campos de radiación

8/16/2019 Campos de Radiación

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CAMPOS DE RADIACIÓN

Corrientes y cargas como fuentes de campos

Aquí hablamos de cómo una determinada distribución de corrientes y cargas permiten generar eirradiar ondas electromagnéticas. Típicamente, la distribución de la corriente se localiza en algunas

regiones del espacio (por ejemplo, las corrientes en una antena de cable). a !uente de corrientegenera campos electromagnéticos, que pueden propagarse a grandes distancias desde laubicación de origen."sto demuestra que es con#eniente trabajar con los potenciales eléctricos y magnéticos en lugarde la " y $ propios. %&sicamente, dos de las ecuaciones de 'aell nos permiten introducir estospotenciales* a continuación, los otros dos escritos en términos de estos potenciales, los tomaremoscomo una simple !orma de ecuación de onda. as dos ecuaciones de 'aell,

+mplicarían la eistencia de los potenciales magnéticos y eléctricos A (r, t) y (r, t), de tal maneraque los campos " y % se pueden obtener por-

e hecho, la di#ergencia de % implica la eistencia de A, tal que % / ∇ 0 A."ntonces, la ley de 1araday se puede escribir como

2or lo tanto, la cantidad " 3 4A 5 4t es de menos enrollamiento y se puede representar como elgradiente de un potencial escalar, que es, " 3 4A 5 4t / 6 ∇."l potencial A y no se de!inen de !orma 7nica. 2or ejemplo, pueden ser cambiados mediante laadición de las constantes a ellos. A7n m&s la libertad es posible, conocida como in#ariancia denorma las ecuaciones de 'aell. e hecho, para cualquier !unción escalar ! (r, t), el siguientecalibre trans!ormación de las hojas " y % in#ariante

2or ejemplo, tenemos para el campo eléctrico-

"sta libertad en la selección de los potenciales nos permite imponer algunas restriccionescon#enientes entre ellos. "n la discusión de los problemas de radiación, es costumbre paraimponer la condición de orenz-


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También nos re!eriremos a ella como indicador de orenz o medidor de radiación. "n #irtud de la

trans!ormación de norma (89.8.:), tenemos-

2or lo tanto, si A, no satis!acen la restricción (89.8.;), las trans!ormadas potenciales A, sepodrían hacer para satis!acer por una elección apropiada de la !unción !, que es, por la elección de! sea la solución de la ecuación de onda no homogénea-


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onde utilizamos C/ 8 5 c=. 2or lo tanto, la condición de orenz (89.8.;) implica la conser#ación dela ey de carga-

Potenciales retardados

"l resultado principal que nos gustaría mostrar aquí es que si las densidades @ son de origenconocido, las soluciones causales de las ecuaciones de onda (89.8.B) #ienen dados por-

ónde D / E r 6rE es la distancia desde el campo (obser#ación) el punto r al punto de origen rF, como

se muestra en la 1ig. 89.=.8. as integraciones son el #olumen localizado G en la que lasdensidades de origen, @, es distinto de cero."n otras palabras, los potenciales (r, t) en un punto r campo en el tiempo t es obtenible mediantela superposición de los campos debido a la carga @ in!initesimal (rF, tF) d:rF que residía dentro del#olumen elemento d:rF en instante de tiempo t, que es D5c segundos antes de t, es decir, t/ t 6 D5 c.2or lo tanto, de acuerdo con nuestras nociones intuiti#as de la causalidad, un cambio en la !uentepunto rF no se sintió instant&neamente en el punto rF campo, pero toma unos segundos D 5 H parallegar allí, es decir, que se propaga con la #elocidad de la luz.as ecuaciones (89.=.8) se denominan como los potenciales retardados debido a las !uentesdentro de las integrales que se e#al7an en el tiempo retardado t / t 6 D 5 c.

2otenciales retardados generados por una distribución de corriente 5carga localizada.

2ara probar (89.=.8), consideramos en primer lugar la solución de la siguiente ecuación de ondasescalares impulsado por una !uente puntual dependiente del tiempo situado en el origen-

onde ! (t) es una !unción arbitraria de tiempo y I (:) (r) es la !unción delta de : dimensiones.'ostramos a continuación que la solución de la causalidad de la ecuación. (89.=.=) es-


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Hon t / t 6 r 5 c y r / E r E. a !unción g (r) es reconocido como la !unción de Jreen para el problemade electrost&tica de Houlomb-

onde r/ r5r es el #ector unitario radial. Kbser#amos también que debido a que ! (t 6 D5c) dependede rF sólo a tra#és de su camiseta de la dependencia, tenemos-

onde utilizamos el resultado ∇?r /= 5 r. a utilización de las ecuaciones. (89.=.:) 6 (89.=.9) en laidentidad-

Kbtenemos que-

os dos primeros términos se anulan y el cuarto plazo se pueden escribir como ! (t) I (:) (r) debidoa la !unción !uerza delta r / L. Al reconocer que el tercer término es-

Tenemos que-

Mue muestra la ecuación. (89.=.=). A continuación, desplazamos el punto de origen a la posición rF,y encontramos la solución a la ecuación de onda-

onde D / E r 6 r E y hemos permitido que la !unción ! que depende también de rF. Tenga en cuentaque aquí rF es !ijo y el punto de campo r es #ariable.


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> la suma correspondiente de soluciones-

onde D / E r 6 r E. 2or lo tanto, esta es la solución causal a la ecuación de onda general-

os potenciales retardados (89.=.8) son casos especiales de la ecuación. (89.=.B), aplicado para !(r, t) / @ (r, t) 5 y ! (r, t) / mu (r, t).

Dependencia temporal armónica

ado que estamos interesados principalmente en las ondas de !recuencia 7nica, #amos atrans!ormada de 1ourier todos los resultados anteriores. "sto es equi#alente a suponer un ejNtdepende del tiempo sinusoidal para todas las cantidades. 2or ejemplo,

A continuación, las soluciones retrasados (89.=.8) se con#ierten en-

Hancelando el !actor com7n de ejNt de ambos lados, obtenemos para la parte !asor de lospotenciales retardados, en el que D / E r 6 r E-

a cantidad O representa el n7mero de onda en el espacio libre y se relaciona con la longitud de

onda a tra#és de O / =P 5 Q.


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onde J (r) es la !unción de Jreen para la ecuación de $elmholtz-

Sustituyendo 4 5 4t por j, la condición de orenz (89.8.;) toma la !orma-

el mismo modo, los campos eléctricos y magnéticos (89.8.=) se con#ierten en-

Hon la ayuda de la condición de orenz del campo " puede epresarse por completo en términosdel potencial #ector. Desol#iendo (89.:.9) para el potencial escalar, / 6 ∇ ?A 5 jNC, y sustituyendoen (89.:.), encontramos que-

onde utilizamos N=C" / N= 5 c= / O=. "n resumen, con A (r) calculado a partir de la ecuación.(89.:.8), la ", $ de campo se obtienen a partir de-


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Aquí, @, reposan por @ (r), (r). "l operador gradiente ∇ act7a dentro de los integrando solo en J

y debido a que depende de la di!erencia r V rF, se puede reemplazar el gradiente con ∇J (r V rF) /6 ∇ J (r V rF). Adem&s, denotamos por d:r dG."n la obtención de (89.:.8L), hemos tenido que intercambiar el operador ∇ y las integrales sobre G.Huando r es !uera del #olumen G (como es el caso de la mayoría de nuestras aplicaciones),entonces, este tipo de intercambios son #&lidos. Huando r se encuentra dentro de G, acontinuación, intercambiando 7nico de ∇ es a7n #&lido, como en la primera epresión para " ydetectar $. Sin embargo, en el intercambio de dobles ∇, surgen términos adicionales. 2or ejemplo,usando la ecuación (.U) del apéndice , encontramos que intercambiando el operador ∇ 0 ∇0 conla integral de A en la ecuación. (89.:.U)-

onde W 2G W representa XGalor principalY. ebido a ∇ no act7a sobre el (rF), entonces tenemos-

onde en el 7ltimo paso, reemplazamos ∇ por 6 ∇F y ∇=J / 6O= J. e lo que se desprende que-

"n la sección 8U.8L, consideramos las ecuaciones. (89.:.8L) adicionalmente en relación con lateoría del principio y el #ector de di!racción de $uygens.

A continuación, presentamos tres aplicaciones ilustrati#as de las técnicas descritas en estasección- (a) a determinación de los campos de antenas de hilo lineales, (b) os camposproducidos por dipolos eléctricos y magnéticos, y (c) el teorema de etinción "ald 6 Kseen y elorigen microscópico del índice de re!racción. A continuación, pasamos en la sección 89.B paradiscutir la simpli!icación de los potenciales retardados (89.:.:) para problemas de radiación.

os campos de un ca!le de antena lineal"

e las ecuaciones (89.:.B) se simpli!ica considerablemente el caso pr&ctico especial de una antenade cable lineal, es decir, una antena cilíndrica delgada. a !igura 89.;.8 muestra la geometría en elcaso de una antena z 6 dirigida de longitud !inita con una corriente + (zF) que !luye en él.a suposición de que el radio del alambre es mucho menor que su longitud signi!ica e!ecti#amenteque la densidad de corriente (r) ser& z6dirigida y con!inado a cero trans#ersal dimensiones, es

decir,

"n el caso m&s realista de una antena de radio !inito, la densidad de corriente se limita a !luir sobrela super!icie cilíndrica de la antena, es decir, a distancia radial @ / a. Suponiendo simetría cilíndrica,la densidad de corriente ser&-


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"ste caso se discute en m&s detalle en el Hap. ==. "n ambos casos, la integración de la densidadde corriente sobre las dimensiones trans#ersales de la antena da la corriente-

ebido a la simetría cilíndrica del problema, el uso de coordenadas cilíndricas es apropiada,especialmente en la determinación de los campos cerca de la antena (coordenadas cilíndricas sere#isan en la sección 89.U.) 2or otro lado, que los campos radiados en distancias lejos de la antenase describen mejor en coordenadas es!éricas. "sto porque cualquier !uente de corriente !initaaparece como un punto desde distancias lejanas.

+nsertando la ecuación. (89.;.8) en la ecuación (89.:.8), se deduce que el potencial #ector z ser&dirigido y cilíndricamente simétrico. Tenemos que,

onde D / E r 6 r E / Z= 3 (z 6 z) =, como se muestra en la 1ig. 89.;.8. a integración z est& sobre lalongitud !inita de la antena. 2or lo tanto, A (r) / z Az (@, z), con

"sta es la solución de la componente z de la ecuación de $elmholtz (89.:.=)-

ebido a la simetría cilíndrica, podemos establecer 4 5 4 / L. 2or lo tanto, el gradiente y losoperadores laplacianos son ∇ / @ 4 @ 3 z 4z y ∇= 684@ (@4@) 3 4=z. 2or lo tanto, la ecuación de$elmholtz se puede escribir en la !orma-


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ejos de la antena, se obtiene la ecuación homogénea-

Tomando nota de que ∇ ? A / 4zAz, tenemos la condición de orenz-

"l componente z del campo eléctrico es de la ecuación (89.:.B) -

> el componente radial-


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os campos el#ctricos y de dipolos magn#ticos

a b7squeda de los campos producidos por dipolos eléctricos #ariables en el tiempo ha sidohistóricamente importante y ha ser#ido como un ejemplo prototípico de problemas de radiación.Honsideramos un dipolo punto situado en el origen, en el #acío, con momento dipolar eléctrico p.Suponiendo la dependencia del tiempo ejNt, la polarización correspondiente ('omento dipolar por

unidad de #olumen) ser&- 2 (r) / p I (:) (r). Gimos en la ecuación (8.:.8U) que las correspondientesdensidades de corriente de polarización y de carga son-

2or lo tanto,

ebido a la presencia de las !unciones delta, las integrales de la ecuación (89.:.:) se puedenhacer tri#ialmente, lo que resulta en los potenciales #ectoriales y escalares-

Huando la integral para es hecho por partes. Alternati#amente, podría haberse determinado apartir de la condición de orenz ∇ ? A 3 jNCL L / L.a " y $ de campos se calculan a partir de la ecuación (89.:.), o de (89.:.B), o de la distanciadesde el origen a partir de (89.:.\). ]os encontramos, donde O= / N= 5 c / =L N=CL L-

2ara r / L. a !unción Jreen de J (r) y su gradiente son-

onde r / E r E y r es el #ector radial unidad r / r 5 r. a inserción de éstos en la ecuación (89.9.;), seobtienen en las epresiones m&s eplícitas-

Si el dipolo se mue#e a la posición rL, de modo que 2 (r) / p I (:) (r 6 rL), entonces los camposest&n toda#ía dadas por las ecuaciones (89.9.;) y (89.9.9), con la sustitución J (r) RJ (D) y DR D,donde D / r 6 rL.as ecuaciones (89.9.9) describen tanto los campos y cerca de los campos radiados. "l límite N /L (o O / L) da lugar a el campo eléctrico dipolo electrost&tico usual, disminuyendo como 85 r:. 2or


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otra parte, como #eremos en la sección 89.B, los campos radiados corresponden a los términosque disminuyen como 8 5 r. "stos son (con ^L / CL 5 L)-

Ellos están relacionados por η0Hrad= r × Erad, que es una relación general para laradiación de campos. De las mismas expresiones se puede obtener rápidamente de laecuación !".".#$ por la regla de sustitución ∇→ %&'r, discutido en la sección !".!0.El campo cercano, no radiante, en t(rminos !"."."$ que caen más rápido que !) r sonimportantes en la nue*a +ona óptica del campo cercano "-0%""0. /onse&osdiel(ctricos de tamao nanom(trico /onstruido a partir de una 1bra cónica$ act2ancomo pequeos dipolos que puede sondear lo e*anescente en campos de ob&etos, loque resulta en un aumento dramático por 3actores de die+$ de la resolución de lamicroscop4a óptica más allá del l4mite de di3racción de 5a6leig7 6 7acia aba&o a escalaatómica.8n dipolo magn(tico en el origen, con momento dipolar magn(tico m, se describirá porel *ector de magneti+ación 9E:5; = m < -$ r$. De acuerdo con la sección !.-, loscorrespondientes corrientes de magneti+ación serán = ∇ × 9 = ∇δ -$ r$ × metro.>orque ∇ · = 0, entonces no 7a6 densidad de carga magn(tica, 6 por lo tanto, no 7a6potencial escalar ?. El potencial del *ector será@

De esto se deduce de la ecuación !".-.A$ que@

Bue se con*ierten de 3orma expl4cita,

os campos de radiación correspondientes son-

Kbser#amos que los campos del dipolo magnético se obtienen del dipolo eléctrico por las


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trans!ormaciones de la dualidad de "R $, $R 6 ", _L R CL, CL R _L, ^L R 8 5 ^L, y p R CL m,

este 7ltimo siguiendo la comparación de los términos 2 y CL' en las relaciones constituti#as

(8.:.8). a dualidad se discute en m&s detalle en la sección 8U.=.

os dipolos eléctricos y magnéticos son esencialmente equi#alentes a las antenas lineales y bucles

dipolares hertzianas, respecti#amente, que se discuten en las secciones 8B.= y 8B.U.

"l problema 89.; establece los resultados habituales p / M d para un par de cargas ` M separadopor una distancia d, y m / +S para un bucle de corriente de la zona S.

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