d x ~ I — - — I

sen 2 7r

2+ sen 77 = O

| E H 5 B C E H E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l só l id o S a c o ta d o p o r e l p a ra b o lo id e e l íp t ico

x 2 + 2 y2 + z = 16, los p la n o s x = 2 y y = 2 y los t res p la n o s c o o rd e n a d o s .

SOLUCIÓN P r im e ro se o b s e r v a q u e S es e l só l id o q u e y a c e d e b a jo d e la su p e r f ic ie z = 1 6

— x2 — 2y 2 y a r r ib a d e l c u a d r a d o R = [O, 2] X [0 ,2 J . (V é a s e la f ig u ra 5.) E s te só l id o se

c o n s id e r ó e n e l e j e m p lo 1 de la secc ió n 15.1, p e rc a h o r a se e s tá e n p o s ic ió n d e e v a lu a r la

in te g ra l d o b le p o r m e d io d e l t e o r e m a d e Fub in i . Por tan to ,

V = f f (16 - .v2 - 2 y 2) d A = f 2 f 2 (16 - * 2 - 2 y 2) d x d yJJ Jo JoR

= fo2 [ l 6 . v - } . r 3 - 2 y2x \ ~ ^ d y

= f 2 ( t - V ) dy = [ f y - j y 3]ó = 4 8 � �V O

E n el c a s o e s p e c ia l d o n d e / ( a ; y ) se p u e d e fac to r iza r c o m o e l p r o d u c to d e u n a fu n c ión

d e x y u n a fu n c ió n d e y, la in te g ra l d o b le d e / se p u e d e e sc r ib i r e n u n a f o r m a p a r t i c u l a r -

m e n te s im ple . P a ra ser e s p e c í f ic o s , s u p o n g a q u e f ( x , y ) = g (x )h (y ) y R = [« , b] X [c, d].

E n to n c e s e l t e o r e m a d e Fu b in i d a

f f f ( x , y) d A = f rf f % ( . v ) / z í y ) d x dy = f * \ bg{x)h{y) dx dy*v J e Ja Je |^* 'a !

E n la in teg ra l in te r io r , y e s u n a co n s tan te , a s í q u e h (y ) es u n a c o n s ta n te y se p u e d e e sc r ib i r

f dy = f* j dy = ¡*9(x)dx j*h(y)dy

p u e s to q u e j* g{x) d x e s u n a c o n s ta n te . En c o n s e c u e n c ia , e n e s te c a s o , la in te g ra l d o b le de

/ s e p u e d e e sc r ib i r c o m o e l p ro d u c to d e d o s in te g ra le s s im ples :

|~5~| f f g{x)h{y) dA = f b g(x) dx f ¿ /l(y) d y d o n d e R = [a, b] X [c, d]

%R

EJEM PLO 5

La función/ ( a , y) = sen x eos y en el

ejemplo 5 es positiva sobre R. así que la integral

representa el volumen del sólido que está arriba

de R y abajo de la gráfica rostrada

en la figura 6.

FIGURA 6

Si R = [O, i r / 2 ] X [O, 7 r / 2 ] , e n to n c es , m e d ia n te la e c u a c ió n 5,

f f sen x e o s y d A = f ̂ sen x d x f ̂ e o s y d y JJ Jo Jo •H

= [ — e o s [sen y ]o ^ = I * I = I

xjn

Ejercicios

1-2 Determine J05/ U y) d x y /„ ' / (* . y) dy.

1. / ( x , y) = 12x2y 3 2. / ( x , y ) = y + A**

3-14 Calcule la integral iterada.

3. f* £2 (6x2y - 2.x) d y d x 4. f j f 2 (4.x3 - 9.x2y 2) d y d x

6. f V2 f 5 eos y d x d y Jn/6 J—1

5. f 2 í * y 3e 2xd y d x Jo Jo

7. f I* (y + y 2 eos .x) d x d y 8. | f — — d y d xJ-3 Jo Ji Ji xy

9. f* f ( - + - ) d y d x 10. f ‘ V e x+* d x d yJ i J i \ y x ) Jo Jo

11. f f v(u + v2)* du dv 12. I f .xyv x2 + y 2 dy dxJo Jo Jo Jo

13. | í r s e n 2Qíi6dr Jo Jo

14. í ' f ' J s + t ds d tJa Ja

15-22 Calcule la integral doble.

15. | f sen(.v — y) dA, R = {(.v, y) | O «3 v <£ ” / 2 , O <S¡ y *£> ~ / 2 }

16. ff (y + .xy'2) dA, R = {(a, y) | O ^ .x ^ 2, 1 ^ y ^ 2}

17. f f —P-— dA , R = {(.x, y) | O ^ .x ^ I, - 3 í y $ 3} J* x + 1

18. f f 1 + \ dA, R = {(.x,y) | O ^ .x ^ 1 ,0 < y ^ 1}l + y

19. f f a sen (.v + y ) dA, R = [O , 7 r/b ] X [O, t t / 3 ]

20. f f - dA, R = [O, 1] X [O, l lJJ I + xy

21. f f ye~*>dA, R = [ 0 ,2 ] X [0 ,3 ]

dA , R = [ 1 ,3 ] X [1 ,2 ]22. f f '1 + .x + y

23-24 Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral

iterada.

23. f f (4 - a - 2y) d x d y Jo Jo

24. ( ' f ' ( 2 - A-2 - y 2) d y d xJ a J a

25. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del

plano 4.v + 6y — 2: + 15 = 0 y arriba del rectángulo

R = {(a,y) | - 1 sí x «3 2, —i s = y s = l}.

26. Determine el volumen del sólido que está debajo del

paraboloide hiperbólico z = 3y2 — x 2 + 2 arriba

del rectángulo R = [ —1, 1J X LL 2].

m S e r e q u ie re c a lc u la d o ra g ra f ic a d o ra o c o m p u ta d o ra |SACjS e re q u ie re s is te m a a lg e b ra ic o c o m p u ta r iz a d o 1 . T a re a s s u g e r id a s d i s p o n ib le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m

27. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del

paraboloide elíptico a t /4 + y 2/ 9 + z = I y arriba

del rectángulo R = [ —1, 1] X [ — 2, 2J.

28. Encuentre el volumen del sólido encerrado por la superficie

z = 1 + ex sen y y los planos x = ± I , y = 0, y = 77

y - = 0.

29. Determine el volumen del sólido encerrado por la superficie

z = x sec2y y los planos r = 0 , a = 0, x = 2, y = 0

y y = 7 7 / 4 .

30. Encuentre el volumen del sólido en el primer octante limitado

por el cil indro z — 16 — x2 y el plano y = 5.

31. Encuentre el volumen del sólido encerrado por el paraboloide

z = 2 + x2 + (y — 2)2 y los planos z — l , x = 1, x — — 1,

y = 0 y y = 4.

Kri 32. Grafique el sólido que se encuentra entre la superficie

r = 2 x y / (x 1 + 1) y el plano z = x + 2y y está acotado por

los planos x = 0, x = 2, y = 0 y y = 4. A continuación

encuentre su volumen.

|S¿r| 33. Use un sistema algebraico computarizado para hallare! valor

exacto de la integral jfR Xsy 3e*ydA , donde R = LO, 1J X [0, 1J.

Después use el SAC para dibujar

el sólido cuyo volumen está dado por la integral.

34. Grafique el sólido que yace entre las superficies

r = e~* c o s ( a 2 + y 2) y : = 2 - x 2 - y 2 para | A' | ^ 1,

| y | < 1. Use un sistema algebraico computarizado para

aproximar el volumen de este sólido a cuatro decimales.

35-36 Encuentre el valer promedio de / s o b r e el rectángulo dado.

35. f ( x , y) = x y , R tiene vértices ( —1,0 ), ( —1, 5), (1, 5), (1 ,0 )

36. f ( x , y) = e \ / 7 T 7 y , R = [0 ,4 ] X [0 , l]

37-38 Utilice la simetría para evaluar la integral doble.

37. f f A> A dA , R = { ( x , y) | - I s Sx s S 1 ,0 1}

R V

38. l( (l + a 2 sen y + y 2s e n x ) d A , K— [ — 77, 77] X [ —77, 77]

R

\ 39. Use un SAC para calcular las integrales iteradas

f i ' - "— '— d y d x y f P - ~— ^-7 d x d y Jo Jo (x + y)3 Jo Jo (X + y)3

¿Las respuestas contradicen al teorema de Fubini? Explique lo

que sucede.

40. a) ¿En qué forma los teoremas de Fubini y Clairaut son

similares?

b) Si f { x , y ) es continua en L«, b] X Le, d] y

g{.\, y) = f x P f ( s , t ) dtds•'« Je

para a < x < b , c < y < d, demuestre que gv = gyx = f ( x , y).

Integrales dobles sobre regiones generales

P a ra in te g ra le s s im p le s , la re g ió n so b re la q u e se i n te g ra e s s i e m p re un in te rva lo . Pe ro

p a r a in te g ra le s d o b le s , se d e s e a p o d e r in te g ra r una fu n c ió n / n o só lo so b re re c tán g u lo s ,

s in o tnm hién so b re r e g io n e s D d e fo rm a m á s genera l , c o m o la q u e se i lu s tra en la f igu ra I

S u p o n e m o s q u e D e s u n a re g ió n a co ta d a , lo q u e s ig n i f ic a q u e D p u e d e ser e n c e r r a d a en

u n a re g ió n re c ta n g u la r R c o m o e n la f ig u ra 2. E n to n c e s se d e f in e u n a n u e v a fu n c ió n F c o n

d o m in i o R m ed ia n te

m nsi (a ; y ) e s tá e n D

si ( a ; y ) e s tá e n R p e ro n o e n D

F I G U R A 1 F IG U R A 2

SECCIÓN 15.3 IN T EG R A .ES DOBLES SOBRE REGIONES GEN ERALES 989

Si F e s in te g rab le so b re R y e n to n c e s se d e f in e la i n t e g r a l d o b l e d e / s o b r e D m ed ia n te

FIGURA 3

FIGURA 4

0 ff /(.v, y) dA = [f F{xy y) d A d o n d e F e s t á d a d a p o r la e c u a c ió n 1

L a d e f in ic ió n 2 t iene s e n t id o p o rq u e R es un r e c tá n g u lo y , p o r tan to , f fR F(x9 y) dA h a

s id o d e f in id a p re v ia m e n te e n la secc ió n 15.1. E l p ro c e d im ie n to q u e se u só e s razo n a b le

p o rq u e los v a lo re s de F(x , y) son 0 c u a n d o (x, y) e s t á fu e ra d e D y , p o r c o n s ig u ie n t e , no

c o n t r ib u y e n a la in tegral . E s to s ig n i f ic a q u e n o im p o r t a q u é r e c tá n g u lo R se u se , s iem p re

y c u a n d o c o n te n g a a D.

E n el c a s o q u e f { x , y) > 0 , aún se p u e d e i n te rp re ta r a j jD f{ x , y) dA c o m o e l v o lu m e n

d e l só l id o q u e e s tá a r r ib a d e D y d e b a jo de la su p e r f ic ie z = / ( * , y) ( la g rá f ica d e / ) .

Se p u e d e v e r q u e e s to e s r a z o n a b le si se c o m p a ra n las g rá f ic a s de f y F en las f ig u ras 3

y 4 y se r e c u e r d a q u e JJ^ F(x, y) dA e s e l v o lu m e n d e b a jo d e la g rá f ic a d e F.

E n la f ig u ra 4 se m u e s t r a ta m b ié n q u e es p ro b a b le q u e F t e n g a d i s c o n t in u id a d e s en los

p u n to s l ím i te d e D. S in e m b a r g o , si f e s c o n t in u a so b re D y la c u r v a f ro n te ra d e D t iene un

“ b u e n c o m p o r t a m i e n t o ” (en un s e n t id o fuera d e l a lc an c e d e e s te l ib ro ) , e n to n c e s se p u e d e

d e m o s t r a r q u e JJ^ F ( .r , y) dA e x is te y , p o r tanto , j jD f ( x , y) d A ex is te . En p a r t icu la r , e s te es

e l c a s o p a r a los s ig u ien te s t ipos de reg io n es .

Se d ice q u e u n a re g ió n p la n a D e s t ip o I s. y a c e e n t r e las g rá f ic a s d e d o s fu n c io n e s c o n -

t in u a s d e x, e s dec ir ,

{(.v, y) | a x by gi(x) =s y ̂ 92Í.V)}d o n d e g\ y gi son c o n t in u a s so b re [« , bJ. A lg u n o s e je m p lo s d e r e g io n e s t ip o I se m u es tra n

en la f ig u ra 5.

FIGURA 5 Algunas regiones tipo I

A fin d e e v a lu a r j fD / ( .v , y) dA c u a n d o D es u n a re g ió n d e t ipo I, se e l ig e un r e c tá n g u lo

R = [a, b ] X [c, d] q u e c o n t ie n e a D , c o m o e n la f ig u ra 6, y sea F la fu n c ió n d a d a p o r la

e c u a c ió n 1: e s d e c i r , F c o n c u e r d a c o n / sobre D y F e s 0 fu e ra d e D. E n to n c e s , p o r e l t e o -

r e m a d e F u b in i ,

J J f { x , y) dA = J J F(x, y ) dA = f J ' F(x, y) d y d x

O b s e rv e q u e F (x , y) = 0 si y < gi(x) o y > gi{x) p o rq u e e n to n c e s (*, y) e s tá fu e ra d e D.

P o r tan to ,

i* Fix, y) d y = F{x, y) d y = y) d yJe Jg>U)

F IG U R A 6 p o rq u e F(x , y ) = f ( x , y) c u a n d o ^i(.r) y =s g2(x). A s í , se t ien e la s ig u ien te f ó r m u la q u e

p e rm i te e v a lu a r la in te g ra l d o b le c o m o u n a in teg ra l i te rada .

--

x = hx ( y ) x = h2(y)

F IG U R A 7

Algunas regiones tipo

|~3~| Si / e s c o n t i n u a so b re u n a re g ió n D t ipo I tal que

D = {(.v, y) | a x b, gi(x) ^ y ^ g2(.v)}

e n to n c e s ff /(*> y ) d A = f * \'""'f(x, y) dy dxJ J Ja Jg,(x)D

L a in te g ra l d e l la d o d e r e c h o d e [T| e s u n a in teg ra l i te rad a q u e es s im ila r a las c o n s i d e -

r a d a s en la s e c c ió n an te r io r , e x c e p to q u e e n la in teg ra l in te r io r se c o n s id e r a x c o m o u n a

c o n s ta n te n o só lo en f ( x , y ) , s ino ta m b ié n e n los l ím ites d e in te g rac ió n , <7i(x) y gi{x).

Se c o n s id e r a n ta m b ié n las r e g io n e s p lan a s t ip o I I , q u e se p u e d e n e x p r e s a r c o m o

0 D = {(*» y) | c y dy A,(y) .v ̂ /i2(y)}

d o n d e h\ y /?2 son c o n t in u a s . E n la f ig u ra 7 se i lus tran d o s r e g io n e s d e e s te t ipo.

Si se u s a n los m i s m o s m é t o d o s q u e se e m p l e a r o n p a r a e s t a b l e c e r [3] , se p u e d e

d e m o s t r a r q u e

0 ff f (x , y) dA = f r ’7(,, y) dx dyJ J Je Jft.(y)

d o n d e D e s u n a re g ió n t ipo II d a d a p o r la ecu a c ió n 4.

Q E f f l M l E v a lú e jjD (.v 4- 2y) dA, d o n d e D e s la re g ió n a c o t a d a p o r las p a rá b o la s

y = 2 a t y y = 1 4- x 1.

SOLUCIÓN L a s p a rá b o la s se c o r ta n c u a n d o 2 ; r = 1 4- j t , e s d e c i r , x 1 = 1: p o r tan to ,

x = ± 1. Se n o ta q u e la re g ió n D , b o s q u e j a d a en la f ig u ra 8, e s u n a re g ió n t ip o I, p e ro

n o u n a re g ió n t ip o II, y se p u e d e e sc r ib i r

D = { ( * » y) \ - 1 ^ x =5 1 , 2 x 2 =£ y 1 4- .v2}

P u e s to q u e la f r o n te ra in fe r io r e s y = y la f ro n te ra s u p e r io r e s y = 1: + nr, la

e c u a c ió n 3 d a

ff (.v 4 - 2 y ) d A = P Í‘+T (x + 2y) d y d xJJ J —1 Jlx2D

= [xy + y2]%̂dx

= P [.V( 1 4- X2) 4- (1 4- .v2)2 - x ( 2 x 2) - ( 2 x 2)2] d x» — I

= ( — 3.v4 - x 3 + 2:c2 + .v + 1) dx

X5 V4 X 3 X2 T= - 3 ----------- 4 - 2 -4- ------+ X \

5 4 3 2 J_32

15

SECCIÓN 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S OBRE R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 1

F IG U R A 9

D e s una re g ió n t ip o I

F IG U R A 10

D c o m o una re g ió n tipo 11

En la figura 11 se muestra el sólido cuyo

volumen se calcula en el ejemplo 2. Está

arriba del plano xy, debajo del paraboloide

z = jt2 + / y entre el plano y = 2 * y el

cilindro parabólico y = x2.

-A

N O T A C u a n d o se p la n te a u n a in te g ra l d c b le c o rn o en e l e je m p lo 1, e s e se n c ia l d ib u ja r

un d ia g ra m a . A m e n u d o e s ú t i l d ib u ja r u n a f lecha v e r t ic a l c o m o e n la f ig u ra 8. E n to n c e s

los l ím i te s de in te g rac ió n d e la in te g ra l interna se leen d e l d i a g r a m a c o m o sigue: la f lecha

c o m i e n z a e n e l l ím i te i n f e r io r y = gi(x), q u e d a e l l ím i te i n f e r io r e n la i n te g r a l , y la f l e -

c h a t e r m in a e n e l l ím ite s u p e r io r y = 02C*)» que d a e l l ím ite su p e r io r d e in teg rac ió n . Pa ra

u n a re g ió n t ipo I I , la f le c h a se t r az a h o r iz o n ta lm e n te d e l l ím ite i z q u ie rd o al d e rec h o .

E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l só l ido q u e y a ce d e b a jo d e l p a ra b o lo id e

z = x 1 + y 2 y a r r ib a d e la re g ió n D en e l p lano xy a c o ta d o p o r la r e c ta y = 2 x y la

p a r á b o la y = x1.

SOLUCIÓN 1 En la f ig u ra 9 se v e q u e D e s u n a re g ió n t ipo I y

D = {(.v, y) | O j 2 , .v2 2.v}

P o r tan to , e l v o lu m e n d e b a jo de : = x1 + y2 y a r r ib a d e D es

V = (\ (x2 + y2 )dA = f " [ x (x2 + y 2)dydxJO J x 2

D

.y7 .y5 7 t 4 T _ 2 1 6

i T - T + - J 0 - ! F -

SOLUCIÓN 2 D e la f ig u ra 10 se ve q u e D puede e sc r ib i r se ta m b ié n c o m o u n a re g ió n

t ipo I I :

D = {(.v, y) | O s y =s 4 , j y s * =s J y }

P o r tan to , o t ra e x p re s ió n p a r a V es

V = ( j ( x 2 + y 2)dA = £ f ' J ( x 2 + y 2) d x d y

b

EJEM PLO 2

F IG U R A 11 - i . v 5/2 , 2 7 / 2 _ 13 4j4 _ 216— 15 y + 7 y 96y jo — 35


Q EfflJEH E v a lú e j jD xy dA, d o n d e D e s la reg ión a c o ta d a p o r la r e c ta y = x — 1 y

la p a r á b o la y 2 = 2 x + 6.

SOLUCIÓN L a re g ió n D se m u e s t r a e n la f ig u ra 12. D e n u e v o D e s t ip o I y t ipo II, p e ro la

d e sc r ip c ió n d e D c o m o u n a re g ió n t ip o I e s m á s c o m p l i c a d a p o rq u e e l l ím i te in fe r io r

c o n s t a d e d o s par tes . P o r tan to , se p re f ie re e x p re sa r a D c o m o u n a re g ió n t ipo II:

F IG U R A 12

y j

.v + 2 y = 2

1 . (o y = 1 — x ¡ 2 )

/D > (1 .4 )

^ y = x / 2

0i r1 v

a) D como una región tipo I

E n to n c e s [T\ d a

b) D como una región tipo II

f f * » " = 1 1 [ t y L - ,

= í Í S b + O 2 - ( J y 2 - 3 ) 2] r fy

d y

c (

i[

+ 4 y 3 +

- + y 4 + 2 — 2 4 3

2y2 - 8y j

-36

Si se h u b ie r a e x p r e s a d o a D c o m o u n a re g ió n tipo I p o r m e d io de la f ig u ra 12a),

e n to n c e s se h a b r ía o b ten id o

j j xy dA = J - ‘ xy d y d x + £ j ^ x y d y d x*D

p e ro e s to h a b r ía re q u e r id o m á s t r ab a jo q u e e l o tro m é to d o .

EJEM PLO 4 E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l te t r a e d ro a co tad o p o r los p la n o s x + 2y + z = 2,

x = 2y, x = 0 y z = 0.

SOLUCIÓN E n u n a p r e g u n ta c o m o é s ta , e s a co n se jab le d ib u ja r d o s d ia g ra m a s : u n a de l

só l id o t r id im e n s io n a l y o t ra d e la re g ió n p l a n a D sobre la c u a l y ace . E n la f ig u ra 13 se

m u e s t r a e l te t r a e d ro T a c o ta d o p o r los p la n o s c o o r d e n a d o s x = 0 , z = 0 , e l p la n o ve r t ica l

x = 2 y y e l p la n o x + 2 y + z = 2. P u e s to q u e e l p lano x + 2y + z = 2 c o r t a al p la n o xy

( c u y a e c u a c ió n e s r = 0 ) en la r e c ta x + 2y = 2 , se ve q u e T e s tá a r r ib a d e la reg ión

t r ia n g u la r D en e l p la n o xy a c o ta d o p o r las re c ta s x = 2y, x + 2y = 2 y x = 0. (V é a s e la

f ig u ra 14).

E l p la n o x + 2 y 4* z = 2 se p u e d e e sc r ib i r c o m o z = 2 — x — 2y , a s í q u e e l v o lu m e n

re q u e r id o se lo c a l iz a d e b a jo d e la g rá f ic a d e la func ión z = 2 — x — 2 y y a r r ib a de

F IG U R A 14 {(.V , y) I 0 ss x «s 1, x/2 í y í l - x/2¡

SECCIÓN 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S OBRE R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 3

F IG U R A 15

D como una región tipo I

F IG U R A 16

D como una región tipo II

P o r c o n s ig u ie n te ,

V = f f (2 - x - 2y) dA

/•I f l-x / 2

f í , 2Jo Jx/2\y) d y dx

f l , ] ' 1( .V 2 - 2 x + 1) d x ---------- .V2 + x I - —

Jo 3 J() 3

dx

□ E J E M P L O 5 E v a lú e la in te g ra l i te r a d a /q J J sen ( y ~ )d y d :

SOLUCIÓN Si se in tenta ev a lu a r la integral c o m o ésta, se en fren ta la tarea d e eva luar pr im ero

J sen ( y 2) ¿/y. P e ro e s im p o s ib le h a c e r lo e n t é rm in o s f in i to s , p u e s to q u e J sen ( y 2) d y n o es

u n a fu n c ió n e le m en ta l . (V é a s e e l fin d e la secc ión 7 .5 .) A s í q u e se d e b e c a m b i a r e l o rden

d e in te g rac ió n . E s to se l le v a a c a b o al e x p re sa r p r im e r o la in te g ra l i te r a d a d a d a c o m o u n a

in te g ra l d o b le . Si se u s a [T] h a c i a a trás , se tiene

f f sen (y 2) d y d x = 11 sen ( y 2 ) dAD

d o n d e D = { ( .v , y) | 0 «s .r 1, x y l}

Se b o s q u e j a e s ta re g ió n D en la f ig u ra 15. D e sp u é s , d e la f ig u ra 16 se ve q u e u n a

d e sc r ip c ió n a l t e rn a t iv a de D es

D = { ( * , y ) | 0 ^ y «s 1 , O « * «s y }

E s to p e rm i te u sa r [5 ] p a r a e x p r e s a r la in teg ra l d o b le c o m o u n a in te g ra l i te rad a

en e l o rd e n inverso :

| f sen ( y 2) d y d x = | | sen ( y 2) JA

o

= C í Vs e n ( y 2) í / j c í / y = f [ j c s e n ( y 2) ] ^ dy+ i) » U u

= y s e n ( y 2) d y = — í c o s ( y 2)]ó = t { 1 - e o s l )

Prop iedades de la s in teg ra le s dobles

S u p o n e m o s q u e to d a s las s ig u ien te s in teg ra le s e x is ten . L as tres p r im e r a s p r o p ie d a d e s de

las in te g ra le s d o b le s so b re u n a re g ió n D se d e d u c e n d e in m e d ia to de la d e f in ic ió n 2 y las

p r o p ie d a d e s 7 , 8 y 9 en la s e c c ió n 15.1.

f f [ / ( * . y) + g(X, y)] dA = f f f ( x , y ) dA + f f g(\\ y ) dAD D D

f f c f { x , y ) dA = c f f / ( . v , y ) dA


Si /( .r , y) > g(x, y) p a r a t o d a (x , y ) e n D , e n to n c es

H ff /(*» y)dA > JJ 0U. y)

L a s ig u ien te p ro p ie d a d d e las in te g ra le s d o b les es s im ila r a la p ro p ied a d de las i n te g r a -

les s im p le s d a d a p o r la e c u a c ió n J *f(x) dx = J*f(x) dx + j*f(x) dx.Si D = Di U Dz, d o n d e D i y Dz no se t ra s lap an , e x c e p to q u iz á s e n sus l ím ite s (v é ase

la f ig u ra 17), e n to n c e s

0

L a p ro p ie d a d 9 se p u e d e u sa r p a ra e v a lu a r las in te g ra le s d o b le s e n las r e g io n e s D

q u e no son ni t ipo I ni II, p e ro p u e d e n e x p re sa r se c o m o u n a u n ió n d e r e g io n e s t ipo I o

t ipo II. En la f ig u ra 18 se i lu s t ra e s te p ro c ed im ie n to . (V é a n s e los e je rc ic io s 55 y 56.)

FIGURA 18 a) D no es tipo I ni tipo II b) D = Dx U D2, D x es tipo I, y D2 es tipo II.

L a s ig u ien te p ro p ie d a d d e las in te g ra le s e s tab lec e q u e si se in te g ra la fu n c ió n c o n s ta n te

f ( x , y) = 1 so b re u n a re g ió n D , se o b t ie n e e l á rea d e D:

0

FIGURA 19

Cilindro con base D y altura 1

E n la f ig u ra 19 se i lu s t ra p o r q u é e s c ie r ta la e cu a c ió n 10: un c i l in d ro só l id o c u y a b a se es

D y c u y a a l tu ra es 1 t iene un v o lu m e n A(D) • 1 = A(D), p e ro se sabe q u e su v o lu m e n se

p u e d e e sc r ib i r ta m b ié n c o m o 1 dA.P o r ú l t im o , se p u e d e n c o m b i n a r las p ro p ie d a d e s 7 , 8 y 10 p a r a p r o b a r la s ig u ien te p r o -

p ied ad . (V é ase e l e je r c ic io 61.)

[iT] Si m ^ f ( x , y) M p a ra t o d a (x , y) e n D, e n to n c e s

mA\D) =£ ff f ( x , y) dA MAiD)

SECCION 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S O B R E R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 5

EJEM PLO 6 U se la p ro p ie d a d 11 p a r a e s t im a r la in te g ra l e x * xCOSyd A , d o n d e D e s el

d i s c o c o n c e n t r o en e l o r ig en y r a d io 2.

SOLUCIÓN D a d o q u e — 1 ^ sen x ^ 1 y — 1 ^ c o s y 1, se t ien e — 1 =s sen x c o s y ^ 1

y , p o r tan to ,

- 1 .* 1 1 v C C K y . 1 .e <5 e y e = e

A s í , u s a n d o m = e ~ l = \ ¡ e , M = e y A \D ) = 7r(2)2 e n la p ro p ied a d 11, se ob t ien e

4 9T«S f f c xnicaiyd A < 4 w e

Ejercicios

1-6 Evalúe la integral iterada.

'• r . c > (> ! d i d >'

3. Jo' J ‘ ( l + 2y ) d y d x

5. f ' f f c o s ( r*) d t dsJ a J a

2- í l í {x~y)dydx4. f J f " x y d x d y

Ja Jy

6. I f d 1 + e v dw dvJ n J a

7-10 Evalúe la integral doble.

7. ff y 2 dA, D — {(.v, y ) | —1 < y < I, - y - 2 a- < y}

D

8. J J y + | dA, D = {(.v, y) | 0 < . v < l , 0 < y < -v2)

D

9. f f x d A , D « {(.v. y ) | O v í i r . O Í y <£ sen.v}

o

10. | f x 3 ¿/A, D ™ {(.v, y) | I í .v í e, O <5 v «S ln .v}

11. Esboce un ejemplo de una región que es

a) tipo 1 pero nc tipo II

b) tipo II pero no tipo I

12. Dibuje un ejemplo de una región que es

a) de tipo I y tipo II

b) ni tipo I ni tipo II

13-14 Exprese D como una región tipo I y también como

una región tipo II. Después evalúe en las dos maneras la integral

doble.

13. | f .í¿7A, D está encerrada por las rectas y = x, y = 0,

D

x = 1

14. f f x y d A , D está encerrada por las curvas y = x1, y = 3x

D

15-16 Plantee integrales iteradas para ambos órdenes de

integración. D esp jés evalúe la integral doble usando el orden

más fácil y explique p o rq u é es más fácil.

15. f f y dA , D está acotada por y = x — 2, x = y 2

*z>

16. f f y 2e*y dA . D está acotada por y = x, y = 4, x = 0

D

17-22 Evalúe la integral doble.

17. f f X cos y dA , D esta acotada por y = 0, y = x2, x = 1

D

18. f f (x 2 + 2>) dA, D está acotada por y = x, y = x 3, x O

D

19. f f > 2 rfA.

D

D es la región triangular con vértices (0, I), (1, 2) y (4, 1)

20. f f x y 1 dA, D está encerrada por x = 0 y .v = \ I — y 2

D

21. | J (2.1 - y) dA,*j>

D está acotada por la circunferencia con centro en el origen y

radio 2

22. f f 2*y dA, D es la región triangular con vértices (0, 0) , (1, 2)

y (0, 3)

(1 ,2 ) y (0 ,3)

S e r e q u ie re c a lc u la d o ra g ra f ic a d o ra o c o m p u ta d o ra |S£C| Se re q u ie re s is te m a a lg e b ra ic o c o m p u ta r iz a d o 1. T a re a s s u g e r id a s d i s p o n ib le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m


23-32 Encuentre el volumen del sólido dado.

23. Bajo el plano x — 2y + z = 1 y arriba de la región acotada

por x + y — 1 y xr + y = 1

24. Bajo la superficie 2 = 1 + x*y2 y arriba de la región acotada

por x = y 2 y x = 4

25. Bajo de la superficie z = xy y arriba del triángulo con

vértices (1, 1), (4, 1) y (1, 2)

26. Encerrado por el paraboloide z = x2 + 3y2 y los planos

x = 0, y = 1, y = x , z = 0

27. Acotado por los plano; coordenados y el plano

3 a + 2 y + - = 6

28. Acotado por los plano; z = x , y = x , a + y = 2 y : = 0

29. Acotado por los cilindros z = x2, y == a 2 y los planos z = 0,

y = 4

30. Acotado por el cilindro y 2 + z2 = 4 y los planos a = 2y,

a = 0, - = 0 en el primer octante

31. Acotado por el cilindro x2 + y 2 = 1 y los planos y = z.

a = 0, - = 0 en el primer octante

32. Acotado por los cilindros a 2 + y 2 = r2 y y 2 + z2 = r2

Krl 3 3 . Use una calculadora graficadora o computadora para est imar

las coordenadas a de los puntos de intersección de las curvas

y — a4 y y = 3* — x 2. Si D es la región acotada por estas

curvas, estime 11̂ .v dA.

£ 3 3 4 . Encuentre el volumen aproximado del sólido en el primer

ociante que está acotado por los planos y = x, z = 0 y z = a

y el cilindro y = eos x (Use un dispositivo de graficación para

estimar los puntos de intersección.)

35-36 Encuentre el volumen del sólido restando dos volúmenes.

3 5 . El sólido encerrado por los cilindros parabólicos

y = 1 — x2, y = x2 — 1 y los planos x + y + r = 2,

2a + 2y - z + 10 = 0

3 6 . El sólido encerrado por el cil indro parabólico y = x2 y

los planos z = 3y , z = 2 + y

37-38 Trace un sólido cuyo volumen está dado por la integral

iterada.

37. f ' f *(1 — JC — y ) dy d x 38. f ' I*' * (1 — x ) d y d x Jo Jo Jo Jo

|SAC| 39-42 Use un sistema algebraico computarizado para hallar el

volumen exacto del sólido.

39. Bajo la superficie z = AJy4 + xy2 y arriba de la región

acotada por las curvas y = x 3 — x y y = x2 + x para x ^ 0.

4 0 . Entre los paraboloides z = 2a~ + y 2 y : = 8 — x2 — 2y 2 y

dentro del cilindro x2 + y 2 = 1

4 1 . Encerrado por z = l — x2 — y 2 y z = 0

4 2 . Encerrado por : = r + y 2 y : = 2y

43-48 Bosqueje la región de integración y cambie el orden de

integración.

43. | ' \ y f ( x , y) dx d y 44. | ‘ f { x , y) dy d xJo Jo Jo Jx*

fw/2 f e o * x f 2 f , A —>J

lo / ( .x ,y) d y d x 46. | f ' f í x , y) d x dy

47. f ‘ f 'm* f ( x , y ) d y d x 48. I ' f * 4 f ( x , y) d y d xJ I JO JO « a rc ta a x

49-54 Evalúe la integral inviniendo el orden de integración.

49. f í e x d x d y 50. I ( ' co s (x 2) dx d yJO Jjy Jo Jy V '

51. f í~ —p!------d y d x 52. I V e 1̂ d y d xJo ¡yfx y 3 + 1 jo J.t

53. f |*^ eos x y 11 + c o s 2a d x d y* 0 J a R a e n y

54. f8 \ ' _ e x* d x d y Jo J ;7

55-56 Exprese a D como una unión de regiones tipo I o tipo II y

evalúe la integral.

55. f | V ¿ A 56. f f y d A

%D í>

57-58 Use la propiedad 1 1 para estimar el valor de la integral.

57. e {j,J+y,v dA, Q es el cuarto de circunferencia con centro

Qen el origen y radio 3 en el primer cuadrante

58. f( sen*(.v + y) dA, T es el triángulo encerrado por las rectas

T

y = 0, y = 2 a y x = 1

SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 997

59-60 Encuentre el valor promedio d e / s o b r e la región D.

59. f { x , y) = xy, L es el triángulo con vértices (O, 0), (1, 0)

y d , 3 )

60. f ( x , y ) = x sen y, D está encerrado por las curvas y = 0,

y = x 2 y x = I

61. Demuestre la propiedad 11.

62. Al evaluar una ir.tegral doble sobre una región D, se obtuvo

una suma de integrales iteradas como sigue:

ff / ( * , y) d A = £ y) d x d y + J* £ y f ( x , y) d x d y.DBosqueje la región D y exprese la integral doble como una

integral iterada con orden inverso de integración.

63-67 Utilice geometría o simetría, o ambas, para evaluar la

integral doble.

63. JT (.x + 2) dA , D = {(.x, y) | 0 ^ y < v '9 - .x2}

d

64. ff s /R 2 - x 2 - y 2 dA,D

D es el disco con centro el origen y radio R.

65. f f (2.x + 3y) dA..*i>

D es el rectángulo 0 < .x < a, 0 < y | M + M * s i }

67. f f (a.x3 + by'J + y /a 2 - x 2 ) d A ,

D

D = [-<2, a] X \ - b , b ]

68. Dibuje el sólido acotado por el plano x + y + z = 1 y el

paraboloide z = 4 — x1 — y 2 y encuentre su volumen exacto.

(Use su SAC para construir la gráfica, hallar las ecuaciones

de las curvas límite de la región de integración y evaluar la

integral doble.)

Integrales dobles en coordenadas polares

S u p o n g a m o s q u e se d e s e a e v a lu a r u n a in teg ra l d o b le J f ( x , y) d A , d o n d e R e s u n a d e las

r e g io n e s m o s t r a d a s en la f ig u ra 1. E n c u a lq u ie r c a s o , la d e sc r ip c ió n d e R e n t é rm in o s de

c o o r d e n a d a s r e c tan g u la re s e s b a s tan te c o m p l ic a d a , pe ro R se d e sc r ib e fác i lm e n te p o r m e d io

d e c o o r d e n a d a s po lares .

FIGURA 1

?(/-, 0) =P{x,y)

R e c u e rd e d e la f ig u ra 2 q u e las c o o r d e n a d a s p o la re s ( r , 9) d e un p u n to se re la c io n a n c o n

las c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la re s (x, y) m ed ia n te las e c u a c io n e s

r 2 = .v2 + y 2 .v = r e o s 0 y = r sen 6

(V é a s e la secc ió n 10.3.)

L as r e g io n e s d e la f ig u ra 1 son c a s o s e sp e c ia le s d e un r e c t á n g u l o p o l a r

F IG U R A 2 R = { ( / * , 0 ) | a r =£ b, a ̂ 6 « /8 }

q u e se m u e s t r a e n la f ig u ra 3. A fin d e c a lc u la r la in te g ra l d o b le /(.V, y) dA, d o n d e R es

un r e c t á n g u lo p o la r , se d iv id e e l i n te r v a lo [ í7, b] e n ni s u b in t e r v a lo s [ r< - i , r¿ ] d e ig u a l

a n c h o I r = [b — a ) /m y se d i v i d e e l i n t e r v a l o [cr, /3] e n n s u b i n t e r v a l o s [fy-1, fy]

d e ig u a l a n c h o A 0 = (¡3 — Ot)/n. E n to n c e s la s c . r c u n f e r e n c i a s r = /y y lo s r a y o s 6 = 9j

d iv iden al rectángu lo po lar R en los p eq u eñ o s rectángulos po lares R,j m os trados e n la figura 4.

FIGURA 3 Rectángulo polar FIGURA 4 División de R en subrectángulos

E l “ c e n t r o ” d e l su b re c tá n g u lo p o la r

Rij = {(r , 9) I r¡-i ^ r =s r f, fy-\ ^ 9 ^ fy]

t iene c o o r d e n a d a s p o la re s

r ? = jU ' i - i + t'í) 9 f = i 1 fy-1 + fy)

Se c a l c u l a e l á rea d e R# u s a n d o e l h e c h o d e q u e e l á r e a d e un s e c to r d e un c í r c u lo c o n rad io

r y á n g u lo c e n t r a l 6 es yr~9. A l re s ta r las á rea s de d o s sec to re s d e e s ta c la se , c a d a u n o de

los c u a le s t iene á n g u lo c e n t r a l 1 9 = 9j — 9j-\ , se e n c u e n t r a q u e e l á rea d e R,; es

A A = j r f A 9 - \ r ? - i A 9 = i ( r } - r j* - , )A 9

= í ( r , + - /•»_,) A 9 = r? I r A 6

A u n q u e se h a d e f in id o la in te g ra l d o b le JJR /( .y , y) dA en té rm in o s d e r e c tá n g u lo s o r d i -

n a r io s , se p u e d e d e m o s t r a r q u e , p a r a fu n c io n e s c o n t i n u a s / , se o b t ie n e s i e m p re la m i s m a

r e sp u e s ta p o r m e d io d e r e c tá n g u lo s po la re s . L as c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s d e l c e n t r o d e Rv

son {r* e o s 0* , r * sen 0* ) , de m o d o q u e u n a s u m a d e R ie m a n n r e p re s e n ta t iv a es

f/ i « r/i f i

□ 2 2 / ( '• * e o s 0 * . r * sen - 2 2 / W c o s #*> r f sen 0 ? )

Si se e sc r ib e g(r., 0) = / / ( r e o s 6, r sen 0), e n to n c es la s u m a de R iem a n n en la e cu a c ió n 1

se p u e d e e sc r ib i r c o m o

i ¿ g(r?, # / ) A r 1 6i= 1 ;=l

SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 9 9 9

q u e e s u n a s u m a d e R ie m a n n p a r a la in te g ra l d o b le

f* i bg(r, 0) dr d 6J a Ja

P o r tan to , se t iene

A» "

11 f ( x> >’) ^ = lím 2 2 f (r * c o s 0? » r * sen o?) a a ,

m n % a %,

= lím 2 2 sto** 0 * ) A r A 0 = | f ’ «70% 0 ) d r d 0

= I í / V e o s 0 , r sen 0 ) r <ir dO. iV .

|~2~| Cam bio a co o rd e n ad a s p o la re s en una in teg ra l doble S i / e s c o n t in u a en un

r e c tá n g u lo p o la r /? d a d o p o r 0 ^ ¡3, d o n d e O f t — o í 2 7 T,

e n to n c e s

fí /(*» >') dA — | f / { r e o s 0 , r s e n 0) rd rd O

d 6 ^ X ' X.dA

J ' f^ rdO

K dr

O

F IG U R A 5

Aquí usamos la identidad trigonométrica

sen2 i9 = t ( 1 — cos 2 0)

Véase la sección 7.2 para sugerencias sobre

la integración trigonométrea.

L a f ó rm u la en [T| in d ic a q u e se c o n v ie r te de c o o r d e n a d a s re c ta n g u la re s a p o la re s en u n a

in te g ra l d o b le si se e s c r ib e x = r c o s 0 y y = r sen 0, u sa n d o los l ím i te s d e in te g rac ió n a p r o -

p iad o s p a ra r y 0, y r e m p la z a r ¿¿4 p o r rdrdO. T e n g a c u i d a d o de no olv id a r e l fac to r ad ic iona l

r e n e l lad o d e r e c h o d e la f ó r m u la 2. Un m é to d o c lá s ico p a r a r e c o r d a r e s to se m u e s t r a en la

f ig u ra 5, d o n d e e l r e c tá n g u lo p o la r “ in f in i te s im a l” se p u e d e c o n s id e r a r c o m o un re c tá n g u lo

o r d in a r io con d i m e n s io n e s rdO y d r y , p o r tanto , t iene “ á re a ” dA = r d r dd.

Q 3 5 B Í D E v a lú e (3.V + 4 y 2 1dA, d o n d e R e s la re g ió n en e l se m ip la n o su p e r io r

a c o ta d o p o r las c i r c u n f e r e n c ia s j r + y 1 = 1 y x 1 + y2 = 4.

SOLUCIÓN L a re g ió n R se p u e d e d e s c r ib i r c o m o

R = {(*> y) I y > o, i « *2 + y2 ̂4}E s la m itad d e a n il lo m o s t r a d a en la f ig u ra Ib), y e n c o o r d e n a d a s p o la re s e s tá d a d a p o r

1 =s r 2 , O ^ 77. P o r tan to , p o r la f ó rm u la 2 ,

f f {3.v + 4 y 2)d A = | | ( 3 r c o s 0 + 4 r 2 s e n 20 ) r d rd O

H

= | ( 3 r 2 c o s 0 + 4/*3 s e n 20) d r d9

= I f / ,3c o s 0 4- r 4 sen20]"™7 dO = | ( 7 c o s 0 + 1 5 s e n 20 ) ¿ /0 .'0 Jo

= | [7 COS 0 + -y ( l — e o s 2 0 ) ] do

1 5 0 15= 7 sen 0 H--------------------- sen 2 0

2 4

15^77

1 0 0 0 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

Q E U Z H I H E n c u e n tr e e l v o lu m e n d e l só l id o a co tad o p o r e l p la n o z = O y e l

p a r a b o lo id e z = 1 — x1 — yr.

SOLUCIÓN Si z = O en la e c u a c ió n d e l p a ra b o lo id e , se o b t ie n e xr + y2 = 1. E s to s ig n i f ic a

q u e e l p la n o c o r ta al p a ra b o lo id e en la c i r c u n fe re n c ia x1 + y2 = 1, a s í q u e e l só l ido

e s t á b a jo e l p a ra b o lo id e y a r r ib a d e l d i s c o c i r c u la r D d a d o p o r x 1 + y2 =s I [v é a n se las

f igu ras 6 y la ) ] . En c o o r d e n a d a s p o la re s D e s t á d a d a p o r 0 ^ 7 ’ ^ 1, 0 0 ^ 27r.

P u e s to q u e 1 — xr — y2 = 1 — r 2, e l v o lu m e n es

V = f f (1 - x~ - y2)d A = P ' I'1 (1 - r - ) r d r d dJJ Jo JoD

JO Jo [_ 2 4 J () 2

Si se h u b ie ra n e m p l e a d o c o o r d e n a d a s re c tan g u la re s , e n lu g a r d e c o o r d e n a d a s p o la re s ,

e n to n c e s se h a b r ía o b ten id o

V = ff (1 - .v2 - y2)dA = i* f N,J _ ( l - x2 - y2)d ydx JJ J - i J-v i-x2D

q u e n o e s fácil e v a lu a r p o r q u e se r e q u ie re h a l l a r la in te g ra l J’ fl — X2 )2̂ 2dx. ■

F IG U R A 7

D = {(;•, B) | a 6 ^ /3,/7,(Í)=s hz(6)}

L o q u e h e m o s h e c h o h a s ta a q u í se p u e d e e x te n d e r al t ipo d e re g ió n m á s c o m p l i c a d a de

la f ig u ra 7. E s s im ila r a las r e g io n e s r e c tan g u la re s t ipo II c o n s id e r a d a s en la s e c c ió n 15.3.

D e h e c h o , al c o m b i n a r la f ó r m u la 2 d e e s ta sección c o n la f ó r m u la 1 5 .3 .5 , se o b t ie n e la s i -

g u ie n te fó rm u la .

E Si / e s c o n t in u a so b re u n a re g ió n p o la r de la fo rm a

D = {(7% 0) | Oí =5 o =s /3, hi(O) =ss 7• =£ h2(0)}

e n to n c e s [ [ / ( .* , y ) dA = | f ^ / { r e o s 0, r s e n 6) r d r d dJJ va ./;,{-)}

E n p a r t icu la r , si se t o m a / ( * , y) = I, h\{B) = O y h2($) = h{Q) en e s ta fó rm u la , se ve

q u e e l á r e a de la re g ió n D a c o t a d a p o r 9 = oc, 6 = (3 y l' = h{ 9 1 es

•M í )A{D) = f f 1 dA = f f rdrdO

JJ J« JoD

y e s to c o n c u e r d a c o n la f ó r m u la 10.4.3.

Q Q E 5 Q H 1 U se la in te g ra l d o b le p a r a h a l l a r el á rea e n c e r r a d a p o r un p é ta lo d e la

r o s a d e c u a t r o h o j a s r = e o s 26.

SOLUCIÓN D e l b o s q u e jo d e la c u r v a e n la f ig u ra 8, se ve q u e e l p é ta lo e s t á d a d o p o r la

reg ión

D = {(7*, 9) [ - 7 t / 4 í N 7t /4, O í / ' 5 e o s 29}

SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 1 0 0 1

A s í q u e e l á r e a es

A(D) = f f dA = f ’ 4 r 2' r d r d 6JJ J - w i 4 JO

f® /4 f l vicos 2 # A 1 f » / 4 ->I j r - J o ¿ 0 = t c o s -

. — n 4 J — tt/42 OdO

= 5 | ^ (I + e o s 4 0 ) dO = ^ [0 + 5 sen 4 0 ] l{ ^ 4 =

E JEM P LO 4 E n c u e n tr e e l v o lu m e n d e l só l ido q u e y a c e d e b a jo d e l p a ra b o lo id enz = a 2 + y2, a r r ib a d e l p la n o Ay y d e n t r o d e l c i l in d ro a 2 + y 2 = 2a .

SOLUCION E l só l id o e s tá a r r ib a d e l d i s c o D c u y a c i r c u n f e r e n c i a f ro n te ra t ien e la e c u a c ió n

a 2 + y 2 = 2 a o b ie n , d e s p u é s d e c o m p l e ta r el c u a d ra d o .

( X - i ) 2 + y 2 = 1

(V é a n s e las f igu ras 9 y 10.)

( a - 1 ) + y — 1

(o r — 2 eos 0)

F IG U R A 9

E n c o o r d e n a d a s p o la re s se t ien e A 2 + y 2 = r y A = r e o s 0 , p o r tan to , la

c i r c u n f e r e n c i a f ro n te ra se c o n v ie r te en r 2 = 2 r e o s 0 o b ien r = 2 e o s 0. A s í , e l d i s c o D

e s t a d a d o p o r

D = { ( r , 6) | - 77-/2 « N 7 r /2 , O r =£ 2 e o s 0}

y , p o r la f ó r m u la 3, se t iene

r - p ^ - j a r ^ - Ü T r *= 4 £ , c o s « 0 < i 0 = 8 J / 2 c o s A6 d 0 = 8

= 2 [ l + 2 e os 2 9 + j ( l + e o s 4 0 )] d 9

F IG U R A 10

= 2 [ \ B + sen 26 + |s e n ~

Ejercicios

1-4 Se muestra una región R. Decida si emplea coordenadas

polares o rectangulares y exprese \fR f ( x , y) d A como una integral

iterada, donde / e s una función continua arbitraria sobre R.

5-6 Bosqueje la región cuya área está dada por la integral y evalúe

la integral.

5. f 3"1* f ' r d r d O 6. f \ 2an* r d r d 0J n - i J I J - / 2 Jo

7 -1 4 Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares.

7 . ¡jDX2y dA, donde D es la mitad superior del disco con centro

en el origen y radio 5

8. ¡fR(2x — y) dA, donde R es la región en el primer cuadrante

encerrada por la circunferencia x2 + y 2 = 4 y las rectas x = 0

y y = x

9. jjR sen (.v2 -I- y 2) dA, donde R es la región en el primer

cuadrante entre las circunferencias con centro en el origen y

radios 1 y 3

y 2

10- ÍÍr y 2 . ,.2 d A ' d ° nde R es la región que está entre las X~ + y

circunferencias x2 + y 1 = a 2 y x 2 + y 2 = b 2 con 0 < a '2 y el eje y

12- J L eos y¡X2 + y 2 dA, donde D es el disco con centro en

el origen y radio 2

1 3 . jjR are tañí y/x) d Adonde R = {(.x, y) | 1 ^ je2 + y 2 ^ 4, 0 ^ y ^ .x}

15.4

»■ a » * dA, donde D es la región en el primer cuadrantelocalizada entre las circunferencias x2 + y 2 = 4 y xr + y 2 = 2x

15-18 Use una integral doble para hallar el área de la región.

15. Un pétalo de la rosa r = eos 39.

16. La región encerrada por las cardioides r = l + eos 9 y

r = 1 — eos 9

17. La región dentro de las circunferencias (.X — l ) 2 + y 2 = 1 y

.x2 + y 2 = I

18. La región dentro del cardioide r = 1 + eos 9 y fuera de la

circunferencia r = 3 eos 9

1 9 -2 7 Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.

19 . Bajo el cono - = y /x2 + y 2 y arriba del disco .x2 + y 2 ^ 4

20. Bajo el paraboloide r = 18 — I x 2 — l y 2 y arriba del plano xy

21. Encerrada por el hiperboloide — x 2 — y 2 + : 2 = 1 y el plano

r = 2

22. Dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y fuera del cilindroJ I J A

x r -I- y - = 4

23. Una esfera de radio o

24. Acotado por el paraboloide r = I + I x 2 + 2 y 2 y el plano

z = 7 en el primer octante

25. Arriba del cono z = \/.X2 + y 2 y bajo la esfera

x2 + y2 + z 2 = 126. Acotado por los paraboloides r = 3.x2 + 3 y 2 y

z = 4 - .x2 - y 2

27. Dentro del cilindro .X2 + y 2 = 4 y el elipsoide4.x- + 4 y - + z“ = 64

28. a) Se usa una broca cilindrica con radio r\ para hacer una

perforación por el centro de una esfera de radio n .

Encuentre el volumen del sólido en forma de anillo que

queda.

b) Exprese el volumen del inciso a) en términos de la altura

h del anillo. Observe que el volumen depende sólo de h,

no de r¡ o r2.

29-32 Evalúe la integral iterada convirtiendo a coordenadas

polares.

29. | I ' sen ( x 2 + y 2\ d y d x 30. ) | x 2y d x d yJ—3 J o - / - J0

31. f ( ' y (.x + y) dx d y 32. | f y /x 2 + y 2 d y dxJo Jy Jo Jo

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

SECCIÓN 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 100 3

33-34 Exprese la doble integral en términos de una sola integral

respecto a r. Después utilice su calculadora para evaluar la integral

con una aproximación de cuatro decimales.

33. l \De (x‘+y’y dA , donde D es el disco con centro en el origen y

radio 1

JI\D x ) ' d 1 + v2 + y 2 dA, donde D es la porción del disco

4 + y 2 ^ 1 que está en el primer cuadrante

35. Una alberca es circular con un diámetro de 40 pies. La

profundidad es constante a lo largo de las líneas este-oeste y

se incrementa en forma lineal desde 2 pies en el extremo sur

hasta 7 pies en el extremo norte. Determine el volumen del a g u a e n l a a l b e r c a .

36. Un aspersor agrícola distribuye agua en un patrón circular

de radio 100 pies. Suministra agua a una profundidad de

e~r pies por hora a una distancia de r pies desde el aspersor.

a) Si 0 < R ^ :00, ¿cuál es la cantidad total de agua

suministrada por hora a la región dentro del círculo de

radio R centrado en el rociador?

b) Determine ur.a expresión para la cantidad promedio de

agua por hora por pie cuadrado suministrada a la región

dentro del círculo de radio R.

37. Encuentre el valor promedio de la función

f ( x , y) = 1 / \ / x 2 + y 2 sobre la región anular

a 2 .x2 + y 2 ^ b 2, donde 0 < a < b.

3 8 . Sea D el disco con centro en el origen y radio a. ¿Cuál es la

distancia promedio de los puntos en D al origen?

3 9 . Utilice coordenadas polares para combinar la suma

ih id*xy ay dx+/.v; r **dy dx+w ¿ydxdentro de una integral doble. Después evalúe la doble integral.

40. a) Se define la integral impropia (sobre todo el plano IR2)

/ = j j ' e - (*1+yl)d A = f ” f_" e - {xt+yi)d y d x

R*

™ lím f f ) dA

donde D a es el disco con radio a y centro en el origen.

Demuestre que

[ " f " e - ' ^ d A = w

b) Una definición equivalente de la integral impropia del

inciso a) es

, - ^ + y 1} ¿a = i , ' m f f dA

donde Sltes el cuadrado con vértices (±ci, ± a ) . Use esto

para demostrar que

f e ' d x f e y dy

c) Deduzca que

f e~x* d x = v 7rJ —co

d) Haciendo el cambio de variable t = V 2 -X, demuestre que

r e-**/2d x = y f l / i rJ—cm

(Este es un resultado fundamental para probabilidad y

estadística.)

41. Use el resultado del ejercicio 40 inciso c) para evaluar las

siguientes integrales

(*«« , 2 X 6 ~ x d x b) y f x e - * d x

Jn

Aplicaciones de las integrales dobles

Y a h e m o s v is to u n a ap licac ión d e las integrales dobles : c á lcu lo d e v o lú m en es . O tra ap licac ión

g e o m é t r i c a e s h a l l a r á rea s de su p e r f ic ie s y es to se h a r á e n la s ig u ien te secc ión . E n e s ta s e c -

c ió n se e x p lo ra n a p l i c a c io n e s f ís ica s c o m o c a lc u la r la m a s a , c a r g a e lé c t r ica , c e n t ro d e m a s a

y m o m e n to d e inercia . Se v e rá q u e e s ta s ideas son im p o r ta n te s tam b ién c u a n d o se ap lican a

f u n c io n e s d e d e n s id a d de p ro b a b i l id a d d e dos v a r ia b le s a lea to r ias .

Densidad y masa

E n la secc ió n 8 .3 fue p o s ib le u sa r las in teg ra le s s im p le s p a r a c a l c u l a r m o m e n t o s y e l c e n -

tro d e m a s a d e u n a d e lg a d a p l a c a o lá m in a con d e n s id a d co n s tan te . P e ro ah o ra , e q u ip a d o s

con la in tegral d o b le , p o d e m o s c o n s id e ra r u n a ' á m i n a c o n d en s id ad variable . S u p o n g a m o s q u e

la l á m in a o c u p a u n a re g ió n D d e l p la n o x y y su d en sid a d (en u n id a d e s d e m a s a p o r un id ad

d e área) en un punto (x, y ) en D e s tá d a d a po r p(x, y), d o n d e p es u n a func ión c o n t in u a sobre D.

E s to s ig n i f ic a q u e

p( V. y) = lím

•-1*

F IG U R A 2

d o n d e A m y A A son la m a s a y e l á r e a d e un r e c tán g u lo p e q u e ñ o q u e c o n t i e n e a (x , y) el

l ím ite se t o m a c u a n d o las d i m e n s io n e s d e l r e c tán g u lo se a p ro x im a n a O. (V é ase la f ig u ra 1.)

P a ra h a l l a r la m a s a to ta l m d e la lá m in a , se d iv id e un r e c tá n g u lo R q u e c o n t ie n e a D en

s u b r e c tá n g u lo s R¡j d e l m is m o t a m a ñ o ( c o m o e n la f ig u ra 2 ) y se c o n s id e r a q u e p(x , y) e s O

fu e ra d e D. Si se e l ig e un p u n to (xjf, y,J) e n Ry, e n to n c e s la m a s a d e la p a r te d e la lá m in a

q u e o c u p a Rij e s a p r o x im a d a m e n te p {x¡ , y,J) A A, d o n d e A A es e l á r e a d e R,j. Si se su m a n

to d as las m a s a s , se ob t ien e u n a a p ro x im a c ió n d e la m a s a total:

7. I

p ( . r } , y j f ) A A'= i ;= i

Si a h o ra se in c r e m e n ta e l n ú m e r o d e su b re c tá n g u lo s , se o b t ie n e la m a s a to ta l m d e la l ám in a

c o m o e l v a lo r l ím ite d e las a p ro x im a c io n e s :

□

L o s f ís icos c o n s id e r a n ta m b ié n o tros t ip o s d e d e n s id a d q u e se p u e d e n t ra ta r d e la m i s m a

m an e ra . P o r e j e m p lo , si se d i s t r ib u y e u n a c a r g a e lé c t r ica so b re u n a re g ió n D y la d e n s id a d

d e c a r g a (en u n id a d e s d e c a r g a p o r á re a u n i ta r ia ) e s tá d a d a p o r tr(x, y ) en un p u n to (x , y) en

D y e n to n c e s la c a r g a to ta l Q e s t á d a d a po r

F IG U R A 3

EJEM PLO 1 L a c a r g a e s tá d i s t r ib u id a so b re la reg ión t r ia n g u la r D e n la f ig u ra 3 d e

m o d o q u e la d e n s id a d d e c a r g a en (x, y) e s <r{Xy y) = xy , m e d i d a en c o u lo m b s p o r m e t ro

c u a d r a d o ( C / m 2). D e te r m in e la c a r g a total.

SOLUCIÓN D e la e c u a c ió n 2 y la f ig u ra 3 se t iene

Q = f f < rix ,y)dA = ( ' f ‘ xy d y dxvj *0 JI~I

íl--[ly-l

I X

I ( ' (2x2 Jo

x 3 ) dx2 £

3

- (1 - x)2]d.v

T - -L4 J„ 2 4

A s í , la c a r g a to ta l es 55 C.

Momentos y centros de masa

E n la s e c c ió n 8 .3 e n c o n t r a m o s e l c e n t r o d e m a s a d e u n a l á m in a c o n d e n s id a d c o n s tan te :

a q u í se c o n s id e r a u n a l á m in a c o n d e n s id a d va r iab le . S u p o n g a q u e la l á m in a o c u p a u n a r e -

g ión D y t iene la fu n c ió n de d e n s id a d p(xt y). R ecu e rd e d e l c a p í tu lo 8 q u e e l m o m e n t o de

u n a p a r t í c u la se d e f in e re sp e c to a un e je c o m o e l p r o d u c to de su m a s a y su d i s t a n c i a d i r i -

g id a d e s d e e l e je . Se d iv id e a D en r e c tá n g u lo s p e q u eñ o s c o m o e n la f ig u ra 2. E n to n c e s la

m a s a d e Rij es a p r o x im a d a m e n te p(.v$, y * ) A A, así q u e e l m o m e n t o d e Rij r e sp e c to al e je x

se p u e d e a p r o x im a r m e d ia n te

!>(*,?, y | ) á A ]y ?

Si a h o ra se su m a n e s ta s c a n t id a d e s y se t o m a el l ím ite c u a n d o e l n ú m e r o d e s u b re c tá n g u lo s

se v u e lv e

SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1005

g ra n d e , se o b t ie n e e l m o m e n t o d e t o d a la lám in a r e s p e c t o a l e je x:

m , = Km 2 2 y* p(av> y í ) ¿ A = ff yp(*> y ) d A

D e m a n e r a s im ila r , e l m o m e n t o r e s p e c t o a l e j e y es

|~4~| M y = lím 2 2 ví 3$) A/* = ff A7>(v> .v) d A

(0,2)

\ v = 2 - 2xV

U i ü ] 8 ’ 16

D

(1, 0 ) *

C o m o an tes , se d e f in e e l c e n t ro de m a s a (T, y ) d e m o d o q u e m x = M y y m y = M x. E l s ig -

n i f ic ad o f ís ico e s q u e la l á m in a se c o m p o r t a c o m o si t o d a su m a s a se c o n c e n t r a r a e n su c e n -

tro de m asa . A s í , la l á m in a se e q u i l i b r a h o r iz o n ta lm e n te c u a n d o se a p o y a en su c e n t r o de

m a s a (v é ase la f ig u ra 4).

|~5~| L as c o o r d e n a d a s ( .v, y ) d e l c e n t r o de m a s a d e u n a l á m in a q u e o c u p a la reg ión

D y q u e t ien e fu n c ió n d e d e n s id a d p(x, y) son

- My \ rr M xx = — = — v p l .v, y) dA y = —

m m JJ mD

= — \ \ yp (x ,y ) d A m «*’

D

d o n d e la m a s a m e s t á d a d a po r

m = f f p(x ,y)dA% J D

] E n c u e n t re la m a s a y e l c en t ro d e m a s a d e u n a l á m in a t r ia n g u la r con

v é r t ic e s (O, 0 ) , (1 , O) y (O, 2) si la fu n c ió n d e d e n s id a d es p(x, y) = 1 + 3x + y.

SOLUCIÓN E l t r iá n g u lo se m u e s t r a e n la f ig u ra 5. (N o te q u e la e c u a c ió n d e la c o ta

s u p e r io r e s y 2 — 2.v.) L a m a s a d e la lám in a es

p{x, y) dA = J ‘ r~ ~xJi

D

m = f f p( x, y) d A = f f‘ (1 + 3.v + y) d y dx»'»' JO JO

- í [”++ f VF IG U R A 5 4 f 1 (1 - x 2)dx

JO HlE n to n c e s las fó rm u la s e n | 3 ] dan


F IG U R A 6

Compare la ubicación del centro de masa del

ejemplo 3 con el ejemplo 4 de la sección 8.3,

donde se encontró que el centro de masa de

una lámina con la misma forma, jero

densidad uniforme se localiza en el punto

(0 ,4 a / (3 » ) ) .

y = — f f y p ( í , y ) d A = i [ “ ( y + 3 .ry + y 2) d y d x'D

= — f 1 \ — + 3x — + — ] d x = ¿ f * (7 - 9.v - 3.v2 + 5 x 3) d xS J o L 2 2 3 J y=o Jo

i r x 2 3 v4 ] 1 i i= — 7.v - 9 x 3 + 5 — = —

4 [_ 2 4 j 0 16

E l c e n t ro d e m a s a e s tá e n e l p u n to ( | , j¿).

Q E H J H J H L a d e n s id a d e n c u a lq u ie r p u n to sa b ré u n a lá m in a s e m ic i r c u la r es

p ro p o rc io n a l a la d i s t a n c i a d e sd e e l c e n t r o d e l c írcu lo . E n c u e n t r e e l c e n t r o d e m a s a

d e la lám ina.

SOLUCIÓN C o lo q u e la l á m in a c o m o la m ita d su p e r io r d e la c i r c u n f e r e n c i a xr + y2 = a2

(v é ase la f ig u ra 6). E n to n c e s la d i s t a n c i a d e un pun to (x, y) al c e n t ro d e la c i r c u n f e r e n c i a

(el o r ig en ) e s >/x2 4- y 2 . P o r tan to , la fu n c ió n d e d e n s id a d es

píx, y) = K \ fx'- + y 2

d o n d e K e s a lg u n a c o n s ta n te . T a n to la fu n c ió n d e d e n s id a d c o m o la f o r m a d e la lám in a

su g ie ren q u e se c o n v ie r ta a c o o r d e n a d a s po la re s . E n to n c e s >/.v2 + y 2 = r y la re g ió n D

e s t á d a d a p o r O í r í a , O í 9 7r. A s í , la m a s a d e la l á m in a es

m = f f p(x, y) dA = f f X \ / .v 2 + y 2 dA

D D

= f '' {* (Kr) r dr dO = K f wd d f ‘ r 2dr Jo Jo Jo Jo

= K , r L T

3 Jo

Kira

T a n t o la l á m i n a c o m o la fu n c ió n d e d e n s i d a d son s i m é t r i c a s r e s p e c t o a l e je y , a s í q u e

e l c e n t r o d e m a s a d e b e e s t a r so b re e l e je y, e s d e c i r , T = O. L a c o o r d e n a d a y e s t á d a d a

p o r

y = — f| yp(.v , y) dA = — 1— j f * f r sen 0 ( K i ) r d r d O m JJ K m r ¿o Jo '

WU Jo

3 2a

ira

f # s e n 0 ¿ / 0 f r 3d r = , [ —e o s a I t ) — 1Jo Jo w a 3 L L 4 J

3 a

2 ir

P o r tan to , e l c e n t ro d e m a s a se lo c a l iz a e n e l pu n to (O, 3 a / ( 2 w ) ) . ■ ■

Momento de ine rc ia

E l m o m e n t o d e i n e r c i a ( c o n o c i d o t a m b ié n c o m o s e g u n d o m o m e n t o ) d e u n a p a r t í c u l a

d e m a s a m r e sp e c to a un e je se d e f in e c o m o /wr2, d o n d e r e s la d i s t a n c i a d e sd e la p a r t í c u -

la al e je . A fin d e a m p l i a r e s t e c o n c e p t o a u n a l á m i n a q u e t ie n e fu n c ió n d e d e n s i d a d

P(x * y) y o c u p a u n a r e g ió n D se p r o c e d e c o m o se h i z o p a r a m o m e n t o s o r d in a r io s . Se d i -

v i d e a D e n r e c t á n g u l o s p e q u e ñ o s , se a p r o x i m a d m o m e n t o d e in e r c i a d e c a d a s u b r e c -

t á n g u lo r e s p e c to al e je x y se t o m a e l l ím i te d e la s u m a c o n f o r m e el n ú m e r o d e su b r e c t á n -

g u lo s se h a ce grande. E l resu ltad o e s e l m o m e n to d e in e r c ia d e la lám in a r e s p e c to a l

e je x

SECCION 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 1 0 0 7

E

D e m anera sim ilar, e l m o m e n to d e in e r c ia resp ecto a l e je y es

m

T am bién e s de interés considerar e l m o m en to d e in e rc ia r e sp e c to a l o r ig e n , c o n o c id o tam -

bién c o m o m o m e n to p o la r d e in erc ia :

N ote que 7o = Ix + 7V

Q E J J J U U J Encuentre lo s m o m en to s de inercia 7t , Iy e 70 de un d isc o h o m o g é n e o D

co n densidad p(x, y) = p , cen tro en e l origen y radio a.

SOLUCIÓN El lím ite de D e s la c ircu nferencia .V2 + y 2 = a 2 y en coord en adas po lares D

se describ e m ediante O í N 27T, O ^ r ^ fl. Prim ero se ca lcu lará 70:

70 = f f (.v2 + y 2) pd Á = p f ‘ * f * r 2r d r d 6 JJ Jo JoD

En lugar de ca lcu lar 7.t e Iy d e m anera directa, se usan lo s h ech o s de que Ix + Iy = 7o e

I* = Iy (de la sim etría d e l problem a). A s í,

I x = Iy70 i rpa4

2 4

En e l e jem p lo 4 observe que la m asa d e l d isco e s

m = densidad X área = p('ira)2

de m od o que e l m o m en to de inercia d e l d isco resp ecto al origen (co m o una rueda respecto

a su e je) se puede escrib ir c o m o

irpo. | i . ■> i 7o = — -— = i ( p i r a ) a = 2 ^na~

A sí, si se increm enta la m asa o e l radio d e l d isco , aum enta e l m om en to de inercia. En g e n e -

ral, e l m om en to de inercia ju eg a e l m ism o papel en e l m o v im ien to rotatorio que la m asa


ju e g a e n el m o v im ien to lineal. El m o m e n to d e inercia de u n a ru ed a es l o q u e hace d if íc il e m p e -

z a r o d e te n e r la ro tac ión d e la rueda , de l m is m o m o d o q u e la m a s a d e un au to m ó v i l d i f icu l ta

in ic ia r o d e te n e r e l m o v im ie n to d e un au tom óvi l .

El r a d i o d e g i r o d e u n a l á m i n a r e s p e c t o a u n e j e e s e l n ú m e r o R tal q u e

[ § ] mRr = I

d o n d e m es la m a s a d e la lám in a , e / e s e l m o m e n to de in e rc ia r e sp e c to al e je d ad o . L a

e c u a c ió n 9 d ic e q u e si la m a s a d e la lá m in a se c o n c e n t r a ra a u n a d i s t a n c i a R d e l e je , e n -

to n ce s e l m o m e n t o d e in e rc ia d e e s t a “ m a s a p u n tu a l” se r ía la m i s m a q u e e l m o m e n t o de

in e rc ia d e la lám ina .

E n p a r t icu la r , e l r a d io de g iro y r e sp e c to al eje x y e l r a d io d e g iro x r e sp e c to al e je y

e s tá n d a d o s p o r las e c u a c io n e s

[To | my2 = Ix m f 2 = Iy

A s í ( X ,y ) es e l p u n to en q u e la m a s a de la lám in a se p u e d e c o n c e n t r a r sin c a m b i a r los

m o m e n t o s d e in e rc ia r e sp e c to a los e je s c o o rd e n a d o s . (N o te la a n a lo g ía c o n e l c e n t ro de

m asa . )

E n c u e n t r e e l r a d io d e g i ro re sp ec :o al e je a ; d e l d i s c o d e l e j e m p lo 4.

SOLUCIÓN C o m o se o b se rv ó , la m a s a d e l d i s c o e s m = p ira2, a s í q u e de las e c u a c io n e s 10

se t iene

E JEM P LO 5

1 44 T ip a

p ira1

P o r tan to , e l r a d io d e g iro re sp e c to a Ares y = ^a, q u e es la m itad d e l r a d io d e l d isco .

Probabil idad

En la sección 8 .5 se c o n s id e ra m o s la función de densidad de probabilidad f de u n a va r iab le

c o n t i n u a a le a to r ia X. E s to s ig n i f ic a q u e f { x ) ^ 0 p a r a t o d a a; J T ^ / U ) dx = 1, y la p r o b a -

b i l id ad de q u e X e s t é e n t r e a y b se e n c u e n t r a al i n t e g r a r / d e a a b:

P(a *s X « b) = \ ”f ( x ) dx»a

A h o r a c o n s id e r a m o s un p a r d e v a r ia b le s a lea to r ias c o n t in u a s X y Y, ta le s c o m o los t i e m -

p o s d e v id a d e d o s c o m p o n e n t e s d e u n a m á q u i n a o la a l tu ra y p e so d e u n a m u je r a d u l ta e l e -

g id a al azar. L a f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o n j u n t a de X y Y e s u n a f u n c i ó n / d e d o s v a r ia b le s

tal q u e la p ro b a b i l id a d d e q u e (X, Y) e s té e n u n a reg ión D es

P({X, Y) G D) = f j / ( . r , y) dA'D

E n p a r t icu la r , si la re g ió n e s un re c tá n g u lo , la p ro b a b i l id ad d e q u e X e s té en tre a y b y q u e

Y e s té en tre c y d es

P{a ^ X =s b, c Y d) = íV ( .v , y) d y dxJa Je

(V é a s e la f ig u ra 7 .)

SECCIÓN 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 1 0 0 9

F IG U R A 7

La probabilidad de que X esté entre

a y b, y que Y esté entre c y d

es el volumen localizado arriba

del rectángulo D = [a, b\ X [c, d]

y debajo de la función de

densidad conjunta.

D e b id o a q u e las p ro b a b i l id a d e s no son n e g a t iv a s y se m id e n en u n a e s c a l a de O a 1, la

fu n c ió n d e d e n s id a d c o n ju n t a t iene las s ig u ien te s p ro p ied a d es :

/ ( * , y) » O ff f ( x , y) dA = i

C o m o e n e l e je r c ic io 4 0 d e la s ecc ió n 1 5 .4, la in teg ra l d o b le so b re R 2 e s u n a in te g ra l i m p r o -

p ia d e f in id a c o m o el l ím ite d e in te g ra le s d o b le s sob re c í r c u lo s o c u a d r a d o s q u e se e x p a n -

d e n y se p u e d e e sc r ib i r

f f /(.*, y) dA = f " f " / ( * , y) dx dy = 1J J J —co J —co

\R:

U U H E O Si la fu n c ió n d e d e n s id a d c o n ju n ta p a r a X y Y e s tá , d a d a po r

/ ( v .

e n c u e n t r e e l v a lo r d e la c o n s ta n te C . D e sp u é s d e te r m in e P ( X 7 , Y ^ 2).

fc(.v + r'-v ) - \ o

2y ) si 0 * . v < 10, O <£ y 10

en o t ra par te

SOLUCIÓN Se e n c u e n t r a e l v a lo r de C al a s e g u ra r q u e la in te g ra l d o b le de / e s ig u a l a 1

D e b id o a q u e f ( x , y ) = 0 fu e ra d e l r e c tán g u lo [0 , 10] X [0, 10], se t iene

r P /(*» y) dy dx = f 10 f10 c (-v + 2y) dy dx = C f [xy + y2]jI¿VrJ - c o J - M JO JO JO 1

rio= C (10.V 4 1001 ¿í.v = 1 5 0 0 C

Jo

P o r tan to , 1 5 0 0 C = 1 y, e n c o n s e c u e n c ia , C = -j¿q.

A h o r a se p u e d e c a l c u l a r la p ro b a b i l id a d de q u e X s ea a lo s u m o 7 y Y s ea p o r lo

m e n o s 2:

P(X s 7, Y » 2) = f f ” /(.v, y) dy dx = f [ ‘"■¡¿¡(.v + 2y) dydxJ co J2 JO J 2

fo [xy 4 y 2]y li0á.v = T¿ó f j (8.v 4 96) dxiI5«)

0 . 5 7 8 7

1010 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES

S u p on ga que X e s una variab le aleatoria con función de densidad de p ro b a b ilid a d /i(*) y

Y e s una variab le a leatoria co n fu n ción de densidad fi(y). E n ton ces X y y se llam an v a -

riab les a lea tor ia s in d ep en d ien tes si su función de densidad conjun ta e s e l producto de sus

fu n cio n es de densidad ind ividuales:

/U, y) = f M f 2(y)

En la secc ió n 8 .5 , se m odelaron tiem p o s de espera por m ed io de fu n cion es de densidad

ex p o n e n c ia le s

/ ( ' ) ÍO si / < O

si t > O

EJEMPLO 7

donde /x e s e l tiem po de espera prom edio. En e l ejem plo sigu iente se considera una situación

co n d o s tiem p o s de espera ind ep en d ien tes.

El adm inistrador de un c in e determ ina que e l tiem p o prom edio que los

a sisten tes esperan en la fila para com prar un b o leto para la p e lícu la d e e sta sem ana e s

10 m inutos y e l tiem p o prom edio que esperan para com prar palom itas e s 5 m inutos. Si

se su pon e que lo s tiem p o s de esp era son ind ep en d ien tes, encuentre la probabilidad de que

una persona espere un total de m en o s de 2 0 m inutos antes de tom ar su lugar.

SOLUCIÓN Si se supone que tanto e l tiem p o de espera X para la com pra d e l b o le to

c o m o e l tiem p o de espera Y en la fila para com prar g o lo sin a s se m odelan m ediante

fu n cion es de densidad de probabilidad e x p o n en c ia le s , se pueden escrib ir cada una de

las fu n cion es de densid ad c o m o

r ° si , v < o j oi _ l - ,/io n f Á y ) “ j i^ 1 0 ** S I A > 0

si y < 0

,-yf5

P uesto que X y Y son in d ep en d ien tes, la función de densidad conjun ta e s e l producto:

/(■V, v) = / . ( ')/:(> •) - { í50e - ' /l0e-y/5 si jc > 0 , y > 0

de lo contrario

Si p e d im o s la p ro b a b ilid a d d e q u e I + 7 < 20;

P ( X + Y < 2 0 ) = P { ( X , Y ) G D )

\\20

d on d e D e s la región triangular m ostrada en la figura 8. A s í que

N , jr+y=20P (X + Y < 2 0 ) = f f /(.v, y) dA = j j °

*D

D= ¿ f ° k ' /l0( - 5 ̂ I T ' d x

i O

0 20 x .= Tj f 2° £-l/l0( I - ^ -2 0 ) /5 ) d v %»0

dx

FIGURA 8 , r-o( ( í " " 10 - e~4e ’/m ) d x

- 2e~2 ~ 0 .7 4 7 6

*'0

E sto s ig n ifica que cerca de 75% d e los asisten tes al c in e esperan m en o s de 2 0 m inutos

antes d e tom ar sus lugares. ■

SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1011

Valores esperados

R ecuerde de la sección 8 .5 que si Y e s una variable aleatoria con función d e densidad de pro-

b a b ilid a d /, en to n ces su media e s

p = f " x f ( x ) d xJ— «o

A h ora si X y Y son variab les a leatorias co n función de densid ad con ju n ta / , se d e fin e la

m edia de .Y y la m edia de Y> d en o m in a d o s tam bién v a lores esp erad os de X y Y, c o m o

[ ñ ] /Al = f f .v / ( . v , y) d A p 2 = f f y f ( x , y) d A

O bserve cuán parecidas son las ex p res io n es para/xi y p i en |JT] con las de lo s m o m en to s Mx

y My d e una lám in a co n función d e densidad p e n las ecu a c io n es 3 y 4 . D e h ech o , se puede

considerar que la probabilidad es co m o una m asa distribuida de m anera continua. S e ca lcu la

la probabilidad de la m anera c o m o se ca lcu la la m asa: integrando una función de densidad .

Y d eb id o a que la "m asa de probabilidad total” e s 1, las ex p res io n es para J y y en [3] m u e s-

tran que lo s v a lores esperados de X y Y, p \ y p 2y pueden ser consideradas c o m o las c o o r -

denad as d e l "centro de m asa” de la d istribución d e probabilidad.

En e l sigu ien te e jem p lo se trata con d istribuciones norm ales. C om o en la sección 8 .5 , una

so la variab le aleatoria tien e una distribución normal si su función d e densidad d e probab i-

lidad e s de la form a

/ ( * ) = W(T y jllT

don de p e s la m ed ia y cr e s la d e sv ia c ió n estándar.

U na fábrica produce rodam ientos (de form a c ilin d rica ) cu y a s d im en sio n es

son 4 .0 c m d e d iám etro y ó.O cm de largo. De h ech o , lo s d iám etros X tienen una

distr ibu ción norm al con m ed ia de 4 .0 c m y d esv ia c ió n estándar 0.01 cm , m ientras que

las lon g itu d es Y tienen una d istribución norm al con m ed ia ó.O cm y d e sv ia c ió n estándar

O.Ol cm . Si se supone que X y Y son ind ep en d ien tes, e scrib a la función de densidad

conjun ta y grafíquela. E ncuentre la probabilidad de que un co jin ete e le g id o al azar de la

lín ea de producción tenga longitud o diám etro que d ifiere de la m ed ia en m ás de 0 .0 2 c m .

SOLUCIÓN S e sabe que X y Y tienen una distribución norm al co n p \ = 4 .0 y p 2 = 6 .0 y

<T| = a 2 = 0 .0 1 . A s í, cad a una d e las fun ciones d e densidad para X y Y son

EJEMPLO 8

. ¿ - ( A — 4 ) 7 0 . 0 0 0 2

H y)£-<>•-6)70.0002

0 .01 Y^TT 0.01 V 2 TT

D ad o que X y Y son in d ep en d ien tes, la función de densid ad conjun ta e s e l producto:

/(■*> y) = /i(v)/-(.v)

6 0 5 4 0 5

F IG U R A 9

Gráfica de la función de densidad

conjunta norm al del ejem plo 8

0 .0002*

5 0 0 0

-(.1—4^/5.0002(y—6)7*3.0002

5 0 f O [ < A - 4 ) + < v - 6 ) ]

En la figura 9 se m uestra una gráfica de esta fun ción .

S e ca lcu lará prim ero la probabilidad d e que X y Y difieran de su s m ed ias en m en o s de

0 .0 2 cm . Si se e m p lea una ca lcu lad ora o com putadora para estim ar la integral, se tiene

f 4 .0 2 r ().0 2 .

P(3 .9 8 < X < 4 .0 2 , 5 .9 8 < Y < 6 .0 2 ) = f (x , y) d y d x* '3 .9 8 J 5 .< X J ' •

5 0 0 0 M 02 /*6.02 ̂ /vvir/ ¿v’ --------- 1 í í.-' — dy dx

TT *'3.98 *'5.98

« 0.91

E nton ces la probabilidad de que X o Y d ifieran de su m ed ia en m ás d e 0 .0 2 cm es

aproxim adam ente

i - o .9 i = 0 .0 9

Ejercicios

1. La carga eléctrica está distribuida sobre el rectángulo

0 x =S 5, 2 =S y =¡S 5 así que la densidad de carga en (x, y)

e s <r(x, y) = 2 x 4- 4 y (m edida en coulom bs por m etro

cuadrado). D eterm ine la densidad de carga en el rectángulo.

2. La carga eléctrica se distribuye sobre el d isco x 2 4- y 2 1

de m odo que la densidad de carga en (x ,y ) es

crí.x, y) = -Jx2 4- y 2 (m edida en coulom bs por m etro

cuadrado). Calcule la carga total sobre el disco.

3-10 Encuentre la m asa y el centro de m asa de la lám ina que

ocupa la región D y tiene '.a función de densidad dada p.

3. D = {(x ,y) | 1 a- ^ 3, 1 y ^ 4}: p (x ,y ) = * y 2

4. D = {(.x, y) | 0 ss x a, 0 =£ y «s b}: p ( x , y) = 1 4- x 2 4- y 2

5. D e s la región triangular con vértices (0, 0), (2 , 1), (0, 3):

p (x ,y ) = x + y

6. D e s la región triangular con vértices encerrada por las rectas x = O, y = x y 2 x + y = 6: p{x, y ) = x 2

7. D esta acotada por y = 1 — x2 y y = 0: p(x , y ) = ky

8. D está acotada por y = x \ y y = x + 2: p(x , y ) = kx

9. D — {(.v, y ) | 0 «S y «5 sen(7Tx/¿), 0 ^ v «í /.}; p(x , y ) = y

10. D está acotada por las parábolas y = x2 y x = y 2:

P U y ) = y/x

11. Una lám ina ocupa la parte del d isco x2 + y 2 1 en el prim er

cuadrante. Encuentre su centro de masa si la densidad en cualquier

punto es proporcional a su d istancia desde el eje x.

12. Encuentre el centro de m asa de la lám ina del ejercicio 11 si

la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado

de su d istancia desde el origen.

15.5

13. L a frontera de una lám ina está form ada por las

sem icircunferencias y = v' l — X 2 y y = v 4 ~ * 2 jun to con

las porciones del eje x q u e las une. Encuentre el centro de masa

de la lám ina si la densidad en cualquier punto es proporcional a

su d istancia desde el origen.

14. Encuentre el centro de m asa de la lám ina del ejercicio 13 si

la densidad en cualquier punto es inversam ente proporcional

a su distancia desde el origen.

15. Halle el centro de n a sa de una lám ina en la form a de un

triángulo rectángulo isósceles con lados iguales de longitud a

si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de

la d istancia desde el vértice opuesto a la hipotenusa.

16. U na lám ina ocupa la región dentro de la circunferencia x2 + y 2

= 2y, pero fuera de la circunferencia x 2 + y 2 = l . Encuentre el

centro de m asa si la densidad en cualquier punto es

inversam ente proporcional a su distancia desde el origen.

17. Encuentre los m omentos de inercia Ix, Iy, lo para la lám ina del ejercicio 7.

18. Calcule los m omentos de inercia h , Iy, lo para la lám ina

del ejercicio 12.

19. O btenga los m omentos de inercia /*, I y, lo para la lám ina

del ejercicio 15.

20. Considere un aspa cuadrada con lados de longitud 2 y la

esquina inferior izquierda colocada en el origen. Si la densidad

del aspa es p (x , y) = 1 + 0.1 X, ¿es m ás difícil g irar el aspa

respecto al eje x o el eje y?

21-24 Una lám ina con densidad constante p(x, y) = p ocupa la

región dada. Encuentre los m om entos de inercia I x e Iy y los radios

de giro x y y.

21. El rectángulo 0 ^ x < b, 0 ^ y < h

22. El triángulo con vértices (0 ,0 ) , (b, 0) y (0 , h\

[sÁcjSe requiere sistem a algebraico com putarizado 1. T areas sugeridas d ispon ib les en stew artcalculus.com

SECCIÓN 15.6 ÁREA DE SUPERFICIE 1013

23. La parte del disco x2 + y 2 < o 2 en el prim er cuadrante

24. La región bajo la curva y = sen x de x = 0 a a- = 7r

25 -2 6 Use un sistema algebraico com putarizado para hallar la

m asa, el centro de masa y el m om ento de inercia de la lám ina que

ocupa la región D y la función de densidad dada.

25. D está encerrada por el pétalo derecho de una rosa de cuatro

pétalos T = eos 20: p(x , y) = .x2 + y 2

26. D = {(.x, y) I 0 ^ y ^ x e ~ \ 0 < .x ^ 2}: p(x , y) = ,x2y 2

27. L a función de densidad conjunta para un par de variables

aleatorias X y y es

r(l + y) s i 0 < j r < l , 0 < y < 2

de lo contrario

3 ‘

- { ra) Encuentre el valor de la constante C.

b) D eterm ine P[X ^ I , Y ^ 1).

c) D eterm ine P[X + Y ^ 1).

28. a) C om pruebe que

f ( xí*4.yy si 0

’ ~ j o de le

< . r < l , 0 < y < l

lo contrario

es una función de densidad conjunta,

b) Si X y L son variables aleatorias cuya función de densidad

conjunta es la fu n c ió n /d e l inciso a), encuentre

i) p (x > \ ) ü ) p ( x > j )

c) D eterm ine los valores esperados de X y Y.

29. Suponga que X y y son variables aleatorias con función de

densidad conjunta.

l e -Q**o¿a si ,v5*>0, y > 0

de lo contrario/{•

a) C om pruebe q u e /e s en realidad una función de densidad

conjunta.b ) E n c u e n t r e la s s ig u ie n t e s p r o b a b i l i d a d e s

i ) P ( Y ~ * \ ) ii) P (X ^ 2, Y ^ 4)

c) Halle los valores esperados de X y y.

30. a) U na lám para tiene dos bom billas de un tipo con una

duración prom edio de 1000 horas. Si se supone que la

probabilidad de falla de estas bom billas se puede m odelar

m ediante una función de densidad exponencial con m edia

¡x = 1000, encuentre la probabilidad de que ambas

bom billas fallen en el lapso de 1000 horas.

b) O tra lámpara tiene sólo una bom billa del m ism o tipo que

en el inciso a). Si se quem a una bom billa y se reem plaza

por una del m ism o tipo, encuentre la probabilidad de que

las dos bom billas fallen en un total de 1000 horas.

31. Suponga que X y y son variables aleatorias independientes,

donde X tiene una distribución norm al con m edia 45 y

desviación estándar 0.5 y Y tiene una distribución norm al con

m edia 20 y desviación estándar 0 .1.

a) Encuentre P (40 ^ X ^ 50, 20 ^ Y < 25).

b) Determine P (4 (X - 45)2 + 100(7 - 20)2 < 2).

32. X avier y Y olanda tienen clases que term inan a m edio día y

acuerdan reunirse todos los d ías después de clase. L legan a la

cafetería de manera independiente. El tiempo de llegada de

X avier e s X y el tiem po de llegada de Y olanda es Y, donde X y

y se m iden en m inutos después del m edio día. Las funciones de

densidad individuales son

- tsi v 3* 0

si x < 0 h ( y ) - { fsi 0 ^ y 10

de lo contrario

(X avier llega un poco después de m edio día y tiene más

probabilidades de llegar puntual que tarde. Y olanda siempre

llega alrededor de las 12:10 p.m. y tiene m ás probabilidades

de llegar tarde que a tiem po). D espués que llega Yolanda,

espera a Xavier hasta m edia hora, pero él nunca la espera.

Calcule las probabilidades de su encuentro.

33. Al estudiar la diseminación de una epidem ia, se supone que

la probabilidad de que un individuo infectado contagie la

enferm edad a un individuo no infectado, es una función de

la distancia entre ellos. Considere una ciudad circular de radio

10 millas en la que la población está distribuida uniformemente.

Para un individuo infectado en un punto fijo A(xb, yo), suponga

que la función de probabilidad está dada por

m = ¿ [ 2 0 - d[P. A)]

donde d(P, A) denota la distancia entre P y A.

a) Suponga que la exposición de una persona a la enferm edad es la suma de las p robab ilidades de adquirir la

enferm edad de todos los m iem bros de la población.

Suponga que las personas infectadas están distribuidas

de manera uniforme por toda la ciudad, con k individuos

infectados por m illa cuadrada. Encuentre una integral doble

que represente la exposición de una persona que reside en A.

b) Evalúe la integral para el caso en el que A es el centro

de la ciudad y para el caso en el que A se localiza en

el borde de la ciudad. ¿D ónde preferiría vivir?

Area de superficie

En la sección 16.6 tra tarem os con á re a s de

superficies m ás g en e ra les llam adas superficies

p aram étricas y, por tan to , no necesitam os que se

aborde en es ta sección.

E n e s ta se c c ió n a p lic a m o s las in te g ra le s d c b le s al p ro b le m a d e c a lc u la r e l á re a d e u n a

su p e rf ic ie . E n la se c c ió n 8 .2 e n c o n tra m o s el á re a d e un t ip o m u y e s p e c ia l d e su p e rf ic ie

— u n a su p e rf ic ie d e re v o lu c ió n — p o r m e d io d e l c á lc u lo d e u n a so la v a r ia b le . A q u í c a lc u -

lam o s e l á re a de u n a su p e rf ic ie c o n e cu a c ió n r = f ( x , y ) , la g rá fic a d e u n a fu n c ió n d e d o s

v a ria b le s .

S e a S u n a s u p e r f ic ie c o n e c u a c ió n r = / ( * , y ) , d o n d e / t i e n e d e r iv a d a s p a rc ia le s c o n t i -

n u as. P o r s im p lic id a d , al d e r iv a r la fó rm u la pa ra e l á re a de u n a su p e rf ic ie , su p o n e m o s q u e

1014 CAPÍTULO 15 IN T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

F IG U R A 2

/ ( * , y) ^ O y e l d o m in io D d e / e s un rectángu lo . D iv id im o s D en p eq u eñ os rectángu los Rg

co n área A A = A.v Ay. S i (.vt, y7) está en la esqu in a d e R¡j cerca d e l or igen , sea Pg(x¡, y7,

/(**» yy)) e l punto sobre S d irectam ente e n c im a de éste (figura 1). El p lano tangente a S en

Pij es una aproxim ación a S cerca de Pg. A s í que el área AT,7 d e la parte de este p lano tan-

gente (un paralelogram o) que está d irectam ente en cim a de Rg e s una aproxim ación al área

AS,7 de la parte de S que está d irectam ente e n c im a de Rg. A s í, la su m a 2 2 AT,j e s una apro-

x im ación al área total de S, y e sta aproxim ación parece m ejorar co n form e e l núm ero de rec -

tángu los se increm enta. Por tanto, d e fin im o s e l área d e u n a su p e r f ic ie de S co m o

m

Para encontrar una fórm ula que e s m ás co n v en ien te que la ecu a ció n 1 para propósitos

de cá lc u lo , sean a y b lo s v ecto res que em piezan en Pij y están a lo largo d e lo s lados de un

paralelogram o con área A Tg. (V éa se la figura 2). E ntonces A 7* = | a X b |. R ecuerde de la

secc ió n 14.3 q u e /*(*,, yj) y f y(xt, yj) son las pend ien tes de las rectas tangentes que pasan por

por Pij en las d irecc io n es d e a y b

a = A.v i + f x(xü y7) A.v k

b = A y j + fyiXi y7 ) A y k

i j k

a X b = A.v 0 f^X i, yj) A.v

0 A y A t e , » ) A y

= ~ f x ( X , y7) A.v A y i - f y ( v,-, y7) A.v A y j + A.v A y k

[- /* (* » , yj) i — fy(Xi* y>)j + k] A A

A sí, A Tg — a X b — v [/x(.v¿, y7) ] 2 + [/y(.Vi, )5f)]2 + 1 A A

D e la d e fin ic ió n 1 ten em os

.4 (5 ) = lím 2 2 A'/',m 7 - ! 1—1

- lím 2 2 V;)] + [/v(j5?. yj)]2 + 1 AAi—l

y por la d e fin ic ió n de una d o b le integral ob tenem os la sigu ien te fórm ula.

|~2~1 El área de la su perfic ie con ecu a ció n r = f ( x , y ) , (* , y ) G D , don de f x y f y son

co n tin u as , e s

A ( S ) = f f v t / v í- v , y ) ] 2 + ;/y (.v , y ) ] 2 + 1 dA

SECCIÓN 15.6 ÁREA DE SUPERFICIE 1015

En la secc ió n 16.6 v erificarem os que esta fórm ula e s co n sisten te con nuestra fórm ula

previa para e l área de una su p erfic ie de revo lución . Si u sam os la n otac ión alternativa para

derivadas parcia les, p o d em o s rescribir la fórm ula 2 c o m o sigue

N ote la sim ilitu d entre la fó rm u la para el área de la su p e rfic ie d e la e cu a c ió n 3 y la

fórm u la para la longitud de arco de la sección 8.1:

d x

EJEMPLO 1 Encuentre e l área de la superfic ie de la parte de la su p erfic ie z = xr + 2 y que

e stá sobre la reg ión triangular T en e l p lano ;ty co n v értices (O, 0 ) , (1 , O) y (1 , 1).

SOLUCIÓN L a región T se m uestra en la figura 3 y está d escr ita por

T = { ( . t . y ) | O s v s 1 , O s y s x ]

U sand o la fórm ula 2 con f ( x , y ) = xr + 2y , obtenem os

A = f f n/(2.v)2 + (2 )2 + 1 dA = f ( ' y j4x2 + 5 d y dx JJ JO JOT

= f V\ 4.V: + 5 d x = ¡ ■ j ( 4 .t 2 + 5 )3 -],> = -¡r(2 V - 5 \ / 5 )JO

L a figura 4 m uestra la porción de la superfic ie c u y a área h em o s ca lcu lad o .

Encuentre e l área de la parte de', paraboloide r = x2 + y1 que está bajo el

plano z = 9.

SOLUCIÓN El p lano intercepta e l paraboloide en la c ircu n feren cia j c + y 2 = 9, z = 9. Por

tanto la su perfic ie dada e stá sobre e l d isc o D co n cen tro en e l origen y radio 3 (v éa se la

figura 5). U sand o la fórm ula 3 , ten em os

EJEMPLO 2

F IG U R A 4

F IG U R A 5

| V I + ( « J " ( » )f f V 1 + 4 (.r2 + y 2 ) d A

1 + Í2 .t)2 + (2 y )2 dA

D

C on virtien do a coord en adas po lares, obtenem os

A = f ' * f V 1 + 4 r 2 r d r d O = f ”dO f ¿> /l + 4 r 2 (8r) dr JO Jo Jo Jo

2 ir ( |) f < l + 4 r 2)3/2]o = — (3 7 V /3 7 - l )

Ejercicios

1-12 Encuentre el área de a superficie.

1. La parte del plano 2 = 2 4 3* + 4y que está por encim a

del rectángulo [O, 5] X [1, 4J

2. La parte del plano 2x 4 5y 4 2 = 10 que está dentro del

cilindro r 4 y 2 = 9

3. La parte del plano 3* 4 2y 4 : = 6 que está en el prim er

octante

4. La parte de la superficie z — 1 4 i x 4 2y2 que está por

encim a del triángulo can vértices (0, 0), (0, 1) y (2, 1)

5 . La parte del cilindro y 1 4 r 2 = 9 que está por encim a del

rectángulo con vértice? (0, 0), (4, 0), (0, 2) y (4, 2)

6. L a parte del paraboloide r

encim a del plano xy

x~ — y~ que esta por

7. L a parte del paraboloide hiperbólico z = y 2 — x2 que está

entre los cilindros r 4 y 2 = 1 y r 4 y 2 = 4

8. L a superficie 2< vV2( x * 2 4 y 3/2) , 0 .v ^ 1, 0 < y ^ 1

16 . a) Use la regla del punto m edio para integrales dobles con

m = n = 2 para estim ar el área de la superficie

z = x y 4 a-2 4 y 2, 0 $ , i í 2 , 0 $ y í 2.

b) U tilice un sistema algebraico com putarizado para

aproxim ar con cuatro decim ales el área de la superficie

del inciso a). Com pare con la respuesta al inciso a).

m o 1 7 . Encuentre el área exacta de la superficie

2 = I 4 2 x 4 3y 4 4 y \ I ^ x ^ 4 , 0 y ^ 1.

|s~c| 18. Encuentre el área exacta de la superficie

9. L a parte de la superficie z = xy que está dentro del cilindro2 i 1 ix~ 4 y- = 1

10. La parte de la esfera x2 4 y 2 4 z 2 = 4 que está por encim a

del plano 2 = 1

11. La parte de la esfera x2 4 y 2 4 : 2 = a2 que está dentro

del cilindro x2 4 y 2 = a x y por encim a del plano xy

12. L a parte de la esfera x~ 4 y 2 4 z 2 = Az que está en el interior

del paraboloide 2 = x2 4 y 2

13-14 Encuentre el área de la superficie con una aproxim ación de cuatro decim ales, expresando el área en térm inos de una sola

integral y utilizando su calculadora para estim ar la integral.

1 3 . La parte de la superficie 2 = e~* -> que está por encim a del

disco r 4 y2 í 4

14 . La parte de la superficie 2 = c o s ( a t 4 y 2) que está en el interior

del cilindro x2 + y 2 = 1

r = 1 4 .t 4 y 4 .v2

Ilustre graficando la superficie.

•2 í .t í I - l í y S I

19 . Encuentre, con una aproxim ación de cuatro decim ales, el

área de la parte de la superficie 2 = 1 4 x y 2 que está por

encim a del disco r 4 y 2 í 1.

20. Encuentre, con una aproxim ación de cuatro decim ales, el área

de la parte de la superficie 2 = ( I 4 A 2 ) / { 1 4 y 2) que está por

encim a del cuadrado | A | 4 |y | ^ 1. Ilustre graficando esta

parte de la superficie.

2 1 . D em uestre que el área de la parte del plano 2 = a x 4 by 4 c

que se proyecta sobre una región D en el plano xy con área

A(D) es J a 2 4 b 2 4 1 A(Z>).

22. Si intentam os usar la fórm ula 2 para encontrar el área de la

m itad superior de la esfera x2 4 y 2 4 z2 = a 2, tendrem os un

pequeño problem a porque la integral doble es impropia.

De hecho, el integrando tiene una discontinuidad infinita en

todo punto de la circunferencia x 2 4 y 2 = cr. Sin em bargo,

la integral puede calcularse com o el lím ite de la integral

sobre el disco o2 4 y 2 í t2 conform e t —>a~. Use este

m étodo para dem ostrar que el área de una esfera de radioa es Aircr.

23. Encuentre el área de la parte finita del paraboloide

y = x 2 4 22cortadc por el plano y = 25.

proyecte la superficie sobre el plano *zj.

24. La figura m uestra la superficie creada cuando el cilindro

y 2 4 ; 2 = 1 intercepta al cilindro x2 4 z 2 = 1. Encuentre el

área de esta superficie.

1 5 . a) Use la regla del punto m edio para las integrales dobles

(véase la sección 15.1) con cuatro cuadrados para estim ar

el área de la superficie de la porción del paraboloide

2 = x2 4 y 2 que está por encim a del cuadrado

[0, 1J X LO, 1J.

b) U tilice un sistem a algebraico com putarizado para

aproxim ar con cuatro decim ales el área de la superficie en

el inciso a). Compare con la respuesta del inciso a).

J

|S¿C| Se requiere sistem a algebraico com putarizado 1. T areas sugeridas d ispon ib les en stew artcalculus.com

SECCIÓN 15.7 INTEGRALES TRIPLES 1017

Integrales triples

A s í com o se definen las integrales sim ples para funciones de una variable y las integrales dobles

para fun ciones de d o s variab les, se definen las integrales triples para fun ciones de tres varia-

bles. S e tratará prim ero con e l ca so m ás sim ple donde / s e define sobre una caja rectangular:

mEl prim er p aso e s d iv id ir B en subcajas. E sto se hace d iv id ien d o e l in terva lo [a , b] en /

su b in tervalos .v ,] de igual ancho A *, d iv id ien d o [c , d ] en m su b in tervalos con ancho

A y y d iv id ien d o [r, s] en n su b in tervalos de ancho Az. L os p lan os que pasan por lo s pu n-

tos fin a les de e s to s sub intervalos paralelos a lo s p lan os coo rd en a d o s d iv id en a la caja B en

I m n subcajas

Bijk = X [y7- i , y>] X

que se m uestran en la figura 1. C ada subcajz tien e v o lu m en A V = A .v A y A z.

E nton ces se form a la tr ip le su m a d e R ie n ia n n

0 2 2 Ifixfc.yftt .-ü iA Vi=l j= l 1=1

don de e l punto m uestra (*$*, y,^-, z$ t) e stá en B íjj¡. Por an a log ía con la d efin ic ió n de una

integral d ob le (1 5 .1 .5 ) , se d e fin e la integral triple c o m o e l lím ite de las trip les sum as de

R iem ann en [T|.

|~3~| Definición La in te g r a l tr ip le d e / s o b r e la caja B e s

/ m n

f f f f ( x , y , z ) d V - lím 2 2 2 V,* , - * . ) A ' '

FIGURA 1si e ste lím ite ex iste .

D e n u ev o , la integral triple ex is te siem pre q u e / s e a continua. S e puede e leg ir que el

punto m uestra sea cualquier punto en la subcaja, pero si se e lig e que sea el punto (.v„ y,-, z*),

se ob tiene una exp resión de asp ecto m ás sim ple para la integral triple:

/ m n

/( .v , y , z) dV = 1 ím 2 2 2 f (* » ^

A l igual que para las in tegra les d o b les, el m étod o práctico para evaluar in tegra les tri-

p les e s expresarlas c o m o in tegrales iteradas de la sig u ien te m anera.

|~4~| Teorema de Fubini para in teg rales triples Si / e s continua sobre la caja rectangular

B = [ a , b ] X [ c , d] X [ r , 5 ] , en ton ces

f f f /( .v , y , z) d V = £ f á \ j ( x , y , z) d x dy dz £

L a integral iterada en e l lado d erech o d e l teorem a de Fubini s ig n ifica que se integra pri-

m ero respecto a x (m an ten ien d o a y y z constan tes), lu eg o se integra resp ecto a y (m an te-

n iend o a z con stan te) y , por ú ltim o , se integra respecto a z. H ay otros c in co p o sib les


F IG U R A 2

U na región sólida tipo 1

órdenes en lo s que se puede integrar, lo s cu a les dan e l m ism o valor. Por e jem p lo , si se in te -

gra respecto a y , d esp u és z y lu eg o x , se tiene

□por

EJEMPLO 1

f ( x t y, z ) d V = f r í / ( .v, y , z) d y dz dxJa J r Je

E valúe la integral triple j j j B xyz1 dV, d on d e B e s la caja rectangular dada

B = {(.v, y , z) | O x 1, - 1 ^ y ^ 2 , O ^ z ^ 3}

SOLUCIÓN S e podría usar cualqu iera de lo s se is órdenes p o s ib les de in tegración . Si se

e lig e integrar respecto a x, lu eg o y y d esp u és z, se obtiene

x y z 2 d V = ¡ 3o f - > í x y z 2 d x d y d z = £ J ‘ , [ ~ r L r f y í i r

3 ri yz-

1 2nJo J-d y dz

•3 3z-dz

I

27

4

A hora se define en gran m edida la in teg ra l tr ip le so b re u n a reg ió n a c o ta d a g en era l E

en e l e sp acio trid im ensional (un só lido) por e l m ism o proced im iento que se em p leó para

in tegra les d o b les (1 5 .3 .2 ). S e encierra E en una caja B d e l tipo dado por la ecu a ció n I . D e s -

pués se d efin e una función F de m od o que concuerd a c o n /s o b r e E, pero e s cero para pu n-

tos en B que están fuera de E. Por d efin ic ió n ,

( f f f ( x , y, z) d V ■= f f f F(x, y, z) d V

E sta integral e x is te s i / e s con tin u a y la frontera de E e s “ razonablem ente su a v e”. L a triple

integral tien e en e se n c ia las m ism as propiedades que la d o b le integral (prop iedades 6 a 9

en la secc ió n 1 5.3).

S e restringe la a tención a fu n cion es con tin u as f y a c ie r to s tipos de reg io n es sim ples. Se

d ice que una reg ión só lid a E e s t i p o 1 si e stá entre las gráficas d e d o s fu n cio n es continuas

de x y y , e s decir ,

{(.v, y , z) | (.r, y) G Z>, w ,(x, y) =s z u 2{xy y)}

d on d e D e s la p ro yecc ión de E sobre e l p lano xy com o se m uestra en la figura 2 . O bserve

que e l lím ite superior d e l só lid o E e s la superfic ie con ecu a ció n z = uz(x, y ) , m ientras que

e l lím ite inferior e s la su perfic ie z = ui(x , y).

Por la m ism a c la se de argum ento que condu je a la fórm ula (1 5 .3 .3 ) , se puede d e m o s-

trar que si E es una región tipo 1 dada por la ecu ación 5, en ton ces

0

El s ig n ifica d o d e la integral interior en e l lado derecho de la ecu a ció n 6 e s que x y y se

m antienen fijas y , por tanto, u\(x, y ) y ui(x, y ) son consideradas c o m o con sta n tes , m ientras

q u e f(Xy y , z) se integra resp ecto a z.

FIGURA 3

U na región sólida tipD I, donde la

proyección D es una región plana tipo 1

z = U2(xt V)

x = h2(y)

FIGURA 4

Otra región sólida tipo 1, con una

proyección tipo II

(0,0,1)

0 y = 0 | *

FIGURA 6

En particu lar, si la p r o y e cc ió n D de E sobre e l p lan o xy e s una reg ió n p lana tip o I

(c o m o en la figura 3 ), en to n ces

E = {(.v, y, z) | a ^ x b , gif.v) =s y g2(x), w,(.v, y) z w2(.v, y)}

y la ecu a ció n 6 se con v ier te en

m

S i, por otro lado , D e s una región plana tipo II (co m o en la figura 4 ) , en ton ces

E = {(.v, y , z) | c =£ y d , h i { y ) x h 2( y ) , Wi(.v, y ) z m2(.v, y)}

y la ecu a ció n 6

H

se transform a en

f f f / U , y, z) d V = f 4 f “'y> y , z) dz d x dyJJJ Je y)

f f f /(*> y, Z) d V = f " f 1' ' 1 r y {x , y , z ) d z d y d x JJJ «a Jfl.íj) JvAx,y)

EJEMPLO 2 E valúe JJJ£ z dV , don de E e s e l tetraedro só lid o acotado por lo s cuatro

plan os x = O, y = O, z = O y x + y + z = 1.

SOLUCIÓN C uando se esta b lece una integral triple e s aconsejab le dibujar dos diagram as:

uno de la región só lid a E (v éa se la figura 5) y una de su p ro yecc ión D sobre e l p lano xy

(v éa se la figura 6). La co ta inferior del tetraedro e s e l p lano z = 0 y la co ta superior es el

plano x + y + z = 1 (o z = 1 — x — y ), así que se usa u\(x , y) = O y U2(x> y) = 1 — x — y

en la fórm ula 7. O bserve que lo s p lan os x + y + z = 1 y z = 0 se cortan en la recta

x + y = 1 (o y = 1 — x) en e l p lano xy. Por co n sig u ien te , la p ro yecc ión d e E e s la

región triangular m ostrada en la figura 6, y se tiene

[ 9 ] E = {(.v, y , z) I O ss x ss 1, O =s y 1 — o z i — r — y}

E sta descr ip ción d e E c o m o una región tipo 1 perm ite evaluar la integral c o m o sigue:

= l - .x - y

d y d x=o

- U ' £ " '< ■ - ■ - y > ' d y d ‘ - ! [ ' [ - " ~ \ ~ yl ]

- í j >

y=\-x

d xy=0

1

2 4

U na región só lid a E e s t ip o 2 si e s de la forma

E = {(.v, y, z) | (y , z) E D , w ,(y, z ) ^ x ^ u 2 ( y, z)}


F IG U R A 7

U na región tipo 2

F IG U R A 8

Una región tipo 3

l i U Visual 15.7 ilustra cóm o b s regiones

só lidas lin d u so la d e la figura 9) se proyectan

sob re planos coordenados.

d on d e, e sta v e z , D e s la p ro yecc ión de E sobre e l p lano yz (v éa se la figura 7). L a su p erfi-

c ie posterior e s x = u\{y, z), la su perfic ie del frente es x = u2(y, z ), y se tiene

í í f f ( x ' y- z) d v = í f [ C / u > y> z ) dx]£ D L J£ D L

Por ú ltim o , una región t i p o 3 e s de la form a

E = {(.v, y, z) | (.v, z) E D, w, .v, z) y =s u2(x, z)}

d on d e D e s la p ro yecc ión de E sobre e l p lano xz, y = wi(x, y ) e s la su perfic ie izquierda y

y = U2(x, z) e s la su perfic ie d erecha (v éa se la figura 8). Para e ste tipo de región se tiene

£ D L _l

dA

En cada una de las e cu a c io n e s 10 y 11 puede haber d o s ex p res io n es p o s ib les para la in -

tegral, d ep en d ien d o de si D e s una región plana tipo I o tipo II (y en corresp o n d en c ia con

las ecu a c io n es 7 y 8).

Q ■ g H i' iU m i E valúe JJf£ N/.v 2 + z 2 dV, d on d e E e s la región acotada por e l parabo-

lo id e y = x2 + z2 y e l p lano y = 4.

SOLUCIÓN El só lido E se m uestra en la figura 9. Si se le considera c o m o una región tipo I,

e n to n c e s se n e c e s ita co n sid era r su p r o y e cc ió n Di sobre e l p la n o xy, que e s la reg ión

parabólica en la figura 10. (La traza de y = x2 + z2 en e l plano z = 0 e s la parábola y = x2.)

F IG U R A 9

Región de integración

F IG U R A 10

Proyección en el plano xy

D e y = .v2 + z2 se ob tiene z = ± y ) J — .v2 , d e m o d o que la su perfic ie lím ite inferior

de E e s z = —y/y — .V2 y la su perfic ie superior es z = v y — • P °r tanto, la

descr ip ción de E c o m o una región tipo I e s

{(.v, y , z) I - 2 ^ .v ^ 2 , r « y í 4, - \ / y - x 2 ^ z s/y - x 2 }

y se obtiene

F IG U R A 11

Proyección sobre el plano xz

@ El paso m ás difícil para evaluar una

integral triple e s estab lecer una expresión para

Id le g ió n d e i i i le y ia u ú n (u j i i i u Id ecu d c iú n 9

d e l ejemplo 2). R ecuerde que los lím ites de

integración en la integral interna contienen a lo

sum o d o s variables, los lín ite s de integración

en la integral de en medio contienen a lo sumo

una variable y los lím ites de integración en la

integral externa deben se r constan tes .

y¡

1

0

F IG U R A 12

Las proyecciones de £

A unque esta exp resión e s correcta , e s m uy d if íc il evaluarla. A s í q u e, en ca m b io , c o n -

siderarem os a E c o m o una región tipo 3. D e este m od o , su p ro yecc ión D 3 sobre e l p lano

xz e s e l d isc o x1 + z2 4 m ostrada en la figura 1 1.

E n ton ces, la frontera izquierda de E e s e l paraboloide y = j c + z2 y la frontera

d erecha e s e l p lano y = 4 , de m anera que si se tom a u\(x> z) = <r + z2 y ui(x, z) = 4

en la ecu a ció n 11, se tiene

V-c2 + z2 dVD , L J d,

(4 - x 2 - z2) s /x 2 + z 2 dA

A unque esta integr al se podría escrib ir com o

T f ' 3Ü l ( 4 - ,v2 - z2)V .v2 + z2 d : d xJ —2 J — v '4 - J 1

e s m ás fác il convertir a coord en adas po lares en e l p lano xz: x = r e o s 9, z = r sen 9.

E sto da

/ í 2 + r2 d V = f f (4 - x 2 - z2) y /x 2 + z 2 dA

D ,

= í~ (4 - r 2)r r dr d 9 = f""' d9 f~ (4r 2 - r 4) dr J o J o J o J o

1 2 8 7 T

F IG U R A 1 3

El sólido £

EJEMPLO 4 E xprese la integral iterada J(¡ J0T JJ /( .v , y, z) dz d y d x c o m o una integral

triple y d esp u és reescríba la c o m o una integral iterada en un orden d iferente , integrando

prim ero resp ecto a x, d esp u és z y d esp u és y.

SOLUCIÓN P o d em o s escrib ir

í ' i " P 7 ( * . ^ z) dz d y d x = f f f / ( . v , y , z) dV Jo Jo Jo J J J

£

d on d e E = {(.v, y, z) \ O ^ x ^ l , 0 ^ y ^ r 2, 0 í z ^ y } , E sta d escr ip ción de E nos

p o sib ilita escrib ir las p ro y ecc io n es sobre lo s tres planos coord en ad os c o m o sigue:

sobre e l p lano xy: D\ = {(.í, >') | O =s x 1, O =s y ^ x 2}

= {(.V. y) I O « y s I , y/y « .Í s 1 }

sobre e l p lano yz: D 2 = {(.v, >') | O y I . O ^ z í y}

sobre e l p lano xz: D 3 = {(.v, y) | O x ^ 1, O z x 2}

D el resultado de esb ozar las p ro y ecc io n es en la figura 12, trazam os e l só lid o E de la

figura 13. V em o s que e s un só lid o encerrado por lo s p lan os z = O, x = 1, y = z y el

c ilin d ro parabólico y = X 2 (o X = \/y^).

Si in tegram os prim ero respecto a x, luega z y d esp u és y , u sam os una descr ip ción

alternativa d e E:

E = {(.v, y , z ) | O x =s l , 0 ^ z s y ) N/ y € , t í l}

A sí,

/ ( .v , y , z) d V = f ' f } f /(-v , y , z ) d x dz dy Jo Jo JJy


Aplicac iones de las integrales triples

R ecuerde que si f ( x ) 3= O, en to n ces la integral sim ple J* / ( * ) dx representa e l área bajo la

cu rva y = j \ x ) d e c ¡ a b ,y si f ( x , y) ^ O, en to n ces la integral d o b le j jD / ( . í , y) dA representa

e l v o lu m en bajo la su p erfic ie z = f ( x , y ) y arriba de D. L a interpretación correspondien te

d e una in teg ra l tr ip le JJ'J£ f ( x , y , z) dV, d o n d e f ( x , y, z) > O, no e s m uy ú til porque

será e l "h ip ervo lu m en ” de un objeto tetradim ensional y , por su p u esto , e s m uy d ifíc il

representar. (R ecu erde que E e s só lo e l dominio de la fu n c ió n / , la gráfica d e / s e lo ca liza

en e l e sp a c io te tradim ensional). N o obstante, la integral triple JjJ£ / ( * , y , z) d V se puede

interpretar de varias m aneras en d iferen tes situaciones f ís ica s , lo que depend e de las inter-

p retaciones fís ica s de x, y , z y f ( x , y , z).

S e co m en zará co n e l ca so e sp e c ia l don de f ( x , y , z) = 1 para todos lo s puntos en E.

E nton ces la integral triple representa e l v o lu m en de E.

12 V{E) = IT!" dV

Y

Por e jem p lo , se puede ver que éste es e l caso de una región tipo I si se e s c r ib e /( a ; y , z) = 1

en la fórm ula 6:

[cH£ D L J D

y) - Ui(A-, y )] dA

y de la secc ió n 15.3 se sabe que e s to representa e l v o lu m en lo ca liza d o entre las su p erfic ies

z = ui(x, y) y z = ui(x , y ).

EJEMPLO 5 U se una integral triple para hallar e l vo lum en d e l tetraedro T acotado por lo s

plan os x + 2y + z = 2 , x = 2 y , x = O y : = O.

SOLUCIÓN El tetraedro T y su p ro yecc ión D sobre e l p lano xy , se m uestran en las

figuras 14 y 1 5. La frontera inferior de T e s e l plano z = O y la frontera superior es el

plano x + 2 y 4- z = 2 , e s decir , z = 2 — x — 2y.

Vj.v + 2y = 2

1 - (o y = 1 — xf2)

/

» > (^ )y y y —x/2

1 W0 1

F IG U R A 15

Por tanto, se tiene

^ ) = i dv=ííTr~*dzdydx

~ Í Í T [ 2 - x - 2 y ] d y d x = ^

por e l m ism o cá lcu lo d e l e jem p lo 4 d e la secc ió n 1 5.3.

(O b serv em o s que no es n ecesario usar in tegrales trip les para ca lcu lar vo lú m en es.

S im p lem en te dan otro m éto d o para estab lecer e l cá lcu lo .)

T od as las a p lica c io n es de las in tegra les dob les de la secc ió n 1 5 .5 se pueden ex ten der de

inm ed ia to a las in tegra les triples. Por e jem p lo , si la función de densid ad de un objeto

só lid o que ocu p a la región E e s p(x , y , z), en un idades de m asa por unidad de v o lu m en , en

cualqu ier punto dado (x, y , z ), en to n ces su m a sa es

\Ü\ m = JJJ p(x, y , z) dV

*£*

y sus m o m e n to s respecto a lo s tres p lan os coord en ados son

\Ü\ M y; = f f f x p ( x , y , z) d V M xz = ( f f yp(.v , y , z) dVl— l JJ*t

£ £

M x y = f f f z p ( x , y , z ) d V

El c e n tr o d e m a sa se lo ca liza en e l punto ( i , y, z ) , don de

,----1 _ M y z _ M xz - M xy

1— 1 m m m

Si la densid ad es co n stan te , e l centro de m asa d e l só lid o se llam a c e n tr o id e de E. L os

m o m e n to s d e in e r c ia resp ecto a lo s tres ejes coo rd en a d o s son

r a Ix = f f f ( y 2 + Z2)p(x , y , z) d V Iy = f f f (.v2 + z2 ) p ú , y , z) d V J J J v v J

£ £

/ - = f f f (.r2 + y 2)p(.v , y , z) dV£

C o m o en la secc ió n 1 5 .5 , la c a r g a e lé c tr ic a total sobre un objeto só lid o que ocupa una

región E y que tiene densidad de carga <r(x, y , z) e s

o (x , y , z) dV

Si se tienen tres variab les a leatorias continuas X , Y y Z, su fu n c ió n d e d e n s id a d c o n -

ju n ta es una función d e tres variab les tal que la probabilidad de que (X, Y, Z) esté en E e s

P((X, Y, Z ) G E ) = f f f / ( .v , y , z) dVJ J J

£

En particular,

P(a X =s b, c ^ Y =s d y r =s Z =s s) = f & f rf fV (jc , y» - ) d xJa J e J r

L a función de densidad conjun ta sa tisface

/( .v , y , z) 5= 0 f “ ( “ f “ /( .v , y , z) rfz ¿íy d x = 1


Q E U Z H I U Encuentre e l cen tro de m asa de un só lid o de densid ad constan te que está

acotado por e l c ilin d ro parabólico x = y2 y lo s planos x = zt z = O y x = 1.

SOLUCIÓN El só lid o E y su p ro yecc ión sobre e l plano xy se m uestran en la figura 16.

Las su p erfic ies inferior y superior d e E son los planos z = O y - = x, a s í que

d escr ib im o s E c o m o una región tipo I:

E = {(.v, y , z) | - l « y « l , y U ^ i , o ^ z « . í }

E n ton ces, si la densidad e s p(x, y , z) = p , la m asa es

m = ( j y p d V = £ f ‘ £ p d z d x d y

p i - , Z x d x d >

p f l

2

n i :

d y

f (1 - y 4 ) d y = p í (1 - y 4 ) d y«'“ I JO

K I 4 p

5

D eb id o a la sim etría de E y p respecto al p lano x:y se puede decir de inm ed ia to que

Mxz = 0 y , por tanto, y = O. L os otros m o m en to s son

M . x p d V = f , \ ' f \ p d z d x d y

p £ , j ; , ^ d y = p £ i [ / ] d y

2 p n

M r z p d V = ( ' [ \ [ x z p d z d x d y■i ,y , ' o

3 Jo

Por tanto, e l centro de m asa es

( x , y , l )

P f ‘ (1 - y 6 ) d y 1 L1

\ m m m /

Ejercicios

1. Evalúe la integral del ejem plo 1, integrando primero

respecto a y, después r , y luego x.

2. Evalúe la integral f f f £ ( x y + r 2) dV, donde

E = {(.v,y,z] | 0 í = . T S á 2 , 0 s S y s á I , 0 s = z < 3 }

usando tres órdenes d iferentes de integración.

3-8 Evalúe la integral iterada.

3. | I f> ‘ Í2.x - y) d x d y dz 4. I ' (y 2xyz dz dy dxJo Jo Jo Jo Jx Jo

5. P f " [nx xe~y d y d x dz 6. f f f — — d x dz d yJ I Jo Jo 1 Jo Jo Jo y + 1

7. f f> f cosí.x + y + z) d z d x dyJo Jo Jo

8. | ( [ a 2 sen y d y dz d x

9-18 Evalúe la integral triple.

9. Jff£ y dV, donde

E = { ( x , y , z) | 0 ^ x ^ 3 , O ^ y ^ x , x — y ^ z ^ x + y )

10 . JJL e z,ydV, donde

E = {(.x, y , z ) | 0 =£ y ^ 1, y ^ .x < 1 ,0 < r < .xy}

-y-j-— r d V , donde

£ = {(.x, y, z) | | < y < 4 , y < : < 4 , 0 < i í z}

12 . JJJf sen y d V , donde E está por debajo del plano : = .vy por

encim a de la región triangular con vértices (0, 0 , 0), (7r, 0 , 0)

y (0, 77, 0)

13. 111£ 6.xy dV, donde E yace bajo el plano r = 1 + x + y y arriba

de la región en el plano xy acotado por las curvas y = V-X»

y = 0 y x = 1

14 . 111£ .xy dV, donde £ está acotada por los cilindros parabólicos

y = x2 y x = y 2 y los planos z = 0 y z = x + y

15 . 11 |T.X2 dV, donde T es el tetraedro sólido con vértices (0, 0 , 0),

(V, 0 ,0 ) , (0, I ,0 ; y ( 0 ,0 , 1)

16. 11 |r .xyr dV, donde 7 es el tetraedro sólido con vértices

( 0 ,0 ,0 ) , ( 1 ,0 , 0 ; ,(1 , 1, 0) y ( 1 ,0 , 1)

17. 11 |£ .V dV, donde E está acotada por el paraboloide

x = 4y 1 + 4z 2 y el plano x = 4

18. 11 |£ r dV, donde £ está acotada por el cilindro y 2 + : 2 = 9 y

los planos x = 0, y = 3 x y z = 0 en el prim er octante

19-22 Use una integral triple para h a lla re ! volum en del sólido

dado.

19. El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano

2 x + y + z = 4

20. El sólido encerrado por los paraboloides_2 i 2 o 2y = x^ + z y y = 8 — j r2 2

21. El sólido encerrado por el cilindro y = x2 y los planos

- = 0 y y + ; = 1

22. El sólido encerrado por el cilindro x 2 + z 2 = 4 y los planos

y = — I y y + : = 4

23. a) Exprese el volum en de la cuña en el prim er octante que

es cortada por el cilindro y 2 + z 2 = 1 por los planos y = x

y x = I como una integral triple,

b) Use la tabla de integrales (en las páginas de referencia al

final del libro) o un sistem a algebraico com putarizado para

hallar el valor exacto de la integral triple del inciso a).

24. a) En la regla del p u n to m edio p a ra in te g ra le s t r ip le s se

usa una triple suma de R iem ann para aproxim ar una

integral triple sobre una caja B, donde f ( x , y , r ) se evalúa

en el centro (!x,-, y¿, 7*) de la caja £;*. Use la regla del punto

m edio para estim ar JJJ£ V .X2 + y 2 + z 2 dV, donde B es el

cubo definido por 0 í i í 4 , 0 í y í 4 , 0 í z í 4 .

D ivida a B en ocho cubos de igual tamaño,

b) Use un sistema algebraico com putarizado para aproxim ar

con cuatro decim ales la integral del inciso a). Com pare con

la respuesta del inciso a).

25-26 Use la regla del punto m edio para integrales triples

(ejercicio 24) para estim ar el valor de la integral. D ivida a £ en

ocho subcajas de igual tamaño.

25. f f ja tu s ( x y z ) dV, donde

B = {(.x, y, z) | 0 =£ .x < 1, 0 y 1, 0 ^ r ^ 1}

26. f¡¡£ y fx e xy: dV, donde

B = {(.x, y, z) I 0 ^ .x < 4, 0 ^ y ^ 1 ,0 < • < 2}

27-28 Bosqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral

iterada.

27. /■ rJo Jo Jo

dx 28. f 2 f 2 y i* y¡d x dz dy Jo Jo Jo

29-32 Exprese en seis form as d istin tas la integral j f fE f { X, y, z) dV

com o una integral iterada, donde £ es el sólido acotado por las

superficies dadas.

29. y = 4 - .x2 - 4 z \ y = 0

|SAC| Se requiere sistema algebraico com putarizado 1. T areas sugeridas d ispon ib les en stew artcalculus.com

30. y 2 + r 2 = 9 , x = - 2 , a = 2

31. y = x \ z = O, y + 2z = 4

32. x = 2, y = 2, z = O, * + y - 2z - 2

33. La figura m uestra la región de integración para la integral

f f '_ T yf ( x , yy z) d z d y d x• 0 «O

R eescriba en los otros cinco órdenes esta integral com o una

integral iterada equivalente.

34. La figura m uestra la región de integración para la integral

f f * f ‘ * f{x , y, z) dy dz dx Jo Jo Jo

R eescriba en los otros cinco órdenes esta integral com o una

integral iterada equivalente.

38. Jffa (z 3 + sen y + 3) dV, donde B es la bola unitaria

x 2 + y 2 + z 2 ^ 1.

39-42 Encuentre la masa y el centro de m asa del sólido E con

la función de densidad p dada.

39. E es el sólido del ejercicio 13: p(x, y , z) = 2

4 0 . E está acotada por el cilindro parabólico z = 1 — y 2 y los

planos a + z = 1, x = 0 y z = 0: p{x, y , z) = 4

4 1 . E es el cubo dado por 0 ^ A ^ p (x , y , z) = a 2 + y2 + z 2

42. E es el tetraedro acotado por los planos a- — O, y — 0,

z = 0 , A + y + z = 1: p(x, y , z) = y

43-46 Suponga que el sólido tiene densidad constante k.

43. Encuentre los m omentos de inercia para un cubo con longitud

de lado L si un vértice está situado en el origen y tres aristas

están a lo largo de los ejes de coordenadas.

44. D eterm ine los m om entos de inercia para un ladrillo rectangular

con d im ensiones a , b y c y m asa M, si el centro del ladrillo está

situado en el origer. y las aristas son paralelas a los ejes de

coordenadas.

45. Halle el m om ento de inercia alrededor del eje z del

cilindro sólido A'2 + y 2 < a 2, 0 z ^ h.

46. Calcule el m omento de inercia alrededor del eje z del cono

sólido v”A2 + y 2 ^ z h.

47-48 Plantee, pero no evalúe, expresiones integrales para

a) la m asa, b) el centro de m asa y c) el m om ento de inercia

respecto al eje z.

47. El sólido del ejercicio 2 1 : pÍA, y, z) = n/ a 2 + y 2

48. El hem isferio A2 + y 2 + z2 ^ 1, z > 0:

p ÍA .y .z ) = t / a 2 + y 2 + z 2

35-36 E scriba o tras cinco integrales iteradas que son iguales a la

integral iterada dada.

36. f ' f ' f ( x , y , z ) d x d : d yJO J y • 0

37-38 Evalúe la triple integral usando sólo interpretación

geom étrica y simetría.

37. J / j c (4 + 5A2y z2) dV, donde C es la región cilindrica

x2 + y 2 ^ 4, - 2 ^ z ^ 2

49. Sea E el sólido en el prim er octante acotado por el cilindro

x2 + y 2 = 1 y los planos y = z, z = 0 y z = 0 con la función

de densidad p(x, y , z) = I + x + y + z. Use un sistema

algebraico com putarizado para hallar los valores exactos

de las siguientes cantidades para E.

a) L a m asa

b) El centro de masa

c) El m om ento de inercia respecto al eje z

[SAC] 50. Si E e s el sólido del ejercicio 18 con función de densidad

p (a, y , z) = x2 + y2, encuentre las siguientes cantidades, con

una aproxim ación de tres decim ales.

a) L a m asa

b) El centro de masa

c) El m om ento de inercia respecto al eje z

SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS 1027

51. L a función de densidad conjunta para variables aleatorias X, Y

y Z e s f ( x , y, z) = Cxyz s i O ^ A < 2 , 0 ^ y « 2 , 0 « z « 2

y f ( x , y , z) = O en cualquier otro caso.

a) Encuentre el valor de la constante C.

b) D eterm ine P ( X ^ 1, F ^ 1, Z ^ I ) .

c) Calcule P{X + Y + Z == l).

52. Suponga que X, Y y Z son variables aleatorias con función de densidad conjunta / ( a , y, z) = C,̂ -<°-5jt+0-2>+0 s¡ x > o, y > 0,

z > 0 y f ( x , y , z) = 0 en cualquier otro caso.


b) D eterm ine P ( X < 1, Y ^ 1).

c) O btenga P (X < 1, Y ^ 1, Z ^ l).

53-54 El v a lo r p rom ed io de una fu n c ió n /(x , y , z) sobre una región sólida E se define com o

= W ¡ J I f / t̂ ’ ■v' " ) <IV

donde V(E) es el volumen de E. Por ejem plo , si p es una función

densidad, entonces p fR,m es la densidad prom edio de E.

5 3 . Encuentre el valor prom edio de la función f ( x , y , z) = xyz

sobre el cubo con longitud lateral L que yace en el prim er

octante con un vértice en el origen y aristas paralelas a los

ejes coordenados.

5 4 . Encuentre el valor prom edio de la función

f ( x , y , z) = x~ + y 2z sobre la región encerrada

por el paraboloide z = 1 — x 1 — y 1 y el plano z = 0.

55 . a) Determine la región E para la cual la integral triple

J jJ 11 - ,v3 - 2 r - 3 z !) d V "£

es un máximo.

b) U tilice un sistem a algebraico com putarizado para calcular

el valor máxim o exacto de la integral triple del inciso a).

PROYECTO PARA UNDESCUBRI MI ENTO V O L Ú M E N E S D E H IP E R E S F E R A S

En este proyecto encontram os fórm ulas para el volumen encerrado por una hiperesfera en el

espacio /i-dim ensional.

1. Utilice una integral doble y sustitución trigonom étrica, jun to con la fórm ula 64 de la tabla de

integrales, para encontrar el área de un círculo con radio r.

2 . Use una integral triple y sustitución trigonom étrica para encontrar el volum en de una esfera

con radio r.

3 . Emplee una integral cuádruple para encontrar el hipervolum en encerrado por la hiperesfera

x2 + y 2 + z 2 + tir = r en IR4. (Utilice sólo sustitución trigonom étrica y las fórm ulas de

reducción | s e W x d x o | co snAúfA.)

4 . Utilice una /i-tuple integral para encontrar el volumen encerrado por una hiperesfera de radio

r e n el espacio /?-dimensional IR". [Sugerencia: las fórm ulas son diferentes para n par y n

impar.J

Integrales triples en coordenadas cilindricas

E n la g e o m e tr ía p la n a e l s is te m a d e c o o rd e n a d a s p o la re s e s u til iz a d o p a ra d a r u n a c o n v e -

n ien te d e sc r ip c ió n d e c ie r ta s c u rv a s y reg io n es . (V é ase la se c c ió n 10 .3 .) L a f ig u ra 1 nos

a y u d a a re c o rd a r la re la c ió n e n tre las c o o rd e n a d a s p o la re s y c a r te s ia n a s . S i e l p u n to P t ien e

c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s (at, y ) y c o o rd e n a d a s p o la re s ( r , 0), e n to n c e s , d e la f ig u ra ,

x = r e o s 0

x- + y

r sen 0

tan 0

E n tre s d im e n s io n e s h a y un s is te m a d e c o o rd e n a d a s lla m a d o c o o rd e n a d a s c i l i n d r i -

c a s , q u e e s s im ila r al d e las c o o rd e n a d a s p o la re s y d a u n a c o n v e n ie n te d e s c r ip c ió n d e

a lg u n a s su p e rf ic ie s y só lid o s c o m u n e s . C c m o v e re m o s , a lg u n a s in te g ra le s tr ip le s son

m u c h o m á s f á c i le s d e e v a lu a r e n c o o rd e n a d a s c il in d r ic a s .


F IG U R A 2

C oordenadas cilindricas de un punto

] Coordenadas c i l ind ricas

En e l sistem a de coord en ad as c ilin d r ica s , un punto P en e l e sp a c io d e tres d im en sio n es está

representado por la terna (r, 0, z), d on d e r y 0 son coord en adas polares de la p ro yecc ión de

P sobre e l p lano xy y r e s la d istan cia d irig ida d e l p lano xy a P. (V éa se la figura 2 .)

Para convertir de coord en adas c ilin d ricas a rectangulares, u sa m o s las e cu a cio n es

m x = ;* c o s r sen 0

m ientras que para convertir d e rectangulares a c ilindricas, u sam os

F IG U R A 3

EJEMPLO 1

a) G rafique e l punto con coord en adas c ilin d ricas (2 , 2 /7t / 3, 1) y encuentre sus

coord en adas rectangulares.

b ) Encuentre las coord en adas c ilindricas d e l puir.o co n coord en adas rectangulares

(3 , - 3 , - 7 ) .

SOLUCIÓN

a) El punto con coord en adas c ilin d ricas (2 , 2 t t / 3, 1) se m uestra en la figura 3. D e las

ecu a c io n es 1, sus coord en adas rectangulares son

27r

3

2 7 7

A sí, e l punto e s ( —1, \ / 3 , l ) e n coord en adas rectangulares,

b) D e las ecu a c io n es 2 , ten em os

FIGURA 4

r = c, u n c ilin d ro

r = V 3 2 + ( — 3 )2 = 3 \ 2

tan 0 por ende 0l i r

4- 2nir

Por tanto, un con ju n to d e coord en adas c ilin d ricas e s (3 \¡2 , 7 7 t /4 , —7). Otro es

(3v/2~, — 7 t/4 , —7). C om o co n las coord en adas polares, hay un in fin ito d e e le cc io n e s .

Las coord en adas c ilin d r ica s son ú tiles en problem as que involucran sim etría resp ecto a

un e je , y e l e je z se e lig e de m anera que c o in c id a con e l eje de sim etría. Por e jem p lo , e l eje

d el c ilin d ro circular con coord en adas cartesianas x1 + y 2 = c2 e s e l eje z. En coord en adas

c ilin d r ica s e ste c ilin d ro tiene una ecu a c ió n m uy sim ple, r = c . (V éa se la figura 4 ). E sta es

la razón d e l nom bre coord en adas "c ilind ricas” .

SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS 1029

F IG U R A 5

z — r , un cono

□ EJEMPLO 2 D escrib a la su perfic ie c u y a ecu ación e s coord en adas c ilin d ricas e s z

SOLUCIÓN L a ecu a ció n in d ica que e l valor z, o altura, de cad a punto sobre la su perfic ie

e s r , la d istan cia d e l punto al eje z. D ad o que 6 no aparece, puede variar. A s í que

cualquier traza horizontal en e l plano z = k (k > 0 ) e s una circunferencia de radio k. E stas

trazas sugieren que la su p erfic ie e s un co n o . E sta pred icción puede confirm arse

co n v irtien d o la ecu a ció n en coord en adas rectangulares. D e la prim era ecu a ció n en [2~|

ten em os

z 2 = i2 = ¿ + y 2

A la ecu a ció n z 2 = x 1 + y 1 se le reco n o ce (por com paración co n la tabla 1 de la secc ió n

12 .6) c o m o un c o n o circu lar c u y o eje e s z. (V éase la figura 5 .)

Evaluación de integrales triples con coordenadas c i l ind ricas

S u p on ga que E e s una región de tipo 1 c u y a p royección D sobre e l p lano xy e s c o n v e n ie n -

tem ente d escrita en coord en adas polares (véase la figura 6). En particular, su pon gam os que

f e s con tin u a y

E = { ( .v , y , z) | ( x , y ) E D , m ( x t y ) ^ z ^ u 2{ x , y)}

don de D e stá dada en coord en adas po lares por

D = {(r , 9) | a 0 «s 0, h x{ 0 ) r ^ h 2{$ )}

u2(xf y)

F IG U R A 6

Por la ecu a ció n 1 5 .7 .6 sab em os que

0 jjj f(x, y, z) dv = jj [jj;:;;;7(.v, y. *> &]E D L J

dA

Pero tam bién sab em os c ó m o evalu ar in tegrales d o b les en coord en adas polares. D e h ech o ,

co m b in an d o la ecu a ció n 3 con la ecu a ció n 15 .4 .3 , ob tenem os

H f f f f i x* y» -") dV = ( f I , U* / ( / e o s $. r sen B. z) r dz d r d$J J J % tt J i> m » A r sen <5)

FIGURA 7

Elemento de volumen en coordenadas

cilindricas : dV — r dz dr dB

La ex p resió n en 4 es la fó r m u la p a r a la tr ip le in te g r a c ió n e n c o o r d e n a d a s c il in d r ic a s .

Indica que co n v ertim o s una integral triple de coordenadas rectangulares a cilin d r ica s e sc r i-

b ien d o x = r e o s 0, y = r sen 0 , dejando a z com o está , usando lo s lím ites de integración

apropiados para z, r y 0 , y rem plazando dV por rdzdrdO . (L a figura 7 m uestra c o m o recor-

dar e sto .) V ale la pena utilizar e sta fórm ula cuando E e s una región só lid a fác ilm en te d e s -

crita en coord en adas c ilin d ricas y e sp ec ia lm en te cuando la fun ción f(x> y , z) invo lucra la

ex p resió n a t 4- y 2.

Í I I 2 3 S H H 1 Un só lid o E se encuentra dentro de un cilindro a t 4- y 2 = 1, por debajo del

plano z = 4 , y por en c im a d e l paraboloide z = 1 - at — y 2. (V éa se la figura 8). La d e n s i-

dad en cualqu ier punto e s proporcional a la d istan cia d e l eje d e l c ilindro. Encuentre la

m asa de E.

SOLUCIÓN En coord en adas c ilin d r ica s , e l c ilin d ro r = 1 y e l paraboloide e s z = 1 — r , a s í que p o d em o s escrib ir

E = {(r , f t z ) | 0 « N 2 t r , l , l 4 }

D ad o que la densidad en ( a ; y , z) e s proporcional a la d istan cia d e l e je z , la función d e n -

sidad es

/( .v , y , z) = K y /x 2 + y 2 = Kr

d on d e K e s la constan te de proporcionalidad . Por tanto, de la fórm ula 15 .7 .13 , la m asa

de E e s

m = f f f K J x 2 + y 2 d V = P " f f 4 (Kr) r d z dr dOJJJ JO Jo Jl-T1

E

= P ' f ' K r2[4 - (1 - r 2) ] d r d d = K P '< ¿ 0 f (3 r 2 + r 4 )drJo Jo Jo Jo

J r 5 1' 127tK= 2irK\ r 3 + — = ------------- ■L 5 J0 5

EJEMPLO 4 E valúe f " _ _ _ _ _ _ _ f"_ _ _ (.v2 + y 2) d z d y d x .J—2 J-y/4=P Jjx2+y2

SOLUCIÓN E sta integral iterada e s una integral triple sobre la región só lid a

E = {(.v, y, z) | - 2 í x í 2 , - v"4 - .v2 =s y s/4 - r 2 , / v 2 + y 2 z =s 2}

y la p ro yecc ión de E sobre e l p lano xy e s e l d isco x2 + y2 4 . La su perfic ie in ferior de

E e s e l co n o z = y /x 2 + y 2 y la superficie superior e s e l plano z = 2. (V éase la figura 9.)

E sta región tiene una d escr ip ción m ucho m ás sim ple en coord en adas cilindricas:

E = {(r , 0, z) | O =s 9 27t, O r 2 , r =ss z ^ 2 }

Por tanto, ten em o s

f2 (x2 + y 2)dzdy!-2 J —v'4—.i1 Jv ’F+ p

dx = JJJ (ar + y £)dV *£

= P ' P C r r d z d r d eJo Jo Jr

= f ' d 0 f V ( 2 - r)dr Jo Jo

= 2 7 r [ V - y r 5 ] ó = x 7 i

SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS 1031

Ejercicios

1-2 Grafique los puntos cuyas coordenadas c ilindricas están dadas.

D espués encuentre las coordenadas rectangulares del punto.

1. a) (4, t t /3 , - 2 )

2. a) ( n/T , 3 t t /4 , 2)

b) (2, —7t / 2, i)

b) (1, 1, 1)

18. Evalúe JT/£ r dV, donde E está encerrada por el paraboloide

z = x 2 + y 2 y el plano z = 4.

19. Evalúe j j f£ (x + ): + ~) dV, donde E es el sólido en el prim er

octante que está bajo el paraboloide z = A — x 2 — y 2.

3-4 C am bie de coordenadas rectangulares a cilindricas.

3. a) ( - 1 , 1, 1) b) ( - 2 , 2 v/T ,3 )

4. a) ( 2 y/3, 2, — i) b) (4, - 3 ,2 )

5-6 D escriba en palabras la superficie cuya ecuación está dada.

5 . $ = 7 r /4 6 . r = 5

7-8 Identifique la superficie cuya ecuación está dada.

7. z = 4 - r 2 8. 2 r 2 + r 2 = 1

9-10 Exprese la ecuación en coordenadas cilindricas.

9. a) x 2 - x + y 2 + z 2 = I b) z =

10. a) 3x 4 2y + z = 6 b) - x

x 2 - y 2

11-12 Trace el sólido descrito por las siguientes desigualdades.

11. 0 r < 2, - i r / 2 ^ 6 ^ t t /2 , 0 < z ^ 1

12. O í N i r / 2 , r 2

13. Un proyectil cilindrico tiene 20cm de longitud, con radio

interior de 6cm y radio exterior de 7cm . Escriba desigualdades

que describan al proyectil en un sistem a de coordenadas

apropiado. Explique cóm o tiene que posicionar el sistema

de coordenadas respecto al proyectil.

Utilice un dispositivo de graficación para d ib u ja re! sólido

encerrado por los paraboloides z = r + f y z = 5 — x2 — y 2.

15-16 Trace el sólido cuyo volum en está dado por la integral y

evalúela.

15. [*" \ ~ \ r rdzárdQ 16. \ r r dz d$drJ - n /2 Jo JO JO JO JO

17-28 Use coordenadas c ilindricas

20 . Evalúe fj j£ X dV, donde E está encerrada por los planos z = 0 y

z = x 4 y 4 5 y los cilindros x2 4 y 2 = 4 y x 2 4 y 2 = 9.

21 . Evalúe j j j £ X2dV, donde E es el sólido que está dentro del

cilindro x2 4 y2 = 1, por encim a del plano z = 0 y por debajo

del cono z2 = Ax2 4 4y2.

22 . Encuentre el volumen del sólido que está dentro del cilindro

x2 4 y 2 = 1 y la esfera x2 4 y 2 4 z2 = 4.

23 . Encuentre el volumen del sólido que está encerrado por el cono

z = J x 2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z2 = 2.

24 . Encuentre el volumen del sólido que está entre el paraboloide

z = x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2.

25 . a) Encuentre el volum en de la región E acotada por los

paraboloides z = x2 + y 2 y z = 36 — 3x2 — 3 y 2,

b) Encuentre el centroide de E (el centro de m asa en el caso

donde la densidad es constante).

26 . a) Encuentre el volum en del sólido que el cilindro r = a cos 6

corta de k esfera de radio a centrada en el origen,

b) Ilustre el sólido del inciso a) graficando la esfera y el

cilindro en la m ism a pantalla.

27. Encuentre la masa y el centro de m asa del sólido S acotado por

el paraboloide z = 4.x2 + 4y2 y el plano z = a(a > 0) si S tiene

densidad constante K.

28 . Encuentre la masa de una pelota B dada por x2 + y 2 + z2 ^ a 2

si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia

con el eje z.

29-30 Evalúe la integral cam biando a coordenadas cilindricas.

29. f ‘ | ' > f ‘ x z d z d x d yJ - 2 J - v 4 - y ’ J v V + > -

17. Evalúe f j f £ y jx2 4 y 2 dV, donde E es la región que está en

el interior del cilindro x2 + y 2 = 16 y entre los planos

z 5 y z = 4.

30. f ’ f (J >J v'.x2 4 y 2 dz d y d x

Se requiere calcu ladora graficadora o com pu tado ra 1. T areas sugeridas d isp o n ib les en slew artcalculus.com

31. Al estudiar form aciones de cadenas m ontañosas, los

geólogos estim an la ccntidad de trabajo necesario para

levantar una m ontaña desde el nivel del mar. C onsidere una

m ontaña que tiene esencialm ente form a de un cono c ircular

recto. Supongam os que la densidad de peso del m aterial en

la cercanía de un punto P e s g(P) y la altura es h(P).

a) Plantee una integral defin ida que represente el trabajo

total realizado para form ar la montaña.

b) Suponga que el monte Fuji de Japón tiene form a de un

cono c ircular recto con radio de 620 0 0 pies, altura de

12 400 pies y su densidad es una constante de 200 Ib /p ie 3.

¿C uánto trabajo se realizó para form ar el m onte Fuji si

el suelo estaba inicialm ente al nivel del mar?

PROYECTO DELABORATORIO IN T E R S E C C IÓ N D E T R E S C IL IN D R O S

En la figura se m uestra el sólido encerrado por tres cilindros circulares con el m ism o diám etro que

se cortan en ángulos rectos. En este proyecto se calcula el volum en y se determ ina cóm o cam bia

su form a si los cilindros tienen diám etros diferentes.

1. Bosqueje con cuidado el sólido encerrado por los tres cilindros x2 + y 1 = 1, x 2 + z 2 = 1

y y 2 + : 2 = 1. Indique las posiciones de los ejes coordenados y marque las caras con las

ecuaciones de los cilindros correspondientes.

2. Encuentre el volum en del sólido del problem a I.

j 3. Use un sistem a algebraico com putarizado para trazar las aristas del sólido.

4. ¿Qué sucede con el sólido del problem a 1 si el radio del prim er cilindro es diferente

de 1? Ilustre con una gráfica hecha a m ano o con una com putadora.

5. Si el prim er cilindro es x2 + y 2 = a 2, donde a < 1, plantee, pero no resuelva, una integral

doble para el volum en del sólido. ¿Q ué pasa si a > 1?

|SAC| Se requiere sistem a algebraico com putarizado

SECCIÓN 15.9 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS 1033

Integrales triples en coordenadas esféricas

FIGURA 1

Coordenadas esférices de un punto

Otro útil u so de lo s sistem as de coordenadas en tres d im en sio n es está en e l sistem a de

coord en adas esfér ica s . É ste s im p lif ic a la eva lu ación d e la triple integral sobre reg ion es

acotadas por esfera s o co n o s.

Coordenadas esfér icas

Las c o o r d e n a d a s e s fé r ic a s (p , G, <}>) de un punto P en e l e sp a c io se ilustran en la figura 1,

d on d e p = \ OP | e s la d istan cia d e l origen a P , 6 e s e l m ism o ángu lo en coord en adas c il in -

dricas, y <t> e s e l ángu lo entre e l eje r p o sitiv o y e l seg m en to de recta OP. N ó tese que

El sistem a de coord en adas esfér ica s e s esp ec ia lm en te útil en problem as don de hay sim etría

resp ecto a un punto, y e l origen se c o lo c a en este punto. Por e jem p lo , la esfera co n centro

en e l origen y radio c tiene la m uy sen c illa ecu ación p = c (véase la figura 2): é sta es la razón

d el nom bre de coord en adas “e sfér ica s”. L a gráfica de la ecu a c ió n 6 = c e s un plano verti-

ca l (v éa se la figura 3 ), y la ecu a ció n d> = c representa un se m ico n o con e l e je z en su eje

(v éa se la figura 4).

FIGURA 2 p = c , una esfera FIGURA 3 9 = C, un semiplano

0 < c < 7t/2

FIGURA 4 = c, un semicono

L a relación entre coord en adas rectangulares y esfér ica s se puede ver de la figura 5. D e

lo s triángulos OPQ y O PP' ten em os

z = p e o s <£, r = p sen <f)

Pero x = r eo s 6 y y = r sen 0, de m o d o que para convertir de coord en adas esfér ica s a rec -

tangu lares, u sam os las ecu a c io n es

x = p sen ó e o s G y = p sen ó sen G p eo s (f>

T am bién , la fórm ula d e d istan cia m uestra que

E■> ■> ■> ip - = x - + y ~ + z

U se esta ecu a ció n para convertir coordenadas de rectangulares a esfér icas.

F IG U R A 6

[ § ] A D V E R T E N C IA No hay acuerdo

universal sob re la notación para coordenadas

esféricas. Casi todos los libros de física

invierten los significados d e 9 y ó y usan

r e n lugar de p.

U x f l E n M odule 15.8 s e m ueslran fam ilias de

superficies en coordenadas cilindricas y esféricas.

/ , ± 6 = Pí sen<f>k A#

FIGURA 7

Q E l p u n to (2 , 7 r /4 , 7t / 3) e s tá d a d o en c o o rd e n a d a s e s fé r ic a s . L o c a lic e el

p u n to y e n c u e n tre su s c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s .

SOLUCIÓN L o c a liz a m o s e l p u n to en la f ig u ra 6. De las e c u a c io n e s 1 te n e m o s

TT 7Tp sen A e o s 6 — 2 sen — e o s —

3 4

y = p sen /3 /2 , -v /3 /2 , l ) en coord en adas rectangulares.

Q U 2 J U E B I Eí punto (O, 2 —2) está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre

coord en adas e sfér ica s para este punto.

SOLUCIÓN D e la ecu a ció n 2 ten em os

p = y / x 2 + y 2 + z 2 = V 0 + 12 + 4 = 4

y en to n ces las ecu a c io n es 1 dan

c o s é = ± = Z l = _ 1 <¿>= —C° S p 4 2 3

e o s 9 TT

p sen <¡> 2

(O bserve que 0 ^ 2>t t / 2 porque y = 2 N/3 > O.) Por tanto, las coord en adas esfér icas

d el punto dado son (4 , 7 t /2 , 2 7 t/3 ).

H Evaluación de integrales tr ip les con coordenadas esfér icas

En e l sistem a de coord en adas e sfér ica s , la contraparte de una caja rectangular e s una cuña

esfér ica

E = { ( p , 9, <f>) | a p b , c * z ( f > ^ d }

don de a ^ O y / 3 — <2 ^ 2-77 y d — c ^ ir. A unque se defin en in tegrales trip les d iv id ien d o

só lid o s en cajas p equ eñ as, se puede dem ostrar que d iv id ir un só lid o en pequeñas cuñas

esfér ica s da siem pre e l m ism o resultado. A s í, d iv id im o s E en cuñas esfér ica s m ás p eq u e -

ñas E ijk por m ed io de esferas igu a lm en te espaciadas p = p„ sem ip lan os 6 = 9 j y se m ico -

nos ó = <f>t. En la figura 7 se m uestra que E ijk es aproxim adam ente una caja rectangular

con d im en sio n es A p , p , A <t> (arco de una circu nferencia con radio p„ ángu lo A <¡f>), y

p, sen <¡í>¿ A 9 (arco de una c ircu n feren cia con radio p, sen <f>t, ángu lo A 9 ) . A s í que una apro-

x im ación al v o lu m en de Eijk e stá dada por

&V<jk ** {A p )(p . A<f>)(p, sen <f> AB) = f¿ sen tp ApABA<f>

D e h ech o , se puede dem ostrar, co n la ayuda d e l teorem a d e l va lor m ed io (e jercic io 4 7 ) , que

e l v o lu m en de E,* e stá dado ex a ctam en te por

A Vijt = pr sen $ A pA O A tp

d o n d e ( p „ Bj, <f>k) e s a lg ú n p u n to en E ijk . Sean (*$*» y -$*) las c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s

d e e s te p u n to . E n to n c e s ,

etc 1 "III f{x , y, z) dV - lím 2 2 2 y,% 4) AV „,” *

/ n i n

= lím 2 2 2 f (p . sen e o s 0> p , sen sen 0.-, p , e o s # 0 sen A p A 0 A<£

P ero e s ta su m a e s u n a su m a d e R iem a n n p a ra la fu n c ió n

F(p. ft - / { p sen <jk e o s 0, p sen <¡& sen 0, p e o s 4>)p: sen <f>

F.n c o n se c u e n c ia , se h a l le g a d o a la s ig u ien te f ó r m u la p a r a la t r ip l e in te g r a c ió n e n c o o r -

d e n a d a s e s fé r ic a s .


|T j JJJ f(x,y, z) dV £

* f 7 ( p sen e o s 0. p sen ^ sen 0, p e o s <£) p: sen ) | a p =s b, c ^ < f > ^ d }

L a fórm ula 3 in d ica que se con v ierte una integral triple de coord en adas rectangulares a

esfér ica s al escrib ir

x = p sen <f> e o s 6 y = p sen <¡f> sen 0 z = p e o s <f>

con lo s lím ites de in tegración apropiados y el reem plazo de d V por p 2 sen <f> dp dd d é . E sto

se ilustra en la figura 8.

F IG U R A 8

Elem ento de volumen en coordenadas

esféricas: dV = p 1 sen <f>dpdOd\ \ a ^ 0 ^ ¡3, c ^ ^ d, gx{6, <¡» ^ p ^ g2(0, 4>)}

En e ste c a so la fórm u la e s la m ism a q u e en [J ], e x c e p to que lo s lím ite s de in tegración

para p son gi( 6, <f>) y gi( 6, </>)■Por lo c o m ú n , la s co o rd en a d a s e s fé r ic a s se usan en in teg ra les tr ip les cu a n d o su p e rfi-

c ie s c o m o c o n o s y esfera s form an e l lím ite de la región d e integración .

1036 CAPÍTULO 15 IN T E G R A L E S M Ú L T I P L E S

F IG U R A 9

La figura 10 m uestra otro a sp ec t) (es ta vez

trazado por M aple )del sólido del ejemplo 4.

□ EJEMPLO 3 E valúe J j \£ e (j’+y’+r2)*1 dV , donde B e s la b o la unitaria.

B = {(.v, y, : ) | x 2 + y 2 + z2 « l}

SOLUCIÓN P uesto que e l lim ite de B e s una esfera, se usan coord en adas esféricas:

B = {(p, 6, <f>) | O =£ p 1, O 2-7T, O =s (¡) =ss tt}

A d em á s, las coord en adas esfér ica s son apropiadas porque

�> , �> . •» !>

■* +y~ + z~= p~

A sí, [T| da

f f f e^x ** +; ^ ¿/V = | f ( é* f f sen <f* d p d B d t f t

a

= I sen <6 ció | d$ i ( f e * 'd oJo Jo Jo r r

- [ - e o s ¿ ] '( 2 * r ) [ j e * % = J7r(e - l )

NO TA H abría s id o extrem adam ente d if íc il evaluar la in tegral del e jem p lo 3 sin c o o rd e -

nadas esfér ica s . En coord en adas rectangulares la integral iterada habría sido

f , f vl f v ," J y e W + ^ ' d z d y d x J - i J -y r = p J -v r = p = p 7

Q | 2 H 5 H E n U se coord en adas esfér ica s para hallar e l v o lu m en d e l só lid o que yace

arriba d e l c o n o r = y /x2 + y 2 y d ebajo de la esfera j c + y2 + z2 = z. (V éa se la figura 9.)

SOLUCIÓN O bserve que la esfera pasa por e l origen y tien e cen tro (o , O, 7 ). Se escribe la

ecu a ció n de la esfera en coord en adas esfér ica s c cm o

p 2 = p e o s <t> o p = e o s (f)

L a ecu a ció n d e l c o n o se puede escrib ir c o m o

p e o s = y pr s e n c o s : 0 + p- sen 2<¿> sen 20 = p s e n

E sto d a sen d> = e o s ó , o (f) = 7 t / 4 . Por tanto, la d escr ip ción d e l só lid o E en

coord en adas esfér ica s es

FIG U RA 10E = {(p, 6, <f>) | O ^ 6 27T , O (f) 5= t t / 4 , O p e o s (f)}

U U En Visual 15.8 s e m uestra una

anim ación de la figura 11.

E n la f ig u ra 11 se m u e s tra c ó m o E e s b a r rid a si se in te g ra p r im e ro re sp e c to a p , lu eg o

y d e sp u é s 9. E l v o lu m e n de E e s

V( E ) = fJJ d V = £ " /4 J ” * p - sen t d p d t d 8

[2 “I n—C(Xi *

y j d é

2 t t r —} 4 , 2 t t f c o s 4é T ^= sen <f> e o s d) a ó = I I =

3 *'° 3 L 4 Jo

FIGURA 11

p varía de O a eos <t>, mientras que <f> y 6 son constantes.

<6 varía de O a 7t/4, mientras que

6 es constante.

Ejercicios

1-2 Localice el punto cuyas coordenadas esféricas se dan. A

continuación encuentre las coordenadas rectangulares del punto.

1 .a ) (6, 7t / 3 , t t / ó .i

2. a) (2, t t / 2 , t t / 2 )

b) (3 , t t / 2 , 3 t t /4 )

b) ( 4 , - 7 t / 4 , 7t/3)

3-4 Cam bie de coordenadas rectangulares a esféricas.

3. a) (O ,- 2 ,0 ) b) ( - 1 , 1 , - v 'T )

4 . a ) ( 1 ,0 , , / ? ) b) (N/ T , - 1 , 2 V T )

5-6 D escriba verbalmente la superficie cuya ecuación se da.

5. <£> = 7r/3 6. p = 3

7-8 Identifique la superficie cuya ecuación se da.

7. p = sen B sen <f> 8. p 2(sen2 ó sen2 6 + eos2 <f> = 9

9-10 E scriba la ecuación en coordenadas esféricas.

9. a) z 2 = .x2 + y 2 b) .x2 + - 2 = 9

10. a) .x2 — 2.x +■ y 2 + r 2 = 0 b) .x + 2y + 3z = 1

11-14 Trace el sólido descrito por las desigualdades dadas.

11. 2 ^ p ^ 4 , 0 ^ ^ t t /3 , O ^ S ^ t t

12. I ^ t t /2, t t /2 ^ 6 < 3 t t /2

13. p =5 1, 3 t t /4 ^ ^ t t

14. p ^ 2, p ^ esc

15. Un sólido se encuentra sobre el cono r = y fx 2 + y 2 y bajo la

esfera x 1 + y2 + z 2 = z. E scriba una descripción del sólido en

términos de desigualdades que involucren coordenadas esféricas.

16. a) Encuentre desigualdades que describan una esfera hueca

con diám etro de 3 0 cm y grosor de 0 .5 cm. Explique en qué

form a ha posicionado el sistem a de coordenadas que ha

seleccionado.

Se requiere calculadora graficadora o computadora |SAC | Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

b) Suponga que la bola se corta a la m itad. Escriba

desigualdades que describan una de las m itades.

17-18 Bosqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral y

evalúela.

17. T ' I a 2 sen A d p d O d ólo Jo Jo r

18. | W (**" | p : sen dpdtfr ¡6» 0 J 2 » I

19-20 Plantee la integral triple de una función continua arbitraria

f ( x , y , z) en coordenadas cilindricas o esféricas sobre el sólido mostrado.

32. Sea H un hemisferio sólido de radio a cuya densidad en

cualquier punto es proporcional a su d istancia desde el centro

de la base.

a) Encuentre la masa de H.

b) Calcule el centro de m asa de H.

c) Halle el momento de inercia de H respecto a su eje.

33. a) Encuentre el centroide de un hem isferio sólido hom ogéneo

sólido de radio a.

b) D eterm ine el momento de inercia del sólido del inciso a)

respecto a un diám etro de su base.

34. Determ ine la m asa y el centro de m asa de un hem isferio sólido

de radio a si la densidad en cualquier punto es proporcional a

su d istancia desde la base.

21-34 Use coordenadas esféricas.

21. Evalúe |f j£ (* 2 + >'2 + z2)2dV, donde B e s la bola con centro

en el origen y radio 5.

22. Evalúe jjjB (9 — .X2 — y 2)dV, donde H e s la sem iesfera sólida

.x2 + y 2 + z 2 < 9 ,z Z 0.

2 3 . Evalúe IÍJ£ (* 2 + >’2) dV, donde E está entre las esferas

x2 + y 2 + z2 = 4 y x 2 + y 2 + z2 = 9.

2 4 . Evalúe \ \jEy 2dV, donde E es el hem isferio sólido

j r + y 2 ’-i- z2 ^ 9 , y 2* 0.

2 5 . Evalúe ¡jfExe* +> +r dV’ donde E es la porción de la esfera

unitaria x2 + y 2 + z2 ^ 1 que está en el prim er octante.

2 6 . Evalúe 11\£ x y z d V . donde E está entre las esferas p = 2 y

p = 4 y arriba del cono (f> = 7t/3.

2 7 . Encuentre el volum en de la parte de la esfera p ^ a que está

entre los conos £ = 7 r/ó y <f> = 7t/3.

2 8 . Encuentre la distancia prom edio de un punto en una esfera de

radio a a su centro.

2 9 . a) Calcule el volumen del sólido que se encuentra arriba del

cono <f> = t t ¡ 3 y cebajo de la esfera p = 4 cos <f>.

b) Encuentre el centroide del sólido del inciso a).

30. Halle el volum en del sólido que está dentro de la esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4. por encim a del plano xy y por abajo del

cono z — v-X2 + y 2.

3 1 . a) Encuentre el centroide del sólido del ejem plo 4.

b) D eterm ine el momento de inercia respecto al eje z para este

sólido.

35-38 Use coordenadas c ilindricas o esféricas, lo que parezca m ás

apropiado.

35. Encuentre el volumen y el centroide del sólido E que está

arriba del cono r = y¡X2 + y 2 y debajo de la esfera.2 i 2 i ix- + y- + z¿ = 1.

36. Encuentre la cuña más pequeña cortada de una esfera de radio

a por dos planos que se cortan a lo largo de un diám etro a un

ángulo de 77/ 6 .

|SAC| 37. Evalúe |JJ£ - dV, dcnde E se localiza arriba del paraboloide

z = x 2 + y 2 y debajo del plano r = 2y. Use la tabla de

integrales (en las páginas de referencias 6 - 10) o un sistema

algebraico com puterizado para evaluar la integral.

|s¿C| 38. a) Encuentre el volumen encerrado por el toro p = sen ó .

b) Use una com putadora para d ibujar el toro.

39-41 Evalúe la integral cam biando a coordenadas esféricas.

39. f \ ' ^ y t y d z d y d x Jo Jo J vCF+7 J J

dz d x d y

41 í 2 r * 2 l f 2* '4- ^ ’ ( . , 2 + y 2 + z 2)3/2 dz d y d x J -2 J -v 4 ^ F j2- vW - y 7 7

42. Un modelo para la densidad ó de la atm ósfera terrestre cerca de

la superficie es

8 = 619.09 - 0 .000097p

donde p (la distancia del centro de la T ierra) es m edida en

m etros y 6 e s medida en kilogram os por m etro cúbico. Si

tom am os la superficie de la T ierra com o una esfera con radio

6 370 km , entonces este modelo es razonable para

6.370 X 106 < p < 6.375 X 106. Use este m odelo para

estim ar la m asa de la atm ósfera entre el suelo y una altitud

de 5 km.

ffij 43. Use un dispositivo de graficación para d ibujar un silo

form ado por un cilindro con radio 3 y altura 10 rem atado por

un hemisferio.

PROYECTO DE APLICACIÓN CARRERA DE OBJETOS CIRCULARES 1039

4 4 . L a latitud y longitud de un punto P del hem isferio norte

están relacionadas a los coordenadas esféricas p, 9, <f>,

com o sigue. T om am os el origen con el centro de la

T ierra y el eje positivo de la r que pase por el polo norte.

El eje x positivo pasa por el punto donde el m eridiano primo

(el meridiano que pasa por G reenw ich, Inglaterra) corta

el ecuador. Entonces la latitud de P es a = 90° — d>° y

la longitud es /3 = 360° — 9o. Encuentre la distancia de la

gran circunferencia de Los A ngeles (lat. 34.06° N, long.

1 18.25° O) a M ontreal (lat. 45 .50° N , long. 73.60° O). Tome

el radio de la T ierra com o de 3960 millas. (Una gran

circunferencia es la circunferencia de intersección de una

esfera y un plano que pasa por el centro de la esfera.)

4 5 . Las superficies p = 1 + j s e n m d sen n<f> se han em pleado

com o modelos para tum ores. Se m uestra la “esfera

d ispareja” con m = 6 y n = 5. Use un sistem a algebraico

com putarizado para hallar el volum en que encierra.

4 6 . D em uestre que

( " ( " ( ” J x 2 + >•- + _-2 e - ^ ’̂ d x d y dz = 2 t t

(La integral triple im propia se define com o el lim ite de una

integral triple sobre una esfera sólida a m edida que el radio

de la esferc se increm enta de m anera indefinida.)

4 7 . a) Use coordenadas cilindricas para dem ostrar que

el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera

r2 + z 2 = a 2 y que está debajo del cono z = r cot >̂(,

(o <{> = <f>o), donde 0 < <f>0 < 7 t/2 , es

l i r a J(1

b) Deduzca el volum en de la cuña esférica dado por

p i ^ p i ^ (f> ^ es

AVPi

(eos <f>\ K)

c ) Use el teorema del valor m edio para dem ostrar que el

volumen del inciso b) se puede escrib ir com o

AV ™ p 2 sen Ap Afl A ó

donde p se localiza entre p\ y pi. <f>eslá entre é i y >̂i y

A p = p 2 - P i, A 0 = 02 “ 0i y A £ = ¿>2 - <t>i-

t m m ■ * i t u v ■ w w i f c y

PROYECTO DE APLICACIÓN CA RRERA DE O BJETO S C IRCULARES

Suponga que una bola sólida (una canica), una bola hueca (una pelota de squash), un cilindro

sólido (una barra de acero) y un cilindro hueco (un tubo de plom o) ruedan por una pendiente.

¿Cuál de estos objetos llega prim ero al fondo? (Haga una inferencia antes de proceder.)

Para contestar esta pregunta se considera una bola o cilindro con m asa m, radio r y m omento de ineicia I (ie:*peclo al eje de lolaciún). Si la caída veilical es h, entonces la eneig ía potencial en

la parte superior es mgh. Suponga que el objeto llega al fondo con velocidad V y velocidad angular a>,

de m odo que v = wr. La energía cinética en el fondo consiste en dos partes: \ m v 2 de la traslación

(al bajar la pendiente) y j l o r de la rotación. Si se supone que la pérdida de energía de la fricción de

rodam iento es insignificante, entonces la conservación de energía da

mgh

1 . D em uestre que

2 gh 1

1 2 I * T 1-_mv + 7 / a r

1 + I-d o n d e I* =

2 . Si y(f) es la d istancia vertical recorrida en el tiem po /, entonces con el mismo razonam iento

usado en el problem a I se m uestra que v2 = 2gy/(l + /* ) en cualquier tiem po t. Use este

resultado para dem ostrar que y satisface la ecuación diferencial

- / 2g iA l ------------l s<\ 1 + / * 1

a)vy

donde a es el ángulo de inclinación del plar.o.


3. Resuelva la ecuación diferencial del problem a 2 y dem uestre que el tiem po de viaje total es

= 12/i(l + /*)

y g sen2**

Esto dem uestra que el objeto con el valor m as pequeño de /* gana la carrera.

4. Dem uestre que I* = 4 para un cilindro sólido e I* = I para un cilindro hueco.

5. Calcule /* para una bola parcialm ente hueca con radio interno a y radio externo r. Exprese

su respuesta en térm inos de b = a / r . ¿Qué sucede cuando a —* 0 y a m edida que a —■* r?

6. D em uestre que /* = f para una bola sólida e I* = j para una bola hueca. A sí, los

ob jetos term inan en el siguiente orden: bola sólida, cilindro sólido, bola hueca y

cilindro hueco.

Cambio de variables en integrales múltiples

E n c á lc u lo d e u n a d im e n s ió n se e m p le a c o n fre c u e n c ia un c a m b io d e v a r ia b le (u n a su s ti-

tu c ió n ) p a ra s im p lif ic a r u n a in te g ra l. Si se in v ie rten lo s p a p e le s d e x y w, se p u e d e e sc r ib ir

la re g la d e su s titu c ió n (5 .5 .6 ) c o m o

IT] fbf ( x ) d x = \df {g{u ) )g ’(u) du Ja Je

d o n d e x = g(u) y a = g (c ), b = g(d). O tra fo rm a de e sc r ib ir la fó rm u la 1 e s c o m o sigue:

i— i Cb Cd d x[ 2 ] [ f ( x ) dx = f ( X M ) 1 — du

Un c a m b io d e v a r ia b le s p u e d e se r ú til tam b ién en las in te g ra le s d o b le s . Y a se h a v is to

un e je m p lo d e e sto : c o n v e rs ió n a c o o rd e n a d a s p o lares . L as n u e v a s v a r ia b le s r y 9 se r e la -

c io n a n c o n las v a r ia b le s im p a re s x y y m e d ia n te las e c u a c io n e s

.v = r c o s 6 y = r sen 6

y la fó rm u la de c a m b io d e v a r ia b le s (1 5 .4 .2 ) se p u ed e e s c r ib i r c o m o

f f /(-*'» v ) d A = | f / ( r e o s 6, r sen 6) r d r dO

k s

d o n d e S e s la re g ió n en e l p la n o rG q u e c o rre sp o n d e a la re g ió n R en e l p la n o xy.

D e m a n e ra m ás g e n e ra l, se c o n s id e ra un c a m b io d e v a r ia b le s q u e e s tá d a d o p o r u n a

t r a n s f o r m a c i ó n T d e l p la n o uv a l p la n o xy:

T (u , v) = (x, y )

d o n d e x y y se re la c io n a n con u y v m e d ia n te las e c u a c io n e s

|~3~1 * = g ( u , y) y = l i (u , u)

o , c o m o a lg u n a s v e c e s se e sc r ib e ,

* = x ( u , v) y = y(M, y)

P o r lo c o m ú n , se su p o n e q u e T e s u n a t r a n s f o r m a c ió n C 1, lo q u e s ig n if ic a q u e g y /?

tien en d e r iv a d a s p a rc ia le s c o n tin u a s d e p r im e r o rden .

SECCIÓN 15.10 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1041

U na transform ación T e s en realidad una función c u y o d o m in io y rango son su bcon-

jun tos de IR2. S i T(u\y v\) = (jq, y i) , en ton ces e l punto (jci. y i) se llam a im a g e n del

punto (wi, i>i). Si no hay d o s puntos que tengan la m ism a im a g en , T se llam a u n o a

u n o . En la figura 1 se m uestra e l e fe c to de una transform ación T en una región S en el

plano uv. T transform a a S en una región R en e l p lano xy llam ada im a g e n d e S , que

co n siste en las im á g en es de lo s puntos en S.

(0,1)

*4

S, (1,0) U

Si T e s una transform ación uno a uno, en ton ces tiene una tr a n s fo r m a c ió n in v e rsa

T ~ l d e l p lano xy al p lano uv y sería p o sib le resolver las e cu a c io n e s 3 para u y v en térm i-

nos d e x y y:

u = G(x, y) v = H(x, y)

□ EJEMPLO 1 U na transform ación se define por las e cu a cio n es

x = u2 — v2 y = 2 uv

Encuentre la im agen d e l cuadrado S = {(u, v) | 0 u 1, O v =s 1}.

SOLUCIÓN L a tra n sfo rm a ció n h a ce corresp o n d er e l lím ite d e S co n e l lím ite d e la

im a g en . A s í que se c o m ie n z a por hallar las im ágen es de lo s lados de S. E l prim er lado,

Si, e stá d ad o por v = 0 (0 w =£ 1). (V é a se la figura 2 .) D e las e cu a c io n e s dadas se

tien e x = u2,

y = 0 y , por tanto, O v =s 1. A s í, Si se hace correspon der con e l seg m en to de recta de

(O, 0 ) a (1 , 0 ) en e l p lano xy. El segu n d o ladc, S 2, e s u = 1 (0 v 1) y , si 1/ = 1 en las

ecu a c io n es dadas, se obtiene

A l e lim inar v se obtiene

m

2v

O X 1

que e s la parte d e una parábola. D e m anera sim ilar, S 3 e stá dada por v = 1 (0 u ^ 1),

c u y a im agen e s e l arco parabólico

Por ú ltim o, S4 e stá dado por u = 0 ( 0 =s v ^ 1) c u y a im agen e s A '= — y2, y = 0 , es

decir , — 1 x ^ 0 . (O bserve que cuand o se v a alrededor d e l cuadrado h a cia la

izquierda, tam bién se recorre la región parabólica en d irección contraria a las m an ecilla s

d el reloj). L a im agen d e S e s la reg ión R (m ostrada en la figura 2 ) acotada por e l e je x

y las parábolas dadas por las e cu a c io n e s 4 y 5.

A hora se verá c ó m o un ca m b io de variab les afecta a la integral dob le . S e e m p iez a con

un rectángu lo p equ eñ o S en e l p lano uv c u y a esqu in a inferior izquierda e s e l punto (no, yo)

y cu y a s d im e n sio n es son A u y Ay. (V éa se la figura 3 .)

r iC U R A 3

Au/

(h 0, u 0) A h

La im agen de S e s una región R en e l plano xy, uno de cuyos lím ites e s (a&, yo) = T(uo, yo).

El vector

r (u, y) = giu, v) i 4- h{u, v) j

e s e l v ecto r de p o s ic ió n de la im agen d e l punto ( u, v). L a e cu a c ió n d e l lado in ferior de

S e s y = yo, c u y a cu rva im agen está dada por la función vector ia l r(w, y0). E l vector tan-

gente en (Ao, yo) a e sta curva im agen es

r <m„,i>„ + Au)

F IG U R A 4

FIGURA 5

dx dyr„ = g¿U(), y0 ) i + hv{Uo, y0) j = i + — j

du du

D e m anera sim ilar, e l v ector tangente en (xq, yo) a la curva im agen d e l lado izq u ierdo de S

(a saber, u = h 0) es

dx dyrv = qj.uo, yo)i + h„{Uo, yo j = — i + — j

dv dv

Se puede aproxim ar la región im agen R = T(S ) por e l paralelogram o determ inado por lo s

v ecto res secantes

a = r(uo + A u, yo) - r(Uo, yo) b = r {Uo, vo + A y) - r(Wo, yo)

m ostrados en la figura 4. Pero

r(w0 + A «, to) “ r(n0, yo)r„ — lím

A»—o A í

y , por tanto,

D e m anera sim ilar,

r(Mo + Am, y0 ) — rÍMo, y0) A u r„

r{Ui), vo + Ay i - r(w(:, y0 ) » A y r „

E sto s ig n ifica que se puede aproxim ar R m ediante un paralelogram o determ inado por

lo s v ecto res A u r„y Ay r„. (V éa se la figura 5.) Per tanto, se puede aproxim ar e l área d e R

m ediante e l área de este paralelogram o, e l cu a l, de la secc ió n 12.4 , e s

| (Aw i>) X (Ay r j | = | r* X ru | Aw Ay


A l c a lc u la r e l p ro d u c to c ru z , se o b tien e

i j k

a.v dy_0

dx_ ay a.v a.vdu du du du v —

d u dv

a.v ay0

dx ay K —dy_ ay

dv dv dv dv du 0y

E l d e te rm in a n te q u e su rg e en e s te c á lc u lo se l la m a j a c o b i a n o d e la tra n s fo rm a c ió n y se le

d a u n a n o ta c ió n e sp e c ia l.

Recibe el nombre de jaco tiano en honor al

m atem ático alem án Cari Gustav Jaco b Jacob i

(1804-1851). Aunque el m atem ático

francés Cauchy fue el primero q ue usó

e s to s de te rm inan tes especiales relacionados

con derivadas parciales, Jacobi desarrolló con

ellos un método para ev a lja r integrales

múltiples.

[Y ] Definición E l j a c o b ia n o de la tran s fo rm a c ió n T d a d o p o r x = g(u , v ) y

y = /i(m, y) es

a.v a.va(.v, y) aw 0y d x d y a.v aya(w, y) ay ay d u dv dv d u

d u dv

C o n e s ta n o ta c ió n se p u e d e u sa r la e cu a c ió n 6 p a ra d a r u n a a p ro x im a c ió n d e l á re a AA

d e R.

Be(x, y)d(w, i»)

A m Ay

d o n d e e l ja c o b ia n o se e v a lú a en (mo, yo).

A c o n tin u a c ió n se d iv id e u n a reg ió n S en el p lan o u v en re c tán g u lo s S g y a las im á g e n es

en e l p la n o x y se les lla m a Rij. (V é ase la f ig u ra 6 .)

FIGURA 6

Ay i

- M i

y(«,»Vj)

A l a p lic a r la a p ro x im a c ió n [8] a c a d a Rij, a p ro x im a m o s la in te g ra l d o b le d e / s o b r e R

c o m o sigue:

f f /( .v , y) d A ¿ ¿ /(*» '. %) A A »=i ;= i

2 2 f ( g ( U ü h(Ui, Vj)) 1=1 7=1

0U y)d(u , y)

Aw Ay


d o n d e e l ja c o b ia n o se e v a lú a en (w„ V j) . O bserve que e s ta d o b le su m a e s una su m a de

R iem ann para la integral

f f f (g {u , v), h (u ,v ))Hx, y )

Hu, v)du dv

El argum ento anterior hace pensar que e l sigu ien te teorem a e s c ierto . (En lib ros de

c á lc u lo avanzado se da una d em ostración com pleta .)

|~9~| C a m b io d e v a r i a b l e s e n u n a i n t e g r a l d o b le Suponga que T e s una transform ación

C o c u y o jaco b ia n o e s no nu lo y que relacion a una región S en e l p lano uv co n una

región R en e l p lano xy. S u p on ga que f e s con tinua sobre R, y que R y S son

reg iones planas tipo I o tipo II. Supon ga también que T e s uno a uno, ex cep to qu izás

en e l lím ite de S. E nton ces

f í / ( , y ) dA = f f f ( x (u , v), y u , y ))d(x, y)

diu, v)du dv

El teorem a 9 señala que se ca m b ia de una integral en x y y a una integral en « y ti al

expresar a x y y en térm inos de u y v y escrib ir

90=P

r= a S r —b

e=a

0 r

F IG U R A 7

La transform ación de coordenadas

polares

dAd(x, y )

diu, v)du dv

O b serv e la sim ilitu d entre e l teorem a 9 y la fórm u la u n id im en sio n a l en la e cu a c ió n 2 .

En lugar de la d er iv a d a d x / d u , se tien e e l va lor a b so lu to d e l ja c o b ia n o , e s d ec ir ,

| d(x, y)/d(u, v ) |.

C o m o una prim era ilustración d e l teorem a 9, se m uestra que la fórm ula para in tegra-

c ión en coord en adas po lares e s só lo un ca so esp ecia l. A q u í la transform ación T d e l plano

r 0 al p lano xy e stá dada por

x = g(r, 0) = r c o s 0 y = h(r, 0 ) = r sen 0

y la representación g eo m étr ica de la transform ación se m uestra en la figura 7 . T esta b lece

una co rresp on d en cia entre un rectángu lo ordinaria en e l p lano rO y e l rectángu lo polar en

e l p lano xy. El jaco b ia n o de T es

¿(y . y )

5(/-. (?)

a.v a.v

dr d$ c o s 0 —r sen 0

a.v dy sen 0 r e o s 0

dr d$

= / c o s 20 + r sen20 = /• > O

A sí, e l teorem a 9 da

f { x , y ) d x dy = f f / { r e o s 0, r sen 0)3(.v, y )

d(r, $)

= | * f / ( r e o s 0L /• s e n 0) r d r d 0

dr d $

que e s lo m ism o que la fórm ula 15.4.2.

U se e l ca m b io d e variab les v = u 2 — v2, y = 2uv para evaluar la integral

JJ^ y dA, donde R e s la región acotada por e l eje x y las parábolas y 2 = 4 — 4.V

y y 2 = 4 + 4.v, y 5= 0.

SOLUCIÓN La región R se ilustra en la figura 2 (página 1041). En e l e jem p lo 1 se

descu b rió que T(S ) = R , d on d e S e s e l cuadrado [0 , 1J X [0 , 1J. D e h ech o , la razón

para hacer e l ca m b io de variab les para evaluar la integral e s que S e s una región

m ucho m ás sim ple que R. Prim ero se n ecesita eva lu ar e l jacobiano:

E JE M P L O 2

dx dx

d(xt y) du dv 2 u —2v

d(u , v) dy_ ay 2v 2 u

du dv

Por tanto, por e l teorem a 9.

f f y dA = f f 2 uvd(x, y)

3(m, v )dA f ' f ' (2uv)4{if + y 2) d u d v

Jo Jo

f j f ' ( i f v + u v 3) d u d v = 8 f(> [ \ u 4v + dv

í ' (2o + 4 y J l dv [v2 + y4](‘

NO TA El e jem p lo 2 no fue un problem a m uy d if íc il de reso lver porque se ten ía un

ca m b io de variab les adecuado. Si no se tuviera una transform ación , en to n ces e l prim er

p aso es considerar un ca m b io d e variab les apropiado. S i / ( * , y ) e s d if íc il de integrar, en to n -

c e s la form a de f ( x , y ) puede hacer pensar en una transform ación. Si la reg ión de in tegra-

c ión R es d if íc il, en to n ces la transform ación debe ser e le g id a d e m od o q u e la región

correspon d ien te en 5 en e l p lano uv tenga una d escr ip ción con v en ien te .

E valúe la integral JJ/?£ <T+>) <A y)d A don de R e s la región trapezoidal con

v értices ( 1 ,0 ) , (2 , O), (O, - 2 ) y (O, - 1 ) .

SOLUCIÓN P uesto que no e s fác il integrar e^x^ {x~y\ se hace un ca m b io de variab les

su gerido por la form a d e e sta función:

E JE M P L O 3

1101 u = x + y v = x — y

E sta s e c u a c io n e s d e fin en una transform ación T ~ l d e l p lan o xy al p la n o uv. El

teo rem a 9 hab la acerca de una transform ación T d e l p lano uv al p lano xy. S e obtiene

al despejar x y y d e las ecu a c io n es 10:

[T i l -v = í ( w + ») y = í ( « - v)

El ja co b ia n o d e T es

dx dx

d(xt y) du dv 1 i2 2 l

d(u , v) ay dy1 12 2 2

du dv


Vi

( -2 , 2) 0 = 2 (2,2)

a II 1

> , ^

f

/ u = v

(-U 1) (i,i)0 = 1

0 u

F IG U R A 8

Para hallar la región S en e l p lano uv correspondien te a R , se nota que lo s lados de R

están sobre las rectas

y = O x - y = 2 x = O x - y = 1

y , de las e cu a c io n e s 1 0 u 1 1 , las rectas im agen en e l p lano uv son

u = v v = 2 u = - v v = 1

A sí, la región S e s la región trapezoidal co n vértices (1 , 1), (2 , 2 ) , ( — 2 , 2 ) y ( — 1, 1)

m ostrada en la figura 8 . Puesto que

S = {(w, v) | 1 ss v ^ 2, - v u ^ y}

El teorem a 9 da

f f e v/°d(x , y)

du dv0(w, v )

f í ' e"'’^ ) d u d v = i f ; dvJ i J — v JI

7 (* (e — e~l )vdv = \{e — e~l )

Integrales triples

H ay una fórm ula sim ilar de ca m b io d e variab les para in tegrales trip les. S ea T una trans-

form ación que m apea una región S en e l e sp a c io uvw sobre una región R en e l e sp a c io xy:

por m ed io de las ecu a c io n es

.v = g(u , v, w) y = hiu, v, u») r = k(u, y, w)

El ja co b ia n o de T e s e l sigu ien te determ inante de 3 X 3:

12af.v, y, z)

d(u , y, w i

dx dx dx

du dv dtv

dy_ dy_ dy

du dv dw

dz dz dz

du dv dtv

B ajo h ip ó tesis sim ilares a las d e l teorem a 9 , se tiene la sigu ien te fórm ula para in tegra les

triples:

[ ñ ] ( f f /( .v , y , . ) d V = f f f f ( x (u , y, h>), y(w, y, w \ z(u , y, w))l— l J J J J J J

d(x, y, z)

clíw, y, o»)du dv dw

R S

Q Q H ü Q I i D U se la fórm ula 13 para deducir la fórm ula para triple in tegración en

coord en adas esfér icas.

SOLUCIÓN A q u í e l ca m b io de variab les e stá d ad o por

.v “ p sen eos 0 y - p sen sen 6 z ™ p eos

SE C C IÓ N 1 5 .1 0 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1 0 4 7

S e c a lc u la e l ja c o b ia n o c o m o sigue:

3 ( .v , y , r )

30». & <f>)

sen sen 9 p CDS e o s $ p eos 

— p sen <p sen 9 p e o s <p eo s 0 sen <p e o s 0 —p sen sen 0

p sen sen20 )

= —p2 sen e o s 2<p — p2 sen <p sen2<p = —fir sen <p

P u e s to q u e O =s <p ir, te n e m o s q u e sen <p 2= 0. P o r tan to ,

3 (.v , y , .-)

3 (P . a t )

y la fó rm u la 13 d a

I í f / {• *» y» r ) ^ “ I I I / ( p sen <p e o s 0 , p sen ip sen 0 , p e o s 4 ) p 2 sen ^ d p d B d tp

r s

q u e e s e q u iv a le n te a la fó rm u la 1 5 .8 .3 .

Ejercicios

1-6 Encuentre el jacobiano de la transform ación.

1. X = 51/ — y, y = U + 3y

2 . .v = t t y , y = u / v

3. x = e~r sen 9, y = erc o s 0

4. .v = e*1*, y = eT*

5. X = u / v , y = v f i v , z = w / u

6 . .v = v + w 2, y = i v + t t 2, z = u + v 2

7-10 Encuentre la imagen del conjunto S bajo la transform ación

dada.

7. S = {(tt, v) | 0 < tt ^ 3, 0 ^ v < 2}:

x = 2;t + 3y, y = tt - v

8. 5 es el cuadrado acotado por las rectas tt = 0, tt = 1, v = O,

v — 1: x — v, y = tt( 1 + y 2)

9. 5 e s la región triangular con vértices (O, 0), (1, 1), (0, 1):

x = u2, }' = y

1 0 . S e s el disco dado por t t2 + v2 ^ 1: .v = au, y = bv

11-14 Una región R en el plano xy está dada. Encuentre ecuaciones

para un transform ación T que m apea una región rectangular 5 en el

plano tty sobre R, donde los lados de S son paralelos a los ejes u y v.

11. R esta acotada por y = 2x — 1, y = 2x + 1, y = 1 — X,

y = 3 - .x

12. R es el paralelogram o con vértices (0 ,0 ) , ( 4 , 3), (2, 4), ( — 2, l)

13. R está entre les circunferencias x 2 + y 2 = l y x 2 + y 2 = 2 en el

prim er cuadrante

14. R esta acotada por las hipérbolas y = 1 / x , y = 4/.X y las rectas

y = x, y = 4a en el prim er cuadrante

15-20 Utilice las transform aciones dadas para evaluar la integral.

15. Ilflí-X — 3y) dA, donde R es la región triangular con vértices

(0 ,0 ) , (2, 1) y (1, 2): x = 2tt + y, y = tt + 2y

16. ||j,(4 .x + S y ) dA, donde R es el paralelogram o con vértices

( - 1 , 3 ) , (1, - 3 ) , (3, - 1 ) y (1 ,5 ):

.X = |( t í + y), y = j(y - 3it)

17. f l^ .x ^ A , donde R es la región acotada por la elipse

9a'2 + 4 y 2 = 36: .x = 2tt, y = 3y

Iffi Se requiere calcu ladora graficadora o com pu tado ra 1 . T areas sugeridas d ispon ib les en slew artcalculus.com

18. f j > 2 — x y + y 2) dA. donde R es la región acotada por

la elipse x 2 — xy + y 2 = 2:

X = y / l l t - y f l j l v , y = y j l u + J l J T V

19- JJ* .xy dA, donde R es la región en el prim er cuadrante acotada

por las rectas y = x y y = 3.x y las hipérbolas .xy = 1, .xy = 3:

.x = u /v , y = v

20. JJ*y2¿A, donde R e s la región acotada por las curvas

.xy = 1, .xy = 2, .xy2 = I, .xy2 = 2 : u = .xy, v = .xy2.

Ilustre m ediante una calculadora o com putadora para trazar R.

2 1 . a) Evalúe j j¡£ dV, donde E es el sólido encerrado por el

elipsoide x 2/ a 2 + y 2/ b 2 + z 2/ c 2 = 1. Use la transform ación x = u n , y = b v , r = cw.

b) L a T ierra no es una esfera perfecta: la rotación ha dado

com o resultado un aplastam iento de los polos. Así, la

form a se puede aproxim ar m ediante un elipsoide con

a = b = 6378 km y c = 6 356 km. Use el inciso a) para

estim ar el volumen de la Tierra.

c) Si el sólido del inciso a) tiene densidad constante k,

encuentre su momento de inercia respecto al eje r.

2 2 . Un importante problem a en term odinám ica es encontrar el

trabajo realizado por un m otor ideal de Carnot. Un ciclo

consiste en expansiones y com presiones alternativas de un gas

en un pistón. El trabajo realizado por el m o to re s igual al área

de la región R encerrada por dos curvas isotérm icas x y = a,

x y = b y dos curvas adiabáticas .xy14 = C, .xy14 = d , donde

0 < ¿Z < b y 0 < C < d . Calcule el trabajo realizado

determ inando el área de R.

23-27 Evalúe la integral m ediante un cam bio de variables

apropiado.

2 3 . II —------- '—dA, donde R es el paralelogram o encerrado** 3.x - yR

por las rectas x — 2>' = 0 , .x — 2y = 4 , 3.x — y = 1 y

3.x - y = 8

^ JJ ̂ (.X + y)e* v dA, donde R es el rectángulo encerrado por

las rectas x - y = 0 , .x — y = 2, .x + y = 0 y .x + y = 3

2 5 . J J eos f e ) dA, donde R es la región trapezoidal

con vértices (1, 0), (2 ,0 ) , (0, 2) y (0, 1)

2 6 . l’J^ sen(9.v2 + 4 y 2)i/A, donde R es la región en el prim er

cuadrante acotada por la elipse 9a t + 4y2 = 1

2 7 . ))R e*+ydA, donde R está dada por la desigualdad

Ul + | y | i

28. S e a /c o n tin u a sobre LO» U y sea R la región triangular con

vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). D em uestre que

ff / * + y) d A = f j u f{u ) du'R

CAPÍTULO 15 REPASO 1049

Repaso

Verificación de conceptos

1. Suponga que f e s una función continua defin ida sobre un

rectángulo R = [r/, b\ X [c,d],

a) E scriba una expresión para una doble suma de Riem ann

de f ( x , y) > 0: ¿qué representa la suma?

b) E scriba la definición de f { x y y) d A com o un límite.

c) ¿Cuál e s la interpretación geom étrica de jj^ f ( x , >!) d A si

f { x , y ) > 0? ¿Qué pasa s i / to m a valores positivos y

negativos?

d) ¿C óm o evalúa Jj^ / ( * , y) dA?

e) ¿Qué indica la regla del punto m edio para integrales dobles?

f) E scriba una expresión para el valor prom edio d e /.

2. a) ¿C óm o define a 1 / ( . V , y) d A si D es una región acotada

que no es un rectángulo?

b) ¿Qué es una región tipo I? ¿C óm o evalúa | f { x , y) d A

si D es una región tipo 1?

c) ¿Qué es una región tipo II? ¿C óm o evalúa \\D f { x , y) dA

si D es una región tipo II?

d) ¿Qué propiedades tienen las integrales dobles?

3. ¿C óm o cam bia de coordenadas rectangulares a coordenadas

polares en una integral doble? ¿Por qué querría hacer eso?

4. Si una lám ina ocupa una región plana D y tiene una

función de densidad p(x, y ) , escriba expresiones para

cada uno de los siguientes incisos en térm inos de

integrales dobles.

a) L a m asa

b) Los m om entos respecto a los ejes

c) El centro de masa

d) Los m om entos de inercia respecto a los ejes y el origen

5. S e a / una función de densidad conjunta de un par de variables

aleatorias continuas X y Y.

a) E scriba una integral doble para la probabilidad de que

X esté entre c y b, y Y esté entre c y d.

h) ¿Q ué propiedades p o se e /?

c) ¿C uáles son los valores esperados de X y Y ?

6. E scriba una expresión para el área de una superficie con

ecuación r = f { x , y), (.x, y) E D.

7. a) Escriba la definición de la integral triple de / sobre una caja

rectangular B.

b) ¿C óm o evalúa >’, z) dV?

c) ¿C óm o define j j j £ f ( x , y, z) d V si E es una región sólida

acotada que no es una caja?d) ¿Q ué es una región sólida tipo 1? ¿C óm o evalúa

j j jE f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo?

e) ¿Q ué es una región sólida tipo 2? ¿C óm o evalúa

j j jE f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo?

0 ¿Q ué es una región sólida tipo 3? ¿C óm o evalúa

j j jE f ( x , y, i ) d V si E e s una región de este tipo?

8. Suponga que un objeto sólido ocupa la región E y tiene función

de densidad p{x, y , z). Escriba expresiones para cada uno de los

siguientes incisos.

a) La m asa

b) Los m om entos respecto a los planos coordenados

c) Las coordenadas del centro de m asa

d) Los m om entos de inercia respecto a los ejes

9. a) ¿C óm o cam bia de coordenadas rectangulares a coordenadas

cilindricas en una integral triple?

b) En una integral triple, ¿cóm o cam bia de coordenadas

rectangulares a coordenadas esféricas?

c) ¿En qué situaciones cam biaría a coordenadas cilindricas o

esféricas?

10. a) Si una transform ación T está dada por .V = g(u, t>),

y = h(uy t), ¿cuál es el jacobiano de T?

b ) ¿ C ó m o c a m b ia la s v a r i a b le s e n u n a in t e g r a l d o b le ?c) ¿C óm o cam bia las variables en una integral triple?

Examen rápido Verdadero-Falso

Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por

qué. Si es falso explique por qué o de un ejemplo que desapruebe el enunciado.

1 . f j" A '2 sen ( a — y ) d x dy = f j* a -2 sen ( a — y) d y d x

2 . f f v A + y 2 d y d x — | | v -v + V 2 d x d y Jo Jo Jo Jo

4. í f ex +y sen y d x d y = 0 j - i Jo

5. S i / e s continua sobre LO, 1], entonces

f T f ( x ) f ( y ) d y d x = f f ( x ) d xJO •’() Jo

6 . f í ( a - 2 + \ / y ) s e n ( .v 2y 2 ) í / A ¿ /y < 9 J i Jo

7. Si D e s el disco dado por X 2 + y 2 < 4, entonces

ff y/4 — X2 — y 2 dA = "y7T

8. La integral j ¡ £ k r i dz dr d $ representa el m om ento de inercia

respecto al eje r de un sólido E con densidad constante k.

9. La integral

r r10 JO Jr

representa el volumen encerrado por el cono r = -JX- + y 2

y el plano z = 2.

Ejercicios

1. Se m uestra un m apa de contorno para una fu n c ió n /so b re el

cuadrado R = [0, 3] X LO. 3]. Use una suma de R iem ann con

nueve térm inos para estim ar el valor de | |s / ( . í , y) dA. Tome

los puntos de m uestra com o las esquinas superiores derechas

de los cuadrados.

_ -

w /

\ 6 Ó \

w

3 -v

2 . Use la regla del punto m edio para estim ar la integral del

ejercicio 1.

3-8 Calcule la integral iterada.

3 . r f 2 (y + 2 x e y) d x d v J | Jo

5 . f f co s ( x 2) d y d x

4 . | f ye** dx dy Jo Jo

6. f f 3x y 1 dy dxJO J x

7 | «• i*i p 1" ^ sen x d _ (¡ d x 8 [ 1 p j*1 6xyz dz d x dyJ o J o J o J o J o J *

9-10 E scriba 1 / ( . V, y) dA com o una integral iterada, donde R es

la región m ostrada y / e s una función continua arbitraria sobre R.

11 . D escriba la región cuya área está dada por la integral

l'*'2 r ' 2,r d , d 0

12. D escriba el sólido cuyo volum en está dado por la integral

í . P2sen¿ d? d*

y evalúe la integral.

13-14 Calcule la integral iterada invirtiendo prim ero el orden de

integración.

1 3 . I*' f 1 c o s (y 2)¿ fy d x 14 . f f ' - r - d x d yJo Jx Jo J j j x

15-28 Calcule el valor de la integral múltiple.

1 5 . l ^ y e ^ d A , donde R = {(*,y) | 0 ^ .v ^ 2, 0 ^ y ^ 3}

1 6 . ¡ ¡ ^ x y d A , donde D = {(.x,y) | 0 < y ^ 1, y 2 ^ x ^ y + 2}

” ■ íí 7TF"-d

donde D está acotada por y = -Jx, y = 0 , x = 1

118 . — dA y donde D es la región triangular con

JJ I + .VD

vértices (0, 0), (1, 1) y (0, 1)

1 9 . J j^y dA, donde D es la región en el prim er cuadrante acotado

por las parábolas x = y 2 y x = 8 — y 2

2 0 . IJ^y d A , donde D es la región en el prim er cuadrante que yace

arriba de la hipérbcla xy = 1 y la recta y = x y debajo de la

recta y = 2

21. J J p í* 2 + y 2)3/2dA, donde D e s la región en el prim er

cuadrante acotada por las rectas y = 0 y y = y¿3x y la

circunferencia x 2 + y 2 = 9

2 2 . IJ^A dA, donde D donde D es la región en el prim er cuadrante

que está entre las c .rcunferencias x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 2.

2 3 . j j f £ xydVy donde

E = {(Xy y , z ) | 0 =$ x ^ 3, 0 < y ^ x, 0 < z ^ x + y}

2 4 . | | / r x y dV, donde T es el tetraedro sólido con vértices

(0 ,0 ,0 ) , ( i 0 ,0 ) , (0, 1 ,0 ) y ( 0 ,0 , 1)

2 5 . \jjE y 2z 2dVy donde E está acotada por el paraboloide

x = 1 — y 2 — z 2 y el plano x = 0

Se requiere calcu lad o rag ra ficad o ra o com pu tado ra |SAC| Se requiere sistem a algebraico computarizado

CAPÍTULO 15 R E P A S O 1051

26. 111£ r dV, donde E está acotada por los planos y = 0 , r = 0,

x + y = 2 y el cilindro c ircular y 2 + z2 = 1 en el prim er

octante

27. 111£ yz dV, donde E está arriba del plano r = 0, debajo del

plano z = y y dentro del cilindro x2 + y 2 = 4

2 8 . f l f ^ r 3̂ /^ 2 + y 2 + z 2 dV, donde H es el hem isferio sólido que

está arriba del plano xy y tiene centro en el origen y radio 1

|S £ C | 4 0 . Grafique la superficie z = .v sen> \ —3 í x ^ 3 , — i r ^ y < t t

y encuentre su área de la superficie con un aproxim ación de

cuatro decim ales.

4 1 . Use coordenadas polares para evaluar

n ^ l t ' + x y ^ d y d xJO

42 . Use coordenadas esféricas para evaluar

29-34 Encuentre el volumen del sólido dado.

2 9 . D ebajo del paraboloide r = x2 + 4y2 y arriba del rectángulo

R = [O, 2] X [1,4J

3 0 . D ebajo de la superficie r = ¿ry y arriba del triángulo en el

plano xy con vértices (1 ,0 ) , (2, 1) y (4, 0)

3 1 . El tetraedro sólido con vértices (0, 0 , 0), (0, 0 , 1), (0, 2, 0)

y (2, 2, 0 )

3 2 . Acotado por el cilindro x2 + y 2 = 4 y los planos z = 0

y y + r = 3

3 3 . Una de las cuñas cortadas del cilindro x2 + 9y 2 = a 2 por los

planos : = 0 y ; = m x

3 4 . A rriba del paraboloide - = x2 + y 2 y debajo del sem icono

Z = v'.vJ + y 2

3 5 . Considere una lámina que ocupa la región D acotada por la

parábola x = 1 - y 2 y los ejes coordenados en el prim er

cuadrante con función de densidad p (x ,y ) = y.

a) Encuentre la m asa de la lámina.

b) Halle el centro de masa.

c) D eterm ine los m om entos de inercia y los radios de giro

respecto a los ejes x y y.

3 6 . Una lám ina ocupa la parte del disco A'2 + y 2 < a 2 que yace en

el prim er cuadrante.

a) Encuentre el centroide de la lámina.

b) Calcule el centro de m asa de la lám ina si la función de

densidad es p(x, y ) = xy2.

3 7 . a) Encuentre el centroide de un cono circular recto con altura

h y radio de base a. (Coloque el cono de modo que su base

esté en el plano xy con centro en el origen y su eje a lo

largo del eje positivo r.)

b) Encuentre el m om ento de inercia del cono respecto a su eje

(el eje r).

3 8 . Encuentre el árec de la parte del cono z 2 = a 2(X2 + y 2) entre

los planos z — 1 y z — 2.

3 9 . D eterm ine el área de la parte de la superficie r = x2 + y que

está por encim a del triángulo con vértices (0 ,0 ) , (1 ,0 ) y (0, 2).

4 3 .

ISACl 44 .

45.

46 .

48 .

49.

50.

f f ̂ y V - í 2 + >- + ; > * d x d yJ - 2 JO J - ^ A - x — y>

Si D e s la región acotada por las curvas y = 1 — x2 y y = e*,

encuentre el valor aproxim ado de la integral J J^ y 2dA. (Use un dispositivo de graficación para estim ar los puntos de

intersección de las curvas.)

Encuentre el centro de m asa del tetraedro sólido con vértices

(0, 0 , 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0 , 3) y función de densidad

p(x , y, r) = . r + y 2 + z 2.

La función de densidad conjunta para variables aleatorias X y

Y es

. . f C(.v + y) si 0 «S x *£ 3 , 0( v- y ) = \ n , .10 de lo contrario


b) Determine P (X ^ 2, Y ^ 1)

c) Halle P ( X + Y 1).

Una lám para tiene tres bom billas, cada una de un tipo

con d u ración prom edio de 800 horas. Si se m odela la

p robabilidad de falla de las bom billas m ediante una función

de densidad exponencial con m edia 800, encuentre la

p robabilidad de que las tres bom billas fallen en un total

de 1000 horas.

47. R e e s r r ih a la integral

d x

com o una integral iterada en el orden d x dy dz

Dé o tras cinco integrales iteradas que sean iguales a

t í ; \ l f ^ . y - - - ) d z d x d y

i = x - y

JJ x + y

Use la transform ación l l — X — y, v = X + y para evaluar

X ~ y d A

donde R es el cuadrado con vértices (0, 2), (1, 1), (2, 2)

y (1 ,3 ) .

Use la transform ación X = ll2, y = v2, z = w 2 para hallar

el volum en de la región acotada por la superficie

V A + \/y + v r = 1 y los planos coordenados.

51. Use la fórm ula de cam bio de variables y una transform ación

apropiada para evaluar dA, donde R es el cuadrado con

vértices (0 ,0 ) , (1, I) , (2 ,0 ) y ( 1 , - 1 ) .

52. El teo re m a de l v a lo r m edio p a ra in te g ra le s d o b les establece

que si f e s una función continua en una región plana D que es

tipo 1 o II. entonces existe un punto (x¡o, yo) en D tal que

f f f ( x , y) d A = f ( x o, y0) A (D )

D

Use el teorema del valor extrem o (14.7.8) y la propiedad

15.3.11 de las integrales para dem ostrar este teorema. (Use la

dem ostración de la versión de una sola variable de la sección

6.5 com o guía.)

53. Suponga que / es continua en un disco que contiene el punto

(a, b). Sea Dr el disco cerrado con centro (a, b) y radio r. Use

el teorem a del valor nedio para integrales dobles (véase el

ejercicio 52) para dem ostrar que

lím —i- r f f /{.v, y) dA — f ( a , b)r —0 f lv * J J

54. a) Evalúe | f — ;---- ;——dA, donde n es un entero y D es(* -i- y )

la región acotada por las circunferencias con centro en el

origen y radios r y R y 0 < r < R.

b) ¿Para qué valores de n la integral del inciso a) tiene límite

cuando r —* 0 +?

c) Encuentre f f f — ; n , dV, donde E e s la región«WJ [x + y + z r

acotada por las esferas con centro en el origen y rad ios r

y R, 0 < T < R.

d) Para qué valores de n la integral del inciso c) tiene un

lím ite a m edida que r —* 0 +?

Problemas adicionales1. Si l * | denota el m ayor entero en x., evalúe k integral

f f l ' + >1 dAR

donde R = {(*, y) | 1 ^ ^ 3 , 2 < y < 5}.

2 . Evalúe la integral

i ' I*1 e dy d x Jo Jo

donde m áx{*2, y 2} representa el m ayor de los núm eros de a2 y y 2.

3. Encuentre el valor prom edio de la función f ( x ) = JJ eo s{t2) d t sobre el intervalo [0, 1J.

4. Si a . b . y c son vectores constantes, r es el vector de posición X i + y j + : k y E está dada por las desigualdades O ^ a ’ r ^ a , 0 < b ' r < / 3 , O ^ c ' r ^ Y , dem uestre que

f íf (a * r)(b • r)(c • r) d V ^

E8 |a • (b X c) |

5. L a integral doble f í ----------- d x d y es una integral im propia y se podría defin ir com o elJo Jo l — x y

lím ite de integrales dobles sobre el rectángulo [0, t\ X [0, /J conform e r —» l - . Pero si se

expande el integrando com o una serie geom étrica, se puede expresar la integral com o la suma

de una serie infinita. D em uestre que

/•i e\ 1 ^ 1I f dx dy = 2 —Jo Jo I - x y n

6. Leonhard E uler pudo hallar la suma exacta de la serie del problem a 5. En 1736 dem ostró que

y 1 i r

¿ I n 2 ~ 6

En este problem a, se pide dem ostrar este hecho evaluando la integral doble en el problem a 5.

Em piece por hacer el cam bio de variables

u - v a + v

X ~ y/2 y ~ y/2

Esto da una rotación respecto al origen por el ángulo 7r/4 . Será necesario bosquejar la región

correspondiente en el plano Uv.

[Sugerencia: si, al evaluar la integral, encuentra cualquiera de las expresiones

(1 — sen 0 ) /co s B o (eos B)/( 1 + sen 0), e s posible que desee usar la identidad

eos B = sen((7r/2) — é?) y la identidad correspondiente para sen B],

7 . a) D em uestre que

f' ¿ J j jJo Jo Jo 1 - x y z n-1

(Nadie ha sido capaz de hallar el valor exacto de la suma de esta serie.)

b) D em uestre que

Jo Jo Jo i + x y z „_i n

Use esta ecuación para evaluar la integral triple correcta hasta dos decim ales.

1053

8. D e m u e s tr e q u e

arctan t t X — arctan J. irdx = — ln 7r

Jo x 2

evaluando prim ero la integral com o una integral iterada.

9 . a) D em uestre que cuando la ecuación de Laplace

dhi dht dht 7 H r + — T = 0dx2 dy~ dz2

se escribe en coordenadas cilindricas, se convierte en

dhi 1 du l d2:/ dht r H------------- 1----- i— 7r + — ~ = 0dr2 r dr r 2 00- d r2

b) D em uestre que cuando la ecuación de Laplace se escribe en coordenadas esféricas, se

convierte en

d2u 2 du cot ó du 1 d2u 1 0 2i/ r "I + ----- ;----------- b —;------ r H----- ;------;-------- - = 0dp~ p dp P~ d~ p~ sen~<f> d&'

10 . a) Una lám ina tiene densidad constante p y toma la form a de un disco con centro en el

origen y radio R. Use la ley de N ewton de la gravitación (véase la sección 13.4) para

dem ostrar que la m agnitud de la fuerza de atracción que ejerce la lám ina sobre un

cuerpo con m asa m localizada en el punto (0 ,0 , d ) sobre el eje positivo r es

2 T i G m p d ( ^ - ^ j = )

[Sugerencia: d ivida el disco com o en la figura 4 de la sección 15.4 y calcule primero

la com ponente vertical de la fuerza ejercida por el subrectángulo polar /?,y.]

b) D em uestre que la m agnitud de la fuerza de atracción de una lám ina con densidad

p que ocupa un plano com pleto sobre un objeto con m asa m localizado a una distancia

d del plano es

F = 27~Gn:p

Observe que esta expresión no depende de d.

11 . Si / es continua, dem uestre que

í ; í : c /<'» d>d- = í í ; u - a 2m dt

12 . Evalúe l ím / i -2 2 2 — =•'—* i - l ; - l V " 2 + ,lÍ + J

13 . El plano

corta al elipsoide

— + -r + — = l <2 > o, b > o, c > 0 a b e

x 2 y 2 2l— + < 1 a~ b~ c ‘

en dos piezas. Encuentre el volum en de la pieza más pequeña.

cap 15 stewart7

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