cap 10 osc em 187-198

Cuaderno de Actividades: Física II

10) OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187


10.1) Circuitos LC

− −

+

→ + ≡

→ ≡

≡

&

&&

&

De la 2ª Ley de Kirchhoff :q diL

1q

0C dt1 q Lq 0

qLC

C

0

Esta ecuación ya se ha encontrado en la mecánica clásica.

( )

≡ ≡+

≡ +

&& 2,

x t Asenωt δm

mx kx 0 kω

Simetría con Movimiento Oscilatorio,MAS :

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

( )i t

0q

C

188


• Simetrías

1,1

x q

k C Cm L

−

⇔⇔

⇔

⇔

MECANICA ELECTROMAGNETISMO

( )

( )

0

0

1 1,

2

1 1cos

2

2q t q sen t LCLC

i t q tLC LC

π ω

π

≡ + ≡

≡ + ÷


k m

PE

0 x x

189


2

2T LCπ π

ω≡ ≡

10.2) Circuitos RLC en serie



( )Ri q q t− − − ≡ ¬ ≡

2ª Ley de Kirchoff :

q diL 0C dt


C L R0t ≡ 0t >

( )i i t≡

km

PE

0 x x

" " f bv⊕ ≡

mFr

191


+ + ≡

&& &R 1 Cq q q 0L L

( ) 2(0)R

tLq t q e sen tω ϕ

−

≡ +

12 2 2 220 0

1; ,

2b b

R

L

C Lω ω ω ω ω≡ + ≡ ≡

rF kx bv ma≡ − − ≡2ª Ley de Newton :

( )

2

2 2 20 0

0

, ,2

bt

m

2b b

b kx x x

m m

k b

m

x t Ae se t

m

n

ω ω ω ω ω

ω ϕ−

≡ +→ + + ≡ →

≡ − ≡ ≡

&& &


km

" " f bv⊕ ≡

192


1,1

b R

m L

k C C−

⇔⇔⇔

⇔

MECANICA ELECTROMAGNETISMO

*La masa inercial, m, se relaciona con L pues las dos tiene carácter opositor.*Si k es muy grande la deformación, x, es pequeña, a mayor k menor x; análogamente, si el C es grande se tendría gran carga, q, por eso k se

relaciona con C-1.

S6P8) El circuito mostrado tiene el condensador con carga Q.a) Halle la ED en función de q(t)b) Resuelva la EDc) Grafique q(t) e I(t)d) ¿Para que valores de resistencia la forma de q(t) será diferente?


10 Ω

45µF8mH

193


1/

b R

k C

m L

===

+ + ≡

&& &R 1 Cq q q 0L L

0

21

R

k

Rw

L

w wLC

m L

=

= =

=

0RP a w

A

r wa

M A

<

→

0Rw w

M Amortiguado Cr

Para

itico→

=



0Rw w

M SobreAmorti

Para

guado

>

→

3

0 3 6

10

2 2 8 101 1

8 10 45 10?

R

k

Rw

L

w wLC

−

− −

= =× ×

= = =× × ×

L

S6P28)

En el circuito que se muestre en la figura, el interruptor S está cerrado en el instante t = 0, produciendo una corriente i1 a través de la rama inductiva y una

corriente i2 a través de la rama capacitiva. La carga inicial en el capacitor es

cero y la carga en el instante t es q2.

a) Deduzca lasexpresiones para i1 , i2 y q como funciones del tiempo.

Exprese su respuesta en términos de ε, L, C, R1, R2 y t. Para el resto del

problema, tome los siguientes valores para los elementos del circuito: ε = 48 V, L = 8,0 H, C =20 µF, R1 = 25 Ω y R2 = 5000 Ω,

b) ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama inductiva? ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama capacitiva? c) ¿Qué valores tienen lascorrientes a través de la rama inductiva y de la rama capacitiva un tiempo grande después de que el interruptor ha sido cerrado? ¿Qué se puedeconsiderar como un “tiempo grande”? Explique su respuesta, d) ¿En qué instante t1 (exacto hasta dos cifras significativas) serán iguales las

corrientes i1 e i2 ? (sugerencia: Podría considerar el uso de los desarrollos en

serie para los exponenciales) e) Para las condiciones dadas en d) determine i1,

f) La corriente total a través de la batería es i = i1 + i2 ,¿En qué instante t2 (exacto hasta dos cifras significativas) será igual a la mitad de su valor final?


+ ε s R

1 L

R2 C


Solución:( ) 1 20 : , 0 0, 48, 8, 20 , 25 5t s q L C R R kε µ= ↓ = = = = = ∧ =

11 1

12 2 1 1 2

2 :1) 0

2)

)

0

da diDela LK R i L

dtdiq

R i L R i q iC

a

dt

ε+ − − =

− − + + = ¬ =&

( ) ( ) ( )

( )2

2

2

2

/

/2

2

1 2 : 0 : !

0 " "

1

i

c

t R C

t R C

qDe en R q ojo malla externa

Cq

R q E DiF conocidaC

q C e

q eR

ε

ε

ε

ε

−

−

− − + = =

− − =

= −

= =

&

&

&

( ) '1 1 11 : 0 " "CD E Die Li R i F conocidaε+ − − =

2 0q

R qC

ε − − = &

' 11

1

01

iLi

R

ε+ − − = ÷



1

1

1

11 1

1 i 1 1

t

R tLR Le e

R R

εε

− ÷ −

÷

= − = − ÷ ÷ ÷ ÷

( ) ( ) ( ) 21 2 3

1

480 0 0 , 0 10

5 1)

0b i i

R

ε −= × = = ≈×

( ) ( )1 21

482 , 0

35) i t ic t

R

ε→ ∞ = = ≈ → ∞ =

3 62

1

: ? 5 10 20 10 0,1

8 0,32

25

C

L

t R C x x x

L

R

τ

τ

−→ ∞ = = =

= = =

K

1 1 2?/) id t i= =

( )1 1 i tε= ( )

1 1

2 11

1 iR t

Le tR

ε− − = = ÷

1

2

2

t

R CeR

−


i1

2

10-2

i2

0 t1 t

i

197


2 3xUsando: e =1+x

2! 3!

x x+ + L

( )1 1i tε= ( )

1

2 11

1 iR t

Le tR

ε− − = = ÷

1

2

2

t

R CeR

−

1 11

1 2 2

1 11 1 1

R tt

R L R R C

− − = − ÷

2

1

R

R1Rx 1

12

1t

tL R C

= − ÷

2 11 1 3

2 2

2

1 11 0,0016

5 10 118 0,1

R tt t

L R C xR

L R C

= − → = = ≈

++

( )25 0,0016

3 381 1e

48 i 1,6 10 1 9,6 10)

25

x

t x e x−− −

≈ = − ≈ ÷

1 2) f i i i= +

( ) ( )2 2

1 1t ?/ 2 1

2 2i t i t x= = → ∞ = =

( ) ( ) ( )2 1 2 2 2i t i t i t= + 1=

( )1 2 1i t =

( )1

2

1 21

i 1 1Rt

Lt eR

ε − = − = ÷

2

0,32481 1

25

t

e−

= − = ÷ ÷

2

250,32ln 1 0, 24

48t − − = =

S6P27) Considere un circuito RLC subamortiguado (débilmente amortiguado) se pide determinar:



a) Una formula para la energía U = UE + UB almacenadas en los campos

eléctricos y magnético como función del tiempo. Establecer el resultado en términos de la carga inicial Q0 del capacitor la resistencia R y la

inductancia L.b) Muestre cómo dU/dt se relaciona con el cambio de energía que se disipa

en el resistor.

Solución:

0 Rw w>

2 2 2

2 2 21 1 1 1 1

2 2 2 2)

2 2 2EM E Baq q Lq

E U U U C V LI LIC C

= ≡ + ≡ ∆ + ≡ + ≡ +&

( ) 2(0)RtLq t q e cos tω ϕ

−

≡ −

2 2(0) cos2

R Rt tL L

dq Ri I q e t e sen t

dt Lω ϕ ω ω ϕ

− − −≡ ≡ ≡ − − −


L

R S

C

199


22 2

2 2 21(0) cos (0) cos

2 2 2 2

R Rt t

L Lq Lq L R

U q e t q e wsenc c L

ω ϕ− − − ≡ + ≡ − + −

&&

2

2

2 22 2 2 2

2

1

4

(0) 1cos cos cos

2 4

Rt

L

R

LC L

q R Rwe L sen w sen

c L L

−

−

≡ + + +

( ) ( ) 2 20 1

cos cos 22 4

Rt

Lq R

U e Rw sen tC L

ω ϕ−

≡ + + −

b) α) Por conservación de la E

20

2R iE B

QE E E E

C+ + ≡ ≡r r

14243

2 2 2

2 20 0 0

2 2 2EM R

Q Q QE E Ri dt Rq dt

C C C≡ − ≡ − ≡ −∫ ∫ &

2 20M

d dE Rq dt Rq

dt dt→ ≡ − ≡ −∫ & &

2M

dE Rq

dt→ ≡ − &

β) Usando la Ec DIF

2

21

2 2M E B

qE U U Lq

c≡ + ≡ +r r &

2M

dE

dt≡

2

qq& 2

C+

2

Lqq&&& 21 RLq q q Lq q Rq

LC L

− ≡ + ≡ ≡ −

& && & & &14243

La EM disminuye y lo hace disipando energía a través de la R. (RI2 !)


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