cálculo superior teoría y ejemplos_walter mora f

8/12/2019 Clculo Superior Teora y Ejemplos_Walter Mora F

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CLCULO SUPERIORCurso del Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Walter Mora F.,Geovanni Figueroa M.Escuela de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa Rica.www.cidse.itcr.ac.cr


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iv CONTENIDO

2.6 Ejercicios Resueltos (Adicionales) 73

3 Gradiente, derivadas direccionales y plano tangente 77

3.1 Vector Gradiente. 773.2 Derivada direccional 783.2.1 (*) Vector Unitario Tangente. 86

3.3 Plano Tangente. 923.3.1 Gradiente y Curvas y Supercies de Nivel. 923.3.2 Plano Tangente. 93

4 Funciones de varias variables, supercies y slidos. 1014.1 Coordenadas tridimensionales 1014.2 Funciones de Dos Variables 1034.3 Grca de una funcin de dos variables. 1064.4 Planos y Rectas en el Espacio 1074.5 Supercies Cilndricas 1124.6 Curvas sobre un Plano 1164.7 Curvas de Nivel y Trazas 1184.8 Supercies Cuadrticas 122

4.8.1 Elipsoide 1234.8.2 Paraboloide elptico. 1234.8.3 Paraboloide hiperblico 1244.8.4 Cono elptico 1244.8.5 Hiperboloide de una hoja 1254.8.6 Hiperboloide de dos hojas 125

4.9 Parametrizacin de una Curva en el Espacio. 1274.10 Interseccin de Superces. 128

5 Slidos 131

6 Mximos y mnimos locales. Multiplicadores de lagrange. 1476.1 Mximos y mnimos 1476.2 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange 162

7 Integral doble e integral triple. Cambio de variable. 1677.1 Proyecciones Sobre los Planos Coordenados. 1677.2 Integral Doble. 1717.3 rea y Volumen 1767.4 Cambio de Variable en una Integral Doble. 184

7.4.1 Caso de Coordenadas Polares. 184


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CONTENIDO v

7.5 Integral Triple. 1927.6 Cambio de Variables. Coordenadas Cilndricas y Esfricas. 194

7.6.1 Coordenadas Cilndricas. 1957.6.2 ( ) Coordenadas Esfricas. 2047.6.3 ( ) Describiendo Supercies en Coordenadas Esfricas. 2047.6.4 ( ) Intercambiar Ejes. 2077.6.5 ( ) Cambio de Variable con Coordenadas Esfricas. 207

7.7 Singularidades. 215

8 Integral de lnea. Integral de supercie. 2178.1 Curvas y Parametrizaciones. 2178.2 Campos Escalares y Campos Vectoriales. 2208.3 Longitud de una Curva. 2228.4 Integral de Lnea para Campos Escalares. 224

8.5 ( )Longitud de Arco en Coordenadas Polares. 2258.6 Integral de Lnea para Campos Vectoriales. 2278.7 Independencia de la Trayectoria. 2338.8 Teorema de Green (en el plano). 2388.9 Integral de Lnea para el rea. 2418.10 Parametrizacin de una Supercie. 241

8.10.1 Supercies Regulares (suaves). 2438.11 rea de una Supercie. 2438.12 Integral de un Campo Vectorial sobre una Supercie. 248

8.12.1 Supercies Orientables. 2568.13 Teorema de la Divergencia. 258

8.14 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). 2628.15 Ejemplos adicionales. 268

Bibliografa 277


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Captulo 1

CNICAS

1.1 INTRODUCCIN.

Para los antiguos gemetras griegos como Euclides (300 A.C.) y Arqumides (287-212A.C.), una seccin cnica (parbola, elipse e hiprbola) era una curva en el espacio, la cualresultaba de la interseccin de un plano con un cono de dos mantos o ramas, siempre ycuando el plano no pasara por el vrtice del con. En caso de que lo hiciera daba lugar a lasllamadas cnicas degeneradas (un punto (el vrtice del cono), una recta (un generatriz delcono) o un par de rectas que se intersecan (un par de generatrices)).

En la gura 1 se muestran las secciones cnicas: parbola, elipse e hiprbola tal y comofueron denidas por los antiguos gemetras griegos.

Clculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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2 CNICAS

Los griegos en su tiempo se dedicarn con perseverancia al estudio de sus propiedadesgeomtricas.Sin embargo, es hasta inicios del siglo XVII (1637), con el descubrimientocasi de manera independiente de la geometra analtica, por parte de Descartes y Fermat,que se toma conciencia de su utilidad y pasan a ocupar un lugar de privilegio, maxime

cuando Kepler descubri (y Newton explic) que las rbitas de los planetas y otros cuerposen el sistema solar son secciones cnicas.

La geometra analtica plana usa el lgebra y el clculo para estudiar las propiedades delas curvas en el plano xy. Su idea fundamental es establecer una correspondencia entreuna ecuacin F ( x, y) = 0 y su lugar geomtrico. Una de la ideas centrales de la geometraanaltica es que dado un lugar geomtrico o una curva, sus propiedades pueden deducirseen forma algebraica o analtica a partir de su ecuacin F ( x, y) = 0.

1.2 PRELIMINARES

Distancia entre dos puntos

Recordemosqueladistanciaeuclidianadeunpunto A = ( a , b) aotropunto B = ( p, q)es

| AB|= d ( A, B) = (a p)2 + ( b q)2EJEMPLO 1.1

Sean A = ( 1,1) y B = ( 5,3). Entonces

| AB|= d ( A, B) = (15)2 + ( 13)2 = 20Completar cuadrados.

En el tema de cnicas es muy til la completacin de cuadrados pues nos permiteobtener la ecuacin de una cnica dada, en una forma ms adecuada para algunosclculos.

Una manera de completar cuadrados es

ax 2 + bx + c = a x+ b2a

2

b2

4a + c

en particular


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LUGARES GEOMTRICOS 3

ax 2 + bx = a x+ b2a

2

b2

4a

EJEMPLO 1.2

En cada caso, completar cuadrados

a.) 4 x28 xSolucin

4 x2

8 x = 4 x+ 88

2

(8)244

= 4( x1)24

b.) y2 + 4 y8Solucin

y2 + 4 y8 = y+ 42

2

(4)24

1 8

= ( y+ 2)212

1.3 LUGARES GEOMTRICOS

El conjunto de todos los puntos ( x, y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen unapropiedad, que puede estar dada por una ecuacin F ( x, y) = 0, se conoce como lugar geomtrico.

EJEMPLO 1.3

Compruebe que el conjunto de todos los puntos P = ( x, y) que equidistan de los puntos A = ( 1, 1) y B = ( 5,3) es la mediatriz del segmento de recta que une a estos dos puntos.


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4 CNICAS

Solucin

El punto P = ( x, y) equidista de A = ( 1, 1) y B = ( 5, 3) si y slo si

d (P, A) = d (P, B)

( x1)2 + ( y1)2 = ( x5)2 + ( y3)2( x1)

2 + ( y1)2 = ( x5)

2 + ( y3)2

x22 x+ 1+ y22 y+ 1 = x210 x+ 25+ y26 y+ 92 x+ y = 8

y = 2 x+ 8 (1)

Por lo tanto, el lugar geomtrico es la recta y = 2 x+ 8 cuya pendiente es2. La rectaque pasa por lo puntos A = ( 1, 1) y B = ( 5, 3) tiene ecuacin

y = 12 +

x2 (2)

por lo que su pendiente es 12; con lo cuallas dos rectas (1) y (2) son perpendicu-lares. Si resolvemos las ecuaciones (1)y (2) simultneamente, determinamosque la interseccin de estas rectas es, dehecho, el punto medio M = ( 3, 2) delsegmento que une los puntos A y B. Estose ilustra en la gura que sigue.

X

Y

Figura 1.1

EJEMPLO 1.4

Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) cuya distancia al punto A = ( 7,1)es dos veces su distancia al punto B = ( 1, 4).


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LUGARES GEOMTRICOS 5

Solucin

Los puntos A, B y P aparecen en la gura 2, junto con una curva que pasa por P y querepresenta el lugar geomtrico buscado. Como

| AP|= 2| BP| = | AP|2 = 4| BP|2obtenemos la ecuacin

( x7)2 + ( y1)

2 = 4( x1)2 + ( y4)

2

x2 + y2 + 2 x10 y+ 6 = 0( x+ 1)2 + ( y5)

2 = 20

Esta ltima ecuacin nos dice el lugar geomtrico corresponde a todos los puntos ( x, y)cuya distancia al punto C = ( 1,5) es 20. Coo todos los puntos equidistan de C en-tonces lo que tenemos es un crculo con centro (1, 5) y radio r = 2 5.

1 2 3 4 5 6 7 8X

2

4

6

8

Y

(x,y)

(7,1)

(1,4)

EJEMPLO 1.5

Hallarel lugar geomtricode lospuntosP = ( x, y) cuya distanciaa la recta (vertical) x = 3es igual a su distancia al punto A = ( 3,0).

Solucin

Los puntos A, P y la recta se muestran en la gura (1.2).


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6 CNICAS

La distancia de un punto a una recta es lalongitud del nico segmento perpendic-ular del punto a la recta. La distancia delpunto P = ( x, y) a la recta x = 3 es lamisma que la distancia entre los puntos( x,0) y (3, 0). Esta distancia es

( x+ 3)2 + 0 = | x+ 3|-3

x = -3

y(-3,y)P=(x,y)

(x,0)

(-3,0)

Y

X

Figura 1.2

Entonces

|PR |= | x+ 3|y la distancia de P al punto A es

| AP|= ( x3)2 + y2tenemos que( x+ 3)2 = ( x3)

2 + y2

( x+ 3)2

( x

3)2 = y2

12 x = y2

El lugar geomtrico es la parbola de

ecuacin x = y2

12 y se muestra en lagura 4.

Y

X

Figura 1.3

EJERCICIOS

1.1 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) que equidistan de los puntos A = (1, 2) y B = (2, 1). Respuesta: y = x

1.2 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) cuya distancia a la recta y = 1es igual a la distancia al punto A = ( 3, 3). Respuesta: ( x3)

2 = 4 ( y2)


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PARBOLA 7

1.3 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) tales que su distancia al punto A = ( 1, 1) es dos veces su distancia al punto B = ( 1,4).Respuesta: ( x1)

2 + ( y5)2 = 4

1.4 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) cuya suma de distancias a lospuntos A = ( 3, 0) y B = ( 3, 0) es 10.Respuesta: ( x1)

2 + ( y5)2 = 4

1.5 Determine el lugar geomtrico de los puntos P tales que el producto de sus distanciasa dos puntos jos A = ( a , 0) y B = ( a , 0) es a21.6 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) tales que su distancia al punto A = ( 7, 1) es k veces su distancia al punto B = ( 1, 4). Qu sucede para valores de k muypequeos?. Qu sucede para k = 1? y qu sucede para valores de k muy grandes?

1.7 Considere los puntos A = ( 2,0), B = ( 0,0) y C = ( 1, 3), los cuales forman un trin-gulo equiltero. Determine el lugar geomtrico de los puntos P = ( x, y) tales que la sumade las distancias d (P, A) y d (P, B) es igual a la distancia d (P,C ).

1.4 PARBOLA

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cnicas a partir de su denicincomo un lugar geomtrico y no como la interseccin de un cono con un plano, como sehizo en la antigedad. Ya conocemos que la grca de una funcin cuadrtica f ( x) =ax 2 + bx + c = 0 con a = 0, es una parbola. Sin embargo, no toda parbola es la grcade una funcin en x, como podemos concluir de la siguiente denicin.

Denicin 1.1 Una parbola es el conjunto de puntos P ( x, y) en el plano que equidistande un punto jo F (llamado foco de la parbola) y de una recta ja L (llamada directriz dela parbola) que no contiene a F (gura 1).

| P F |

P ( x

, y )

| P R |

F

X

| P F|=| PR|

Y

| P F| P(x,y)

|PR|F

X

|PF|=|PR|

L

L

Y

Figura 1.4

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de simetra dela parbola. Se puede observar en la gura 1 que una parbola es simtrica respecto a su


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PARBOLA 9

Ecuacin ( yk )2 = 4 p ( xh)

F = ( h +

p , k ) V = ( h , k )

k

y =h - pD ir ectr iz

( h , k

)

| P

F |

P ( x

, y )

| P R |

F = ( h

+ p , k )

V = ( h

, k )

k ( h

, k )

F

F | 4 p |

X X

X X

| PF|=| PR|

p > 0

p < 0

Directrizy= h - p

h

h

Y Y

Y Y

Figura 1.6

La demostracin de este teorema no es difcil, basta aplicar la denicin y la frmula dedistancia (gura 1). Para el caso en el cual el eje de la parbola es vertical, tenemos que

( xh)2

+ (( yk ) p)2

= (k p)( xh)

2 + (( yk ) p)2 = ( y(k p))

2

( xh)2 = 4 p ( yk )

EJEMPLO 1.6

Hallar la ecuacin cannica, el vrtice, el foco y la directriz de la parbola cuyaecuacin es

y26 y4 x+ 17 = 0Adems trace la grca.

Solucin


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10 CNICAS

Para hallar la ecuacin cannica debemos completar cuadrados. De la ecuacin dela parbola tenemos que

y2

6 y+ 994 x+ 17 = 0( y3)

24 ( x2) = 0

( y3)2 = 4 ( x2)

De donde obtenemos que p = 1 y vrtice V = ( 2, 3), por lo tanto, la parbola abrehacia la derecha y tiene el foco en F = ( 3, 3). La recta directriz es x = 1. La grcase muestra en la gura 2.

X

Y

x =1

EJEMPLO 1.7

Trazar la grca y hallar la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (2, 4) y focoen (2, 3).Solucin

Dado que el vrtice y el foco tienen igual abscisa el ejede la parbola es vertical, adems abre hacia abajo y p = 1, entonces la ecuacin est dada por:

( x+ 2)2 = 4( y4)La directriz es y = 5 . La grca se muestra en la gura3.

-8 -6 -4 -2 2 4

-4

-2

2

4


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PARBOLA 11

EJEMPLO 1.8

Considere la parbola de la gura que sigue

F

(8,b)b

X

Y

Determine la ecuacin cannica y el foco de las parbolas de este tipo, que satisfacensimultneamente las siguientes condiciones

1. vrtice en (2,0).

2. contiene al punto P = ( 8, b) con b > 0.

3. la distancia de P a la directriz es 10.

4. eje de simetra paralelo al eje Y .

Solucin

El vrtice es (h, k ) = ( 2,0) por lo que la ecuacin de la parbola es

( x2)2 = 4 p( y0)

Para determinar p tenemos dos datos

La distancia de (8, b) a la directriz es 10, es decirb + p = 10

El punto (8, b) est en la parbola, es decir(82)2 = 4 p(b)

F

(8,b)b

b

p

Y

X

Entonces tenemos


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12 CNICAS

b = 10 p

36 = 4 pb = 36 = 4 p(10 p) = 3640 p + 4 p2 = 0

Con lo que p = 1 o p = 9 y en ambos casos b > 0. Por lo tanto, las parbolas que cumplenestas condiciones son ( x2)2 = 4 y o ( x2)2 = 36 y.

EJEMPLO 1.9

Hallar lasparbolasquecontienenlospuntos (4,4), (4,4) de la circunferencia ( x6)2+ y2 = 20 y la distancia de su vrtice al centro del sta es 6 unidades.

Solucin.

La situacin, segn los datos, es la que se presenta en la gura de la derecha. La ecuacines, en ambos casos, ( yk )2 = 4 p( xh).

La parbola con vrtice (h, k ) = ( 0, 0). Como (4, 4) esten la parbola, entonces( yk )2 = 4 p( xh) = 42 = 16 p = p = 1

La ecuacin de la parbola es y2 = 4 x.

Laparbolaconvrtice (h, k ) = ( 12, 0). Como (4,4) esten la parbola, entonces y2 = 4 p( x12) = 42 = 4 p (8) = p = 1/ 2

La ecuacin de la parbola es y2 = 2( x12)

2 4 6 8 1 0 12

-4

-2

2

4

Figura 1.7

EJEMPLO 1.10 ( )

Hallar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (1, 1) y recta directriz x + y = 1.Solucin

Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teoremano nos ayuda en nada y debemos recurrir a la denicin misma. Como el eje de la parbolaes ortogonal a la directriz y debe pasar por el vrtice entonces debe tener ecuacin y = x.


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PARBOLA 13

X

Y

F

P

Q

Para hallar el valor de p debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales ycalcular la distancia al vrtice.

x+ y = 1

y = x

Puesto que la solucin es (1/ 2,1/ 2), entonces p = 1 2 y el foco sera F =

32,

32

Para hallar la ecuacin de la parbola suponga que el punto P = ( a , b) esta sobre ella,entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la rectaque pasa por este punto y es paralela al eje de la parbola.Dicha recta tienen ecuacin

y = x+ b aAhora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcularla distancia que buscamos

y = x+ b a y = x

La solucin de este sistema es

Q =1+ a b2 ,

1a + b2


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14 CNICAS

con lo cual la ecuacin de la parbola es

d (F , P) = d (P, Q)

d (32,

32 , ( x, y)) = d (( x, y), (

1+ x y2 , 1 x+ y2

x32 2 + y32 2 = x+ y12 2 + x+ y12 2 x

32

2+ y

32

2=

x+ y122

+ x+ y12

2

x22 xy+ y24 = 0

1.4.0.1 Propiedades de la Parbola Una de las propiedades geomtricas de laparbola ms utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, queemane del foco, se reeja en la parbola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de laparbola, sin importar cual sea el punto de reexin.O recprocamente, un rayo paraleloal eje de la parbola y reejado en ella pasa por el foco.Este hecho es til en la construc-cin de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reector tieneuna seccin transversal parablica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en lostelescopios y receptores de radar, las seales de una fuente remota entran paralelas al eje yse reejan pasando por el foco, mediante un reector parablico.La potente concentracinque produce un reector parablico grande, como el de un radiotelescopio, hace posibledetectar y analizar seales luminosas muy pequeas.

Teorema 1.2 (Propiedad de reexin) La tangente a una parbola en un punto P = ( x, y) forma ngulos iguales con :

La recta que pasa por P y por el foco (ngulo de reexin).

La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parbola (ngulo de incidencia). La propiedad de reexin se muestra en la gura 5.


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EJERCICIOS 15

EjeFoco

EJERCICIOS1.8 Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (1,3) y foco en (2, 3).

1.9 Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del eje X ypasa por los puntos (0,0), (1,2), (1,2)

1.10 Determinela ecuacin cannicay el foco de lasparbola, quesatisfacen simultnea-mente las siguientes condiciones

a) vrtice en (2,0).b) contiene al punto P = ( 8, b) con b > 0.c) la distancia de P a la directriz es 10.

Sugerencia: hay dos tipos de parbolas que cumplen estas condiciones.

Respuesta: Las parbolas que cumplen estas condiciones son y2 = 16( x2) o( x2)2 = 4 py donde p = 1 o p = 9.

1.11 Determine la ecuacin cannica de la parbola

9 y2

8 x

3

1.12 Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del eje x ypasa por los puntos (1,3), (3, 4), (7, 12)

Respuesta: ( x1)2 = 4 ( y3)


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16 CNICAS

1.13 Determine la ecuacin cannica de la parbola que tiene eje vertical y pasa por lospuntos (2, 3), (4,3), (6,5).

1.14 Determinelaecuacincannicadelaparbolaquepasaporlospuntos (

2, 3), (0,3), (1,9).

1.15 Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (1, 1) y directriz y = x.

1.5 ELIPSE

Msde mil aos despus de quelosgriegos denieranlasseccionescnicas, en la poca delRenacimiento, el astrnomo polaco Nicholas Coprnicus (1473 - 1543), en su obra Sobrelas Revoluciones de las Esferas Celestes, sostena que todos los planetas, incluso la Tierra,

giraban en rbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las armaciones deCpernico no eran vlidas, la controversia provocada por su teora heliocntrica empuja los astrnomos a buscar un modelo matemtico que explicar los movimientos de losplanetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571 -1630).Kepler descubri que los planetas giran alrededor del Sol en rbitas elpticas, con elSol colocado no en el centro sino en uno de los focos.

El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan slo una de susdiversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parbola vamos a denir la elipsecomo un lugar geomtrico. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

Denicin 1.2 (Elipse) Sean F 1 y F 2 dos puntos del plano y sea a > 0. El conjunto de puntos P = ( x, y) que cumplen

d (P, F 1) + d (P, F 2) = 2a

se denomina elipse. A los puntos F 1 y F 2 se les llama focos.

Para visualizar la denicin de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focosy un trozo de cuerda atada a ellos.Al ir moviendo un lpiz que tensa esa cuerda, su trazoir dibujando una elipse, como se muestra en la gura 1.


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ELIPSE 17

Consideramosuna elipsecon centradaenelpunto (h, k ), enunsistema deejes coordenados.Vamos a considerar solo los dos casos que se ven en la gura

V1

V 2

(h,k)k

X

Y

h

F1

F2

V1(h,k)

k

X

Y

h

F 1 F 2V2

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vrtices . Lacuerda que une los vrtices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro dela elipse.La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama ejemenor de la elipse.

La forma cannica de la ecuacin de una elipse de centro (h, k ) y ejes mayor y menorde longitudes 2a y 2b respectivamente, con a > b, es

( x

h

)2

a2 + ( y

k )2

b2 = 1

El eje mayor es horizontal. Los focos estn en el eje mayor, a c unidades delcentro, con c2 = a2b2.

V1 = ( h - a , k)

V 2 = ( h + a , k ) (h,k)k

X

Y

h

a

b

(h,k)k

X

Y

h

F 1 = ( h -

c, k )

F 2 = ( h +

c, k )

c = a - b2 22

c

Figura 1.8

En el caso de que el eje mayor sea vertical, la ecuacin toma la forma:


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18 CNICAS

( xh)2

b2 +

( yk )2

a2 = 1

Recuerde que estamos bajo la suposicin de que a > b.

V1 = (h, k + a )

V2 = (h , k - a )

(h,k)k

X

Y

h

a

b

c = a - b2 22

k

X

Y

h

F1= ( h, k +c )

F2 =(h, k - c)

c

Figura 1.9

Crculos.

Formalmente, la curva que delimita un crculo se llama circunferencia. En un crculo deradio r , la circunferencia es una elipse en la que los focos son iguales y coinciden con elcentro. En este caso, a2 = b2 = r 2 . Por lo tanto, la ecuacin de la circunferencia de uncrculo con centro en (h, k ) y radio r , es

( xh)2 + ( yk )2 = r 2

Por abuso del lenguaje decimos que esta es la ecuacin de un crculo con centro en (h, k )y radio r .

EJEMPLO 1.11

En la gura de la derecha aparece un crculo de radio 8,

tangente a los ejes coordenados. Determine su ecuacincannica.

X

8

Figura 1.10


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ELIPSE 19

Solucin.

Como se ve en la gura, el crculo tiene centro(h, k ) = ( 8, 8) por lo que su ecuacin cannica es

( x8)2 + ( y8)2 = 64 X

8

8

Figura 1.11

EJEMPLO 1.12

Hallar la ecuacin cannica de la elipse

4 x2 + y28 x+ 4 y8 = 0Trazar su grca identicando los vrtices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solucin

Para hallar la ecuacin cannica debemos completar el cuadrado de la expresin en ambasvariables x e y.

4 x2 + y28 x+ 4 y8 = 04 x28 x+ y2 + 4 y8 = 0

4( x1)2 + ( y+ 2)2 = 16

( x1)2

4 + ( y+ 2)2

16 = 1

De donde obtenemos que el centro es (1,2).Como a 2 = 16 y b2 = 4 entonces a = 4 (a es la longitud mayor, esto nos dice que la elipsees vertical), y b = 2 y el valor de c est dado por :

c2 = 164;= c = 12 = 2 3Y as, los focos estn dados por (1,22 3) y los vrtices por (1,6), (1, 2). Por ltimo,la excentricidad es

e = ca

= 2 3

4 = 32


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20 CNICAS

Par dibujar la grca todava falta calcular interseccionescon los ejes.

i.) Interseccin eje Y .

y = 4 482 5.46 y = 4+ 482 1.46

ii.) Interseccin eje X .

x = 8 1928 0.73

x = 8+ 192

8 2.73.La grca se muestra en la gura

-2 -1 1 2 3X

-6

-4

-2

2

Y

F 1

F 2

Figura 1.12

EJEMPLO 1.13

Considere la cnica 4 x2 + y216 x6 y+ 21 = 0. Trazar su grca identicando los vr-tices, los focos, el centro y la interseccin con los ejes.Solucin

Ec. cannica: ( y3)24 +

( x2)21 = 1.

Centro: (h, k ) = ( 2,3) a2 = 4, b2 = 1. c = 3 Focos: (2, 3 3) No hay interseccin con ejes.

1 2 3

1

2

3

4

5

Figura 1.13

EJEMPLO 1.14

Hallarla ecuacin cannica de la elipseconvrtices en(3,1), (3,9) y eje menor de longitud6.


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ELIPSE 21

Solucin

Como la longitud del eje menor es de 6 unidades, entonces b = 3. Como los vrtices estnen (3,1) y (3, 9), entonces el centro est en (3,5), el eje mayor de la elipse es vertical y

a = 4. Con lo cual

c2 = a2b2 = 169 = 7 = c = 7

Por ltimo, la excentricidad ese = ca

= 74 y la ecuacin

cannica es

( x3)2

9 + ( y5)

2

16 = 1

Los focos estn en {3, 5 7)}.En este caso no hayinterseccin con los ejes. La grca de la elipse semuestra en la gura

1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

5

Figura 1.14

EJEMPLO 1.15

Determine la ecuacin de la elipse cuyo centro est en el origen, contiene al punto(1,3) y uno de sus vrtices es (0,5).Solucin

Los datos los podemos representar en la gura de laderecha. Como el centro es (h, k ) = ( 0,0) entonces laecuacin es

x2

b2 +

y2

a2 = 1

Esto es as pues el vrtice (0,5) nos indica que el ejemayor est (en este caso) sobre el eje Y .

Ahora, como (0,5) es un vrtice y el centro est en(0,0) , se sigue que a = 5 y

x2

b2 +

y2

25 = 1

5

X

Figura 1.15


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22 CNICAS

Por otra parte, como (1,3) est en la elipse

(1)2

b2 + 3

2

25 = 1

de aqu, despejando, obtenemos b2 = 2516. Finalmente, la ecuacin cannica de la

elipse es

x2

2516

+ y2

25 = 1

EJEMPLO 1.16

La seora Rojas planeaba comprar un mantel para una mesa redonda que est arrinconadaen la esquina de la sala. Para hacer la compra, le pidi a su pequea hija que le tomara lasmedidas a esta mesa y se las apuntara en un papel. Cuando lleg al bazar, sac el papel conlas medidas de la mesa y lo que encontr fue ... la gura que sigue

Pared

P a r e

d

3

4

Figura 1.16

Como la seora Rojas haba llevado Clculo Superior algunos aos atrs, rpidamente hizo

un clculo y pidi un manteladecuado para el dimetrode la mesa. Cul es este dimetro?.Solucin.

Si consideramos las paredes como ejes coordenados, la mesa es un crculo de centro (r , r )y ( x, y) = ( 4, 3) es un punto en la circunferencia.


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24 CNICAS

-1

-1

Figura 1.18

EJEMPLO 1.18 ( )

Determine la ecuacin cannica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados yque pasa por los puntos (1, 0), (3,0), (0, 2), (0,2).Solucin

Suponga que el centro de la elipse es (h, k ). Si la elipse tiene eje horizontal su ecuacindebe ser:

Si la elipse tiene eje horizontal su ecuacin tiene la forma:

( xh)2

a2 +

( yk )2

b2 = 1

Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:

(1) Si x = 1, y = 0 = (h + 1)2

a2 +

k 2

b2 = 1

(2) Si x = 3, y = 0 = (3h)

2

a2 +

k 2

b2 = 1

(3) Si x = 0, y = 2 = h2

a2 + (2

h)2

b2 = 1

(4) Si x = 0, y = 2 = h2

a2 +

(2+ h)2

b2 = 1

De (3) y (4) obtenemos (5) (2h)2

b2 =

(2+ h)2

b2 = h = 0


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ELIPSE 25

De (1), (2) y (5) tenemos que (h + 1)2

a2 =

(3h)2

a2 =

1a2

= 9a2

= 1 = 9

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos.

Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuacin tiene la forma:( xh)

2

b2 +

( yk )2

a2 = 1

Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema:

(6) Si x = 1, y = 0 = (1+ h)2

b2 +

k 2

a2 = 1

(7) Si x = 3, y = 0 = (3h)

2

b2 +

k 2

a2 = 1

(8) Si x = 0, y = 2 = h2

b2 +

(2k )2

a2 = 1

(9) Si x = 0, y = 2 = h2

b2 +

(2+ k )2

a2 = 1

De (6) y (7) tenemos (10) (1+ h)2 = ( 3h)2 = h = 1

De (8) y (9) tenemos (11) (2k )2 = ( 2+ k )2 = k = 0

De (6), (8), (10) y (11) tenemos 4b2

= 1 y 1b2

+ 4a2

= 1 = b2 = 4 y a2 = 163 .

Con lo cual la ecuacin de la elipse es:

( x1)2

4 + 3 y216 = 1

(*) Excentricidad.

La excentricidad es una medida de la circularidad" de una elipse, entre ms cerca de ceroms circular y entre ms cerca de uno ms alargada.

Denicin 1.3 (Excentricidad) La excentricidad e de una elipse est dada por el cocientee =

ca

Observe que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vrtices,siempre se tiene que

0 < c < a = 0 < ca

< 1 = 0 < e < 1


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26 CNICAS

es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno.

Para una elipse casi circular, los focos estn cerca del centro y c/ a es pequeo.Para unaelipse alargada los focos estn cerca de los vrtices y c/ a es casi 1.

Esto explica la dicultad de los astrnomos en detectar las rbitas elpticas de los planetas,pues estas tienen los focos muy cerca de su centro, lo cual las hace casi circulares.Lasiguiente tabla muestra la excentricidad de las rbitas de los nueve planetas y la Luna.

Mercurio 0.2056 Saturno 0.00543 Venus 0.0068 Urano 0.0460Tierra 0.0167 Neptuno 0.0082Marte 0.0934 Plutn 0.2481

Jupiter 0.0484 Luna 0.0549

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Una de las propiedades geomtricas ms interesante de la elipse arma que : un rayoque emana de uno de los focos de la elipse y se reeja en ella pasa por el otro foco; estapropiedad se conoce como la propiedad reectora.

Teorema 1.3 (Propiedad de reexin)

La recta tangente a una elipse en un punto P formangulos iguales con las rectas que pasan por P y poralguno de los focos.

X

F 1

F 2Y

EJERCICIOS1.16 Determinar la ecuacin cannica y los dems elementos de la elipse con centro en(1,2), eje mayor horizontal 8 y excentricidad 3/ 4.

1.17 Determine la ecuacin cannica y los dems elementos de la elipse con centro en(0,0), eje mayor horizontal y los puntos (3, 1) y (4,0) estn en la elipse.

1.18 Determine la ecuacin cannica y los dems elementos de la elipse con centro en(2,1) y longitud de eje mayor de 5 y longitud del eje menor 2.

1.19 Hallar la ecuacin cannica y los dems elementos de la elipse que tiene un vrticey un foco en comn con la parbola x2 + y = 100 y que tiene su otro foco en el origen.


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HIPRBOLA 27

1.20 Determine la ecuacin cannica y los dems elementos de la elipse cuya suma dedistancias a los puntos (3,0) es 16.

1.21 Determine la ecuacin cannica de la elipse con focos en (3,

3) y (

3, 3) y eje

mayor de longitud 10 (Nota : los focos de esta elipse no estn en una recta vertical nihorizontal).

1.6 HIPRBOLA

Las hiprbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avin que vuela avelocidad supersnica paralelamente a la supercie de la tierra, deja una huella acsticahiperblica sobre la supercie. La interseccin de una pared y el cono de luz que emanade una lmpara de mesa con pantalla troncocnica, es una hiprbola.

La denicin de la hiprbola como lugar geomtrico essimilar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

Denicin 1.4 (Hiprbola) Una hiprbola es el conjunto de puntos P = ( x, y) para los que la diferencia desus distancias a dos puntos distintos prejados (llamados focos) es constante.

F 1 F 2

P=(x,y)

a

||PF|- |PF ||= 2a1 2

La recta que pasa por los focos corta a la hiprbola en dos puntos llamados vrtices .

El segmento recto que une los vrtices se llama eje transversal y su punto medio esel centro de la hiprbola . Un hecho distintivo de la hiprbola es que su grca tiene dospartes separadas (llamadas ramas ) y dos asntotas oblicuas.

Teorema 1.4 (Ecuacin cannica de la Hiprbola) La ecuacin cannica de la hipr-bola con eje transversal horizontal y con centro en (h, k ) es

( xh)2

a2 ( yk )

2

b2 = 1


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28 CNICAS

F 1 F 2V 2V 1

c a

b

k

hX

Y

Figura 1.19

La ecuacin cannica de la hiprbola con eje transversal vertical y con centro en (h, k ) es

( yh)2

a2 ( xk )

2

b2 = 1

F 1

F 2

V 2

V 1

c

a

b

h

k

X

Y

Figura 1.20

Los vrtices estn a una distancia de a unidades del centro y los focos a unadistancia de c unidades del centro con c2 = a2 + b2


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HIPRBOLA 29

La distancia entre cada vrtice y el foco ms prximo es ca .

F 1 F 2V 2V 1

cak

d( , ) = c - aV 1 F 1d( , ) =V 2 F 2

En ambos casos, si F 1 y F 2 son los focos y si P es un punto de la hiprbola, entonces

||PF 1||PF 2||= 2a

Esta igualdad es fcil de establecer si P es cualquiera de los vrtices. En efecto,consideremos el caso de una hiprbola con eje transversal horizontal. En este casoP = V 1 = ( h + a , k ), F 1 = ( h + c, k ) yF 2 = ( h c, k ). Luego

| |PF 1||PF 2||= | (c a)2 (c + a )2 |Como c a entonces | (c a )2 (c + a)2 |= |c a a c|= 2a .

Resumiendo:

Si el eje transversal de la hiprbola es horizontal entonces

El centro est en (h, k )

Los vrtices estn en (h a , k )

Los focos estn en (h c, k ).Si el eje transversal de la hiprbola es vertical entonces

El centro est en (h, k )

Los vrtices estn en (h, k a).

Los focos estn en (h, k c).Una ayuda importante para trazar la grca de una hiprbola son sus asntotas. Todahiprbola tiene dos asntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vrtices de un


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HIPRBOLA 31

F 1 F 2

P

Figura 1.21

EJEMPLO 1.19

Determine la ecuacin cannica y las caractersticas ms importantes de la cnica quecontiene a los puntos P = ( x, y) para los cuales |d (P, A) d (P, B)|= 2 donde A = (3,0)y B = ( 3, 3).Solucin.

Se trata de un hiprbola con focos A y B. As que el centro es (h, k ) = ( 3, 3/ 2) . Como|d (P, F 1) d (P, F 2)| = 2a entonces a = 1. Por otra parte c = 1.5 y entonces b2 = 5/ 4Luego ecuacin cannica es

( y32)21 ( x+ 3)25/ 4 = 1

-4 -2

4

1.5

B

A

Figura 1.22


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39/286

HIPRBOLA 33

m1 = 2 = ab

= b = a2 = b =

32

Por tanto, la ecuacin cannica es

( y+ 2)2

9 ( x3)

2

94

= 1

El valor de c est dado por

c2 = a2 + b2 = c2 = 454 = c =

3 52

Los focos estn en (3,23 5

2 ) y (3,2+ 3 5

2 ) y la ex-centricidad ese = 52 . Lagrcasemuestra en lagura 4.

Figura 1.24

EJEMPLO 1.22

Identique y trace la grca de la cnica de ecuacin

4 y29 x2 + 36 x24 y36 = 0

indicando centro, vrtices, focos, asntotas e interseccin con los ejes.

Solucin.

Completando cuadrados obtenemos

4( y3)29( x2)2 = 36

por lo que la ecuacin cannica es

( y3)29 ( x2)24 = 1

Se trata de un hiprbola con eje transversal vertical y centro en (2,3). Como a = 4 yb = 2 entonces c = 13. Los vrtices son v1 = ( 2,0) y v2 = ( 2,6) y los focos sonF 1 = ( 2, 13) y F 2 = ( 2+ 6+ 13).Interseca al eje y en y 1.24 y y7.24. La interseccin con el eje x es en x = 2.


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34 CNICAS

-2 2 4 6

-5

5

10

Figura 1.25

EJERCICIOS1.22 Determine la ecuacin cannica y los dems elementos de la hiprbola tal que paracualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos (3, 0) y (3,3)es 2.

1.23 Determine la ecuacin cannica y los dems elementos de la hiprbola con vrticesen (0, 2) y (6,2) y asntotas en y = 2/ 3 x y = 42/ 3 x.

1.24 Hallar el valor de a de forma que la hiprbola

x2

a2 y2

4 = 1

sea tangente a la recta 2 x y = 4.1.25 Determine el tipo de cnica representada por la ecuacin

x2

k +

y2

k

16 = 1

en los casos

a.) Si k > 16

b.) Si 0 < k < 16


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(*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO 35

c.) Si k < 0

1.26 Determine la excentricidad de la cnica con ecuacin:

3 x2 y2 + 12 x+ 9 = 01.7 (*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

Como hemos visto la ecuacin cannica de las secciones cnicas tiene la forma:

A x2 + Bxy+ C y2 + D x + E y + F = 0

donde A, B, C , D, E y F son constantes. Este tipo de ecuacin se conoce como ecuacionesde segundo grado en xy. Otra manera de introducir las secciones cnicas es por mediode este tipo de ecuaciones, pues sus grcas corresponden, en general, con las seccionescnicas estudiadas.

Denicin 1.6 (Ecuacin de segundo grado) Una ecuacin de la forma

A x2 + Bxy+ C y2 + D x + E y + F = 0

donde A , B, C , D, E y F son constantes, se conoce como ecuacin de segundo grado en xy.

Observacin: La grca de este tipo de ecuaciones corresponde a una seccin cnica yla presencia del trmino mixto xy nos indica que hay rotacin de ejes. Tema que se salede los objetivos del presente curso y no ser tratado en detalle, pero an as, se presentarel teorema relacionado y un ejemplo.

Teorema 1.7 (Rotacin de ejes) La ecuacin de segundo grado

A x2 + Bxy+ C y2 + D x + E y + F = 0 (1.1)

puede reescribirse como

P u 2 + Q v2 + Ru + S v + T = 0 (1.2)

girando los ejes coordenados un ngulo , donde


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36 CNICAS

ctg = AC

B

Los coecientes de la nueva ecuacin se obtienen haciendo las sustituciones:

x = u cos vsen y = usen + v cos

EJEMPLO 1.23

Hallar la ecuacin cannica de la cnica

7 x26 xy 3+ 13 y216 = 0y trazar su grca.

Solucin.

Primero debemos calcular el ngulo de rotacin

ctg = 7136 3

= 1

3 = =

6

Por tanto, el cambio de variable a realizar est dado por

x = u 3v

2

y = u + v 3

2Al sustituir en la ecuacin original (2), obtenemos la ecuacin cannica deseada:

u2

4 + v2

1 = 1

La grca de est elipse se muestra en la gura 1.


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(*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO 37

Figura 1.26

Ligada a la ecuacin de segundo grado existe una cantidad conocida como discriminanteque es til en la clasicacin de cnicas.

Denicin 1.7 (Discriminante) El discriminante de la ecuacin de segundo grado ( 1.1 )est dado por

D = B24 AC

El siguiente teorema nos permite clasicar las cnicas basndose en el signo del discrimi-nante.

Teorema 1.8 (Secciones cnicas) La grca de una ecuacin de segundo grado Ax 2 + Bxy + C y2 + D x + E y + F = 0 corresponde a, (salvo casos degenerados), una seccincnica:

a.) Si D < 0 , la grca es una elipse.

b.) Si D = 0 , la grca es una parbola.

c.) Si D > 0 , la grca es una hiprbola.

EJEMPLO 1.24

Las grcas de las siguientes ecuaciones de segundo grado corresponden a cnicas nodegeneradas. Clasique cada cnica.


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38 CNICAS

1.) x24 xy+ 4 y2 + 5 y 5+ 1 = 0

2.) 7 x26 xy 3+ 13 y216 = 0

3.) x210 xy+ y2 + 1 = 0

Solucin.

Como las ecuaciones corresponden a cnicas no degeneradas, se puede armar que

1.) Como = (4)2414 = 0 = la cnica es una parbola

2.) Como = 6

32

4713 = 256 = la cnica es una elipse3.) Como = (10)

2411 = 96 = la grca es una hiprbola.

EJERCICIOS1.27 Otra forma de denir las secciones cnicas es la siguiente:

Sea F un punto jo (llamado foco) y L una recta ja (llamada directriz) en un plano. Seae un nmero positivo jo (llamado excentricidad). El conjunto de todos los puntos P del

plano tales que

|PF ||PL |

= e

(es decir, el cociente de la distancia con respecto a F y la distancia respecto a L es igual ala constante e) es una seccin cnica. Compruebe que la cnica es :

a) una elipse si e < 1

b) una parbola si e = 1

c) una hiprbola si e > 1

1.28 Es la curva de ecuacin x+ y = a , con a > 0 una parbola?

1.29 Determine la excentricidad de la cnica con ecuacin 3 x2 y2 + 12 x+ 9 = 0


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Captulo 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES,SUPERFICIES Y SLIDOS.

2.1 COORDENADAS TRIDIMENSIONALES

Un punto en el espacio queda determinado dando su localizacin con respecto a tres ejes decoordenadas perpendiculares entre s que pasan por el origen O . Siempre trazaremos losejes x, y, z como se muestra en la gura 2.2, con echas que indican la direccin positivaa lo largo de cada eje. Con esta conguracin de ejes nuestro sistema de coordenadas esun sistema derecho; si usted dobla los dedos de su mano derecha en la direccin de ungiro de 90o desde el eje x positivo hasta el eje y positivo, entonces su pulgar apunta enla direccin del eje z positivo. Si se intercambian los ejes x e y, entonces el sistema decoordenadas sera izquierdo. Estos dos sistemas de coordenadas son diferentes, en elsentido de que es imposible hacerlos coincidir por medio de rotaciones y traslaciones.

X

Y

Z

1

2

1 2

1

2

X

Y

Z

12

121

2

Figura 2.1 Ejes x, y, z


39


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40 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SUPERFICIES Y SLIDOS.

Los tres ejes coordenados considerados por pares determinan los tres planos coordenados:

El plano (horizontal) xy, donde z = 0

El plano (vertical) yz, donde x = 0 El plano (vertical) xz, donde y = 0

XY

Z

12

12

1

2

Plano xy

XY

Z

12

12

1

2

Plano xz

XY

Z

12

12

1

2Plano yz

Figura 2.2 Ejes x, y, z

Figura 2.3 Primer octante.

El punto P en el espacio tiene las coorde-nadas rectangulares (a , b, c) si

a es su distancia (con signo) al plano yz

b es su distancia (con signo) al plano xz c es su distancia (con signo) al plano xy

X

Y

Z

ba c

(a,b,c)

Figura2.4 Punto P = ( a , b, c) enelprimeroctante

En este caso, podemos describir la posicin del punto P simplemente escribiendo P =(a , b, c) . Existe una correspondencia biunvoca natural entre las ternas ordenadas ( x, y, z)


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FUNCIONES DE DOS VARIABLES 41

de nmeros reales y los puntos P del espacio; esta correspondencia es un sistema decoordenadas rectangulares en el espacio. En la gura 2.4 se muestra un punto P en elprimer octante, la octava parte del espacio en donde las tres coordenadas rectangulares sonpositivas.

2.2 FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o ms variablesindependientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado por una fuerza w = f d , el volumenV de un cilindro circular recto V = V (r , h) = r 2 h , el rea de un tringulo A = b h ,son todas funciones de dos variables. Tambin tenemos funciones de tres variables, comoel volumen de una caja rectangular V = V (l , a , h) = l a h es una funcin de tres variables.Denotaremos una funcin de dos o ms variables de la forma usual

z = f ( x, y) = x2 + y2 + 1

w = f ( x, y, z) = xyz

Denicin 2.1 (Funciones de dos variables) Sea D R 2 , si a cada par ordenado ( x, y) D hacemos corresponder un nmero real z = f ( x, y) , entonces decimos que f es una fun-cin de x e y, y escribimos f : D R 2 R . Al conjunto D lo llamaremos dominiode f y al correspondiente conjunto de valores z = f ( x, y) lo llamaremos recorrido de f . Llamaremos a las variables x e y variables independientes y a la variable z variable

dependiente.

Observacin : De manera anloga podemos denir funciones de tres o ms variables, f : D R n R . En todo caso el dominio ser un subconjunto de R n y el recorrido unsubconjunto de R . En nuestro curso nos limitaremos ha estudiar los casos n = 2,3.

EJEMPLO 2.1

Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones

1. f ( x, y) = 9( x2

+ y2)

2. g( x, y) = xy

x2 ySolucin


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Para hallar el dominio de f recuerde

que el argumento de una raz cuadradadebe ser positivo o cero :

9 x2 + y2 0 = x2 y9Lo cual corresponde al interior de un

crculo de radio 3, como se muestra enla gura 2.5

-4 - 3 -2 -1 1 2 3 4 X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Y

-4 - 3 -2 -1 1 2 3 4 X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Y

Figura 2.5 Crculo de radio 3

Para hallar el dominio de g recuerdeque en un cociente el denominador nopuede ser cero, por lo que el argumentodel radical debe ser positivo :

x2 y > 0 = y < x2Lo cual corresponde al exterior de la

parbola y = x2 , sin incluir la parbolamisma, esto se muestra en la gura 2.6.

-3 -2 -1 1 2 3 X

-4

-2

2

4

Y

-3 -2 -1 1 2 3 X

-4

-2

2

4

Y

Figura 2.6 Exterior de la parbola y = x2

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemoscon las funciones de una variable

Suma y resta: f ( x, y) g( x, y)

Producto: f ( x, y) g( x, y)

Cociente: f ( x, y)

g( x, y)

La funcin compuesta dada por ( f g)( x, y) se dene solamente si g es una funcin dedos variables y f una funcin de una nica variable. En este caso

( f g)( x, y) = f (g( x, y))


49/286

FUNCIONES DE DOS VARIABLES 43

para todo par ( x, y) en el dominio de g . Por ejemplo, la funcin

h( x, y) = x2 + y2 + 4

puede verse como la composicin de la funcin de dos variables

g( x, y) = x2

+ y2

+ 4

y la funcin de una variable

f ( x) = x

Una funcin que puede expresarse como suma de funciones de la forma cxm yn (donde ces un nmero real, m, n son enteros positivos) se conoce como funcin polinmica de dosvariables. Por ejemplo, la funcin

f ( x, y) = x2 + xy23 x2 y2 + 5

es una funcin polinmica.

Y una funcin racional es el cociente de dos funciones polinmicas.

EJEMPLO 2.2


50/286


Determine el dominio de la funcin

f ( x, y) = x2 + y21+ 4 x2 y2SolucinComo cada uno de los radicales debe serno negativo, tenemos que

1 x2 + y2 4Lo cual corresponde al anillo que se

muestra en la gura 2.7.

-3 -2 -1 1 2 3X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

-3 -2 -1 1 2 3X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

Figura 2.7 Dominio de la funcin f ( x, y) =

x2 + y21+ 4 x2 y2

2.3 GRFICA DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES.

Existen varias maneras de visualizar una funcin de dos variables, en esta seccin lo hare-mos mediante una supercie en el espacio tridimensional.

Denicin 2.2 (Grca de una funcin de dos variables) La grca de una funcin f : D R 2 R es el conjunto de puntos ( x, y, z) tales que z = f ( x, y) y ( x, y) D . Es decir,

Graf ( f ) = {( x, y, f ( x, y)) |( x, y) D}

Observacin : La grca de una funcin de dos variables z = f ( x, y) puede interpretarsegeomtricamente comouna supercie S en el espacio, de forma talquesu proyeccin sobreel plano xy(intuitivamente: la sombra cuando el sol est sobre el eje Z) es D , el dominiode f . En consecuencia, a cada punto ( x, y) en D le corresponde un punto ( x, y, z) en lasupercie. Y, a la inversa, a cada punto ( x, y, z) en la supercie le corresponde un punto( x, y) en D (gura 2.8)


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PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO 45

Figura 2.8 Grca de una funcin de dos variables

Ms adelante volveremos sobre este tema, cuando tengamos ms elementos acerca de cur-vas, planos, cilindros, curvas de nivel y trazas.

2.4 PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

Una recta L en el espacio est determinada por dos puntos P y Q sobre ella. Alternati-vamente, se puede determinar dando un punto P sobre ella y un vector (director) PQ quedetermina la direccin de la recta (Figura 2.9)

Q

P

Q

P

ZZ

v = Q - P

Figura 2.9 Recta en el espacio

Los ejemplos ms simples son rectas en los planos xy, yz o xz. En estos casos pode-mos dibujar directamente a partir de la ecuacin cartesiana ax + by = d , ay + bz = d oax + bz = d respectivamente.


52/286


EJEMPLO 2.3

Dibujar las rectas1. x+ y = 1.

2. x+ 2 z = 2.

3. z y = 0.Solucin.

Para dibujar una recta solo necesitamos dos puntos.

En el caso de la recta x+ y = 1 observamos que interseca a los ejes en x = 1 y y = 1.

En el caso de la recta x+ 2 z = 2 observamos que interseca a los ejes en x = 2 y z = 1.

En el caso de la recta z

y = 0 observamos que interseca a los ejes en x = y = 0. Un punto

adicional de la recta se puede obtener haciendo z = 1 en cuyo caso tendramos el punto(0,1,1) . Aqu la coordenada x es cero pues estamos en el plano yz.

X Y

Z

12

1

2

z-y=0

X Y

Z

1

1

2x+2z=2

X Y

Z

1 1 x+y=1

Figura 2.10 Recta en el espacio

Teorema 2.1

La ecuacin paramtrica de la recta L que pasa por el punto P = ( x0, y0, z0) en la direccindel vector PQ = ( a , b, c) es

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

EJEMPLO 2.4

Hallar la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por los puntos P = ( 2, 0, 1) y Q =(1,1,3) y trace su grca.Solucin


53/286


Un vector director para la recta est

dado por PQ = ( 1, 1, 2) y su ecuacinparamtrica es x = 21t y = 0+ t

z = 1+ 2t Para trazar su grca basta dibujar dos

puntos y luego unirlos, como se muestraen la gura 2.11.

X

Y

Z

1

2

1

1

Figura 2.11 Recta en el espacio con puntosP =(2,0, 1) y Q = ( 1, 1, 3)

2.4.1 Planos

Un plano en el espacio queda determi-

nado por un punto Q = ( x0, y0, z0) y un vector normal n = ( a , b, c) alplano . Tambin, tres puntos nocolineales P, Q, R determinan esteplano (Figura 2.12).

X

Y

ZP

Q

R

Figura 2.12 Plano en el espacio

Teorema 2.2

Una ecuacin escalar de un plano que pasa por el punto Q = ( x0, y0, z0) con vectornormal n = ( a , b, c) est dada por

n PQ = 0, o sea, ax + by + cz = d

con P = ( x, y, z) y d = n Q = a x0 + by0 + cz0


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EJEMPLO 2.5

Determine la ecuacin cartesiana del plano que pasa por los puntos P = ( 3, 0,0), Q =

(2,1,0) y R = ( 0,1, 2) y trace su grca.

Solucin

Primero debemos calcular un vector normal

n = PQ PR =i j k 1 1 03 1 2

= 2i + 2 j + 2k

y as la ecuacin del plano es

(2, 2, 2) ( x3, y, z) = 0 = x+ y+ z = 3

Para trazar la grca buscamos lasintersecciones con los ejes coordenadosy lasunimos conrectas, como se muestraen la gura 2.13

Interseccin con el eje x:Si y = z = 0 x = 3 y obtenemos elpunto (3, 0,0) Interseccin con el eje y:Si x = z = 0 y = 3 y obtenemos elpunto (0, 3,0) Interseccin con el eje z:Si x = y = 0 z = 3 y obtenemos elpunto(0, 0, 3) .

X Y

Z

3 3

3

Figura 2.13 Plano x + y+ z = 3

En la gura 2.13 se indica con un tono ms claro la parte del plano que est en el segundooctante. La lnea punteada es la interseccin del plano con el plano yz.

El siguiente ejemplo muestra como dibujar un plano que pasa por el origen.

EJEMPLO 2.6

Trace la grca del plano : x y z = 0 .


55/286


Solucin

En este caso buscamos la traza(interseccin) del plano sobre cada uno de los planoscoordenados.

Traza sobre el plano x = 0:Si x = 0 y z = 0 y = z

Traza sobre el plano y = 0 :Si y = 0 x z = 0 z = x

Traza sobre el plano z = 0 :Si z = 0 x y = 0 y = x

Para trazar la grca del plano dibujamos solo dos trazas (rectas, en este caso) de las trestrazas (en principio no importa cuales dos se escojan) y estas nos dan una idea del plano,aqu escogimos las trazas y = 0 (recta x = z) y z = 0 (recta y = x), como se muestra en lagura 2.14.

X

Y

Z

1

1

1

X

Y

Z

1

1

1

Figura 2.14 Plano x y z = 0, en dos posibles puntos de vista.

El siguienteejemplo muestra como trazarun plano cuandounade lasvariables est ausente.

EJEMPLO 2.7

Trace la grca del plano y+ z = 3 .


56/286


Solucin

En este caso tenemos una variable que no aparece en la ecuacin : x, entonces el procesopara trazar el plano es muy simple; dibujamos la traza del plano y+ z = 3 sobre el plano

x = 0 (plano yz) y luego la desplazamos en la direccin del eje x, como se muestra en lagura 2.15. Esto se puede hacer as pues x puede tomar valores arbitrarios ya que en laecuacin del plano, x esta multiplicada por cero, es decir la ecuacin del plano se puedeescribircomo 0 x+ y+ z= 3. De hecho, elgrcodeplano es{( x, y, z) : y+ z= 3, x R }.

XY

Z

3

3

Figura 2.15 Plano y+ z = 3

2.5 SUPERFICIES CILINDRICAS

Una buena parte de las supercies con las que trabajaremos en el curso se generan a partirde una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoriadeterminada (llamada directriz) . Trazar la grca de una supercie de este tipo es muysimple, la idea es arrastrar la generatriz en la direccin de la directriz, el movimiento de lageneratriz forma la supercie por la traza que va dejando.

Denicin 2.3 (Cilindro) Sea C una

curva sobre un plano , llamadageneratriz y sea L una recta no paralelaal plano , llamada directriz. Entoncesel conjunto de todos los puntos en lasrectas paralelas a L que intersecan a C es un cilindro.

X

Y

Z

C

Figura 2.16 Cilindro


57/286

SUPERFICIES CILINDRICAS 51

Observacin : Esta denicin es una generalizacin del conocido cilindro circular rectodonde, por ejemplo, la generatriz es x2 + y2 = r 2 que esta sobre el plano xy y la directriz esuna recta paralela al eje z. Para los nes del curso, vamos a estar interesados nicamenteen cilindros cuyas curvas generatrices estn sobre planos paralelos a los planos coordena-

dos y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados. Este tipode cilindros se conoce como cilindros rectos. Cuando la directriz es una recta que no esparalela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo.Por ejemplo, considere el siguiente cilindro (Figura 2.16)

Un cilindro circular recto tiene como generatriz un crculo y como directriz una recta par-alela a uno de los ejes coordenados. En la gura 2.17 se muestra un cilindro con generatriz; x2 + z2 = 4, y = 0 (plano xz) y con recta directriz paralela al eje y.

Z

2.

2.

Z

2.

2.

X

X

Figura 2.17 Cilindro con generatriz x2 + z2 = 4

En la gura 2.18 se muestra un cilindro parablico z = x2 + 1, y = 0 (plano xz) congeneratriz y recta directriz paralela al eje Y

X

Y

Z

..

2.

3.

X1.

Figura 2.18 Cilindro parablico


58/286


Si en la ecuacin:

f ( x, y, z) = 0

alguna de las variables x, y o z es libre (no aparece en la ecuacin), entonces su grcacorresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza dela supercie f ( x, y, z) = 0 sobre el plano coordenado correspondiente a las variables nolibres y luego movemos esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a lavariable libre. Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta tcnica.

EJEMPLO 2.8

Trazar la grca de la supercie cilndrica cuya ecuacin est dada por:

z = 4 y2

Solucin

Observando la ecuacin z = 4 y2 notamos que la variable libre es x, esto nos dice quedebemos dibujar la traza (es decir, la parbola z = 4 y2 ) de la supercie sobre el plano x = 0 (plano yz) y luego mover esta traza a lo largo del eje x para generar la grca de lasupercie, como se muestra en la gura 2.19.

XY

Z

2 .

4.

Y

Z

2.

4.

Figura 2.19 Parbola de ecuacin z = 4 x2

Observacin : el dominio de la funcin z = 4 y2

es R2, esto es un aspecto importanteal trazar su grca.

EJEMPLO 2.9


59/286

SUPERFICIES CILINDRICAS 53

Trace la grca de la supercie cilndrica y = x

Solucin

En este caso la variable libre es z,entonces debemos dibujar la traza ( esdecir la curva y = x) de la superciesobre el plano z = 0 (plano xy) y luegodebemos moverla a lo largo del eje z.En este caso es muy importante tomaren cuenta que el dominio de la funcines D = {( x, z) R 2| x 0}, es decir,slo sobre esta regin vamos a tenergrca. En la gura 2.20 se muestra laesta supercie.

X

Y

Z

Figura 2.20 Supercie cilndrica y = x

EJEMPLO 2.10

Incluso losplanos puedenverse como supercies cilndricas,porejemplo,elplano z = 2 ytiene unavariable libre x , entonces dibujamosla traza de la superciesobre el planos x = 0(plano yz) y la movemos a lo largo del eje x. Un plano como x = 2, tiene dos variableslibres y y z, entonces dibujamos la traza ( x = 2) sobre el plano yz y la movemos a lo largodel eje x.

X3

X

Y

Z

2.

2.

Y

Z

2

EJEMPLO 2.11

Trazar la grca de la supercie cilndrica ( x2)22 + ( y2)2 = 1


60/286


Solucin

La variable libre es z, entonces dibujamos la traza sobre el z = 0 (plano xy) y la de-splazamos a lo largo del eje z, como se muestra en la gura

X Y

Z

X

Y

Z

1.2.

3.

1. 2. 3.

2.6 CURVAS SOBRE UN PLANO

Una curva sobre un plano x = a , y = b, o z = c se describe dando la ecuacin de la curva yel plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas corresponden una trazasobre el plano x = a, y = b,o z = c.

Una manera sencilla de dibujar estas curvas es dotar al plano respectivo de un sistema deejes con origen en a y dibujar en este sistema coordenado. Por ejemplo, si queremosdibujar en el plano x = a una curva de ecuacin F ( y, z) = 0, dotamos a este plano de unsistema de ejes y z conorigen de coordenadas en x = a y dibujamosla curva F ( y , z ) = 0.

EJEMPLO 2.12

Dibujar las siguientes curvas:

1. Parbola ( y3)2 = z+ 1 sobre el plano x = 2

2. Circunferencia ( x2)2 + ( y3)2 = 4 sobre el plano z = 0 (plano xy)

3. Elipse ( x2)2

4 + ( y4)

2

16 = 1 sobre el plano z = 3

4. Hiprbola ( x3)24 ( z2)2 = 1 sobre el plano y = 3

Solucin


61/286

CURVAS SOBRE UN PLANO 55

1. Parbola

X Y

Z

2 3X

Y

2

23-1

2

23-1

Z

y

z

2. Circunferencia

X

Y

Z

12

34

1 2 3 4

3. Elipse

X

Y

Z

X y

2 4plano z =3

4. Hiprbola


62/286


X

Y

Z

X

Z

3

2

3

XY

3

X

Z

3

2.7 CURVAS DE NIVEL Y TRAZAS

La interseccin del plano horizontal z = k con la supercie z = f ( x, y) se le llama unacurva de contorno (o traza ) de altura k sobre la supercie.

Y2

2 plano z =1

plano z = 0

plano z = -1

Y2

2

traza z = 1

traza z = 0

traza z = - 1

Figura 2.21 Curvas de contorno


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CURVAS DE NIVEL Y TRAZAS 57

X

Y

Z

12 1

2

1

2

X Y

Z

1 1

curvas de nivelcurvas de contorno (trazas)

traza z = 1

traza z = 0

traza z = 1.5

traza z = -1

traza z = 1.5

Figura 2.22 Curvas de contorno y Curvas de nivel

En la seccin anterior ya vimos como dibujar una curva sobre cada uno de estos planos.

Ms generalmente, tenemos la siguiente denicin

Denicin 2.4 Sea f :U R n R y sea c R . El conjunto de nivel del valor c sedene como los puntos v U para los cuales f (v) = c. Si n = 2 hablamos de una curvade nivel de valor c ; y si n = 3 hablamos de una supercie de nivel.

En unasuperciede ecuacin F ( x, y, z) = 0 sepuedenconsiderar, ademsde la interseccincon los planos z = k , tambin la interseccin de sta con los planos x = k o los planos y = k .

EJEMPLO 2.13


64/286


Consideremos la supercie de ecuacin

x2 + y2 + z2

4 = 1

Estasuperciees llamadaun elipsoide.Su grca se ve en la gura 2.23.

X

Y

2

Figura 2.23 Elipsoide x2 + y2 + z2

4 = 1.

Podemos obtener algunas curvas de contorno intersecando, por ejemplo, la supercie conlos planos x = k y z = k . Estas curvas las podemos dibujar como vimos en la seccinanterior.

a.) x = 0. Se obtiene la traza y2 + z2

4 = 1 que corresponde a una elipse en el plano yz.

b.) x = 1/ 2. Se obtiene y2 + z2

4 = 1/ 2 que corresponde a dos elipses, una en elplano x = 1/ 2. y la otra en el plano x = 1/ 2.

c.) x = 1. Se obtiene y2 + z2

4 = 0 que corresponde al punto (1, 0, 0)

X

Y

Z

2

X

Y

Z

2 1

1

2

Figura 2.24 Trazas x = 0, 1/ 2


65/286

CURVAS DE NIVEL Y TRAZAS 59

d.) z = 0. Se obtiene la traza x2 + y2 = 1 que corresponde a un crculo de radio 1 en elplano xy.)

e.) z = 1. Se obtiene x2 + y2 = 0.75 que corresponde a un crculo en el plano z = 1 .

f.) z = 1 Se obtiene x2 + y2 = 0.75 que corresponde a un crculo en el plano z = 1.

g.) z = 2. Se obtiene la traza x2 + y2 = 0 que corresponde los puntos (0,0,2) y(0, 0,2)

X

Y

Z

12 12

1

2

X

Y

Z

2

Figura 2.25 Trazas z = 1,0,1,2 y Trazas z = 1, 0,1,2, x = 0

EJEMPLO 2.14

Consideremos la supercie de ecuacin

z = x2 + y2

Podemos calcular algunas trazas de esta supercie para tener una idea de su grca (gura2.26).

a.) Traza z = 1. Se obtiene el crculo x2 + y2 = 1 en el plano z = 1

b.) Traza z = 1/2. Se obtiene el crculo x2 + y2 = 12 en el plano z = 1/ 2

c.) Traza x = 0. Se obtiene la parbola z = y2 en el plano x = 0


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X

Y

Z

11

1

X

Y

Z

1

Figura 2.26 Supercie z = x2 + y2 y trazas z = 1, 14, x = 0

2.8 SUPERFICIES CUADRTICAS

Las secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola; tienen su generalizacin al espaciotridimensional en elipsoides, paraboloides e hiperboloides.

Denicin 2.5 (Supercies cuadrticas) La grca de una ecuacin de segundo gradoen tres variables

A x2 + By2 + C z2 + D x + E y + F z + G = 0

se conocen como supercie cuadrtica, salvo casos degenerados.

Observacin: En la ecuacin de segundo grado A x2 + By2 + C z2+ D x + E y + F z + G =0 deliberadamente no hemos incluido los trminos mixtos xy, xz y yz, pues la presenciade estos genera supercies con rotacin, tema que no trataremos en el curso.


67/286

SUPERFICIES CUADRTICAS 61

2.8.1 Elipsoide

La grca de la ecuacin:

x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1

corresponde a un elipsoide. Es simtrico

con respecto a cada uno de los tresplanos coordenados y tiene interseccincon los ejes coordenados en (a , 0, 0) ,(0,

b,0) y (0,0,

c). La traza del

elipsoide sobre cada uno de los planoscoordenados es un nico punto o unaelipse. La gura 2.27 muestra su grca.

Figura 2.27 Elipsoide

2.8.2 Paraboloide eliptico.

La grca de la ecuacin

x2

a2 +

y2

b2 =

zc

es un paraboloide elptico. Sus trazas

sobre planos horizontales z = k sonelipses :

x2

a2 + y2

b2 = k c

Sus trazas sobre planos verticales, ya

sean x = k o y = k son parbolas.(Figura 2.28)

Figura 2.28 Paraboloide elptico


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2.8.3 Paraboloide hiperblico


y2b2

x2a2

= zc

es un paraboloide hiperblico. Sus

trazas sobre planos horizontales z = k son hiprbolas o dos rectas ( z = 0). Sustrazas sobre planos verticales paralelosal plano x son parbolas que abren haciaabajo, mientras que las trazas sobreplanos verticales paralelos al plano yzson parbolas que abren hacia arriba.Su grca tiene la forma de una silla demontar, como seobserva el lagura2.29.

Figura 2.29 Paraboloide hiperblico

2.8.4 Cono eliptico


x2

a2 +

y2

b2 =

z2

c2

es un cono elptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses. Sus trazassobre planos verticales corresponden a hiprbolas o un par de rectas. Su grca se muestraen la gura 2.30.

Figura 2.30 Cono elptico


69/286

SUPERFICIES CUADRTICAS 63

2.8.5 Hiperboloide de una hoja


x2

a2 +

y2

b2 z2

c2 = 1

es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses

x2

a2 +

y2

b2 = 1+ k

2

c2

Sus trazas sobre planos verticales son hiprbolas o un par de rectas que se intersecan (!).Su grca se muestra en la gura 2.31.

Figura 2.31 Hiperboloide de una hoja

2.8.6 Hiperboloide de dos hojas


z2

a2 y2

b2 x2

c2 = 1

es un hiperboloide de dos hojas. Su gr-

ca consta de dos hojas separadas. Sustrazas sobre planos horizontales z = k son elipses y sobre planos verticales sonhiprbolas (gura 2.32).

Figura 2.32 Hiperboloide de dos hojas


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EJEMPLO 2.15

Identique cada una de las siguiente supercies cuadrticas:

a.) 4 x2 y2 + 2 z2 + 4 = 0

b.) x2 + 2 z26 x y+ 10 = 0

Solucin

a.) Dividiendo por 4 la primera ecuacin obtenemos:

x2 + y2

4 z2

2 = 1

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja con el eje y como eje de simetra.

b.) Completando el cuadrado en x para la segunda supercie obtenemos :

y1 = ( x3)2 + 2 z2

que corresponde a un paraboloide elptico con eje de simetra paralelo al eje y.

Traslacin de Ejes.

Consideremos el elipsoide de ecuacin

( x3)24 +

( y3)29 +

( z1)24 = 1

Este es un elipsoide con centro en (3, 3, 1).

Para gracar esta supercie dibujamos en el sistema de ejes coordenados x y z dondedonde x = x3, y = y3 y z = z1. Este sistema tiene su origen de coordenadas enel punto (3,3,1) del sistema xyz. En este nuevo sistema gracamos la supercie.


71/286

PARAMETRIZACIN DE UNA CURVA EN EL ESPACIO. 65

( x )2

4 + ( y )2

9 + ( z )2

4 = 1

X

Y

Z

XY

Z

Figura 2.33 Traslacin de ejes: x = x3, y = y3 y z = z1.

5

X

Y

Z

3

3

Y

Z

X

Figura 2.34 Elipsoides ( x )2

4 + ( y )2

9 + ( z )2

4 = 1 y ( x3)2

4 + ( y3)2

9 + ( z1)2

4 = 1

2.9 PARAMETRIZACIN DE UNA CURVA EN EL ESPACIO.Denicin 2.6 Si x(t ), y(t ) y z(t ) son funciones continuas en un intervalo I entonces el conjunto de tripletas orde-nadas C = {( x(t ), y(t ), z(t )) : t I } sedenomina curva en el espacio tridimen-sional. Las funciones x (t ), y(t ) y z(t ) sedenominan ecuaciones paramtricas deC a a t le llamamos parmetro.

EJEMPLO 2.161. Segmento de recta que une A con B

( x, y, z) = A+ t ( B A), t I = [0, 1]2. Recta que pasa por P = ( p1, p2, p3) en la direccin de v = ( v1, v2, v3)


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( x, y, z) = P + t v , t R3. Circunferencia, en el plano xy, de centro (h, k ) y radio r

( x, y, z) = ( h + r cos(t ), k + r sen(t ), 0), t I = [0, 2]

4. Elipse, en el plano xy, ( xk )2a2

+ ( yk )2

b2 = 1

( x, y, z) = ( h + a cos(t ), k + b sen(t ), 0), t I = [0, 2]

5. Hiprbola, en el plano xy, ( xk )2a2

( yk )2b2

= 1

( x, y, z) = ( h + a sec(t ), k + b tan(t ), 0), t I = [0, 2]

6. La curva y = f ( x), x I tiene ecuacin paramtrica ( x, y( x)) , x I . Es decir sepuede tomar x como parmetro.

2.10 INTERSECCIN DE SUPERFICES.

Vamos a mostrar algunos ejemplos que tienen como propsito visualizar cmo un planocorta a otro plano o a otra supercie. Ms adelante nos dedicaremos a calcular las ecua-ciones (paramtricas) de las curvas de interseccin.

En los ejemplos que siguen, solamente por simplicidad, se trabaja en el primer octante.Como solo estamos tratando con cilindros lo que hacemos es extender cada supercie hastaque tenga contacto con la otra supercie. Estos puntos de interseccin son la gua parabosquejar (si se dibuja a mano) la curva de interseccin (o las curvas de interseccin).

EJEMPLO 2.17

Dibujar las curvas de interseccin, en el primer octante, de las supercies

1. z = 4 x2

4 y x+ y = 6

2. y = x2

y x+ y+ z = 6

3. z = 4 x2

4 y y x = 14. x+ y+ z = 6 y y = 5

5. x2 + y2 = 9 y y = x2


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siguientes ejemplos muestran como dibujar slidos

EJEMPLO 2.18

Dibujeel slido Q limitadoporlosplanos y+ z= 5, x = z= 0 y elcilindro z = 4 x2 .

Solucin

Primero dibujamos el cilindro z = 4 x2 y el plano y+ z = 5 y su respectiva inter-seccin:

Y5

4

2

Figura 2.40

Ahora podemos recortar el slido Q

X

Y

Z

2

4

5

Figura 2.41

El slido Q tiene cinco caras. Las caras de Q en los planos x = 0, y = 0 y z = 0son


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SLIDOS 69

X Y

Z

2

4

X Y

Z

2 55

X

Y

Z

25

4

Figura 2.42

Las otras dos caras son

X

Y

Z

1

1 2 3 4

1

2

3

X

Y

Z

1

1 2 3 4

1

2

3

Figura 2.43

EJEMPLO 2.19

Dibuje el slido limitado por los planos y+ z= 1, x = z= 0 y el cilindro y = x.Solucin

Para dibujar el cilindro y = x dibujamos su traza sobre el plano xy y la

desplazamos a lo largo del eje z Figura 2.44 Supercie y = x

Para dibujar el plano y+ z = 1 dibujamos su traza sobre el plano yz y la desplazamos a lolargo del eje x. Los otros planos son los planos coordenados. Aprovechamos para dibujarla interseccin de las supercies.


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El slido se muestra en la gura 2.45.

Figura 2.45 Slido limitado por y+ z = 1, x = z = 0 y y = x

Para algunas aplicaciones es importante conocer las ecuaciones de las curvas que formanlos bordes del slido.

Por ejemplo, la ecuacin de la curva C 1 se obtiene como el resultado de la interseccin delcilindro y = x y el plano z = 0, por tanto, su ecuacin esta dada por :

z = 0 y = x C 1 = x = t

y = t z = 0

con t [0, 1]


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SLIDOS 71

La curva C 2 es la interseccin del cilindro y = x y el plano y+ z = y su ecuacin es :

y = x y+ z = 1 z = 1 y = 1 x C 2 = x = t

y = t z = 1 t

con t [0,1]

La curva C 3 es la interseccin del planos y+ z = 1 y x = 0 y su ecuacin es :

y+ z = 1 x = 0 z = 1 y C 3 = x = 0

y = t

z = 1t con t [0,1]

EJEMPLO 2.20

Dibujeel slidolimitado porlosplanos 2 y+ z= 8, y = x, x = z = 0 yel cilindro z = 4 x2 .Ver gura 2.46.

Solucin


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Figura 2.46 Slido limitado por z = x2 + y2 + 1, x+ y = 2 y x = y = z = 0

La ecuacin de la curva C 1 se obtiene de la interseccin del cilindro z = 4 x2 y el plano y = x :

z = 4 x2 y = x C 1 = x = t

y = t

z = 4t 2con t [0, 2]

La curva C 2 se obtiene de la interseccin del cilindro z = 4 x2 y el plano 2 y+ z = 8 :

z = 4 x2 2 y+ z = 8 z = 82 y 4 x2 = 82 y

y = 2+ t 2

2

C 2 =

x = t

y = 2+ t 2

2

z = z = 4t 2con t [2, 4]

EJEMPLO 2.21


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SLIDOS 73

Dibuje el slido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 + 1 y los planos x + y = 2 y x = y = z = 0

Solucin

Observe que los planos coordenados x = y = z = 0 son fundamentales al momento dedibujar el slido, pues sino podramos obtener un slido no adecuado. La grca del slidose muestra en la gura 2.47.

Figura 2.47 Slido limitado por z = x2 + y2 +1, x+ y = 2 y x = y = z = 0

La curva C 1 es la interseccin de paraboloide z = x2 + y2 + 1 y el plano x+ y = 2 .

z = x2 + y2 + 1 x+ y = 2 y = 2 x z = x2 + ( 2 x)2 + 1 = 2 x24 x+ 5


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SLIDOS 75

P

Figura 2.48 Slido limitado por y+ z = 2, y+ z = 4 = 0, z = x y x = y = 0

Para hallar la ecuacin de la curva C 1 , observe que se obtiene como resultado de la inter-seccin de los planos x+ z = 2 y y+ z = 4 .

x+ z = 2 y+ z = 4 z = 2 x = 4 y y = 2+ x

con lo cual la ecuacin de la curva es

C 1 =

x = t

y = 2+ t

z = 2

t

con t [0, 1]

y+ z = 4 z = x y = 4 x C 2 = x = t

y = 4 t z = t

con t [0, 1]


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SLIDOS 77

EJEMPLO 2.26

Slido limitado por las siguientes supercies y+ x = 6, z = 4 x2/ 4 y x = y = z = 0.

EJEMPLO 2.27

Slido limitadopor las siguientes supercies y = 4, y+ x = 6, z = 4 x2/ 4 y x = y= z= 0.


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EJEMPLO 2.28

Slido limitado por las siguientes supercies y+ x = 5, x2 + z2 = 4, z = 2 y y = z = 0.

EJEMPLO 2.29

Slido limitado por las siguientes supercies y = x, y = x2 + 2, x+ z = 2 y x = z = 0.

EJEMPLO 2.30


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SLIDOS 79

Slido limitado por las siguientes supercies z = x2 + y2, 2 z3 x = 2, z = 4 y x = y = 0.

EJEMPLO 2.31

Slido limitado por las siguientes supercies y+ x = 1, z = 1 x2 y x = y = z = 0.

EJEMPLO 2.32

Slido limitado por las siguientes supercies y = x, z = 9

x2, 4 y+ z = 12 y x = z = 0.

EJEMPLO 2.33

Slido limitado por las siguientes supercies z = x2 + y2, z y = 6, y x = y = 0.


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EJEMPLO 2.34

Slido limitado por las siguientes supercies z = 6, z y = 6, z = y2 + x2 y x = y = 0.

EJEMPLO 2.35

Slido limitado por las siguientes supercies z+ y = 6, y = 4 x2 y x = y = z = 0.


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SLIDOS 81

EJEMPLO 2.36

Slido limitado por las siguientes supercies x = 4 y2, z+ y = 2, y x = y = z = 0.

Las pginas web con animacin 3D se encuentran en

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/index.htm

Los ejercicios de Slidos (con animacin 3D) estn en

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/7-solidos/Ejercicios-solidos/index3.html


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Captulo 3

DERIVADAS PARCIALES

3.1 DERIVADA PARCIAL.

La derivada de una funcin de una variable mide la rapidez de cambio de la variable depen-diente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemosmedir dos razones de cambio: una segn cambia y, dejando a x ja y otra segn cambia x, dejando a y ja.

Suponga que dejamos variar slo a x, dejando a y ja, digamos y = b , en donde b es unaconstante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una funcin de una sola variable x, a saber g( x) = f ( x, b) . Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivadaparcial de f con respecto a x en (a , b) . De forma anloga podemos hacerlo para y variabley x ja.

Denicin 3.1 (Derivada parcial) Sea f : DR 2

R

una funcin de dos variables ysea (a , b) D , entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a , b) est dada por

f x(a , b) = g (a ) = limh0

f (a + h, b) f (a , b)h

(1)

siempre y cuando el lmite exista.


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84 DERIVADAS PARCIALES

De forma similar denimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a , b) por

f y(a , b) = g (b) = limh0

f (a , b + h) f (a , b)h

(2)

Observacin: Los lmites (1) y (2) son en una variable por lo que podemos calcularlosusando las tcnicas aprendidas en cursos anteriores: factorizacin, racionalizacin, reglade L Hpital, etc.

EJEMPLO 3.1

Usando la denicin de derivada parcial calcule f y(1, 2) para f ( x, y) = 2 xy2 + x.

Solucin

Usando la denicin tenemos que:

f y(1,2) = g (2) = limh0

f (1, 2+ h) f (1,2)h

= limh0

2(2+ h)28h

= limh0

2(4+ h)1

= 8

Observacin: existen varias notaciones para la derivada parcial:

f x( x, y) = D x( x, y) = f ( x, y)

x

f y( x, y) = D y( x, y) = f ( x, y)

y

EJEMPLO 3.2

Imaginemos que una placa metlica de forma rectangular y delgada se calienta irregular-mente, de forma tal que la temperatura en el punto ( x, y) es T ( x, y) = 2 xy2 + x. Adems,suponga que x e y estn medidas en metros y la temperatura T en grados centgrados.Cmo vara la temperatura T en el punto (1, 2) cuando x permanece jo en x = 1 ?, Qu


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DERIVADA PARCIAL. 85

signica esto ?

Solucin

Del ejemplo 1 tenemos que f (1,2) = 8 con lo cual la rapidez de cambio de la temperaturaT en el punto (1, 2) es de 8 grados centgrados por metro, cuando x esta jo en 1. Elhecho de que sea positiva nos indica que la temperatura T de la placa aumenta a medidaque avanzamos sobre la recta x = 1 hacia y = 2 .

Puesto que la derivada parcial no es ms que la derivada ordinaria de la funcin g de unavariable que obtenemos al jar alguna de las variables x o y, su clculo se realiza de lamisma manera y usandolasmismas reglas quelasusadaspara lasfuncionesde unavariable.

Para calcular f x , considere a y como una constante y derive a f ( x, y) con respecto a x.

Para calcular f y , considere a x como una constante y derive a f ( x, y) con respecto a y.

EJEMPLO 3.3

Calcule la derivada parcial f y para f ( x, y) = xy

x2 y2 y tambin calcule f y(2,1)

Solucin

Usando la regla para la derivada del cociente

f y( x, y) = y( x2 y2) xy(2 y)

( x2 y2)2

= x3 xy2 + 2 xy2

( x2 y2)2

con lo cual f y(2, 1) = 109 .

EJEMPLO 3.4

Calcule z x y z y , si z est denida implcitamente como una funcin de x e y, mediante lasiguiente ecuacin

x3 + y3 + z3 + 6 xyz = 2


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88 DERIVADAS PARCIALES

X

Y

Figura 3.1

Pero podemos agregar el punto que falta deniendo f (0,0) = 0. Con esto f no solo quedacontinua sino que adems las derivadas parciales existen en (0,0). En efecto

f x(0,0) = limh0

f (h,0) f (0, 0)h

= limh0

0h2 0

h= lim

h00h

= 0

de igual manera f y(0,0) = 0.

3.2 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Recordemos que la grca de z = f ( x, y) representa una supercie S . Si f (a , b) = c ,entonces el punto P = ( a , b, c) esta sobre la supercie S . El plano vertical y = b intersecaa la supercie S en la curva C 1 (es decir, C 1 es la traza de la supercie S sobre el plano y = b . De manera semejante, el plano vertical x = a interseca a la supercie S en la curva

C 2 . Ambas curvas pasan por el punto P .Observe que la curva C 1 es la grca de la funcin g( x) = f ( x, b) de manera que la pen-diente de su recta tangenteT 1 en el punto P es g (a ) = f x(a , b). La curva C 2 es la grcade la funcin g( y) = f

cálculo superior teoría y ejemplos_walter mora f

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