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Introduccin al Clculo de variaciones paraestudiantes de primer curso de Ingenieras
Autora: M J os Haro Delicado y M J os Prez Haro
Temtica: Introduccin al Clculo de Variaciones a travs de la resolucin de problemasclsicos de la fsica.
Palabras clave: Clculo de variaciones, ecuaciones diferenciales, braquistcrona.
Resumen:
Pretendemos introducir de manera sencilla a estudiantes de primer curso de ingenieras en elClculo Variacional. Generalmente, los estudiantes ven la teora aislada de las situaciones quela justifican. Tambin, los problemas que resuelven suelen estar desligados de casos reales.En Bachillerato, trabajan con problemas de clculo de ptimos de funciones de una variable,sujetas a condiciones representadas por ecuaciones lineales o cuadrticas. Se trata de
extender este tipo de problemas y trabajar con funciones de funciones (funcionales), de maneraque los universitarios manejen ejemplos que representaron, en un momento dado de la historiade las matemticas, un desafo para los estudiosos de la poca, y encuentren un significadoprctico a su estudio. Tratar con conceptos algo elevados para el nivel de los estudiantes hahecho necesario seleccionar y adaptar mucho los problemas y actividades para que sirvancomo introduccin comprensible a conceptos y mtodos propios del clculo variacional ypuedan ser resueltos desde sus conocimientos previos, entre los que se encuentran losmtodos bsicos de resolucin de ecuaciones diferenciales. Nos apoyamos tambin enherramientas dinmicas (GeoGebra), capaces de simular procesos tiles para comprendermejor y afianzar los conceptos trabajados.
1. INTRODUCCIN
Ya que la fbrica del universo es ms que perfecta y es el trabajo de un Creador ms quesabio, nada en el universo sucede en el que alguna regla de mximo o mnimo no aparezca.
Leonhard Euler
El objetivo de esta introduccin es el de tratar con conceptos bsicos del clculo variacionalprocurando presentar diferencias y similitudes con contenidos previos que ya han sidoadquiridos por lo estudiantes. Se presenta la idea de funcional comparndola con la idea defuncin, as como diversos ejemplos muy sencillos en los que aparecen funcionales. Se terminacon un ejemplo, como es el de la longitud de un arco de curva que les permite utilizarconocimientos adquiridos en segundo de Bachillerato. En este documento, por limitacin deespacio, se ofrecen slo unos pocos de los ejemplos y aplicaciones que hemos trabajado.
1.1. Desarrol lo de la introducc in
Conjuntamente con los problemas en que es necesario determinar los mximos y mnimos decierta funcin y=f(x), con frecuencia surgen problemas fsicos en los que es necesario hallar losvalores mximo y mnimo de un tipo especial de magnitudes, llamadas funcionales.
Se llama funcionales a un determinado tipo de funciones cuyos valores se determinan a partirde los valores de otras funciones, son funciones de funciones o tipos de funciones en los quela variable independiente es una funcin. En el caso de las funciones, a cada nmero lecorresponde otro nmero. En el caso de las funcionales, a cada funcin le corresponde unnmero.Ejemplo 1: Sea M= C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas y(x) definidas en [0,1], y
sea . es una funcional que a cada funcin y(x)C [0,1] le asocia
un valor determinado por .
1
0)( dxxyxyJ xyJ
xyJ
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Si y(x)=x2, 3
1
3
1
0
31
0
2
xdxxxyJ . (1)
Si y(x)=sin(x),
2cossin
1
0
1
0
xxdxxyJ . (2)
Si ,1)( exy 2x 2
3
221
21
0
21
0
2
ex
edxexyJ
xx
(3)
Ejemplo 2: La longitud l de un arco de curva plana que une dos puntos dados A(x0, y0) y B(x1,y1) es una funcional.
La magnitud l puede calcularse si se da la ecuacin de la curva, y=y(x). De este modo:
(4)
Por qu es esto as?
La longitud aproximada del segmento de curva comprendido entre x i y xi+1 es:
2
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(5)
Una primera aproximacin de la longitud viene dada por:
(6)
Y el valor exacto de la longitud del arco:
=
con (7)
Vamos a trabajar con este tipo de expresiones que, por otra parte, desempean un muyimportante papel en el terreno de la fsica y de las matemticas aplicadas.
Una de las ramas ms desarrolladas del trabajo con funcionales es el llamado ClculoVariacional o Clculo de Variaciones que tiene que ver con la bsqueda de mximos ymnimos de funcionales.
1.2. Breve introduccin histrica al clculo de variaciones
Se considera de una gran importancia que los estudiantes encuentren que lo que estudian estil y que tiene sentido su aprendizaje. Por ello se hace necesario citar el momento histrico en
el que se empezaron a desarrollar los contenidos objeto de estudio, as como los personajesimplicados en su desarrollo, los problemas que se resolvieron con ellos y sus implicaciones enel avance del conocimiento humano y de la ciencia. De los tres problemas presentados en estabreve introduccin histrica se tratar ms a fondo, con posterioridad, el primero (problema dela braquistcrona). El tercero de ellos (problema isoperimtrico) no se presenta en estedocumento por cuestiones de espacio. El problema de la braquistcrona se desmenuza ya unpoco en esta introduccin con el fin de manejar las ideas ya introducidas y puesto que ello esposible con los cocimientos previos que ya tienen los estudiantes de estos niveles.
Breve introduccin histrica al clculo de variaciones. El clculo de variaciones surgi en elsiglo XVIII y fueron Euler y Lagrange los que lo convirtieron en una teora matemtica rigurosa.Tras algunos trabajos previos, Euler public en 1744 el libro Mtodo de bsqueda de lneascurvas con propiedades de mximo o mnimo, o la resolucin del problema isoperimtrico
tomado en su sentido ms amplio, que es el primer libro en la historia sobre clculo devariaciones. Con solo 19 aos, Lagrange se interesaba ya por los trabajos de Euler sobre losproblemas de extremos, y en particular por los problemas isoperimtricos (entre todas lascurvas cerradas en el plano de permetro fijo, qu curva (si la hay) maximiza el rea de laregin que encierra?). Habiendo comprobado que los mtodos de Euler en el clculo devariaciones eran excesivamente complicados, tratndose de un tema de anlisis puro,Lagrange desplaza las consideraciones geomtrico-analticas de Euler para sustituirlas por unmtodo puramente analtico y un simbolismo ms apropiado. En 1755, describe en una cartadirigida a Euler su mtodo, al que llama Mtodo de variacin, pero que Euler denominarClculo de variaciones. Su mtodo puede ilustrarse a partir del problema fundamental de
hacer mxima o mnima la integral
El mtodo de variaciones se aplic, tras su descubrimiento, sobretodo en fsica, especialmenteen mecnica, y lleg a ser una disciplina matemtica independiente, con mtodos propios de
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investigacin. Los tres problemas siguientes tuvieron una gran importancia en el desarrollo delclculo variacional.
Problema de la braquistcrona (breve tiempo): En 1696, J ohann Bernoulli public una carta,dirigida a los matemticos de la poca, proponiendo un problema sobre las lneas dedeslizamiento ms rpidas, o braquistcronas. En este problema se exige determinar la lnea
que une dos puntos dados A y B, que no pertenecen a una misma recta vertical, de maneraque una partcula se deslice por dicha lnea desde el punto A hasta el punto B en el menortiempo posible.
Se puede pensar sobre cul ser la lnea de deslizamiento ms rpido, llegando a la conclusinde que no ser la recta que une los dos puntos (la distancia ms corta entre dos puntos es larecta), ya que al moverse por la recta, la velocidad aumentar con una cierta lentitud.Previamente al planteamiento del problema por parte de J ohann Bernoulli, Galileo ya pensabaque el tiempo sera menor si el camino se curvaba tomando la forma de un arco de
circunferencia, puesto que si se toma una curva que baje ms bruscamente cerca del punto B,aunque el camino se alargue, una buena parte del mismo ser recorrido con mayor velocidad.Fueron varios los matemticos que encontraron la respuesta, entre los que cabe destacar a loshermanos Bernoulli, Leibnitz, Newton y LHpital. Concretamente, Newton consider elproblema de encontrar la braquistcrona asociada con la construccin de tneles a travs deLa Tierra conectando puntos fijos.
Consideremos el problema ms de cerca: Sea s la longitud del arco de curva que une A con P,
la velocidad de la partcula en el punto P ser , de donde se obtiene , por lo que
el tiempo que tarda en desplazarse la partcula desde A hasta P viene dado porCmo se puede expresarv y ds en funcin de x ydey(x)?
Supongamos que la partcula parte del reposo. Como no hay friccin, se cumplir el principiode conservacin de la energa. Ello significa que al moverse la partcula, desde un punto msalto a un punto ms bajo, la energa potencial se convertir en cintica. La energa potencial enun punto situado a una altura h es igual a mgh, donde m es la masa y g es la aceleracin de la
gravedad. La energa cintica en un punto es . En el punto A la energa cintica es 0, enel punto P, la energa cintica ser igual a la variacin de la energa potencial entre A y P, por
lo que . Despejando v, obtenemos . Intentemos hacer lo mismo conds.
Sean los puntos y , que se encuentran en la curva y=y(x).Llamemos a la variacin de la longitud del arco de curva al pasar de un punto al otro.
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Si x es pequeo, es s aproximadamente igual a . Por lo que es
aproximadamente igual a . Si tomamos lmites cuando x tiende a cero, se cumple
que , y por lo tanto:
. (8)
Desde aqu llegamos a que el tiempo que tarda una partcula en ir desde A hasta B, a travs dela trayectoria determinada por y=y(x), es:
.(9)
Hemos de encontrar una funcin y(x), continua y derivable, con derivada primera continua (esto
se representa diciendo que y(x) es de clase ), que nos d la solucin del problema:
con y(0)=0, y (a)=b (10)
El procedimiento para obtener la solucin es algo ms complejo y resolveremos el problemams adelante.
Problema de las lneas geodsicas: Se pide determinar la lnea de menor longitud que unedos puntos dados en cierta superficie
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Estas lneas son llamadas geodsicas. Se pide hallar el mnimo de la funcional
, (11)
donde las funciones y(x) y z(x) estn sometidas a la condicin . Este problemafue resuelto por J akob Bernoulli, pero el mtodo general para resolver este tipo de problemas
se obtuvo a partir de los trabajos de Euler y Lagrange.
Problema isoperimtrico: Se pide hallar una lnea cerrada de longitud dada l que delimite elrea mxima S. Esta lnea, ya se saba cul era en la antigua Grecia. En este problema seexige hallar el extremo de la funcional S con una condicin complementaria, y que es que la
longitud de la curva debe ser constante, es decir, la funcional seha de mantener constante. Condiciones de este tipo reciben el nombre de isoperimtricas. Losmtodos generales de resolucin de problemas con condiciones isoperimtricas fuerondesarrollados por Euler.
1.3. Introduccin al clculo variacional
En esta seccin se expone el problema fundamental objeto del clculo de variaciones y sepresentan algunos importantes problemas prcticos que resuelve. Se establecencomparaciones entre conceptos similares de cursos anteriores propios del clculo diferencial,como la idea de variacin o incremento de una funcin, de continuidad, de mximo o mnimo ylos teoremas relacionados con estos conceptos.
Introduccin al clculo variacional. El clculo de variaciones o variacional estudia losmtodos que permiten hallar los valores mximos y mnimos de las funcionales. Hay leyes de lafsica que se apoyan en la afirmacin de que una determinada funcional alcanza su mnimo osu mximo en una determinada situacin. Dichas leyes reciben el nombre de principiosvariacionales de la fsica. A dichos principios pertenecen el principio de la accin mnima, la leyde conservacin de la energa, la ley de conservacin del impulso, la ley de conservacin de la
cantidad de movimiento, el principio de Fermat en ptica, etc.
Relacin entre conceptos relativos a mximos y mnimos de funciones y a mximos y mnimosde funcionales.
1. La variable z es funcin de la variablex, y se designa como z=f(x), si a cada valorde x perteneciente a cierto dominio devariacin de x le corresponde un nico valorde z.
1. La variable v se llama funcionaldependiente de la funcin y(x), y se designacomo, v=v[y(x)], si a cada funcin y(x)perteneciente a cierta clase de funciones lecorresponde un nico valor de v.
2. Se llama incremento de lavariable x, a la diferencia entre dos valores,
. Si x es la variable
independiente, dx=
2. Se llama incremento o variacin, y,de y(x) a la diferencia entre dos funciones,
, pertenecientes a una claseconsiderada de funciones M
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3. La funcin f(x) es continua en x=x0, sipara todo positivo existe un >0, tal que si
, es
3. La funcional xyJ es continua en, hasta el orden de proximidad k, si
para todo positivo existe un >0, tal que si xyJxyJ 0 , entonces:
4. Se llama funcin lineal a la funcinl(x) que satisface las siguientes condiciones
, donde c es una constante
arbitraria y
4. Se llama funcional lineal a la funcional
, donde c es unaconstante arbitraria y
5. La funcin f(x) alcanza en un punto x0su mximo absoluto, si para todo punto x,perteneciente al dominio de definicin de lafuncin, se verifica que f(x0) f(x).Del mismo modo se dice que f(x) alcanza enun punto x0 su mnimo absoluto, si para todopunto x perteneciente al dominio de definicinde la funcin, se verifca f(x0) f(x).
5. La funcional xyJ tiene un mximoen la curva , si su valor en cualquier
curva prxima a no es mayor que
xyJ
0 .O sea si 00 xyJxyJJ .Si adems J =0, slo para y(x)=y0(x) diremosque se alcanza un mximo estricto en lacurva y=y0(x).De la misma forma se define la curva y=y0(x)en la que se alcanza un mnimo. En este
caso, 0J para todas las curvas prximasa y=y0(x)
6. Teorema (Condicin necesaria): Si lafuncin derivable f(x) alcanza su mximo o sumnimo en un punto interior x=x0 del dominio
de definicin de la funcin, entonces en estepunto ser f (x)=0
6. Teorema (Condicin necesaria): Si lafuncional J[y(x)], alcanza su mximo o sumnimo para y=y0(x), siendo y0(x) un punto
interior de la regin de definicin de lafuncional, entonces para y=y0(x) serJ[y0(x)]=0.Las funciones para las que 0J sedenominan funciones estacionarias
Problema del clculo de variaciones. Sea F una funcin de tres variables de clase (conderivadas parciales primeras y segundas continuas). Se considera la siguiente funcional
. Se trata de encontrar aquella funcin y*(x), con derivadas primeray segunda continuas en [x0, x1], verificando que y
*(x0) =y0, y*(x1) =y1, para que la funcional J
alcance el valor mximo o mnimo.
El problema en el caso de maximizacin, por ejemplo, es:
(13)
Para este problema, el conjunto factible (llamado conjunto de funciones admisibles) es
1.4 Condicin necesaria de optimalidad: Condicin de Euler
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En esta seccin se presenta la condicin necesaria para la existencia de extremal, que va aser una de las ideas ms importantes que se van a desarrollar y en la que se va a apoyar unabuena parte de los ejemplos y de los ejercicios y problemas que se presentan. A travs de esteresultado vamos a enlazar con la resolucin de ecuaciones diferenciales, estableciendo unarelacin entre el problema fundamental del clculo variacional y las ecuaciones diferenciales.
Esta condicin va a permitir tambin resolver uno de los problemas reales ms importantes delclculo variacional que se plantean en este trabajo, como es el problema de la braquistcrona.Iniciamos recordando una serie de definiciones necesarias para poder introducir los conceptosms relevantes. Continuamos con el teorema objetivo de esta seccin y que es la condicin deEuler y lo aplicamos finalmente a la resolucin de diversos problemas.
Definicin 1: Se dice que y es una funcin admisible para el problema de clculo de variacionessi se verifica que:
(14)
Definicin 2: Sea y* una funcin admisible para el problema de clculo de variaciones. Se dice
quey*
es mximo global si para cualquier funcin admisible y, se verifica que J (y) J (y*
).
Definicin 3: Sea y* una funcin admisible para el problema de clculo de variaciones. Se dicequey* es mximo local, si existe un >0, tal que para toda funcin admisible y, perteneciente ala bola B(y*, ), se verifica que J(y) J (y
*)
Teorema Condicin de Euler: Si y*(x) es un mximo local del problema variacional, entonceseny*(x) se verifica la ecuacin diferencial:
(15)
Esta ltima expresin recibe el nombre de ecuacin de Euler (Euler la public en 1744).
Puede que no haya ninguna funcin que sea solucin de la ecuacin anterior y si la hay puedeque no sea nica.
Otra forma de expresar esta ecuacin la obtenemos utilizando la regla de la cadena para
derivar la expresin yFdx
dLlegamos a:
0 yFyFFF yyyyxyy (16)
A las funciones que satisfacen la ecuacin de Euler se les llama extremales y slo en una deesas extremales se puede alcanzar el mximo o mnimo de la funcional.
Ejemplo 1. Obtn las funciones que verifiquen las condiciones necesarias de mximo local delsiguiente problema:
(17)
Solucin:
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Ello implica que:
Como y (0)=2 y (2)=12, obtenemos c2=2, 8+c12+2=12c1=1
y=x3+x+2, 0 x 2. El mximo slo puede alcanzarse en la funcin y(x)=x3+x+2
Ejemplo 2: Obtn las funciones que verifiquen las condiciones necesarias de mximo o mnimolocal del siguiente problema:
(18)
Con y(0)=2, y(1)=5
Solucin:
Tenemos que:
42;2
42
22
yyy
dx
dyF
yyyxF
y
y
Por lo tanto, la condicin de Euler es la ecuacin diferencial:
Utilizando las condiciones inicial y final, obtenemos:
2=y(0)=0, lo cual es imposible
5=y(1)=- , lo cual tambin es imposible. Ello quiere decir que el problema dado no tiene nimximo ni mnimo, es decir, no hay extremal que verifique las condiciones inicial y final.
En estos dos ejemplos hemos podido comprobar la relacin que se establece entre el clculode variaciones y las ecuaciones diferenciales a travs de la condicin de Euler. Es decir, si elproblema variacional tiene solucin, necesariamente ha de tenerla la ecuacindiferencial correspondiente a la condicin de Euler.
Casos particulares de la ecuacin de Euler:
a) F no depende de y
Si F no depende de y , la ecuacin de Euler es de la forma Fy=0, que es una ecuacinalgebraica sin ninguna complicacin, pero que slo tendr solucin si por casualidad secumplen las condiciones de frontera.
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Ejemplo: . Halla los
valores de a y de b, para los que la solucin obtenida sea solucin admisible.
byaydxyxxyJ )1(,)0(scondicionelasconmin1
0
2
Solucin: F=(x+y)2; Fy=2(x+y)=0y=-x. Para que se cumplan las condiciones de frontera,deber ser a=0 y b=-1
b) F depende slo de y
Si F no depende ni de y ni de x, entonces , son nulos. Teniendo en cuenta la
expresin desarrollada de la ecuacin de Euler,
yyyxy FFF y,
0 yFyF yyyy0
FF xyy , nos quedara
. Se ha de cumplir que, o bien y =0 o bien0 yF yy yyF
. Si y =0, ha de ser
y(x)=C1x+C2, que es una familia de rectas dependiente de dos parmetros C 1 y C 2. Si es
, quiere decir que esa ecuacin tiene races reales, con lo cual y =k e y=kx+C, que
es tambin una familia de rectas con un solo parmetro y que est contenida en la familia
anterior. Segn esto, la longitud del arco de una curva
0)( yF yy
dxyxyLx
x
1
0
21 , tiene como
extremales rectas y=C1x+C2, lo que nos parece lgico porque sabemos que la distanciamnima entre dos puntos es la recta.
Veamos otro ejemplo que puede resultar interesante. Si consideramos que el tiempo que setarda en recorrer una curva y=y(x) desde un punto A(x0,y0) hasta otro punto B(x1,y1) viene
dado por la funcional
dx2
yv
xyxyT
x
x
1
0 )(
)(1)( , donde dx2xyxyl
x
x 1
0
)(1)( es la longitud
del arco de curva, y v(y ) es la velocidad, que, en este caso slo depende de y , estamos en lasituacin planteada en este apartado y podemos asegurar que el ptimo, caso de existir, esuna recta. Qu lo diferencia del problema de la braquistcrona, cuya solucin no es unarecta, segn las conclusiones de los matemticos que se enfrentaron a l?
c) F slo depende de y y de y.En este caso la ecuacin de Euler 0 yFyFFF yyyyxyy toma la forma
0 yFyFF yyyyy . Multiplicando los dos miembros por y , obtenemos
Constante0 yy FyFFyFdx
d
Ejercicio 1: Halla la extremal de la funcional dxy
yxyJ
b
a
21
que pasa por los puntos
fijos (a1,b1) y (a2,b2) pertenecientes al semiplano superior.
Solucin: Comoy
yF
21 no contiene a x, utilizamos la expresin CFyF y , que nos
lleva Cy
yyy
y
y
22 1
1, que queda como
*21 Cyy , siendo C* la inversa de
C.
Para resolver esta ecuacin diferencial de una manera sencilla podemos hacer el cambio
, con lo cualty tan dtsentCdytCt
Cy **
2
*
;costan1
. Como
xCsentCdxdttCdxt
dtsentCt
dx
dy 1**
*
;cos;tan
,tan . Eliminando el
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parmetro t, obtenemos que es una familia de circunf
en el eje de abscisas.
l no homogneo constituye una extremal de la
2*22
1 CyCx
rmat, el camino quemedio bidimensiona
erencias de centro
Segn el principio de Fe recorre un rayo de luz al propagarse con unavelocidad v(x,y) en un
funcional
dxyxvyxyJ
x
x 1
0 ,12
. Si la velocidad de la luz es proporcional a y, estamos en un
en el eje O
Ejercicio 2: Problema de la superficie mnima de rotacin.
caso muy similar al anterior y los rayos de luz representan arcos de circunferencia con centrosX.
Halla la curva con puntos inicial y finaldados, A y B, que al girar alrededor deleje de abscisas forme una superficie derea mnima.
Solucin: Si recordamos, el rea de una superficie de revolucin es
dxyyxySx
x0
Constante yF . Es decir,
1 212 . Esta funcin depende slo de y y de y. Por ello, la ecuacin de
Euler tiene la forma yF Cyy
yy 2
22 1 , que al
simplificar queda como
y 1
Cy
y
21. Un modo de poder integ manera
relativamente sencilla, e ustitucin y=sh t. De esta forma queda y=Cch t, y
rar esta ecuacin de
s hacer la s
*
tsh
dttshC
y
dy
dada en forma paramtrica porCCtx *
. Si se
elimina el parmetro t, se tendr
Cdx . Al proceder as la superficie que buscamos se
forma al rotar la cu ene
CtxCdt
rva cuya ecuacin viCchty
C
CxchCy
* , que representa una fam narias.
curva empieza en A y acaba en B.Problema del cuerpo de resistencia mnima en un fluidoVeamos ahora un ejemplo un poco
ilia de cate
Las constantes hay que buscarlas a partir de las condiciones de frontera que nos dicen que la
ms complejo, pero muy interesante por su aplicacinrctica. Parece ser que fue el primer problema importante de este tipo, propuesto y resuelto
tener una superficie de revolucinppor Newton. En sus Principia estudi el contorno que debemovindose a una velocidad constante en la direccin de sus ejes para que presente la mnimaresistencia al movimiento. Trataremos aqu con este problema. Supongamos que queremoshallar la forma de un cuerpo slido de revolucin que se mueve en un fluido gaseoso, demanera que encuentre la resistencia mnima al movimiento.
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Supondremos tambin que la densidad del gas es suficientemente pequea y que lasmolculas se reflejan como en un espejo cuando chocan contra la superficie del cuerpo. Lacomponente normal de la presin ser P=2v2sin2, siendo la densidad del gas, v lavelocidad del gas respecto del cuerpo y el ngulo que se forma entre la velocidad y sucomponente tangencial. Ya que la presin es perpendicular a la superficie, la componente
segn el eje OX de la fuerza que acta sobre un anillo de anchura dxy 21 y de radio y(x),
se puede representar como dxyyvdF sin12sin2 222 . La fuerza que acta en
la direccin positiva del eje OX ser dxyyvFl
0232 1sin4 . Para simplificar un
poco el problema vamos a suponer que 1
sin
2y
y
y
. Tendremos de esta forma que
. Se trata de hallar la funcin y(x) en la que F alcanza el menor valor
posible, siendo y(0)=0 e y(l)=r
l
dxyyvF0
32 4
63;3;;,, 32
33 yyyyFdx
dyyFyFyyyyxF yyy
La ecuacin de Euler queda . Multiplicando por y ,
llegamos a F-y F
03;063 333 yyyyyyyyyCyyyyyyy 323 23y=C1, es decir, , o lo que es lo mismo
y3y=C1;3/1
22 yCy33
31
C
y
Cy
. Resolviendo la ecuacin diferencial llegamos a
Usando las condiciones de frontera nos queda C 4/332 CxCy
3=0;
l
rCClCr
4/3
32 ;3/4
2 , luego4/3
4/3
4/33/4
xl
rx
l
ry
c) F slo depende de x y de y.
Ello quiere decir que F=F(x,y ). La ecuacin de Euler es en este caso 0 yFdx
dy ello supone
que )( ConstanteCFy Ejercicio 1: Entre las curvas que unen los puntos A(1,3) y B(2,5), halla la curva en la que puede
alcanzar su extremo la funcional 2
1
2 1 dxyxyxyJ
Solucin: 2222 211;0;1,, xyxyyxFFyxyyyxF yy
*1*
2
2
;2
1;2
1;21;0 CxCyC
xCyCyCyxCFF
dxd
yy
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Los extremales son, por lo tanto, una familia de hiprbolas. Si tenemos en cuenta lascondiciones de frontera tenemos: 3=C1+C
*, 5=C1/2+C*C1=-4; C
*=7. Luego nuestra extremal
ser 74
y
Problema de la braquistcrona: Cuando con anterioridad hemos hablado del problema de labraquistcrona hemos llegado a la conclusin de que:
dxx
xy
gdx
gx
xyxyT
aa
00
2)(1
2
1
2
2)(1)( . (19)
Podemos observar que T(y) no depende de y, sino slo de x y de y (x). Si utilizamos la
condicin de Euler en la expresin
dxx
xya
0
2)(1
, donde
xxyxyxyxF
2)(1))(),(,( sera Fy=0, con lo que tendramos 0 yFdxd , que
equivale a decir que Constante yF
Pero,
C
xyx
xy
x
xy
xyFy
22
)(1
)()(2
)(12
1. Por comodidad, hagamos
C1=1/C. Nos queda
121
)(1
)(
Cxyx
xy
. Elevamos al cuadrado ambos miembros
.)(1)(
2
1
2
2
Cx
xyxy
Haciendo operaciones, obtenemos:
xC
xxy
xC
xxyxxyxCxyxxxyC
2
1
2
1
222
1
222
1 )(;)(;)(;)()(
Se cumple que y (0)=0. Para facilitar el trabajo, introduzcamos una nueva variable
independiente , de la siguiente forma:
2
sincos12
22
1
2
1 CC
x . =0 cuando x=0
y si
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Integrando, tenemos que: 22
1 sin2
CC
y . Como y(0) ha de ser igual a cero, nos
queda C2=0. Uniendo las dos expresiones tenemos:
sin2
cos12
2
1
2
1
Cy
Cx, (20)
Si llamamos R a2
2
1C , obtenemos
sin
cos1
Ry
Rx, siendo 10 . R y 1 se obtienen
teniendo en cuenta que byax 1 1e . La curva descrita por estas ecuaciones esla cicloide que pasa por (0,0). La cicloide se obtiene a partir del recorrido de un punto de la
circunferencia de radio R que rueda a lo largo del eje Y, por debajo.
Podemos considerar este otro ejemplo en el que trabajamos con la funcional
dxxy
xyTx
x
10
21
)( , donde T hace referencia al tiempo empleado en desplazarse
por la curva y=y(x) desde un punto x0 hasta un punto x1, a una velocidad v=x. Ya que xdtds ,
entoncesds
dt . Estamos en un caso similar al de la braquistcrona, en el que T(y) no
depende de y, sino slo de x y de y (x). Sera, por lo tanto, Fy=0 y de nuevo tendramos
0 yFdx
d, que equivale a decir que
CConstante
12
2
2
yx
yFy . Si para integrar
esta expresin hacemos un cambio de variable de la forma y=tan, y consideramos que
1
1C
C , llegamos a la expresin 21
2
2
2 CCyx . Esta ecuacin representa una familia
de circunferencias con centros en el eje de ordenadas, lo que nos viene a mostrar que Galileono andaba tan equivocado en sus intuiciones.
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Como se ha podido observar a travs de este recorrido de aplicaciones prcticas, incluyendopequeas modificaciones en las condiciones de los problemas podemos saltar de una situacinreal a otra diferente, resolvindola con pocos cambios y utilizando slo un par de condiciones.De esta forma, los estudiantes pueden ver la tremenda potencia de esta teora.
Por ejemplo, hemos pasado de calcular el recorrido ptimo de un rayo de luz a calcular la curvaa lo largo de la cual se llega de un punto a otro en el menor tiempo realizando muy pequeoscambios, o se ha establecido una importante relacin entre la superficie mnima de rotacin y laforma de una cuerda flexible de longitud fija colgada de dos puntos, utilizando los mismosconceptos y variando apenas el procedimiento.
2. SIMULACIN DEL PROBLEMA DE LA BRAQUISTCRONA
Se trata de que los estudiantes simulen con la ayuda de GeoGebra el movimiento de unapartcula sobre una recta y sobre la cicloide, con el fin de que comprueben que lo que hanobtenido previamente a nivel terico y utilizando frmulas matemticas se da realmente y sepuede observar. Se dibujar una cicloide y se escogern dos puntos de ella (el segundo deellos ms bajo que el primero). Se trazar una recta que pase por ambos puntos. Sobre curva y
recta se trazarn puntos que se irn moviendo segn vare el parmetro de la curva cicloide(por comodidad en la escritura reemplazaremos la letra por la letra t), que vendr expresadaen paramtricas. A la vez y utilizando las frmulas apropiadas, ya deducidas a nivel terico, serepresentarn grficamente las curvas correspondientes a las velocidades. La observacinser de esta forma doble. Por una parte se podr comprobar cmo la partcula que recorre lacicloide adelanta a la que se desliza por la recta antes de llegar al segundo punto, y por otraparte se comprobar cmo las ordenadas de los puntos que representan la velocidad de lapartcula que recorre la cicloide se sitan a partir de un determinado valor del parmetro porencima de los que representan la velocidad de la partcula que se mueve sobre la recta. Semuestran dos imgenes del recorrido de la partcula sobre recta y curva cicloide (en la parteinferior de la figura) y las trayectorias de las velocidades (azul para la cicloide y roja para larecta).
3. BIBLIOGRAFA
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Rusia. MIR
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Troutman, J .L. (1995). Variational Calculus and Optimal Control, (2a ed). (p. 461). New York,USA. Springer.
Autora
M J os Haro Delicado.IES Al-Basit. Profesora de matemticas y J efe del Departamento de MatemticasProfesora Asociada de la Escuela Superior de Ingeniera Informtica de la UCLM en Albacete(Departamento de Matemticas)
M J os Prez HaroM.S. Facultad de Ciencias Fsicas. Universidad Complutense de Madrid
Datos de contacto:
IES Al-Basit avda. de Espaa 42 02006 Albacete967228716 o [email protected] o [email protected]
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