Calculo

Octubre 2010

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La integral indefinida

Sean I ⊂ R un intervalo abierto y f : I −→ IR

DefinicionDiremos que F es primitiva de f en I si

F′(x) = f (x) , ∀x ∈ I

TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I,entonces,

∃k ∈ IR tal que F(x) = G(x)+ k , ∀x ∈ I

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La integral indefinida

DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremos integral indefinida de f alconjunto de todas sus primitivas, y escribiremos:∫

f (x)dx ={

F/

F′(x) = f (x), ∀x ∈ I}

I En consecuencia, si conocemos una primitiva F de f , conocemos todas:∫f (x)dx = {F+ k, ∀k ∈ IR}

Propiedad (linealidad de la integral)

I

∫[f (x)+g(x)] dx =

∫f (x)dx+

∫g(x)dx

I

∫α f (x)dx = α

∫f (x)dx, ∀α ∈ IR

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Integrales inmediatas

∫f (x)mf ′(x)dx =

1m+1

f (x)m+1 +C, m 6=−1∫ f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+C

∫ef (x) f ′(x)dx = ef (x)+C ∫

af (x) f ′(x)dx =af (x)

lna+C, a > 0, a 6= 1

∫[sin f (x)] f ′(x)dx =−cos f (x)+C∫

[cos f (x)] f ′(x)dx = sin f (x)+C

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Integrales inmediatas

∫ f ′(x)1+ f 2(x)

dx = arctan f (x)+C ∫ f ′(x)√1− f 2(x)

dx = arcsin f (x)+C

∫ f ′(x)sin2 f (x)

dx =−cot f (x)+C ∫ f ′(x)cos2 f (x)

dx = tan f (x)+C

∫[tan f (x)] f ′(x)dx =− ln |cos f (x)|+C∫

[cot f (x)] f ′(x)dx = ln |sin f (x)|+C

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Integracion por partes

∫u(x)v′(x)dx = (uv)(x)−

∫v(x)u′(x)dx

o bien, ∫udv = uv−

∫vdu

Es conveniente cuando el integrando es un producto de:I polinomio y exponencialI polinomio y seno o cosenoI exponencial y seno o coseno

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Integracion por cambio de variable

Sean:f : [a,b]−→ IR integrable,ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:

ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]

Entonces ∫f (x)dx =

∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt

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Sumas de RiemannSea un intervalo [a,b]⊂ IR y f : [a,b]−→ IR una funcion acotada.

DefinicionLlamamos particion P de [a,b] a un conjunto de puntos {x0,x1, . . . ,xn} queverifica:

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b

DefinicionDada una particion P, definimos

Mi = supxi−1≤x≤xi

f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi

f (x)

DefinicionLlamamos suma superior de Riemann y suma inferior de Riemann de lafuncion f relativas a la particion P a:

U(P, f ) =n

∑i=1

Mi(xi− xi−1) L(P, f ) =n

∑i=1

mi(xi− xi−1)

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Integral de Riemann

DefinicionDada una funcion f acotada, diremos que es integrable en [a,b] en el sentidode Riemann si y solo si:

∀ε > 0, ∃P particion de [a,b] tal que U(P, f )−L(P, f )< ε.

Escribiremos f ∈R[a,b].

Interpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo [a,b], su integral de Riemannrepresenta el area encerrada por la curva y = f (x) y el eje y = 0, entre lasabscisas x = a y x = b

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Teorema (de integrabilidad)

I Toda funcion continua en [a,b] es integrable en dicho intervalo

=⇒ Toda funcion derivable es continua, y por lo tanto integrableI Toda funcion monotona y acotada en [a,b] es integrable en dicho

intervaloI Toda funcion acotada en [a,b] que presenta en dicho intervalo un

numero finito de puntos de discontinuidad, es integrable en [a,b]I Sea f una funcion integrable en [a,b] en el sentido de Riemann, y tal

que:m≤ f (x)≤M, ∀x ∈ [a,b]

Si g es continua en [m,M], entonces la funcion compuesta (g◦ f ) esintegrable en [a,b]

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PropiedadSean f ,g ∈R[a,b]

I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf ) ∈R[a,b], ∀c ∈ IR, y se cumple:∫ b

a(f ±g)dx =

∫ b

af dx±

∫ b

agdx

∫ b

acf dx = c

∫ b

af dx

I Si f (x)≤ g(x) en [a,b], entonces∫ b

af dx≤

∫ b

agdx

I Si a < c < b, entonces f ∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b

af dx =

∫ c

af dx+

∫ b

cf dx

I Si |f (x)| ≤M, ∀x ∈ [a,b], entonces∫ b

af dx≤M(b−a)

I fg ∈R[a,b]

I |f | ∈R[a,b], y se cumple:∣∣∣∣∫ b

af dx∣∣∣∣≤ ∫ b

a|f |dx

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Teorema (fundamental del calculo)Sea f ∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:

F(x) =∫ x

af (t)dt.

Entonces, F ∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en [a,b], F entonces esderivable en [a,b], y F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].

Tambien puede enunciarse de la siguiente manera:Si f : I −→ IR es continua en I, entonces tiene primitivas en I; una

de ellas es la integral definida F dada por:

F(x) =∫ x

af (t)dt

donde a ∈ I es cualquiera.

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Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcion F derivable en [a,b] tal que F ′ = f ,entonces: ∫ b

af (x)dx = F(x)

∣∣∣∣ba= F(b)−F(a)

Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en [a,b], y se tiene:{

F ′ = fG ′ = g

en [a,b]

siendo f y g integrables en [a,b], entonces,∫ b

aF(x)g(x)dx = F(b)G(b)−F(a)G(a)−

∫ b

af (x)G(x)dx

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TeoremaSea la funcion F dada por la integral definida:

F(x) =∫ b(x)

a(x)f (t)dt

La derivada de F con respecto a x viene dada por:

F ′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x)

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Integracion numerica

La integral de una funcion no se calcula de forma exacta cuando

I solo conocemos sus valores en un numero finito de puntos

I su primitiva no se expresa en terminos de funciones elementales

ejemplos: f (x) = sinxx ; f (x) = e−x2

I su primitiva es muy costosa de calcular o de evaluarejemplo: f (x) = 1

(x−8)√

x2−4x−7

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Integracion numerica. Formulas simples

I Formula del rectangulo:∫ b

af (x)dx ≈ (b−a) f (x0) , x0 ∈ [a,b];

en particular, si x0 =a+b

2 , se conoce como formula del punto medio oformula de Poncelet

I Formula del trapecio:∫ b

af (x)dx ≈ b−a

2(f (a)+ f (b)

)I Formula de Simpson:∫ b

af (x)dx ≈ b−a

6

(f (a)+4 f (

a+b2

)+ f (b))

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Integracion numerica. Formulas compuestas

1. Dividimos el intervalo de integracion en subintervalos mas pequenos

xi = a+ ih (i = 0,1, . . . ,n) con h =b−a

n

2. Aproximamos la integral mediante una formula simple en cadasubintervalo ∫ b

af (x)dx =

n−1

∑i=0

∫ xi+1

xi

f (x)dx

I Formula del punto medio compuesta:

∫ b

af (x)dx ≈ h

n−1

∑i=0

f (xi + xi+1

2)

I Formula del trapecio compuesta:

∫ b

af (x)dx ≈ h

2

(f (x0)+2

n−1

∑i=1

f (xi)+ f (xn))

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Integracion impropia

DefinicionLa integral

∫ b

af (x)dx se denomina impropia si cumple al menos una de las

condiciones siguientes:I el intervalo (a,b) no es acotado

I f no esta acotada en (a,b)

Clasificamos las integrales impropias en 3 tipos.

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Integrales impropias de primera especieSea f : (−∞,b]−→ IR integrable en [m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b

−∞

f (x)dx = lımm→−∞

∫ b

mf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.

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Integrales impropias de primera especieDe igual forma se define:∫ +∞

af (x)dx = lım

M→+∞

∫ M

af (x)dx

Tambien definimos∫ +∞

−∞

f (x)dx =∫ a

−∞

f (x)dx+∫ +∞

af (x)dx

si ambas integrales convergen, en cuyo caso la definicion no depende dea ∈ IR

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Integrales impropias de segunda especie

Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno de los extremosdel intervalo, por ejemplo en a. Si f es integrable en [t,b] para todo t tal quea≤ t ≤ b, entonces definimos:∫ b

af (x)dx = lım

t→a+

∫ b

tf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.

Si la funcion pierde el caracter acotado en un punto c ∈ (a,b), definimos:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx+

∫ b

cf (x)dx

donde las dos ultimas integrales se han descrito anteriormente.

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Integrales impropias de segunda especie

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Integrales impropias de tercera especie

Corresponden a un intervalo no acotado y una funcion no acotada en unnumero finito de puntos del intervalo.

EjemploLa integral ∫

∞

0

1x

dx

se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫∞

0

1x

dx =∫ 1

0

1x

dx︸ ︷︷ ︸2a especie

+∫

∞

1

1x

dx︸ ︷︷ ︸1a especie

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Area de superficies planas

Sean las funciones f ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces el area A limitadapor los grafos de ambas, las rectas x = a y x = b viene dada por:

A =∫ b

a|f (x)−g(x)| dx

Caso particular: g(x) = 0, luego A =∫ b

a|f (x)| dx

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Longitud de un arco de curva

Sea f ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo de f que une los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)) es:

`=∫ b

a

√1+ f ′(x)2 dx

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Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un plano perpendicular al ejeOX, para cada x ∈ [a,b] produce una seccion de area A(x).El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = a y x = b es:

V =∫ b

aA(x)dx

I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir de las areasde las secciones producidas por planos perpendiculares al eje OY en elintervalo [a,b].

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Volumen de un solido

Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del eje OX, se construye una figura cuyo volumenes:

V = π

∫ b

af (x)2 dx

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Superficie lateral de revolucion

El area lateral del solido construido al girar el grafo de f : [a,b]−→ IRalrededor del eje OX, donde f es una funcion de clase C 1, se calculamediante:

AL = 2π

∫ b

af (x)

√1+ f ′(x)2 dx

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