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TEORÍA
CANTIOADES IMAGINARIAS
0. ATftNASIO LASALA Y MARTÍNEZ
L I C E N C I A D O EN Cl EN C I AS EX ACTAS
C A T E D R Á T I C P DE M A T E M Á T I C A S , POR O P O S I C I Ó N , EN EL I N S T I T U T O DE B I L B A O .
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I M A G I N A R I A S E N U N P L A N O
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BILBAO: 1894
Esta])lecLuiiento tipolitográíico de la VIUDA DE DELMAS Correo, 8.
T E O R Í A
CANTIDADES IMAGINARIAS
TEORÍA DE LAS
CANTIDADES IMAGINARIAS POR
D. ATANASIO LASALA Y MARTÍNEZ
L I C E N C I A D O EN C I E N C I A S EXACTAS
C A T E D R Á T I C O DE M A T E M Á T I C A S , POR O P O S I C I Ó N , EN EL I N S T I T U T O DE B ILBAO.
PRIMERA PARTE
I M A G I N A R I A S E N U N P L A N O
BILBAO: 1894
Establecimiento tipolitográfico de la VIUDA DE DELMAS Correo, 8.
B8 PROPIEDAD DEL AUTOR
ÍNDICE
CAPÍTULO PRIMERO.
CONCEPTO DE LAS CANTIDADES IMAGINABIAS.—REPRESENTACIONES GRÁFICA Y
MÓDULO-ABOUMENTAL DE LAS MISMAS 3
CAPÍTULO SEGUNDO.
CÁLCULO DE LAS IMAGINARIAS BAJO LA FOHMA MÓDULO-ABGUMENTAL, Y REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS
RESULTADOS.
I . —Adición 9 I I . —Sustracción 13 III . —Multiplicación . . . . 14 IV. —Divisióa 17 V. —Elevación i potencias de exponente entero y positivo 18 VI. —Extracción de raices de índice entero y positivo 19 VII. —Potencias y raices de índice fraccionario 6 inconmensurable . . . . 20 VIII.—Potencias y raices de Índice negativo 21 IX. —Potencias y raices de índice real 22
CAPÍTULO TERCERO.
CONSECUENCIAS DEL CAPÍTULO ANTERIOR.
I . —Interpretación de las raíces de grado par de las cantidades negativas. . 28 I I . —Realidad de las osintidades imaginarias.-Éstas pueden resultar de la
extracción de raices de cualquier grado de cantidades positivas y negativas . . . , 39
VI Página».
CAPÍTULO CUARTO.
DIVERSAS FORMAS DE LAS IMAGINARIAS, Y CÁLCULO DE ÉSTAS BAJO LA FORMA BINOMIA.
I . —Forma binomia 31 I I . —Forma monomia 40
CAPÍTULO QUINTO.
APLICACIONES DE LAS IMAGINARIAS Á LA TRIGONOMETRÍA.
I . — Fórmulas íundamentales . . . . , 42 I I . —Seno y coseno de la suma de dos argumentos 43 I I I . —Resolución de los triángulos rectilíneos 44
CAPÍTULO SEXTO.
LA GRADUACIÓN EN GENERAL.
I . —Concepto de la graduación 53 I I . —Series fundamentales. Niímeros e y E 55 I I I . —Elevación de una cantidad cualquiera á, la potencia V — 1 61 IV. —Fórmula general de la graduación, que expresa la potencia de exponente
imaginario de una cantidad imaginaria . 63 V. —Potencia de grado infinito de la unidad sumada con un elemento infini
tesimal real 6 imaginario cualquiera. Números o y r, 65 VI. —Condición de realidad de la potencia P 70
CAPÍTULO SÉPTIMO.
LOGARITMOS.
I . —Logaritmos naturales de las cantidades imaginarias 75 I I . —Expresión general del logaritmo de una cantidad imaginaria en cual
quier sistema. 78 I I I . —Logaritmos en los sistemas de bases E y V—1 81 IV. —Condición de realidad del logaritmo G 84 V. —Expresión general de la base según la cual una cantidad dada es el lo
garitmo de otra 90 VI. —Condición de realidad de la base B^^ 91 ; VII . —Aplicación de los logaritmos al cálculo de las imaginarias 96
VII Páginas.
CAPÍTULO OCTAVO.
ESTUDIO DE LAS VARIACIONES DE LA FUNCIÓN P , CUANDO G Y g AUMENTAN POR GRADOS INFINITAMENTE PEQUEÑOS
DE PRIMER ORDEN.
I . —Expresión general dol increraojito de p, en función de los de G y g. . 100 I I . —Condición del crecimiento de p, y ecuación de los valores de g para loa
cuales es p máximo ó mínimo 101 I I I . —Limites entre los cuales debe variar g, para que la condición del cre
cimiento de p sea la (í) ó la {(') 103 IV. —Variaciones del argumento p cuando g y G crecen proporcional y posi
tivamente desde cero, siendo B mayor ó igual á la unidad. Fórmulas para hallar los valores máximos y mínimos de í» 106
V. —Expresiones generales de las ecuaciones que deberán resolverse para hallar los valores de g correspondientes á los sucesivos máximos y mínimos de 2> 112
VI . —Estudio de las variaciones de ^;, cuando ea B < 1. 114 VII . —Besumen general de las variaciones del argumento p 115 VIII.—Expresión general del incremento dol módulo P, y condición para que
sea positivo, siendo B > 1. Ecuación de los valores de g para los cuales es P máximo ó mínimo en la primera evolución do 3 — ¡< . . , 116
IX . —Variaciones del módulo P cuando G y g crecen positiva y proporcional-mente desde cero. Fórmulas para hallar los máximos y mínimos de P , 117.
X. —Expresiones generales de las ecuaciones que deberán resolverse para hallar los valores de g correspondientes á los sucesivos máximos y mínimos de P . . . , . . . , 121
X I . —Estudio de las variaciones de P , cuando B < 1 122 X I I . —Besumen general de las variaciones del módulo P 123 XIII.—Estudio simultáneo de las variaciones de P y p 124
CAPÍTULO NOVENO.
ESTUDIO DE LAS VARIACIONES DE LA FUNCIÓN P , CUANDO ¡7 AUMENTA DE UNA MANERA CONTINUA PERMANE
CIENDO G CONSTANTE.
I . —Expresión general del incremento de p, y condición para que sea positivo. Ecuación de los valores de ¡7 correspondientes á los máximos y mínimos dejp 129
I I . —Variaciones del argumento p 130 I I I . —Fórmula para hallar los máximos y mínimos áe p 133
VIH Páginas.
IV. —Expresión del incremento de P, y condición para que sea positivo. Ecuación de los valores de g correspondientes & los máximos y mini-mos de P 13S
V. — Variaciones del módulo P. . . . 136 VI. —Consideración simultánea de las variaciones áe p y P 139
CAPÍTULO DÉCIMO.
Variaciones de la función P cuando g crece positivamente, segdn la-ley de la continuidad, y O aumenta en una cantidad infinitamente pequeña k cada evolución de $r 143
CAPÍTULO UNDÉCIMO.
Estudio de las variaciones de P cuando, permaneciendo constante el argumento g, crece el módulo O de una manera continua 145
ADVERTENCIA.
Hemos dado forma didáctica á este trabajo, que en su origen fué sucinta exposición de nuestras investigaciones sobre las imaginarias, creyendo prestar así un servicio á la juventud y al progreso científico.
Los alumnos de segundo curso de Análisis en la Facultad de Ciencias y los aspirantes á ingreso en las Escuelas especiales, pueden emprender el estudio de esta obra cuando conozcan la teoría de las series.
En los Institutos, pensamos que la teoría de las imaginarias no debe desenvolverse bajo ninguna forma en el curso de Aritmética y Álgebra, porque desconociendo los alumnos por completo la Geometría y Trigonometría, aquellas cantidades no pueden representarse por el módulo calificado por un argumento, que es su expresión más propia y sencilla; pero en el segundo curso, una vez conocidas las funciones trigonométricas y sus relaciones fundamentales, pueden y deben darse nociones claras y precisas de las imaginarias, de su cálculo y de sus aplicaciones á la Trigonometría.
Á este objeto responden los cinco primeros capítulos, que constituyen la parte elemental de la presente obra.
Con prudente recelo la sometemos á la crítica, reclamando benevolencia de nuestros lectores, siquiera sea en gracia de la penosa labor que supone la composición de libros do este género.
TEORÍA DE LAS CANTIDADES IMAfilNARIAS.
PRIMERA PARTE.
I M A G I N A R I A S E N U N P L A N O .
CAPÍTULO PRIMERO.
CONCEPTO DE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS.—REPRESENTACIONES GRÁFICA Y MÓDULO-ARGUMENTAL DE LAS MISMAS.
1. La primera necesidad de nuestro entendimiento, al contemplar una cantidad, es medirla.
El resultado de la comparación es un número absoluto, que expresa las unidades ó partes alícuotas de la unidad contenidas en la cantidad.
Tal resultado es insuficiente, en muchos casos, porque descubrimos en las cantidades, además de su valor, cierto modo de ser, que en manera alguna nos permite considerarlas como iguales, aunque lo sean en magnitud.
En la consideración matemática de una recta limitada, por ejemplo, hay que atender á algo más que á su longitud: la infinita variedad de direcciones que puede tener en el espacio es un concepto tan atendible, por lo menos, como el primero, puesto que influirá mancomunadamente con éste en los fines intentados por la especulación. La determinación de una fuerza es incompleta y sería imposible conocer su efecto si, dada la intensidad de la misma, ignorásemos la dirección en que obra. Un capital determinado puede afectar á otro de muy diversos modos, según que su acción sobre éste sea más ó menos directa. Un tiempo puede ser anterior ó posterior á una época dada, etc.
- 4 -
Aunque existan cantidades concretas con un solo modo de ser, aunque otras tengan dos modos únicos de existencia, bastaría la posibilidad de una cantidad con diversas afecciones, para que la ciencia matemática, dado su carácter elevado, abstracto y generalizador, las tuviera en cuenta en los cálculos, siempre que hubiera medio de compararlas y medirlas.
En la presente obra nos proponemos estudiar la cantidad bajo el doble aspecto cuantitalivo-cualitativo, es decir, considerando el valor absoluto y la cualidad ó modo particular de ser.
2. Dos cantidades de igual naturaleza, cuyas cualidades son directamente opuestas, se llaman, por este concepto, una positiva y la otra negativa.
Si la fuerza que actúa sobre un punto ó el trayecto recorrido por un móvil en e\ sentido AB de una recta se con.sideran como cantidades positivas, una fuerza ó un trayecto contado en el sentido BA, serán cantidades negativas, porque su modo de ser es directamente opuesto al de las positivas.
Los conceptos de positivo y negativo son relativos é igualmente legítimos: no debe existir preeminencia entre ellos, ni envuelven otra idea que la de oposición; por consiguiente puede llamarse positivo á cualquiera de los sentidos opuestos y negativo al otro, viniendo, por tanto, á ser las cantidades positivas las negativas de las negativas.
Solamente cuando las cantidades hayan de relacionarse con otras, cuyos sentidos positivo y negativo estén ya definidos, los de las nuevas podrán no ser arbitrarios, sino los que correspondan lógicamente, según los convenios anteriores, y atendiendo al concepto algebraico de las operaciones fundamentales, i
3. Elegido un modo de ser fundamental ó positivo, el opuesto será el negativo. Las cantidades contadas en estos dos sentidos han recibido el nombre común de cantidades reales; y todas aquellas cuyas direcciones son exteriores á la positiva y á la negativa, y, por tanto, intermedias ó mediadoras entre ellas, han sido llamadas imaginarias, por más que tengan una existencia tan real como las otras.
Nosotros no exceptuaremos dirección alguna y diremos: IMAGINARIAS son las cantidades en que se consideran los dos conceptos
matemáticos de CANTIDAD y CUALIDAD. Las imaginarias son anteriores, en el orden lógico, á todo algoritmo
que pueda producirlas, y las raíces de grado par de las cantidades nega-
^ Véase nuestra Aritmética y Álgebra, página 368, 4.» edición.
— 5 — tivas son meros casos particulares de ellas, como se verá en el proceso de esta obra.
4. La Oeometria nos ofrece la representación más sencilla y adecuada de las cantidades en su doble concepto cuantitativo-cualitativo: una recta de longitud determinada expresa el valor absoluto, y la dirección de la recta, la cualidad ó afección; y como esta dirección es determinable mediatamente en relación, también la varia afección de las cantidades puede ser determinada y sujeta al cálculo.
En esta primera parte hemos de limitarnos á la consideración de las infinitas direcciones posibles dentro de un plano fundamental, por lo que la titulamos Imaginarias en un plano.
5. Siempre que designemos una recta por dos letras, escribiremos primero la del origen ó punto de partida y después la del extremo; por manera que no serán iguales en todo las rectas AB y BA, sino sólo en magnitud y contrarias en afección.
Tracemos en el plano fundamental una recta X'X (Fig. í.»), en la que supondremos puestas las cantidades positivas y negativas, recibiendo por esto el nombre de eje real.
FIG. 1.»
Los dos sentidos X'X y XX' los miraremos como positivo y negativo respectivamente.
Cualquiera otra recta limitada OA, que parta de un punto O de la X'X, llamado origen, formará con el sentido positivo OX del eje real un ángulo a. La recta O A está determinada: 1.» por su longitud A, referida á una unidad rectilínea arbitraria; 2.° por el ángulo XOA 6 a que forma con OX.
La longitud absoluta A recibe el nombre de módulo; el ángulo a se llama argumento.
Los argumentos se cuentan desde el eje OX hasta la recta OA en dos sentidos opuestos, llamados positivo y negativo: es positivo el argumento cuando se supone que la recta OA ha pasado de la posición OX á la OA girando alrededor del punto O en sentido contrario al de las agujas
de un reloj, y negativo cuando se paSa de la posición inicial OX á la OA girando en el sentido opuesto.
Los argumentos varían desde cero hasta tm valor ton grande como se quiera, en ambos sentidos.
En la posición que OA tiene en la figura, el argumento positivo es menor que 90" y el negativo mayor que 270", componiendo los valores absolutos de ambos una circunferencia.
Sin embargo, después de describir OA el ángulo XOA, puede hacer una ó varias revoluciones completas en sentido positivo ó en el negativo, volviendo á la posición OA; entonces el argumento de OA se compondrá de varías circunferencias positivas ó negativas y del ángulo XOA: según veremos más adelante, no deben considerarse como idénticas las cantidades de igual módulo y cuyos argumentos difieren en una ó más circunferencias, por nlás que sus posiciones coincidan.
Es evidente que una recta puede transportarse paralelamente á si misma, poniendo el origen en el punto del plano que convenga, sin variar la longitud ni el sentido de la misma.
6. Representaremos simbólicamente una cantidad por su valor absoluto ó módulo A afectado de un sub-índice a, que expresará el argumento de la cantidad, en esta forma
a ' á la cual llamaremos módulo-argumental.
La unidad modulares, como hemos dicho, una recta arbitraria, que no necesitamos fijar; y la unidad argumental es el ángulo en el centro que intercepta entre sus lados un arco igual en longitud al radio. Este ángulo, según se sabe por la Geometría elemental, vale
180» = 570,29577948 = 57"17'4r,81 •K
en menos de media centésima de segundo por exceso. Al reemplazar los ángulos por sus arcos correspondientes, el radio será
siempre la unidad modular, y el origen de los arcos el punto en que el eje OX corta á la circunferencia,
7. En virtud de esto, una cantidad A puesta en el eje positivo OX, se espresará por
según que no haya efectuado ninguna revolución alrededor del origen O, ó según que haya efectuado una, dos... n revoluciones.
Si A = 1, tendremos 4 1 4 4 *0 » 2» ' *4)r • • • • ^2n7r'
— 7 —
es decir, unidades positivas, diferentes entre si por el número de revoluciones.
Á 1Q , unidad positiva, que no ha efectuado ninguna revolución, la llamaremos -unidad inevoluhU. *
Una cantidad A puesta en el eje negativo OX', se expresará por \ ' \n ' ^5n - • • ' ^^Pn+Dff'
según que haya efectuado una, tres, cinco.... 2n- | - i semirevoluciones alrededor de O.
Estas son las cantidades llamadas reales, que, como se ve, son casos particulares de las imaginarias: los casos en que el argumento es déla forma 2nir (positivas) ó (2n -|- l)jr (negativas).
Todas aquéllas cuyos argumentos no contengan un número entero de semicircunferencias serán más especialmente llamadas imaginarias.
Si el argumento es un número impar de cuadrantes, se llaman imaginarias puras, por tener una dirección perpendicular al eje real, y, por consiguiente, una afección media ó neutral entre la positiva y la negativa; y si el argumento no es múltiplo del cuadrante, y, por tanto, la afección se aproxima más á una de las reales que á la otra, se denominan imaginarias afectas.
Una recta YY perpendicular al eje real en el origen se llama e/e imaginario; el sentido y Y ge llama po/íitivo y el opuesto YY', negativo.
8. Adoptados los signos más y menos para expresar dos modos de ser opuestos, pueden aplicarse á las cantidades imaginarias; así — A expresa una cantidad OA' igual á A , pero de dirección contraria.
Entiéndase que el signo — afecta á todo el símbolo 4 , y no solamente al módulo que, como valor absoluto, no puede tener signo.
9. El signo menos no tiene una significación completa, limitándose á indicar la oposición del sentido negativo OA' respecto del positivo OA, sin expresar si el giro, mediante el cual OA pasa á la dirección OA', se ha efectuado en sentido positivo ó negativo, circunstancia que hay que tener en cuenta muchas veces.
Este inconveniente se evita con el empleo de los argumentos. Las cantidades
A y A expresan: la primera, que OA ha venido á la posición opuesta OA' por una semirevolución en el sentido positivo, y la segunda, que se ha pasado de OA á OA' mediante una semirevolución en sentido negativo.
En el númeio 140 se veii el fundamento de esta denominación.
— 8 — Siempre que en esta obra vaya una cantidad precedida del signo — ,
entiéndase que ha cambiado de sentido efectuando una semirevolución positiva.
Por consiguiente — 1 equivale á 1 , y si la unidad se hubiere hecho negativa girando en sentido negativo, para evitar toda ambigüedad, la expresaríamos por 1_ .
Una cantidad A tomada en el eje imaginario, sentido positivo, se expresa por A„ , Y otra igual, tomada en sentido negativo, será — An ó Asn ,
T T T pudiendo también ser A «• > si el giro se efectuase en el sentido negativo.
T 40, Dos cantidades son iguales cuando tienen módulos y argumentos
iguales. Recíprocamente, si dos cantidades son iguales, tendrán módulos y ar
gumentos iguales.
— 9 —
CAPÍTULO SEGUNDO.
CÁLCULO DE LAS IMAGINARIAS BAJO LA FORMA MÓDULO-ARGUMENTAL, Y REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS RESULTADOS.
I.—Adición.
11. ADICIÓN Ó SUMA es la síntesis ó reunión de varias cantidades, con' siderada cada una con su valor y afección propia.
Esta suma, en que se tiene en cuenta la cantidad y la cualidad de los sumandos, se llama sincategoremática ^ ó resultante, para diferenciarla de la suma aritmética, en que sólo se atiende á los valores absolutos.
12. Sean dos sumandos cualesquiera OA y OB (Fig. 2.*)
FiG. 2.»
Para efectuar gráñcamente la suma se traza por el extremo A del primer sumando una recta AB' paralela é igual al sumando OB y dirigida en el mismo sentido; teniendo AB' igual módulo y argumento que OB, la suma de OA y OB es la de OA y AB', ó sea la recta OB'.
^ Sincategoremática es lo perteneciente & las dos categorías unidas de cantidad y cualidad.
- 10 — Se ve que La suma OB' es, en magnitud y dirección, la diagonal del paralelógra-
mo construido sobre los sumandos*OA y OB. 13. Si los sumandos son varios OA, OB, OC y OD (Fig. 3.'), á la resul
tante OB" de los dos primeros se sumará el tercero, y á la resultante OCf de tres se sumará el cuarto: la suma de todos es OD'.
FIG. 3.»
44. De este superior concepto de la suma se deduce: 1.0 Si los sumandos tienen igual modo de ser, la suma tendrá el modo
de ser de'los sumandos, y el módulo de aquélla será la suma aritmética de los módulos.de éstos.
Así, A 4-B + C ~<iA + B + C) .
a ' a ' a ^ ' ' 'o • 2." Si dos sumandos tienen modos de ser opuestos, la suma tendrá el
modo de ser del que tenga mayor módulo, y el módulo de ella será la diferencia aritmética entre los módulos de los sumandos.
Por consiguiente, suponiendo A >• B,
y si A < B, será
A +B ^ ={A-B) ; a ' K+a ^ 'o '
A + B , z={B-A)^.
3.0 Si dos sumandos no tienen igual dirección ni direcciones opuestas, el módulo de la suma es menor gue la suma de los módulos de los sumandos y mayor que su diferencia.
Puesto que los tres módulos son los lados de ün triángulo. En este tercer caso no es posible, mediante la notación adoptada, eíec-
- 11 — tuar algebraicamente ^ la suma, debiendo quedar indicada; asi la suma de A , B^ Y C es
A + B 4- C . a ' b ' c
15. La suma es independiente del orden de los sumandos. Sean éstos dos OA y OB (Fig. 2.'), cuya suma es OB' [12]. Si consideramos OB como primer sumando, deberemos trazar por su
extremo B la recta Bff paralela é igual á OA, y vendremos á obtener la misma suma OB' hallada antes.
Si los sumandos son varios, quedará demostrado el teorema probando que pueden cambiar mutuamente de lugar dos consecutivos, sin que varié la suma.
FiG. 4.»
Sea ON' (Fig. 4.') la suma efectuada de los n primeros sumandos, y OP, OQ los que siguen inmediatamente. Trazando N'F paralela é igual á OP, y después P'Q' paralela é igual á OQ, tendremos
00' = ON' +0P + OQ.
Cambiando el orden de los sumandos consecutivos OP y OQ, habrá que trazar por N' la recta JV'Q" igual y paralela á OQ, y por Q* la Q"P" igual y paralela á OP, y, en virtud de las propiedades geométricas del pa-ralelógramo, el punto P' coincidirá con el Q'; por tanto
OQ' = ON' + 0Q + OP.
^ 'EteotMaiT algebraicamente una suma, y, en general, cualquiera operación, significa expresar el resaltado bajo igual forma que los datos: si pudiéramos hallar una expresión Sg , tal que
^o + ^ 6 + 0 , = S , , diríamos que la suma estaba efectuada.
- 12 — Comparando las dos igualdades obtenidas, resulta
ON' + OP-\-OQ = ON' + 0Q + OP.
Demostrado ésto, es claro que un sumando dado puede pasar, mediante una ó varias permutaciones sucesivas con su inmediato, del lugar que ocupa en la suma á otro lugar cualquiera, sin que varíe el resultado.
Á esta propiedad se la ha llamado conmutativa. 16. En una suma indicada, podemos reemplazar varias de las canti
dades por su suma efectuada. La proposición es evidente si las cantidades son las primeras: en caso
contrario, se hace que lo sean [15]. Esta es la propiedad llamada asociativa.
17. Es evidente que la suma de dos cantidades reales es real, 18. Para que la suma de dos imaginarias sea real, se necesita y basta
que sus proyecciones sobre el eje imaginario sean iguales y de signo contrario.
Sean OA y OB {Fig. 5.') dos imaginarias cuya suma OB' sea real.
Evidentemente las rectas OAyAB' tienen sus proyecciones Oa y aO sobre el eje imaginario iguales y de signo contrario; y como OB es paralela é igual á AB' y está dirigida en el mismo sentido, las rectas OA y OB tienen también sus proyecciones Oa y Ob iguales y de signo contrario; luego la condición es necesaria.
Reciprocamente, si OA y OB tienen proyecciones iguales y de signo contrario, las rectas OA y AB' tendrán también proyecciones iguales y de signo contrario; por tanto el extremo B' caerá en el eje real; luego la condición del teorema es suficiente.
19. Se llaman simétricas dos imaginarias de igual módulo, y cuyos argumentos son iguales y de signo contrario.
- 13 -Suponiendo (Fig. 6.') OA = OB, áng. XOA = — áng. XOB, las ima
ginarias representadas por las rectas OA y OB son simétricas.
FIG. 6.«
Si los argumentos se cuentan en el mismo sentido, su suma será una circunferencia; si una imaginaria es 4 , su simétrica es A_^ ó
La suma OB' de dos imaginarías simétrícas es real [18].
II.—Sustpacclón.
20. IM SUSTRACCIÓN es el análisis ó descomposición de una suma en dos sumandos, siendo conocido uno de éstos.
21. Para restar dos cantidades se suma el minuendo con el sustraendo tomado en dirección opuesta á la tuya.
La diferencia OB' — OB (Fig. 2.») se obtiene trazando por el extremo F del minuendo una recta B'A igual y paralela al sustraendo OB, pero en dirección contraria, y tendremos:
OB' — 0B = OB' + B'A = OA. En efecto: OA + OB = OA -^ AB' = OB'. Lo mismo, OB' -0A = OB' + B'B = OB.
22. Cuando el minuendo y el sustraendo tienen igual afección, la diferencia tendrá igual afección que aquéllo», si el módulo del mintiendo es mayor que el del sustraendo, y contraria, si el módulo del primero es menor que el del segundo. El módulo del resto es la diferencia aritmética entre los módulos de los datos.
A.SÍ
A — B = (A — B) si A > B, a a ^ 'a — '
A — B =(B — A) ^ si A < S. 23. iSi el minuet^o y el sustraendo tienen afecciones opuestas, la dife-
_ 14 — renda tiene la afección del minuendo, y un módulo igual á la suma aritmética de los módulos de aquéllos.
Asi, A — B ^ = {A -{• B)
a ff+a ^ ' 'a A ^ — B = {A -if B) ^ .
24. Si las afecciones de los datos no son iguales ni opuestas, no es posible efectuar algebraicamente la resta, en el sistema de representación adoptado hasta ahora, debiendo limitarnos á indicarla; asi la diferencia entre A y £^ es
A - B^.
25. Para que la diferencia de dos imaginarias sea real, se necesita y basta que stt» proyecciones sobre el eje imaginario sean iguales y del mismo signo [i8].
III.—Multiplicación.
26. La MULTIPLICACIÓN tiene por objeto, dadas dos cantidades, hallar una tercera, que sea, en magnitud y dirección, respedo de una de las dadas, lo que la otra es respecto de la unidad positiva inevoluble.
27. Sean OA y OB el multiplicando y el multiplicador (Figr. 7.»); llamemos A y fi d los módulos, a y 6 á los argumentos, que pueden ser positivos ó negativos.
El objeto de la operación es hallar una cantrdad que se forme con A como' JB^ se ha formado con la unidad positiva de argumento cero.
La formación del ^multiplicador B^ tiene dos momentos: en uno de ellos experimenta la unidad inevoluble una variación, en sentido progresivo ó regresivo según que sea -B > ó < 1, puramente modular, por la que adquiere un valor cuya relación con el primitivo es B, conservando su cualidad real positiva; en el otro, el módulo B gira alrededor del origen O en sentido positivo ó negativo hasta formar con su primera dirección el argumento b. Pues bien, el multiplicando A tendrá que experimentar así mismo un cambio puramente cuantitativo por el que adquiera el valor A x B, cuya relación con el primitivo es B, conservando su cualidad propia, expresada por el argumento a, y después modificar éste de tal modo que venga á ser con respecto á su primitivo estado a, lo que el b del multiplicador es con respecto á cero, argumento de la unidad inevoluble, y como la suma algébrica es la únicíi operación por la que del
— 15 -argumento cero puede pasarse al b, habrá que sumar al argumento a del multiplicando el b del multiplicador, siendo, por tanto, el del producto a + b.
Tenemos, según esto.
Es decir; Para multiplicar dos cantidades se multiplican los módulos y se suman
algébricamente los argumentos. 28. Efectuemos gráficamente la multiplicación. Llamando OC (Fig 7.*)
al producto de los valores absolutos de OA y OB, entre estas cantidades debe existir la proporción
OC __ OB OA T"'
donde OC es una cuarta proporcional á 1, Ofi y OA.
FIG. 7."
Para construirla, tomaremos en el multiplicador OB una longitud OU igual á la unidad modular, uniremos U con el extremo A del multiplicando, y tirando por el extremo B del multiplicador una paralela á UA, tendremos en OC el módulo del producto. Trazando una recta OC, que forme con el multiplicando OA un ángulo b igual en magnitud y signo al que el multiplicador OB forma con el eje OX, donde está la unidad inevoluble, y tomando en dicha recta una longitud OC = OC, tendremos en magnitud y dirección el producto OC.
29. Si los factores fuesen tres ó más, el producto de los dos primeros se multiplicaría por el tercero, y asi sucesivamente; por tanto
Para mtütipUcar varias cantidades se multiplican los módidos y se suman iügébricamenle los argumentos de todos los factores.
30. El orden de los factores no altera el •producto. Es evidente, dada la regla anterior.
— 16 — 31. En un producto indicado de varios factores, podemos sustituir dos
ó más de éstos por su producto efectuado. Igual razonamiento que en el número 16.
32. ün producto será real si la suma de los argumentos de los factores es cero ó un número entero de semicircunferencias.
Porque la recta producto caerá en el eje real, toda vez que su argumento es la suma de los argumentos de los factores.
El producto de dos imaginarias simétricas es real. 33. Para multiplicar una cantidad por una suma indicada, se mtdti-
plica la pi'imera por cada sumando de la segunda y se suman los productos parciales.
Porque esto equivale á efectuar con el multiplicando las mismas operaciones que se han hecho con la unidad para formar el multiplicador.
Como el orden de los factores no altera el producto, podremos también decir:
Para multiplicar una suma indicada por una cantidad se multiplico cada «umando por ésta y se suman los productos parciales.
Esta es la propiedad llamada distributiva. 34. Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplica cada sumando
de la primera por los de la segunda, y se suman todos los productos. Esta proposición es consecuencia inmediata de la anterior.
35. La regla de los signos, que traen todos los tratados de Álgebra, es caso particular de la multiplicación de las cantidades imaginarias, como debía suceder, puesto que las cantidades positivas y negativas son casos particulares de aquéllas.
En efecto: i+A). i+B) = A^. B„ ={A. B)^ = + AB ( _ A ) . {+B) = A^. B^ ={A. B)^ = -AB ( + A)- (— B)=A^. B^= (A. B) = — AB ( _ A). ( - B) = A^. B^ = (A. B\^= + AB.
Sin embargo, rigurosamente hablando, no es igual (-|- A) • ( + B) á (— A)- (— B), pues aunque los dos productos están en el eje real, sentido positivo, el argumento del primero es cero y el de! segundo una circunferencia.
36. En los resultados de la adición y de la sustracción no ejercen influencia las revoluciones completas que hayan podido verificar los módulos de aígfMJios datos alrededor del origen O; por tanto, deberá prescindirse en estas operaciones del número entero de circunferencias que contengan
— i r los argumentos, teniendo en cuenta solamente los restos menores que 2jr.
Sin embargo, cuando todos los datos contengan en sus argumentos un número entero común de circunferencias, descritas en igual sentido, el argumento del resultado contendrá el mismo número de aquéllas, á más del valor que le corresponda por razón de los excesos de los argumentos de los datos sobre el número común de circunferencias contenidas en ellos.
En efecto, llamando n al número de circunferencias comunes, y teniendo presente que
^2nn+a ~ \nn ^ ^a ' ^27rn+6 ~ ^2Kn "^ "' 6 ' ^2nn+c ~ ^2,
««"•^ ^2:rn+a + ^2.„+í, " ^2^n+c = \nn {K + ^í, " ^ e ) ;
si el valor de yl + 5. — C es Z , tendremos a 0 c X'
2n-n+a '" 2nn+b 2irn+c ^^ 2nn '*^ íc ~ 2Kn+x
37. La DIVISIÓN tiene por objeto descomponer un producto en dos factores, siendo conocido uno de éstos.
38. Para dividir dos cantidades se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Es consecuencia evidente de la regla dada para la multiplicación [27]. Por consiguiente
a b ^ 'a — b
39. Hallemos gráficamente el cociente de OC y OA (Fig. 7.*) Tracemos desde el origen O una recta OB cuyo argumento sea la di
ferencia entre los argumentos del dividendo y divisor, y tomemos en ella una longitud OU igual á la unidad modular; en el divisor O A tomemos una longitud OG igual á la del dividendo: uniendo A con f7y tirando por C una paralela á la recta de unión A U, obtendremos en magnitud y po-.sición el cociente OB, puesto que el argumento de esta recta es la diferencia de los argumentos del dividendo y divisor, y el módulo es el cociente de los módulos, como se ve en la proporción
OC _ OB OA ^ \ '
40. El cociente de dos cantidades set'5. real si la diferencia entre los argumentos de éstas es cero ó un número entero de semicircunferencias.
— 18 —
V.—Elevación á potencias de exponente entero y positivo. *
41. Elevar*una cantidad á potencia entera y positiva es repetir facto-rialmente la cantidad tantas veces como unidades tenga el exponenle.
42. Para elevar una cantidad á una potencia entera y positiva se eleva el módulo d dicha potencia y se multiplica el argumento por el exponente.
Es consecuencia de la regla de la multiplicación [29]. Por consiguiente
\ o/ V Jan' 43. Para obtener la representación gráfica de las potencias de una
recta 0A = A {Fig. 8.'), tómese en el eje real la longitud Oü igual á la
FiG. 8.«
\ \ 1/ 1/ 1/ -JD'- 'i'' '^
unidad y la Ok^ = O A, únase 17 con A, y trácese A"B' paralela á VA. La recta OS* es la segunda potencia del módulo OA, puesto que
OB' OA" , , . , nt» —777 ^-——T- = —7—, de donde OB' = OA . OA 1
— 19 — Tómese en el eje real una longitud OB" = OB', trácese B"C' paralela
á UA, y OC será la tercera potencia del módulo OA, porque OC OB" 2 3
= —7—, OC = OB" X0A = 0A X OA = OA. OA 1 Siguiendo la misma marcha, hallaríamos en OD' la cuarta potencia del
módulo OA, etc. Hecho esto, trácense desde O rectas indefinidas cuyos argumentos sean
2a, 3a, 4a..., y tomando en ellas longitudes OB, OC, OD... iguales respectivamente á OB", OC, OD'... se tendrá, en magnitud y dirección,
OB = (AJ, OC = (A^f, OD^(A^)\...
Las rectas que unen los extremos U, A, B, C, D... de las potencias forman una linea poligonal UABCD... cuyos lados representan cuantitativa y cualitativamente los incrementos sucesivos que experimenta la unidad
OU=(Aj al pasar de la potencia cero á la primera OA, de ésta á la segunda OB etc., puesto que
OU+UA = OA, OA+AB = OB, OB + BC = OC...
VI.—Extracción de raíces de índice entero y positivo.
44. Extraer la raíz de cierto grado de una cantidad es una operación, que tiene por objeto hallar otra cantidad que elevada á la potencia del mismo grado reproduzca la cantidad propuesta,
45. Para extraer una raiz de grado entero y positivo de una cantidad, se extrae la raiz del módulo y se divide el argumento por el índice de la raiz.
Es consecuencia de la regla dada para elevar una cantidad á potencia de grado entero [42].
Asi, n / n — \ ^/A^={i/A)
46. Este problema, que siempre se puede resolver numéricamente, sólo tiene solución gráfica, en el estado actual de la ciencia, cuando el Índice es potencia de 2.
Para hallar la raiz cuadrada de una cantidad A representada gráfica-
mente, basta hallar la media proporcional X entre el módulo A y la unidad, pues tendremos
-^ = ---¡-, de donde X = ^/ A . A. 1
El argumento de la raíz se obtendrá dividiendo el ángulo a en dos partes iguales.
Una raiz cuarta se obtendrá mediante dos raices cuadradas sucesivas etc. 47. Conociendo dos potencias consecutivas de una misma cantidad, po
dríamos hallar gráficamente la raíz y también la unidad modular. Fijándonos, en efecto, en los radios OU, OA, OB etc. de la linea poli
gonal UABC... (Fig. 8.'), se ve que cualquiera de ellos, á partir del segundo, es medio proporcional entre el anterior y el siguiente, y como los ángulos en O son iguales, los triángulos OUA, OAB, OBC... resultan semejantes, y, por tanto, son iguales los ángulos
OUA, OAB, OBC... así como también los
OAU, OBA, OCB... Esta observación, que permite pasar de la base OA á sus potencias su
cesivas OB, OC... por la construcción de la primera serie de ángulos, lo que simplifica la construcción de la figura 8.», permitirla pasar recíprocamente de una potencia cualquiera á la base, si conociésemos el ángulo constante OAU, y hubiera método geométrico para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales.
Pero si conociéramos en magnitud y posición dos potencias consecutivas, por ejemplo la sexta OF y la quinta OE, bastaría repetir el ángulo EOF cinco veces hasta OX, y formando los-ángulos OED, ODC... iguales al conocido OFE, iríamos obteniendo todas las potencias inferiores y, entre ellas, la base A^ y la potencia (-A )"» < sea la unidad modular OU.
VII.—Potencias y raíces de íadíce fraccionario ó inconmensurable.
48. Puesto que el exponente fraccionario indica una doble operación, á saber: la potencia cuyo exponente es el numerador y la raiz cuyo índice es el denominador, aplicando sucesivamente las reglas dadas, resultará de su síntesis esta otra:
Para elevar una cantidad á una potencia de exponente fraccionario, se
— 21 — eleva el módulo á la misma potencia y se multiplica el argumento por el exponeiUe.
Así,
(^.)"=\/{\r=v^" G-) La misma regla es aplicable á los exponentes inconmensurables, según
la teoría de los límites. 49. Como las raices se convierten en potencias mediante la división del
exponente de la cantidad subradical por el índice, la extracción de raíces de índice fraccionario ó inconmensurable podemos considerarla comprendida en el caso anterior.
Por consiguiente, Para extraer una raíz de índice fraccionario ó inconmeyísurable, se ex
trae la misma raíz del módulo y se divide por el índice el argumento de la cantidad subradical.
Así, m n.
^\={^ar={^"')an=(^^)^. a:
n
VIII.—Potencias y raíces dejüdice negativo,
50. Sea la potencia
cuyo exponente negativo es entero, fraccionario ó inconmensurable. Tenemos:
\ a) ^ 'an ^ ' ~an
Por lo tanto, la regla para elevar una cantidad á potencia de exponente negativo es la demostrada antes para exponentes positivos.
Siendo cierta la regla para las potencias, lo será también para las raices de índice negativo.
51. Las potencias enteras negativas pueden hallarse geométricamente.
— 22 -
Tenemos:
— 1 A i pero A X ^ = 1, de donde —- = 1 ^ - ^
Representando A^ por la recta OA (Fig. 8.'), tomaremos Ou' = OU=i, Y trazando por u' la u'a' paralela á AU, tendremos, para los valores absolutos,
OA __ OU . OA _ i Ou' ~ Oa' ° ~r' ~ "OaT'
luego Oa' = A~ \ Para hallar A~ ', tenemos
_ 2 —1 i , 1 A~ A = vi •>< A ó = 9 )
A ^ luego tomaremos Oa" •=• Oa' y trazando a ' t ' paralela á AÜ será
QM' _ ^« ' . 1 _ ^ ~ ' ' Oa" ~ Oh' ^ ~ ^ ~ ~W'
luego Ob' — A~^ • Tomando después en rectas cuyos argumentos sean — a, — 2a etc.,
longitudes Oa = Oa', Ob = Oh'... será, en posición y magnitud,
Oa = (A^ y \ Ob = (A^ y '^ etc. Uniendo los puntos U, a, h..., la linea poligonal Uáb... tiene iguales
propiedades que la UABC..., de la que es prolongación en sentido inverso; luego se simplificarla la construcción anterior formando los ángulos OUa, Oab... iguales al OAU.
IX.—Potencias y raíces de índice real .
52. En vista de los resultados anteriores, .podemos decir: Para elevar una cantidad á cualquiera potencia real, se eleva el módu
lo á la misma potencia y se multiplica el argumento por el exponente. Para extraer la raíz de índice real de una cantidad cualquiera, se ex
trae la raíz del módulo y se divide el argumento por el índice del radical. 53. Una potencia es real cuando el producto del argumento de la base
por el exponente de la potencia es cero ó un número entero de semicircunferencias; y una raíz es real cuando la división del argumento por el índice de la raíz da aquél resultado.
CAPÍTULO TERCERO.
CONSECUENCIAS DEL CAPÍTULO ANTERIOR.
I.—Interpretación de las raíces de grado par de las cantidades negativas.
54. Propongámonos extraer la raíz segunda de la unidad negativa. Tenemos:
J/-1 = i/i, = V 2
luego: La expresión \/— 4 representa la unidad modular dirigida perpert-
dicularmenle al eje real en sentido positivo. 55. COROLARIO 1." Multiplicar una cantidad por ^—1 equivaled
hacerla describir un ángulo recto en setitido positivo, sin variar su módulo. Siendo j / — 1 = 1 ^ , tenemos, en efecto,
T" A X t / ^ ^ = A Xi^ = A ,
T " + T donde vemos que el módulo de A no ha variado y el argumento ha aumentado en 90 grados.
56. COROLARIO 2.» Dividir una cantidad por [/—1 equivale d hacerla describir un ángulo recto en sentido negativo, sin variar su módulo.
Aunque se desprende del anterior, lo demostraremos directamente. Tenemos:
A : [/^^=A : \^=A a ' a n T
— 24 —
57. Si tuviéramos que extraer la raíz segunda de una cantidad negativa — A distinta de la unidad, seria
i / = : i = p / I7= (i/T)^ = a^, 2 2
llamando a á la raiz segunda del módulo A; pero
a„ = a X 4 ^ = ai/—i ; T T
luego / — A = a^/-
La expresión \/— Ada j / — \ representa una perpendicular al eje real igual en magnitud á la raiz segunda de A.
58. Sea la expresión — (/— i . Tenemos:
_ j / = : i = _ i X / ^ T i = 1^ X 1 ^ = V , 2 T
luego: La expresión — j / — i representa la unidad modular dirigida perpen-
dicularmente al eje real en sentido negativo. 59. Sean V [/'^ y — \/ [ / ^ .
Tenemos:
_ \ / ^ _ l = : _ l x V / / - l = í = l , x l ^ = \,^; 4 4
luego: Las expresiones V [/—1 y — K (/—1 significan respectivamente la
1 5 unidad modular con un argumento de -5 - ó -5- de circunferencia, ó sea, los radios bísectores de los ángulos primero y tercero de los ejes.
60. Sean \ / — / ^ y — V/— ^ / ^ . Tenemos:
V / _ j / _ l = ^ / i = i 3T 3T ' 4" T
_ V / - / - 4 = _ I X V / - í / - 4 = 1 „ X V = 4 ^ ; 4 4
luego:
— 26 —
Las expresiones V— [/— \ y — v— (/— 1 significan respectivamen-3 7 te la unidad modular con un argumento igual á —- ó -— de circunferen-8 o
cia, es-decir, ios radios hisectores de los ungidos segundo y cuarto de los ejes.
61. En general, sean /— 1 y — [/— í . Tenemos:
J / - 1 = ^/ l^ = 1 ^
2» 2
• 2 «
— T ^ — 2" 2 "
que representan las inclinaciones de la unidad modular indicadas por los argumentos.
62. Siendo 2n un número par cualquiera, tenemos: 2n 2»
7r 2ñ'
1 expresión de la unidad modular con la inclinación — del cuadrante.
n 63. Al hacer notar que la regla de los signos es un caso particular de
la multiplicación de las cantidades imaginarias [35], consignamos ya que los productos
(+ .1) . (+ B) y ( - A) . ( - B) no son rigurosamente iguales, aunque los dos están en el eje real, sentido positivo, toda vez que el argumento del primero es cero y el del segundo una circunferencia.
El considerar como iguales estos productos ha dado lugar á dudas, y aun á errores graves, en los resultados de ciertos cálculos con las imaginarias.
Para evitarlo, el único medio eficaz consiste en representar las cantidades por su módulo calificado por un argumento, y en la aplicación ex-tricta de las reglas demostradas en el capitulo anterior.
En corroboración de lo dicho, consideremos algunos casos, que además se presentan con frecuencia.
64. i." (/—I • >/—4 . Toda vez que — 1 . — 1 = + 1, resulta
pero, ¿la raíz de + 1 es + 1 ó — 1?
- 26 — Esta duda no puede ocurrir empleando el sistema de representación
adoptado en esta obra. En efecto, ^/=T • / ~ = / 1 ¡ ; • / í ^ = y/1^ = 1^ = _ 4,
ó bien i / ^ • i / ^ = 1 1 = 1 „ = — 1. T "2"
65. 2.» Aplicando á la expresión o ó a(/—1 el principio de que un radical no se altera multiplicando el Índice por un número y elevando la cantidad subradícal A la potencia correspondiente, será
si ahora admitiéramos la igualdad — a x — « = a*, resultaría
es decir, una imaginaria pura igual á una cantidad real, resultado evidentemente absurdo.
Para evitarlo, debe procederse asi:
y ahora no hay absurdo, puesto que
^ ( « X = «2. = % = « ^^-l
66. 3.0 -s/~i . - ^ - i = i ^ . i ^ = i ^ ; 2 2
es decir, la unidad puesta en el eje real, sentido negativo. Sin embargo, no puede decirse, en rigor, que este resultado es igual á
— 4, porque, si lo fuera, tendríamos
siendo asi que
2
67. 4.0 _ t / - 4 . V / ^ / - 4 = 13^ . 1^ = i,„ , _7r_
y como [60] 1,^ = - \/—[/—i , T
resulta — j / ^ • \ / j / ^ = — \ / — j / ^
— 27 -
AI mismo resultado nos hubieran conducido las reglas ordinarias del cálculo de radicales.
68. 5.0 _ / - ! . - V / - / - 1 = 13^ . 1 , , = 1,3„ = 1 ,^ , 2 4 r ^""^ T
resultado no idéntico á — >/— 1, si bien coincide geométricamente con éste, es decir, con la unidad inclinada en cinco ociantes positivos respecto del eje OX.
]ja.s reglas ordinarias del cálculo, toda vez que los signos menos exteriores á los radicales dan resultado positivo, y que al producto — 1 • — j / — 1 de las cantidades subradicales se le atribuiría el valor {/—1, darían
T es decir, la unidad inclinada en un ociante positivo, induciéndonos á error gravísimo.
1 0 69. 6.» —^— = ~j^ = 1 ,r .
2
Este resultado coincide con — j / — 1 , pero no es idéntico, pues si admitiéramos
debería ser 1 / = y— V—i = 1„„ ,
es decir, la unidad con la inclinación de tres ociantes positivos, mientras que
que es la unidad con dirección opuesta á la de Ig^
Multipliquemos ambos términos de — = por / — I , y será l/—1
1 _ J ^ .
si ahora admitiésemos que la división de (/— 1 por — 1 no produce otro efecto que cambiar el signo del dividendo, -seriamos inducidos á error, puesto que hallaríamos
' ^ ~ ^'
Lo que debe hacerse es poner [/—1 y — 1 bajo las formas 1 y 1„, T
y será _ K
1 ^ t / - l ^ T ^ ^ ^ ~ ¡ _ i 1^ - " '
1 que es el verdadero valor de — •
/ - I Á esta misma consecuencia conduce inmediatamente el corolario del
número 56,
70. 1.0 L^ =—1X-4::==1„ X l_2r =lj^— ^ / ^ . j / — 1 \/—i 2 2
71. 8.0 : i ^ = : _ l - = ! „ = = - ! .
2
72. 9.0 J ^ = _ ^ = l „ ,
2
resultado coincidente, pero no idéntico al del ejemplo anterior. 1,
\ / - | / = 4 73. 10.« - V - - ^ - - 1 ^ _ ^ ^ , -Vi/—i /—1 1
T 1
— i —
2
74. 11... \ / - | A - - l ^ _ ^ ^ ^ _ ^ ^ ^
2
que coincide con — \ / j / — 1 , sin ser rigurosamente igual.
II.—Realidad de las cantidades imaginarias.—Éstas pueden resultar de la extracción de raíces de cualquier
grado de cantidades positivas y negativas.
75. Se dice en los tratados de Álgebra que las raices de grado par de las cantidades negativas son imaginarias, y por mucho tiempo se han tenido como absurdas y de interpretación imposible.
76. En primer lugar, debemos rechazar el calificativo de absurdas. Según hemos visto, la raiz de grado par de una cantidad negativa se
representa gráficamente por una recta con determinada inclinación; es, por consiguiente, un objeto de realidad indudable, en manera alguna incompatible con las cantidades positivas y negativas, como el género no es incompatible ni contradictorio con las especies en él contenidas.
Convenimos en que no todas las cantidades admiten el concepto de cualidad de una manera tan lata; algunas hay también que no admiten ni los particulares conceptos de positivo y negativo; pero esto no es obstáculo á la consideración abstracta del concepto en toda su extensión. Si, al descender al terreno concreto, las cantidades que intervienen en un problema no son susceptibles de tal variedad de afecciones, nos limitaremos á considerar aquéllas que posean, y aun á la mera consideración de los valores absolutos, si el concepto de cualidad no es aplicable.
Convenimos también en que el valor imaginario de una incógnita indicará imposibilidad del problema, si aquélla, por su naturaleza, no es susceptible del modo de ser que le atribuye el ailculo; pero esto no significa que las imaginarias sean signo constante de imposibilidad: las soluciones negativas, las positivas fraccionarias, las enteras mismas, denotan la imposibilidad, cuando las especiales condiciones del problema exigen que la solución sea un número absoluto, un entero ó un número comprendido entre ciertos limites, y el valor hallado está fuera de ellos.
77. En segundo lugar, las raices de grado par de las cantidades negativas no son las únicas cantidades imaginarias, sino casos particulares de ellas.
Aparte de que las imaginarias tienen una existencia anterior á todo algoritmo, pueden resultar de la extracción de raíces de cualquier grado de cantidades positivas y negativas.
Para convencerse de ello, basta examinar los resultados
i
3 donde a representa la raíz del módulo.
78. También es corriente la proposición falsa: LM unidad tiene tantas raicen de cierto grado corno unidades tenga el
Índice. Lo que real y verdaderamente sucede es que existen tantas unidades
positivas como queramos, distinguiéndose por el número de revoluciones, y cada unidad tiene una raíz de cualquier grado y solamente una.
Dadas las unidades reales positivas 1 1 4
0 2ír ÍK U. ^ . •
ceras, por ejemplo, son 1 1 1
0 27r iff hn ^n-
3 3 3 3
y todas coinciden en dirección con las tres primeras; asi 1 ^ = 1^^ coin-1"
cide con 1 en el eje real, Ig , = i^^ , 2)r coincide con 1^^, puesto que T ^ T
ambas forman con el eje real un ángulo de 120» etc. Pero, aunque coincida 1 , con 1 , no son rigurosamente iguales, y
T T lo prueba el que extrayendo una misma raíz, la segunda por ejemplo, de estas unidades, los resultados 1^^ "i ^ „ so" distintos, puesto que los ar-
"3" T gumentos son respectivamente 240 y 60 grados.
Como caso particular de la proposición que rebatimos, se dice que la unidad tiene dos raices segundas, 1 y — 1. No es cierto: 4 es vaiz segunda de 1Q ó 1, y — 1 lo es de I j ^ .
- 31 —
CAPÍTULO CUARTO.
DIVERSAS FORMAS PE LAS IMAGINARIAS, Y CÁLCULO DE ÉSTAS BAJO LA FORMA BIN0MIA.
I .—Forma b inomia .
79. Dada una recta OB, comprendida en el primer ángulo XOY de los ejes (Fig. 9.«), si desde su extremo B tiramos la perpendicular BA al eje real, tendremos [42]
OB = OA + AB; llamando « á la longitud absoluta de OA y |3 á la de AB, será, puesto que
el argumento de OA es cero y el de AB es 2 ' OA— a, AB = ^ ,
pero
luego 2 2
OB « + ^ / - i .
- 32 -De igual manera se halla
OB' = — u + ^ ^ / ^ . Sea la recta OB", comprendida en el tercer ángulo X'OY' de los ejes. Tenemos:
OB" — O A' + A'B", pero 0A'= - a , ^ ' i í " = iS3 = ^x i3^ = | 3 x - /: T = _ ^ ^ z ^ í ,
2 2
luego OB" = — « —13 j/ITT . De un modo análogo se halla
OB'" = a — p ( / ^ . Suponiendo, ahora, que « y p representen cantidades reales, positivas ó
negativas, yendo, por tanto, el signo más ó el menos implícito en la letra, los cuatro casos considerados quedarán comprendidos en la forma general binomia
« + P \/^^ , donde « y /3 serán positivas, si la recta está en el primer ángulo, negativas si está en el tercero, a negativa y p positiva en el segundo, y a positiva y j3 negativa en el cuarto.
Si jS es cero, evidentemente lo es ;3 , como también jSg ; luego ^ (/—1 T T
será cero, y la forma binomia representará la cantidad real «, positiva ó negativa.
Si a es cero, el binomio se reduce á p ^—\ , y expresa la imaginaria pura, positiva ó negativa, según el signo de p.
Si a y jS son iguales á cero, será a -f j3 / H l = O .
Por consiguiente, Todas las cantidades reales ó imaginarias están comprendidas en la
expresión binomia « •\- p \/—1 , donde «• y p pueden ser positivas, negativas ó nulas.
Tiene esta notación el inconveniente de no acusar diferencia alguna entre cantidades de igual módulo y cuyos argumentos difieran en un número entero de circunferencias; pero es muy cómoda en las aplicaciones.
80. Si tenemos « + P iA=i = «' + /3' ^ /=^ ,
será « = «' , p = jS' ,
- 33 -
toda vez que coincidiendo las rectas representadas por a + P \/—1 y «' -\-.p' {/—1, sus proyecciones « y «' sobre el eje real y las /3 y p' sobre el imaginario, coinciden; luego:
Si dos imagitiarias puestas bajo la forma a + jS y'—1 son iguales, las p&rtes reales son iguales, como tambiáii los coeficientes de (/— 1 .
81. Representando una recta que parte del origen O por A^ , donde A es el módulo y a el argumento, y por « y ^ sus proyecciones sobre el eje real y sobre el imaginario, tenemos por la Trigonometría
a = i4 eos a, p = A sen a. Estas igualdades son ciertas, cualquiera que sea el argumento a, no
solo para los valores absolutos, sino también para los signos, puesto que « y jS tienen los mismos que eos a y sen a respectivamente.
Poniendo los anteriores valores de « y /3 en la expresión binomia « + P [/'—1, tendremos
A^^ A (eos a + sen a • {/— 4^ .
82. Este resultado nos permitirá pasar, siempre que sea conveniente, de la forma módulo-argumental A^ á la binomia « + jS [/—i , representando por « y p los valores de las proyecciones A eos a y -A sen a del módulo A sobre los ejes real é imaginario.
EJEMPLOS.
2jr 27r • 83. 1.» Ig^ =cos— -i- sen — • t/—4 = eos 120» +sen 120» - l/—i,
T pero
1 i /3 eos 120» = ^ eos 60" = — sen 30» = — —, sen 120» = sen 60» = — - ;
1 , ( /¥ .—7 . . - 1 - 1 - s/^^ '»ego i^^ = ~ ~ - \ - ^ ^ - i o 1 ^ = ^
3 3
84. 2.» 1 = c o s — -V-sen-^ • v/—1 = eos240» 4-sen 240» • [/—\, o o
3 1 1/3
pero eos 240» = — eos 60» = — -g-, sen 240» = — sen 60» = — ~-;
luego 4 ^ = _ - _ J : ^ ^ / _ 1 O 1 ^ = 2 3 3
3
- 84 — 85. Las cantidades
2 ' 2 han sido consideradas, por mucho tiempo, como las tres raices cúbicas de la unidad positiva, fundándose en que elevándolas al cubo dan por íesul-tado 4- 1: asi sucede, en efecto, aplicándolas el cálculo ordinario; pero, escribiéndolas en la forma módulo-argumental
4 4 4
las terceras potencias son respectivamente 4 4 4
esto es, tres unidades positivas, distintas por sus argumentos, si bien coincidentes.
86. 3." 4 = c o s ^ + sen-^ • j/—4 = cos60«+sen60" • i / ^ ^ , ^ o o a
4 i / ^ pero eos 60" = — , sen 60» = ^-—- ; Jé A
luego ^ ^ = 2" + 2 • / - * =" 2 •
87. 4.» 4^ ^ eos TT + sen w • \/—\ , pero eos n- = — 4 , sen «• := O ; luego • 4„ = — 4 .
2„ 5^ 88. 5.» 4, = c o s — + sen— • t/—4=:cos300» + sen300» • i/—4,
'Y 4 i/^
pero eos 300» = eos 60° = — , sen 300» = — sen 60» = — - ^ ; 4 >/3" .—7 1 - /^=3
•" « 5 = T - 2 * - = 1 3
89. Los resultados 1 + t / ^ _ . i - / ^
2 ' ' 2 han sido considerados como las tres raices cúbicas de la unidad negativa: en realidad son las raíces cúbicas de
4 4 V 4
— 35 -Q 2JJ
90. 6." 1„ = eos -; + sen — • i/—1 == cós 72» + sen 72» • (/—1; 2ff 5 5 r >
^o ^ —1 + | / 5 „ 2 \ / 1 0 + 2 L / 5 pero eos 72° = sen 18» = ——, sen 72» = '-—?— ;
. ^ —4 + 1/5 + \ / l 0 + 2p/5 J / - 1 luego i^^ = ^
5
91. 7.» l._ = cos— + sen -=- • j /—l=cosl44°+senl4i» • i/—1, 5
pero 8 "1 j _ </5 4 \ / l O 21/5
eos 144» = — sen 54» = ^^—^—; senl44»=sen 36» = ¿—í^: 4 4
luego 1. = — 1 —^/5 + V^IO—2(/5 j /—1 4ir 4
92. 8.» l„„ = cos— + sen — • i / ^ = e o s 2 1 6 » + sen2l6" • l A ^ , ,5
pero -I J_ i/'s l / l O 9 ( / ^
eos 216» = —sen 54» = 1-?—, sen216»=—sen36°=— ^ ; 4 4 ;
_ 1 _ j / 5 _ V/lO — 21/5 t / - 1 luego le^ = 1
O ^ Q
93. 9.» lg^ = cos— + sen — • /—!=eos288» +sen 288» • ^ / ^ , ir
pero
eos 288» = eos 72» = ^t^^^ «^n 288» = - sen 72» = - j " ^ * ^ ^ ;
luego 1„ = 1 + ^ 5 _ \ / l O + 2 t / 5 >/—1
.•i
94. La unidad inevoluble y los resultados de los cuatro ejemplos íilti-
^ Mitad del lado del decágono convexo. ^ Mitad del lado del pentágono estrellado. ^ Mitad del lado del decágono estrellado. * Mitad del lado del pentágono convexo.
— s e rnos se han considerado por mucho tiempo como las cinco raices quintas de la unidad positiva: en realidad son las raices quintas de
95. Si de la forma « + p ^ / ^
queremos pasar á la A , tendremos que hallar el módulo A y fel argumento a en función de a y |3 .
De las igualdades « = A eos a p =: A sen a
se deduce, sumando sus cuadrados , a + P = A ,
I / 2 2 luego A ^= V a. -\- p .
El módulo de una imaginaria, puesta en la forma binomia «4-/3 /— 1 , es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del término real y del coeficiente de (/— i .
96. El argumento a puede hallarse por cualquiera de las relaciones siguientes:
a P P eos o = -—-, sen a = -'-r-, tg a := -'— • A A a
La última es más ventajosa, por ser independiente del módulo; pero debemos hacer una advertencia importante relativa á los argumentos dados por su tangente.
Conocida es la expresión general de todos los arcos que tienen la misma tangente,
a + nir, donde a representa el menor arco positivo correspondiente á la tangente dada, y n un número entero, positivo ó negativo.
Los argumentos no tienen, sin embargo, tanta generalidad; porque han de satisfacer además á las condiciones
a P eos a=::—- y sen a = -^^ ; A A luego necesitamos determinar el menor arco positivo a que cumpla con .ellas, pudiendo después sumarle un número entero, positivo ó negativo, de circunferencias, pero no un número entero de semicircunferencias, pues si bien ésto no alteraría el signo ni el valor de la tangente, cambiarla los signos del seno y del coseno.
— 87 —
EJEMPLOS.
97. 1.» « + ^ [/—i — í + [/—i .
El módulo V^c? 4- p* es A = 1 ^ 1 ^ + 1^= ^/2 .
El argumento a es el arco cuya tangente es — = i , y como este dato
no basta para determinarle, puesto que a podrá valer x * T ' ^^^^^^~ s «
mos presente que siendo A un número absoluto, el .seno - j y el coseno — tienen los mismos signos que p y «, luego son positivos, por tanto a = —,y
4 1 + ^/—í = ^/2
98. 2." a + |S [/^ = — 4 + /— 1 .
El módulo es también V^l^ + 1* = (/2 . El argumento a es el arco cuya tangente es — 4, pudiendo ser -7- ó —,
4 4 mas como el seno es positivo y el coseno negativo, será a = —•, luego
/ 4
99. 3.0 , + ^^/•=J[= t 3 + t / - i
El módulo esA=.\/ (^j + (1A = 4 .
4 1 /^ El argumento a tiene por tangente —r= = -i-—, y, como termina en el
V/3 3 ir
primer cuadrante, es a = 30" = —; luego
100. i.o « + /3 / i : i = - / 3 + ^ / - l
Tenernos A = y {~-p-) + (•^) = 1 , -~^(:-i 1/3
tgaz= ^ = - ^-—•, 1/3 3
5;r como el seno es positivo y el coseno negativo, será a =: 150" = —-, luego
2 ^ •
104. 5.» « + ,6 ^/==I = 4 — 3 ^ / ^ .
Tenemos A — V i + 3* = 5 , 3
tg a = ~ ^ . Siendo negativo el seno y positivo el co.seno, el arco a termina en el
cuarto cuadrante. Las tablas trigonométricas dan
o = 323° 7' 48",36 = 5,6396842 ;
luego 4 - 3 \/^^ = \^^^^ . 102. 6.» a + ^ / ^ = — 2 / ^ .
Tenemos A = >/4 = 2 , S 2 3jr
' 8 « = T ^ - O" ^ - * ' " = ¥ ' luego - 2 > / = ! = 23^ .
"T 103. Escribiendo las imaginarias bajo la forma bínomía « + jS \/— 1 ,
pueden efectuarse algebraicamente con ellas todas las operaciones, obteniendo resultados de igual forma.
Adición.
• („ + ^ /HT) + („' + |3V^) = («+ «') + (i3 + P') /=^ • Sustj'acción.
Multiplicación.
(« + ^ i/=i) («' + isv=l) = (« «' - ^ /s') + (p «' + « ') |/=^ .
División.
^'^pyiri u'^ + f «•''' + f «!'' + f
Elevación á potencias y extracción de raices.
Siendo m cantidad real, tenemos por la fórmula del binomio,
(«+is>/—ij = « +»M« p^/—-iH—^-2j—^« /s (>/—1)4-
TO (m —1) (m — 2) m-3 ^3 / / ^ ^ \ ^ , »» (m — 1) (m — 2) (m — 3) 31 '4!
« is W—V + • • • ; pero las potencias de j / — 1 son :
(/=!)'= / ^ , (y=í )'= - 1 , (/=!)'= - / = ! , ( »/^) '=1, y se reproducen periódica é idénticamente de cuatro en cuatro, puesto que no debe tenerse en cuenta el número entero de revoluciones que afecta al módulo 1 desde la cuarta en adelante, y que las diferenciaría, toda vez que han de entrar en una suma [36]; luego
( , c /—T^*" "'_L^ " ' - '« / - ^ m(m—1) ,„_2 2 m(m—l)(m—2)
m-i «3 /—J , m (m — 1) (m — 2) (wi — 3) n,_4 4 « ? y—^ i ~^7 « j3 . . .
Representando por A la suma de los términos reales y por li la de los coeficientes de \/— i , tenemos
(« + ^ i/^iT= A + B s/^\ . 104. La forma trigonométrica [81]
A (eos a -\- sen a . \/— l) conduce en la multiplicación, división, elevación á potencias y extracción de raíces á resultados más sencillos que la a + p\/—1 •
- 40 -En efecto [27, 38 y 52]:
X(oosa + sena . V—l) x B(cosb + sen6 . V—l) = ^B[oos (a+6) + sen (a+6) . V— í ] ,
Á{oosa + sena. V—l) : B ( O O 3 6 4- sen6. V — l) = -—[cos (a -6 ) + s e n ( a - 6 ) . V—ij , B
[ 4 (eos a + sen a. V—l)J = A (eos am + sen am. V—l) .
105. Tiene además esta forma, como la módulo-argumental, la ventaja de estar en ella de manifiesto el módulo y el argumento, lo que permite expresar las circunferencias completas que contenga éste; si vale ÜTcn -\- a, donde n es número entero, la imaginaria será
A [eos (2rrn + a) + sen (27rn + a) • j / — l ] . 106. Guando los datos de la adición ó sustracción sean numéricos, y
se quiera hallar el valor del resultado, pueden expresarse aquéllos bajo la forma binomia « + |3 j/—1 , y efectuar la suma ó resta como en el número 103. Llamando X y te al módulo y argumento del resultado, tendremos:
Para la adición, Z = \/(a + «')' + (i3 + p'f
sen X = ^ , eos x = —=—, tg x = , ' , • A A a -(- a
Para la sustracción, X = \/(« - «')' + (13 - ?'f
3 — S' a — « ' /3 — iS' sen X = ^-~-, eos X = —-—, tg x = ^ !-, • A A a — a
En las demás operaciones deberá preferirse la forma módulo-argumental .4 .
a Más adelante [120J expondremos un procedimiento trigonométrico para
efectuar las sumas y restas de imaginarias numéricas.
II.—Forma monomia.
107. Toda cantidad imaginaria puede escribirse en la forma n
A i/-i , donde A es el módulo y n un número real, entero, fraccionario ó inconmensurable.
— 41 —
Sea la imaginaria A . Llamando n al cociente — , de la relación
n = — se deduce a = — , a n n n
luego A ^ = i 4 x l ^ = A x l ^ = v l x ^ / ^ „ = A [/—i . n
108. Se pasa de una de las formas
A^ , A^^i ú la otra, teniendo presente la relación entre a y n
K
a
EJEMPLOS.
1.» 1 , H = — = 2 , luego 1 „ = /— 1 . T ^ T
;r í 2." 1^ , n = — = 1 , luego i^ ;= >/— 1 = — 1 .
2
3-" 3;r ' " = £ = I ' '" «0 3;r = 1^-^ == V/(- if = - /=^1 s 2 - 2 2
1
*•" 4>r ' " = ¿ = i ' »»eg0 Ij^ = ( / - Í = ( - 1/ .
5.» 1 , n = — = 4 , luego 1 = i/—1 = V \/—^ •
T 4
4
•" 5!í' * = £ = í-' luegol,^=t/-l-V/(-l/=-V/i/-l . T
109. Si la imaginaria está bajo la forma A (eos a + sen a • / — l ) =A^ ,
tendremos A (eos a + sen a • [/-—i) = A (/— 1 ,
donde n =: — • a
- 42 -
CAPÍTULO QUINTO.
APLICACIONES DE LAS IMAGINARIAS Á LA TRIGONOMETRÍA.
I.—Fórmulas fundainental(>¡s.
110. La suma sincategoremática de los tres lados de un triángulo es igual á cero.
Es decir {Fig. 10."):
AB + BC -\- CA = Q (a). Esta proposición es evidente [13J, puesto que AB -\- BC = AC,
y 4C + CA = 0. 111. Representemos, como es costumbre en Trigonometría, por a, b, c
los valores absolutos ó módulos de los lados del triángulo ABC, y por A, B, C los ángulos.
La igualdad (a) puede ponerse en las formas BC + CA = BA CA + AB = CB AB + BC = AC .
Tomando primeramente para dirección positiva del eje real la BC, después lu CA y, por último, la AB, y empleando la representación trigo-
— 43 —
nométrica de las imaginarias, las expresiones anteriores se convierten en las tres ecuaciones, formas explícitas de la relación fundamental (a),
a + 6 (— eos C -f- sen C • ^ / ^ ) = c (eos B + sen B • j / ^ ) (1) 6 + c (— eos A H- sen ^ • ^ / ^ ) — a (eos C -f sen C • j / ^ ) (2) c + o (— eos fi + sen B • ^ / ^ ) = b (eos A -|- sen A • ^A^) (3). Bueno será observar que se pasa de cualquiera de estas relaciones á
la siguiente mediante la permutación circular de las letras a,b,c y ^^ ^ ' ^•
II.—Seno y coseno de la suma de dos argumentos.
112. PHOBI.EMA. Hallar los senos y cosenos de la suma y de la diferencia de dos arcos, en función de los senos y cosenos de dichos arcos.
Llamemos « y |3 á los arcos, cuyos senos y cosenos son conocidos, y tomemos en una circunferencia los arcos AB y BC {Fig 11 .•) iguales respectivamente á 2a y 2|S, inscribiendo el triángulo ABC.
FIG. 11.'
Igualando las partes reales de la ecuación (2), tenemos 6 c eos A -f- « eos C ,
c <¡t de donde 1 = — eos A + — eos C ;
o o pero, igualando los coeficientes de / — I en (1) y (3), vemos que
c sen C a sen A h sen B ' b sen B '
sen C . , sen A luego 1 = 5 eos A -\ eos C ;
^ sen B sen B sustituyendo el ángulo B por su suplemento A + C, y reemplazando después cada ángulo por su medida, resulta
sen (« -f- |S) = sen « eos /S -f- sen ¡S eos « (4).
— 44 -Esta fórmula, demostrada para dos arcos positivos « y |3, es igualmente
cierta, según el principio de Descartes, para un arco positivo y otro negativo, y para dos negativos, como puede comprobarse mediante la demostración anterior ligeramente modificada.
Si el arco jS es negativo, poniendo el signo en evidencia hallaremos sen (a — |3) = sen « eos ¡5 — sen ¡3 eos a (5).
Sustituyendo en (4) el arco « por su complemento — — «, teniendo presente que
sen / •-— a + |S j= : eos («—jS), sen/ — — « )=eos a, cosí —— « j=:sen «,
se obtiene eos (« — p) = eos « eos p -|- sen « sen p (6).
Si el argumento p es negativo, poniendo en evidencia su signo será eos (« + p) ^ eos « eos p — sen « sen p (7).
• 113. Otro método. Efectuemos la multiplicación siguiente (eos a + sen « • j /—l) X (eos p + sen p • | /—l) ,
por las reglas de los números 27 y 34, é igualando los resultados, tendremos: eos (« + P) -|- sen (« + p) • / — í = (eos « eos p — sen « sen p) +
(eos « sen p -|- sen a eos p) / — 1 . Igualando las partes reales y los coeficientes de (/— 1, se halla
eos (« 4- p) = eos a eos p — sen « sen p sen (« 4- P) = sen « eos p -f- eos « sen p.
I I I .—Resolución de los t r i ángu los rec t i l íneos .
114. Primer caso. Datos a, i>, C; incógnitas c, A, B. Llamando x al valor cuantitativo-cualitalivo del lado AB, tenemos (1)
x = a -\-h{— eos C + sen C • (/— l ) ó as := (a — b eos C) + h sen C • /— 1 , luego el módulo de x, ó sea, la longitud de AB es
c = V/(a — h eos C)' -f h^ sen* C = \ / a^ -f b' — 2a6 eos C (8). Dispongamos esta fórmula para.el cálculo logarítmico.
— 45 — Haciendo
eos C = 1 — 2 sen^ ~ C resulta
c^=a^ + fc^ —2a& + 4afcsen^-2-C = (a —fc)* + 4afesen^-|-C
[ 4 «6 sen^ 1^ G\ 2
(a — b) J eos y , o — i> luego c = , eos y
donde el ángulo auxiliar y es el dado por la relación i —
2 sen — C • j/ofe t g ? = r •
a — o
En el caso particular a = b, sería c = — , pero remontándonos al
primer valor de c , tendríamos 4
c = 2o sen -^ C . , . , • , ^ -^ i i ¡ El argumento de x, ó sea el ángulo J5, lo hallaremos teniendo presente ; ^ vJ
que el módulo de se es c, y como t * \ x = (a — b eos G) + b sen G • (/— 1 ,
será [96] a — b eos C „ í» sen C „ 6 sen C
eos B = , sen B = , tg B =
c ' ' c ' o — 6 eos C La segunda fórmula es muy cómoda para calcular el ángulo B, asocián
dole la primera, si es menester, tan solo para averiguar el signo de eos B, y decidir, en su vista, si el ángulo es agudo ú obtuso.
Cuando se prefiera la b sen C
^ ^ = ^ 3 6 ^ ^ ^ (' ') ' por dar el ángulo B en función de los datos a, by C, habrá que disponerla convenientemente para el cálculo logarítmico.
Podríamos ahora determinar el ángulo A como suplemento de 5 + C, pero es preferible hallarle directamente por la fórmula
. a sen C ^ ~ i. - a eos C '
que se deduce de la (9) permutando B con A y 6 con a.
- 46 -
115. Expongamos otro método para resolver el primer caso. Sumando las partes reales de las expresiones (1) y (2), resulta
(a + 'O (1 — eos C)=: c (eos A + eos B), de donde
, , . , H ÜCOÁA+B)COSI(A-B) sen^Ccos i (A-B) a-\-b cosyl+cosB__ 2 2 2 2 c ~ 1—cosC ~ „ 2 1 ,, 2 1 „ '
2 sen - (-' sen - C
luego "^^ = í—j (10). sen-C
Restando las mismas partes reales, será (a — í») (1 + eos C) = — c. (eos yl — eos B),
de donde
« - 5 _ . c o s ^ - e o s B j ^ ^ 4 ^ ^ + ^ > ^ ^ 4 < - ^ - ^ > _ ^ 4 ^ ^ ^ 4 ^ ^ - ^ > 1+cosC „ _ 2 l „ ^ ^ ^ a l ^ '
luego — ; ^ = j (11)-
Dividiendo las ecuaciones (10) y (11), resulta
2 eos — C
sen—(4 — B)
1 c o s - C
a + b_'^"4^^-^>/'4^ a — h 1
s e n - {A- «) eos 1 2 C
a 4- 6 a — 6
cot 4<^ — B) (' t í ' a 4- 6
a — 6 1 C (' ó bien
Esta relación puede escribirse también a.si:
" - ' t g i ( ^ - B )
1 1 puesto que tg — C = cot — (A + B).
— 47 —
1 La ecuación (12) nos da el valor de -^ (Á — S), y como se conoce
i i — (A + B) = 90» — — C, pueden hallarse A y B.
El lado c se deducirá de la ecuación (iO) ó de la (11). 116. Segundo caso. Datos a, h, B; incógnitas A, C, c.
Igualando los coeficientes de j / — i en la expresión (3) se obtiene D I . í j j j . a s e n J 5
a sen J3 = o sen A, de donde sen A = b
fórmula que exige la condición b '^ a sen B ó b = a sen B, puesto que el seno de un ángulo es menor ó igual á la unidad.
Tratemos de hallar el lado c y el ángulo C en función de los datos. De la expresión (1) se deduce
b' := a' -\- c — 2 a c eos J3, ó sea
c — 2 a c eos B -\- a — b = 0 ; resolviendo esta ecuación de segundo grado con respecto ác, tendremos
a eos B ± V a eos B — o -j- b 2
Ó c=acos B ±\/b^ ~ a^ sen^ B (13). 1.a misma expresión (1) da
b sen C =: c sen B ; despejando sen C, y sustituyendo c por sus valores hallados (13), resulta
sen C = ? ? | ^ (a eos B ±: \/f)^ - a sen^fi ) (14).
Discutamos las fórmulas (13) y (14), suponiendo satisfecha la condición 6 > o sen B.
Si el ángulo B es agudo, las incógnitas c y sen C tendrán dos valores positivos, y el problema dos soluciones, cuando sea
t2 Ü 2 2 2
a eos B > b — « sen 2J ó a > 6 ; pero los segundos valores de c y sen C serán negativos, y habrá, por tanto, una sola solución si.
a eos B <Z b — a sen B ó a < 6 . Si B es obtuso, hay que desechar los segundos valores de c y sen Cj
por ser negativos; los primeros serán positivos cuando tengamos 2 á 2 2 2
a eos B <^b — a sen J5 ó o < 6 , y habrá una solución; pero si a > f», el triángulo será imposible.
- 48 — En el caso particular h^= a sen B, el ángulo A es recto, puesto que
sen A = 1, y las fórmulas (13) y (14) dan c = a eos B, sen C = eos B,
como debia suceder, por ser el triángulo rectángulo en A. No transformamos las fórmulas (13) y (14) en otras mejor dispuestas
para el cálculo, porque no se emplean en la práctica, prefiriendo hallar C por la relación
C = 180» — (A + B), y c por la ecuación
b sen B c sen C
117. Tercer caso. Datos a, b, c ; incógnitas A, B, C. Llamando x al valor cuantitativo-cualitativo del lado a, tenemos (2)
X = b -\- c(— eos A -\- sen A • )/—l) , luego
2 2 9 2 2 2
a = (6 — c CCS A) +c sen A = : 6 + c — 2 6 c eos A , de donde
1.2 I 4 2 b 4- c — a eos A := 26c La transformación de esta fórmula es muy conocida.
118. Cuarto caso. Datos a, B, C; incógnitas A, 6, c. Tenemos:
A = im>~(B+C), Igualando en cada una de las expresiones (3) y (2) los coeficientes de
\/—1, será a sen B ^ 6 sen A , c sen A = a sen C ,
de donde a sen B a sen C 6 = sen A ' sen A
119. Observación general. Según acaba de verse, basta conocer las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente, y las elementales relaciones entre las de un mismo arco, que se deducen inmediatamente de las definiciones de aquéllas, para hallar las fórmulas fundamentales de la Trigonometría, y resolver los triángulos rectilíneos en todos los casos, con el poderoso auxilio de las cantidades imaginarias.
La Trigonometría queda, pues, reducida á una simplicisima é inmediata aplicación de las cantidades rechazadas por tanto tiempo como absurdas é incapaces de interpretiición racional.
- 49 -120. Las sumas y restas de imaginarias numéricas pueden efectuarse
trigonométricamente. Sea la suma A + B^, donde a y fc son menores que 2jr. Tenemos:
A +£^=i fA + B, ] ==i (A + B\, a ' b al ' • b—aJl a\ ' d / '
representando por d la diferencia b — a , < Llamando X^ á. la suma A -j- B^, tenemos
A +B ( cos d + sen d . f / ^ ) = X^
¿ (A + Bcosd) + B sen d • ( /^4 — J^. . El módulo de la suma es
X = VJ^ + JB^ — 2 A JB eos d', donde d' representa el suplemento de d.
Aplicando la transformación hecha en el número 114, será
2 s e n l d ' . , / ^ . ^ ^ ^ ^ (•* >' ''«"'^^ '^' = T ^ : ^ < > • El argumento x puede hallarse por la fórmula
JSsend sen O) = — ^ — (17),
y, para averiguar en cuál de los cuatro cuadrantes termina el arco as, quedando éste determinado, bastará examinar el signo de eos x en la expresión
J4 + B eos d eos X = •
Una vez hallado este argumento, se sumará algebraicamente con a, para obtener el argumento de la suma referido al primitivo eje OX.
EJEMPLOS.
1." Efectuar la suma 7 + 5 •
y Tenemos
A = 1, B = 5 i 57o 47' 44» 81
a=~= ' ^ ^ ^ ^ > ° ^ =:: 19o 5' 54"^ 93 o o
^ Esta trajisformación equivale al cambio de eje real, tomando el O A en lugar del primitivo OX {Fig. 3.«).
— 50 — b = 2 = (57» 17' W, 81) X 2 = 114» 35' 29», 62
b — a = rf = 95» 29'34", 69, d ' = 84» SC 25", 31. Aplicando las fórmulas (15) y (16), que en este caso particular se re
ducen á
^' = c ^ ' t g , = s e n l d ' . i / A f i ,
los cálculos serán
log sen 4" ' ' = 1,8276356 iog 2 = 0,3010300
log [/JW = 0,7720340 log eos ? = 1,3870246
log tg ? = 0,5996696 log X = 0,9140054 <P = 75» 53'21",74 X = 8,2036176
Examinando las fórmulas B sen d A + B eos d sen X = — - — , eos x := ,
se observa que el arco x termina en el primer cuadrante, toda vez que el seno y el coseno son positivos; para calcularle emplearemos la primera:
log sen X = log B + log sen d + c.'» log X log B — 0,6989700
log sen d = í,9980011 c.'« log X = r,0859946
log sen X = 1,7829657 X = 37» 21' 1",56 a = 19" 5' 54'',93
56» 26' 56",49 = 0,9852213; luego '^i_+\ = 8.2036176^^^^3 .
3
2.» Efectuar la suma 1 ^ -|- 1 . 5"
Tenemos: A = 1, B = 1
a = 4- = 11" 27' 32",96 , b = 6 = 343» 46' 28'',86 5
h — a = d = 332» 18' 5D",90 , d' = — (152» 18' 55",90),
_ 51 -Aplicando la fórmula
1 c = 2 a sen -— C ,
hallada en el número H4, que ahora es \
Z = — 2 sen — (i' = 2 sen (76» ÍK 27",95), tendremos
]og2 = 0,3010300 log sen (76»...) = 1,9872005
log X = 0,2882305 X = 1,9419161 .
Examinando las formulas B sen d A 4- B eos d sen X = — - — , eos x = , A X
se ve que el arco x termina en el cuarto cuadrante, toda vez que el seno es negativo y el coseno positivo.
La primera de ellas, cambiando los arcos xy d por 360» — a; y 360» — d, lo que no altera los valores absolutos y hace positivos á los dos miembros, se convierte en
.n^n. ^ ^ eH (360» — d) sen (360» — as) = • —
Ji.
log sen (360» — a;) = log £ + log sen (360» — d) + c.'» log X • log B = 0,0000000
log sen (360» — d) = 1,6670811 c.'» log X =1,7117695
log sen (360» — x) = 1,3788506 360» —ce = 13»50'32",05
£c = 346» 9'27",95 a = 11» 27'32'',96
luego 357» 37' 0'',91 = 6,2415927 ;
1 ^ + 1 = 1,9419161,^,^ 5
3." Efectuar la suma 1 + 1 .
4 4
— 52 -
Tenemos, puesto que d = d' = —, eos d' = O, sen d = i , M
V /'K 1 l /2 * , TT A := / 2 , sen X = —:zz = -— , x = — , x -\- a = — ;
p/2 2 4 2 luego
4 4 2 resultado fácil de prever.
121. La sustracción se convertirá en adición cambiando el signo del sustraendo.
Asi, A —B,=A +(—B,\=A +B_^,.
- 53 —
CAPÍTULO SEXTO.
LA GRADUACIÓN EN GENERAL.
I.—Concepto de la graduación.
122. Toda vez que las raíces pueden convertirse en potencias, trataremos estas dos operaciones inversas como una sola, bajo el nombre genérico de graduación, empleando con preferencia la forma potencial.
Hemos estudiado ya la graduación para exponente real, siendo la base cualquiera; ahora nos proponemos resolver el problema de un modo enteramente general, es decir, considerando base y exponente imaginario.
423. El algoritmo de la graduación está definido de una manera pt-e-cisa, para exponente real.
Partiendo de la definición ordinaria de potencia entera y positiva, que considera á ésta como producto de varios factores iguales á la base, se define la potencia de exponente fraccionario como el resultado de someter la base á dos operaciones sucesivas, á saber: la extracción de la raíz indicada por el denominador del exponente, y la elevación á la potencia que expresa el numerador; y la potencia de exponente negativo, como el resultado de partir la unidad por la misma potencia haciendo positivo al exponente. En cuanto á la potencia de exponente inconmensurable, se mira como el limite de las potencias que se obtienen sustituyendo aquél por números conmensurables que se le aproximen indefinidamente.
Bien examinados los diferentes casos se ve que: La GRADUACIÓN es un algoritmo cuyo objeto es derivar de un número
conocido, llamado BASE, otro número ó POTENCIA, jior medio de operaciones superiores en un grado á las que se han efectuado con la unidad absoluta para formar un número dado, llamado EXPONENTE.
— 54 — Son superiores en un grado: la multiplicación á la adición y la división
á la sustracción. Sea la potencia de exponente entero a El exponente n es la suma de n sumandos iguales á la unidad, luego la
potencia a" es el producto de n factores iguales á a. 1
Sea la potencia de exponente fraccionario a " . 1
El exponente — se forma descomponiendo la unidad en n sumandos j_
iguales y tomando uno de éstos, luego la potencia a " se obtendrá descomponiendo a en n factores iguales y tomando uno de éstos.
m Sea o " .
m El exponente — se ha formado descomponiendo la unidad en n SM-m
mandos iguales, y reuniendo por adición m de éstos; luego la potencia a " se obtendrá descomponiendo a en ?i factores iguales y reuniendo por mwí-tiplicación m de éstos.
Sea o~" una potencia de exponente entero negativo. El exponente — n es la. suma de n sumandos iguales á — 1, es decir,
tomados á partir de cero, origen de las cantidades que se generan por suma, en sentido contrario al de + 1; luego la potencia a~" es el producto de n
factores iguales á —, es decir, tomados á partir de 1, origen de las cantidades que se generan por producción, en sentido contrario al de 1 x a.
Por tanto, 1 „ 1 1 1 i
a 1 1 1
= — X — X — a a a a Ó bien, si atribuimos al exponente negativo un origen ó procedencia
algorítmica, — n es la suma de n sumandos en que la unidad obra como sustraendo, luego a~ " es el producto de n factores en los que la base a obra como divisor.
124. Están, pues, bien determinados los efectos de la acción del exponente real sobre una base cualquiera, pero no sucede así con el exponente j / — 1 , cuya singular influencia sobre las cantidades á que afecta ha venido á conocerse por medios indirectos, fundados en la fórmula del binomio, y no por procedimientos directamente sacados de una definición, como seria de desear.
65
I I . — S e r l e s l u n d a m e n t a l e s . N ú m e r o s e y E.
125. No siéndonos posible definir de un modo directo la exponencial imaginaria, admitirenrios convencionalmente que la fórmula del binomio, generalizada ya por los matemáticos para exponente real cualquiera, es igualmente cierta para exponente imaginario, y miraremos este convenio como equivalente á una definición.
Esto es de un rigor lógico irreprochable, toda vez que las definiciones algorítmicas, debiendo limitarse á exponer el objeto de una operación, son buenas si en los resultados no hay contradicción con los de otras operaciones ó con algún principio cierto.
Esto sentado, con el fin de poder hallar la potencia de grado (/— 4 de una cantidad, demostraremos el siguiente lema:
Siendo a cantidad real ó imaginaria, las potencias
son iguales, cuando m es infinitamente grande. Tenemos, por la fórmula del binomio,
( . , 1 \ " ' " , , , am(am—1) 1 , am{am—1) (am—2) 1 ,
/ a \ ' " _ . , „ , mim—i) a^ m(m—4) ( m - 2 ) a^ V + ^J - ' + " + ^ ! — ; ^ + w -T + -m ^- m
3
Probemos, ahora, que si m aumenta indefinidamente, las dos series anteriores son convergentes y tienen por limite común la serie, también convergente,
2 3
1 Llamando a al módulo de la fracción , « tiende hacia cero al crecer
am
— 56 — 1
m indefinidamente, y la diferencia i tendrá su módulo compren-am
dido entre 1 — a y 1 + «> adquiriendo el primer valor cuando a tenga argumento cero ó de la forma 2)i7r, el segundo cuando el argumento de a sea de la forma (2»Í + !)"•, y valores intermedios en los demás casos [14].
Es evidente que si la primera serie tiene por limite 2 3
a a 1
para estos valores extremos 1 — a v l + a de la diferencia 1 , con am
mayor razón tendrá el mismo limite para los valores intermedios. Consideremos el valor extremo 1 + «> y despreciando infinitamente
pequeños de órdenes inferiores al primero, tendremos (i __i_) (i - A ) . . . A -l^) = (1 + «) (1 + 2«) . . . V am/ V am/ \ am / ^ ' ' ^ ' [1 + (p - 1) «] = 1 + [« + 2 « + . . . + (p - 1)«] = 1 + TPJtZL^ „ ; luego
, , am 2 3
La serie encerrada en el paréntesis rectangular es convergente, porque la relación de un término al anterior es
p {f — 1) a^ 2 " ^ _ a
( y - 1 ) ( p - 2 ) g^-* ~ P - 2 ' 2 ' ( p - l ) !
cantidad que, á partir de cierto término, tendrá constantemente su módulo inferior á un número fijo menor que 1; como esta serie se encuentra multiplicada por «, que tiende hacia cero, resulta
lim , . , am 'i 6 i
- 57 -
Considerando el otro valor extremo 1 — « de la diferencia 1 am
hubiéramos hallado
y la conclusión seria la misma. La demostración anterior es aplicable á la serie
*+"+r;o-¿)+¿o-s)o-s)+---representando « la fracción real —; luego
m
De las expresiones (18) y (19) se deduce
126. Cualquiera de los desarrollos anteriores, haciendo a =: 1, da
siendo e la base de los logaritmos naturales. Se sabe que e es número inconmensurable, siendo su vaíor aproximado
e = 2,71828 18284 59045 . . . . 127. Haciendo en (19) a-= n [/—i, donde n es real, resulta
n [/—1 lim. 1 +
m
' La expresión í 1 + — j significa limite de ( 1 + — ) cuando m creee indefinidamente.
— 68 -
Tratemos de hallar el módulo y el argumento de esta potencia.
Siendo ( i + ^ ) el módulo de \ -\- ^ " ~ i , el de (1 + V¿II±\ es
I 1"'
2 \ / 2
m / \ 1m 2 / 2 \ 2
. , n 1 m (»i — 1) / n \ 1 , in •*• \ / m
1 / 1 1
- ^ + T • «T + 2! \^] + ó sea
1
despreciando los infinitamente pequeños de órdenes inferiores al prime-/ Yi I/ l \
ro; luego el módulo de (1 H 1 , siendo la unidad aumentada en un infinitamente pequeño de primer orden, es igual á uno, mientras no haya que combinarle por producción ó graduación con el infinito.
También podría decirse:
m _ I
-2
/ i \ n" 2 y como el límite de j 1 H I es e y el de ~— cero, resulta
2 X 2
lim. | l + A r l =e=\. 0+4) Admitido esto, la acción del ex ponen le infinito sobre la base \ -\
— 59 — toda vez que el exponente real obra sobre el argumento como multiplicA-
n dor, queda reducida á la repetición del elemento lineal — infinitas veces sucesivas, debiendo ser en cada momento normal al radio, como lo exige
— íi el símbolo de perpendicularidad [/— 1 que afecta como factor á —; por
n esta repetición infinita del elemento — normalmente al radio en su ex-00
tremo, se engendra un arco de circulo de longitud n, que es el argumen-X
to de la potencia í 1 H ^/—l) , siendo el módulo el radio, unidad adoptada.
Puede hallarse el argumento n mediante otras consideraciones: cre-n I/—1 ciendo m indefinidamente, el argumento de 1 H es un arco infi-m
nitamente pequeño, positivo ó negativo, según el signo de n, que se ha-n n
liará comprendido entre su seno —^zrz=iz y su tangente — , luego el V m -\- n
V « I n I / — 1 \ \ _| 1 1 ger¿ un apgQ comprendido entre
n n , / 2 , 2 m '
expresiones cuyo limite común es n. Tenemos, pues, el resultado notabilísimo
128. IJÜ expresión anterior puede escribirse en la forma [127,81] 2 3 4 * i A» ^ ^ ^ _ yy ,
1 + M (/—I — 2] ~" 31 ^~'^ + 1^ + . . . = eos n + sen n • /— 1 ;
igualando separadamente las partes reales y los coeficientes de ^ / — 1 , se obtienen las fórmulas de Newton
4 6
. (21)
(22).
2 4
c o s n ^ l - - + ^ -6
6! ^ 3 5
n n , n 7
n ~ 7] •
— 60 — 129. Si en la fórmula (c) hacemos
H = ~, V~,t , 71 =
será respectivamente
0+. •i
3n-
n/—1 e
y-i (23)
X
X
2
130. El primer miembro de la fórmula (c) puede transformarse asi [125J
luego
131. De las igualdades
e = 1 = eos 11 + sen n • i/—1 — n i/— 1 . , T
e = 1 = eos ?z — sen n • i/— 1 , se deducen las fórmulas de Euler
eos n =^ ' (27)
n/— 1 — n/—1 senji = ^ ~—— (28).
132. En el caso particular n : = 1 , tenemos (d)
luego: La potencia e ~ es la unidad modular con una inclinación, respecto
del eje real positivo, medida por un arco igual en longitud al radio. La importante cantidad 1 se ha representado por la letra E.
— 61 — n
También se puede expresar por j / — 1 , puesto que ff JT
Las tablas trigonométricas dan
eos i = 0,5403023, sen 1 = 0,8414710,
luego la cantidad E, bajo la forma binomia, es
E — 0,5403023 + 0,8414710 / ^ (29).
Si se desea calcular directamente estas fracciones ó hallar mayor número de cifras decimales, basta hacer n = 1 en los desarrollos (21) y (22), y tomar suficiente número de términos.
133. De • e """" = £ se deduce e~ = £ "" ó bien
e == ÍT ' ' "* (30).
III.—Elevación de una cantidad cualquiera á la potencia ) / — \ .
134. La fórmula (¿i) nos permite elevar á la potencia de exponente j /—1 una cantidad cualquiera, real ó imaginaria.
Sea B el módulo y i> el argumento de la base. Tenemos, representando por la inician los logaritmos neperianos,
— V t^-<
luego , {B^'-' = {e-^\^ (/•).
135. Esta notable fórmula expresa la singularísima influencia que el exponente / — 1 ejerce sobre una cantidad cualquiera real ó imaginaría, y se traduce en la siguiente proposición:
El argumento de la poteticia (/— 1 de una cantidad cualquiera es el logaritmo natural del módído de la base; y el módulo de lapotencia es el a»i-tilogaritmo del argumento de la base cambiado de signo.
- 62 -Siendo
podemos dar esla sencilla regla: Para elevar una cantidad á la potencia \/— \, póngase el módulo de la
base en la forma e , y cambíese el argumento, tomado con signo contrarío, en exponente de e, y el exponente de e en argumento.
136. Como casos particulares de la fórmula {f), tenemos
luego: La potencia \/—4 de toda cantidad cuyo módulo es la unidad, es real
de argumento cero; y la de una cantidad real de argumento cero, tiene el módulo igual á uno.
137. Poi" si ofreciese alguna duda la exactitud de la fórmula (/), vamos á elevar B^ó [e )^ varias veces sucesivas á la potencia ^ /—1: la segunda elevación deberá darnos
puesto que (\/—l) = — 1; la tercera será
toda vez que VJ/—1; = — j / — 1 ; y la cuarta debe reproducir 5,^, puesto
que \^—i) = 1. Tenemos:
[(,•»).]"=' = (.-),„
IV.—Fórmula general de la graduación, que expresa la potencia de exponente Imaginarlo de una cantidad
Imaginarla.
138. Podemos ya obtener la fórmula general de la graduación, siendo la base y el exponente cantidades cualesquiera.
Llamemos G al módulo y 3 al argumento del exponente, y 8 ^ á la base. Tenemos:
n^g^^fí ^(«o» ff + sen 9 • i'—i) „ G ooa g „ Gsen g • /—I
/• lB.Goo8£r\ ( —Gbsen 8r\ B • G «en g '
luego, representando la potencia B^ » por P , p [• G (IB . coa 3 — 6 sen g)1 , .
p L JG (iíco«¡? + l B . sciijí) ''^'''
139. La función B^ a ©s continua, es decir que si el módulo Cf y el argumento g del exponente varían por grados infinitamente pequeños, el módulo e' C^ • ""'ff-'"™* y el argumento G (6 eos 3 -|- 1B • sen gf) de la potencia experimentarán también incrementos positivos ó negativos infinitesimales.
En efecto: el exponente de e varia de una manera continua, toda vez que depende del factor G, y de IB • eos g — b sen g, función de eos g y sen sr que, á su vez, son funciones continuas del arco g; variando el exponente de e con arreglo á la ley de la continuidad, sucede lo mismo á la potencia e^^'" " ~ '"" '"*" '" , ó sea al módulo de P^ .
En cuanto al argumento G (6 eos ¡7 + I B • sen ¡7), evidentemente es también función continua de G y g.
140. SiB = l , b = 0, la potencia 1 , « es, según la fórmula (g), la unidad con argumento cero; luego toda potencia de i^ «« l^ •
Por ser incapaz la unidad con argumento cero de producir por graduación otra cantidad distinta, lo que no sucede, como veremos en seguida, á ninguna otra unidad, se llama aquélla unidad inevoluhle.
— 64 -141. Pero si B^ es otra cantidad cualquiera, reai ó imaginaria, aunque
su módulo sea la unidad, puede engendrar por graduación, una cantidad cualquiera, real ó imaginaria.
Llamemos P á la cantidad que ha de ser engendrada por graduación de la base B,. Debemos tener
G {\ B • eos g — b sen gr) = 1P 6' (6 eos (j + \B • sen g) = p.
Vamos á demostrar que existen un valor real de gr y un valor absoluto de G, que satisfacen á las ecuaciones anteriores.
Dividiéndolas y haciendo en el primer miembro algunas transformaciones fáciles de seguir, será
1 B sen g \B • cosg — bseng . b eos g , tg i|-— tg ¡7 . . ,, 1 í* bcosg + lB-seng A ,\^ seng " l + tg f»- tgg ° S(V—g)—~-
b eos g
El arco •^ está determinado por la relación tg 'j' = — , y es evidente que se podrá dar á gr un valor que satisfaga á la última condición, y después de hallado, se obtendrán cuantos se quieran sumando al primero un número positivo ó negativo de semicircunferencias, lo que no alterará la tangente de ^ — g.
Una vez satisfecha la última condición ó su equivalente
1 B • eos g — b sen g [ P beos g -\- \B • sen g p '
podemos suponer que IB • eos g — b sen g tiene el mismo signo que 1P y b CO.S g -\- I B • sen g el de p, pues si no fuera asi, en cuyo caso cada término del primer miembro tendría signo contrario al de su homónimo en el segundo, lograríamos cambiar los signos de los dos términos de la primera fracción sumando al valor de g media circunferencia, lo que cambia los signos del seno y del coseno, sin alterar la tangente de i|» — g. Esto
1 P sentado, la relación r-;; ; será un número absoluto r, y la
I B - eos g — b sen g VJ
— será este mismo número; multiplicando los dos tér-bcosg + IB • sen g minos del primer miembro de la igualdad última por r será
r {IB • eos g — b sen g) _ 1 P r (6 eos gi -|- 15 • sen ¡51) p '
- 66 -
y como ahora estas fracciones son idénticas, haciendo G = r quedarán satisfechas las ecuaciones
G (\B • eos g — b sen gr) = 1 P G (h eos g + \B • sen g) = p ,
por un valor real de gr y un valor absoluto de G, como habíamos afirmado. 142. Haciendo en la fórmula (¡7), G^ = 1. ^ , resulta
luego elevar una cantidad á la potencia 1 no altera la cantidad.
V.—Potencia de grado infinito de la unidad sumada con un e lemento infinitesimal real ó imaginario cual
quiera. Números vi y v¡'.
143. Si en la expresión (b), número 125, hacemos n
a = >/— 1 , hallaremos
n K
n l /—1
I^ cantidad 1 + ~ es la suma de la unidad con un elemento infi-00
n 1/—1
Hitamente pequeño ~ inclinado, respecto del eje real positivo, en el 00
ángulo —, puesto que n ^ / - l = 1 , • n •
n Esta inclinación ó argumento puede tener un valor cualquiera x, dan-
do á n el valor X
Pero, según la fórmula (g),
e^-^ = e " = Ve ")
66 —
(/O. n
144. Suponiendo n = 2, será
resultado comprendido en la fórmula (c), número 127, como caso particular.
145. Haciendo n = i, tendremos
[i+yl^)\{e^) (31). 00 / ^2
Esta cantidad, potencia de grado infinito de la unidad adicionada con un elemento infinitesimal inclinado en 45" con respecto al eje real positivo, se representa por r,.
Tenemos, pues, V, = 2,0281150^^^,^^ = 1,5418639 + 1,3175384 ^/I^T (32).
146. La cantidad v> puede escribirse en la forma
De V, = (eE) ^ (33),
se deduce e E =^ -n^^ (34). 147. Gomo el primer miembro de la expresión (31) se transfor
ma [125] en 00-, J / » ' ^
[(-^)] - ^ / / - l
resulta n = e*^ (35).
Haciendo [1.33] e = E~''~'^
será vj = A ,
ó bien [67] r, = E ^~'^ ' (36).
— 67 — 148. Tenemos:
pero n
e = n
1 ( — e o s — I _ V — ^ " / — sen — '
I eos — I Ve " /si
n
luego (4—-^—^.) = V,e~°°''^/_8en^ (i). \ 00 / n
ido Ji = 2, se halla
0- )'=(«")-.= -. = t = i (3,,
140. Suponiendo n = 2, se halla
4 150. Haciendo n = —-, será ¿5
/a J ^ ) = l . V ^ (38,
Esta cantidad, potencia de grado infinito de la unidad disminuida en un elemento infinitesimal inclinado en 135», se representa por y¡' .
Tenemos, pues, •n' = 2,0281150_o,Q, ogg = 1,5418639 — 1,3175384 [/^^ (39).-
151. La cantidad r,' puede escribirse en la forma
••=(^-.r=(i)'=a)'-/ e \
De ''' = (Í) <^)' se deduce -=- = v¡' (41).
152. Como el primer miembro de la expresión (38) se transforma en
[(-¿)1 — ( / _ / - i
-V-^~^
resulta , ' = e ^ " ^ (42).
Haciendo [133] e ^ = E^ \ se obtiene
V, =E
ó •o'^E-^''-' (43). 153. Comparando los valores de » y »' bajo las formas
•2 i~"
se ve que son simétricos, y que su producto
nv' — e'^' (44) es real.
154. Si en la expresión (/i)
(,+¿zi)=(.-v)..^, \ 00 / n '
n aumenta n, el argumento — del elemento infinitesimal — disminuye.
n 00 •• '
y tiende hacia cero si n crece indefinidamente; entonces el apéndice infinitesimal tiende á ser real: es natural, por consiguiente, que la potencia
tenga por límite el número e, y asi sucede efectivamente, pues para n = 00, es
— = O , eos — = 1 , sen — = O , 00 00 00
"'"•(^+W= ('')« = •• El límite de
cuando n crece indefinidamente, es e = — e
155. La simple inspección de la fórmula (h) manifiesta que los únicos valores modulares posibles, obtenidos por graduación de la unidad aumen-
— e s tada en un elemento infinitesimal imaginario, son los comprendidos entre
i el máximo e y el mínimo —, puesto que los valores máximo y mínimo del
exponente eos — de e son 1 y — "I, correspondientes á n = oo , n = 1.
Los respectivos valores del argumento sen — son sen O = O y sen TT = 0 . n
Sigamos las variaciones de la función (h) mientras n disminuye desde infinito hasta cero.
Para n = oo , ya hemos dicho que la función vale e . Disminuyendo n de un modo continuo desde infinito hasta 2, el arco
— aumenta desde cero hasta -^ por grados insensibles, el exponente de e 11 2
disminuye desde 1 hasta cero, el argumento sen — aumenta desde cero hasta 1, y la función
varia desde e_ hasta i, ó E.
Disminuyendo n desde 2 hasta 1, — aumenta desde -r hasta n, el ex-n 2
ponente de e varia entre cero y — 1, y el módulo disminuye desde 1 hasta \ 7r —; por su parte, el argumento sen — disminuye desde 1 hasta cero; luego
1 la función ha variado desde i.óE hasta —
^ e Si n disminuye desde 1 hasta —-, — aumenta desde n hasta - r- ,
o n 2 1
el exponenle de e varía entre — 1 y cero, y el módulo crece desde — hasta 1; entretanto el argumento adquiere valores negativos desde cero hasta — 1, y la función pasa por una serie de valores comprendidos en-t r e - y l _ ^ o - ^ .
Disminuyendo n desde-5- hasta —-, aumenta — desde -^ hasta 2»:,
el módulo crece entre 1 y e, el argumento varía entre — 1 y cero, pasan-1
do gradualmente la función de 1 ,, ó - ^ á e . 1
Mientras disminuye n desde —- hasta cero, se reproduce infinitas ve-
— T o ces la anterior evolución de la función, correspondiendo cada periodo evolutivo á los valores de n comprendidos entre
2" ^ X ' T ^ i r ' i r ^ ^ ® -Haciendo sen - ^ = w, será n
eos — ^ ± vi — M n 2
luego la curva que representa gráficamente la marcha de la función (h) tiene por ecuación, llamando M al módulo ó radio vector y w á la longitud del arco argumental,
M = e~ (45),
donde w podrá recibir valores desde — 1 hasta 1, pero no otros, toda vez que representa el seno de un arco.
Los valores que se atribuyan á «, después de curvificados sobre la circunferencia de radio 1, y los correspondientes de M, servirán de argumento y módulo para determinar puntos de la curva.
Á cada valor de w corresponden dos de M, evidentemente recíprocos, por consiguiente: el produelo de las distancias del origen á los dos puntos en que una recta tirada desde el mismo encuentra á la curva es-constante é igual ú la unidad.
VI.—Condición de realidad de la potencia P .
45(5. La fórmula (g), número 138, da la potencia P de grado cualquiera G^ de una cantidad cualquiera.
La condición necesaria y suficiente, para que la potencia sea real, es que el argumento de P
G (I B • sen g + b eos g) sea cero ó un número entero nn- de semicircunferencias, es decir,
G {[B • sen g + b eos g)^ nn (j),
siendo n cero ó número entero. 157. Para n = O, la condición O') queda satisfecha haciendo
1 B • sen g + b eos g ^0 ( / ) .
— 71 -Esta condición demuestra que: El módulo G del exponente de una potencia no influye en la realidad
ó no realidad de ésta, cuando el argumento de la misma haya de ser cero. Y puede servir para resolver los siguientes problemas:
1." Dada la base de una potencia, hallar el argumento que deberá tener el exponente para que la potencia sea real de argumento cero.
2." Dado el módulo de la base y el argumento del exponente, hallar el argumento de la base.
3.» Dados los argutnentos de la base y del exponente, hallar el módulo de la base.
158. Si hacemos JB = 1, deberá ser b eos fif = O, n 3n-
luego S' ~ "2" ° ^ ~ T ' pudiendo b tener un valor cualquiera.
Los valores correspondientes de la potencia son
^ EJEMPLOS.
n_ -l.« [^Z~{Y~^ = e * = 0,2078795 .
2.0 (—1)'""'^ = e ~ " =(0,2078795)1 37r
3.0 {^^ZZ\Y~'^ = e 2 =(0,2078795)1
4." (^2^)*^"^ = e ~ ^ " =(0,2078795)*.
5.U ( \ / j / _ i ) = e * = e ^ ^ = 1/0,2078795.
(n \^-^ __ - J L _ ü . ± „ G.o \ y ^/-\) ^ / \ \ ^ - ^ =e *" = e ' "=1/0,2078795.
e e 7." (1^)*^ = e ~ ' = ~ ó E
8.0 ( 1 _ 0 ' " '
72 —
9.» (^/—i) = e - = 4,8104791 .
10.0 (—l)-*^-^ = 6 " =: (4,810479lf .
H.o (^^/l^) ==^2 _ (4^8104791 ) ^
12." ( 1 , , ) = e ^ - = ( 4 , 8 1 0 4 7 9 1 ^
13.» ( V / / — l ) = e * =e"^ ' = ^/4,8104791.
- ^ ' — 1 JT TT 1
14." (,V/|/=M^j = / - l ^ \ = e ' " = e ^ " = ¡/4,8104791. (f.) 159. Si B = e, .í/ = -7- ó ¡7 = - - , será
4 4 t/"2' li? = l , s en^ = c o s s f = ± - ! ^ ,
por consiguiente la condición ( / ) se convierte en 1 -f- b = O, de donde b = — i;
aplicando la fórmula (g) tendremos:
160. bi B =z e, g:= -T- o g =—-, se ra 4 4
1¿} = 1, sen í/ = - y - , cos(/ = — ^ o sení/ = — ^ ^ , eos j / = - ^ ^ ,
luego la condición O') se convierte en 1 — 6 := O, de donde b = 1 ;
[lor tanto ( e = e ' = (!
/ \ \ 2 2 /
— 73 —
161. Si hacemos g = —• ó g = —, en cuyos casos sen g =: — eos g, 4 4
sin asignar valores particulares á fi y b, la condición (/) será sen g {IB — b) = 0 ó sea B = e ,
y las potencias serán reales si el argumento b de la base es el logaritmo neperiano del módulo B.
Así, para B = e, será b = 1, como se acaba de ver. 162. Si n no es cero, el factor
1B . sen g -\- b eos g de la condición (j) es distinto de cero, y pueden darse á G valores que la satisfagan, suponiendo conocidas todas las demás cantidades. Si el valor de la cantidad conocida IB . sen g -\-h eos g es A, haciendo
riTT
^' = ^ ' la condición {j) será
nn X A = ílTT o nn = n-n , A
y estando satisfecha, la potencia será real de argumento nn.
EJEMPLOS.
163. 1.» Haciendo B = e, g = —, será
IB . sen g + b eos gi = 1, A = 1 , G =r «TT ,
{'») =^' )nn-Suponiendo 6 =: 1, n = 1, tendremos
e 164. 2." Supongamos B = e, g = ~ , y será
1 lí . sen gí + b cosgr = - ^ (1 + b),
y, aplicando la fórmula (gr), tendremos
i%) '— —'«n- ^ —'•;
— U — 465. Haciendo i> = 1, n = 1 en el resultado del ejemplo anterior,
«•1/2 ,~-:zz
se halla (^i) = —1» pero e = 1 X e = £ e ,
:r(/2 , / — = ; i/2 (/,/— — -"_ luego (£e) * ' ' ^ = —-1, de donde (^e) ^ = ( — 1 )
2 y como [146J {E e) = „ , se obtiene por último
. = ( - l ) ' ^ » / ^ - (46). 166. Fuera de los casos en que la condición {j) esté satisfecha, la po
tencia P será imaginaria. Como ejemplo, tratemos de obtener la potencia
• Tenemos B = 1, 6 = -^, G=^i, g=^-¡--
La condición de realidad es, en este caso,
r l/"2" . l/'2" _ . _ _ _ = „ , o - g - - » ,
y como no se verifica, la potencia será imaginaria. La aplicación de la fórmula (g) da
í 1 / / J ^ I * * r -0,55536041
pero e~ •'•^**'* = 0,5738653 , 0,5553604 = 31» 49' 11", 31 = ^ ,
luego ( V/ / — 1) = 0,5738653 (eos + sen y • \/—i)=:
0,4876194 + 0,3025702/^ .
75 -
CAPÍTULO SÉPTIMO.
LOGARITMOS.
I.—Logaritmos naturales de las cantidades imaginarias.
167. Se llama LOGARITMO de una cantidad cualquiera P el exponente G que debe afectar á una cantidad dada B , para que la potencia tenga el valor P .
p El conjunto de valores de G correspondientes á los que reciba P , siendo B^ constante, constituye un sistema de logaritmos, del que B^ es la base.
168. La ecuación que liga entre si á las tres cantidades: base, logaritmo y potencia ó antilogaritmo, es
B,''" = P . o p
La fórmula (o), número 138, dándonos P en función de 2? y de G , resuelve la cuestión de hallar la cantidad ó antilogaritmo P correspondiente á un logaritmo conocido G en un sistema de base determinada B .
169. Designando por la inicial I los logaritmos naturales, cuya base es e, la fórmula (d), número 130, nos da
l ( l ^ ) r r = p j / r i (47),
luego 1 (Pp) = 1 (P X 1 ,) = IP + p^/-l (k). . Es' decir:
El logaritmo natural de utia imaginaria cualquiera es la suma del logaritmo del módulo y del producto del argumento por \/—1 .
Ó bien: El logaritmo natural de una imaginaria cualquiera es, en magnitud y
- 76 —
dirección, la hipotenusa de tin triángulo rectángulo, cuyos catetos son, en magnitud y dirección, el logaritmo del HIÓCÍMÍO y el arco argumentál rectificado.
De manera que, según sea P mayor ó menor que 1, y, por tanto, positivo ó negativo su logaritmo, se tomará éste en el sentido positivo ó en el negativo del eje real, y el otro cateto se dirigirá por cima ó por bajo del eje, según indique el signo del argumento p.
EJEMPLOS.
1." Sea 1 (eos x + sen x • / — í ) . Tenemos: P = 1, p =zx, luego
1 (eos X + sen x -• [/— i ) = x Z— 1 . 2.» Sea 1
Tenemos:
1 ^ S ^ y = I 5 + ' ^^ i r ! í f ^ _ -j = 1,6094379 + 2,0í)4395i ^~i
3." Sea 1 E . Como JB = 1, , tendremos:
IE = IÍ+/—Í= [/—i ,
lo que ya sabíamos |432J, puesto que E = e 4.» 1 (l + ;r i/—i) .
El módulo y el argumento de esta cantidad son
/ ' r= \ / l + TT^ , í> = are tg n ; pero
1 V/l + n^ = 1,1929850, p = 72" 20' 35",57 = 4,2626273 ; luego
1 fl +r\/'-^) = 1,1929850 + 1,26262781/-1 .
170. En el caso particular p = TT ó í^, = — P, se tiene
l ( - P ) = l P + , ^ ^ / ^ (48); luego:
El logaritmo natural de un número negativo es la suma del logaritmo de dicho número, tomado en absoluto, con n j / — 1 .
- 77 —
Asi, \(—i)~n /IT n
171. Escribiendo j / — i bajo la forma
^ / - 1 = 1 ^ , n
tendremos
luego: í,08 logaritmos naturales de las raices de —\ son imaginarios puros, y
su módulo es la semicircunferencia rectificada dividida por el índice del radical.
Asi,
172. Tenemos:
' (V.') = ' ( .) + ' (V) == • ( .) + í»V=^ ; luego:
Aumentando el argumento de una imaginaria en un número p', su logaritmo aumenta en p' [/—1 .
173. Aplicando la fórmula (k) al cociente
1 -f x y / ^ 1 —x\/^^
tendremos, observando que el módulo es i y el argumento 2 are tg x,
1 + ^y— = 2 are tg o; • y/I^T (49) ; 1 — x[/—1
por otra parte, es bien conocida la serie
1 - x\/—i L J 5 J , — / o; x' \
Comparando ios dos resultados se halla 3
3 ^ 5
3 5 X X
are tg a; = a; + — . . . (50).
— 78 —
Como se tiene, según es fácil comprobar,
^ = 4 a r c t g i - - a r c t g - ¿ - , resulta
de donde puede deducirse el valor de n con cuanta aproximación se quiera. ^
II.—Expresión general del logaritmo de una cantidad imaginaria en cualquier sistema.
174. Resolvamos ya la cuestión general. Tomando logaritmos neperianos de los dos miembros de la ecuación
G„
resulta
luego es decir:
Para liallar el logaritmo de una cantidad en un sistema cualquiera, se divide el logaritmo neperiano de la cantidad por el logaritmo neperiano de la nueva base.
Pero [469]
por consiguiente G = llLtn^ (0.
o [B + b^—i
175. Siendo G el cociente de dividir \P + p [/— 1 por 1 ií + b / — 1 ,
el módulo G será el cociente de los módulos VI P + p^ y V \^ B +b^
i^r = ^r ) '
^u- '(^.) = ' ( ^ . ) '
G - '^^^^ •
"~ ' (^ . ) '
' En nuestra Oeometria constan las 580 cifras decimales obtenidas por M. W. Shanks, de Houghton-le-Spring, en 18.58, valor el más aproximado que se conoce.
— 79 — de estas expresiones, y el argumento g, la diferencia de los argumentos; el del numerador \ P -\- p [/—i es are tg r^ , y el del denominador
\ B -\- b [/—i es are tg -—, por consiguiente
'•-\/] B +h
gf = a r e t g - j ^ — are tg — •
Este argumento puede recibir otra forma. p b
Llamando x é >/ á los arcos cuyas tangentes son — y —— , será
p b — tg a; — tg ?/ _ JP ~ TB _ p-lB — blP
g g - 1 + tg X • tg y ~" ,. " pb - IP.lB + pb ' " ^ I P - I S
luego p IB — b • I P
^ '^Avfm ........ -• nrc tfí —
I P • 1 « + p í)
176. La expresión de G puede recibir la forma binomia. Multiplicando por IB — b ^—i los dos términos del valor de G [174]
se halla " \ B + b [/^
" fB-\-b^ \ B + V Bajo esta forma se ve también que el módulo G es
/(IP. [B-\-pby+{pAB—hAPY_ n^P. \^B+pib^+p»AW+bK 1 P__ V (l»B + 6«)2 V (PB + b»)« ~
/(i« P + p«) (L" B + b«) _ / P P + ^ ;
- 80 —
y el argumento g viene dado por las expresiones p.\B—b.\P pAB — bAP [PAB+pb
"^^^ IPAB + pb' ^^"•^= GQ^B + b^)' ^ » ^ ^ - G ( l ^ B + b ) " 177. Escribiendo el exponente G en la forma
será «= G eos ;; , ,S = G' sen gf, y la expresión (i)
'•" 1 B + b j / ^ nos da
(„ + p j / : i í ) (l Jfi + 6 / - í ) = 1 P + p l / ^ ; efectuando la multiplicación indicada, é igualando separadamente las partes reales de ambos miembros y los coeficientes de j / — 1 , se obtiene el sistema determinado
lB.cc — b6 = lPl ^
b.+ \B p=p r"*>' del que podria deducirse
_\P AB + pb _ pAB — bAP i^B + b^ rB + ¥
volviendo á encontrar la forma binomia (i"). 478. Considerando como incógnilas P y p, el sistema (m) da
1 P = 1 B . a — b |S (n) p = bv.-¡r\B.p (o).
La (n) puede transformarse asi
I P = . , ( B « ) _ I ( / ) = = I 4 ,
B" de donde P = c
i79. Sustituyendo en (n) las cantidades « y p por sus valores G eos g y G sen g se halla
I P = G (I B . eos sf — b sen sr) (n'); , , G (1 B . C08 o — ¡) sen o)
luego P = e '
— 81 — Haciendo en (o) la misma sustitución, será
p ^ G (I B . sen gr + 6 eos g) {o'), por consiguiente
p X G (1 B . eos // — b sou <?)•)
p L -"Gf (t< oo» ff + 1 B . sen a)
que es la fórmula {g) obtenida en el número 138. 180. En el sistema de logaritmos neperianos, tenemos B= e, ó bien
5 = e, b := O, por consiguiente los valores de P y p, según las fórmulas (") y (o), serán P = e" , p = ^, ó sea
luego: En el sistema neperiano, la cantidad correspondiente á un logaritmo de
la forma a + |S j/—1 tiene por módulo el antilogaritmo de a y por argumento jS.
Al aplicar esta regla, téngase presente que si a es cero su antilogaritmo e s l .
I I I . — L o g a r i t m o s e n l o s s i s t e m a s d e b á s e s e y {/—i-
184. Habiendo demostrado ya [139] la continuidad de la función expo-G
nencial ÍB^ , y puesto que toda cantidad P puede ser engendrada por graduación de una base cualquiera B , distinta de la unidad inevoluble, bajo la influencia de un exponente adecuado [141], debemos rechaza^ los razonamientos, corrientes en los tratados de Álgebra, según los cuales la base logarilmica debe ser un núm.ero positivo diferente de la unidad, estableciendo, por el contrario, la siguiente proposición:
Cualquiera cantidad real ó imaginaria, excepto la unidad inevoluble, puede ser base de un sistema de logaritmos.
482. Entre las bases imaginarias debe llamar muy especialmente nuestra atención la constituida por la unidad modular con argumento i, es decir, 1 ó E. En este sistema los módulos de los logaritmos son iguales á los módulos de los logaritmos yieperianos, ó de base e.
Y en efecto, representando por la inicial L los logaritmos en el sistema de base E, tenemos [174]
l . P 1 . P ^•^p- lE - ^ : = í '
— 82 —
luego ' • p = ^ ^ ^ • ^p (P); pero multiplicar una cantidad por / — I no altera el módulo y aumenta el argumento en un cuadrante, luego:
El logañtmo de una cantidad cualquiera es igual en valor absoluto en los sistemas de bases e y E; pero el argumento en el sistema e excede en — al argumento del mismo logaritmo en el sistema E.
De modo que se pasa de un sistema á otro por medio de un giro de 90», que se efectuará en el sentido positivo al pasar del sistema E al e, y en el sentido negativo, al pasar del sistema e al E.
183. El sistema de base E no es el único en que los logaritmos tienen módulos iguales á los módulos de los logaritmos neperianos, porque siendo
1 .P G = " 9 l . A '
O
basta que 1 . B^ tenga módulo 1, es decir, que
X/l'B+b'^i,
condición que permite atribuir infinitos valores á JB^ , siendo entre ellos 4 el de argumento máximo, y e el de mayor módulo.
184. Si p = O, es decir, si la cantidad P es real positiva, tenemos
2 luego;
En el sistema L, el logaritmo de una cantidad real de argumento cero es imaginario puro, y su valor absoluto es el logaritmo neperiano de la cantidad real.
Si P = 1, será L . 1 =p;
luego: En el sistema L el logaritmo de una cantidad de módulo 1 es real é
igual al argumento de la cantidad. Así:
L(COS£C + s e n o c . / — l ) = a ; , L . | / — 1 = - ^ , L (—(/—l) = - y ,
L(—i) = it, L . 1 = 4 .
185. l a fórmula (I"), en el supuesto
2 se reduce á
y como la misma fórmula, Jiaciendo B = b ^= i, da,
resulta
L . P p = í > - l P . / - l ,
G — ~L. P (52). 9 7t P
Luego:
Los logaritmos de base (/— J tienen iguales argumentos que los de base E; y los módulos en el primer sistema se obtienen multiplicando los corres-
2 pondientes en el segundo por el factor constante —, ó sea por
it
0,6366i 97723 67581
2 186. Si P = 1, resulta G == — p; y si p = O, será 9 ir
' . = ( ^ ) •
luego:
En el sistema de base j / — 1 , el logaritmo de una cantidad de módulo 1 2
es real, é igual al argumento de dicha cantidad multiplicado por — ; y el logaritmo de una cantidad real de argumento cero, es imaginario puro, sieixdo su módulo el logaritmo nepeñano de la cantidad multiplica-, 2
do por — •
Asi,
log [/^i = 1, log ( - 1) = 2, log ( - v/=í) = 3, log l ^ = 4,
log \ / J/-1 = ^ , log y/v/1/-1 = j , log \/\/Ví/-i = ~ etc.
84 —
IV.—Condición de realidad del logaritmo G
187. f fórmula (í'), que da el valor del logaritmo G de una cantidad P en el sistema de base B. , impone, como condición de realidad de G , que el argumento sea cero ó un número entero de semicircunferencias, es decir
p AB — b AP "••^^ IPAB + pb =^" ' - -
Esta condición puede expresarse en la forma equivalente
pAB—bAP tg n ff = IP AB + pb
p AB — bAP „ pero t g n » = 0 , luego ^p i^ + ph ~ '
ó sea p AB — b A P = 0 (q) .
De esta igualdad se deduce _p_ _ \ ^ b ~ \B '
luego: Para que el logañtmo de una cantidad sea real se necesita y basta que
la cantidad y la base del sistema tengan stts argumentos proporcionales á los logaritmos de sus módulos.
188. Suponiendo satisfecha esta condición por ciertos valores particulares asignados é,P, B, pyb, aplicando la fórmulh {I"), en la que haremos
1 P = - ^ - ^ , se obtiene
p.i'B . ,
l'B + b' bil'B + b')'
ó sea íí„ = ~í~ (^)
p
— 85 — « 17^
Pero - ¡ - = -¡"iT 6s 1 logaritmo del módulo P en el sistema de o 1 / j
base B [174], luego: Cuando la condición de realidad (q) está satisfecha, el logaritmo de Y
en el sistema de base B es igual al logaritmo de P en el sistema de base B,
y el valor de este logaritmo real es la razón -— de los argumentos.
El hecho de ser -—- el logaritmo de P , cuando la condición {q) está satisfecha, se explica fácilmente.
En efecto: de dicha condición se deduce
P = B
por consiguiente el logaritmo de P en el sistema de base B^ en ~ •
189. Para expresión del argumento de G se halla arco cuya tangmite es cero; pero todos los arcos terminados en ¿1 origen de los argumentos y en el extremo del segundo cuadrante tienen cero por tangente, luego podrá creerse que el argumento de G es cualquiei'a de los arcos comprendidos en la expresión nn. Á fin de no incurrir en este error, téngase en cuenta la observación hecha en el número 96, y las expresiones de tg g, sen g y eos g puestas al final del 176. Dando en éstas & P, B, p y b los valores particulares que satisfacen á la condición (q), hallaríamos evidentemente Igg = O, sen gf = O, eos g = ± i , puesto que g termina en el origen de los arcos ó en el punto diametralmente opuesto: pues bien, si resulta eos g =: i, el arco g será cero ó un número par de semicircunferencias; y si eos gf = — i, el argumento g será un número impar de semicircunferencias .
Por lo demás, este número de semicircunferencias puede ser mayor ó menor, dentro de la condición, relativa á su paridad, que hemos subrayado, pues si tenemos
será también [142] {^) " = ^P
(B^' + " = P P •
de modo que siendo el logaritmo de P la cantidad G , también lo es la
G , „„ y la G ^ . etc.
190. Haciendo.en (i') P = I, p = O, se halla G ó log 1 = O, luego: En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la unidad inevoluble
es cero. Haciendo P = B, p = h, se halla G = 1, g = are tg O = O, ó, más
general, g = 2ii7r, luego: En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es la unidad
real positiva. 191. La condición de realidad (q) está satisfecha cuando p = 6 = 0;
entonces la cantidad dada P^ y la base B^ del sistema son reales, positivas y de argumento cero, luego:
En un sistema de base positiva con argumento cero, los logaritmos de los números positivos de argumento cero son reales.
192. Si en el supuesto b ^ O, fuese p un número entero de circunferencias, la condición (q) no puede quedar satisfecha, toda vez que 1 B no es cero, luego:
Para b = O, ios logaritmos de las cantidades positivas cuyo argumento no es cero, son imaginarios.
193. Si 6 ^= O y /) = (2n + 1) "> donde n es cero ó un número entero, la condición de realidad
(2n -I- 1) TT . 1 B = O,
no se verifica, luego: Para b = O, los logaritmos de las cantidades reales negativas son ima
ginarios. 194. Tampoco se verifica la condición de realidad cuando, siendo
h = 0, p es un número no comprendido en las formas 2(i7r y (2»i -f 1) n-, luego:
Para b = O, ios logaritmos de las cantidades imaginarias son imaginarios.
195. Resulta de las conclusiones halladas en los cuatro últimos números que:
En un sistema de logaritmos de base positiva con argumento cero, ios únicas cantidades que tienen logaritmo real son las positivas de argumento cero.
196. Supongamos una base negativa B^ . Si el argumento p es cero, la condición de realidad es — TT . 1 P = O, y
como no se verifica, pues suponemos á P distinto de la unidad, resulta que: En un sistema de base real negativa, los logaritmos de las cantidades
positivas, cuyo argumento es cero, son imaginarios.
- 87 -
EJEMPLOS.
1." Hallar el logaritmo de una cantidad positiva a en el sistema de base — 1 .
Tenemos: B ^ 1, 5 = TT, P = a, j) = 0. Aplicando la fórmula (I") se halla
, ir . la — j I a — -log a = —- (/—I = ^/—1 . ir' ir
La fórmula (V) hubiera dado
log
2.* Hallar el logaritmo de 2 en el sistema de base — 10. Tenemos: JB — 10, b = ir, P = % p = 0. La fórmula (I") da
log 2 = ' ^ ' ^ ^ ^ . 7 ^ ' ' ! ^ ' . ^ ~ ^ = 0,1051992 — 0,1435314lA^ . 1 * 10 + TT*
197. Si el argumento 39 es distinto de cero, la condición p . lB — 7r.\P = 0
9)
podrá ó no verificarse: en caso afirmativo el logaritmo será — [188] .
EJEMPLOS.
1." Consideremos el sistema de base—10, ó bien 10 . La condición {q) puede escribirse en la forma
P = 1 0 * .
Haciendo sucesivamente
p = O , TT, 2 ir nis , será P r= 1 , 10 , 100 lO",
por consiguiente en el sistema de base — 10 se tiene
l o g . l , = 0 , log . 1 0 ^ = 1 ; log. 100,^ = 2 . . . log . lO;;^ = « ,
que son los logaritmos vulgares de los módulos 1, 10,100 . . . lO", como ya sabíamos [188] .
2.» Si la base es — ;^, la condición de realidad es
P = 3 2 Haciendo sucesivamente
¥ ' ^ • • • • ' 5 ' p = 0 , _ , _ — ,
será P = 1 , 2 , 4 . . . . 2" , por consiguiente en el sistema de base —32 se tiene
log.l„ = 0, l o g . 2 ^ = l l o g . 4 . ^ = = | . . . l o g . 2 ^ = | - , 5 h 5
que son los logaritmos de los módulos 1, 2, 4 ... 2** en el sistema de base 32, como debía suceder.
198. Sea una base positiva B, ^ , donde n no es cero, y supongamos p igual á cero.
La condición — 2H7r . 1 P = O
no se verifica, luego: En un sistema de base positiva cuijo anjuinento es diferente de cero,
los logaritmos de las cantidades positivas de argumento cero son imaginarios.
E J E M P L O .
Hallar el logaritmo de 5 en el sistema i . La fórmula (I") da
log 5 = - ^ " ' / ' ^ ^ / ^ — - T Í / ^ = - 0 ,2361500 /^ .
Si p es distinto de cero la condición de realidad p . 1 B — 2n TT . 1 P = O
podrá ó no quedar satisfecha: en caso afirmativo el logaritmo de P P será — • 2nír
Haciendo sucesivamente j» = S r , 4jr , 2nit,
los valores correspondientes del módulo, para que los logaritmos sean reales, habrán de ser
M n
P = | /B , \/B^ B , por consiguiente en el sistema B^^^ , se tiene
luego: £•« «n sistema de logaritmos de base B , positiva con argumento
distinto de cero, las cantidades positivas de la forma n
^ 2kit
fieixen logaritmos reales conmensurables de la forma — •
EJEMPLO.
Haciendo sucesivamente 2> = 2jr, 4ír Snw ,
3 2 _ 31 3Í
será P = i/^ , V^ V/2" , por consiguiente
32 199. Sea una base real negativa de argumento i%n -(- 1) r . La condición de realidad es
f AB — (2H + l)w. 1 P = 0. Suponiéndola satisfecha será
9 (2n + l)ir
- 90 -
V.—Expresión general de la base según la cual una cantidad dada es el logaritmo de otra.
200. Resolviendo las ecuaciones (m), número 177, con respecto á IB y í/, u .IP + pS , up — Q.lP
se halla 1 B = , ^f^, b = -J~^^~~^ . «* + ? «* + ?
Sustituyendo « y ^ por G eos f/ y G sen gr, resulta I B = G {\ P . eos g + p sen gr)
¿ g -— gf^"^ O I'• cmg + p eeag)
h = G~ (p eos g — \ P . sen g) ; por lo tanto
201. La analogía de las fórmulas (g) y (>•) es bien notable: se pasa de una á otra por mutua sustitución de P con fi y de í> con b, cambiando el signo al exponente del módulo G y al argumento g.
Se explica este hecho por la reciprocidad que existe entre la base y la potencia, mediante la reciprocidad de los exponentes.
Asi como P es potencia de grado G de la base B^ , de igual manera * 1 JBJ puede mirarse como potencia de grado -prp- de la base P , es decir,
a 1
pero 1 G
.9 ^ -y
luego ( G - i )
Comparando con
P = i^f"
( « - ' ) . , ;
se explica la analogía apuntada.
— 91 —
VI.—Condición de realidad de la base B^.
202. La discusión de la fórmula (»•) es muy análoga á la que delenidamente hemos hecho de la fórmula (g), por lo que seremos ahora más breves.
La condición de realidad de la base B, es b
G (p eos g — 1 P . sen g) = mr (s),
siendo n cero ó un número entero. 203. Para n = 0 esta condición se reduce á
p eos g — 1 P . sen sf = O («')•
Dando á dos de las cantidades P, p, g valores arbitrarios, y á la tercera el que se deduzca de la ecuación (s'), el valor correspondiente de la base JS será real de argumento cero.
204. Si hacemos P = i, p = O, la condición (s') quedará satisfecha, cualquiera que sea el valor de g.
La base es entonces B = \ , luego: La única cantidad que elevada á potencia cualquiera, real ó iinagina~
ria, da siempre por resultado la unidad con argumento cero, es la unidad inevoluble.
205. Haciendo P = 1, deberá ser
p eos g = O ,
luego ^ — '2 ° ^ ~ T '
pudiendo asignar á p cualquier valor. Los correspondientes de la base son
2. — P
206. Presentemos algunos ejemplos.
B.. = e'', B=e «
P = l , 3 - ^
— 92 —
1... p = f ^,= e-; i > = t - ; . =r^/-4.
GV—\
•2n
2
airv-G"^-!
7.» í / = ^ , i^^^e *"; P
_ TR X _ 2jt\~^^~^ Tjr
207. Si P := e, la relacicSn general entre p y g es
p eos (/ — sen g = 0 ó sea i = tg gr .
Si la variable independiente es g, tendremos 1
„ G~^(C08(/+paenff) ^ C^co» ¡; (1 + tg ^ S) Gootij B^ = e —e —e
EJEMPLOS.
* luego \e^ ^ ) = e E,
resultado acorde con la expresión eE z=/i , hallada en el número 446,
toda vez que » = e "
2.» G„ = - V / - j /=T , G = l, 3 = ^ , B, = 6 " ^ , P = e _ , = ~ .
luego V e ; ~ ~e '
resultado acorde con la expresión - ^ :^ >/ , hallada en el número 151,
toda vez que »' = e 208. Si la variable independiente es p, tendremos
o G"~*{euj a + paeng) G~ eos 9 ( l + p'' ) o
1 pero de tg gr = p , se deduce eos g = ±
1/1+p* •2 + j/i + p'
luego ^6="^ '^=:e
EJEMPLO.
G = 1, p = i/~3, 3 = j ó .9 = ^ , Bft = e-^ Pp = e _ ,
luego
W
(« / 3
[e' _2\ 3 = e 1/9
- 94 _ 209. Si / ' = e**, la condición (s') se reduce á
p eos ¡j — p sen ¡7 = 0 ó sen g = eos g , JT 5jr
y estará satisfecha parag = -- \ g= — • 4 " ' 4
Haciendo G = 1 , ij = -~, será B^^=z¿' ;
luego {B^)" = / ^ "^ ^'"^'^ ie% = ( e , / = (e Ef ,
donde el argumento p permanece indeterminado. 210. Si n no es cero, y la expresión p eos g — \P . sen g tiene el valor
A, haciendo G =: —, la condición (a) será lln
nir - r - X 4 = n;r ,
y, estando satisfecha, la base B será real de argumento nn.
EJEMPLO.
Sea P = e, sr = ^
Tenemos: i / 2 p eos sf — 1 P . sen sr = - ^ (p — 1) = yl ,
(1 +p)nn
tm '•¿mr
r (i+P)"íri
= e . p
Haciendo p = — 1, será
[(« )_iJ = «_, ' (1-0 - T = £
G) l/2 l / / - 4
e
- 96 -
Fácil es demostrar la conformidad de este resultado con el
- / 2 / - /—I e
hallado en el 2.» ejemplo del número 207. En efecto: toda vez que
V/—j/—1 = V / | / - l . [/-i y que e' ~^ = £ , tenemos:
, ;:::; —^ .—^ / i l / / ^
2H. Hagamos ya aplicaciones generales de la fórmula (r). 4. ' En qué sistema el logaritmo de 100 es 2?
Tenemos: P = 400, p = 0, G = 2, ^ = O, luego
tí.^e = e = 10. o
1 2. ' En qué sistema es —el logaritmo de i „ ?
2 - x Haciendo P = l , p = _ - ^ , íí = -2-. g = rr.
será £ . = 1 <5 ^K = l/—1 • ir
3.* En qué sistema es y/—1 el logaritmo de y/—1 9 Tenemos:
P = : l , p = ^ , G = l , í/ = - | ;
n
luego ^b =^ ^
Por via de comprobación, tenemos [135J
( e * ) = c " = 1 = I / = : Í JL JL '^-2 i
— 96 — 4." En qué sistema es e el logaritmo de e? Haciendo P = e, p : = 0 , G = e, g = O,
e resulta B^ = \/ e .
— v'~\ 5.' En qué sistema es — x ^' logaritmo de V ^—1 ? Tenemos:
La cuestión es ahora averiguar en qué sistema es — (/— \ el lo-4
garitmo de v [/—i ; haciendo
se halla B. = e. o
6.* En qué sistema es — "¡r ^ |/— ^ ^ logaritmo de ^— 1 / — • - I
Tenemos: V — \/—\.\o%\/—\ — — ~ \ / ( /—1 ,
haciendo P = l, P = - ^ , ^ ^ í ' ^ = í '
resulta /?. = c . h
VII.—Aplicación de los logaritmos al cálculo de las imaginarias.
^12. Gomo la multiplicación, la división, la elevación á potencias y la extracción de raices de las cantidades imaginarias, se reducen á efectuar operaciones de igual orden con los módulos y otras de orden inferior con los argumentos, los que intervienen ya á manera de logaritmos, se comprende que la aplicación de éstos al cálculo de las imaginarias no ofrecerá ventaja sobre los métodos ordinarios.
Esta observación se verá comprobada en los siguientes
97 —
EJEMPLOS.
213. 1.» Hallar el producto x = V"{/—i X — f/—1 Tenemos [169]
l . V / ^ / - l = : l . l ^ = ^ / - l , l . - y _ l = = l . l ^ = | ^ / _ i , \ 2
luego ' « = •JK'—"1 + - ^ / — í = ^ ^ / — í ; por consiguiente [180]
OC = 1 , ó £C = — V — l / ^ 1
4
El cálculo ordinario sería:
= V/|/—1 X —l/—1 = 1 X l „ = 1 - ó a: = — \ / — / — 1 .
V/|/—1 214. 2.0 Hallar el cociente x = ••
Tenemos:
1 . \/j/—1 = 1 . 1 = ^l /—1 , 4
7w l . _ V / - t / - i = ^ i . i ^ ^ ^ ^ ^ _ i ,
luego la? = — ^/—1 — — /—1 = — — j/—1 ;
por consiguiente a? = 1 g^ . 2~
Por el cálculo ordinario tenemos:
_ V / — ^ / _ l 15 - T
- 98 —
215. 3." Hallar la potencia x = (l + [/—l) .
Tenemos:
i + ^/z:i = / ¥ ^ , 1 (i + ^^) = 1. j/2^ + ^ / = T , 4
O— q
l x = 3 1 . ^ / 2 + ^ / _ l = l i / 8 + ^ i / - i ;
luego X = l / 8 , ^ . T
El cálculo ordinario darla inmediatamente:
216. 4.» Hallar la raíz x~\/{—^—i)\
l . - ^ / = T = l . l 3 ^ = | ^ / = l , ix = - | . | / = : T = . ^ / - r , 2
a = 1^ = — 1 Cálculo ordinario:
3
\/(\í='—' 217. 5." Hallar el producto
v - i t/— X = \ / ( / — 1 X / ~ 1
Tenemos:
/ - • I
(v/^/_4 ) = ^/_t 1 VV/^/-i ^ = ^/-l 1. V/jZ-i = / - i 1.1 =
/ 7 " / 7 "
( j /_ i " V = v / -^ / - l 1 . / _ i = \ / - ^ / - i 1.1^ = TT
_ 99 —
Para dar á esta expresión la forma « + jS j /—1 , tenemos:
(i)„.=- í ^ '^ = - f ( - i +»- í • ^) = i>7r
luego
por tanto [180]
Aplicando el cálculo ordinario, sería
(/—1 4 = C (\//=í)
(^T)
por consiguiente
X = le J n _
— 100 -
CAPÍTULO OCTAVO,
ESTUDIO DE LAS VARIACIONES DE LA FUNCIÓN P , CUANDO G Y g AUMENTAN POR GRADOS INFINITAMENTE PEQUEÑOS
DE PRIMER ORDEN.
I.—Expresión general del incremento de p , en función de los de G y fif.
248. Llamando 7 y p á los incrementos infinitamente pequeño.s positivos que reciben el módulo G y el argumento g del exponente G , hy fc á los incrementos positivos ó negativos correspondientes de a y ^, poniendo G + yyg '+fen lugar de G y gr en las expresiones « = G eos g,p=G sen g, tendremos:
« 4- /i = (G + 7) eos (sr + ?) i3 + A = (G + 7) sen (fir + ?) ;
desarrollando, y despreciando infinitamente pequeños de segundo orden, será
a -^ h=: G eos g eos f — G sen g sen f + 7 eos g eos 7 |S + & = G sen g eos f + G eos g sen ? + 7 sen g eos f
restando de estas igualdades respectivamente las « = G eos sr p = G sen g ,
resulta h=G eos g (eos 9. — 1) — G sen ¡/ sen y + 7 eos g eos <f fe = G sen g (eos ? — 1) + G eos 9 sen <p + 7 sen g eos <p;
pero siendo la diferencia sen* f
i — eos ff =
j (54);
l + eos y
- 101 -un infinitamente pequeño de segundo orden, podemos hacer eos i> = 4, obteniendo
h=:y eos g — p sen f (55) k =y sen jf + « sen y (56).
Si en la fórmula (o), número 478, damos á « y ^ sus respectivos incrementos h y k, tendremos, llamando jo al valor que toma p,
p^-p = bh + lB .k, ó bien
p^ — jp = í> (v eos g — p sen y) + 1 JB (7 sen g + «. sen <f) (57).
Esta diferencia es infinitamente pequeña, luego la función p variq, de una manera continua cuando G y g crecen de una manera continua, lo que ya sabíamos [439].
II.—Condición del crecimiento de JJ, y ecuación de los valores de g para los cuales es p máximo
ó mínimo.
249. La diferencia p^ — p será positiva, y, por tanto, p aumentará, si se verifica
6 (7 eos gr — |S sen f) + 1 5 (7 sen g + « sen ?) > O .
Suponiendo, para simpliñear este estudio, que los incrementos de G sean desde el principio proporcionales á los de g, tendremos
7 — mf, ó sea, puesto que <f es infinitamente pequeño,
y=zm sen 15», y además G = m gr, donde m es constante.
También supondremos generalmente que el argumento b de la base es positivo.
Haciendo a = G eos g = m g eos g , |S = G sen g = m g sen g ,
la condición del crecimiento de p será b (eos g — g seng) + IB (sen g + gcosg)>0 ,
I
— 102 — rt bien
g sen cr — eos g <• IJ5 , "^ „ ' ; <• —;—, según que sea g eos o + sen g "Z. 0. g eos g + sen g > i> ' " ^ " " ' " < El primer miembro de la expresión anterior puede transformarse asi:
sen g 1 g sen g ^ eos g __ eos g g __ tg g — tg ^ _ _ g eos g + sen g ~ ^ sen g i_ i + tgg.tg'i>~^^^ ^''
eosg g
siendo -^ un ángulo auxiliar determinado por la relaeióu
tgi = l ;
luego, por último, la condición del crecimiento de p es IB
tg (í' — ^ ) < - y (O , SI g eos g + sen g > O
I B ó tg (fl' — ^) > - ^ (í'), si g eos g + sen g < O .
220. El análisis superior conduce fácilmente á esta condición, así como también á la ecuación que da los valores de g, para los cuales es p máximo ó mínimo.
Eri efecto, el valor de p, fórmula (o')» puede escribirse en la forma
p z=b m g eos g -\- \ B . m g sen g ;
llamando p' á la derivada de p con respecto á la variable g, tendremos
p' ==b m (eos g — g sen g) + m I B (sen g + g eos g) ;
esta derivada será positiva, y, por consiguiente, la función p crecerá, mientras se verifique
b (eos g — g sen g) + 1 B (sen g + g eos g) > O ,
que se transforma en la condición (t, t')-221. La ecuación de los valores de g, para los cuales es p máximo ó
mínimo, se obtiene haciendo p' = O, que se transforma en
IB tg (g - .j.) = — (u).
IOS —
111.—Límites entre los cuales debe variar g, para que la condición del crecimiento de p sea
la (O ó la (í').
222. Supongamos que g crezca positivamente desde cero, pasando por todos ios estados de magnitud.
Para g = 0 es
Aumentando g, tg i|/ disminuye y ji toma valores cada vez menores
comprendidos entre — y cero; entretanto, la diferencia g — ip aumenta á
partir de — —- •
La condición del crecimiento de p es la (f) mientras sea g eos g + sen sr > O, Esta desigualdad se verifica constantemente mientras el extremo de g recorre el primer cuadrante, puesto que sen g y eos g son positivos, y no se verificará en el tercero, por ser negativos el seno y el coseno de g. En el segundo cuadrante la expresión g eos g -\- sen g cambiar^ de signo una sola vez, pasando de positiva á negativa, cuando el valor absoluto de g eos g sea mayor que sen g; y en el cuarto volverá á cambiar de signo, pa.sando de negativa á positiva, cuando g eos g adquiera un valor mayor que el absoluto de sen g.
Ahora bien, la desigualdad
Sr eos ¡/ + sen gr > O
se transforma sucesivamente en i
eos g + sen g . — > O 9
eos j / + sen flf Ig ip > O
eos g eos ip -1- sen g sen i{» > O
eos (g — •í>)> O,
lo que se verifica mientras g — tf- varia desde — — hasta -¿r • 2 J
— 104 —
Es claro que mientras g — -^ crezca desde — hasta — , como
eos (sf — 'j') < O, será g eos g + sen g < O, y la condición del crecimiento de p será la (í')-
ir Ya sabemos que cuando g — 1}»=: — es g = Q.
Para hallar el valor de g correspondiente kg — ip = —-, puesto que de 1
tg iji = — se deduce g = cot iJ», tendremos g
coi^-'^^- (58).
Esta ecuación trascendente, después de varios ensayos é interpolaciones, nos ha dado
^ = 26» 14' 21", 34, por consiguiente ,
g = 116» 14' 21', 34 = 2,0287578.
3jr
Cuando g — -^ =—-, tenemos
co t , ( , -+ = ^ (59),
que da ^ = H" 30* 16", 21 , por consiguiente
g — 'í»\»WI 16", 21 = 4,9131804. 223. Resulta de lo expuesto que: La condición del crecimiento de p es la (t) mientras g — J/ crece desde — heula —, 1/ la (t') mientras dicha diferencia crece desde — hasta —, ¿ ¿ Já ¿
ó sea, rige la condición (t) mientras g crece riescíe cero hasta 116» 14' 21", 34, ij la (t') mientras g varía entre este idtimo valor y los 281» 30' 16", 21.
3jr
224. Guando sea gf — •í» > — ó bien g > 281o 30' 16", 21, da principio
una segunda evolución de la diferencia g — 4'? Pues hemos considerado
sus valores desde — — hasta -^, y vuelve á regir la condición (í), hasta que sea g — -j/ = -g-, y asi sucesivamente.
- l o s áis. En general: rige la condición (t) mientras el extremo del arco
g — i(i recorre los cuadrantes cuarto y primero en sentido positivo, ó sea,
mientras g — -^ crece desde — — -f- 2ir (« — 1) hasta — + 2jr (»i — 1); y
la (f) mientras el extremo de fir — f recorre los cuadrantes segundo y tí 3;r
y tercero, es decir, mientras g — }< crece desde — + 2n- (n — 1) hasta
+ 2ff (n — \), donde n recibirá sucesivamente los valores 4, 2, 3 . . . .
226. Llamando L y L' & los puptos del segundo cuadrante y del cuarto respectivamente, en los cuales ja función g eos g -\- sen g cambia de signo cuando la diferencia g — •^ verifica su enésima evolución, y g^ "í"»» s'n ^n ^ '''^ valores correspondientes del argumento g y del ángulo auxiliar ji, las ecuaciones que deberán resolverse para determinar la posición de aquellos puntos limites serán
cot-í .„-j .„ = -^ + 2 ,T (n - l ) (60)
C 0 t , f ; - ^ | - ; = : ^ + 2 ; r ( « - 4 ) (61).
en las que n será igual sucesivamente á 4, 2, 3 . . . . 227. Una vez resueltas estas ecuaciones, los valores de g y gf' co
rrespondientes á los de i|< y -^'^^ serán
S'„='í'„ + í + 2 ; r ( n - l ) (62) 2
3ff
2 ^n = ^ñ + í + - 2 ' ' < » - 1 ) (63), puesto que
cot J- = g y cot Ji' = g' .
228. Como el ángulo auxiliar •^^ disminuye á medida que n aumenta, 1
toda vez que tg i|« = —, es claro que los extremos L^ y L'^de los arcos
g y gf' , dados por las relaciones (62) y (63), se van aproximando respec-tivaniente á los extremos del primero y del tercer cuadrante, á medida que aumenta el número de evoluciones de la diferencia g — •^, no podiendo llegar á dichos puntos sino cuando el número de evoluciones fuese infinito, y, por tanto, i}< = 0 .
— 106 -
IV.—Variaciones del argumento p cuando g y G crecen proporcional y positivamente desde cero , siendo B mayor ó igual á la unidad. Fórmulas para hallar los valores máximos y mínimos de p.
229. Sentados estos preliminares, comenzaremos ya á seguirlas variaciones que experimenta el argumento p de la potencia P cuando gr y G crecen proporcional y positivamente desde cero.
Suponemos B mayor ó igual á la unidad. Cuando gr = O y, por tanto, G = O, es / = 0; dando Agan primer in
cremento 7, la fórmula (57), número 218, nos da para incremento de p, toda vez que « y ¡S son nulos,
P^ — 1> = h , luego p empieza por aumentar positivamente.
Á medida que g vaya creciendo, disminuirá ^, puesto que tg I = —, 9
y la diferencia g — -^ aumentará desde — ^ , llegará á cero y crecerá Jé
después indefinidamente. Mientras g — •} varía desde — — hasta cero se verifica la condición (t), y la función p crece constantemente.
230. Demostremos, ahora, la siguiente proposición general: Si B 1, ío función p adquiere un valor máximo mientras el extremo
del arco g — I» recorre en sentido positivo el primer cuadrante; y un mínimo, mientras el extremo de g — ji recorre el tercer cuadrante.
En "efecto: mientras el extremo de gr — l* recorre el primer cuadrante, tg fsr — 'I') es positiva y crece desde cero hasta infinito; luego habrá sido
1JB 1 al principio menor que —, después igual y, por último, mayor; y, como la condición del crecimiento de p es la (()> la función habrá aumentado, después habrá pasado por un máximo, para disminuir inmediatamente.
Al recorrer el extremo de a — iji el segundo cuadrante, rige la condi-1 B ción (t'), y como tg {g —f) es negativa v menor, por tanto, que - j - , la o
Salvo el caso B = 1, c ue examinaxemos.
— 107 — función p disminuye constantemente, sin que se pi'esente máximo ni mínimo.
Mientras el extremo de g — ^ recorre el tercer cuadrante, la tangente crece positiva é indeñnidamente, pasando por valores al principio meno-
IB res que —r-, siendo después igual y luego mayor; por consiguiente la función ha disminuido, después ha pasado por un mínimo, y ha aumentado por último.
Termina aquí la primera evolución de g — •]«, y durante ella hemos reconocido la existencia de un máximo y un mínimo.
231. De las ecuaciones
9 — -^—0, sf — 4 , = — , g — ^ ^ T , g —^= — ,
ó bien
COt ij( — ;|. = O, COt r|< — ^ = -- , COt i|< — •} = >r , COt ip — l» = — , 2 2
se deducen los valores de - 4., = 49o 17' 36", 53, ^^~ 26» 14' 21% 34, ^3 = 16» 16' 24", 53,
,{,^=11»30'16% 21. Los correspondientes de g serán
g^ = 49» 17' 36", 53 == 0,8603335 g^ = 116» 14' 21", 34 = 2,0287578 STg = 196» 16' 24", 53 = 3,4256186 g^ == 281» 30' 16", 21 — 4,9131804,
dos de los cuales, el de g^ y el de g^, habíamos ya obtenido [222]. Luego: LM función p adquiere un valor máximo para un valor del argumento g
comprendido entre g. y g,; y un mínimo, para un valor de g comprendido entre g^y g^-
232. Casos particulares. 1.» Si B = 1, la ecuación del máximo es [221] tg(g-j>) = 0, g-^ = 0, c o t ^ - f = 0,
y la del mínimo tg (í7 — I ) = O, g — •^=iT , cot •} — -f = TT ,
luego:
Para B = 1, eí máximo de p tiene lugar cuando g — 1(1 = O, ó sea, cuando el argumento g eidquiere el valor particular g^; y él mínimo, cuando g — •]/ = ff, ó sea cuando g adquiere el valor particular g^ .
— 108 —
2." Si b = O, la ecuación del máximo es
ig(9 — í)='x>, 9 — i>==^, cot ^ — ,}- = - 1 ,
y la del mínimo
luego: TT Para b = O, el máximo de p tiene lugar cuando g — i}* = —> ó sea,
2 ' cuando g adquiere el valor particular g ; y ei mínimo, cuando g — }< = —, ó sea, cuando g = g
No suponemos á la vez fi = 4, fc = O, porque la unidad con argumento cero no puede engendrar otra potencia que la unidad.
23a. Para determinar el valor de g correspondiente al máximo de p en el caso general, es decir, cuando no es i? = 1 ni 6 = O, hay que resolver la ecuación
I B tg (Sí — ^) = - j ; - (M). •
1 li Á la tangente conocida — corresponden infinitos arcos, pero en el ca-
Puede creerse, á primera vista, que para 6 = O no Re veriñca la condición del mínimo tg (¡¡f - ••i') = -r- , puesto que, siendo g - -^ = -^ , el primer miembro es el infinito negativo, mientras que el segundo es el infinito positivo.
En todos los tratados de Trigonometria, incluso el nuestro, se dice que tg —^ = - oo; sin emboigo, parece algo violento que creciendo la tangente positivamente mientras el arco pasa de r & —-, al llegar éste a su valor extremo —-, salte aquélla bruscamente
¿ ¿ de valores positivos ton grandes como se quieran concebir, si bien finitos, al infinito negativo; igual violencia existe en el paso del infinito positivo, que vale tg -^ , ¿ los valores sumamente grandes negativos que adquiere la tangente en el momento de exceder & ~ el arco. Sólo se explica esto admitiendo la unión de los dos infinitos en un mismo punto, como sucedería en una circunferencia de radio infinito, y considerando tg —- = + 00 , si el punto — se mira como extremo del tercer cuadrante, y tg —^ = - » , si dicho punto se considera como origen del cuarto cuadrante.
En nuestro caso la dificultad queda satisfactoriamente resuelta remontándose & la derivada de p [220], que nos da, para condición de los máximos y mínimos.
6 (eos g - 9 sen p) + IB (sen g + g aoa g) = 0 ,
para fe = O, ^ - J/ = -—, puesto que equivale k sen ^ + flf eos ^ = O, como es fácil comprobar. lo que se verifica para i = O, g - -^ = -—, puesto que esta ecuación g - •^ = ~-
- 109 — so actual sabemos que g — •^ está comprendido entre cero y -¡r- [230]; su-poniendo determinado este arco g — í" y llamándole i, tendremos
3 — i|» = 8, y como g = cot - ,
será coi ¡» — j» = S (ti').
Tal es la forma definitiva de la ecuación que debemos resolver para hallar g, teniendo presente que g = i|< -}- 5-
234. Una vez conocido el argumento g, y, por tanto, el módulo G = mg, el valor máximo correspondiente de p nos lo dará la fórmula (o'), número 479, que puede escribirse, para esté objeto, de otra manera más ventajosa.
Tenemos: I D
p = G(b coa g + I B . sen g) z= G b (eos g + -¡- sen g), I B pero — = tg (g — -j») = tg 8 ,
luego
p — Gb (eos sf + tg 8 sen g) = r (eos gr eos 5 + sen g sen 8) =
Gb , ,, G6cos |< cos(sr —8) = eos 5 eos 5
Asi, pues, \a formula para hallar el valor máximo de p, será
G b eos ip eos 8
235. Para la investigación general del mínimo, tendremos que resolver la ecuación
1 B tg ( ( / - í-) = — •
Ya hemos llamado 8 á la diferencia g — -^ dada por esta relación al hallar el máximo, cuando g — ip es menor que un cuadra;ite; ahora g — ^ debe terminar en el tercer cuadrante, siendo igual la tangente; luego Sf — iJ' = 3-|-«-, ó bien
col ij* — I = 8 + ?r (u").
236. Determinado por esta ecuación el valor de g correspondiente al mínimo de p, se hallará este mínimo empleando la fórmula (»), cierta igualmente para máximos y mínimos, siempre que representemos por S
_ no -el valor de g — -^ correspondiente al máximo ó al mínimo, pues tanto en éste como en aquél se verifica que
IB - ^ = t g ( s f - ^ ) = tgS,
que fué (234) el fundamento de la transformación de la fórmula (o') en la (r).
Llamando í al valor úe g — -^ correspondiente al máximo, esta diferencia g — -fi vale ahora 5 + ;r, luego
Gb eos if" ' ' ~ CCS (5 + ic) '
Au- Gb eos '^ ó bien w = -~ {«'),
. eos 8 ^ -' 237. No conociéndose un método que resuelva las ecuaciones genera
les trascendentes de la forma (u') ó (u"), tenemos que limitarnos á la consideración de casos particulares.
Supongamos B = e,b =^n , es decir, la base neperiana tomada en la dirección real negativa, y será
\B i tg (sr — +) = - r - = — , log tg (í — -) = c.to log n = 1,5028501 ,
O TV
8 r= g — .j, = 17» 39* 24", 43 = 0,30816M ; luego la ecuación (u'), en este caso particular, es
cot i{. — ^ = 0,3081691 (64). Resolviéndola se halla il" = 43» 15' O*, 49; luego el valor de <; corres
pondiente al máximo de p, es 3 = 60» 54' 24", 92 = 1,0630263.
Suponiendo m = i, y, por tanto, G = g, será G = 1,0630263, Aplicando la fórmula (v), hallaremos para máximo de p
— ^>0630263 . TT. eos (43» 15' O", 49) ^ ~ eos (17» 39' 24", 43)
ó ' p — 2,5527159 = 146» 15' 35", 44. Para hallar el valor de g correspondiente al mínimo de p, resolvere
mos la ecuación (u"), que en este caso es cot 1Í. — ^ = 3,4497617 (65).
De ella se deduce i|( = 15» 4' 26", 53, luego g = >[. + 5 4- w valdrá g = 212" 43' 50", 96 = 3,7128533.
- 111 — El valor mínimo de p es, fórmula (v'),
_ 3,7128533 . »r . eos (15° 4' 26% 53), ^^~ eos (17» 39'24', 43)
p = — 11, 8197364 = — (677° 13' 15", 64). 238. Resolvamos dos «jemplos en los casos particulares B = 1 y í> = 0. 1.» Sea \/—1 la base de la graduación y m = 1. Tenemos
luego la fórmula («) nos dará para máximo de p, ff n eos i
de donde se deduce, teniendo presente que la ecuación g — ij< = O ha dado [231] sf = 1. = 49» 17' 36", 53 = 0,8603335,
p = 0,8813682 = 50» 29' 55", 26. El mínimo es, fórmula («'),
j g n eos -^ P = 2 — ;
dando Á g y -\i los valores g = 3,4256186, ;. = 16" 16' 24", 53 ,
hallados en el número 231, se obtiene p = ~ 5,1653619 = — (2^° 46' 53", 58).
2." Sea J8 = e, b = O, w = 1. Sabemos [232,2.»J que g — •^ = i = ir O —, luego la fórmula (v) da p = —" Emplearemos la (o'), que se reduce á
p = g sen g, de donde se saca, teniendo presente [231J que
g — 116" 14' 21", 34 = 2,0287578, p = 1,8197096 = 104» 15' 42", 05.
El mínimo de p nos lo dará la misma fórmula p = g sen g. Efectuando los cálculos, teniendo presente [232,2.°] que ahora es
3»r Sf - ^ = —, y por tanto [231] g = 281" 30' 16", 21 = 4,9131804, resulta
p = — 4,8144689 = — (275° 50' 55", 52).
— 112 -
V.—Expresiones generales de las ecuaciones que deberán resolverse para hallar los valores de g correspondientes á los sucesivos máximos y mínimos de p.
239. Terminada la primera evolución de </ — •^, desde g — ^ = —— 3n-
en que g es cero hasta -—- , es claro que durante la segunda y demás evoluciones de aquella diferencia se volverá á verificar la condición (M), encontrándose otros máximos y mínimos.
Nos proponemos ahora hallar expresiones generales de las ecuaciones que deberán resolverse para hallar los valores de g correspondientes á los sucesivos máximos y mínimos de p.
Llamemos gr y 'l' á los valores particulares de gr y ij< para los cuales es jí máximo por primera vez, y gr , ij< á los valores de </ y i}» para los cuales es p máximo por n »»'»'» vez. Gomo la condición del máximo es siempre
1J5 tg (¡7 - ^) = - y - ,
deberá ser tg (sf„ — ^^) = tg (gf — 1- ) ;
y como los valores de la diferencia g — I» han de terminar siempre en el primer cuadrante [230], tendremos
S'n - K = (^1 - ^ + 27r (n - 4). Habiendo llamado 8 á la primera diferencia g^ — ^^f será
»„ - +„ = ^ + 2'' (n - 1), y como g = cot 4' > las ecuaciones que debemos resolver en la investigación de los diversos valores de gr y -S/, para los cuales p es máximo, son de la forma
cot ^„ - 1 = S-H 2»r (n - 1),
donde á n se darán .sucesivamente los valores 1, 2, 3 . . . 240. De un modo análogo se ve que, siendo*la ecuación correspon
diente al primer mínimo [235] cot i}., — 4. = 8 + >r ,
- l í a las correspondientes á los otros mínimos, en las sucesivas evoluciones de gf — 4», serán
cot+„ - ' = í + »r + 2» (n - 1)
ó cot ,p„-rp„=í + ( 2 n - l ) » .
241. Los valores de g, una vez determinados los de ^ por las ecuaciones anteriores, serán
fl'n = *n + « + 2» <" - ^)
9'« = ' « + ' + <2'»-•»)". correspondiendo'los deducidos de la primera igualdad á máximos dep, y los de la segunda á mínimos.
Téngase presente que las cantidades ^ que figuran en los valores de g^ son distintas, pues se han sacado de ecuaciones diferentes.
lÁSí. Naturalmente ocurre ahora investigar cómo varían los diversos máximos y mínimos de p, para saber si la amplitud de la oscilación de este argumento crece ó disminuye en las sucesivas evoluciones de la diferencia g — •^.
Fácil es demostrar que los sucesivos máximos dep son positivos y crecen constantemente, pudiendo llegar á adquirir valores tan grandes como se quiera.
En efecto: llamando p^ á un valor máximo de p, sabemos, 'fórmula («), que
_ Éf^6cos+„ _ G^bcos-^^ ^** ~ coa [í + ar (n — 1)] cosS '
este valor es positivo, puesto que también lo son todas las cantidades dé que depende, y como Q^ y eos •^^ crecen en los sucesivos máximos de p, es ctaro que p„ crece, pudiendo llegar á ser tan grande como 6e quiera, puesto que G crece indefinidamente.
Los mínimos vienen dados por la expresión O b co» ^_ G b eos íp
/ » eosp + (2n — 1) >r] cosí '
desde luego se ve queoon negativos, toda vez que G , b, eos ^^ y eos i son positivos, y que l0s valores absolutos crecen constante é indeiffni-damente.
8
— 114 —
VI.—Estudio de las variaciones de p, cuando es B < 1,
243. Estudiemos, con la posible brevedad, las variaciones de p en el \B
caso de ser B < 1, y, por consiguiente, —r- cantidad negativa, y demostremos con tal fín la siguiente proposición general:
Si B <i i, los máximos de p tienen siempre lugar mientras el extremo de la diferencia g ^- '}' recorre en sentido positivo el cuarto cttadrante, y los mínimos, mientras dicJio extremo permanece en el secundo cuadrante.
En efecto: al variar g — •^ entre — -„• y cero, tg (jr — ^) habrá adquirido todos los valores negativos desde — oo hasta cero, luego habrá sido
ÍB al principio menor que la cantidad negativa -7- , después igual y después mayor; por consiguiente la función p habrá aumentado al principio, después habrá pasado por un máximo, para disminuir en seguida.
Al crecer g — i|> desde cero hasta -5-, sabido es que rige todavía la condición (t), y como tg (jr — ij») es positiva y el segundo miembro negativo, p disminuye constantemente.
Al variar g — •^ desde — hasta n rige ya la condición (t'), tg (gr — 4-) adquiere todos los valores negativos desde — x hasta cero, luego habrá sido al principio menor que —, después igual y después mayor; por consiguiente, empezando p por disminuir, habrá luego pasado por un mínimo para aumentar inmediatamente.
Al variar g — ^ entre los valores f y -¿r 1 sigue rigiendo la condi-ción (f), y como tg (J; — {<) es positiva, la función p crecerá constantemente.
Caso particular.
244. Si & = O, al ser í? — = -^ ó gf = 116» 14' 21", 34 la función p 3jr tendrá un valor mínimo; y al verificarse g — ^ = — óg = 281o BC16*, 21,
tendrá un valor máximo.
— 115 — . 245, Las ecuaciones generales, para hallar los vak>res de ¡ir correspon
dientes & los sucesivos máximos y mínimos de j>, son también las
Cot 4- — 1 ^ = « + 2jr (n — 1)
cot^„ - • ^ = 8 + (2n — 1) ,r,
obtenidas en los núrnéros SQ9 y 240, donde 3 representa el valor de g — ^, neie^tivo y menor que un cuadrante, correspondiente al primer máximo de p.
246. Como én el núriíero 242 demostraríamos abora que los sucesivos máximos de p son positivos y los mínimos negativos, creci^do unos y otros constante é indefinidamente en valor absoluto.
Las fórmulas qué determinan estos valorea son: Para Io« máximos
para los mínimos
G„ h eos -1 cosí '
G n^^^K
p
^^ cosí
Vil.—Bei^anieti general de las variaeiones del argumento p.
347. El argumento p de la-fiotm<Aa P varia de una manera continua, ovaiHdo gyd ereeen de iguat matura^ Si hs incrementos deGy g son pro-porcionalea, en cada evolución de g — :^, á partir dd valor — — de esta difermcia, €tdquiere p un valor máximo y o^o mínimo: si 6 es mayor que i ó igual á 1, el máximo tiene evmipre lugar mientras el extremo de g — ^ recorre en sentido positivo d prinier cuadratae, y el mínimo, mten* tras dicho extremo recorre el tercer cuadrante; si B < 1, el máximo de p tkfie tugar niieniras el taetremo de g — .4* recorre el cuarto cuadrante, y e{ mínimo mientras dicho extremo recorre el segundo euadrante.
Cuando ! M b = O y B > ' l , eí máximo de p tíette lugar para g — ^ = ir 9K
— 5 ei mínimo para g — = —; Ío contrario sucede cuando B < 1. Los máximos de p son siempre positivos y los mínimos negativos, y
tanto unos como otros crecen constante é indefinidamente en viüor absoluto.
— 116 -
YIII.—Expresión general del incremento del módnlo P, y condición para que sea positivo, siendo B > 1. Ecuación de los valores de g para los cuales es P máximo ó mínimo en la primera evolución áe g — •^.
248. Pasemos -ya á estudiar ias variaciones del módulo P de la po-tencia JS " , suponiendo primeramente B > 1, y, por tanto, 1 B > O*
Si en la fórmula (n), número 178, damos á « y |3 sus respectivos incrementos hy k [218], tendremos, llamando P^ al valor que toma P,
1 P^ — I P = 1 B . /t — í. fc , ó bien
1 P^ — 1 P = 1 B (7 eos 3 — j3 sen f) — b (y sen sr + « sen j») (66).
249. La condición del crecimiento de P es 1 B (7 ojs g — ^ sen <f) — b (7 sen g + » sen ?) > O.
Haciendo 7=í:w8en|>, et = mgx¡osg, §=:mgaeüg,
esta condición se transforma en 1 B(cos g — íir sen g)—b (sen sr + gf eos g) > O (67),
eosg — g aen g ^ b , , > . ó —. - •" •-—- <. T-= , según que sea sen jr + 9 eos g < O, sen g + g eos g < [ B' " ^ ¡> > i> i> ^
g sen «/ — eos ¡jr <; 6 ó bien ; — — •> — r s »
g eos g + sen ,7 -> ' •" ' y como [219]
g &»g + sen g la condición del crecimiento de P es, en definitiva,
te(g — ^)< — ^-^(w),8igcoag+stíng>0,
tg (g - ^) > — j - g (tü'), si sr cósgr + sen sr < 0.
— 117 ^ 250. La aplicación del análisis superior hubiera dado iguales resulta
dos. £sÉribiendo,.en efecto, la expresión (n) bajo la forma I P = l B . mg eos g — bmg sen g ,
será (1 -P)' = n» 1 B (eos g — g sen g) —brh (sen g + goosg); esta derivada será positiva, y creciente, por tanto, la función 1P, si
1 B (eos g — g sen g) — 6 (sen g + g eos g) > O, condición idéntica á la (67) hallada anteriormente.
251. La ecuación mediante la cual hallaremos los valores de g para Ic^ coales es P máximo ó minimo, será
fe ffS (9 — •V) = — f^ («)•
IX.—Variaciones del módulo P cuando G y g crecen positiva y proporcionalmente desde cero. Fórmulas para bailar los máximos y mínimos de P.
252. Haciendo g = O, como « y JS son también nulas, la ecuación (66) nos da
lP^ — \P = flB, Y como I P = O, P =:= i , ja función ha aumentado, eo este primer momento, desde 1 hasta P^=z B*.
Tan pronto como g adquiera un valor muy pequeño, la diferencia g — 4- tendrá un valor muy próximo á — -5-, y la tangente es negativa y sumamente grande en valor absoluto, por ló tanto se verificará la condición (to), y f* irá aumentando.
253. Demostremos ahora que Si B > 1, la función P adquiere un valor máximo mientras el extre
mo del arco 9 —"i recorre en serUido positivo ej cuarto cuadrm^e; y «n mínimo mientras dicho eaAremo recorre el segundo cuadrante.
En efecto: mientras el extremo del arco g — ip recorra el cuarto cua-b drante, su tangente será sucesivamente menor, igual y mayor que — r-= ,
y, como rige la condición (w), la función P crecerá al principio, pasará después por un máximo y disminuirá en seguida.
Al recorrer el extremo de g — -^ el primer cuadrante, la tangente es positiva, mayor, por consiguiente, que — T-g, y la función P disminuirá.
1 XI
- 118 -En el segundo cuadrante, tg <{/ — ip) será tX principio menor, despaést
igual y luego mayor que — r-^, y, como rige la condición (u)'), la función i Ja
P disminuirá, pasará por un minimo y volverá á aumentar. En el tercer cuadrante se verifica constantemente la coadición (to'),
y P crece. Casos particulares. .
354. i.° Si B = 1, la ecuación que da el valor de g correspondiente al máximo de P es
tg (g- . j ) = - M , í 7 - ^ = ^ , dedonde g ^ SSloSa 16', M; y la del mínimo
t g ( g r - # = - « , gf- + = | . , ' gr = 416« 14'21% 34. 2.° Si 6 = O, la ecuación del máximo es
tg(gr-^) = 0, g-^ = 0, g = 4&> i7 36", SQ; y la del mínimo
tg(flr-,^) = 0, g-^^n, gr = 196» 16'24», 53. 255. Para determinar el valor de g correspondiente al primer máximo
de P en el caso general, hay que resolver la ecuación
t g ( ! 7 - + ) = - ¡ ^ (x), que equivale á .
m - cot (sf — ^) = - y ;
comparándola con la (u), número 221, y llamando í' á la actual diferencia g — •^, como la gr — ' del número 221 se representó por 8,-será
— cot 8' = tg í , de donde 8* = S — -g- ; luego la ecuación que deberemos resolver para hallar el valor de g correspondiente al primer máximo de P es
cot ij. — ij. = 8' ó cot 4» — 4» = 8 — -^ (aj'),
Véase la nota del número S83.
- U 9 —
donde $ representa el valor de g — ^ correspondiente al primer ntéxi-moáep.
256. Una vez resuelta esta ecuación, para bailar el valor de P introduciremos en la fórmula (n') el ángulo auxiliar ^, deducido de la ecuación (a/).
Tenemos:
(I D ' \
— eos g — sen g) = f* h
ÍT b (tg í eos jr — sen g) = r (sen 8 eos g — sen g eos 8) = ^ eos o
G b sen (8 — g) eos 8 '
pero siendo g — ifi = 8 — —, tendremos ' sen (8 — g) = sen (^ —i|»j = coSi}i;
1 - , „ G b eos it . . . luego IP= ^ (y).
eos 8 257. Para la investigación general del minimo hay que resolver tam
bién la ecuación (x)
Al hallar el primer máximo convertimos esta ecuación en su equi* valente •
c.ot-^--^=i~~, pero entonces g — ^ era un arco negativo menor que un cuadrante, y ahora ha de ser positivo y terminado en el segundo cuadrante; y, como han de tener estos arcos igual tangente, será
cot ,p - ^ = 8 + - | (x").
258. Una vez determinado por esta ecuación el valor de g correi^on-diente al minimo de P, se hallará éste mediante una transformación análoga á la que nos condujo á la fórmula (y), con la sola diferencia de que siendo ahora g — ' = 8 -(- -5-, se tiene
sen (8 — g) = — sen ( - ^ + ^ ) = — eos 4.,
Gb eos ^L . ,. luego 1P = — — ¡ ^ (y').
eos 8
- 1 2 0 -250. St tenemos B = «, &=:«•, caso particaiu' resuelto ai ^tudiar las
variaciones de p [237], re(k>rdando que í = 17» 39'24", 43 = 0,^>81691,
para hallar el valor de g correspondiente al máximo de P, deberemos resolver la ecuación
cot ip — + = — 1,2626272 (68). El valor de f es ^ = 81» 12' 23", 24 = 1,4173200,
luego <7 = ^ — 1,2626272 = 0,1546928 = 8» 51' 47', 68. Suponiendo m^^i, y, por tanto, G = g, tendremos
G = 0,1546928, y el máximo de P, fórmula (y), será
l P = JLSL22il = 0,0779672 eos í. P = 1,0810871.
Para tupiar el valor de g correspondiente al mínimo de P, resolveremos la ecuación (x"), que en este caso particular es
cot J. — 4< = 1,8789654 (69),
y da ^ = 23» 35' 4', 35 = 0,4116279,
luego Í; = + + Í + ^ = 1310 14'28',78 = 2,2905933.
El mínimo de P es, fórmula (y'),
1 P = = _ ! L 1 Í ? 1 Í = _ 6.9210762 I eos í
P = 0,0009867675. 260. Resolvamos dos ejemplos en los casos particulares J3 = 1 y 6 = 0. 1." Sea f/—1 la base de la graduación, por tanto B = i, b =-^ • Sabemos [254] que la ecuación del máximo es
• 3«-
Aplicando la fórmula (y), como 8 = O, será
Hechos los cálculos, teniendo en cuenta los valores de gr y ^ [^1]> se halla
1P = 7,5625517, P = 1924,75,
— 121 —
La CArmuia (t/') da paria valor del mMmo I P = — ^^ — i - ;
poniendo en vez de 9 y f los valores deducidos de la ecuación g — '^ = -x; será 1P = -2,8583868 P = 0,05736i21.
2.» Sea B = e, fc = O, í» = 1.
Tenemos tg « = « , 1= ^, coti|< —'j. = 0, í; = tp = 49»l'f 36', 53.
La fórmula (y) nos daría —; aplicando la (n') será I P = g eos g.
Efectuando los cálculos resulta para máximo de P . P = l,75í¿932.
La fórmula (y'), aplicada á la investigación del mínimo, da también 1P = -Q ; empleando la (n'), será 1 P = g eos g.
Efectuados los cálculos, recordando £254] que g = 496» 16' 24% 53 = 3,4256186,
se halla 1 P = — 3,2883720 P = O, 03731455. ,
X.—Expresiones generales de las ecuaciones que deberán resolverse para hallar los valores de g correspondientes á los sucesivos máximos y mínimos de P.
261. Terminada ya la primera evolución de g — 4>, durante la cual hemos reconocido la existencia de un máximo y un mínimo, es claro que en las siguientes evoluciones de g — ^ se presentará siempre un máximo y un mínimo, y que las ecuaciones correspondientes serán:
Para los máximos COt „ - ' ^ = «' + 2,r (« - 1);
para los mínimos cot + „ - + „ = y + (2n - 1)TT,
donde S' es el valor áeg — •^ determinado por la relación
tg (g- ,p) = - f ^
ai hallar el primer máximo, ó sea la diferencia ^ — -a'
- 122 -962. Una vez hallados los valores de ^, por medio de las ecuaciones
anteriores, los correspondientes de g serán !/« = +„ +• y + 2,r (n - 1)
9n = ^n + « ' + ( 2 n - l ) T . 263. Para investigar cómo varían los diversos máximos de P, téndre-
ttios presente la fórmula {y) Gb eos ip
"" cosí . Generalizada esta expresión á un valor máximo cualquiera de P, es
, Cr I» eos J.„ l . P = "
»» ~ eos í ' cuyo valor es positivo y crece con n, toda vez que G y eos i|< crecen y los demás actores son constantes.
Como 1. P^ es siempre positivo y crece indefinidamente, á'causa del factor Cr , ios máximos de P serán mayores que la unidad y crecerán sinUmite.
264. Un mínimo cualquiera de P se hallará por la fórmula Gr h e o s n!í
4« ( «> 1 . P„ = -
cantidad negativa, que crece constante é indeñnidamente en valor absoluto; luego los valores mínimos de P serán siempre menores que la unidad y tenderán hacia cero.
XI.—Estudio de las variaciones de P cuando B < 1.
265. Supongamos ya B < 1, y, por tanto, 1 B < 0. Las condiciones (w) y {w') del crecimiento de P cuando B > 1,
son ahora tg (Sf —^) > - -j-g- ( w,), si g eos fl( + sen g > O, -
tg (gr - 4<)<--- j -g- («/,), si sf eos sr + sen g < O .
Fácil es ver que la función P disminuye mientras g — ^ varia entre — — y cero, pasa por un mínimo al crecer g — i}» de cero á —, aumenta
2 . 3»
de«p\}^ y pasa por un m&ximo mientras g —^ varia entre » y ^ •
- 198 -266. En el óaso particular b =0, fl mínimo de P tendrá lugar para
gi — 4. = O, ó sf = tó» 17' 36", 53; y el máximo para g — ^ = «, ó g = i96» 16' 24», 53.
267. Para determinar el mínimo y el máximo en el caso general debemos resolver la ecuációrk' > ;=; ;?: fí JM/
l g ( g - 4 , ) = - — (x^ ) ;
llamando 8. al menor arco positivo cuya tangente es — j - g , tendremos
c o t ^ - + = a , (x\), para ecuación del valor de ^ correspondiente al primer mínimo.
La correspondiente al primer máximo será cot ^ — ^ 3|= 8, 4- ff a;» ^ ,
368. Para otros mínimos y máxim(K¡, las ecuadones serán: Para los mínimos
COt J.^ - + „ - » ! + ^ <" - "I) •» para los máximos
cot f^ — ,í. = í + (2n — 1) ff .
XII.—Resumen general de las variaciones del módulo P.
269. Etmádulp ¥ dé Ui potencia f varia de una manera ámünua, cwm«Ut gy G crecen 4e igwd manera. 8i los incrementoa de g y Gson pro-porcionatee, en cada evolución deg — , á partir de — -5-«« sentido posi-tivo, pasa el módulo P por un méximo y por un mínimo: si B es mayor que 1 ó igual tí 1, el máximo tiene lugar siempre mientras g — -^ varia entre — -^ y cero, y el mínimo mienti'os g — ij» varia entre -5- y « ; «i
2 • • - ' • • • 2
3w B < 1 el máximo de P tiene lugar al crecer g — ^ desde ir hasta -—, y él
iininimo mientras aquella diferencia vana entre cero y -jr • Cuando b = O y B > 1, alcanza P «a valor máximo áí mr ¿ — 41 = O
y el mínimo para g — + = «•; lo contrario sucede si B < 1. Los mámmos de P son sien^re mayores que la unidad y erasen cons
tante 4 indefinidanimte; y los mínimos son merwres que uno y disminu' yen, tendiendo hMia. cero.
_ 1 2 4 -
XlIIi—Estudio simultáneo de las variaciones de Pyp.
270. Dividiendo miembro á miembro las expresiones <n') y (o'), número 179,
1 P = G (I B . eos jr — b sen jf) p = G (b COB g + I B . sen g\
\P _ P ~
1B . eos g — b sen g _ h eos g -\-\B . sen g
\B b tgg \P _
P ~ 1B . eos g — b sen g _ h eos g -\-\B . sen g +V^ • tgsf
cuando p es máximo i 6 mínimo se veriñca [221]
- = tg(sf-4'), luego entonces será
I P V
_ tg (g - í-) ~ i + t g ( » -
~ =- te (</ 4 - 9 ) = = - -^
1 y, teniendo presente que tg 4* = —, hallaremos como fórmula que deter-mina los valores del módulo P correspondientes á los máximos y mínimos de p,
1P = — ^ (70). 9
271. Cuando el argumento p alcanza valores máximos es poftitivó, y negativo cuando llega á los mínimos; por consiguiente de la exprewón anterior se deduce:
El módulo P es menor qtie 1, cuando el argumento p es máximo, y mayor que i, ti dicho argumento m mínimo.
272. Dividiendo otra vez las formulas (n')y (o'), pero en orden inverso,
p b eos g -H 1B. sen g f l " ^ ^ senaiia i p ~ I B . cosí^^feseng " _ ^ . "'
IB' ^r
cuando P toma valores tnáxinao? ó minimos ea [351} b
— = — tg ( - 4-), luego para dichos valores será
P _ tgy —tg(g-^t») _ , ^ , ^ „ j . i \ —»„f.
4 y como tg 4» = —, la fórmula para (k^rminar loa valorea de p coirMpon*
dientes á loa máciittoa y minimoa df P» será
273. El módulo P es mayor que 1 en los máximos y Éfenor en los mU niinos; luego de la expresión anterior se deduce:
Siempre que P alcama valor mimmo, el arffumetUo p ea positivo, y negativo cuando P ea mínimo.
274. Dando á p en ia fórmula (o') el valor cero, tendremos
6 eos 9 + 1 fi . jsen ar—O, b de donde tg sr = — r - j - (72).
275. Para ol tenei» el valor correspondiente de P, suponiendo el módulo 6 de la base distinto de la unidad, teinemos
1 P = G (I B . eos sf — b sen g) = Cf IB Tcos g p ^ sen g\ =
GlB(cosg + i ? ! ^ ) = GIB ( ! 2 5 l i - ± ^ ) = « i » , \ ' ' " c o 8 f l r / \ cosff / cosfif'
GIB
lu^SO P ~e " , y «Jintí e'* = B , será
P-^ST" (73). 276. Los resultados (72) y (73) nos dicen:
— 126 — Cuando la tangente del argumento g adquiere ti valor partiettíiar
, el argumento p de la potencia es cero, lo que sabíamos ya (157), IB 8
y el módulo vale B°" ' . 277. Demos á P en la fórmula (n') el valor i, y será
I B . eos g -—b sen g = O, I D
de donde tg gr = - ^ (74).
278. El valor correspondiente del ai^umento p es
p = G (5 eos íT + 1 B . sen gi) = G 6 í eos 9 + -r— sen jr \ =r
G fe feos g + i g ^ ) = g 6 (^" '^ + ^^' g ) ; \ " cosgr / \ cos^ / ' Gh luego, cuando P valga \, será p = (75).
279. Las dos últimas fórmulas nos dicen: Siempre qué la tangdnte del argumento g adquiera el valor particular
-r-, el módulo de la potencia será i, y el argumento •
280. Llamando g y g" & los valores particulares que adquiere el argU' m«qto d«l expolíente cuando jp es cero y cuando P es i , é»-Us «q>re' siones '
6 , _, IB tgy = ~ ^ , t g y = - ^ ,
se deduce tg y = — cot jr*,
y de ésta g — g'^z^, luego:
Loa valores partictüares del argumento g, para los átales toman p v P los valores respetivos cero y i, difiei'en en nn cuadranO».
281. Las fórmulas obtenidas en este articulo se sin^plíficcui ..todavía, cuando la base de la graduación es el número e, y m = 1.
En este supuesto, los máximos y minimos de p se hallan [238,2.°] por la rtíación
p, 3= ^ sen g, ' •,•''•
_ m — reduciéndose, por tanto, la fórmula (70) á
1 P = — sen gr (70'),
Para los máximos y mínimos del módulo P se veriñca [260, 2.o] \ P = g eos g,
luego la fórmula (71) será p = eos g (71'>.
De la fórmula (72) se deduce, puesto que b == O,
g =0 6 g = it,
luego la (73) dará respectivamente
P=e' = i, P = e-'' On
Por último, deduciéndose de la expresión (74) y = — , la (75) nos
dará — para valor de p. Haciendo 6 = O, ií = c en la fórmula
p = G(bcosg + IB , seng)
tendremos p = g (75').
28*2. Calculando, por medio de las fórmulas descubiertas, los valores máximos ó mínimos del argumento p y del módulo P, para una base'determinada JB , los valores de P correspondientes á los máximos y mintmos de p, y reciprocamente, asi como también los que adquiere el módulo cuando el argumento es cero, y los que toma el argumento cuando el módulo es 1, se puede ya, con estos datos, formar una idea de la marcha de la función P^ y representarla gráficamente, puesto que conocemos los principales puntos de la curva. Si éstos no bastasen, podrían hallarse otros intermedios, dando á la variable G valores convenieotes.
Por via de ejemplo, hemos calculado los mendonados valores, limitándonos á los comprendidos en la primera evoluci(^ áeg — •^, para el caso parücutor de ser el número e la base de la graduación, suponiendo m = 1, ó sea g = G, Y creciendo estas variables positivamente y de dna manera continua desde cero.
Á ontiiiuación ponemos un cuadro con los resultados numévicos, y las curvas que representan la marcha de la variable G {Fig. 12.*) y la de
* e. lafunciónP = e '{Fig. 13.»)
- 1 2 8 -
Variaciones de la función P =e p
g
1 A
VALORES SIMULTÁNEOS DE 1 A
9 G P P 1 A 0 0 0 1 .!
1 ^ 49" 17' 36", 53 0,8603836 87° 22' 2", 78 1,76269% rttáasimd C 90o 1,5707963 90» 1 D 116» 14' 21", 34 2,0287578 104»15'42",05wá!riim) 0,4078093 E 180» 3,1416927 0 0/)432189 F 196» 16' 24", 63 8,4266186 - (55» 0* 0", 8a> 0,0873145 nOnimo
1 G 281° 8'41" 4,0842366 - 180° 0,0795874 H 270» 4,7123890 - 270» 1 I 281» 90* 16", 21 4,9131804 - (275* 60* 66", 62) mfntmo 2,6642185 K 292» 4ff 81", 70 5,1090282 - 270° 7,1972400
xr--£
FiG. 12.» FIO. 13. '
t'
— 129 -
CAPÍTULO NOVENO.
ESTUDtO DE LAS VARIACIONES DE LA FUNCIÓN P , CUANDO g AUMENTA
DE UNA MANERA CONTINUA, PERMANECIENDO G CONSTANTE. .
I.—Expresión general del incremento de p, y condición para que sea positivo. Ecuación de los valores de .9 correspondientes á los máximos y mínimos de p.
283. Desde luegp podemos notar en las fórmulas (n') y {o') \ P=G{IB .eos g—bsmg)
p = G (b eos sr + 1 B . sen sr) , .' • teniendo presente giie para arcos del mismo origen y de extremos diame-ti!almente opv^fstos ifis senos y cosenos son iguales y de signp contreii'io, que para vaiore$el$l argumento g, diferentes en media circunferencia^ k)8 valores dep sólo diferirán en el signo, asi como también los de 1 P, toda vez que G es constate; luego lo» valorea de p serán iguales y de signo contrario, y los de P s&'án reciprocas.
Asi por ejemplo: para ^ = O, p = Gb, 1 P = GIB, P ^ B^ , . para g =n, p = — Gb, 1 P = — G 1 B, P = B~^ .
28Í. Haciendo 7 = 0 , puesto que G es constante, la expresión (67), úúmgro [fiiS], del incremento de p se reduce á '
Pj —p = 8en?(««lB —ftjS) f 3 % '
donde se ve q\ie f varia por grados inñnitamente pequeños, ú>da vez i)Oe el factor»\B — hpesfinito. '
- lao — 285. La condición del crecimiento de p es
fe/9<al5 ó í>8enfl '<cossf.lB (77), I 1>
ó tgg<-j- ( * 0 . si COS5r>0
IB /4> \ tg g > - ^ {* i) , s\ eosfií < o ;
y será la (t^) siempre que el argumento g tenga su extremo en ios cuadrantes primero ó cuarto, y la ^t'^\ si g termina en los cuadrantes segundo ó tercero.
286. Los valores máximos y mínimos de p tendrán lugar cuando sea
US9 = -^- («,).
11.—Variaciones del argumento p.
287. Supongamos B > 4. La tangente de g, mientras crezca este arco desde cero hasta — , to-
- • 2 mará todos los valores comprendidos entre cero é infinito; luego será al
I D
principio menor que —r- , después igual, y por último mayor; por consiguiente la función p crece, pasa por un máximo y disminuye después.
Al recorrer el extremo del argumento g el segando cuadrante, rige la oúittdición ít'A, y como tg ^ es negativa y menor, por consiguiente, que
1 B • •
—r- , la función p dismmuye constantemente. Al variar g entre «r y -^ , la tangente recorre toda la escala de valoñ»
IJB positivos desde cero hasta infinito, luego será al principio menor que -r-, después igual y lu^o mayor; por consiguiente p disminuye, pasa por un mínimo y aumenta en seguida. . Al recorrer el extremo de g el cuarto cuadrante, la tangente de g es negativa, y como rige la condición ít^ , p continúa auinentando.
i JB La tangente de g ha de tener igu^' valor —r- cuando el extremo de g
pase por el punto del primer cuadrante correspondiente al máximo de p, que cuáhdo pase por éi punto del tercer cuadrante correspondiente ái mínimo, luego estos puntos estarán diametralihente opuestos.
- 131 -288. En el caso particular 6 = O, la condición (77) del crecimiento
de p es eos j > O, qUe se verifica en los cuadrantes primero y cuarto. Losmáximos y mínimos tendrán lugar para tg ^ = oo , y, por con
siguiente, w • BIT
Luego la función p crece mientras el extremo de g recorre el primer cuadrante, llega al máximo al ser g = —, diisroinuye mientras el extremo de g recorre los cuadrantes segundo y tercero, llega al minimo cuando jr = —-, y vuelve después á aumentar.
S e a B = l . Crecerá p mientras sea sen 9 < O, lo que se verifica en los cuadrantes
tercero y cuarto. Los máximos y mínimos serán para
t g íir = O , Ó jr = 2 j r , g = K.
Luego p disminuye mientras g varia entre cero y ir, llega al minimo al ser g = v, aumenta después mientras 9 varia entre ir y Siv, y al llegar g á este último valor, p es máximo.
Observaremos que el valor de p correspondiente &.g = 0 seria máximo, si considerásemos antes valores negativos de g.
290. SeajB<l. La condición /t^) no se verifica en el primer cuadrante, porque — es
cantidad n^atiya; la ft\\ llegará áveríficarae en el segundo cuadrante, después de haber alcanzado g un valor para el cual sea tg jr = — , al que corresponde un minimo de p; inmediatamente después de pasar g por aquel valor, p comenzará á crecer, y seguirá vaj'iatvdo en este sentido mientras; recorra el tercer cuadrante, por véHficarse k condición /('^);
IB la (t^) se verificará en el cuarto hasta que llegue á ser tg ; = - y - , en oüyo momento p será máximo.
Por consiguiente p disminuye al principio, pa.sá por un minioM» mientras el extremo dé j)r recorre el segundo cuadrante, aumehtit de^és , y toma on valor Máximo al recorrer g el cuarto cuadrante.
£s chkro que el mínimo y el máximo mencionados tienen lugar para valores de íT que difieren en media circunferencia.
— 132 — 291. Si es b = O, la condición (77) del crecimiento de p es eos g < O,
que se verifíca en los cuadrantes segundo y tercero; luego p disminuye hasta que sea g =-^,en cuyo momento p es mínimo, aumenta mientras
g crece desde -^ hasta —, y al llegar g á este valor, p es máximo, y dis-
minuye inmediatamente. 292. Por consiguiente, resumiendo lo dicho: Cuando B >• 1, existen dos puntos fijos diameírcdmente opuestos M.y la
(Fig. 14.*) en el primero y tercer cuadrante respectivamente, determitiados IR
ambos por la relación tg g = —, que separan en cada evolución de g tos valores de este argumento para los cuales p crece ó disminuye: p crece mientras el extremo de g recorre, en sentido positivo, el arco mtí, y dis-minjiye mientras el extremo de g recorre la otra semicircunferencia M m ; p es máximo cuando el extremo de g está en M y mínimo cuando está en m.
FIG. 14.» FIG. 45." FIG, 18."
B > 1 . B = 4. B < 4 .
Cuando B := 4, ios putUos U y m (Fig. 45.*) son él origeniieiOí argumentos y (A ákam^ralmenie opuesto. .
Si es B -< 4, exiisten dos punios diamétraluáénte opuestos m y M (Fig. 46.') CJiei segundo y cuarto cuadrattte respectivamente, determina'
IB dos ambos por la remoción tg g = —j— , que separan en cada evolución de g (os valoree, de este argumento pat*» los cuales p crece ó disminuye: p creee mientras el extrema de g recorre en sentido positivo el arco m ]!il> V disminuye mientras dicho eáUremo recórrela semtcirotui/'erencia M m; p es minimo cumulo el extremo de g está en m y máxime^ etmndo está en M. < ;
188 —
III.^Fórmula para hallar los valores máximos y mínimos de p.
298. Para, hallar los valores máximos y minimos de p, modiñcaremos la fórmula (o'), de un modo semejante al que empleamos en el número 334.
Tenemos: p =iG{b eos jf + 1 B . sen ) = G b eos A + - ^ • ^^J'\ =
G b eos SI (4 4-tg*íf) ; pero 4+.tg*sf = j - - , eos (f
Gb luego p = (v.\.
' eos gr V * Desde luego se observa en esta fórmula que, difereneiándose en media
circunferencia los valores de g correspondientes at máximo y al mínimo de p, estos valores de p serán iguales y de signo contrario, corresponf diendo el signo + al máximo y el — al mínimo en todos los caisos.
El argumento p de la potencia veriñca, por consiguiente, á cada evolución de g, una oscilación cuya amplitud es constante y determinada, desde el momento en que se asigne á G un valor determinado.
Si G toma valores sumamente pequeños ó sumamente grandes, la amplitud dé la oscilación podrá ser tan pequeña ó tan grande como se quiera.
Para un valor determinado de G, dicha amplitud es la menor posible cuando¡if = O 6 g=ir, porque entonces el valor absoluto del denominador eos g, que es la unidad, es el mayor posible. Este caso tiene lugar cuando B = i [286]: la oscilación de p es desde + Gb hasta — Gb.
294. La fórmula (v^\ no puede apücarse para los valores j = ' o Y 3ir O
g == -¡r, porque en estos casos es [286] b = 0 , y seria 2<,= — • Aplicando la (o') tendremos:
jj = d b GIB (78). 296. Hemos dicho que la amplitud de la oscilación de p será tan gran
de ó tan pequeña como se quiera, dando á G un valor suficientemente
- 1 8 4 -
grande ó pequeño. También puede asignársele un valor determinado, haciendo que G tenga el valor correspondiente deducido de la relación
Gb , eos g
(79),
donde > es la amplitud de lasemioscilaeión, y el ai^umei^to determinado por la condición tg g = —r--
o 296. Pero si G tiene un valor determinado, asi como también el mó
dulo B y el argumento b de la base de la graduación, eos g tendrá un soló valor absoluto, y, por tanto, p solamente podrá adquirir los valores comprendidos entre dos limites, que son el mínimo y el máximo dados por la fórmula fv^\ .
Wl. Á primera vista, parece descubrirse aqui una contradicción: si en la fórmula [175]
G- . , „ P + p^
b'
damos &G, By b determinados valores,, y á p un valor mayor que el límite asignado á esta función por la fórmula (v^), podremos deducir un valor correspondiente de P; y si después llevamos estos valores á la expresión [175]
p .IB — b.lP S( = are tg IP.lB-tpb
hallaremos un valor de g, para el cual la fórmula (o') nos deberá dar el valor que hemos atribuido á p, mayor que los límites entre los cuales se halla comprendida esta cantidad.
Esta objeción sería concluyenle si, en las condiciones mencionadas, la fórmula
a- .A'p + p' - / fB^b^
pudiera 'dar un valor de P real absoluto, coráodebe ser el módulo de una imaginaria.
Varaos á demostrar que esto es imposible. La expresión anterior da
lP=\/G''{l'B+b') -p''.
- 186 -pero de la fórmula (v\ se deduce
haciendo 2 „ 4 />2 1,2
p eos g == G o ; 2 • 1 6^
eos gr = — — = , i + tg g fB + b"
IB puesto que tg g = — , se obtiene fácilmente p' = GHy'B + b'),
igualdad que se verifica dando áp su valor máximo ó el mínimo; pero atribuyendo, como hemos supuesto, á p un valor mayor, tendren>6s
p^>G'(eB+b'), y 1 P será imaginario, para lo cual P necesariamente ha de ser cantidad imaginaria (5 negativa, lo que es imposible.
IV.—Expresión del Incremento de P, y condición para que sea positivo. Ecuación de los valores de g correspondientes á los máximos y mínimos de P.
298. Pasemos ya ¿ estudiar las variaciones del módulo P, suponieB" doB > 1.
Haciendo •/ =: O, la expresidií (66), número 248, del incremento de 1P se reduce á
1 P^ — 1 P = — sen ? (¡3 . 1 B + 6 «) (80), donde se ve qué ] P y por consiguiente P varía por grados infinitamente pequeños.
299. La condición del crecimiento deP es p.\B<, — b»ó seng.lB<. — bcoag (81),
ósea t g ? < —j-g («'2)' **' eos gf > O
tg gr > — j-g (w'2) , si eos g < O.
300. Los valores máximos y mínimos de P tendráp lugar cuando sea
^9 = -rB i"^)'
V.—Variaciones del módulo P.
301. La condición del crecimiento de P será la ^w ^ siempre que el argumento g del exponente termine en ios cuadrantes primero y cuarto, y I^/M/J) cuando termine en el segundo ó tercero.
La ooadicióü (w^\ no puede verificarse mientras g termine en el primer cuadrante, luego P disminuye.
La Av') llegará á verificarse en el segundo cuadrante, toda vez que tg g varia desde — oo hasta cero, y como antes de ser tg gr > —-,
IB habrá sido tg ¡jf = — p ^ - , la función P pasa por un mínimo mientras
1 -O
e,l #x fetQ9 del argumento g recorre el segundo cuadrante. AV "Variar g entré n y —- , la condición (w'j) se verifica constante
mente, luego P aumenta. Por último, al recorrer el extremo de g el cuarto cuadrante, se verifi
cará al principio la condición /w \ y P seguirá creciendo, pero llegará un mfmento en que dejará de verificarse, y como antes de ser tg g > — —,
habrá sido ^ SÍ = ¡-K- > la función P habrá pasado por un máximo, disminuyendo inmediatamente después.
És claro que el mínimo y el máximo tendrán lugar para valores de g que diHeran en inedia circunferencia.
302. En el caso particular i> = O, la condición (81) del crecimiento de P es sen g •< O, que se verifica en los cuadrantes tercero y cuarto.
El mínimo tendrá lugar para gr = ir y el máximo para g = ÜK. Lu^o la función P disminuye mientras el extremo de g recorre los
dos primeros cuadrantes, llega al mínimo al ser g = ;r, aumenta mientras dicho extremo recorre los dos últimos cuadrantes y llega al máximo cuando g = 2^. ,
&03. SeaB = l. La condición (81) del crecimiento de P es ahora eos g<.0, que se ve
rifica en los cuadrantes segundo y tercero.
- ISÍ -El mfoimo y ei máximo tendrán lugar respectivamente para
ir 9iT
r = - 2 - y » = -2--Luego P disminuye mientras el extremo de g recorre el primer cua
drante, liega al minimo cuando g = -^, aumenta mientras dicho extremo
recorre los cuadrantes segundo y tercero, llega al máximo cuando $r = —, y vuelve después á disminuir.
304. S e a B < l . Las condiciones (w\ y (w') se convierten, puesto que I B es nega
tivo, en b
*^^^ ~TB ("'») . s' eos Í ; > O
tg sr < — j-g (tt/g) , si eos g < 0 .
La íwA no se verifica al principiar $r su evolución, pero es evidente que en el primer cuadrante libará tg g á ser igual y después mayor que — r-^; luego P empieza disminuyendo, pasa por un mínimo y aumenta
l JO
después. En el segundo cuadrante se verifica la condición (v/^\, luego P sigue
aumentando. Pero en el tercer cuadrante llegará un momento en ^ue sea tg ¡jr =
— j - ^ y después mayor; luego la función P habrá pasado por un máxtmo, empegando á disíhinuir, y continuando: asi mientras ei extremo de g recorre el cuarto cuadrante, puesto que la condición íw^ no puede verificarse.
El minimo y el máximo tendrán lugar para valores de g que difieran en 180».
305. Si es fe = O, la condición del crecimiento de P es sen g > 0¿ y se verifica en los cuadrantes primero y segundo-, luego P crece mientras el extremo de g los recorre, llega al máximo al ser g = «, disminuye en los dos últimos cuadrantes, y alcanza el minimo valor cuando g = 2ir.
306. Resumen: Cuando B>>1, exiíten dos puntas dtametrcUmente opuesto» ta' y W
(Fig. ii.*)en d segundo y cuarto cuadrante respectivamente, determinados ambos por la relación tg g = — j-=, que separan en cada evolución de g
I B
— lóalos valores de este argumento para los cuales P crece ó disminuye: P di$-minuye mietitras el extremo de g recorre en sentido positivo el arco M' m', y aumenta mientras aquel extremo recorre la otra semicircunferencia m' M'; P es mínimo al llegar el extremo degám' y máximo al llegar á M'.
Si B = i, los puntos m' y M' son los extremos de tos cuadrantes primero y tercero (Fig. i5.') •
En el caso B •< 1, existen dos puntos diamelralmente opuestos m' y W (Fig. 16.*) en el primero y tercer cuadrante respectivamente, determinados ambos por la relación tg g = — r—, que separan en cada evoludún de a
IB los valores de este argumento para los cuales P crece ó disminuye: P crece mientras el extremo de g recorre en sentido positivo el arco m' M', y disminuye mientras dicho extremo recorre la otra semicircunferencia M' m'; P es mínimo cuando g termina en m', y máximo cuando g termina en M'.
FIG. 14.»
3. \j/
FIG. 16.*
B<i.
luego
y como
resalta
IJ? 1 P = G \ B. coa g {i-\-\ig),
1 i + tg*j/ =
cos'gí
I P = GIB co» g
sen
307. Para bailar los máximos y mínimos de P, modiñoiremos la fórmula (n').
Tenemos: I P = í? (1JB . eos gp — 6 sen sf) = G 1 fi . eos g (\ — j ^ pero al llegar P á sus valores máximos y mínimos es [300]
h = tgy .
eos g g)'
(í'O
- 1 » -306. £1 exan^n de esta fiinnúia maniflesta: 1.» Que Ids vaioires máxinios y ntiRÍines de tP son i|^«Er y dé signo
contrario, puesto que k» correspondientes de 9 difieren en media circunferencia; luego los valores máximos de P son tintineos de bts mínimo».
2.» Los limites entre los cuales varia P estarán tan aparia^ de la unidad como se quiera, dando á G un valor sufldentemente grande', es decir, que el máximo y el mínimo de P, tienden respmlivamente hada ín-finito y(xro, ctumdo Ct crece indefinidwinente.
ir 3ir
3.» Esta fórmula no pú6de aplicarse cuando gf =' -5- <5 g = -g-, porque en estos casos es B ="1 [300], y, por otmsigiiiente, I P = -JT* La fórmula (n') daria I P = q= 6 G.
VI.—Consideración simultánea de las variaciones de |> y P.
309i Estudiemos ahora, en conjunto, las variaciones de la potencia P . Los valores de 9, coirespoñdientos & los máximos y mínimos depy P,
están dados respectivamente por las ecuaciones
y los máximos y mlnintós de p y P son
' COSÍ' ^ ' ' CO»? Si llamamos g' á los valores del argumentó g para los cuales es P mi-
ximo ó mínimo, y simplemente g á ktavAloresd^^t^teargumento páralos cuales lo es p, de las ecuaciones («A y Xg\ se. deduce
tg g' = — ÍM 0,
ydeaqui 9'= ^ + 9 (82). I^ia relación entre g y 9', teniendo^en cuenta las fórolulasYv^) ^Ctftíf
y suponiendo B > 1, nos dice que, si p es máximo, en cuyo caso g terminaren, el primer cuadrante, 9' terminará en (A s ipiíndo, su coamo sérá^ negativo y el valor «>rrespoadieate de P será Taiaimo; por el contrallo, stp esminimo y$ por taáto, j ; tertaiaÉjea el tercer cuadrante, 9' terminará en el cuarto, y el valor coitespondiente de P será máximo.
— 140-• Las posiciones mutuas de los puntos Af, m, M\ m' serán las que re
presenta la figura 14.* donde el diámetro M'-m' es perpendicfular »\ Mm. Sí mB3=:l, él valor de 9, para el cual p es máximo, es Stir, y el co
rrespondiente ai mínimo es ir; luego tas posiciones de ios puntos son las de la figura 15.*
Por último^ si £ •< 1» cuando p es máximo, g termina en el cuarto cuadrante, g' terminará en el quinto, eos g será positivo, y como 1 B es negativo, P será mínimo; si p es mínimo, gr termina en el segundo, gr' en el tercero, y P será máximo. Los puntos ocúpate las posiciones indicadas en la figura i6.*
310. En el valor general de I P, f<(}raiula (>i')> 1 P= GilB .coag — baeng),
demos á tg 9 el valor particular correspondiente á los máximos y mínimos de'p,
tgsr = -^ -
De esta igualdad se deduce
= -— . IB. eos g — o sen g = O, eos g o •
por lo tanto 1 P = : 0 , P = l ,
luego: Cuando «{ argumento pdela potetícia P alcanza su valor máximo ó
su minimo, el módulo P es Ut unidad. 311. En el valor general de p, fórmula (o'),
j> == G (6 eos g + 1 B . sen g), demos á tg$ el valor particular correspondiente á los máximos y tniai-mMdeP,
^eg = - ^ •
De aquí se deduce sen g ^ , , t n n — - ^ = T T r ^ , bcx>sg-k'\B.seng:=zQ, eos g I B
jpor lo tanto p z= o, luego:
Cuando el módulo P ds to jM>t«ne P alcanza su valor móoñmo ó su minimo, ^largmnerUo^esceróiylfipoímwiaesreed,
- 141 — Obsérvese que ia uaidad es media geométrioa entre los valores mAxi-
mos y mínimos de P, y cero es medio aritmético entre los valores máximos y minimos de p.
312. RESUMEN. Para J3 > 1, cuando el extremo del argumento g está en M {Fig. 14.')> punto del primer cuadrante determinado por la relación
tttq = -T-, alcanza p su valor máximo , v P vale 4: asi; * * b ' ' eos f; ' '
Punto M: Ig g = \^, g = A M, P^ = 1^^. OM g
Mientras el extremo de g pasa de M á m\ punto á 90» del M, p y P disminuyen; al llegar g á m', adquiere P su valor mínimo, dado por la
GIS fórmula 1P = , y p toma el valor cero: asi, eos o
GIB
Punto m': tg gr = — ¡-g, g = A m', P^ = e"" ".
Mientras el extremo de g va de m' á m, punto diametralitiente opuesto al M, p sigue disminuyendo y P aumenta; al terminar 9 en m, adquiere p
su valor mínimo p == , y P es 1; asi, ' eos jr /
Punto m: \g g — ~, g =z Am, P^ =i^^. CM g
Al pasar el extremo<)e 9 de m á JIf', crecen p y P; cuando llega g'& M', punto diametraliñente opuesto al m', adquiere Psu valor máximo, dado por
la reiacióü 1P = , y p es cero; asi,
Punto M': tg í/ = - i ^ , Sí = AA'M'y P^ — *** ».
Por ultimo, mientras g va de itf' á Af, p aumenta y P disminuye. 913. Cotno ejemplo de lo expuesto, tratemos el caso particular
C'i)--Para determinar ei punto Af, tesemos
_ 12 _ 0,6881*72 a- * *" Í.0M3951 '
de donde </ = 18» 18' 43», 69 ;
_ 142 -por consiguiente el máximo de p tiene lugar para este valor de g, y el mínimo para
^ = 198M8'43", 69. El máximo es
27r
• P = eos (180 ¿ 43-, 69) = 2.2061152, y el mínimo
^ = cos(i98o?y4y,e9)--^'^""2-£1 mínimo de P, que tendrá lugar cuando g valga
90» + 18» 18' 43", 69 = 108» 18' 43", 69, 12 12
es IP eos (108» 18' 43*, 69) eos (71» 41' 16*, 31)' P = O, 11008289;
y el máximo, correspondiente al valor de g, 288» 18' 43", 69, es
eos (288» 18' 43»; 69) eos (71» 41' 16", 31) '
ó P = 9, 08406468. Por manera que, creciendo g desde cero hasta yi Ai = 18» 18' 43", 69,
crece p y disminuye i*; en Mesp máximo, y P = i
Al crecer g hasta 4m' = 108» 18' 43*, e9,p y P disminuyen; en m' es P mínimo, y la potencia adquiere el valor real
P =0, 11008289.
Mientras g crece desde Am' hasta Ám = 198» 18' 43", 69, disminuye p y aumenta P; en mesp mínimo y P = 1, luego
P =z i
Al pasar jr de Am á vi AT' •= 288» 18' 43", 89, aumentan p y P; en M' es P máximo y p cero, y
P = 9,08406458, p valor real.
- 143 —
CAPÍTULO DÉCIMO.
V A B I A C I O N E S D E L A FÜNCtÓN P CUANDO g CRECE POSITIVAMENTE,
SEGÚN LA LEY DE LA CONTINUIDAD, Y G AUMENTA EN UNA CANTIDAD
INFINITAMENTE PEQUEÑA A CADA EVOLUCIÓN DE g.
314. Si G =z g = 0, será
Supongamos que 6 adquiera un valor infinitamente pequeño, y que este módulo, permaneciendo constante, verifique una primera revolución alrededor del origen, es decir que el argumento g pase por todos ios valores comprendidos entre cero y 2ir.
Si B > 1, p crece desde cero hasta el valor máximo Gb
eos g ' donde g es el menor arco positivo determinado por la relación
IB tg sr = - ^ ,
para disminuir inmediatamente hasta Gb
cosg ' Y volver después al aumento.
Los limites y de la oscilación de p son, como G, infini-cos gr eos sr
tamente pequeños. Pero si G aumenta gradualmente, verificándose cada incremento al
principio de las sucesivas revoluciones de este módulo, irán aumentando
_ 144 -los límites de la oscilación de p en valor absoluto, y llegarán á ser tan grandes como se quiera, puesto que G crece indefinidamente.
315. En cuanto a! módulo P, que empezó valiendo la unidad, disminuye cuando g comienza su primera evolución, pa-sa por el valor minimo
donde eos 51 es negativo, porque g es el arco del segundo cuadrante determinado por la relación
6
para inmediatamente aumentar hasta _ ^ ' ^
^ 0 0 . 9
y volver en seguida á disminuir. Los limites
GIB _ GIB
entre los cuales varia P, se diferencian de la unidad en una cantidad infinitamente pequeña, siendo menor que aquélla el primero y mayor el segundo.
Durante las sucesivas evoluciones de g, los límites entre los que P varía, recíprocos siempre, irán gradualmente ensanchándose, merced á los incrementos infinitesimales de G, y llegará á ser tan grande el superior y tan pequeño el inferior como se quiera, en atención á que G puede crecer indefinidamente.
- 145
CAPÍTULO UNDÉCIMO.
ESTUDIO DE LAS VARIACIONES DE P CUANDO, PERMANECIENDO
CONSTANTE EL ARGUMENTO G, CRECE EL MÓDULO G
DE UNA MANERA CONTINUA.
346. Sabemos [179] que p r= G (b eos g + IB . sen g)
IP = G (IB .cosg — baeng). I
Las cantidades encerradas en los paréntesis son ahora constantes, por serlo g, y como él factor G crece de una manera continua, los productos p y 1 P varian de igual manera.
Sin embargo, cuando g tenga un valor particular tal que b eos g + 1 B . sen g = 0
6 . 1 B : cosg — b sen gi = O , el ai^umento p será constantemente nulo en el primer caso, y en el segundo P valdrá siempre 1.
Es claro que para un incremento y infinitamente pequeño del módulo G, será
p^'— p==iy{bcosg + IB . sen g) 1 P^ — 1 P = 7 (1JB . eos gr — 6 sen sf) .
Al mismo resultado llegaríamos haciendo f = Ó en las expresiones generales (57) y (66), números 218 y 248.
317. Puesto que G crece positivamente, las condiciones del crecimiento de las funciones p y 1 P son
b eos sf-|-1JB . sen sf > O I ñ . cosgr —5 sen í r > O j ,
10
— 146 — ó bien, suponiendo B > 1 ,
jjg si cosflf>0, tg9< -g- M
si cos s f<0 .
318. Suponiendo í¡r < -5-» y, por tanto, eos gr > O, la condición
tg úr>' — p-ñ está seguramente satisfecha, y sólo hay que satisfacer á la 1 B
Luego: *,<.í^.
Cuando g tiene un valor fijo, menor que un cuadrante, y tal que 1 B
tg g < —,.creciendo G de una manera continua desde cero, el módulo P y el argumettto p aumentan constante, indefinidamerUe y de un modo continuo desde 1 1/ 0. £>a marcha progresiva de P estará representada gráficamente por una espiral.
ir 1£ 319. Atribuyendo á g un valor menor que -¿r y tal que tg gr > - j - , 2 O quedará satisfecha la condición (t^\ del crecimiento dep, pero no la íw^\ del de P, luego:
it I B CMondo el valor constante de g es menor que -jr y tal que tg g > -r- ,
creciendo G de una manera continua desde cero, el módulo P disminuye desde 1 y tiende hacia cero, mientras que el argumento p aumenta desdé cero constaiüe é indefin:idamente. La marcha regresiva de P estará repre-seiUada gráficamente por una espiral.
320. Dando á g uno de los valores menores que 2ir, determinados por la relación
equivalente á {• eos g + 1 B . sen jr = O, el valor de p es constantemente nulo, y la potencia P es real positiva.
Si ftquel valor de g tennína en el segundo cuadrante, siendo, por tanto,
- 147 -eos y < O, no se verificará la condición M^\ del crecimiento de P, por ser negativo el primer miembro y positivo el segundo, y P disminuirá; pero dando á y el valor terminado en el cuarto cuadrante, es eos 9 > O, la condición íw^'\ queda satisfecha y P aumenta, luego:
Si damos á g el valor mayor que — ;/ mcíior que K determinado por la Á
relación tg = — — , la potencxa P reahirá todos los valores reales y po-
sitivos comprendido» entre 1 y cero; y darwlo á g ei valor mayor que -^ y menor que 2», determinado por dicha relacim, P recibe valores reales positivos, que crecen desde 1 más allá de todo limite. La marcha de la función se representa gráficamente por una linea recta.
331. Asignando á Ja constante g uno de los valores menores que 2» determinados por la relación
\B t g 5 = - y - ,
equivalente á 1 B . eos g — b sen jr = O,
P valdrá siempre 1. Si aquel valor de g es el terminado en el primer cuadrante, será
eos sr > O, se verificará la condición Q, \ y p tomará valores positivos indefinidamente crecientes; pero si damos & g el valor terminado en el tercer cuadrante, y, por tanto, es eos 9 < O, no se verificará la condición (('3) y P disminuirá, tomando valores negativos indefinidamente, crecientes.
Vemos, pues, que Dando ág el valor mayor que cero y menor que — detaminadó por
la relación . I B
P vale siempre 1 y p aumenta, tomando valores positivos indefinidamente crecientes ápartir de cero; dando á gel valor mayor que ir y menor que — determinado por aquella relación, P vale siempre 1 y p toma valores ne-gativcis cuyos módulos crecen sin limite desde cero. La curva correspondiente es una circunferencia.
322. fiemos visto que la marcha de la función P se representa gráficamente por una espiral, salvo casos especiales, examinólos &a los dos
— Itó — últimos números; en que aquella curva degenera én uria linea recta ó en una circunferencia.
Fácil nos será, probar que dicha espiral pertenece á las llamadas toga-rümicas.
Dividamos, en efecto, las fórmulas I P = G (\ B . eos g — b sen g) p = G (b cosg + í B . sen g),
y llamando a al cociente constante de los segundos miembros, será
i í r = a , I P = a p , P = e " ^ P = [e"]" (83),
donde se ve que El argumsnto p e» el logaritmotM. módulo P e» el sistema cuya base es e*.
323. ' Si queremos obtener la espiral logarümico-neperimva., coya ecaa-ción es
I P = p ó P = / , bastará hacer o = 4 , ó sea
1 B . eos g — b sen g = b eos g -\-\B . sen g ; de esta ecuación se deduce, dividiéndola por eos g,
1 fi - 6 tg sr = fe + 1 B . tg sf
Para un valor particular de g, dado por esta relación, la representación granea de la potencia P será una espiral logaritmico^wperiana.
324. Advertiremos que el valor particular de y, que nos ocupa, es su-jr fe
perior en — al determinado por la relación tg y = — r-g, y para «4 cual la potencia P recibe valores reales positivos.
Á fin de probarlo, llamaremos ^ á este último valor del argumento, y tendremos
1 _ A [B 1 + tg sr' . / * , v \
^ + 11 luego g = -^ -¥ g' •
325. En el siguiente cuadro ponemos un compendio de las variaciones de P en los diferentes casos que pueden ocurrir.
149 —
:«?:*V^ '^'
Resumen de las variaciones de la función exponencial P , cuando G crece de una i
p constante, suponiendo fi > 1. P , cuando G crece de una manera continua y ^ es
CASOS SUBCASOS V A R I A C I O N E S
BKPBKSBIITÁCIÓH
OBinoA CASOS SUBCASOS
de P de p BKPBKSBIITÁCIÓH
OBinoA
ítgsr> IB Disminuye Aumenta Espiral
2 1 IB Aumenta Aumenta Espiral
^ tg gr = IB h Constante=1 Aumenta Circunferencia
( t g f i f > -b
IB Disminuye Disminuye Espiral
> —J g-^ 2 < t g s r < -
< ir 1
b IB b
IB
Disminuye Aumenta Espiral
1 t g flr = —
b IB b
IB Disminuye Constante = 0 Unea recta
[ t g ? > IB Aumenta Disminuye Espiral > T y
^ ^ ?í {tg g < /
IB h Disminuye Disminuye Espiral
1 t g fir = IB b Constante = 1 Disminuye Circunferencia
( t g g f > -
S } t g í / < -
b \B b
IB
Aumenta
Aumenta
Aumenta
Disminuye
Espiral
Espiral
1 i - = - b IB
Aumenta Constante = 0 linea recta
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