Docente: Sonia Huertas López.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

CÁLCULO DIFERENCIAL

El cambio en el producto nacional bruto del Perú concada año que pasa.

Estudia el cambio que ocurre

en una cantidad cuando

ocurren variaciones en otras

cantidades de las cuales

depende.

El cambio en el costo total de operación de

una planta que resultan de cada unidad

adicional producida.

El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de

un incremento de una unidad (por ejm., S/.1) en el precio.

CONTENIDO

Motivación

1. Definición de la derivada de una función

2. Interpretación geométrica

3. Ejemplos de derivadas

4. Teoremas Fundamentales

5. Derivadas de funciones especiales

6. Ejemplo de Aplicación

7. Recta Tangente y Normal

MOTIVACIÓN

“Trazar una recta tangente a la gráfica de unafunción en un punto dado de ella” Siglos: XVI-XVII

SURGIMIENTO DE LA DERIVA

Como determinar la velocidad de uncuerpo en movimiento rectilíneo en uninstante dado (velocidad instantánea)

Problema FísicoProblema Geométrico

Intuitivamente: “Recta que tocaa la curva en un solo punto”

Leibniz

Newton

Distancia recorrida

por la pelota: e=f(t)

¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 2s?

¿Qué velocidad llevará en ese instante?

¿Cambia la posición del felino?

• ¿Varía la posición

de su cuerpo?

• ¿Respecto de que

variable física

percibes esa

variación?

El tiempo es fundamental en muchos de los

procesos de variación.

Observa con atención:

¿La paloma se desplaza?

¿Te podrás

imaginar cuánto

se mueve en:

• Un minuto ...

• Un segundo ...

• Una décima de

segundo ...

• Una milésima de

segundo ...¿Qué tan pequeño puede

ser el tiempo para que

percibas el movimiento?

¡A veces la variación es lenta!

• ¿Qué magnitudes

físicas crees que

varían en este caso?

• La relación de

variación se puede

considerar respecto

de dos variables

mutuamente

dependientes.Aquí se observa una relación

desplazamiento/tiempox

y

Compara la velocidad instantánea

x

xfxxf

x

y )()(

x

xfxxf

x

)()(lim

0

¡Ahora imagina cuantas derivadas

habrá en este equipo!

¿Puedes proponer alguna?

CONTROL DE INVENTARIO

Un fabricante de bicicletas compra 6, 000 llantas al año aun distribuidor. El gasto de manejo y transporte es $ 20por pedido, el costo de almacenamiento es 96 centavospor llanta al año y cada llanta cuesta $ 5.75. Suponga quelas llantas se utilizan a una tasa constante durante todo elaño y que cada pedido llega justo cuando se está acabandoel pedido anterior. ¿Cuál es la cantidad que se debeordenar en cada pedido para minimizar el costo?

x

1. Definición

Sea f una función dada. La derivada de frespecto a x, denotada por , es otrafunción definida por:

dx

df

h

xfhxfxf

dx

df

h

)()(lim)('

0

Si este límite existe.

Ejemplo:

1) Dada la función definida por: f(x)= x. Determinar la derivada de f.

1lim)()(

lim)()(

lim)('000 h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hhh

Por lo tanto: 1)´()(' xxf

Resolución

x

x x+hX

Y y= f(x)

f (x)

f (x+h)

Recta Secante

f(x+h)-f(x)

h

P

Q

2. Interpretación Geométrica

secCambio df(x h) f(x) e

Cambm

io

y

de xh

Pendiente de la Recta SECANTE

Cambio de

la variable y

x x+h

X

Y y=f(x)

f(x)

f (x+h)

Recta Tangente

P

Q Recta Secante

)(')()(

limlim0

sec0

xfh

xfhxfmm

hhtg

Pendiente de la Recta TANGENTE

PQ

R. Sec. → R. Tangente

tgmm sec

x

Hallar la derivada de la función:

Después calcular la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1,1) y

(9, 5).

xxf )(

h

xhx

h

xfhxfxf

hh 00lim

)()(lim)('

xhx

xhx

h

xhx

h 0lim

xxhxh 2

1

)(

1lim

0

)(lim

)(lim

00 xhxh

h

xhxh

xhx

hh

xxxf

2

1)´()(́

Resolución

i)

3. Ejemplo

ii) Cálculo de las pendientes:

• Para el punto (1,1) la pendiente es 2

1

12

1)1(́f

• En el punto (9, 5) la pendiente es 6

1

92

1)9(́f

1

1

xxf )(

m=1/2

m=1/6

9 x

5

yGEOMÉTRICAMENTE

x

4. TEOREMA FUNDAMENTALES

Si f y g son funciones derivables y k, a, b y c son

constantes entonces:

1. [k f(x)]´=k f´(x)

2. [a f(x) b g(x)]´= a f´(x) ± b g´(x)

3. [f(x).g(x)]´=f´(x).g(x)+f(x).g´(x) Regla del producto

4. Regla del cociente

5. (fg)´(x)=[f(g(x))]´=f´(g(x)).g´(x) Regla de la Cadena

´

2

( ) '( ) ( ) ( )´. ( )

( ) ( )

f x f x g x g x f x

g x g x

x

5. DERIVADAS DE FUNCIONES ESPECIALES

Función

f(x)

Derivada

f´(x)

K 0

,

x≠0

nx1nnx

x x2

1

xlnx

1

ua ln 'ua a u

xsen xcos

xcos xsen

025 ´

)´3( 4x 312x

)´1( x 12

1

x

xxx eeee ln.)´(

http://www.terra.es/personal2/jpb

00000/tabladerivadas.htmx

E

j

e

m

p

l

o

s

Determinar las derivadas de la funciones siguientes:

1.

)´12()´5()´2()(́ 34 xxxxf

xxxxf 1252)( 34

Solución

12158 23 xx

2. xsenxxf 53)(

Solución:

Se aplicará la derivada de un

producto

)´)(3()) (́3()(́ 55 xsenxxsenxxf

xxxsenx cos315 54

3.x

xxf

ln)(

6

Solución: Se aplicará la derivada de un

cociente´

6 6 6

2

( ) (́ln ) ( )(ln )´(́ )

ln (ln )

x x x x xf x

x x5 6

2

5 5

2

1(6 )(ln ) ( )( )

ln

6 ln

ln

x x xx

x

x x x

x

4. )19(cos)( 2xxf

Solución: Aplicando la Regla de la

cadena

)´19(́)19(cos)(́ 22 xxxf

)19(18 2xsenx

x

6. Aplicación: CONTROL DE INVENTARIO

Un fabricante de bicicletas compra 6, 000 llantas al año

a un distribuidor. El gasto de manejo y transporte es $

20 por pedido, el costo de almacenamiento es 96

centavos por llanta al año y cada llanta cuesta $ 5.75.

Suponga que las llantas se utilizan a una tasa constante

durante todo el año y que cada pedido llega justo

cuando se está acabando el pedido anterior. ¿Cuál es la

cantidad que se debe ordenar en cada pedido para

minimizar el costo?

compra

de Costo

adquirir

de Costo

almacenar

de Costo

total

Costo

x0.482

x (0.96).

almacenar

de Costo

Costo de 6, 000 120,00020

adquirir x x

500 34, 75.5000,6compra

de Costo

5000,34000,120

x 48.0)(x

xc

Sea x la cantidad de llantas de cada pedido.

Demanda= 6, 000 llantas por año

Precio unitario= $ 5.75 por llanta

Costo de hacer el pedido= $ 20

Costo de almacenamiento= 0.96 por llanta

x

C(x)

5 00

0.48x

120,000/x

C(x)

Derivando e igualando a cero la pendiente:

0000,120

- 48.0)(́2x

xc

500xx

Solución:

7. Ecuación de la Recta Tangente y Recta Normal

Sea f : R →R una función derivable en x=a, considerando la

interpretación geométrica de f´(a) se dan las siguientes definiciones:

Recta tangente:

))((́)( axafafy

Recta Normal:

1( ) ( )

´( )y f a x a

f a

Recta tangente

Recta normal

Ejemplo: Dada la función: f(x)= x² - 2x + 3, obtener las ecuaciones de la recta

tangente y normal a la gráfica de f en el punto P (2,3).

Solución:

La pendiente de la recta tangente: m= f´(x)=2x-2 → m=f´(2)=2(2)-2 = 2

Recta tangente: y-3=2(x-2) ↔ y-2x+1=0

Recta normal: y-3=-(1/2)(x-2) ↔ x+2y-8=0

a

f(a) y= f(x)

x

FORMAS INDETERMINADAS

REGLA DE L´HOSPITAL FORMA0

0

Si las funciones: f, g: R→R,

son:

1. Continuas en el intervalo

2. Derivables

3. g´(x)≠0

x a

f´(x)

g´(l

)Lim

x4. x a x a

lim lif (x) f´(x)

g(x) g´(x)m L

Ejemplo: Calcular

:

Cuando x→3, el límite es de la forma:

x 3 3 x

x 3

e e

se (l m

)i

3n x

0

0

Solución:

, luego por la regla de L ´Hospital

x 3 3 x

x 3

e elim

x 3( )sen

x 3 3 x

x 3

e e

cos x

1 12

3lim

( ) 1

NOTA

La Regla de L´Hospital se aplica Sólo para los casos:

x af ( 0lim x)

1.

y

0Fo

ff g rm

1 0ga:

/

0

0Ó

x ag( )lim x

FORMA: 0.

Fg

f org ma:1/ f

Ejemplo: Calcular x 0

lim tg(x) ln(sen(x)

0 x 0x

ln(sen(x))lilim tg(x) ln(sen(x

)) m

Ctg(x

2x 0 x 0

Ctg(x)lim lim sen(x) cos(x) 0

Csc (x)

Solución:

x af ( )lim x

2.

yx a

g( )lim x

FORMA: 0.Se reduce a la forma

ff

g1

f .g1

g

Ejemplo: Calcular x 0

1( cscx)x

lim

Transformándolo:

Forma :

x 0 x 0

1 csc(x) 1 1( cscx)

1x xlim lim

cscx

x

x 0

x 0 x 0

senx xlim

xsenx

cos x 1 senx 0lim lim 0

senx xcos x cos x c

0

os x xse x 2

0

n

Solución:

3. FORMA:00

0 , 1,

g(x)ln f (x)g(x)f (x) e

Ejemplo: Calcular 0

1

x

x(1lim 2x)

Transformándolo:

0

1

x

x(1 2xl 1i )m

x 0ln

1

x

1(1 2

x

xmx

0

)li

l (1 2x)im e

x 0 x 0 x 0lim lim

2

ln(1 2x) (1 2x)ln(1 2x) .0

1lim 2

x x 1

Solución:

2e

DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA

FUNCIÓN IMPLÍCITA Examinar la función: 5y y x 0

X

Y

-2

2

Hallar la pendiente de la recta

tangente a esta curva en (2, -1)

5 0y y xdy dy

dx d( )

x

5 0dy dy dy dy

dx dx dxy (y) (x) ( )

dx

4 dy dy

dx d5y 1

x0

4 4

11

5y 1

d

6

1

5( 1) 1

y

dx

(2,-1)

Ejemplo:

Calcular la derivada d ela función: 53 22 yx

Por lo tanto:

xx 6)2(3

Solución:

)´5()´3( 22 yx

´2 yy 0

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Una función y=f (x) se llama implícita cuando está definida en la formaF(x,y) = 0.

En muchas ocasiones se desea derivar funciones que tienen esta formadonde es difícil o no se puede despejar la variable y.

En tales casos se derivará directamente la expresión, teniendo en cuentaque y es una función de x. Por ello cuando se derive y, se escribirá y´.

6 2 ´ 0x y y

3´y

x

y

MÉTODO PRÁCTICO

Si E(x,y)=0 define implícitamente a y=f(x). Para obtener , essuficiente:

´yx

dy

d

´

´

x

y

Eyd

dx E

Donde: E´x es la derivada de E(x,y) respecto a x considerando a y constante. E´y es la derivada de E(x,y) respecto a y considerando a y constante.

En el ejemplo anterior se tiene: 2 23 5x y

2 2( , ) 3 5E x y x y

Aplicando la fórmula anterior, se obtiene:

6

2

x

y

E x

E y6

2

3y x x

y

d

x yd

La producción semanal de una

compañía es $ 384 000 y su producción

se relaciona con las horas de trabajo

“x”, y los dólares de inversión de

capital “y”,

Hallar e interpretar la razón de cambio

de la inversión de capital respecto de

las horas de trabajo cuando las horas de

trabajo son 512 y la inversión de capital

es de $64000.

yx2/ 31/ 3

30384000

APLICACIÓN

Solución:

Calcular por derivación implícita

2

dy

dx

y

x

Y=$ Inversión del

capital = 64000

Horas de trabajo

= 512 horas

dy

dxDerivando implícitamente:

64000

2(512)

dy62.5

dx

Interpretación: La inversión de capital para mantener producción

semanal= $ 384, 000 disminuye $62.5 por hora de

trabajo adicional a un nivel de horas de 512.

Inversión

Hora de

Trabajo

Al aumentar en 1 hora detrabajo , se obtendrá unahorro de $62.5

´dy

dxySe sabe:

´dy dy x

NOTA

RAZÓN DE CAMBIO

En general, una razón de cambio con respecto al tiempo esla respuesta a esta pregunta.

¿Cuán rápido varía una

cantidad?

Mientras que:

La derivada dy/dx de una función y=f(x) es unarazón de cambio instantánea con respecto a la

variable x.

Si Y=Posición o distancia (t) =f (t)

Razón de Cambio con

respecto al tiempo = velocidad

Velocidad Promedio

t

Si la velocidad

fuese constante:

El movimiento de un automóvil en una carreteraestá esencialmente determinado si conocemos suposición s como función del tiempo: s=s(t).

s

vs

t

Velocidad Instantánea

s t S t

t tv 2 1

2 1

( ) ( )

2

2 1

2 1

( )i

)l m

(

t t

S t S t

t tv

dS

dt

Este concepto de velocidad en el movimientorectilíneo corresponde al concepto más general detasa o razón instantánea de cambio.La razón de cambio corresponde para dosvariables x e y que están relacionadas por unarelación funcional:

y=f(x)

La razón de cambio en x1 es:

f´(x1)0

limx

y

x

RAZÓN DE CAMBIO

Si x varía de xl a (xl + x), entonces y varía de f(xl) a f(xl + x). Entonces:

1 11

0 0

( ) ( )'( ) lim lim

x x

f x x f x yf x

x x

1 1( ) ( )y f x x f x x Incremento de y: Incremento de x:

Muestra el cambio de la variable yMuestra el cambio de la variable x

10

(́ ) limx

yf x

x

Razón de cambio instantánea

1 1( ) ( )f x x f x y

x x

Tasa Promedio de variación de y por una unidad de variación de x :

Tasa o razón de cambio

Si: y=f(x), entonces la razón de cambio instantánea de y por unidadde variación de x en xl es f´(xl), si éste existe.

EJEMPLO

Suponga que C(x) dólares es el costo total por la fabricación de x

sillas, y que:2( ) 110 4 0.02C x x x

Determine: (a) La función costo marginal C´

(b) La razón de cambio cuando x=50

(a) Derivando se obtiene:

Solución:

(́ ) 4 0.04C x x

(b) Razón de cambio: (́50) 4 0.04(50)

6

C

La razón de cambio cuando se fabrican

50 sillas es de $6 por silla.

Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando

una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por

lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están

relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les

llama razones de cambio relacionadas.

RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/razrel/raz_ejem.html

Ejemplo:

Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. Laparte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3 pies/ seg. ¿Con quérapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superiorestá a 6 pies del suelo?

x

y

10 pies

Solución: (i) Las variables que están cambiando con el tiempo son:

x=x(t) Distancia del extremo inferior de la escalera a la

pared.

y=y(t) Altura del extremo superior.

(ii) Teorema de Pitágoras

2 2 100x y

10 y(t)

x(t)

(iii) Derivando respecto al tiempo:

2 2 0dx dy

x ydt dt

dx y dy

dt x dt

Cuando: y=6 x= 8

(iv) Por dato: 3dy

dt

6( 3) 2.25 /

8

dxpies seg

dt