GRADO

GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA

CAMPOS Y ONDAS

ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO

FÉLIX ORTIZ SÁNCHEZ

GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA

GRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

GRADO EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA INDUSTRIAL Y AUTOMÁTICA

GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

MODULO I

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Tema 1º : Análisis Vectorial semana 1

Campos y Ondas

8

CAPÍTULO I

ANÁLISIS VECTORIAL

El objetivo de este capítulo es proporcionar al estudiante los conocimientos matemáticos

necesarios para poder seguir con facilidad el desarrollo formal de la asignatura. Los

puntos principales que debe comprender, y saber utilizar, son los propuestos en el

Esquema-Resumen:

Equation Section 1

ESQUEMA-RESUMEN

Magnitudes escalares y vectoriales. Operaciones con vectores: suma, resta,

producto interior (escalar o punto) y producto vectorial (cruz), módulo, etc.

Transformaciones de coordenadas entre los Sistemas de Coordenadas

cartesiano, cilíndrico y esférico. Elementos de longitud dl, área ds y volumen dv

en los diferentes sistemas coordenados.

Gradiente de un escalar A y su expresión en los tres sistemas de coordenadas.

Divergencia de un vector A y su expresión en los tres sistemas de

coordenadas.

Teorema de Gauss o de la divergencia.

Rotacional de un vector A y su expresión en los tres sistemas de

coordenadas.

Teorema de Stokes.

Operador Laplaciano , y su expresión en los tres sistemas de coordenadas.

Carácter solenoidal y carácter irrotacional de un vector.

Teorema de Helmholtz.

Expresiones especiales en las que intervienen operadores vectoriales.

Resolución de ejercicios.

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Requisitos previos

Para una correcta asimilación del tema es necesario haber cursado con provecho las

asignaturas de un primer curso de Álgebra Lineal y de Análisis.

Campos y Ondas

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1 Análisis vectorial

1.1 Suma y resta de vectores. Producto de vectores: escalar y vectorial

El lector debe repasar los conceptos de magnitud vectorial y magnitud escalar y

conocer el método para determinar el módulo de un vector. Igualmente debe saber

sumar y restar vectores tanto de forma analítica como gráfica.

El producto escalar (o punto) de dos vectores se define en general como

cosABA B , donde es el ángulo menor que formado por las direcciones de los

dos vectores. La definición es independiente del sistema de coordenadas y sus

consecuencias más conocidas son:

Permite saber si dos vectores son perpendiculares pues en ese caso: 0A B .

Es muy útil para determinar el módulo de un vector: A A A A ,

insistiendo en que esta expresión es independiente del sistema de coordenadas

elegido.

Es conmutativo.

Representa la proyección de en vector sobre el otro.

El producto vectorial (o cruz) de dos vectores se define en forma general como

senABA B , donde es el ángulo menor que formado por las direcciones de los

dos vectores. La dirección del vector resultante del producto vectorial es perpendicular

al plano generado por los dos vectores y su sentido es el que se obtiene aplicando la

regla de la mano derecha, dirección del pulgar cuando los cuatro dedos restantes

representan el menor ángulo entre A y B. Sus propiedades más conocidas son:

No es conmutativo, al cambiar el orden de los vectores cambia el signo del

producto vectorial.

El producto vectorial, representa el área del paralelogramo construido sobre los

dos vectores.

Producto de tres vectores, o triple producto A B C . Este producto, representa el

volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores. El producto triple tiene la

propiedad de conmutar cíclicamente.

1.2 Sistemas de Coordenadas Ortogonales Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas

Las expresión del producto escalar en función de sus coordenadas es

11

1 1 2 2 3 3AB AB ABA B (1.1)

Y la del producto vectorial,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

a a a

A B (1.2)

Con1 2 3

( , , )A A AA y 1 2 3

( , , )B B BB . Los vectores unitarios, cumplen para el producto

escalar:

1 si

0 si i j

i j

i ja a (1.3)

y para el producto vectorial:

1 2 3 2 3 1 3 1 2; ;a a a a a a a a a (1.4)

Donde los subíndices indican el orden de las coordenadas (primera, segunda, tercera),

siendo para coordenadas cartesianas 1= x, 2 = y, 3 = z; para coordenadas cilíndricas 1=

r, 2 = , 3 = z; y para coordenadas esféricas 1= R, 2 = , 3 = .

Se puede demostrar que los productos escalares de los vectores unitarios en distintos

sistemas coordenados verifican las expresiones siguientes:

Sistemas cilíndrico y cartesiano,

cos sen 0

sen cos 0

0 0 1

r

x y z

z

a

a a a a

a

(1.5)

Sistemas esférico y cilíndrico,

sen 0 cos

cos 0 sen

0 1 0

R

r z

a

a a a a

a

(1.6)

Campos y Ondas

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Sistemas esférico y cartesiano,

sen cos sen sen cos

cos cos cos sen sen

sen cos 0

R

x y z

a

a a a a

a

(1.7)

Definidos los productos entre los vectores unitarios, la transformación de coordenadas es

sencilla, por ejemplo, conocidas las coordenadas cartesianas de un vector ( , , )x y z

,

para determinar su valor en coordenadas cilíndricas el procedimiento es el siguiente:

1º. Se iguala el vector en ambos sistemas de coordenadas:

x x y y z z r r z za a a a a a .

2º. Se multiplican escalarmente los dos miembros por los tres vectores unitarios de las

coordenadas cilíndricas y ya se tiene la transformación de las coordenadas buscada.

El procedimiento, por supuesto, es válido para cualquier transformación de las

coordenadas de un vector de un sistema a otro. Las transformaciones de las

coordenadas de un punto entre los tres sistemas de coordenadas se indican en la tabla

siguiente:

Cilíndricas a rectangular Esféricas a rectangular Esféricas a cilíndricas

cos

sen

x r

y r

z z

sen cos

sen sen

cos

x R

y R

z R

sen

cos

r R

z R

Rectangulares a cilíndricas Rectangulares a esféricas Cilíndricas a esféricas

2 2

1tan yx

r x y

z z

2 2

2 2 2

1

1

tan

tan

x yz

yz

R x y z

2 2

1tan rz

R r z

Transformación de coordenadas

De geometría diferencial, ver figura 1.1, se sabe que en un conjunto de coordenadas

ortogonales 1 2 3

( , , )x y z con tensor métrico gij, i,j =1, 2, 3 el elemento de longitud según

una dirección i, es 12

i ii idl g dx . Esto implica que basta con conocer los valores de la

diagonal principal del tensor métrico para obtener la expresión del correspondiente

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elemento de longitud. De los tres elementos de longitud de un sistema de coordenadas

determinado, se obtienen fácilmente los elementos de superficie o de volumen. Para los

sistemas de coordenadas usuales los valores de las componentes de la diagonal principal

del tensor métrico se exponen en la tabla siguiente.

g11 g22 g33

Cartesianas 1 1 1

Cilíndricas 1 r2 1

Esféricas 1 R2 R2sen2

Elementos de la diagonal del tensor métrico

Por ejemplo, el elemento de longitud, según el ángulo , en coordenadas cilíndricas es

dl rd , mientras que en coordenadas esféricas en la dirección del ángulo , el

elemento de longitud es sendl R d . Según esto, se tiene que el vector elemento de

longitud en coordenadas cilíndricas tiene la expresiónr z

d dr rd dzl a a a .

En coordenadas cartesianas el elemento de área dSx, considerando constante la

coordenada x, se obtiene como el producto de los elementos de longitud para las

coordenadas y y z, x y z

dS dl dl dydz . En coordenadas esféricas manteniendo la

coordenada constante, el elemento de área correspondiente es R

dS dl dl RdRd .

Se determina el módulo de un elemento de longitud mediante el producto escalar del

elemento de longitud por sí mismo, por ejemplo en coordenadas esféricas el módulo del

vector elemento de longitud es 2 2 2 2 2 2 2sene e ed d dl dR R d R dl l .

Finalmente para determinar el elemento de volumen en un sistema de coordenadas

cualquiera basta con multiplicar los elementos de longitud de las tres coordenadas. Por

ejemplo, el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas esr z

dv dl dl dl rdrd dz .

Campos y Ondas

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1.3 Gradiente de una magnitud escalar

El gradiente de una magnitud escalar V es un vector que representa la mayor variación

espacial de la dicha magnitud escalar. Su expresión, en cualquier sistema de vectores

ortogonal (l1, l2, l3), es el vector de componentes dadas por la variación de la función

escalar según cada una de las direcciones de las coordenadas. Para un campo escalar

V(x1,x2,x3), definido en un conjunto de coordenadas ortogonales curvilíneas cualesquiera,

x1,x2,x3 con tensor métrico gij, el gradiente, tiene la forma y representación siguiente:

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 311 22 33

1 1 1

V V V V V VV

l l l x x xg g ggrad a a a a a a (1.8)

Notación habitual para el gradiente de un escalar es grad V V

1.4 Divergencia de una magnitud vectorial

La divergencia de un vector es una magnitud escalar y está relacionada con el flujo o

densidad de líneas del campo que atraviesan una superficie, en particular se define la

x2

x3

x1

dl3=g331/2dx3

dS2=dl1dl3

dV= dl1dl2dl3

Figura 1.1

Coordenadas ortogonales curvilíneas

15

divergencia en un punto como el flujo neto del campo vectorial que sale de un volumen

infinitesimal que rodea al punto en cuestión (el volumen tiende a cero en el punto),

representa algo así como una medida de la fuerza del flujo. Divergencia nula en un

punto significa que en ese punto no hay fuentes ni sumideros de campo, por otro lado, si

la divergencia es una cantidad no nula y positiva es que el punto en cuestión es una

fuente de líneas de campo y si es negativa es que en el punto existe un sumidero del

campo vectorial estudiado.

La expresión general de la divergencia de un vector A(x1,x2,x3) para sistema de

coordenadas ortogonales curvilíneas cualesquiera, x1,x2,x3 con tensor métrico gij, es

1 22 33 2 11 33 3 11 221 2 311 22 33

1div A g g A g g A g g

x x xg g gA (1.9)

Notación habitual para la divergencia de un vector es div A A

1.5 Rotacional de una magnitud vectorial

Se define el rotacional de un campo vectorial A en una dirección n como el vector dado

por el cociente entre la circulación del vector A en una curva contorno que rodea a una

superficie S normal a la dirección n (siendo la dirección hacia fuera, lo que significa la

misma dirección de un tornillo que gira siguiendo el sentido elegido para el cálculo de la

circulación) y la superficie S, cuando la superficie tiende a cero.

La expresión general del rotacional de un vector A(x1,x2,x3) en coordenadas ortogonales

curvilíneas cualesquiera, x1,x2,x3 con tensor métrico gij, es

1 3 33 2 22 2 1 11 3 332 3 3 122 33 33 11

3 2 22 1 111 211 22

1 1rot

1

A g A g A g A gx x x xg g g g

A g A gx xg g

A a a

a

(1.10)

Expresión que es fácil de construir mediante el determinante siguiente con la notación

habitual rot A A

Campos y Ondas

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1 11 2 22 3 33

1 2 311 22 33

1 11 2 22 3 33

1

g g g

x x xg g gA g A g A g

a a a

A (1.11)

1.6 La Laplaciana

La operación vectorial de hallar la divergencia del gradiente de un escalar es

fundamental en física pues da lugar a la ecuación de ondas. A esta combinación de

operadores vectoriales se le da el nombre de Laplaciana y se expresa como:

2div(grad )V V V (1.12)

Su expresión para un campo escalar cualquiera, V(x1,x2,x3), en un sistema de

coordenadas curvilíneas general, x1,x2,x3, con tensor métrico gij es:

22 33 11 33 11 22

1 11 1 2 22 2 3 33 311 22 33

1 g g g g g gV V VV

x g x x g x x g xg g g (1.13)

Por extensión de la definición, se define la Laplaciana de un vector A como el vector A

cuyas componentes son la Laplaciana de las componentes del vector A.

1.7 Teoremas Integrales

1.7.1 Teorema de Gauss o de la divergencia

El teorema de Gauss afirma que el flujo de salida de un vector a través de una superficie

cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia del vector en el volumen

delimitado por la superficie en la que calculamos el flujo.

.S vd dvA s A (1.14)

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1.7.2 Teorema de Stokes

El teorema de Stokes dice que la circulación de un vector a lo largo de una línea cerrada

es igual al flujo del rotacional del vector a través de la superficie que delimita la línea:

.c Sd dA l A s (1.15)

si la circulación de un campo vectorial alrededor de un camino cerrado C es nulo el

campo A se dice que es irrotacional y se demuestra que es el gradiente de una función

escalar V.

1.7.3 Teorema de la integral de Green

Este teorema es muy útil en el cálculo del potencial eléctrico bajo determinadas

condiciones. El teorema se enuncia para dos funciones f y g y dice:

2 2( ) ( )v Sf g g f dv f g g f dn (1.16)

Donde la normal a la superficie S que rodea al volumen v es dn. El teorema es una

herramienta útil de trabajo para determinadas condiciones en la frontera de las

funciones y sus derivadas.

1.8 Expresiones de los operadores vectoriales

1.8.1 Expresiones nulas

0A (1.17)

0V (1.18)

1.8.2 Expresiones no nulas

2A A A (1.19)

fg f g f g (1.20)

A B A B A B B A B A (1.21)

f f fA A A (1.22)

Campos y Ondas

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A B A B B A (1.23)

f f fA A A (1.24)

A B B A A B B A A B (1.25)

Se recuerda al lector, que el operador nabla es lineal cuando actúa tanto sobre un

escalar como sobre un vector, además las letras en cursiva representan magnitudes o

campos escalares y las letras en negrita magnitudes o campos vectoriales.

1.9 Comentarios finales

Concluido el estudio del tema el estudiante debe repasar y retener los conceptos

expuestos mediante su aplicación, para ello se recomienda que realice la mayor cantidad

de ejercicios tanto del libro de texto recomendado como del libro de problemas

recomendado. Es muy conveniente que el lector reproduzca los ejercicios resueltos que

jalonan el tema e intente resolver aquellos que el autor ha dejado sin solucionar.

Finalmente se debe insistir en que la comprensión y el manejo de los conceptos

desarrollados en el tema son fundamentales para el adecuado aprendizaje de las

cuestiones que se plantean a lo largo del estudio de la teoría de campos

electromagnéticos, independientemente del nivel de dificultad con que se aborde.

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1.10 Cuestiones teórico-prácticas y ejercicios

Cuestiones

1ª. Calcule el elemento de área en coordenadas esféricas, manteniendo R constante.

Haga lo mismo en coordenadas cilíndricas cuando la coordenada fija sea z.

2ª. Determine el módulo del elemento de longitud dl, en coordenadas esféricas y

cilíndricas.

3ª. Determine la expresión del gradiente, la divergencia y el rotacional en los tres

sistemas coordenados empleados.

4ª. Determine la expresión de la Laplaciana en los tres sistemas coordenados empleados.

Ejercicios

1º. Compruebe las expresiones entre los operadores para los campos siguientes:

V(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + 2z2; A(x, y, z) = ax2x – ay2y + az; B(x, y, z) = axxy + ayy2 –

azxz

2º. Si se tiene un campo vectorial con componentes cartesianos (2y, 2x + 3z, 3y), ¿Es

solenoidal?, ¿Deriva de un potencial? Si sucede lo último calcule la función potencial de

la que proviene el campo vectorial dado.

3º. Verifique el teorema de la divergencia sobre un cubo de arista 2 situado en el primer

octante de un sistema de coordenadas cartesianas con un vértice en el origen, para el

vector A=axxz + ayy2 + azyz.

4º. Considere un campo vectorial F(x,y,z) = zay . Determine el flujo del campo F sobre

la superficie de un cilindro cerrado centrado en el eje z y con las bases en los planos z =

0 y z = 2. El radio del cilindro es de 2 m, al igual que su altura.

Campos y Ondas

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1.11 Bibliografía

-Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería; David K. Cheng; Pearson

(Addison, Wesley, Longman), 1998.

- Campos y Ondas electromagnéticos; Paul Lorrain, Corson D. L.; Selecciones

Científicas, Madrid, 1994.

-Fundamentos de la Teoría electromagnética; John R. Reitz, Milford F. J.; Addison

Wesley, México, 1967 (hay reediciones posteriores