1. Clculo Vectorial PRIMERA EDICIN Claudio Pita RuizUniversidad PanamericanaEscuela de Ingeniera PRENTICE HALLMXICO NUEVA YORK BOGOT LONDRES MADRIDMUNICH NUEVA DELHI PARS RO DE JANEIROSINGAPUR SYDNEY TOKIO TaRaNTa ZURICH

2. EDITOR: Luis Gerardo Cedeo PlascenciaSUPERVISOR DE TRADUCCIN: Jorge Bonilla TalaveraSUPERVISIN PRODUCCIN: Julin Escamilla LiquidanoPita: Clculo Vectoriall/Ed.Todos los derechos reservadosProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio omtodo sin autorizacin por escrito del editor.Derechos reservados 1995 respecto a la primera edicin en espaol publicadapor PRENTICE HALL HISPANOAMERIChuTJA S.A.Calle 4 N 25-22 piso Fracc. lnd. Alce Blanco,Naucalpan de ]urez, Edo. de Mxico,c.P. 53370ISBN 968-880-529-7Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial,Num. 1524ClSEPROGRAMAS EDUCATIVOS, S. A. DE c.v.CALZ. CHABACANO No. 65, LOCAL ACOL. ASTURIAS,DELEG, CUAUHTEMOC,C.P. 06850, MXICO, D.F.EMPRESA CERTIFICADA POR ELINSTITUTO MEXICANO DE NORMAUZACINy CERTIACACIN A.C.. BAJO LA NORMA1509002: 9!l4JNMX.cC.{)()4: 995CON EL No. DE REGISTRO RSC-!l48Cl 3. It seems to be one of the fundamental features of naturethat fundamental physics laws are described in terms of amathematical theory ofgreat beauty and power, needing quitea high standard of mathematics for one understand it. Youmay wonder: why is nature constructed along these lines?One can only answer that our present knowledge seems toshow that nature is so constructed. We simply have to acceptit. One could perhaps describe the situation by saying thatCod is a mathematician of a ver) high order, and He usedvery advanced mathematics in constructing the Universe. Paul Dirae Let us grant that the pursuit ofmathematics is adivine madness of the human spirit. Alfred North Whitehead 4. PrlogoThe values [of mathematicsJ are there, values at least as greatas any human creation can offer. If all are not readily or widelyperceptible or appreciated, fortunately they are utilized. If theclimb to reach them is more ardous than in music, say, the rewardsare richer, for they include almost all the intellectual, aesthetic,and emotional values that any human creation can offer. Morris KlineEste es un libro de clculo diferencial e integral de funciones cuyo dominio y/o codominio sonsubconjuntos del espacio lit". Como a los elementos de este espacio se les llama "vectores", unnombre popular para este tipo de temas dentro del clculo es el de "clculo vectorial". De otro modoan, este libro trata sobre el clculo en (espacios de) dimensiones superiores. El nico prerrequisitoformal para estudiar el material que aqu se presenta, es haber tomado un curso de clculo diferenciale integral de funciones reales de una variable real (como el que se estudia en un primer semestre declculo), junto con algunos resultados elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices(que se estudian generalmente en un curso de lgebra superior o en los primeros captulos de uncurso de lgebra lineal).El clculo es el primer contacto de un estudiante con la llamada "matemtica superior"; desdeel concepto de lmite para funciones de una variable se puede advertir que las ideas que semanejan en esta parte de la matemtica tienen un sabor diferente de las que se haban estudiadopreviamente (lgebra, trigonometra, geometra analtica). Actualmente ya no es necesario insistir enla importancia del estudio del clculo, como primera etapa para adentrarse en problemas matemticosms elaborados, o bien para abordar problemas en otras ramas del conocimiento que utilizan demanera importante las herramientas que ofrece el clculo. Esta parte de la matemtica fue, desde sunacimiento en el siglo XVII, es ahora, y seguir siendo, la antesala de los problemas propios del estudiode la mayor parte del conocimiento cientfico actual, como el que aparece en los planes de estudiode las carreras de ingeniera o ciencias. Esto es especialmente cierto con los temas del clculo endimensiones superiores, como los que contempla este libro. Lo es, por ejemplo, por las importantesaplicaciones que de estos temas se derivan, sobre las cuales puse una especial atencin para queaparecieran en los momentos importantes del desarrollo de la teora. Por otra parte, el clculo endimensiones superiores nos brinda la primera oportunidad de disfrutar las satisfacciones intelectualesque proporcionan los procesos de generalizacin en matemticas. Una vez entendidos los conceptosdel clculo para funciones reales de una variable, y que se admira la fuerza de estas ideas pararesolver problemas en otras partes del conocimiento cientfico, an ms, cuando llegamos a pensarque estamos pisando terrenos "muy elevados" de la matemtica, el clculo en dimensiones superioresnos muestra que estbamos apenas a la mitad de la montaa, y que las emociones fuertes apenascomienzan a aparecer al ver que los resultados del primer curso de clculo son casos particulares desituaciones que contemplan los mismos problemas, pero de una manera ms general.Esta obra contiene ms material del que se puede cubrir normalmente en un segundo curso declculo con estos temas. No es, sin embargo, un tratamiento exhaustivo del clculo en lit". Como encualquier libro de matemticas, hay varias ausencias (por ejemplo, las demostraciones de los teoremas vii 5. Vlll Prlogode la funcin implcita y de la funcin inversa que se estudian en el captulo 3), y la justificacinde estas ausencias es tambin, como en cualquier libro de matemticas, la misma: no es posibletener en unas cuantas pginas todos los temas que contempla y que se derivan de una (cualquiera)parte de la matemtica. L0s temas tratados en los libros de matemticas son fruto principalmentede dos motivaciones del autor. La primera de ellas es que el libro debe contener como mnimo elmaterial que se debe cubrir en un curso normal. La segunda es que el libro debe ofrecer ms queeste material mnimo (de otra forma se podra convertir en una recopilacin de apuntes del curso),ya sea profundizando en los temas tratados, o bien, presentando algunas de sus derivaciones. Yson los gustos y las debilidades matemticas del autor los que deciden el producto de esta segundamotivacin, lo cual provoca entonces la ausencia de algunos temas, as como el estudio de algunostemas no usuales en un curso sobre la materia. Lo que presentamos en este libro se no es ajeno a estoshechos, pues ste contiene como subconjunto propio el material "normal" de un segundo curso declculo ... y algunas cosas ms. Las partes correspondientes al complemento de los temas obligadosen un curso de esta materia, que considero son las "ms prescindibles" en un primer acercamiento alclculo en IRn, aparecen como apndices de secciones de captulos, o bien como secciones que estnmarcadas con un asterisco. Con estas indicaciones explcitas, y el criterio (y gusto) del profesor, sepueden planear varios programas de cursos en los que se puede usar el presente libro como texto.El inicio de esta obra "considera" el conjunto IRn, formado por n-adas ordenadas de nmerosreales, y termina con la demostracin del teorema (general) de Stokes, con formas diferenciales, susdiferenciales exteriores, y la integracin de stas en cadenas. La "distancia" que hay entre estos doshechos matemticos es muy grande, y la intencin del libro es proporcionar un plan de ruta al lectorpara que recorra el camino que separa estos dos hechos. En el transcurso de este principio y fin seexploran muchas de las maravilosas ideas que ofrece el clculo en dimensiones superiores, comoel concepto de difereneiabilidad de funciones reales de varias variables (captulo 2), los teoremasde la funcin implcita y de la funcin inversa (captulo 3), el problema de los extremos sujetos arestricciones (captulo 4), los conceptos de curvatura y torsin para curvas en el espacio (captulo S),el teorema de cambio de variables en integrales dobles y triples (captulo 6), el estudio de los camposconservativos y el teorema de Oreen (captulo 7), los conceptos de superficies en el espacio (captulo8), el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes (captulo 9), y el teorema-general---de Stokes,como resultado globalizador de toda la obra (captulo 10). Los temas mencionados, representativosde cada captulo, constituyen un "guin" de un curso est,ndar de clculo vectorial. Algunos delos temas adicionales que el libro presenta son: el teorema de Euler sobre funciones homogneas(captulo 2); el mtodo de Newton para la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales (captulo3); un estudio sobre las condiciones que garantizan la existencia de extremos condicionados en elmtodo de los multiplicadores de Lagrange (captulo 4); un estudio de curvas paralelas (captulo 5);el clculo de volmenes de esferas, conos y paraleleppedos en el espacio IRn (captulo 6); un estudiointroductorio sobre conjuntos conexos en IR", un estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas,y una demostracin de la desigualdad isoperimtrica (captulo 7); un estudio introductorio sobretubos en IR2 y IR3 (captulo 8); las "cuentas" explcitas para obtener la expresin del rotacional de uncampo en el sistema de coordenadas esfricas (captulo 9); la demostracin del teorema general deStokes, con formas diferenciales e integracin en cadenas (captulo 0); Adems, un ejercicio con 27incisos distribudos en 4 secciones del libro (captulo 2, secciones 6 y 12, Y captulo 7, secciones 3 y4), en el que se dan algunas ideas sobre la teora de funciones de variable compleja, y cuyo objetivoes que el lector aplique la teora expuesta en esta obra para demostrar algunos resultados elementalesque aparecen en esta teora.El libro contiene varios cientos ele ejemplos resueltos y ms de 2300 ejercicios para que elestudiante los resuelva, la mayora de los cuales tiene respuesta en la seccin correspondiente al 6. Prlogo ixfinal del libro. El papel que juega la resolucin de estos ejercicios en la comprensin del materialexpuesto es, como en todos los libros de matemticas, fundamental. Hasta que nos enfrentamosa situaciones concretas planteadas en estos ejercicios, cuya solucin demanda la aplicacin de lateora expuesta, es cuando se empieza a dar el proceso de comprensin de la materia. Los ejerciciosque demandan para su solucin algo ms de lo que el libro ofrece, estn marcados con uno o variosasteriscos, segn su grado de dificultad.Este libro fue escrito con el apoyo de una beca de Cteara Patrimonial Nivel III del ConsejoNacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT). Aunque la responsabilidad de la realizacin delproyecto fue solamente ma, en l estuvieron involucradas muchas personas que me ayudaron eimpulsaron para presentar esta primera versin del libro, que inicialmente fue concebido como unaobra menos ambiciosa de la que se presenta, pero que poco a poco se fue convirtiendo en lo que ahoraes, al no poner resistencia a los encantos y ganas de escribir algunos de los temas complementariosdel curso que se comentaban anteriormente. Antes que nada, deseo hacer patente mi agradecimientoa las autoridades de la Universidad Panamericana, que me ofrecieron el espacio y el apoyo para larealizacin de este proyecto; especialmente al Ing. Pedro Creuheras Vallcorba, de la Escuela deIngeniera, y a la Lic. Aurea Rojas Ponce, del Centro de Cmputo, quienes siempre me brindaronlas facilidades necesarias para salir adelante en los momentos crticos y decisivos del proyecto.Agradezco tambin al Girton College de la Universidad de Cambridge (Inglaterra), donde escriblos dos ltimos captulos del libro, durante el verano de 1994. A Sergio W. del Valle y Gutirrez,quien trabaj conmigo durante medio ao en una de las etapas finales del libro. A Carlos F. Diez deSollano Navarro, a quien dirig su tesis de licenciatura (sobre el producto cruz generalizado), algunosresultados de la cual aparecen en el ejercicio 35 de la seccin 7 del captulo 1. A Pedro Albin Smith,quien resolvi los ejercicios de los captulos 5 y 6. Al Ing. Alfonso Leal Guajardo, quien revisvarios captulos, usndolos en un curso sobre la materia que imparti en el primer semestre de 1994,y posteriormente revis de manera exhaustiva el captulo 7, resolviendo todos los ejercicios que eneste captulo aparecen. Al L.F.M. Francisco Ortz Arango, al Ing. Eduardo de la Vega Segura, ala Ing. Lilia Elena de la Vega Segura, al DI". Fernando Brambila Paz y al Dr. Alejandro BravoMojica, quienes leyeron varios de los captulos dellibO. Menciono de manera especial al equipocon quien trabaj durante las ltimas horas antes de dar por concluido el proyecto, haciendo losdibujos del libro en computadora, armando, revisando, y, en fin, trabajando intensamente en esosmomentos crticos de la terminacin de un proyecto de esta magnitud; mi agradecimiento especial amis alumnos Rigoberto Chvez Carrillo y Jos Luis Salazar Velzquez, al Ing. David Prez Rivera,a la Ing. Lourdes Grimaldo Funes y a la Ing. Rebeca Moreno Lara Barragn. Por ltimo, unagradecimiento ms especial an al Ing. Javier Cervantes Camarena, quien exhibi nuevamente unacombinacin muy difcil de conseguir, pues adems de ayudarme con la elaboracin de muchos delos dibujos que aparecen en el libro, logr, con su buen humor y optimismo, neutralizar muchos demis momentos de histeria (que se incrementaron sustancialmente durante algunos meses previos ala terminacin del libro), mostrndome siempre su amistad y apoyo.Claudio de Jess Pita Ruiz V.Universidad PanamericanaEscuela de IngenieraDonatello 75-bisColonia Insurgentes-MixcoacMxico, D.F. 03920Mxico, D. F., septiembre de 1994. 7. ContenidoPrlogo . viiCaptulo l. Introduccin al espacio IRn y al lgebra lineal .11.1 El espacio IRn . . . . . . . . . 11.2 Producto punto. Proyecciones171.3 Norma y distancia . 25lABases ortonormales. Cambios de base 361.5 El producto cruz en IR 3 . . . . . . . .44Apndice. Coordenadas cilndricas y esfricas 511.6 Rectas y planos en IR 3 601.7 Transformaciones lineales 731.8 Valores y vectores propios831.9 Formas cuadrticas.. . . .91Captulo 2. Funciones de varias variables . . . . .1032.1Funciones de varias variables . . . . . . . . . 1032.2Geometra de las funciones de varias variables1122.3Lmites y continuidad. .1272.4Derivadas parciales . . . . 1472.5Derivadas direccionales. . . . . . . .lS8 Apndice. El teorema del valor medio1642.6 Diferenciabildad........1682.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales184 Apndice. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas1882.8 Gradiente.. . . .1932.9 Vectores normales2012.10 Planos tangentes .2072.11 La diferencial. . . 2192.12 Derivadas parciales de rdenes superiores . 222 Apndice I. Funciones de clase ~k . . . . 229 Apndice Il. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas (versin general para funciones de dos variables).. ....230Captulo 3. Funciones compuestas, inversas e implcitas2413.1 Composicin de funciones . .. . . . .2423.2 Regla de la cadena . . . . . .. . . .2493.3 Regla de la cadena. Perspectiva general269304 Funciones implcitas (1) . 2803.5 Funciones implcitas (II) . . . . .297xi 8. xii Contenido3.6 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309* 3.7 Un interludio numrico: el mtodo de Newton para sistemas no lineales. 319Captulo 4. Extremos de las fundones de varias variables 3334.1 Definicin y ejemplos preliminares ... 3354.2 La frmula de Taylor de segundo orden . . . . . . . .3434.3 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.3554.4 Caso de dos variables. Ejemplos . . . . . .365Apndice. El mtodo de mnimos cuadrados . . . . . . . . . 3724.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Apndice Extremos absolutos de funciones en regiones compactas 398* 4.6 Extremos condicionados (H): condiciones suficientes . . . . . . .407Captulo 5. Curvas en el espacio. . . . . . . . . . . . .4255.1 Introduccin. Lmites y continuidad . . . . . . . .4255.2 Caminos en JR". Consideraciones y ejemplos preliminares4325.3 Diferenciabilidad. Curvas regulares. 4425.4 Reparametrizaciones . . . . . . . . . . .4585.5 Longitud de un camino . . . . . . . . . .4695.6 Reparametrizaciones por longitud de arco.4795.7 Curvatura............... 484* 5.8 Curvas paralelas . . . . . . . . . . . 5035.9 Plano osculador, normal y rectificante . 5195.10Torsin .5265.11Aplicaciones a la dinmica 535Captulo 6. Integrales IDl.llHIlles5516.1 Integrales dobles (1): funciones escalonadas . . . . . . . . . . 5536.2 Integrales dobles (H): funciones integrables sobre rectngulos . 562Apndice. Integrabilidad de funciones discontnuas en conjuntos de medida cero 5676.3 Integrales dobles de funciones sobre regiones ms generales5706.4 Cambio de variables en integrales dobles . 5896.5 Aplicaciones de las integrales dobles . . .6086.5.1 Voltimenes de cuerpos en el espacio .6086.5.2 Areas de figuras planas . . . . . . .6126.5.3 Centros de masa y momentos de figuras planas 6146.5.4 Valor medio de una funcin . . . . 6206.6 Integrales triples . . . . . . . . . . . . 6246.7 Cambio de variables en integrales triples6326.7.1 Coordenadas cilndricas. . . . 6366.7.2 Coordenadas esfricas6406.8 Aplicaciones de las integrales triples 6466.8.1 Volmenes de cuerpos en el espacio . 6466.8.2 Centros de masa y momentos de cuerpos en el espacio. 6506.8.3 Valor medio de una funcin 6536.9 Integrales N-mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 9. Contenido xiiiCaptulo 7. Integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . 6717.1Curvas en el espacio: resumen de hechos importantes6717.2Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . .673 Apndice. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadascilndricas y esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6807.3 Integrales de lnea: definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 6897.4 Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales702* 7.5 Un interludio topolgico: conexidad 725 7.5.1 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . .727 7.5.2 Conjuntos conexos por caminos . . . . . . .729 7.5.3 Conjuntos simplemente conexos, homotopa 731* 7.6 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . .7417.7 Integrales de lnea con respecto a la longitud de arco753 7.7.1 Definicin y propiedades 753 7.7.2 Aplicaciones . . . . 7617.8 La perspectiva de la fsica. .7717.9 El teorema de Green . . . . 779 Apndice (1). Una demostracin del teorema de cambio de variablesen integrales dobles. . . . . . 790 Apndice (H). La desigualdad isoperimtrica . . . . . .7927.10 Rotacin de un campo en ]R2 . . . . . . . . . . . . . .7997.11 La divergencia de un campo vectorial (l): campos en]R2 807 Apndice. La divergencia en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. 814 Captulo 8. """P,-ji";..,, en ]R38218.1 Superficies simples . 8218.2 Reparametrizaciones . . 8348.3 Espacios tangentes, planos tangentes y vectores normales8398.4 Superficies ms generales . 8478.5 Orientacin de superficies8578.6 rea de una superficie862* 8.7 Tubos.8738.7.1 Tubos en ]R28738.7.2 Tubos en]R3 876 Captulo 9. Integrales de superficie . . .. . .881 9.1Integrales de superficie de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . .8819.1.1 Aplicaciones (1). Valor medio de una funcin definida en una superficie 8869.1.2 Aplicaciones eH). Centros de masa y momentos de superficies 887 9.2Integrales de superficie de campos vectoriales. . . . . . 892 9.3La divergencia de un campo vectorial (H): campos en]R3 . . . . .905 9.4El rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 915Apndice. El rotacional en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. 920 9.5El teorema de Stokes .926 9.6Grad, Div, Rot: Las frmulas clsicas del anlisis vectorial .938 10. xiv Contenido Captulo 10. Formas diferenciales . . . . . . . .945 10.1 Definiciones preliminares. Suma y producto de formas946 10.2 La diferencial exterior . . . . . . 957 10.3 Cambio de variables en formas . . . . . 970 lOAIntegracin de p-formas sobre p-cubos . 979 10.5 Integracin de p-formas sobre p-cadenas983 10.6 El teorema (general) de Stokes . . . . . 993 Respuestas a los ejercicios 1001 Bibliografa1071 ndice analtico1073 11. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Captulo duccin al espacio al l eh linealEn este primer captulo expondremos los preliminares necesarios para abordar adecuadamente elestudio del clculo para funciones cuyo dominio y/o codominio es el espacio n-dimensional IRn. Poruna parte, estudiaremos algunos aspectos sobre la naturaleza algebraica de este espacio, que sernuestro anfitrin durante el desarrollo de toda la obra, insistiendo en la gran riqueza geomtrica, lacual puede ser visualizada en los casos en que 11 = 2 Y n = 3 y, por otra parte, introduciremosalgunos conceptos importantes del lgebra lineal que nos ayudarn en su momento a tener unlenguaje adecuado para entender varios de los temas que aparecen en el estudio del clculo (sobretodo el diferencial) de las funciones anteriormente mencionadas (v.gr. la derivada de una funcindeterminada es una "transformacin lineal"). Advertimos, sin embargo, que los tpicos que aquabordaremos no sern tratados en forma exhaustiva, pues el objetivo es solamente dejar asentadoun material de repaso y/o referencia, cuyo conocimiento es importante (muchas veces fundamental)para entender las discusiones de los temas de esta obra. Muchos de estos temas se tratan de modo msprofundo en algunos textos de lgebra lineal. De cualquier modo, se advierte que s es un requisito elconocimiento de algunos resultados elementales sobre la teora de sistemas de ecuaciones lineales,matrices y determinantes, que se exponen en los primeros captulos de algunos libros de lgebralineal, como por ejemplo, en los dos primeros captulos de la referencia [Pillo1.1 El espado]RnTngase en cuenta que, en todo el libro, la letra n, que acompaa a la letra IR en la notacin IR",denotar a un nmero natural. Consideremos el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nmeros reales, que denotaremos porIR" (y leemos "erre ene")A cada uno de los nmeros reales XI, X2, ... , X" que conforman la n-ada (XI, X2, .. , x,,) E IR", sele llama componente o coordenada de la n-ada correspondiente y, puesto que stas son ordenadas,decimos, con ms precisin, que Xi es la i-sima coordenada de (XI, X2, ... , x,,), i = l, 2, ... ,n. Porejemplo, si n = l, el conjunto IR I no es ms que el conjunto de nmeros reales IR. Si n = 2, IR 2 ser 12. 2 Captulo 1Introduccin al espacio IR n y al lgebra linealel conjunto de parejas ordenadas de nmeros reales que podemos escribir como {(x, y)lx, y E IR}.Si n = 3, el conjunto IR 3 estar formado por las ternas ordenadas de nmeros reales, que se puedeescribir como {(x, y, z)lx, y, z E IR}, etc. Insistimos en que las n-adas que constituyen el conjuntojR;1l, son ordenadas: por ejemplo, en IR 2 la pareja (2,7) es diferente de la pareja (7, 2). De hecho,dos n-adas de IR" se dicen ser iguales, cuando todas y cada una de sus coordenadas son iguales. Esdecir que(XI, X2,"" x ll ) = (YI, Y2,"" y,,) q Xi = Yi, i = 1,2, ... , nUn hecho de fundamental importancia en el conjunto IR" es quepodemos XXxy x Figura 1. Vectores en JRz y JR3.Cuando en un conjunto no vaco V se han definido operaciones de suma entre sus elementos yproducto de stos por escalares (nmeros reales, o ms en general, elementos de un campo K),y estas operaciones satisfacen (adems de la cerradura) las propiedades 1-8 vistas anteriormente (esdecir, la propiedad de conmutatividad de la suma, asociatividad de la suma, etc.), se dice que V esun espacio vectorial l. As, el conjunto JR" se convierte en un espacio vectorial con las operacionesque en l hemos definido. De aqu en adelante nos referiremos a JR" como "el espacio JRIl" Ya suselementos (las n-adas ordenadas) como "vectores". La resta de vectores en JRIl, digamos x - y, se define como x - y = x + (-y)Cuando n = 2 n = 3, podemos visualizar geomtricamente los espacios correspondientes lR 2 yJR3. En efecto, dado un vector v en alguno de estos espacios, podemos ver a ste como el puntocorrespondiente del plano o del espacio tridimensional que tiene por coordenadas a las coordenadasde v. Otro modo de verlo es como una flecha que parte del origen de coordenadas y llega al punto encuestin. Ms an, toda "flecha" en el plano o en el espacio, puede ser pensada como un vector deJR2 o JR3, respectivamente. En efecto, supongamos que la flecha tiene su inicio en el punto p y su finalen el punto q. A ella asociamos entonces el vector v = q - p del espacio correspondiente. Con las ICon ms precisin, l}n espacio vectorial es un conjunto no vacro V en el cual estn definidas dos operaciones entre sus elementos (llamados vectores), a saber, la suma de ellos +: V x V ..... V con la cual a cada VI, V2 E V se le asocia un nuevo vector (VI + V2) E V, llamado "suma de VI y V2", Y el pr04uctll de un vector de V por un escalar (un elemento de un campo K, como IR o iC) -: K x V -; V, con la cual, dado un v E V Y un escalar A E K (= IR @ ic), se le asocia un nuevo elemento Av E V, llamado "producto del vector v.por el escalar A", cumpliendo las siguientes propiedades: 1. La suma es conmutativa: VI + Vz = V2 + V, Vv, Vz E V. 2. La suma es asociativa: VI + (V2 + V3) = (VI + V2) + v3. VVI, vz, v3 E V. 3. Existe en V un elemento neutro para la suma, llamado cero y denotado por 1iI. Es decir, existe liI E V tal que V + liI = v Vv E V. 4. Cada V E V tiene asociado un inverso aditivo (-v) E V. con la propiedad de que v + (-v) = O. 5. A(vl + V2) = Av + AV2, VA E K, VVI, v2 E V. 6. (A + .L)v = Av + .Lv. VA, .L E K, Vv E V 7. (A.L)v = A{.Lv), VA, .L E K, Iv E V. 8. Iv = v, Iv E V. En este libro el espacio vectorial ms importante con el que trabajaremos es justamente IR". Existen, sin embargo, otros espacios vectoriales importantes que eventualmente aparecern en el desarrollo del libro. como el espacio de malrices, de funciones. etc. 15. l. 1 El espacio IR" 5u+vuFigura 2. La suma de vectores en IR 2 y ]R..consideraciones geomtricas que veremos a continuacin, ser fcil ver que la flecha asociada a estevector v, que parte del origen y llega al punto q - p, es "equivalente" (en el sentido de movimientosrgidos) a la flecha original que parta de p y llegaba a q.Debido a este tipo de identificaciones entre los puntos del plano cartesiano y del espaciotridimensional, con los vectores de los espacios vectoriales l~2 y JR.3, es que se suele referir a estosespacios como "el plano JR.2" y "el espacio JR.3" respectivamente (refirindonos en este ltimo casoal espacio tridimensional --en el que vivimos), y como ya lo decamos en nuestro primer ClJSO declculo "la recta IR".Ms an, es interesante notar que las operaciones definidas en los espacios JR2 y IR3 puedenser visualizadas, al igual que algunas de las propiedades de ellas, con la ayuda de las versionesgeomtricas (las flechas) de los vectores de estos espacios. En efecto, se puede ver fcilmente(dejamos los detalles a cargo del lector) que la suma de vectores en estos espacios no es ms quela "regla del paralelogramo" conocida en el manejo de flechas ("vectores geomtricos") como semuestra en la figura 2.Con ayuda de esta figura queda clara la validez de la propiedad conmutativa de la suma de vectoresen IR 2 y IR 3 Tambin, usando esta idea, es fcil ver que la operacin de resta de vectores, digamosx - y, equivale a tomar el vector (la flecha) que comienza en el punto y y termina en el punto x (elcual es en realidad una flecha que se obtiene por un mivimiento rgido de la flecha asociada a x - y).Anlogamente, con ayuda de la figura 4, queda clara la propiedad asociativa de la suma.Por otra parte, la operacin de producto por escalares puede tambin verse geomtricamente dela siguiente manera: la multiplicacin del vector v por el escalar A produce un nuevo vector Av (delque diremos que es un "mltiplo escalar" de v) que, conservando la lnea de accin de v, se alarga (siA> 1) o se contrae (si O < A < 1) manteniendo la misma direccin de v, o invirtiendo tal direccin(si A < O). En particular, dado el vector v E JR2 o JR3, su inverso aditivo (-v) E IR2 o JR3 es unareproduccin del vector v apuntando en la direccin "opuesta respecto del origen". Estos hechos seilustran en la figura 5.Todas las visualizaciones geomtricas anteriores, a pesar de que slo tienen sentido con vectores"que podemos ver", en los espacios JR2 y/o IR3, se acostumbra hacer uso de ellas en el caso generalde vectores en IR" , pensando en que de no tener las "limitaciones espaciales" que tenemos los seres 16. 6 Captulo I Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal y__xy-----x-yL_-----~x x-y-yFigura 3.La resta de vectores x-y.humanos (somos seres que vivimos en R 3 y no podemos ver o imaginar espacios R" con I! 2: 4l),veramos los vectores en R" "con las mismas propiedades geomtricas" que tienen los vectores enlR 2 o R 3 .Algunas veces es importante considerar "pedazos" del espacio R" que se comportan "algebraica-mente de la misma manera" que el espacio total al que pertenecen. De hecho subconjuntos S ~ JR"que son en s mismos espacios vectoriales con las operaciones de suma y producto por escalaresque ya estaban definidas en JR" (es decir, que en S se cumplen la cerradura de las operaciones de-finidas en el espacio y las 8 propiedades que caracterizan a un espacio vectorial). Por ejemplo, siconsideramos el subconjunto S de ffi.2 dado porS= {(x, y) E ffi. 21x = Y}podemos verificar que los vectores de S satisfacen las 8 propiedades que cumple el espacio completoJR2 que los hacen ser espacio vectorial: la cerradura (en S) de las operaciones de suma y productopor escalares se verifica fcilmente; que la suma es conmutativa y asociativa es un hecho que secumple para todos los vectores de JR2 y entonces, se cumple en particular para los vectores de S. w";" " ; + ;;;.. +........~ v+:::l +:::l........Figura 4.Versin geomtrica de la propiedad asociativa de la suma de vectores. 17. 1.1 El espacio IR" 7AY (A > 1) YAI (O < A< 1)o AY(Ax6.El vector (7, 5) = 2(2, 1) + 3( 1, 1),En realidad, cualquier vector (x, y) E JR2 es una combinacin lineal de los vectores (2, l) Y(1, l),En efecto, podemos escribir (x, y) = CI (2, 1) + C2(1, 1) con CI = x - y, C2 = 2y - x, como se verificasin dificultad,Por otra parte, el vector (1, 1, O) no es unacombinacin lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, -- 1,2),(1, 3, 8). Para ver esto ltimo, escribamos(l, 1, O) = C1( 1, 2, 3) + C2 ( -j, -1, 2)+ C3 (l, 3, 8)y veamos que tales escalares C], C2 YC3 no existen. Haciendo las operaciones indicadas en la ltimaexpresin nos queda quede donde se obtiene el sistemaCI - C2 + C3 = 1, 2cI -C2+ 3C3 =1, 3cI +2C2 + 8C3 =Odel cual es fcil convencerse que no tiene solucin. 19. 1.1 El espacio JRn9 Es claro que los vectores (2, 1) Y(1, 1) tienen una propiedad importante que no tienen los vectores(1,2,3), (-1, -1,2), (1, 3, 8), ya que con una combinacin lineal adecuada de los prImeros podemosescribir cualquier vector del espacio ]R2, cosa que no se puede hacer con los segundos vectores en elespacio IR3 . Tal propiedad es conocida como "independencia lineal" y a continuacin haremos unestudio breve de ella, empezando por establecer la definicin correspondiente. Un conjunto de vectores VI, V2, ... , Vk E ]Rn se dice ser linealmente independiente (abreviare-mos l.i.) si la combinacin linealobliga a que todos los escalaresCI, C2, . , Ck sean cero. Es decir, si se tiene la implicacinCaso contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes (abreviaremos l.d.? Es decir,si se puede tener la combinacin lineal CIVI + C2V2 + ... + CkVk = Ocon no todos los escalares C,C2, .. , Cn iguales a cero. Usando esta definicin, es fcil convencerse de los siguientes hechos:l.Cualquier conjunto de vectores que contenga al Oes l.d.2.Un conjunto formado slo por un vector no nulo es l.i.3.Si S es un conjunto de vectores l.i., cualquier subconjunto de S es tambin l.i.4. Si S es un conjunto de vectores l.d., cualquier conjunto S que contenga a S como subconjunto ser tambin l.d.5.Si VI, V2, ... , Vk son vectores Ld., entonces alguno de ellos se puede escribir como combinacinlineal de los restantes.6. Si k> n, el conjunto de vectoresV, V2, .. , vk E ]Rn es Ld.7.Un conjunto de n vectores VI, V2, ... , vn E ]R" es l.i. si y slo si el determinante de la matrizque tiene por vectores columna (o por vectores lnea) a estos vectores es distinto de cero. Dejamos al lector la verificacin detallada de estos hechos (algunas de ellas usan resultadosrelacionados con los sistemas de ecuaciones lineales). Un concepto muy importante que aparece cuando se trabaja en el espacio IRIl es el conceptode base de este espacio. Se dice que un conjunto formado por n vectores V, V2, ... , Vil E ]R1l esuna base de ]R1l, si estos vectores son linealmente independientes. Segn la propiedad (7) anterior,los vectores VI, V2, ... , vn E IRIl son (o forman) una base de JI{1l si y solamente si el determinantede la matriz cuyos vectores columna son los vectores dados, es distinto de cero. Esquemticamente,los vectores VI, 12, ... , vn E IR" son una base de este espacio si y slo si 12La propiedad de dependencia o independencia lineal se puede ver como una propiedad de los vectores o del conjunto queforman. No haremos distincin al respecto. 20. 10 Captulo IIntroduccin al espacio IR" y al lgebra lineal Cuando se tiene una base del espacio IR", digamos formada por el conjunto {v], V2, ... , VII}, es importante considerar a ste ltimo como un conjunto ordenado de vectores en IR". De esta manera, se tiene el siguiente resultado fundamental que pone de relieve la importancia de tener bases en el espacio IR" .Teorema 1.1.1 Si [3 = {VI, "2, ... , v,,} es una base del espacio IR", entonces cada vectorV E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de [3, es decir.existen nicos escalares C], C2, ... , c" tales que v = CI VI + C2V2 + ... + C" Vil Demostracin. Considere el conjunto A = {VI, V2,"" v,,, v}. Este es un conjunto linealmente dependiente, pues est formado por n + 1 > n vectores de IR". Es decir, existen escalares YI, Y2, ... , YI1+ 1 no todos nulos tales que YI VI + Y2V2 + ... + y" VII + YI1+ 1V = O. Afirmamos que Y,,+I i- O, pues caso contrario tendramos YIVI + Y2v2 + ... + YI1VII = O y, por la independencia lineal de los vectores de [3, se concluira que Y = O para i = 1, 2, ... , IZ, lo cual contradice la dependencia lineal del conjunto A. Tenemos entonces que v = CIVI + C2V2 + ... + C"V", donde C = -Yi! y,,+]. Veamos por ltimo que estos escalares son nicos. Si existieran otros escalares tales que v = dl"l + d2v2 + ... + d"v", se tendra de donde Usando la independencia lineal de la base [3, conclumos de esta ltima expresin que C -- di =c O, o sea que c = di para todo i == 1,2, ... , n, como se quera.En el teorema anterior, decimos que v = (IVI+ (2V2 + ... + CnVIJ es "la expresin de! vector v en trminos de la base [3 = {v 1, V2, ... , vn }". Ejemplo 2. Los vectores VI = (2, 1) Y V2 = (1, 1) (ver figura 6) forman una base de IR 2 , puesto que ellos son l.i., hechoque se deduce del valor no nulo de det [~ :] = l. En realidad, ya se haba visto que todo vector (x, y) E IR2 se escribe (de manera nical) corno (x, y)= (x y)vI + (2yX)V2 como lo asegura el teorema anterior.11 Ejemplo 3.Cualquier conjunto de k vectores en IR", con k i- 11, no puede ser una base de este espacio (por qu?). Los vectores VI = (1,2, 3), V2 = (- J, -1,2), V3 = (1, 3, 8) no forman una base de IR 3 porque son l.d., ya que-1det [;-]32 (Obsrvese que este determinante ya haba aparecido en una discusin previa sobre si todo vector de IR 3 se puede escribir como combinacin lineal de los vectores VI, V2 Y V3. Se descubri que no. Esto es justamente lo que volvimos a hacer en este ejercicio, por qu?).11 21. l.l El espacio ]R." 11 El ejemplo ms importante de base en el espacio IR" es el conjunto {el, e2, ... , e,,} dondee = (O, ... ,0, l. 0, ... , O)i = l, 2, ... , n. 1 i -sim - - -....... x Figura 7. Los vectores de las bases canonicas de ]R.2 y R. Cuando se consideran subespacios S de IR" es importante tener tambin un concepto de base deellos, pues esto nos permitir introducir el concepto de "dimensin del subespacio". Segn se havisto anteriormente, son dos las caractersticas de conjunto f3 que es base del espacio IR": (1) susvectores son l.. y (2) todo vector de IR" se puede escribir como combinacin lineal de los vectoresde f3. Estas son. de hecho, las dos propiedades que definen una base de cualquier espacio vectorial. Diremos entonces que un conjunto f3 = {VI, V2 .... , Vk} del subespacio S de IR" es una base deS, si: (l) los vectores de f3 son l.i.; (2) todo vector v E S se escribe como combinacin lineal de losvectores de f3. En este caso se dice que los vectores de f3 generan al subespacio S, o bien, que S esgenerado por los vectores de f3. 22. 12 Captulo I Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Ejemplo 5. Sea S = {(x, y)lx = y}. Ya se vi que S es un subespacio de lR. 2 . Es fcil verificar que el conjunto 13 = {(1, 1)} es una base de S, pues, por una parte es claro que es I.i. y, por otra, todo vector de S, digamos (a, a) es un mltiplo escalar de (1, 1). iII Ejemplo 6. El conjunto S = {(x, y, z)lx - 3Y - Sz = O} es un subespacio de lR. 3 (ver ejemplo 1). Para "descubrir" una base de S podemos proceder como sigue: escribamos un vector arbitrario de S y tratemos de "descomponerlo" como combinacin lineal de vectores de IR3. Verificando finalmente que estos vectores son l.i. podemos concluir que constituyen la base buscada. En nuestro caso tenemos que un vector cualquiera de S se escribe como (x, y, z) = (3y + Sz, y, z) = y(3, 1, O) + z(S, 0,1) Entonces, todo vector de S se escribe como combinacin lineal de los vectores VI = (3, 1, O) y V2 = (S, 0, 1). Puesto que estos vectores son I.i., concluimos que 13 = {(3, 1, O), (S, 0, I)} es una base de S. iIIPor supuesto que la base 13 de un subespacio S de IR" no es ul1!ca. Con el mismo ejemplo anterior, podemos ver que 132 = {(- 2, 2, -1), (-1, 3, -1)} es otra base del subespacio S = {(x, y, z)lx - 3y - 8z = O}. Lo que s ocurre, y es posible demostrar en general, es que dos bases distintas de un subespacio tienen siempre el mismo nmero de vectores, Esto nos permite establecer la siguiente definicin importante. Definicin. Sea S un subespacio de IR". Se llama dimensin de S, denotada por dim S, al nmero de vectores que existe en una base (cualquiera) de S.Por ejemplo, es claro que la dimensin de lR." es n. La dimensin del subespacio del ejemplo 6 es 2. En el caso del subespacio trivial {O} que contiene solamente al vector cero, su dimensin se define como siendo cero. 1. Verifique que el conjunto de n-adas ordenadas de nmeros realesi = 1, 2, ... , n}con las op~raciones de suma y producto por escalares definidas en esta seccin, es un espaciovectorial. 2. Escriba en forma explcita.a. el neutro para la suma de JR3.b. el inverso aditivo de (1, 2, -3,5) E IR4 .c. el inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v E JR".d. el inverso aditivo del neutro para la suma de un vector v E IR".e. el vector suma de (1,1,1) con (3, 2, 2) en IR 3 .f. la propiedad conmutativa para la suma de vectores en IR 3 . 23. 1.1El espacio]Rn 13 g. el vector suma de (8,9,3,5) con el inverso aditivo de (2, 7, 5, 4) en R,4. h. el vector suma de (a, b, e, d, e) E R,s con su inverso aditivo. i. 3 veces el vector (2, 1, 1) de ]R3. j. -5 veces el vector (1,1, 1, 1, O E R,s. k. la propiedad asociativa para la suma de vectores en ]R4. 1. el inverso aditivo de 4 veces el vector (2, 4, -7) ER,3. m. la suma de (2, 5, 5,4) con 4 veces el vector (-1, - 2, -1, -1) en R,4. n. la suma de (1, 1) con el inverso aditivo de 5 veces el vector (4, 5) enR,2. o. la suma del inverso aditivo de (1, 1) con 5 veces el vector (4, 5) en lR,2. p. el vector 3(1, 1,8) + 4 [( -2,3, O) + 5(1, 0,O] de R,3. q. el vector -(2, 0, 2) + 3{(3, 2, 2) - 3[-(1,2, 1) + 7(0, 1, Ol} de R,3. r. el vector (2, 1,0, O) - 2( 1, 1, 1, 1) de R,4 multiplicado por el escalar -5. s. el inverso aditivo del vector -( 1,4,2,3) + 2(3,2, 1, 1) en R,4 multiplicado por el escalar -6. t. el vector de R,4 que sumado al vector (3, 2, 0, O) d por resultado el vector O, 1, 2, 1). u. el vector de R,3 que sumado con el inverso aditivo del vector (1, -4, 6) da por resultado elvector 3(3, 4, 2).3. Sean x y y dos vectores de R,n. Verifique que el inverso aditivo del vector x - y es el vector y x. Discuta geomtricamente este hecho.4. Demuestre que el subconjunto de lR,2 s = {(x, Y)ix = y} con las operaciones usuales de suma y producto por escalares (las que estn definidas en R,2) es un espacio vectorial, verificando que se cumplen los 8 axiomas que definen a esta estructura algebraica. Observe que geomtricamente este conjunto es representado por la recta y = x, la cual es una recta que pasa por el origen.5. Usando el teorema 1.1.1, demuestre que el conjunto de vectores en R,2 que se encuentran en la recta que pasa por el origen ax + by = (con a y b reales no ambos nulos), e~ Jn subespacio de R,2. Ms an, demuestre que si S es un subespacio no trivial de R,2 (es decir, distinto de {(O, O)} Yde todo R,2), entonces S es una recta que pasa por el origen, siguiendo los pasos: a. Tome un vector (xo, Yo) E S no nulo, digamos que Xoi= 0, y defina L = {(x, Y)!Yox - XoY O}.Ciertamente L es un subespacio de R,2 (por qu?). Tome (Xl, YI) E L. Verifique que(x 1, YI) es un mltiplo escalar de (xo, Yo). Con S como un subespacio de lR,2, concluyaque (Xl, YI) pertenece de hecho a S. Esto demuestra que LeS. b. Suponga que S no est contenido en L. Tome entonces un vector (X2, Y2) E S tal que(X2, Y2)ti- L (es decir, YOX2 - XOY2 i= O). Considere el sistema de dos ecuaciones con lasincgnitas u y v, YoU + Y2 V = y, 24. 14 Captulo lIntroduccin al espacio]R" y al lgebra linealdonde x, y y son nmeros reales arbitrarios dados. Concluya que este sistema de ecuacionestiene solucin nica, digamos U, v. Verifique entonces que el vector (x, y) E lFt 2 se puedeescribir como (x, y) = u(xo, Yo) + V(X2. Y2)Use S como un subespacio de lFt 2 para concluir que (x. y) E S, con lo cual concluya a suvez que S = lFt 2 , lo que es una contradiccin a las hiptesis hechas sobre S. Esto pruebaentonces que S e L.c.Tome los resultados de los dos incisos anteriores para conclur finalmente que S = L, Yque, entonces, S es una recta que pasa por el origen. 6. Demuestre que dos vectores en lFt n son linealmente dependientes si y slo si uno de ellos es unmltiplo del otro. 7. Use el resultado del ejercicio anterior para decidir (a simple vista) si los siguientes pares devectores son linealmente independientes o dependientes.a. (1, 1) Y (2, 3).b. (2.4, 1) Y(8. 16,4).c. (O, O. O) Y (3, 2, - 7).d.(l, 1,2,0, 1) Y(3, 3, 6, 0, 3).e. (2,5, 1, n, 1) y (-3,5. 1, 0, 1). 8. Demuestre que cualquier conjunto de vectores en lFt" que contenga al vector cero es linealrnentedependiente. (Sugerencia: use directamente la definicin de dependencia lineal). 9. Pruebe que un conjunto formado por un solo vector no nulo es linealmente independiente.10. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente indpendiente, entoncescualquier subconjunto de S es tambin linealmente independiente. 11. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente dependiente, entonces cualquier conjunto que contenga a S es tambin linealmente dependiente.12. Pruebe que si los vectores V], 12, ... , Vk E lFtn son linealmente dependientes, entonces algunode ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes.13. Demuestre que si k > n, el conjunto de vectores V, 12, ... , Vk E lFt n es linealmente dependiente.(Sugerencia: escriba explcitamente la combinacin lineal C V + C212 + ... + Ck Vk = O conlas coordenadas de los vectores involucrados; obtendr un sistema homogneo de n ecuacioneslineales con k indeterminadas C, C2, . , Ck. Use el hecho de que para un sistema de este tipo,si k > n, existen soluciones no todas nulas para las incgnitas).14. Demuestre. que un conjunto formado por n vectores VI, 12, ... , Vn E lFt" es linealmenteindependiente si y solamente si la matriz cuadrada de orden n que tiene por vectores columna(o por vectores lnea) a estos vectores, tiene determinante distinto de cero. (Sugerencia: escribaexplcitamente la combinacin lineal CV + C2V2 + ... + CkVk = O con las coordenadas delos vectores involucrados; obtendr as un sistema homogneo de n ecuaciones lineales con nincgnitas c, C2, .. , Cn. Use el hecho de que un sistema semejante tiene slo la solucin triviale = C2 = ... = Cn = O si y slo si el determinante de la matriz del sistema --que es el mismoque el de su transpuesta- es no nulo). 25. 1.1 El espacio lRn 1515. Diga si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o dependientes,justificando su respuesta directamente de la definicin, o bien, usando alguno de los resultadosde los problemas S-14 anteriores.a. {(2, l)}.b. {(3, 2, 1),(l,0,0),(-4,5,-2)}.c. {(l, 1, 9), (2,1,3), (2, 2, 3), (3, -3, -7)}.d. {(l, 4,5, O), (2,1,0, O), (3,1,1, l)}.e. {(1, 2, 3, 4), (O, 2, 3,4), (O, O, 3, 4), (O, 0, O, 4)}.16. Demuestre el teorema 1.1.1. (Sugerencia: el "slo si" es obvio; para probar el "si", observeque la cerradura de las operaciones en el espacio vectorial queda garantizada por las doscondiciones dadas; la conmutatividad y asociatividad de la suma, y las propiedades relacionadascon productos por escalares se cumplen automticamente -por qu?-; resta por ver que existeel neutro para la suma en S y que cada x de S tiene en S su inverso aditivo; esto lo puede hacerusando la propiedad 2. con e = y e = -1).17. Diga si cada uno de los siguientes conjuntos son subespacios del espacio IRn correspondiente.a. S = {(x, y)12x+y = O} e IR 2 .b. S = {(x, y, z)12x + y = } eIR3.2c. S = {(x, y, z)lx + y = a} e IR3.d. S = {(x, y, z)lx 2 + l+ Z2 = a} e IR3 e. S = {(x, y, z)lx 2 + l + Z2 2: a} e IR 3 f. S = {(x, y, z)lx 2 + y2 + Z2 > a} e IR 3 .g. S = {(x), X2, X3, x4)lx = X2 = X3 = X4} e IR4 h. S = {(X,X2,X3,X4)!XX2X}X4 = I} e IR4 i. S = {(Xl, X2, X}, X4, xs)lx + X2 + x3 + X4 + Xs = a} e IRs (a un nmero dado).18. Para cada uno de los subconjuntos S de IR 3 dados a continuacin verifique que se trata desubespacios y encuentre una base de ellos, as como su dimensin.a. S = {(x, y, z)lz = a}.b. S={(x,y,z)!x=y=O}.c. S = {(x, y, z)lx + y = O}.d. S={(x,y,z)lx+y+z=O}.e. S = {ex, y, z)!3x - Sy + 9z = a}.f. S = {(x, y, z)lx = 2t, y = t, Z =5t, t E IR}.g. S = {(x, y, z)lx = 2y = 3z}.h. S = {(x, y, z)lx = s, y = Ss, z= 0, s E IR}.i. S = {(x, y, z)lx = y}.19. Explique por qu cada uno de los siguientes conjuntos de vectores de IR} no pueden constturuna base de este espacio.a. {(l,2,1),(2,5,4)}.b. {el, -1,3),(0,a,0),(2,3,6)}. 26. 16 Captulo lIntroduccin al espacio ]R" y al lgebra linealc. {(2, S, 4), (l, 3, 2), (2, 6, 4)}.d. {(l, 1,5), (l, 1, S), (3, 2, 2)}.e. {(3, 2, 1), (2, 5, 5), (3, 4, 2), (2, 2, 7)}.f. {(2, 4, 8)}.g. {(3, 4, 3), (l, 1,1), (2, 2, 2)}.h. {(l, 1,3), (2, 6, 4), (5, 3, 5), (3, 2,1), (2, 3, 7)}. 20. Verifique que todo vector de IR2 se puede escribir como una combinacin lineal de los vectores VI = (l, 3), V2 = (3,7), V3 = (-3,5). Significa esto que el conjunto {VI, V2, V3} es una base de IR2?21. Verifique que los siguientes conjuntos constituyen bases de los espacios correspondientes.a. {( 1, 2), (3, 1)} de IR 2 .b. {(l,1),(9,11)}deIR2.c. {(1, 1, 1), (O, 5, 2), (O, 0, 19)} de IR 3.d. {(l, -1, -1), (2,3,1), (2, 7, 3)} de IR3.e. {(l,O,O,O),(1, 1,0,0),(1, 1, 1,0),0, 1, 1, l)}deIR4 .f. {(2, 3,4,2,3), (O, 2, 4, 3, 5), (0,0, 1,0, O), (O, 0, 0, 4, 2), (0,0,0,0, 3)} de IRs. 22. Demuestre que el conjunto [3 = {(a, b), (c, d)} es una base de IR 2 si y slo si ad - be =/= O. 23. Verifique que [3 = {(l, 1, 1), (1,1, O), (l, 0, O)} es llna base del espacio IR 3. Escriba el vector (x, y, z) en trminos de esta base. 24. Demuestre la afirmacin recproca del teorema U.2. Es decir, demuestre que si el conjunto[3 = {VI, V2,"" vn} de n vectores en IR" es tal que cada vector v E IR" se escribe de maneranica como combinacin lineal de los vectores de [3, entonces [3 es una base de IR". (Sugerencia:la expresin CI V + C2V2 + ... + en Vn = () es una manera de escribir el vector 1) E ]R". Otramanera es la uivial 0= Ov +OV2 + ... +Ovn . Obtenga de aqu la independencia lineal de f3 ...).Concluya entonces que las dos afirmaciones siguientes acerca del conjunto f3 son equivalentes:a.f3 es una base de jR"(es decir, f3 es un conjunto linealmente independiente).b.todo vector v E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectoresde f3. 25. Considere los vectores VI = (Xl, y), 112 = (X2, Y2) en jR2. Defina el producto de VI por 112,denotado por 111112, coordenada a coordenada (como se hizo con la suma). Es decir, definaV1V2 = (XI Y, X2Y2). Observe que VI 112 es ,In nuevo vector de R 2. Demuestre que:a.el producto es conmutativo. Es decir, VIV2 = V2V "1111, 112 E jR2.b.el producto es asociativo. Es decir, VI (V2V = (VV2)V3, 1"11, V2, 113 E ]R2.3)c.existe un neutro para el producto 1 E jR2, tal que vI=v, Iv E IR2.d.el producto es distributivo. Es decir, V(V2 + "3) = VIV2 + 111113, lv, 112, 113 E R? (con lasuma definida en esta seccin).e.Si v = (a, b) es un vector cualquiera de ]R2, entonces v = vi + vj, en donde i = O, O),j = (O. 1). 27. 1.2 Producto punto. Proyecciones17 f.Existe un vector inverso multiplicativo asociado a todo vector no nulo (es decir, distinto del vector (O, O)) v E IR z? Es decir, dado v E JRz no nulo, existe y-I E JRz tal que y-I v = 1 (el vector neutro multiplicativo de JRz del inciso c))? g.Vale la ley de la cancelacin para este producto definido en JRz? Es decir, es cierto que si YIYZ = YIV3 y VI es distinto de (el vector) cero. entonces Vz = V3?1.2 Producto punto. ProyeccionesEn el espacio JR" podemos definir un tipo de producto entre sus elementos (los vectores del espacio)con el cual este espacio se llena de una gran riqueza geomtrica que nos permite adentrarnos ms enla "esencia" misma de la naturaleza de l. Este producto es el conocido "producto punto", el cualno es ms que un tipo de "producto interno" que se puede definir en un espacio vectorial en general.El produeto punto en JR" es una funcin -: IR" x JR" -+ JR que a cada par de vectores x y E JR" leasocia un nmero real x . y (llamado tambin "producto punto de x, y"; se usa tambin la notacin(x. y)) dado por x .y = XI YI + xzYz + ... + XIlY"en el que x = (XI, X2,"" x ll ), Y = (YI. Yz ... , YIl) En el teorema siguiente se recogen las propiedades ms importantes del producto punto.Teorema 1.2J.El producto punto x . y de dos vectores x, y E JR" tiene las siguientespropiedades:1.x .x 2: 0, x . x = O{:} x = O2.X y = Y x3.(x + Xl) . Y = x . y + x . y4.(ex) . y = e(x . y), e E JRDemostracin. Se trata de verificaciones de simple rutina. Hacemos las cuentas correspondientesa las propiedades (3) y (4) (simultneamente) y dejamos que el lector haga las de las propiedades (1)Y(2). Si x = (Xl. Xz ... x,,), x = (x~, x~, ... , x~), y = (YI, Yz .... YIl) son tres vectores cualesquierade lR" y e E IR., se tiene(e" + x) y = (ex + X~)YI + (exz + x~)yz + ... + (cx + x~)y" ll =C(XIY + X2Y2 + .,. + X"YIl) + (x;y + X~Y2 + ... + x:,y,,) = c(x . y) + x . y Q.E.DEl teorema anterior nos dice que el producto punto es una funcin definida positiva (propiedad 1),simtrica (propiedad 2), y lineal respecto de su primera variable (propiedades 3 y 4). Juntando esteltimo hecho, con la simetra del producto punto, concluimos que ste es lineal tambin respecto desu segunda variable, le modo que es entonces una funcin bilineal. Esta propiedad de bilinealidadse usa frecuentemente en la forma 28. 18 Captulo 1Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal donde U;, Vj son vectores de]R" y e, d j son escalares.En el siguiente teorema se establece una de las desigualdades ms clebres de la matemtica, en su versin para vectores en el espacio ]R/.Teorema 1.2.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y dos vectores cualesquieraen ;;(". Entonces (x . y)2 S (x . x)(y . y) Demostracin. Si x = O, ambos miembros de la desigualdad son iguales a cero (y entonces en este caso es cierta la desigualdad). Sea entonces x :f O. Considere el vector ti = Y + ex, donde e es un nmero real fijo, pero arbitrario. Consideremos el producto punto de u con u y apliquemos las propiedades del teorema 1.2.1, para obtener que o :x = --xx-xEjemplo 5.Si los vectores x y y son ortogonales, geomtricamente es claro que PRy->x y PRx~yson iguales a (al vector) cero, lo cual se puede ver tambin de la frmula para la proyeccin ortogonal,pues x . y = O. Tambin, si x = (x, X2, ... , XII) es un vector cualquiera de]Ftlly c es el i-simovector de la base cannica de ]Ftll, entonces, puesto que x . e = Xi y. ei . ei = 1, se tiene x ePRx~e; = -- c = Xti ti eicomo era de esperarse. 32. 22 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra linealx~-------+--------- ~------- .. ti xcFigura 4. La proyeccin de x sobre ti es xei. Ejemplo 6. Consideremos los vectores x = (6, 2), Y = (1,5) en ]R2. Se tieney .x (6)(1) + (2)(5) 2 PRy~x= -..-x =x X + (2)2 x = -x (6)25 PR _ Y . x _ (6)( 1) + (2)(5) _ ~x~y - y .l- (l)2 + (5)2 y - 13 Y lo cual se ve geomtricamente comoy(6,2)---I"::.-..---------_xFigura 5. Los vectores del ejemplo 6.Ejercicios (Captulo 1, Seccin 2)1. Demuestre que Ji. O = O Ix E ]R".2. En este ejercicio se da un argumento distinto al del texto que prueba la validez de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: (x y)2 ::; (x . x)(y . y). Sean x, y dos vectores de ]R". Si Y = O, verifique 33. 1.2 Producto punto. Proyecciones 23que se cumple automticamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz (de hecho, se cumple laigualdad). Si y =F O. considere el vector l.J. = X - ay, donde a = q.Haga el producto punto deu consigo mismo y obtenga de ah la desigualdad de Cauchy-Schwarz (usando que l.J. l.J. ~ O).Use adems el hecho de que u . l.J. ={:} u = O, para concluir que la igualdad en la desigualdadde Cauchy-Schwarz se tiene si y slo si los vectores x, y son linealmente dependientes. 3. Qu es el producto punto de dos vectores en ]R.!? Cmo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en ]R.!? En qu casos se tiene la igualdad en esta desigualdad paravectores en ]R.!? (recuerde: el valor absoluto del producto de dos nmeros reales es igual alproducto de los valoresbsolutos de los nmeros). Explique. 4. Verifique la desigualdad~deCauchy-Schwarz con los vectoresa. x = (1, l),y = (3,2)b. x = (2. l. 1), Y = (1,0, O)c. x = (3,0,1), Y = (O, O. 3)d. x = (1, 1, 1), Y = (2,2,2)e. x = (1,2.0,2,1), Y = (3, 1, 1,0,2) 5. Sea v un vector de ]R.". Demuestre que el conjunto S de vectores x E ]R." ortogonales a v, esdecir S = {x E ]R." Ix . v = O} es un subespacio de ]R." . 6. Describa los vectores (x, y) E ]R.2 que son ortogonales al vector (3. -1). Verifique que stos sonlos puntos de una recta que pasa por el origen. 7. Describa los vectores (x, y, z) E ]R.3 que son ortogonales al vector (- 2. l, 4). Verifique que stees un subespacio de ]R.3 del tipoS = {(x, y, z)lax + by + ez = O}Ms en general, demuestre que todo subespacio S de ]R.3 como el anterior, es descrito comoS = {u E JR3u. V = O} para algn v E ]R.3. 8. Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuacin. Es decir, como unconjunto de vectores (x. y) E ]R.2 tales que (x. y) = (O. b) + t(l. 111), t E IR., haciendo una grficaen cada caso (ver ejemplo 1)a. = 2x yb. y = x + lc. y = -2x+3d. Y = -x - 1 9. Considere la rectaf = {(x, y)l(x, y) = (0,3) + t(1, 2), tE JR}Verifique que (2.7) E . Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta e?Explique.10. a. Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (l. 2).b. Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (1.2) Ya (- 3, -6).c. Halle un vector (x, y) E JR2 que sea ortogonal a (l. 2), (-3. -6) Ya (2, 4).d. Halle un vector (x. y) E JR2 que sea ortogonal a (1, 2) Y(3, 5). 34. 24 Captulo lIntroduccin al espacio JR" y al lgebra lineal 11. Sean VI y Vz dos vectores en IR z linealmente independientes. Demuestre que el nico vector de IR z ortogonal a VI ya Vz es el vector O. Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmenteindependientes? 12. a.Halle un vector (x, y, z) E IR que sea ortogonal a (3,1,1).b. Halle un vector (x, y, z) E IR que sea ortogonal a (3, 1, 1) Ya (6, 2, 2)c. Halle un vector (x, y, z) E IR que sea ortogonal a (3, 1, 1) y a (2, 1, 5).d. Halle un vector (x, y, z) E IR que sea ortogonal a (3, 1, 1), (2, 1, 5) Ya (1, 0, O) 13. Es cierta la afirmacin del ejercicio 11 para vectores en el espacio IR? 14. Sean VI, vz, V, tres vectores en IR linealmente independientes . Demuestre que el nico vectorde IR ortogonal a VI, Vz y V, es el vector O Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmenteindependientes? 15. Sea f3 = {V 1, vz,.,vn} una base de IRn.. Demuestre que el nico vector v E IRn ortogonal atodos y cada uno de los vectores de f3 es el vector O.. 16. Del teorema 12.3 se dedujo que todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos en IRn es una base de este espacio. Es cierta la afirmacin recproca? 17. Sea{VI, Vz,,vd un conjunto ortogonal de k vectores en IRn . Demuestre que si k> n,entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector O.. 18. Cierto o falso? Todo conjunto de vectores que contenga al vector Oes ortogonal. 19. Cierto o falso? Un conjunto con un solo vector no puede ser ortogonaL 20. Considere el cuadriltero cuyos vrtices son A = (1, -2,2), B = (1,4, O), e (-4,1,1), D = (-5, -5,3). Demuestre que las diagonales AC y BD son ortogonales . 21. Verifique que los siguientes conjuntos de vectores son conjuntos ortogonalesa. {(3,1),(2,-6)}b. {(a, O), (O, b)} en donde a y b son nmeros dados..c. {(l, O, O), (0,1, O), (O, 0, I)}d. {(4, -1, O), (2, 3, --5), (-8, 7, I)}e. {(2, O, 1,3),(-2,4, 1, 1),(-3, -2, O, 2)} 22. Demostrar que los puntos A= (1, 1), B = (2,3) YC = (5, -1) son los vrtices de un tringulo rectngulo. 23. En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u = PRy~x, proyeccin del vector y sobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y-u.a. x = (2,5), Y = (3,4)b. x = (1, O), Y = (4,5)c. x=(4,2),y=(2,1)d. x = (2, 1, O), Y = (1, 0,1)e. x = (1, 1, 1,2), Y = (0,2, O, 3) 24. Sea V el vector de IR cuyo punto inicial est en (1,3,7) Y cuyo punto final est en (4,5,7) Hallar la proyeccin del vector (1, 2, 1) sobre v. 35. 1JNorma y distancia 2525. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para calcular el rea del tringulo cuyosvrtices son:a. A = (O, O), B = (5, 3), e = (7, 8)b. A = (O, O), B = (9, 1), e = (5,4)c. A = (-2, -3), B = (3,2), e = (-1,5)d. A = (1,3,2), B = (2,5,3), e = (-2,0, O)26. Sean x, y dos vectores en]Rn y -x, -y sus inversos aditivos, Demuestre quea. PR y --+- x = PR y --+ xb. PR_ y --+ x = - PRy --+ xVerifique este resultado con los vectores x = (2,5), Y = (-1,3).27. Sean v, Uh U2, " Uko k + 1 vectores en]Rn Si u = UI + U2 +,. + UkDemuestre queVerifique este resultado con los vectores UI = (1,1), U2 = (3, -2), v = (2, 3).28. Sean u y v dos vectores en ]Rn y e un nmero real. Demuestre queVerifique este resultado con u = (2, i, - i), v= (3,5, 1), e= 2.1.3 Norma y distanciaCon la ayuda del producto punto estudiado en la seccin anterior, y con el cual ya tenemos en ]Rn elconcepto geomtrico de ortogonalidad de vectores, es posible introducir una nocin de "tamao deun vector" y de "distancia entre dos vectores" (o distancia entre dos puntos en ]Rn) Definimos la norma (de modo ms preciso, la norma euclidiana) de un vector x E ]Rn, denotadapor IIxll, como IIx11 = vx:x(segn la primera propiedad del producto punto de vectores, esta definicin hace perfecto sentido,pues lo que est dentro de la raz cuadrada es siempre un nmero no negativo), En concreto, six = (XI, X2, . , x n ), se tiene IIxll = Jx~ + x~ + + x;Diremos que el vector x es unitario si Ilxll = 1 Obsrvese que los vectores de la base cannica de]Rn son unitarios, pues Ile;!1 = J(0)2 + . " + (1)2 + ".., + (0)2 = 1,i = 1,2, ... , nViendo los casos de vectores en ]R2 y ]R3, debe ser claro que esta nocin de norma de un vector, queha sido definida en general en el espacio ]Rn, nos da una medida del "tamao" del vector. En efecto, 36. 26 Captulo 1Introduccin al espacio iR n y al lgebra lineal si v = (x, y) E ]R2, se tiene Ilvll = Jx 2 + y2, que no es ms que la distancia del punto (x, y) al origen (ie es justamente el tamao del vector v).. Una situacin anloga se puede ver en el espacio ]R3En la seccin anterior obtuvimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz (x y)2::; (x x)(y y) Si tomamos raz cuadrada en ambos miembros de esta desigualdad, nos queda que podemos escribir, usando el coricepto de norma como !xYI::; Ilxllllyll Esta "versin" de la desigualdad de Cauchy-Schwarz es la que usaremos cuando se requiera..En el teorema siguiente se recogen las principales propiedades de la norma de un vector en ]RnTeorema 1.3.1 Sean x, y vectores de ]Rn, y e un nmero real Se tienea. Ilxll 2: O, IIxll = O{:} x = Ob. IIcxll = Iclllxllc. Ilx + yll ::; Ilxll + Ilyll (desigualdad triangular) Demostracin. El hecho de que IIxll 2: O es inmediato de la definicin. Tambin, el hecho que Ilxll = O, equivale a que x x = O, lo cual a su vez equivale (segn la primera propiedad del producto punto) a que x = O. La propiedad b) se obtiene madi ante operaciones sencillas: Para ver la validez de la propiedad c), escribimos Ilx + yl12 = (x + y) .(x + y) definicin) ( ele norma = X x + 2(x y) + y .y bilinealidad del) ( producto punto definicin de ) ::; IIxl12 + 21x . yl + IIyl12( norma, a :S lal ::; IIxl1 2+ 211xllllyll + IIyl12 desigualdad de) ( Cauchy-Schwarz = (11xll + Ilylj)2 de donde se obtiene la desigualdad procurada (tomando raz cuadrada en ambos miembros de la desigualdad obtenida) Q ED.La propiedad c) del teorema anterior describe un hecho geomtrico bien conocido: en un tringulo cualquiera, la longitud de uno de sus lados no puede exceder a la suma de las longitudes de los otros dos lados Es por eso que el resultado es conocido como desigualdad triangular. La siguiente figura aclara esta situacin. 37. 1.3 Norma y distancia 27Ilx + yll :::; IIxll + IlyllFigura 1.La desigualdad triangular.Ejemplo 1.Verifiquemos la desigualdad triangular con los vectores x(1, -2,3,2), Y(5, -3, O, 1). Se tiene que x + y = (6, -5, 3, 3), de modo que 11" 11t. T1 "11 = J 11(6 J -, 11 ._e;, :t 3)11 = ,;;::V 1"1Por otra parte Ilxll = 11(1, -2,3,2)11 = v8 Ilyll = 11(5, -3,0,1)11=V:3SSe tiene efectivamente que J79 = + yll :::; Ilxll + Ilyll = v8 + V:3S Con la ayuda del concepto de norma (y lo estudiado en la seccin anterior), podernos introducirfcilmente el concepto de ngulo entre dos vectores en ]Rll. En el caso de dos vectores en ]R2, es fcilobtener una expresin para el ngulo que forman. En efecto, sean x, y E ]R2 dos vectores no nulos.De la figura 3 es inmediato que el ngulo 8 que forman x y y es tal que Ixylcos 811 PRy->x IIN Ix ylIlylllIyll Ilxllllyll La frmula anterior tiene sentido si nuestros vectores x, y son vectores cualesquiera no nulos delespacio ]R". De hecho, se define el ngulo entre los vectores (no nulos) x, y E ]Rll como el ngulo8, O :::; fJ :::; Tr, dado porxy fJ = arccos~Obsrvese que si los vectores x, y son ortogonales, entonces el ngulo que forman entre ellos esfJ = arceas O = Tr /2, como era de esperarse. Hemos quitado el valor absoluto en el escalar x . yde la expresin obtenida para fJ de la figura 2. Esto lo hacemos para dejar la posibilidad de ngulosobtusos entre los vectores x y y. De hecho, es claro que si x . y es negativo, el ngulo fJ ser obtuso;si x . y es positivo, el ngulo fJ ser agudo (y, como ya se dijo, si x . y = 0, el ngulo fJ es recto). 38. 28 Captulo 1 Introducci6n al espacio lR" y al lgebra lineal x yFigura 2. El ngulo fJ entre los vectores x, y. Ntese tambin que en tlminos del ngulo e, se puede escribir el producto punto de los vectoresx, y E ]Rn como x y= 1IIIyll coseMs an, si calculamos directamente el cuadrado de la norma del vector diferencia x - y, obtenemos Ilx -- Yl12 = (x -y) . (x - y)= x . x - 2(x . y)+y .y= 11"11 2+ IIYl12 - 211xllllyll cos () la cual no es ms que la versin ( generalizada!) para vectores en ]Rn de la conocida "ley de los cosenos" que se estudia en los cursos de trigonometra elemental.y () x IIx - yl12 = IIxl1 2+ IIyl12 - 211xllllyll cos e Figura 3.La ley de los cosenos. 39. 1.3Norma y distancia 29Ejemplo 2.El ngulo entre los vectores x =O. -2.3,2), Y = (3,4. 0.8) es X y1111e= arccos IIxllllyll = arccos /f8/89= arccos 3vI78que aproximadamente es de 74 grados. Debemos mencionar que el concepto de norma es ms general que el presentado anteriormente:una norma en el espacio IR n es una funcin 11 11: IR" -; IR que a cada vector x E IRn le asocia el nmerorealllxll(la norma de x) y que cumple con las tres propiedades establecidas en el teorema 1.3.1. Lanorma que presentamos aqu es la llamada "norma euclidiana" y con ella trabajaremos en este libro.Existen, sin embargo, otras normas importantes en IR" (digamos que otras maneras de medir eltamao de los vectores en IR"), por ejemplo(*) la norma del mximo II Ilmx: IR" -; IR dada por Ilxllmx = mx(lxj. i = 1.2..... n)(*) la norma de la suma IIlis: IR" -; IR dada pordonde x = (XI, X2 ... x n ). Dejamos al lector que verifique que stas son efectivamente normasen ]R". Estudiemos ahora el concepto de distancia entre dos vectores en IR". Recordemos que el vectordiferencia x - y de x, y E ]R" es un vector que "conecta los puntos finales de las flechas querepresentan a x y y". La norma de este vector es entonces una medida de la distancia que separa alos puntos x y y en el espacio ]R". Esta es, de hecho, la definicin que daremos de distancia entredos vectores en IR". Dados x. y E IRn, definimos la disrancia entre x y y, denotada por d(x, y), comod(x. y) = - yllEsquemticamente se tiene/.~qJ;,4y+-J.~;/x Figura 4.Distancia entre x y y. 40. 30 Captulo 1Introduccin al espacio ]R;" y al lgebra lineal Haciendo explcitas las coordenadas de los vectores x y y, poniendo x (YI, Y2, ... , y,,) se tiene Nuevamente, los casos n = 2 Y n = 3, nos dan las conocidas frmulas de la "distancia entre dos puntos" en el plano y en el espacio, respectivamente, estudiadas en los cursos de goemetra analtica: la distancia entre el punto PI = (XI, YI) Y P2 = (X2, Y2) es Anlogamente, si PI = (XI, Yl, Zl), P2 = (X2, Y2, Z2) son dos puntos en IR 3 , la distancia entre ellos es El siguiente teorema recoge las propiedades ms importantes de la distancia entre dos puntos en IR" .Teorema 1.3.2 Sean x, y dos vectores cualesquiera en IR". Se tienea. d(x, y) 2: 0, d(x, y) = O {=} x = y.b. d(x, y)=--= d(y, x)c. d(x, y) ::; d(x, z) + d(z, y), z un vector cualquiera de IR". Demostracin. El hecho de que d(x, y) sea un nmero no negativo, es consecuencia de la definicin misma y de la primera propiedad de la norma establecida en el teorema 1.3.1. Adems, por esta misma propiedad se tiene que d(x, y) = Ilx- yll = Osi y slo si x - y = O, o sea si y slo si x = y como se quera. Para ver]a segunda propiedad hacemos uso de la propiedad b) de la norma, quedndonos d(x,y) = jlx - yll = !I(- J)(y - x)11 = 1-- lllly - xii = Ily - xjl = d(y, x) Por ltimo, la propiedad c) no es ms que una versin un poco ms general de la desigualdad triangular ya demostrada en el teorema 1.3.1, pues.d(x, y) = Ilx - yll= lI(x - z) + (z - y)11::; 11" - zll + Ilz - yll= d(x, z) + d(z, y)Q.E.D Ejemplo 3. La distancia entre el vector x = (2, 3, 3, 4, 1) Yel vector y = (1, 1, 2, -1, 3) esd= 11(2,3,3,4,1) - (1,1,2, -1, 3)11 = 11(1,2,1, 5, -2)11 = J35Para terminar esta seccin, hacemos nuevamente hincapi en que el concepto de distancia entre dos vectores de IR" es ms general (la misma situacin que ocurre con la norma) y que el que aqu presentamos es un caso particular de mtrica en este espacio (llamada mtrica o distancia euclidiana): 41. 1.3 Norma y distancia 31una mtrica en IFt" es una funcin d:IFt" x IFt" . . . . IFt, que asocia a cada par de vectores x, y E IFt" unnmero real d(x. y) (llamado "distancia entre x y y") y que satisface las tres propiedades establecidasen el teorema anterior. Obsrvese que estas propiedades representan lo que cualquier conceptosensato de distancia entre dos puntos debera cumplir: la distancia entre dos puntos siempre es unnmero no negativo, y es cero en el caso (y slo en el caso) en que se est midiendo la distancia deun vector a l mismo; la distancia entre x y y es la misma que entre y y x; por ltimo, se pide quese cumpla la desigualdad triangular (para asegurar que se est midiendo adecuadamente distanciasrelativas entre tres puntos). Algunas otras mtricas en IFt" son:(*)La mtrica discreta d: IFt" x IFt" . . . . IFt, d(x. y) = I si x i y, d(x. y) = O si JI: = y. (Este es un ejemplo poco importante, pero interesante: nos permite entender que el concepto de mtrica establecido anteriormente... es realmente muy general!).(*)La mtrica d: IR" x IR" IR, d(x. y) = max(lx - Yil, i = 1.2.. , .11).(*)La mtrica d: IFt" x IR"IR, d(x. y) = 2:".:;=1 IXi - Yi l.en donde x = (XI. X2 ... x,,), y = (YI .)2 ... , y,,). Dejamos a cargo del lector la verificacin de quelos tres ejemplos anteriores son efectivamente mtricas en IR" .1-Calcule la norma ele los siguientes vectoresa.(4. O)d. (2. --3.4)b.(-3, 1) e. (2,0,2)c.(l, 2, 1) f. (1.3.2, O, 1) 2. Es la funcin norma 1I . 11: IR" ........ IR, que a cada vector x E IFt" le asocia su norma Ilx 11 E IR, unafuncin inyectiva?, sobreyectiva? 3. a.Sean a y b dos nmeros reales no nulos. Demuestre que los cuatro vectores (a. b) E IR 2tienen la misma norma. Interprete geomtricamente este hecho.b.Sean a, b y e tres nmeros reales no nulos. Demuestre que los 8 vectores (a, b. c) E IR 3tienen la misma norma. Intereprete geomtricamente este hecho.c.Sean XI. X2 ... , x" n nmeros reales no nulos. Demuestre que los 2" vectores (XI,X2, .... x,,) E IR" tienen la misma norma. 4. Ques la norma de un vectorx en IR I? Cmo se ven las propiedades de la norma (teorema 1.3.1)en este caso? 5. Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si XI, X2, ... x" son nmeros realescualesquiera, entoncesJIi Xi I ~ 11",=1 W Xi1=1oy que la igualdad se da si y slo si todos los Xi son iguales. 42. 32 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal 6. Verifique la desigualdad triangular con los vectores a. x = (0,5), Y = (1,7) b. x = (2, 1, --2), Y = (3, 1, 2) c. x = (-2,0,2, 1), Y = (0,0,3,7) 7. Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y slo si uno de los vectoreses un mltiplo no negativo del otro vector.8. Sean x, y dos vectores en ]R.n. Demuestre que I Ilxll - Ilyill ::: il x - yll (Sugerencia: Ilxll = II(x-y)+yll::: Ilx-yll+llyll,dedondeseobtienequellxll---llyll::: Ilx-yll De la misma manera se obtiene que Ilyll - Ilxll ::: IIx - yll) 9. Existen vectores x, y E ]R.n tales que Ixll = 3, Ilyll = 1, IIx + Yi!= 5? Existen vectores x,y E ]R." tales que Ilxll = 3, Ilyll = 1, Ilx - yll = 57 10. Sean x, y dos vectores ortogonales en]R.", tales que Ilxll= 3, lIyll = 7.Calcule Ilx +yll, Ilx - JII 11. Sean x, y dos vectores en ]R." tales que Ilxll = 4, Ily!1 = 5, Ilx + = 7. Calcule - yll 12. Sean x, y dos vectores en ]R." tales que lIxll 11, lIyll = 23, Ilx -- = 30. Calcule IIx + 13. Demuestre que si {x 1, X2, ... , xd es un conjunto ortogonal de vectores en ]R.", entoncesII XI+ X2 + ... + X!: 12 = 11 XI!1 2 +,11 X2 11 2 + ...I . !Xk!!I--t- 1 ,,2 A este resultado se le conoce como Teorema de Pitgoras". Qu tiene que ver con el resultado del mismo nombre que se estudia en la matemtica elementaJ! 14. Sean x, y dos vectores en ]R.". Demuestre que a. X + yll > lix - yll y E ]R.+ si y slo si Ilx b. -(x y) E ]R.+ si y slo si Ilx +< Ilx -- yll. c. x e y son ortogonales si y slo si+ yll = Ilx -yll. Discuta el contenido geomtrico de estos resultados. 15. Sean u y v dos vectores en]R.n tales que lIull = IIvil. Demuestre que los vectores ti +vy u -v son ortogonales. Vale la afirmacin recproca? 16. Calcule el ngulo entre los vectores del ejercicio 6. 17. Calcule el ngulo entre un vector v E ]R." no nulo y su inverso aditivo. 18. Los vectores u y v de JRn forman un ngulo de Tr/3. Suponiendo que Ilull = 3 Y Ilvll = 4, calcule: u . v; Ilu + vII; IIn - vii 19. Cada pareja de vectores d, v y w en]R." forma un ngulo de 17/3. Suponga que lIu 1I = 1, Ilv 1I= 2, Ilwll = 3. Calcule Ilu + v + wll 20. Sea {u, v} un conjunto ortogonal de vectores unitarios en ]R.n. Demuestre que el ngulo entre el vector u y el vector U + v es de 17/4. Discuta el contenido geomtrico de este resultado cuando n = 2. (Sugerencia: use el teorema de Pitgoras para calcular Ilu + vii). 43. 1.3Norma y distancia3321. Vale el resultado del ejercicio anterior si los vectoresti y V no son unitarios?22. Sean u y v dos vectores en JRn. Demuestre queA este resultado se le conoce como "Ley del Paralelogramo". Justifique este nombre en base asu contenido geomtrico en el caso n = 2. Resuelva de nuevo los ejercicios 11 y 12 a la luz deeste resultado.23. Sean ti y v dos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = 11111 = Ilu - 111. Demuestre que elnguloentre u y v es de 7T/3. Cul es el ngulo entre u y u - v?, y entre v y u - v? Discutael contenido geomtrico de este ejercicio en el caso n = 2.24. Sean uy v dos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = Ilu - 111. Demuestre que el ngulo entrelos vectores ti y V es el mismo que el ngulo entre los vectores ti y ti - v. Discuta el contenidogeomtrico de este ejercicio en el caso n = 2.25. Considere las rectas!!]= {(x, y)l(x, y) = (O, b]) + t(l, m]), tE JR}2 = {(x, y)j(x, y) = (O, b2) + t(l, m tE JR}(ver ejemplo 1 de la seccin anterior). Con los vectores VI = (l, m]) y 12 = (1, m2) que sonparalelos a el y !!2 respectivamente, demuestre, partiendo de la frmula para el ngulo entre dos evectores, que el ngulo (O:::; e : :;7T) entre!!] Y!!2 esm2 m]e= arctan -=------1 + m2m26. Sea u = (6, -8, -15/2). Determine el vector v E JR3 sabiendo que es linealmente dependientecon u, que 11111 = 50, Yque el ngulo que forma v con la parte positiva del eje z es agudo.27. Calcule la distancia entre cada par de los vectores siguientesa. x = (7, 1), Y = (3,5).b. x = (3,4, 1), Y =(2, 1, 1).c. x = (2, 1, 1, 1), y = (1,0,0,4).28. Demuestre que el tringulo cuyos vrtices son A (1, 1), B = (4, 3) Ye= (1/2,5) es issceles.Determine sus ngulos internos.29. Repita el ejercicio anterior con los puntos A = (1,2, 1), B = (3, -1, 7),e= (7,4, -2).30. Demostrar que los puntos A = (2,2), B = (-1,6), e = (-5,3) yD = (-2, -1) son losvrtices de un cuadrado.31. Sean x = (x], X2, ... , x n ), y = (y], y2, ... , Yn) dos vectores enlRn Demuestre que el puntop = ~(x + y) es un punto equidistante de x y y (es decir, d(x, p) = d(y, p)), el cual se encuentra"sobre el segmento que une a x con y" (para ver esto, ntese que los vectores ti = X - p,v = y - p, son linealmente dependientes). Se dice que p es el punto medio del segmento xy.Determine el punto medio del segmento -"Y en cada uno de los siguientes casos. 44. 34 Captulo I Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal a.X=(2,5), Y = (8, 15) b.x = (3, 6, 9), Y = (3, 3, -7) c.x = (1, 1, 1, 1), y = (3,3,3,3) 32. Los vrtices de un tringulo son A = (2,4), B= (6,6) Ye = (3,7). Determinar las coordenadas de los puntos medios de sus lados. 33. Los puntos medios de los lados de un tringulo son P = (2, -1), Q = (-1, 4) Y R = (-2,2). Determinar los vrtices del tringulo. 34. Determinar la longitud de la mediana del tringulo del ejercicio 32 trazada por el vrtice B. (Recuerde que la mediana por el vrtice V es la recta que va de V al punto medio del lado opuesto de V). 35. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para demostrar que la distancia del punto p = (xo, Yo) a la recta Ax + By + e = o viene dada por la frmula d = lAxo + Byo + el-JA2=t- BZ 36. En cada uno de los incisos siguientes, calcule la distancia entre las dos ineas paralelas dadas: a.3x - 4y+ 5 = 0, 3x- 4y - 5 = b. x + y = 0, x + y = -3 c. 2x - y - 5 = O, 4x - 2y - 10 = O d. x + 4y - 2 = O, -2x - 8y + 7 = O 37. Considere la recta Ax + By - bB = 0, en donde b es la ordenada al origen.Demuestre que las rectas paralelas que se encuentran a d unidades de la recta dada son Ax+ By - bB VA2 + B 2d = O. 38. Considere la recta Ax + By + e = 0, la cual dista r unidades del origen. Demuestre que la recta paralela a la recta dada, que dista tambin r unidades del origen (y que resulta ser simtrica respecto del origen de la recta dada), es Ax + By - e = o. 39. (Cubos de JRn). Sea {3 = {el, Cz, ... , en} la base cannca de JRn. Al conjunto e e JRn definido comoe={x E JR"lx ="L Ci, O ::; ::; 1, i = 1,2, ... , n}=l se le llama cubo unitario de n dimensiones en JR". A los vectores c se les llama lados del cubo e, y a los vectores dE JR" de la forma d = :Z~=I o::e, donde O::i = l, se les llama diagonales del cubo e (se identifica como la misma diagonal a los vectores d y -d). a. Dibuje un cubo unitario de una dimensin en JR. b. Dibuje un cubo unitario de dos dimensiones en JRz. c. Dibuje un cubo unitario de tres dimensiones en JR3. d. Demuestre que el cubo unitario e de n dimensiones en JR" tiene 2n -1 diagonales distintas,las cuales tienen todas la misma longitud. Cul es esa longitud? 45. 1.3 Norma y distancia 35e. Sea d una diagonal del cubo e (en ]Rn). Demuestre que si n es impar, no existen otras diagonales de e ortogonales a d, en tanto que si n es par, digamos n = 2k, el cubo e tiene ~ G) diagonales ortogonales a d.f. Demuestre que el ngulo que forma una diagonal d del cuboe en ]Rn con cada uno de los lados del cubo es igual a arccos(n-I/ 2 ).g. Demuestre que la norma de la proyeccin ortogonal de un lado cualquiera del cubo e en sobre una diagonal cualquiera de e, es la n-sima parte de la longitud de la diagonal d. ]Rn(*) 40. Considere las normas del mximo y de la suma Ilxllmx = mx(lx;i, i= 1, 2, ... , n)para un vector x = (Xl, X2, ... , x n ) E ]Rn. Demuestre queen donde Ilxll es la norma euclidiana de x.(*) 41. Sea "o E ]Rn y r > O. Se define la bola abierta (en ]Rn) con centro en Xo y radio r, denotada porB(xo, r), como el conjuntoB(xo, r) ={x E]Rn ! Ilx - xoll < r}a. Cmo son las bolas abiertas en ]R? Describa las bolas abiertas B(2, 1) Y B( -3,2).b. Cmo son las bolas abiertas en JR2? Describa las bolas abiertasB2, 3), 1) Y B -3, -1), 1).c. Cmo son las bolas abiertas en ]R3? Describa las bolas abiertas BO, 0, O), 1) Y B3, 5,4),2).d. Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma del mximo. Describa geomtricamente la bola abierta en ]R2, Bxo, Yo), r).e. Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma de la suma. Describa geomtricamente la bola abierta en ]R3, Bxo, yo), r).(*) 42. Un conjunto A e JRn se dice ser acotado si existe un c > tal queIlxll < c "ix. E Aa. Demuestre que el conjunto A e ]Rn es acotado si y slo si existe una bola abierta en JRn, B(xo, r) tal que A e B(xo, r).b. Con la definicin dada anteriormente, diremos que el conjunto A es acotado segn la norma euclidiana. Si en tal definicin tomamos lo norma del mximo o la norma de la suma, diremos que el conjunto es acotado segn la norma del mximo o de la suma, respectivamente. Demuestre que son equivalentes: 1. el conjunto A e ]Rn es acotado segn la norma euclidiana, 2. el conjunto A e ]Rn es acotado segn la norma del mximo, 3. el conjunto A e ]Rn es acotado segn la norma de la suma. 46. 36Captulo IIntroduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal1.4 Bases ortonornlales. Cambios de baseDiremos que un conjunto de vectores 11, 12, ... , Vk en ]Ftn es un conjunto ortonormal si es unconjunto ortogonal (i.e. los vectores son dos a dos ortogonales) y todos los vectores son unitarios(i.e. su norma es 1). Diremos que una base f3 de ]Ft" es una base ortonormal si el conjunto de 11vectores que la constituyen es un conjunto ortonormal. As pues, la base f3 = {v 1, 12, ... , In} de ]Ftlles una base ortonormal si si i =1= j si i = jEl ejemplo por excelencia de base ortonormal en]Ft" es la base cannica de este espacio, cuyo i-simovector es c = (O, ... , 1, ... , O) (el 1 en la i-sima coordenada). Es claro que los vectores e sonortogonales dos a dos y que su norma es 1. Dado un vector no nulo v E ]Ftn, diremos que el vector ti = (11111)-] ves el vector v normalizado.Observe que este vector ti es unitario, puesEjemplo 1.Consideremos el conjunto {v], V2} de vectores en ]Ft2 en donde VI = (-2,4),12 = (6,3). Este es un conjunto ortogonal (ver ejemplo 3 de la seccin 2) y es por tanto unabase de ]Ft2 (por qu?). Sin embargo, no es una base ortonormal, pues los vectores involucrados noson unitarios. Para tener una base ortonormal, podemos normalizar los vectores 11 y 12. (Es claroque la propiedad de ortogonalidad entre ellos no se pierde con su normalizacin, por qu?). As,los vectores UI Y U2 en donde _ 1 UI = (11(---2,4)1)-1(-2,4) = (/fc))-1(-2,4)= ( 112r;;: = (11(6, 3)!J)- 1(6,3) = (v45)- 1(6,3) =(21)/S 15constituyen una base ortonormal de ]Ft2. Si f3 = {VI, 12.... , In} es una base de ]Ftll, entonces cada vector V E ]Ftn se escribe de maneranica como combinacin lineal de los vectores de f3, digamos v = CI VI + C2V2 + .. ,+ CIl VII Si labase f3 es ortonormal, los escalares C se pueden calcular fcilmente: tomando producto punto delvector v con el i-simo vector de la base f3 nos quedan V V = (CIVI + C2V2 + ... +- cnvll ) V = Cj(Vj Vi) = C j=lSe tiene pues el siguiente resultado. Teorema 1.4.1Si f3 = {v], 12.... , "n} es una base ortonormal del espacio ]Ftn, cada vector v E ]Ftn se escribe en trminos de esta base como v = (v 11)11 +- (v 12)12 + ... +- (v vn)vn 47. lABases ortonormales. Cambios de base 37Ejemplo 2.En el ejemplo 1 se vio que la base f3 = {u l. U2} dondees una base ortonormal de]R2. Escribamos el vector 1 = (1.7) en trminos de esta base. Se tiene1 = (v u)u+ (v U2)U2 (1= . - V5 + V5 U + ( V5 + V5 ) U214)2 7139=-U + --u?11 V5V5 - Observe que si u E IR" es un vector unitario y 1 es un vector cualquiera de IR", la proyeccin dev sobre u es, segn se discuti en la seccin 2v u VuPRv~u = - - u = -11 u = (v . u)u 2u U ! 11"de modo que si {3 = {VI, 12 .. , VI!} es una base ortonormal de IR", la expresin de un vector 1 E IR"en trminos de esta base no es ms que la suma de sus proyecciones sobre cada uno de los vectoresde la base, como se ilustra en la figura siguiente Figura 1. El vector v escrito en trminos de la base ortonormal f3 = {VI, "2, ... , "" }.Dada una base f3 = {v , 12. v,,} del espacio IR" es siempre posible, a partir de ella, construir unabase ortonormal f30n = {UI. 1.12... U,,} para este espacio. El proceso, conocido como proceso (deortonormalizacin de bases) de Gram-Schmidt. se describe a continuacin: como vector 111 tome alvector 11 normalizado. Es decir,1UI=W VI 48. 38 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Para construir el vector Uz, consideramos la proyeccin del vector Vz sobre el vector unitario u l. Segn lo discutido previamente esta proyeccin es (vz . u I )UI. Es claro entonces que el vector Vz (vz . U I)U I es un vector ortogonal a u l, Normalizndolo, obtenemos el segundo vector de la base ortonormal procurada. Es decir Podemos establecer este resultado considerando el vector w = Vz - aUI, tomando a de tal modo que w sea ortogonal a UI, es decir, imponiendo la condicin de que (vz au]) UI = O. De aqu se obtiene que a = 112 . UI, como antes. De manera anloga, para construr el vector U3, que debe ser ortogonal a u] y U2, consideramos el vector w = 113 - au - bU2, escogiendo a y b de modo que este vector sea ortogonal a UI Y U2. Es decir, calculamos a y b imponiendo las condiciones siguientes:(V3-au-bu2)U=0(113 - au] - bU2) . U2=O De la primera de ellas se obtiene que a = 113 . ", Yde la segunda b = 113 . Uz. Entonces, el vector w = 113 - (113 . UI)UI - (113 U2)UZ es ortogonal a UI Y Uz. Normalizndolo, obtenemos U3. Es decir Continuando de esta manera, llegamos a que los vectores de la base ortonorrnalf30n = {u 1, Uz, .. un}, construida a partir de la base f3 = {v 1, Vz, ... , "n} dada, son de la formaU = -Vi --(Vi 111)UI-- -(Vi UZ)UZ- -... - - - - - - c : - -------- -- -- (Vi Ui-)Ui-IIIVi - (Vi UI. UZ)UZ - ... - (v . U_I )Ui- J 1I i = 1,2, ... , n. Ejemplo 3.Consideremos la base f3 = {(2, 1, 2), (3, O, 4), (O, 1, I)} de IR3. A partir de ella obtengamos una base ortonormal, usando el proceso de Gram-Schmidt presentado previamente. Llamando Vi a los vectores de la base f3 y Ui, i = 1, 2, 3 a los de la base ortonormal procurada, tenemos que 11 I UI =W V =11(2, -1,2)11 (2, -1,2) = 3(2, -1,2) Para determinar el vectorU2, hagamos primero los clculos siguientes V2-(VZU)U=(3,0,4)-((3,O,4).~(2,-1,2))~(2,-1,2)14 1 = (3,0,4) -9(2, -1,2) = 9(-1,14,8) Normalizando este vector obtenemosUzI Uz =Mf1(-I,14,8)v261 49. lA Bases ortonormales. Cambios de base 39Finalmente, para determinar U3 hacemos la siguiente operacinV3-(V3U)U-(V3U2)U2=(0 11)- ( -1) -(2 -1 2)- ( - - ) --(-1148) 1 2222 "3 3 " J26T J26T, 1221 =(0 11)- -(2 -12)- -(-1148)= -(-4 -23)" 9"261"29,.Normalizando este vector, obtenemos U3 1 U3= ;::;n(-4,-2,3)v29As, una base ortonormal de J!.t3 esf30n = { -(2, -1, 2), ;:;-z;-( -1, 14,8), ;::;n (-4, -2, 3) } 11 1 3v261 v29Si quisiramos escribir el vector v = (3, 1,5) como combinacin lineal de los vectores de esta base,segn lo establecido en el teorema 1.4.1, se tendra lo siguiente51Iv = (v u)u -+ (v l.b)U2 + (v U3)U3 = 5u +;:;-z;-lb +;::;nU3-v261 - v29Consideremos ahora el problema de cambio de bases ortonormales en el espacio J!.tn, Por razonesde simplicidad, vamos a estudiar de cerca solamente el caso n = 3, El caso general se copiarde ste "poniendo ms coordenadas", Tomemos entonces dos bases ortonormales de J!.t3, digamosf3 = {VI, V2, V3} Y f32 = {u, U2, U3} Cada vector v en se puede escribir como combinacin decada una de estas bases de la siguiente manerav = CV + C2V2 -+ C3V3v = du -+ d2U2 -+ d3U3en donde sabemos que C = v Vi, di = V U, i = 1,2,3. Ciertamente tambin cada vector de la basef32 se puede escribir en trminos de los vectores de la base f3, digamos queU =alv -+a2lV2-+a3V3U2 = a2V + anV2 -+ a32 v 3U3 = al3v -+ a23 V2 -+ a33 V3donde de hecho sabemos que aj = UiVj, i, j = 1,2,3, Escribiendo estas expresiones en la queexpresa a v en trminos de la base f32 nos queda v = du -+d2U2 -+d3U3d(alv+ a2v2 -+ a3v3) + d2(a2v + anV2 + a32v3) -+ d3(al3v -+ a23V2 -+ a33v3) = (ad + a2d2 + a3d3)v + (a2d + and2 -+ a23d3)v2 + (a3d + a32d2 -+ a33d3)v3 50. 40 Captulo I Introduccin al espaciol~" y al lgebra lineal Apoyados en la unicidad de la representacin del vector v en trminos de la base f3, concluimos que c = a11d + al2ch + 013d3 C2 = a21 d + 022d2 + a23d3 C3 = a3d + a32d2 + a33d3 Podemos escibir matricialmente estas expresiones como A la matriz 3 x 1 de elementos c (d), se le llama "matriz de coordenadas del vector v respecto de la base f3 (f32 respectivamente)", la cual denotaremos por [v ]131 ([v ]13,), y a la matriz 3 x 3 de elementos al} en cuyas columnas aparecen los elementos de las matrices de coordenadas de cada vector de la base f32 respecto de la base f31, se le llama "matriz de cambio de base de f32 a f31". Denotaremos esta matriz por P. Se tiene entonces que Este es un resultado estndar en el problema de cambio de bases (no necesariamente ortonormales) en ~n. Se puede ver tambin, por ejemplo, que la matriz P es inversible y que su inversa es la matriz de cambio de base de f31 a ,82, Hasta este momento no hemos usado que nuestras bases son ortonormales. Este hecho se reflejar en las propiedades que en este caso tiene la matriz P de cambio de base. La caracterstica fundamental de esta matriz en este caso es que su inversa coincide con su transpuesta. En efecto, hagamos el producto P pt. Se tiene Llamemos Oi} al elemento de la i-sima lnea y j-sima columna de ppl. Este es Oi} aiJa}+ Q2a}2 + onoj3 = (u, v)(u} VI) + (Ui V2)(U} V2) + (u, V3)(U} V3) = U ((u} VI)VI + (u} V2)V2 + (u} "3)V3)1 si i = j = Ui u}= { O si i :f j De modo entonces que P pt es la matriz identidad, y as p- 1 = pl como se quera ver. A una matriz inversible cuya inversa coincide con su transpuesta se le llama matriz ortogonal. Hemos entonces probado que la matriz de cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal es una matriz ortogonal. Ejemplo 4. Sea f31 la base cannica de ~3 y considere la base f32 = {( l, 1, l), (1, l, O), (1,0, O)} de este espacio. Obtenemos la matriz P de cambio de base de f32 a f3 expresando cada vector de la base f32 como combinacin lineal de los vectores de la base f31 Puesto que f31 es la base cannica de 51. lABases ortonormales. Cambios de base41IR 3 , las coordenadas de estas combinaciones lineales coinciden con las coordenadas de los vectoresmismos (es decir, [(x, y, z)]3, = (x, y, z. EntoncesPor ejemplo, el vector v = (3, -1,2) = 2(1, 1, 1) - 3(1, 1, O) + 4(1,0, O), cuyas coordenadas entrminos de la base f32 son entonces (2, -3,4), se puede obtener comoObsrvese que el resultado anterior nos da la versin del vector v, cuyas coordenadas en la base f32son (2, - 3,4), en trminos de la base f31 Como sta es la base cannica, se obtiene directamente laexpresin misma del vector (3, -1,2). La inversa de la matriz P, p-I= [ O1-} 1es la matriz de cambio de base de f31 a f32 De este modo, el vector (5, 1, 2), que en la base cannicatiene las mismas coordenadas, es transformado por la matriz p-! a su "versin" en la base f32 DehechoP- l [(5,1,2)]3,= [ O1 I -lo cual se comprueba fcilmente notando que (5, 1,2) = 2(1, 1, 1) (1, 1, O) + 4( 1, 0, O).Ejemplo 5.En el espacio ]R3 considere la base cannica f31 y la base ortonormal obtenida en elejemplo 3 111f32 = {-3(2, -1,2),;;;;L1(-I, 14,8), ;:r;(-4, -2,3)}y261y29La matriz de cambio de base de f32 a f31 es entonces 2/3-1/J26l -4/V29] P =-1/314/V261 -2/V29[ 2/3 8/J26l 3/V29Puesto que P es una matriz de cambio de una base ortonormal (f32) a otra base ortonormal (lacannica), es una matriz ortogonal. Es decir, se debe tener que p-I = pt, como se puede comprobarfcilmente.11Ejemplo 6.Consideremos los vectores er (cos 8, sen 8), Ce (- sen 8, cos 8), donde:: ; 8 < 27T. Puesto que er . ee= (cos 8)(- sen 8) + (sen 8)(cos 8) =llerll = Ileell = Jcos 2 8 + sen 2 8 = 1 52. 42 Captulo l Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal y Ce rxFigura 2. Los vectores unitarios Cr y Ce. la base f32 = {e r , ee} es una base ortonormal de JR2. Esta es una base muy importante del espacio JR2, pues cuando introducimos en l el sistema de coordena