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Calculodel Exponente de Lyapunov de sistemas dinámicos

por medio del programa educativo Interactive Physics

Miguel Bustamante S. Universidad Adolfo IbañezPatricio Pacheco INACAPSidney Villagran Universidad de Las Américas

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El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase

De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov. De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo, entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.

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Punto de Estabilidad

Supongamos que tenemos un sistema descrito por la ecuaciones

x= f x , yy=g x , y

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Puntos de Estabilidad(0,0) y (5,2)

Puntos de Estabilidad(0,0) y (5,2)

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El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas

Exponente de Lyapunov

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Sistemas Físico, DinámicoMasa resorte, sin perdida de

Energía

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Sistema masa ResorteEl programa simula la siotuación, y exporta los datos de magnitud de velocidad y magnitud de

posición, en formato txt (ASCII)#Toggles grid snap on/offresorte#Grid Snap #Velocity of Square 5#x Vx0.417 0.0000.462 1.8160.597 3.5450.814 5.1041.103 6.4161.450 7.4171.839 8.0582.250 8.3092.663 8.1553.059 7.6063.417 6.6873.722 5.4423.957 3.9334.112 2.233

λ=0, radio no cambia

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Resorte con masa oscilante en medio viscozo

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Resultados

#Toggles grid snap on/offresorte#Grid Snap #Velocity of Square 5 Time#x Vx frame t0.417 0.000 0.000 0.0000.462 1.788 1.000 0.0500.593 3.435 2.000 0.1000.802 4.869 3.000 0.1501.075 6.028 4.000 0.2001.399 6.864 5.000 0.2501.756 7.346 6.000 0.3002.128 7.463 7.000 0.3502.496 7.220 8.000 0.4002.844 6.638 9.000 0.4503.155 5.757 10.000 0.5003.416 4.628 11.000 0.5503.615 3.312 12.000 0.6003.745 1.878 13.000 0.6503.802 0.398 14.000 0.7003.785 -1.055 15.000 0.7503.698 -2.413 16.000 0.8003.546 -3.614 17.000 0.8503.340 -4.604 18.000 0.9003.090 -5.344 19.000 0.9502.810 -5.806 20.000 1.0002.514 -5.975 21.000 1.0502.217 -5.854 22.000 1.1001.934 -5.456 23.000 1.1501.676 -4.809 24.000 1.2001.456 -3.953 25.000 1.2501.283 -2.934 26.000 1.3001.165 -1.806 27.000 1.3501.104 -0.627 28.000 1.4001.102 0.546 29.000 1.4501.157 1.656 30.000 1.500

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#Resorte con viscosidad r(t)=Aexp(λt)#on/offresorte#t r12.5000 0.1670013.2000 0.1350013.9000 0.1080214.6000 0.0870515.3000 0.0690716.0000 0.0550816.7000 0.0441017.4500 0.0360118.1500 0.0280218.8500 0.0230919.6500 0.0180320.3000 0.01503

λ=-0,309

12Con fuerza de roce

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Toggles grid snap on/offresorteGrid Snap Velocity of Square 5 Timex Vx frame t0.417 0.000 0.000 0.0000.459 1.665 1.000 0.0500.581 3.203 2.000 0.1000.776 4.545 3.000 0.1501.031 5.635 4.000 0.2001.334 6.428 5.000 0.2501.669 6.894 6.000 0.3002.018 7.019 7.000 0.3502.365 6.808 8.000 0.4002.693 6.279 9.000 0.4502.988 5.469 10.000 0.5003.236 4.422 11.000 0.5503.427 3.197 12.000 0.6003.554 1.865 13.000 0.650

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# con roceon/offresorte#t r0.35 7.025931.05 4.874431.8 3.125542.55 0.64952

λ=-0,629

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Conclusiones● Por medio del programa Interactive Physics, se

puede obtener las varibales de un sistema como datos.

● Con estos datos, podemos obtener información, como en este caso del exponente de Lyapunov.

● Se pueden modelar mas sistemas desde el punto de la vista de la mecánica