1) Sea

a) f(x) es integrable? Justifique.

b) De ser integrable, halle la integral

2) , evaluar por todos los mtodos necesarios.

3) Diga porque cada una de las integrales son impropias. a) b) Averige si son convergentes o divergentes. Justifique cada una.4) Resuelva las siguientes integrales.a)

b)

5) Mediante el lmite de suma de Riemann, halle el rea de la regin limitada por el eje x y un arco de la grfica de sin2(X), x [0, ] sabiendo que particin, k es entero 0.

Solucionario1) Sea la funcin a) Para que la funcin sea integrable en el intervalo ; debe ser continua para todo x . Analizando con mas detalles la funcin, tenemos que: 1 2De 1 y 2 Cualquier valor de x que no cumple con la condicione entonces la funcin no existir para tales valores por consecuencia no ser continua, por lo tanto la funcin no ser integrable para los valores de b) Para integrar la funcin Completaremos el cuadrado:

Sustituimos

Sustituimos Luego De la integral tendramos:

Sustituyendo ;

2) .1.- Para hallar esta integral, primero se separar en dos fracciones racionales:

Resolviendo:a = 1b = -1c = 0d= 2

Entonces tenemos:

Ahora, a la primera funcin racional multiplicamos por 2 al numerador y al numerador:

2.- Reemplazando en la integral, tendremos:123

Resolvemos cada integral por separado, Para la primera integral,

Para la segunda integral,

Para la ltima integral, de forma similar

3.- Finalmente juntamos los resultados,

3) Para analizar estos problemas, debemos hacer uso de la teora de las integrales impropias:

a) Al analizar la funcin , la funcin no est definida para x=5 y x=-5, por consecuencia haremos uso del concepto de las integrales impropias para determinar la convergencia o divergencia:

Hacemos

La integral converge a -5. b) Al analizar la funcin , la funcin no est definida para x=, por consecuencia haremos uso del concepto de las integrales impropias para determinar la convergencia o divergencia:

Hacemos

La integral converge a 2.4) a) Hacemos

b) Hacemos

5) Mediante el lmite de suma de Riemann, halle el rea de la regin limitada por el eje x y un arco de la grfica de sin2(X), x [0, ] sabiendo que particin, k es entero 0.

Siendo una funcin continua en el intervalo [0, ] cuya interpretacin grafica es:

Siendo R una regin limitada por la grafica , por las rectas x=0 y x= sobre el eje x.Denominaremos al rea de la regin R y representaremos por:

Donde:

Entonces:

Para hallar la sumatoria de sin(X) al cuadrado, usaremos identidades trigonomtricas; Como: ; Donde Luego, se la separara en dos sumatorias;

Y para la sumatoria de usaremos la propiedad de la telescpica.Para usar esta propiedad se har uso la siguiente identidad trigonomtrica: .1Donde: y A= y B= Aplicamos sumatoria en 1, a cada lado: 2Completando:

La propiedad de las telescpica nos dice que,

Aplicando esta definicin, tenemos:

Reemplazando en 2,

Finalmente estos resultados obtenidos lo reemplazamos en el lmite de suma de Riemann.