cálculo ii. guía para vipi

Prof. Rafael Cristancho 1

Subproyecto: Cálculo Integral

Módulo I: Integral Indefinida.

ANTIDERIVADA

Definición #1: Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo

I si '( ) ( )F x f x para todo valor de x en I .

Ejemplo: Si F es la función definida por 3 2( ) 4 5F x x x , entonces

2(́ ) 12 2F x x x .

De modo que si f es la función definida por 2( ) 12 2f x x x entonces f es la derivada

de F , y F es la antiderivada de f . Si G es la función definida por 3 2( ) 4 17G x x x ,

entonces G es también antiderivada de la función f ya que 2(́ ) 12 2G x x x . En

conclusión la función 3 2( ) 4F x x x c es Antiderivada de f .

Teorema #1: Si y f g son dos funciones definidas en un intervalo I , tales que

'( ) '( )f x g x para todo x en I , entonces existe una constante K tal que ( ) ( )f x g x K

para toda x en I .

Demostración: Sea h una función definida en el intervalo I mediante ( ) ( ) ( )h x f x g x ,

con lo cual '( ) '( ) '( )h x f x g x . Por hipótesis '( ) '( )f x g x para todo x en I . Por lo

tanto '( ) 0h x para todo x en I . Así se tiene que ( )h x K para todo x en I . Luego se

tiene que ( ) ( ) ( ) ( )K f x g x f x g x K

Teorema #2: Si F es antiderivada particular de la función f en el intervalo I, entonces

cada antiderivada de f en I está dada por ( )F x c , donde c es una constante arbitraria, y

todas las antiderivadas particulares se obtienen asignándole valores particulares a c.

Demostración: Sea G antiderivada de f en el intervalo I, entonces '( ) ( )G x f x para toda x

en I. Sea F otra antiderivada de f en I, entonces '( ) ( )F x f x para toda x en I. Luego

'( ) '( )G x F x para toda x en I. Por teorema #1 se tiene que ( ) ( )G x F x c .

Observación: La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se

determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. Denotaremos las



antiderivadas por el símbolo , por lo tanto, si F es antiderivada de f en el intervalo I,

entonces ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x c F x f x

Teorema #3 dx x c

Teorema #4: ( ) ( )af x dx a f x dx siendo a una constante

Teorema #5: Si f y g son dos funciones definidas en el mismo intervalo, entonces

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Teorema #6: Si 1 2, ,...., nf f f están definidas en el mismo intervalo, entonces

1 1 2 2 1 1 2 2( ( ) ( ) .... ( )) ( ) ( ) ... ( )n n n nc f x c f x c f x dx c f x dx c f x dx c f x dx siendo

1 2, ,..., nc c c son constantes.

Teorema #7: Si n es un número racional, entonces 1

( 1)1

nn x

x dx c nn

Teorema #8: Sea g una función derivable y sea el contradominio de g algún intervalo I.

Supongamos que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I.

Entonces ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c

Demostración: Por hipótesis F es antiderivada de f en I '( ( )) ( ( )) ( )F g x f g x I .

Por otro lado, aplicando la regla de la cadena para derivadas se tiene que:

( ( ( )) '( ( )) '( ) ( )d F g x F g x g x II . Sustituyendo (I) en (II) se tiene que:

( ( ( )) ( ( )) '( )d F g x f g x g x por lo tanto ( ( ))F g x es antiderivada de ( ( )) '( )f g x g x y por

consiguiente ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c



Teorema #9: Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces

11

( ) '( ) ( ) ( 1)1

n ng x g x dx g x c n

n

Problemas Resueltos.

1.- Calcular 72x dx

Solución: Utilizando el Teorema 1

( 1)1

nn x

x dx c nn

se tiene que:

7 1 87 7 7 72 2 2 2 2 2 2

7 1 8

x xx dx x dx x dx c x dx c

872 ( 2 )

4

xx dx k k c

2.- Calcular 3

2dx

x

Solución: Utilizando el Teorema

1

( 1)1

nn x

x dx c nn

se tiene que:

23

13

133 3 3

2 2 2 22 2

23

xdx dx dx x dx dx c

xx x x

2

3

3

23dx x c

x

3.- Calcular 2 36t tdt

Solución: En este caso se tiene que:

132 236 6t tdt t t dt aplicando propiedades de potencia se tiene que:

732 36 6t tdt t dt

732 36 6t tdt t dt Aplicando el teorema

1

( 1)1

nn x

x dx c nn

tenemos que:



10

310 10

3 32 2 23 3 318 96 6 6 6

10 10 53

tt tdt c t tdt t c t tdt t c

4.- Calcular 3 2(2 3)y y dy

Solución: Aplicando la Propiedad Distributiva de los Números Reales tenemos que:

3 2 5 3(2 3) (2 3 )y y dy y y dy 3 2 5 3(2 3) 2 3y y dy y dy y dy

3 2 5 3(2 3) 2 3y y dy y dy y dy 6 4

3 2(2 3) 2 36 4

y yy y dy c

3 2 6 41 3(2 3)

3 4y y dy y y c

5.- Calcular 4 22 1y y

dyy

Solución:

12

12

4 2 4 2 4 24 22 1 2 1 2 1

( 2 1)y y y y y y

dy dy dy y y y dyyy y

1 1 12 2 2

4 24 22 1

( 2 )y y

dy y y y y y dyy

7 3 12 2 2

4 22 1( 2 )

y ydy y y y dy

y

7 3 12 2 2

4 22 12

y ydy y dy y dy y dy

y

7 3 12 2 2

4 22 12

y ydy y dy y dy y dy

y

9 5 12 2 24 22 1

29 5 1

22 2

y y y y ydy c

y

9 5 12 2 2

4 22 1 2 42

9 5

y ydy y y y c

y

6.- Calcular

21

t dtt



Solución: Aplicando Producto Notables se tiene que:

2

2

2

1 12t t

t t

Por lo tanto

2

2

2

1 12t dt t dt

t t

2

2

2

12

dtt dt t dt dt

t t

2

2 212t dt t dt dt t dt

t

2 3 11

23 1

t tt dt t c

t

2

31 1 12

3t dt t t c

t t

7.- Calcular 8

2 5x dx

Solución: Aplicando la regla de la cadena para integrales se tiene que: Sea 2 5u x

22

dudu dx dx por lo tanto

8 82 52

dux dx u

8 812 5

2x dx u du

9

8 12 5

2 9

ux dx c

8 912 5 2 5

18x dx x c

8.- Calcular 5 3

dx

x

Solución: Aplicando la regla de la cadena tenemos que: 5 3 3z x dz dx

3

dzdx Luego

1

35 3

dx dz

x z

1

35 3

dx dz

x z

12

1

35 3

dx dz

zx

1

21

35 3

dxz dz

x

121

135 32

dx zc

x

1

22

35 3

dxz c

x

. Como 5 3z x se tiene 2

5 335 3

dxx c

x

9.- Calcular 3

xdx

x

Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que: 3u x du dx



:: 3 3u x u x . Luego tenemos que: 3

3

xdx udu

x u

12

3

3

xdx udu

ux

1

2( 3)3

xdxu u du

x

1 12 2( 3 )

3

xdxu u du

x

1 12 23

3

xdxu du u du

x

1 12 23

3

xdxu du u du

x

3 12 2

33 13

22

xdx u uc

x

3 1

2 22

633

xdxu u c

x

:: 3u x tenemos que:

3 12 2

2( 3) 6( 3)

33

xdxx x c

x

10.- Calcular 1

45 31y y dy

Solución: 1 1

4 45 3 3 3 21 1y y dy y y y dy Sea

3 2 21 33

duu y du y dy y dy

3 3:: 1 1u y u y por lo tanto se tiene que:

1

1445 31 ( 1)

3

duy y dy u u

1

5 144 45 3 1

1 ( )3

y y dy u u du 1

5 144 45 3 1 1

13 3

y y dy u du u du

9 5

4 4145 3 1 1

19 53 3

4 4

u uy y dy c

19 54

4 45 3 4 41

27 15y y dy u u c

3:: 1u y 1

9 544 45 3 3 34 4

1 (1 ) (1 )27 15

y y dy y y c

11.- Calcular 1

dx

x

Solución: Sea 1 22

dxu x du xdu dx

x :: 1 1u x x u por lo

tanto se tiene que: 2( 1)u du dx así 2( 1)

1

dx u du

ux



122( 1)

1

dxu u du

x

1 1

2 2(2 2 )1

dxu u du

x

1 1

2 22 21

dxu du u du

x

3 1

2 2

2 23 11 22

dx u uc

x

3 12 2

44

31

dxu u c

x

:: 1u x

3 12 2

4( 1) 4( 1)

31

dxx x c

x

12.- Calcular

32 2

2

1 1xx dx

x x

Solución: Sea 2

1 11u x du dx

x x

2

2

1xdu dx

x

Por lo tanto se tiene que:

32

32

2

2

1 1xx dx u du

x x

3 52 22

2 52

1 1x ux dx c

x x

32

52

2

2

1 1 2

5

xx dx u c

x x

1::u x

x

3 52 22

2

1 1 2 1

5

xx dx x c

x x x

13.- Calcular 3

22

1

( 1)dx

x

Solución: 3 3

2 22

2

2

1 1

( 1) 11

dx dxx

xx

3 32 22

3

2

1 1

( 1) 11

dx dxx

xx

2 3 3

1 21

2

dx du dxu du

x x x

con lo cual 3 3

2 22

1 2

( 1)

du

dxx u

32

322

1 1

2( 1)dx u du

x

12

322

1 1

12( 1)2

udx c

x

3 1

222

1 1

( 1)dx c

ux



2

1:: 1u

x

3 1222

2

1 1

( 1) 11

dx cx

x

3 1222 2

2

1 1

( 1) 1dx c

x x

x

3 1

22

12

2 2

2

1 1

( 1) 1

( )

dx cx x

x

3 1

222 2

1

( 1) 1

xdx c

x x

322 2

1

( 1) 1

xdx c

x x

14.- Calcular 2 2 31 ( 1)

xdx

x x

Solución: 3

22 22 2 3 1 ( 1)1 ( 1)

xdx xdx

x xx x

122 2 22 2 3 1 ( 1)( 1)1 ( 1)

xdx xdx

x x xx x

122 22 2 3 ( 1)(1 ( 1) )1 ( 1)

xdx xdx

x xx x

122 22 2 3 1 1 ( 1)1 ( 1)

xdx xdx

x xx x

Sea 1

221 ( 1)u x 1

22( 1)

xdxdu

x

con lo cual

2 2 31 ( 1)

xdx du

ux x

12

2 2 31 ( 1)

xdxu du

x x

12

2 2 3 11 ( 1) 2

xdx uc

x x

12

2 2 3

2

1 ( 1)

xdxu c

x x

122:: 1 ( 1)u x

2

2 2 3

2 1 1

1 ( 1)

xdxx c

x x



INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Teorema #10: Si ( )u g x es una función derivable en un intervalo I, entonces:

1. ( ) cos cosd senu udu udu senu c

2. (cos ) cosd u senudu senudu u c

3. 2 2(tan ) sec sec tand u udu udu u c

4. 2 2( ) csc cscd ctgu udu udu ctgu c

5. (sec ) sec tan sec tan secd u u udu u udu u c

6. (csc ) csc csc cscd u uctgudu uctgudu u c


1.- Calcular (3 2cos )sent t dt

Solución:

(3 2cos ) 3 2 cossent t dt sentdt tdt (3 2cos ) 3cos 2sent t dt t sent c

2.- Calcular 2cos

senxdx

x

Solución: 2

1

cos cos cos

senx senxdx dx

x x x 2

sec tancos

senxdx x xdx

x

2sec

cos

senxdx x c

x

3.- Calcular 23tan 4cos

cosy

y ydy



Solución: 2 23tan 4cos 3tan 4cos

cos cos cos

y y y ydy dy

y y y

23tan 4cos

3sec tan 4coscos

y ydy y y y dy

y

23tan 4cos3 sec tan 4 cos

cos

y ydy y ydy ydy

y

23tan 4cos3sec 4

cos

y ydy y seny c

y

4.- Calcular cos 4 d

Solución: Sea 4 44

duu du d d con lo cual se tiene que:

cos 4 cos4

dud u

1cos 4 cos

4d udu

1cos 4

4d senu c

1cos 4 4

4d sen c ya que 4u

5.- Calcular 2 36x senx dx

Solución: 2 3 2 26 2 ( )3x senx dx sen x x dx Sea 3 23u x du x dx con lo cual se tiene

que: 2 36 2x senx dx senudu 2 36 2cosx senx dx u c

2 3 36 2cosx senx dx x c

6.- Calcular 2 2 cos 2sen x xdx

Solución: Sea 2 cos2 2 2 22

duu x du sen xdx sen xdx así tenemos que:



2 2 cos22

dusen x xdx u

12

12 2 cos2

2sen x xdx u du

321

2 2 cos 232

2

usen x xdx c

32

12 2 cos2 (2 cos2 )

3sen x xdx x c

FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

Definición: La función logaritmo natural es la función definida por 1

1ln

x

x dtt

, x

positivo.

Teorema #11: Si u es una función derivable en x y ( )u x es positivo, entonces

1(ln )x xD u D u

u

Teorema #12: ln1 0

Teorema #13: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces

ln( ) ln lnab a b

Demostración: Consideremos las siguientes funciones: ( ) ln( )f x ax y ( ) lng x x ,

entonces 1 1 1

'( ) ( ) ' '( ) '( )f x ax f x a f xax ax x

y 1

'( )g xx

. Por lo tanto

'( ) '( )f x g x y en consecuencia ( ) ( ) ln( ) lnf x g x k ax x k .

Hacemos 1x y se tiene que: ln( 1) ln1 ln 0 lna k a k k a , con lo cual se

tiene que ln( ) ln lnax x a . Hacemos ahora x b obteniéndose que ln( ) ln lnab a b

Teorema #14: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces ln( ) ln lna

a bb

Demostración: Como a

a bb

, entonces ln ln( ) ln ln( ) lna a

a b a bb b

, con lo cual se

tiene que ln( ) ln lna

a bb



Teorema #15: Si a es cualquier número positivo y r es cualquier número racional, entonces

ln lnra r a

Demostración: Consideremos las siguientes funciones: ( ) ln rf x x y ( ) lng x r x ,

entonces 1

'( ) '( )r

r

rx rf x f x

x x

y '( )r

g xx

, por lo tanto ( ) ( )f x g x c , ie,

ln lnrx r x k . Hacemos 1x y se tiene que 0k por lo que se tiene que ln lnrx r x .

Ahora hacemos x a teniéndose que ln lnra r a

Teorema#16: Si u es una función derivable en x, entonces 1

(ln )x xD u D uu

Teorema #17: lndu

u cu

Teorema #18: Si u es una función derivable en la variable x, entonces:

1. tan ln secudu u c

2. lnctgudu senu c

3. sec ln sec tanudu u u c

4. csc ln cscudu u ctgu c


1.- Calcular 3 2

dx

x

Solución: Sea 3 2 22

duu x du dx dx con lo cual tenemos que:

1

3 2 2

dx du

x u

1

3 2 2

dx du

x u

1

ln3 2 2

dxu c

x



:: 3 2u x 1

ln 3 23 2 2

dxx c

x

2.- Calcular 2 1

( 1)

xdx

x x

Solución: Sea 2( 1) (2 1)u x x u x x du x dx así se tiene que:

2 1 2 1ln

( 1) ( 1)

x du xdx dx u c

x x u x x

2 1

ln ( 1)( 1)

xdx x x c

x x

3.- Calcular (tan 2 sec2 )x x dx

Solución: Sea 2 22

duu x du dx dx Luego se tiene que:

(tan 2 sec2 ) (tan sec )2

dux x dx u u

1 1(tan 2 sec2 ) tan sec

2 2x x dx udu udu

1 1(tan 2 sec2 ) ln sec ln sec tan

2 2x x dx u u u c

1 1(tan 2 sec2 ) ln sec2 ln sec2 tan 2

2 2x x dx x x x c

1 sec2(tan 2 sec2 ) ln

2 sec2 tan 2

xx x dx c

x x

4.- Calcular 3

2

2

4

xdx

x

Solución: 3 2

2 2

22

4 4

x xdx xdx

x x

Sea 2 4 2w x dw xdx 2 2:: 4 4w x x w así se tiene que:



3

2

2 4

4

x wdx dw

x w

3

2

2 41

4

xdx dw

x w

3

2

24

4

x dwdx dw

x w

3

2

24ln

4

xdx w w c

x

3

2 2

2

24 4ln 4

4

xdx x x c

x

3

2 2

2

24ln 4 ( 4)

4

xdx x x k k c

x

5.- Calcular 22 ln

(1 ln )

xdx

x x

Solución: Sea 1 lndx dx

u x du dux x

:: 1 ln ln 1u x x u con lo cual:

2 22 ln 2 (1 )

(1 ln )

x udx du

x x u

2 22 ln 2 1 2

(1 ln )

x u udx du

x x u

2 22 ln 3 2

(1 ln )

x u udx du

x x u

22 ln 3

2(1 ln )

xdx u du

x x u

22 ln

3 2(1 ln )

x dudx du udu

x x u

2

22 ln 13ln 2

(1 ln ) 2

xdx u u u c

x x

2

22 ln 13ln 1 ln 2(1 ln ) (1 ln )

(1 ln ) 2

xdx x x x c

x x

2

22 ln 13ln 1 ln 2 2ln (1 2ln ln )

(1 ln ) 2

xdx x x x x c

x x

2

22 ln 13ln 1 ln ln ln

(1 ln ) 2

xdx x x x k

x x

6.- Calcular 5 3 2

3

3 2 5 2

1

x x xdx

x

Solución: 5 3 2 3:: (3 2 5 2) ( 1)gr x x x gr x apliquemos el algoritmo de la división

euclidiana se tiene que:



5 4 3 2 3 2

5 4 3 2 2

3 2

3 2

2

3 0 2 5 0 2 0 0 1

3 0 0 3 3 2

2 2 0 2

2 0 0 2

2

x x x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x

Así se tiene que: 5 3 2 3 2 23 2 5 2 ( 1)(3 2) 2x x x x x x

5 3 2 22

3 3

3 2 5 2 23 2

1 1

x x x xx

x x

5 3 2 2

2

3 3

3 2 5 2 23 2

1 1

x x x xdx x dx dx dx

x x

5 3 2 2

2

3 3

3 2 5 23 2 2 ( )

1 1

x x x xdx x dx dx dx i

x x

Calcular 23 2x dx dx 2 3

13 2 2 ( )x dx dx x x c ii

Calcular 2

32

1

xdx

x Sea 3 2 21 33

duu x du x dx x dx

2

3

12 2

1 3

x dudx

x u

2

3

22

1 3

x dudx

x u

2

23

22 ln ( )

1 3

xdx u c iii

x

Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

5 3 23 3

1 23

3 2 5 2 22 ln 1

1 3

x x xdx x x c x c

x

5 3 2

3 3

3

3 2 5 2 22 ln 1

1 3

x x xdx x x x c

x

7.- Calcular 2 2(1 ) ln( 1 )

dx

x x x

Solución: 2 2 2 2(1 ) ln( 1 ) 1 ln( 1 )

dx dx

x x x x x x



Sea 2

2

2

11

ln( 1 )1

x

xu x x du dx

x x

21 x x

du

2

2

1

1

x

x x

dx21

dxdu

x

Con lo cual se tiene que:

2 2(1 ) ln( 1 )

dx du

ux x x

12

2 2(1 ) ln( 1 )

dxu du

x x x

12

2 2 1(1 ) ln( 1 ) 2

dx uc

x x x

122

2 2

2(ln( 1 ))

(1 ) ln( 1 )

dxx x c

x x x

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Definición: La función exponencial natural es la inversa de la función logarítmica natural

la cual se define como exp( ) lnx y x y

Definición: Si a es cualquier número real positivo y x es cualquier número real, entonces

exp( ln )xa x a

Teorema #19: Si a es un número positivo real cualesquiera y x es un número real, entonces

ln lnxa x a

Demostración: Por definición exp( ln )xa x a . Y por definición se tiene que ln lnxa x a

Definición: El número e es el valor de la función exponencial en 1. exp(1) e

Teorema #20: ln 1e

Demostración: Por definición tenemos que exp(1) e . Y por definición se tiene que:

ln 1e

Teorema #21: Para todo valor de x, exp( ) xx e

Demostración: Por definición exp( ln )xe x e . :: ln 1 exp( .1) exp( )x xe e x e x



Teorema #22: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a b a be e e

Demostración: Sean aA e y bB e . Entonces por definición se tiene que

ln y lnA a B b . Luego por teorema ln ln ln lnAB A B AB a b y por

definición se tiene que: a b a b a bAB e e e e

Teorema #23: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a

a b

b

ee

e

Teorema #24: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces ( )a b abe e

Teorema #25: Si u es una función derivable en x, entonces ( )u u u ud e e du e du e c

Definición: Si a es un número real positivo cualesquiera y u es una función derivable en x,

entonces 1

( ) lnln

u u u ud a a adu a du a ca


1.- Calcular 2 5xe dx

Solución: Sea 2 5 55

duu x du dx dx así se tiene que:

2 5

5

x u due dx e

2 5 1

5

x ue dx e du 2 5 1

5

x ue dx e c 2 5 2 51

5

x xe dx e c

2.- Calcular 3

3 2(1 2 )

x

x

edx

e

Solución: Sea 3 3 31 2 66

x x xduu e du e dx e dx Luego:



3

3 2 2

1

(1 2 ) 6

x

x

e dudx

e u

3

3 2 2

1

(1 2 ) 6

x

x

e dudx

e u

3

2

3 2

1

(1 2 ) 6

x

x

edx u du

e

3 1

3 2

1

(1 2 ) 6 ( 1)

x

x

e udx c

e

3

3 2

1 1

(1 2 ) 6

x

x

edx c

e u

3

3 2 3

1

(1 2 ) 6(1 2 )

x

x x

edx c

e e

INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA INVERSAS

Teorema #26: Si u es una función derivable en x, entonces:

1. 1

2( )

1

dud sen u

u

2. 1

2(cos )

1

dud u

u

3. 1

2(tan )

1

dud u

u

4. 1

2( )

1

dud ctg u

u

5. 1

2(sec )

1

dud u

u u

6. 1

2(csc )

1

dud u

u u

Demostración:

Sea 1 ( ) coscos

duw sen u senw u d senw du wdw du dw

w



1 2 1

2:: cos 1 ( )

1

duw sen u w sen w senw u d sen u

u

. Se considera la

parte positiva de la función coseno. Similarmente se pueden demostrar las demás derivadas.

El siguiente teorema nos presenta las antiderivadas de dichas funciones.

Teorema #27: Si u es derivable en x, entonces:

1. 1

21

dusen u c

u

2. 1

2tan

1

duu c

u

3. 1

2sec

1

duu c

u u

4. 1

2 2

du usen c

aa u

5. 1

2 2

1tan

du uc

a u a a

6. 1

2 2

1sec

du uc

a au u a

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Definición #6: La función seno hiperbólico y coseno hiperbólico, denotadas

respectivamente por y coshsenh , se definen por: ( )2

x xe esenh x

y

cosh( )2

x xe ex

donde x es cualquier número real.

Observación: De la definición anterior se puede demostrar que la función seno hiperbólico

es una función par y que la función coseno hiperbólico es una función par.

Teorema #29: Si u es una función derivable en x, entonces:



1. ( ) coshx xD senhu uD u

2. (cos )x xD hu senhuD u

Definición #7: Las funciones: tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante

hiperbólica y cosecante hiperbólica, se definen y denotan por:

tanhcosh

x x

x x

senhx e ex

x e e

,

cosh x x

x x

x e ectghx

senhx e e

,

1 2sec

cosh x xhx

x e e

,

1 2csc

x xhx

senhx e e

Teorema #30: Identidades Hiperbólicas:

(a) 1

tanh xctghx

(b) 2 2cosh 1x senh (c) 2 21 tanh secx h x

(d) 2 21 cscctgh x h x (e) ( ) cosh coshsenh x y senhx y senhy x

(f) cosh( ) cosh coshx y x y senhxsenhy (g) 2 2 coshsenh x senhx x

(h) 2 2cosh 2 coshx x senh x


1. 2(tanh ) secx xD u h uD u

2. 2( h ) cscx xD ctg u h uD u

3. (sec ) sec tanhx xD hu hu uD u

4. (csc ) cscx xD hu huctghuD u


1. coshsenhudu u c



2. coshudu senhu c

3. 2sec tanhh udu u c

4. 2csch udu ctghu c

5. sec tanh sechu udu hu c

6. csc cschuctghudu hu c

PROBLEMAS PROPUESTOS.

En los problemas del 1 al 43, calcular la integral indefinida dada.

1.- 2 25a x dx 2.- ( )( )x x a x b dx 3.- 3 2( )a bx dx 4.- 2 pxdx

5.- n

dx

x 6.- ( 1)( 1)x x x dx 7.- 2 2

4

2 2

4

x xdx

x

8.- 3x xe dx

9.- 2 3

2 1

xdx

x

10.- lnx x

dxx

11.- xdx

a bx 12.- 2 1

1

xdx

x

13.- 2

3 2

5 7

xdx

x

14.- 2

7xx dx 15.-

1

2

xedx

x 16.- 4 4

xdx

a x 17.- 21

x

x

adx

a 18.- 21

arcsenxdx

x

19.- 2 1x

x

adx

a

20.- 1

2 3xdx

21.- cos

dx

senx x 22.- 2 2

cos

cos

senx xdx

x sen x

23.- 21 3cos 2xsen xdx 24.- 55 25x x dx 25.- 3

8 5

xdx

x 26.- 3

4

1

4 1

xdx

x x

27.- 2

2sen xe sen xdx 28.- 2

2

sec

4 tan

xdx

x 29.- 2

2

ln( 1

1

x xdx

x

30.- 21 cos

dx

x



31.- 2

cos 2

4 cos 2

xdx

x 32.- 3

4

x xdx

x

33.-

2

tan 1

cos

xdx

x

34.- 3 2

3

cos 3

sen xdx

x

35.- 2( )x x

x x

a bdx

a b

36.- 2 2 5

dx

x x 37.- 23 2 4

dx

x x 38.- 2

3 2

5 3 2

xdx

x x

39.- 22 3 4

dx

x x 40.- 1

1

xdx

x

41.- 2

1

4dx

x x 42.- 2

1

( 1) 2dx

x x x

43.- 4 22 2

xdx

x x

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Definición #8: La función seno hiperbólico inverso, la cual denotaremos por 1senh x , se

define por: 1y senh x senhy x , donde y es cualquier número real. La función coseno

hiperbólico inverso, la cual denotaremos por 1cosh x , se define por

1cos cosy h x hy x con 0y

Definición #9: Se definen y denotan las funciones tangente hiperbólica inversa y

cotangente hiperbólica inversa como: 1tan tany h x hy x donde y es cualquier

número real; 1y ctgh x ctghy x donde ( ,0) (0, )y

Observación: No se tratarán las funciones secante hiperbólicas inversas y cosecante

hiperbólicas inversas debido a que rara vez se utilizan.

Teorema #33:

1. 1 2ln( 1) ( )senh x x x x R

2. 1 2cos ln( 1) 1h x x x x



3. 1 1 1tan ln 1

2 1

xh x x

x

4. 1 1 1ln 1

2 1

xctgh x x

x

Módulo II: Técnicas de Integración

1.- INTEGRACIÓN POR PARTES:

Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se

obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones

derivables, entonces ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))d f x g x f x d g x g x d f x , ie,

( ( ) ( )) ( ) '( ) ( ) '( )d f x g x f x g x dx g x f x dx . Luego despejando se tiene que:

( ) '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( )f x g x dx d f x g x g x f x dx . Integrando en ambos miembros de la igualdad

se tiene que: ( ) '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( )f x g x dx d f x g x g x f x dx . Hacemos

( ) ( ( )) '( )f x u d f x du f x dx du , ( ) ( ( )) '( )g x v d g x dv g x dx dv .

Sustituyendo se tiene que: ( )udv d uv vdu . Pero ( )d uv uv , con lo cual se tiene

que: udv uv vdu

Ejemplos:

1.- Calcular lnx xdx

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:

Sea lndx

u x dux

, 2

1

1

2dv xdx dv xdx v x c . Luego se tiene que:

2 2

1 1

1 1ln ln

2 2

dxx xdx x c x x c

x

2 2

1 1

1 1ln ln ln

2 2

dx dxx xdx x x c x x c

x x



2

1 1

1 1ln ln ln ln

2 2x xdx x x c x xdx c x c

2 21 1 1ln ln

2 2 2x xdx x x x c

2 21 1ln ln

2 4x xdx x x x c

Observación: Nótese que 2

1

1

2dv xdx v x c , por lo tanto para este caso se hace

1 0c , ya que dicha constante, al sustituirla en udv uv vdu , se elimina.

2.- Calcular cosx xdx


; cos cosu x du dx dv xdx v xdx v senx . Luego sustituyendo en

udv uv vdu se tiene que: xcoxdx xsenx senxdx

1( cos )xcoxdx xsenx x c 1cosxcoxdx xsenx x c

3.- Calcular 1tan xdx


1

2tan ;

1

dxu x du dv dx v dx v x

x

. Luego sustituyendo en

udv uv vdu tenemos que: 1 1

2tan tan

1

xdxxdx x x

x

Ahora determinemos 21

xdx

x. Sea 21 2

2

dww x dw xdx xdx . Luego:

2

2

1 1 1ln ln 1

1 2 2 2 2

xdx dw dww c x c

x w w

Por lo tanto 1 1 21tan tan ln 1

2xdx x x x c



4.- Calcular 3xxe dx

Solución: Aplicando integración por partes se tiene:

3 3 31;

3

x x xu x du dx dv e dx v e dx v e . Luego se tiene que:

3 3 31 1

3 3

x x xxe dx xe e dx 3 3 31 1

3 3

x x xxe dx xe e dx 3 3 31 1

3 9

x x xxe dx xe e c

5.- Calcular xe senxdx


cos ; x x xu senx du xdx dv e dx v e dx v e . Luego:

cosx x xe senxdx e senx e xdx . Aplicando nuevamente integración por partes se tiene

que: cos ; x x xu x du senxdx dv e dx v e dx v e . Por lo tanto se tiene que:

cos ( )x x x xe senxdx e senx e x e senx dx cosx x x xe senxdx e senx e x e senxdx 12 cosx x xe senxdx e senx e x c

1

1cos

2

x x xe senxdx e senx e x c 1

1 1 1cos

2 2 2

x x xe senxdx e senx e x c 1 1

cos2 2

x x xe senxdx e senx e x c

6.- Calcular 2( 1)

xxe dx

x


2

1( 1) ;

( 1) 1

x x dxu xe du x e dx dv v

x x

. Luego:



2

1( 1)

( 1) 1 1

x xxxe dx xe

x e dxx x x

2( 1) 1

x xxxe dx xe

e dxx x

2( 1) 1

x xxxe dx xe

e cx x

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los ejercicios 1 al, evalúe la integral indefinida

1.- cos2x xdx 2.- sec tanx xdx 3.- 3xx dx 4.- ln5xdx 5.- 1sen wdw

6.- 2(ln )t

dtt 7.- 2secx xdx 8.- 1tanx xdx

9.- 2ln( 1)x dx 10.- 2x senxdx

11.- (ln )sen y dy 12.- ln(cos )sent t dt 13.- 25 xx e dx 14.-

3

21

x dx

x

15.- 2x

sen xdx

e 16.- 2x senhxdx 17.- 2

1

x

x

edx

e 18.-

1cot zdz

z

19.- 1cos 2xdx

20.- cos xdx 21.- 1tan xdx

22.- 3

ln xdx

x

23.- 2ln( 1 )x x dx 24.- 2

xdx

sen x 25.-xe dx

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Caso #1: Integrales del tipo nsen udu o bien cosn udu , donde n es un número entero

positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera:

1. 1( )n nsen u senu senu , donde 1n es par. Luego

1

2 2( )n

nsen u sen u senu

y

utilizamos la identidad fundamental 2 21 cossen u u . Con lo cual

1

2 2(1 cos )n

nsen u u senu

.



2. 1cos (cos ) cosn nu u u , donde 1n es par. Luego

1

2 2cos (cos ) cosn

n u u u

y

utilizamos la identidad fundamental 2 2cos 1u sen u . Con lo cual

1

2 2cos (1 ) cosn

n u sen u u

.

Ejemplo:

7.- Calcular 3cos 2xdx

Solución:

:: el exponente es impar3 2 3 2cos 2 cos 2 cos2 cos 2 (1 2 )cos2x x x x sen x x . Luego

se tiene que:

3 2 3 2cos 2 (1 2 )cos2 cos 2 cos2 2 cos2 ( )xdx sen x xdx xdx xdx sen x xdx I

Calculemos cos 2xdx . Sea 2 22

duu x du dx dx . Luego cos 2 cos

2

duxdx u

1 1

1 1 1cos 2 cos cos 2 cos 2 2 ( )

2 2 2xdx udu xdx senu c xdx sen x c II

Ahora procedamos a calcular 2 2 cos2sen x xdx . Sea 2 2cos2w sen x dw xdx

cos 22

dwxdx . Luego se tiene que: 2 22 cos 2

2

dwsen x xdx w

2 2 2 3

2

1 1 12 cos2 2 cos 2

2 2 3sen x xdx w dw sen x xdx w c

2 3

2

12 cos 2 2 ( )

6sen x xdx sen x c III

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

3 31 1cos 2 2 2

2 6xdx sen x sen x c



Caso #2: Integrales del tipo cosn msen u udu , donde al menos unos de los exponentes es

un número entero positivo impar. Se toma la expresión que contenga el exponente impar y

se aplica el caso #1.

Ejemplo:

8.- Calcular 5 4cossen x xdx

Solución:

5 4 4 4 5 4 2 2 4cos cos cos ( ) cossen x xdx sen xsenx xdx sen x xdx sen x senx xdx

5 4 2 2 4cos (1 cos ) cossen x xdx x senx xdx

5 4 2 4 4cos (1 2cos cos ) cossen x xdx x x senx xdx

5 4 4 6 8cos (cos 2cos cos )sen x xdx xsenx xsenx xsenx dx

5 4 4 6 8cos cos 2 cos cossen x xdx xsenxdx xsenxdx xsenxdx .

Sea cosw x dw senxdx dw senxdx . Luego se tiene que:

5 4 4 6 8cos ( ) 2 ( ) ( )sen x xdx w dw w dw w dw

5 4 4 6 8cos 2sen x xdx w dw w dw w dw 5 4 5 7 91 2 1

cos5 7 9

sen x xdx w w w c

5 4 5 7 91 2 1cos cos cos cos

5 7 9sen x xdx x x x c

Caso #3: Integrales del tipo nsen udu o bien cosn udu , donde n es un número entero

positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:



1. 22( )

n

nsen u sen u . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene

que: 2 2 2 2 1 cos2cos2 cos cos2 1 2

2

uu u sen u u sen u sen u

. Por lo tanto

se tiene que:

2

1 cos 2

2

n

n usen u

, donde 2

n es par.

2. 22cos (cos )

n

n u u . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene

que: 2 2 2 2 1 cos2cos2 cos cos2 2cos 1 cos

2

uu u sen u u u u

. Por lo

tanto se tiene que:

2

1 cos 2cos

2

n

n uu

, donde 2

n es par.

Ejemplo:

9.- Calcular 43sen xdx

Solución: 2

24 2 4 1 cos63 3 3

2

xsen xdx sen x dx sen xdx dx

24 1 2cos6 cos 63

4

x xsen xdx dx

4 21 1 13 cos6 cos 6

4 2 4sen xdx dx xdx xdx

4 1 1 1 1 cos123 cos6

4 2 4 2

xsen xdx dx xdx dx

4 1 1 1 13 cos6 cos12

4 2 8 8sen xdx dx xdx dx xdx

4 3 1 13 cos6 cos12

8 2 8sen xdx dx xdx xdx

4 3 1 1 1 13 6 12

8 2 6 8 12sen xdx x sen x sen x c



4 3 1 13 6 12

8 12 96sen xdx x sen x sen x c

Caso #4: Integrales del tipo cosn msen u udu , donde ambos exponentes son números

enteros positivo par. Se aplica el caso #3.

Ejemplo:

10.- Calcular 4 2cossen x xdx

Solución:

4 2 2 2 2cos ( ) cossen x xdx sen x xdx 2

4 2 1 cos 2 1 cos 2cos

2 2

x xsen x xdx dx

24 2 1 2cos 2 cos 2 1 cos 2

cos4 2

x x xsen x xdx dx

4 2 21cos (1 2cos2 cos 2 )(1 cos2 )

8sen x xdx x x x dx

4 2 2 2 31cos (1 cos2 2cos2 2cos 2 cos 2 cos 2 )

8sen x xdx x x x x x dx

4 2 2 31cos (1 cos2 cos 2 cos 2 )

8sen x xdx x x x dx

4 2 2 31 1 1 1cos cos2 cos 2 cos 2

8 8 8 8sen x xdx dx xdx xdx xdx

4 2 21 1 1 1 cos4 1cos cos2 cos 2 cos2

8 8 8 2 8

xsen x xdx dx xdx dx x xdx

4 2 21 1 1 1 1cos cos2 cos4 (1 2 )cos2

8 8 16 16 8sen x xdx dx xdx dx xdx sen x xdx

4 2 21 1 1 1 1cos cos2 cos4 cos2 2 cos2

16 8 16 8 8sen x xdx dx xdx xdx xdx sen x xdx



4 2 21 1 1cos cos 4 2 cos2

16 16 8sen x xdx dx xdx sen x xdx

4 2 31 1 1cos 4 2

16 64 48sen x xdx x sen x sen x c

Caso #5: Integrales del tipo tann udu o bien cotn udu , donde n es un número entero

positivo. En este caso se procede de la siguiente manera:

1. 2 2 2 2tan tan tan tan tan (sec 1)n n n nu u u u u u

2. 2 2 2 2cot cot cot cot cot (csc 1)n n n nu u u u u u

Ejemplo:

11.- Calcular 3tan xdx

Solución:

3 2 3 2tan tan tan tan tan (sec 1)xdx x xdx xdx x x dx 3 2 3 2tan (tan sec tan ) tan tan sec tan ( )xdx x x x dx xdx x xdx xdx I

Determinemos 2tan secx xdx . Sea 2tan secu x du xdx , con lo cual se tiene que:

2 2 2 2 2

1 1

1 1tan sec tan sec tan sec tan ( )

2 2x xdx udu x xdx u c x xdx x c II

Luego sustituyendo (II) en (I) y sabiendo que 2tan ln secxdx x c se tiene que:

3 21tan tan ln sec

2xdx x x c

12.- Calcular 4cot 4xdx

Solución:



4 2 2 4 2 2cot 4 cot 4 cot 4 cot 4 cot 4 (csc 4 1)xdx x xdx xdx x x dx

4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 cot 4xdx x xdx xdx 4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 (csc 4 1)xdx x xdx x dx 4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 csc 4 ( )xdx x xdx xdx dx I

Determinemos 2 2cot 4 csc 4x xdx . Sea

2 2cot 4 4csc 4 csc 44

duu x du xdx xdx

Con lo que se tiene que:

2 2 2 2 2 21cot 4 csc 4 cot 4 csc 4

4 4

dux xdx u x xdx u du

2 2 3 2 2 3

1 1

1 1cot 4 csc 4 cot 4 csc 4 cot 4 ( )

12 12x xdx u c x xdx x c II

Ahora determinemos 2csc 4xdx . Sea 44

dww x dx , por lo que se tiene que:

2 2 2

2

1 1csc 4 csc csc 4 cot 4 ( )

4 4xdx wdw xdx x c III . Luego sustituyendo (II) y

(III) en (I) y sabiendo que 3dx x c se tiene que:

4 31 1cot 4 cot 4 cot 4

12 4xdx x x x c

Caso #6: Integrales del tipo secn udu o bien cscn udu , donde n es un número entero

positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:

1. ( 2) ( 2)

2 2 2 2 2 22 2sec sec sec sec (sec ) sec sec (tan 1) secn n

n n n nu u u u u u u u u

2. ( 2) ( 2)

2 2 2 2 2 22 2csc csc csc csc (csc ) csc csc (cot 1) cscn n

n n n nu u u u u u u u u



Ejemplo:

13.- Calcular 6sec 4xdx

Solución:

6 4 2 6 2 2 2sec 4 sec 4 sec 4 sec 4 (sec 4 ) sec 4xdx x xdx xdx x xdx 6 2 2 2 6 4 2 2sec 4 (tan 4 1) sec 4 sec 4 (tan 4 2tan 4 1)sec 4xdx x xdx xdx x x xdx

6 4 2 2 2 2sec 4 (tan 4 sec 4 2tan 4 sec 4 sec 4 )xdx x x x x x dx

6 4 2 2 2 2sec 4 tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 sec 4 ( )xdx x xdx x xdx xdx I

Determinemos 4 2 2 2tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4x xdx x xdx .

Sea 2 2tan 4 4sec 4 sec 44

duu x du xdx xdx . Luego se tiene que:

4 2 2 2 4 2tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 24 4

du dux xdx x xdx u u

4 2 2 2 4 21 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4

4 2x xdx x xdx u du u du

4 2 2 2 5 3

1

1 1 1 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4

4 5 2 3x xdx x xdx u u c

4 2 2 2 5 3

1

1 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 tan 4 tan 4 ( )

20 6x xdx x xdx x x c II

Por otro lado 2

2

1sec 4 tan 4 ( )

4xdx x c III . Luego, sustituyendo (II) y (III) en (I) se

tiene que: 6 5 31 1 1sec 4 tan 4 tan 4 tan 4

20 6 4xdx x x x c

Caso #7: Integrales del tipo secn udu o bien cscn udu , donde n es un número entero

positivo impar. En este caso se aplica integración por partes.

Ejemplo:



14.- Calcular 3sec xdx

Solución:

3 2sec sec secxdx x xdx .

Sea sec sec tanu x du x xdx . Sea 2 2sec sec tandv xdx v xdx v x .

Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu por lo tanto:

3sec sec tan tan sec tanxdx x x x x xdx 3 2sec sec tan sec tanxdx x x x xdx

3 2sec sec tan sec (sec 1)xdx x x x x dx 3 3sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx

32 sec sec tan secxdx x x xdx 3

12 sec sec tan ln sec tanxdx x x x x c

3 1 1sec sec tan ln sec tan

2 2xdx x x x x c

Caso #8: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde m es un

número entero positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera.

1. ( 2)

2 2 2 22tan sec tan sec sec tan sec tan (sec ) secm

n m n m n m nu u u u u u u u u u

( 2)2 22tan sec tan (tan 1) sec

mn m nu u u u u

2. ( 2)

2 2 2 22cot csc cot csc csc cot csc cot (csc ) cscm

n m n m n m nu u u u u u u u u u

( 2)2 22cot csc cot (cot 1) csc

mn m nu u u u u

Ejemplo:

15.- Calcular 3 4tan secx xdx

Solución:



3 4 3 2 2 3 4 3 2 2tan sec tan sec sec tan sec tan (tan 1)secx xdx x x xdx x xdx x x xdx

3 4 5 3 2tan sec (tan tan )secx xdx x x xdx 3 4 5 2 3 2tan sec tan sec tan secx xdx x xdx x xdx

3 4 6 41 1tan sec tan tan

6 4x xdx x x c

16.- Calcular 2 4cot cscx xdx

Solución:

2 4 2 2 2 2 4 2 2 2cot csc cot csc csc cot csc cot (cot 1)cscx xdx x x xdx x xdx x x xdx 2 4 4 2 2cot csc (cot cot )cscx xdx x x xdx 2 4 4 2 2 2cot csc (cot csc cot csc )x xdx x x x x dx 2 4 4 2 2 2cot csc cot csc cot cscx xdx x xdx x xdx

2 4 5 31 1cot csc cot cot

5 3x xdx x x c

Caso #9: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde n y m

números enteros positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera.

1. 1 1tan sec tan sec sec tann m n mu u u u u u

( 1)2 12tan sec (tan ) sec sec tan

nn m mu u u u u u

( 1)2 12tan sec (sec 1) sec sec tan

nn m mu u u u u u

2. 1 1cot csc cot csc csc cotn m n mu u u u u u

( 1)2 12cot csc (cot ) csc csc cot

nn m mu u u u u u

( 1)2 12cot csc (csc 1) csc csc cot

nn m mu u u u u u

Ejemplo:

17.- Calcular 3 5cot cscx xdx



Solución:

3 5 2 4cot csc cot csc csc cotx xdx x x x xdx 3 5 2 4cot csc (csc 1)csc csc cotx xdx x x x xdx 3 5 6 4cot csc (csc csc cot csc csc cot )x xdx x x x x x x dx 3 5 6 4cot csc csc csc cot csc csc cotx xdx x x xdx x x xdx

3 5 7 51 1cot csc csc csc

7 5x xdx x x c

Caso #10: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde n es un

número entero positivo par y m es un número entero positivo impar. En este caso se

procede de la siguiente manera.

1. 2 22 2tan sec (tan ) sec tan sec (sec 1) secn n

n m m n m mu u u u u u u y se aplica

integración por partes.

2. 2 22 2cot csc (cot ) csc cot csc (csc 1) cscn n

n m m n m mu u u u u u u y se aplica

integración por partes.

Ejemplo:

18.- Calcular 2tan secx xdx

Solución:

2 2 2 3tan sec (sec 1)sec tan sec (sec sec )x xdx x xdx x xdx x x dx 2 3tan sec sec secx xdx xdx xdx

Por ejercicio #14, 3

1

1 1sec sec tan ln sec tan

2 2xdx x x x x c y

2sec ln sec tanxdx x x c con lo cual se tiene que:



2 1 1tan sec sec tan ln sec tan ln sec tan

2 2x xdx x x x x x x c

2 1 1tan sec sec tan ln sec tan

2 2x xdx x x x x c

Caso #11: Integrales de la forma ( )cos( )sen nu mu du , ( ) ( )sen nu sen mu du o bien

cos( )cos( )nu mu du , donde m y n son números reales cualesquiera. En este caso se

procede de la siguiente manera:

1. ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen nu mu sen nu mu sen mu nu

( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen nu mu sen nu mu sen mu nu

2. cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )nu mu nu mu sen nu sen mu

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )nu mu nu mu sen nu sen mu

Ejemplo:

19.- Calcular 3 cos2sen x xdx

Solución:

(3 2 ) 3 cos2 3 cos2 (5 ) 3 cos2 3 cos2 ( )sen x x sen x x sen x x sen x sen x x sen x x I

(3 2 ) 3 cos2 3 cos2 ( ) 3 cos2 3 cos2 ( )sen x x sen x x sen x x sen x sen x x sen x x II

Sumando (I) y (II) se tiene que:

1 15 2 3 cos2 3 cos 2 5

2 2sen x senx sen x x sen x x sen x senx

1 13 cos2 5

2 2sen x xdx sen xdx senxdx

1 13 cos 2 cos5 cos

10 2sen x xdx x x c

20.- Calcular cos4 cos7x xdx



Solución:

cos(7 4 ) cos7 cos4 7 4 cos11 cos7 cos4 7 4 ( )x x x x sen xsen x x x x sen xsen x I

cos(7 4 ) cos7 cos4 7 4 cos3 cos7 cos4 7 4 ( )x x x x sen xsen x x x x sen xsen x II

Sumando (I) y (II) se tiene que:

1 1cos11 cos3 2cos7 cos3 cos7 cos3 cos11 cos3

2 2x x x x x x x x

1 1cos7 cos3 cos11 cos3

2 2x xdx xdx xdx

1 1cos7 cos3 11 3

22 6x xdx sen x sen x c

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS

Caso #1: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2a u . En este caso se realiza la

siguiente sustitución: cosu asen du a d

Ejemplo:

21.- Calcular 2

2

9 xdx

x

Solución:

Sea 2 9 3a a . 2 2u x u x . Por lo tanto el cambio 3u asen x sen

3cosdx d .

2 2 2 2:: 3 9 9 9 9x sen x sen x sen 2 29 9(1 )x sen

2 29 9cosx 29 3cosx .

Luego se tiene que:



2 2 2

2 2 2 2

9 3cos 9 cos3cos

9

x xdx d dx d

x sen x sen

22

2

9tan

xdx d

x

2 22 2

2 2

9 9(sec 1) sec

x xdx d dx d d

x x

2

2

9tan ( )

xdx c I

x

1:: 3 ( )3 3

x xx sen sen sen II

. Por otro lado

22 9

3cos 9 cos3

xx

por lo tanto :: tan

cos

sen

2

3tan9

3

x

x

2tan ( )

9

xIII

x

. Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

21

2 2

9

39

x x xdx sen c

x x

Caso #2: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2a u . En este caso se realiza la

siguiente sustitución: 2tan secu a du a d

Ejercicios:

22.- Calcular 2 16x dx

Solución:

Sea 2 16 4a a . 2 2u x u x . Por lo tanto el cambio tan 4tanu a x

24secdx d . 2:: 4 tan 16 4secx x . Luego se tiene que:



2 2 2 316 4sec 4sec 16 16 secx dx d x dx d y por ejercicio #14 se

tiene que: 2 1 116 16( sec tan ln sec tan )

2 2x dx c

2 16 8sec tan 8ln sec tanx dx c

:: 4 tan tan4

xx . Además

22 16

:: 16 4sec sec4

xx

Luego se tiene

que:

2 22 16 16

16 8 8ln4 4 4 4

x x x xx dx c

2 22 16 16

16 8ln2 4

x x x xx dx c

22 216

16 8ln 162

x xx dx x x k

donde 8ln 4k c

Caso #3: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2u a . En este caso se realiza la

siguiente sustitución: sec sec tanu a du a d

Ejemplo:

23.- Calcular 3 2 1

dx

x x

Solución:

Sea 2 1 1a a . 2 2u x u x . En este caso el cambio es sec secu a x

sec tandx d . 3 3:: sec secx x , 2 1 tanx Luego se tiene que:



2

3 23 2 3 2 3 2

sec tancos

sec tan sec1 1 1

dx d dx d dxd

x x x x x x

3 2 3 2

1 cos 2 1 1cos 2

2 2 21 1

dx dxd d d

x x x x

3 2

1 12

2 41

dxsen c

x x

3 2

1 1cos ( )

2 21

dxsen c I

x x

1:: sec sec ( )x x II . Por otro lado 1

:: sec cos ( )x IIIx

y además

2 2tan 1 1cos

senx x

22 1

1 ( )1

sen xx sen IV

x

x

. Luego

sustituyendo (II), (III) y (IV) en (I) se tiene que:

21

3 2

1 1 1 1sec

2 21

dx xc

x xx x

2

1

23 2

1 1sec

2 21

dx xc

xx x

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES

PARCIALES.

Caso #1: Integrales de la forma ( )

( )

p xdx

q x donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m y

n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en n productos de

factores lineales diferentes, i.e, ( )q x tiene n raíces reales distintas, con lo cual, si

1

1 1 0( ) .....n n

n nq x a x a x a x a

, entonces su factorización es

1 2( ) ( )( )......( )n nq x a x x x x x x , 1 2 3, , ,....., nx x x x son raíces distintas del polinomio

( )q x . Luego la fracción parcial de ( )

( )

p x

q x es: 31 2

1 2 3

( )......

( )

n

n

A AA Ap x

q x x x x x x x x x

Ejemplo:



24.- Calcular 2

1

16

xdx

x

Solución:

Determinemos 2

1

16

xdx

x

aplicando fracciones parciales.

2

2

1 1:: 16 ( 4)( 4)

16 ( 4)( 4)

x xx x x

x x x

1

( 4)( 4) 4 4

x A B

x x x x

1 ( 4) ( 4)

( 4)( 4) ( 4)( 4)

x A x B x

x x x x

1 ( 4) ( 4)x A x B x

54 1 4 (4 4) (4 4) 5 8 0

8x A B A B A

34 1 ( 4) ( 4 4) ( 4 4) 3 0 ( 8)

8x A B A B B

Luego se tiene que:

5 31 8 8

( 4)( 4) 4 4

x

x x x x

2

1 5 3

16 8 4 8 4

x dx dxdx

x x x

2

1 5 3ln 4 ln 4

16 8 8

xdx x x c

x

2

1 5 3ln 4 ln 4

16 8 8

xdx x x c

x

25.- Calcular 2

3

2 6x xdx

x x

Solución:

Determinemos 2

3

2 6x xdx

x x

aplicando fracciones parciales.

23 2

3

2 6:: ( 1) ( 1)( 1)

1 1

x x A B Cx x x x x x x

x x x x x

2

3

2 6 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x A x x Bx x Cx x

x x x x x

2 2 6 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)x x A x x Bx x Cx x



2:: 0 0 2.0 6 (0 1)(0 1) .0(0 1) .0(0 1) 6 6x A B C A A

2 3:: 1 1 2.1 6 (1 1)(1 1) .1(1 1) .1(1 1) 3 2

2x A B C B B

2:: 1 ( 1) 2.( 1) 6 ( 1 1)( 1 1) .( 1)( 1 1) .( 1)( 1 1) 7 2x A B C C

7

2C

Luego se tiene que:

2

3

2 6 5 3 1 7 1

2 1 2 1

x x

x x x x x

2

3

2 6 3 75

2 1 2 1

x x dx dx dxdx

x x x x x

2

3

2 6 3 75ln ln 1 ln 1

2 2

x xdx x x x c

x x


( )

p xdx

q x , donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m

y n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en productos de

factores lineales y uno de ellos se repite, i.e., una de sus raíces se repite. Supongamos que

kx se repite p veces , i.e., ( ) ( )( )......( )p

k k k kx x x x x x x x . Luego la fracción

parcial está dada por: 31 2

2 3

1....

( ) ( ) ( ) ( )

p

p p

k k k k k

AAA A

x x x x x x x x x x

Ejemplo:

26.- Calcular 2

3

2 4

( 1)

x xdx

x

Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:

2

3 2 3

2 4

( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x A B C

x x x x

2 2

3 3

2 4 ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

x x A x B x C

x x

2 22 4 ( 1) ( 1)x x A x B x C



2:: 1 1 2 4 ( 1 1) ( 1 1)x A B C :: 1 3x C

2:: 0 0 2.0 4 4 3 1( )x A B C A B A B i

2:: 1 1 2.1 4 4 2 7 4 2 3 2 2 ( )x A B C A B A B ii

De (i) y (ii) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

12 2

1

A BA B

A

:: 1 1 0A A B B . Con lo cual se tiene que:

2

3 2 3

2 4 1 0 3

( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x

x x x x

2

3 3

2 43

( 1) 1 ( 1)

x x dx dxdx

x x x

2 2

3

2 4 ( 1)ln 1 3

( 1) 2

x x xdx x c

x

2

3 2

2 4 3 1ln 1

( 1) 2 ( 1)

x xdx x c

x x


( )

p xdx



factores cuadráticos irreducibles. Supongamos que 2

i i ia x b x c son factores cuadráticos,

entonces su fracción parcial es:

1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1

( )...

( )( )...( )

n n

n n n n n n

A x BA x Bp x

a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c

.

Ejemplo:

27.- Calcular 2 2

4

( 1)( 2 3)

xdx

x x x

Solución:

Aplicando fracciones parciales se tiene que:



2 2 2 2

4

( 1)( 2 3) 1 2 3

x Ax B Cx D

x x x x x x

2 2

2 2 2 2

4 ( )( 2 3) ( )( 1)

( 1)( 2 3) ( 1)( 2 3)

x Ax B x x Cx D x

x x x x x x

2 24 ( )( 2 3) ( )( 1)x Ax B x x Cx D x

3 2 2 3 24 2 3 2 3x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx Cx Dx D

3 24 ( ) (2 ) (3 2 ) (3 )x A C x A B D x A B C x B D

0

2 0

3 2 4

3 0

A C

A B D

A B C

B D

Determinemos la solución del sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de

GAUSS-JORDAN (Se puede determinar la solución de dicho sistema aplicando el método

de Cramer)

1 0 1 0 0

2 1 0 1 0

3 2 1 0 4

0 3 0 1 0

2 1 2

3 1 3

2

3

f f f

f f f

1 0 1 0 0

0 1 2 1 0

0 2 2 0 4

0 3 0 1 0

3 2 3

4 2 4

2

3

f f f

f f f

1 0 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 2 2 4

0 0 6 2 0

3 3

1

2f f 1 0 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 1 2

0 0 6 2 0

4 3 46f f f

1 0 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 1 2

0 0 0 4 12

4 4

1

4f f 1 0 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 1 2

0 0 0 1 3

Luego Tenemos que:

0( )

2 0( )

2( )

3( )

A C i

B C D ii

C D iii

D iv

Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que:



( 3) 2 3 2 1C C C .

:: 3, 1 2 0 2 3 0 1D C B C D B B . :: 0 1 1A C C A .

Luego tenemos que:

2 2 2 2

4::

( 1)( 2 3) 1 2 3

x Ax B Cx D

x x x x x x

2 2 2 2

4 1 3

( 1)( 2 3) 1 2 3

x x x

x x x x x x

2 2 2 2

4 1 3

( 1)( 2 3) 1 2 3

x x x

x x x x x x

2 2 2 2

4 1 3( )

( 1)( 2 3) 1 2 3

x x xdx dx dx I

x x x x x x

Determinemos 2

1

1

xdx

x

2 2 2

1

1 1 1

x xdx dxdx

x x x

2 1

12

1 1ln 1 ( )

1 2

xdx x tg x c II

x

Determinemos ahora 2

3

2 3

xdx

x x

. Completando cuadrados se tiene que:

2 2 2 22 3 2 1 1 3 2 3 ( 2 1) 2x x x x x x x x 2 22 3 ( 1) 2x x x .

Luego tenemos que:

2 2

3 3

2 3 ( 1) 2

x xdx dx

x x x

2 2 2

3 1 2

2 3 ( 1) 2 ( 1) 2

x xdx dx dx

x x x x

2 1

22

3 1 2 1ln ( 1) 2

2 3 2 2 2

x xdx x tg c

x x

2 1

22

3 1 1ln 2 3 2 ( )

2 3 2 2

x xdx x x tg c III

x x

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

2 1 2 1

2 2

4 1 1 1ln 1 ln 2 3 2

( 1)( 2 3) 2 2 2

x xdx x tg x x x tg c

x x x

21 1

2 2 2

4 1 1 1ln 2

( 1)( 2 3) 2 2 3 2

x x xdx tg x tg c

x x x x x




( )

p xdx



factores cuadráticos irreducibles y uno de ellos se repite. Supongamos que 2

k k ka x b x c

se repite p-veces, entonces su fracción parcial es:

1 1 2 2

2 2 2 2

( )...

( ) ( ) ( )

p p

p p p

k k k k k k k k k k k k

A x BA x B A x Bp x

a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c

Ejemplo:

28.- Calcular 2

2 2( 4)

xdx

x

Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:

2

2 2 2 2 2( 4) 4 ( 4)

x Ax B Cx D

x x x

2 2

2 2 2 2

( )( 4)

( 4) ( 4)

x Ax B x Cx D

x x

2 2( )( 4)x Ax B x Cx D 2 3 24 4x Ax Ax Bx B Cx D

2 3 2 (4 ) (4 )x Ax Bx A C x B D

0

1

4 0

4 0

A

B

A C

B D

0

1

0

4

A

B

C

D

. Por lo tanto se tiene

que:

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 4::

( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 ( 4)

x Ax B Cx D x

x x x x x x

2

2 2 2 2 2

14 ( )

( 4) 4 ( 4)

x dxdx dx I

x x x

. Determinemos 2

1

4dx

x .

1

12

1 1( )

4 2dx tg x c II

x

. Determinemos ahora

2 24

( 4)

dx

x . En este caso

determinaremos la integral usando sustitución trigonométrica.

2

2 2:: 4 2 2sec

( 4)

dxu atg x tg dx d

x



2 2 2 2 4:: 2 4 4sec ( 4) 16secx tg x x . Luego 2

2 2 4

2sec4 4

( 4) 16sec

dx d

x

2

2 2 2 2 2

4 14 4 cos

( 4) 8 sec ( 4) 2

dx d dxd

x x

2 2

1 1 cos 24

( 4) 2 2

dxd

x

2 2

1 14 cos 2

( 4) 4 4

dxd d

x

22 2

1 14 2

( 4) 4 8

dxsen c

x

22 2

1 14 cos

( 4) 4 4

dxsen c

x

.

2 22 2 2 4 4

:: 4 4sec sec sec4 2

x xx

2

2cos

4x

. Por otro lado

1:: 22 2

x xx tg tg tg

.

2 2

2:: cos

cos 2 4 4

sen x xtg sen tg sen sen

x x

1

22 2 2 2

1 1 24

( 4) 4 2 4 4 4

dx x xtg c

x x x

1

22 2 2

14 ( )

( 4) 4 2 2( 4)

dx x xtg c III

x x

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene

que: 2

1 1

2 2 2

1 1

( 4) 2 2 4 2 2( 4)

x x x xdx tg tg c

x x

21

2 2 2

1

( 4) 4 2 2( 4)

x x xdx tg c

x x

29.- Calcular 4 2

3

9

xdx

x x

Solución: Factoricemos el polinomio 4 29x x . 4 2 2 29 ( 9)x x x x . Luego se tiene que:

4 2 2 2

3 3

9 ( 9)

x xdx dx

x x x x

. Aplicando fracciones parciales se tiene que:



2 2 2 2

3

( 9) 9

x A B Cx D

x x x x x

2 2 2

2 2 2 2

3 ( 9) ( 9) ( )

( 9) ( 9)

x Ax x B x Cx D x

x x x x

2 2 23 ( 9) ( 9) ( )x Ax x B x Cx D x 3 2 3 23 9 9x Ax Ax Bx B Cx Dx

3 23 ( ) ( ) 9 9x A C x B D x Ax B

00

9 19 3

A CB D

AB

19

13

C AD B

A

B

19

13

19

13

C

D

A

B

2 2 2 2 2 2 2 2

1 11 1

3 3 9 3 9 3::( 9) 9 ( 9) 9

xx A B Cx D x

x x x x x x x x x x

2 2 2 2 2

3 1 1 1 1

( 9) 9 3 9 9 3 9

x dx dx xdx dxdx

x x x x x x

1 2 1

2 2

3 1 1 1 1ln ln 9

( 9) 9 3 18 9 3

x xdx x x x tg c

x x

2 1

2 2

3 2 1 1 1ln ln 9

( 9) 18 3 18 9 3

x xdx x x tg c

x x x

21

2 2 2

3 1 1 1ln

( 9) 18 9 3 9 3

x x xdx tg c

x x x x

SUSTITUCIONES DIVERSAS

Caso #1: El integrado contiene expresiones racionales de seno y coseno. En este caso se

realiza el cambio 1

2z tg x y se obtiene que:

2

2

1

zsenx

z

,

2

2

1cos

1

zx

z

y

2

2

1

dzdx

z

Ejemplo:

30.- Calcular 1 cos

dx

senx x

Solución: Sean 2

2 2 2

2 1 2, cos y

1 1 1

z z dzsenx x dx

z z z

siendo

1

2z tg x

, entonces

tenemos que:



2

2

2 2

2

1

2 11 cos1

1 1

dzdx z

z zsenx x

z z

2

2 2

2

2

1

1 2 11 cos

1

dzdx z

z z zsenx x

z

2

2

2

2

1

2 21 cos

1

dzdx z

z zsenx x

z

2

2

1 cos 2 2

dx dz

senx x z z

1 cos ( 1)

dx dz

senx x z z


1 1 ( 1)

( 1) 1 ( 1) ( 1)

A B A z Bz

z z z z z z z z

1 ( 1)A z Bz 1 ( )A B z A

01

A BA

1

B AA

1 1A B . Por lo tanto se tiene que:

1 1 1 1::

( 1) 1 ( 1) 1

A B

z z z z z z z z

( 1) 1

dz dz dz

z z z z

ln ln 1( 1)

dzz z c

z z

ln( 1) 1

dz zc

z z z

. Pero 1

2z tg x

por lo que se

tiene que:

1

2ln

1( 1)1

2

tg xdz

cz z

tg x

1

2ln

11 cos1

2

tg xdx

csenx x

tg x

31.- Calcular 3 2cos

dx

x

Solución: Sean 2

2 2

1 2cos y

1 1

z dzx dx

z z

siendo

1

2z tg x

, entonces tenemos que:

2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 1

1 3 2 23 2cos 3 2cos3 2

1 1

dz dzdx dxz z

z z zx x

z z

2

2

3 2cos 1 5

dx dz

x z



Determinar 2

2

1 5

dz

z

Sea 2 25 5 5

5

duu z u z du dz dz y 2 1 1a a . Luego tenemos que:

2 2 2

2 52

1 5

dudz

z a u

1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 5 1 55 5

dz du dz utg c

z a u z a

1

2

2 2 55

1 5 5

dztg z c

z

12 5 15

3 2cos 5 2

dxtg tg x c

x

Caso #2: El integrando contiene expresiones irracionales. En este caso se procede de la

siguiente manera:

1. n u se hace el cambio nz u y se transforma en una función racional.

2. n mu u se hace el cambio Mz u donde M es el mínimo común múltiplo de

los índices de las expresiones irracionales y se transforma en una función racional.


1.- Calcular tan xdx

Solución: Sea 2 2tan tan 2 secu x u x udu xdx

2

2

sec

udu dx

x

2

2

tan 1

udu dx

x

4

2

1

udu dx

u

por lo tanto se tiene que:

4

2tan

1

uduxdx u

u

2

4

2tan

1

u duxdx

u

2

4 2 2

2tan

2 1 2

u duxdx

u u u

2

4 2 2

2tan

( 2 1) 2

u duxdx

u u u

2

2 2 2

2tan

( 1) 2

u duxdx

u u

2

2 2

2tan

( 1 2 )( 1 2

u duxdx

u u u u

2

2 2

2tan

( 2 1)( 2 1)

u duxdx

u u u u




2

2 2 2 2

2

( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1

u Au B Cu D

u u u u u u u u

2 2 2

2 2 2 2

2 ( )( 2 1) ( )( 2 1)

( 2 1)( 2 1) ( 2 1)( 2 1)

u Au B u u Cu D u u

u u u u u u u u

2 2 22 ( )( 2 1) ( )( 2 1)u du Au B u u Cu D u u

2 3 2 2 3 2 22 2 2 2 2u du Au Au Au Bu Bu B Cu Cu Cu Du Du D 2 3 22 ( ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( )u du A C u A B C D u A B C D u B D

0

2 2 2

2 2 0

0

A C

A B C D

A B C D

B D

2 2 2

2 2 0

A C

A B C D

A B C D

B D

2 2 2

2 2 0

C D C D

C D C D

2 2 2

2 2 0

C

D

2

2 2

0

C

D

2

2

0

C

D

2

2

0

A

B

con lo cual se tiene que:

2

2 2 2 2

2::

( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1

u Au B Cu D

u u u u u u u u

2

2 2 2 2

2 22 2 2

( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1

u uu

u u u u u u u u

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1

u u u

u u u u u u u u

2

2 2 2 2

2 2 2( )

2 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1

u du udu udui

u u u u u u u u

Calcular 2

2

2 2 1

udu

u u Completando cuadrados se tiene que:

2 2 1 12 1 2 1

2 2u u u u 2 22 1

2 1 ( )2 2

u u u con lo cual se tiene que:



22 2 12 2

2 2

2 2 ( )2 1

udu udu

uu u

sea 2

2w u dw du 2 2

2 2:: w u w u

por lo tanto 2

2

22 12

( )2 2

2 22 1

w dwudu

wu u

2 22 1 12 2

2 2 2

2 2 42 1

udu wdw dw

w wu u

2 11

122 1 1

2 2

2 2 1 1 1ln tan

2 2 2 22 1

udu ww c

u u

2 11122

2 2 2ln tan 2

2 4 22 1

uduw w c

u u

2 12 2112 2 22

2 2 2ln ( ) tan 2( )

2 4 22 1

uduu u c

u u

2 1 1122

2 2 2ln 2 1 tan 2 ( )

2 4 22 1

uduu u u c ii

u u

Calcular 2

2

2 2 1

udu

u u Completando cuadrados se tiene que:

2 2 1 12 1 2 1

2 2u u u u 2 22 1

2 1 ( )2 2

u u u con lo cual se tiene que:

22 2 12 2

2 2

2 2 ( )2 1

udu udu

uu u

sea 2

2w u dw du 2 2

2 2:: w u w u

por lo tanto 2

2

22 12

( )2 2

2 22 1

w dwudu

wu u

2 22 1 12 2

2 2 2

2 2 42 1

udu wdw dw

w wu u

2 11

222 1 1

2 2

2 2 1 1 1ln tan

2 2 2 22 1

udu ww c

u u

2 11222

2 2 2ln tan 2

2 4 22 1

uduw w c

u u



2 12 2122 2 22

2 2 2ln ( ) tan 2( )

2 4 22 1

uduu u c

u u

2 1 1222

2 2 2ln 2 1 tan 2 ( )

2 4 22 1

uduu u u c iii

u u

Sustituyen (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

22 1 1

22 2

2 1 12

2 2 2ln 2 1 tan 2

4 2( 2 1)( 2 1)

2 2 ln 2 1 tan 2

4 2

u duu u u

u u u u

u u u c

21 1

22 2

1 12

2 2 tan 2 tan 1 2ln tan 2 tan

4 2( 2 1)( 2 1) tan 2 tan 1

2 tan 2 tan

2

u du x xx

u u u u x x

x c

Ejercicios Propuestos

En los ejercicios 1 al 13, evalúe la integral indefinida dada

1.- 3

dx

x 2.- 3 2x dx 3.-

2

9(2 )t t dt

t 4.- 2( 1)x dx 5.- ( 2)( 2)x x dx

6.- 2( 1)x

dxx

7.- 3(4 1)w dw 8.-

3

5dx

x 9.- (3 2)x x dx 10.-

2

dx

x

11.- 3

4

x xdx

x

12.-

2

2

3

1x dx

x

13.-

4

2

3u udu

u

En los ejercicios 14 al 45, evalúe la integral indefinida dada.

14.- 3 4 5(2 )x x dx 15.- 2 3 1x x dx 16.- 4(1 6 )

dt

t 17.- 2 2( 1)

xdx

x

18.- 2( 1) 2x x x dx 19.- 4 2

xdx

x 20.-

2

1

x dx

x 21.- 3 2 1x x dx



22.- 3

22( 1)

dx

x 23.-

2 2 31 (1 )

xdx

x x 24.-

23 1

sds

s 25.-

432( 4 4)x x dx

26.- 1

tdt

t 27.- 23 2xx dx 28.-

2

4

(1 cos )

senxdx

x 29.- 2

11

3

dx

x x 30.-

23

( 3)

(3 )

y dy

y

31.- 3

2

3

2( 4)

xdx

x 32.- 23 ( 1)s s ds 33.-

13 4

3 2

( 2)rdr

r

34.-

32 2

2

1 1tt dt

t t

35.- 2cos

senydy

y 36.- 2( 1)x xdx 37.- 2

1

2 4

xdx

x x

38.-

2(1 )xdx

x

39.- 1

dx

x x 40.-

232( 2 10) (5 5)x x x dx 41.-

3

3 4

1x dx

x x

42.-

3

32

1 xdx

x

43.- 2 3 x

dxx

44.-

1

tdt

t 45.-

3

4 3

(4 5)

zdz

z

Módulo III: Integral Definida.

Sumatoria.

Definición #10: ( ) ( ) ( 1) ( 2) ....... ( 1) ( )

n

i m

F i F m F m F m F n F n

donde m y n

son enteros positivos y m n

Teorema #34:

1

n

i

c cn

donde c es cualquier constante

Demostración: Por definición se tiene que:

1

......

n

i

c c c c c

(n términos)

1

n

i

c cn



Teorema #35:

1 1

( ) ( )

n n

i i

cF i c F i

donde c es una constante.

Demostración: Por definición se tiene que:

1

( ) (1) (2) .... ( )

n

i

cF i cF cF cF n

1

( ) ( (1) (2) .... ( ))

n

i

cF i c F F F n

propiedad distributiva de los números reales

1 1

( ) (i)

n n

i i

cF i c F

definición de sumatoria.

Teorema #36: 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n n

i i i

F i G i F i G i

Teorema #37: ( ) ( )

n m a

i m i m a

F i F i a

y ( ) ( )

n n a

i m i m a

F i F i a

Demostración: Demostremos que ( ) ( )

n m a

i m i m a

F i F i a

. En efecto:

Por definición tenemos que: ( ) ( ) ( 1) ( 2) ..... ( 1) ( )

n

i m

F i F m F m F m F n F n

Sumando y restando en cada sumando el número a se tiene que:

( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ..... ( 1 ) ( )

n

i m

F i F m a a F m a a F m a a F n a a F n a a

( ) ( )

n n a

i m i m a

F i F i a

definición de sumatoria

Teorema #38: Suma telescópica

1. 1

( ) ( 1) ( ) (0)

n

i

F i F i F n F



2. ( 1) ( ) ( 1) ( )

n

i m

F i F i F n F m

3. ( ) ( 1) ( ) ( 1)

n

i m

F i F i F n F m

Demostración: Demostremos que: 1

( ) ( 1) ( ) (0)

n

i

F i F i F n F

1 1 1

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

n n n

i i i

F i F i F i F i i

pero 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n

i i

F i F i F n ii

y

1

1 1 1

( 1) ( 1 1)

n n

i i

F i F i

1

1 1 1

( 1) ( ) ( )

n n

i i

F i F i iii

Luego sustituyendo (ii) y (iii) en

(i) se tiene que: 1 1

1 1 1 1

( ) ( 1) ( ) ( ) ( )

n n n

i i i

F i F i F i F n F i

1 1

1 1 0

( ) ( 1) ( ) ( ) ( )

n n n

i i i

F i F i F i F n F i

1 1

1 1 1

( ) ( 1) ( ) ( ) (0) ( )

n n n

i i i

F i F i F i F n F F i

1

( ) ( 1) ( ) (0)

n

i

F i F i F n F

Demostremos ahora que: ( 1) ( ) ( 1) ( )

n

i m

F i F i F n F m

En efecto:

( 1) ( ) ( 1) ( )

n n n

i m i m i m

F i F i F i F i

1 1

1

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)

n n n

i m i m i m

F i F i F i F n F i

1 1

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1 1) ( 1)

n n n

i m i m i m

F i F i F i F n F m F i



1 1

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

n n n

i m i m i m

F i F i F i F n F m F i

( 1) ( ) ( 1) ( )

n

i m

F i F i F n F m

Teorema #39: Si n es un entero positivo, entonces:

1.

1

( 1)

2

n

i

n ni

2. 2

1

( 1)(2 1)

6

n

i

n n ni

3. 2 2

3

1

( 1)

4

n

i

n ni

4. 2

4

1

( 1)(2 1)(3 3 1)

30

n

i

n n n n ni

Demostración: Demostremos que:

1

( 1)

2

n

i

n ni

.

Sea

1

n

i

S i

1 2 3 .... ( 1)S n n ( 1) ..... 3 2 1S n n

2 ( 1) ( 1) ..... ( 1) ( 1) ( 1)S n n n n n n veces sumando

( 1)2 ( 1)

2

n nS n n S

con lo cual

1

( 1)

2

n

i

n ni

pues

1

n

i

S i

Demostremos ahora que: 2 2

3

1

( 1)

4

n

i

n ni

4 2 2 4 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2 1)( 2 1)i i i i i i i i 4 4 3 2( 1) 4 6 4 1i i i i i

4 4 3 2( 1) 4 6 4 1i i i i i 4 4 3 2

1 1

( 1) 4 6 4 1

n n

i i

i i i i i



4 4 3 2

1 1 1 1 1

( 1) 4 6 4 1

n n n n n

i i i i i

i i i i i

4 4 3 2

1 1 1 1

0 4 6 4 1

n n n n

i i i i

n i i i

aplicando suma telescópica y propiedades de

sumatoria

4 3

1

( 1)(2 1) ( 1)4 6 4

6 2

n

i

n n n n nn i n

4 3

1

( 1)(2 1) ( 1)6 4 4

6 2

n

i

n n n n nn n i

4 3

1

( 1)(2 1) 2 ( 1) 4

n

i

n n n n n n n i

4 3

1

( ) ( ( 1)(2 1) 2 ( 1)) 4

n

i

n n n n n n n i

3 3

1

( 1) ( 1)(2 1 2) 4

n

i

n n n n n i

2 3

1

( 1)( 1) ( 1)(2 1) 4

n

i

n n n n n n n i

2 3

1

( 1)( ) 4

n

i

n n n n i

3

1

( 1)( 1) 4

n

i

n n n n i

2 2 3

1

( 1) 4

n

i

n n i

2 2

3

1

( 1)

4

n

i

n ni


1.- Calcular 6

1

(2 1)

i

i

Solución: 6 6 6 6

1 1 1 1

6(6 1)(2 1) 2 1 (2 1) 2 6

2i i i i

i i i

6

1

(2 1) 42 6

i

i

6

1

(2 1) 36

i

i

2.- Calcular 2

2

0

1

1j

j

Solución: 2

2 2 2 2

0

1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 2j

j

2

2

0

1 1 11

1 2 5j

j

2

2

0

1 10 5 2

1 2j

j

2

2

0

1 17

1 2j

j



3.- Calcular 3

1

( 1)( 2)

i

i i

Solución: 3 3 1

1 1 1

( 1)( 2) ( 1 1)( 1 2)

i i

i i i i

3 4

1 0

( 1)( 2) ( 3)

i i

i i i i

3

1

( 1)( 2) 0 2 2 4

i

i i

3

1

( 1)( 2) 0

i

i i

4.- Calcular 10

3

1

( 1)

i

i

Solución: 10 10 1

3 3

1 1 1

( 1) ( 1 1)

i i

i i

10 9

3 3

1 0

( 1)

i i

i i

10 9

3 3

1 1

( 1) 0

i i

i i

10 2 23

1

9 (9 1)( 1)

4i

i

10

3

1

81(100)( 1)

4i

i

10

3

1

( 1) 2025

i

i

5.- Calcular 1

1

(2 2 )

n

i i

i

Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que: 1

( ) ( 1) ( ) (0)

n

i

F i F i F n F

Sea 1( ) 2 ( 1) 2i iF i F i por lo tanto 1

1 1

(2 2 ) ( ) ( 1)

n n

i i

i i

F i F i

1

1

(2 2 ) ( ) (0)

n

i i

i

F n F

0:: ( ) 2 ( ) 2 (0) 2 1i nF i F n F

1

1

(2 2 ) 2 1

n

i i n

i

6.- Calcular 1

1

(10 10 )

n

i i

i



Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que: 1

( ) ( 1) ( ) (0)

n

i

F i F i F n F

Sea 1 1 1( ) 10 ( 1) 10 ( 1) 10i i iF i F i F i 1 0 1( ) 10 (0) 10 10nF n F por lo

tanto tenemos que: 1

1

(10 10 ) ( ) (0)

n

i i

i

F n F

1 1

1

(10 10 ) 10 10

n

i i n

i

1

1

(10 10 ) 10 10 10

n

i i n

i

1

1

(10 10 ) 10(10 1)

n

i i n

i

7.- Calcular 100

1

1 1

1k

k k

Solución: 100 100

1 1

1 1 1 1

1 1k k

k k k k

100 100

1 1

1 1( ) ( 1)

1k k

F k F kk k

donde 1

( )1

F kk

100

1

1 1( (100) (0))

1k

F Fk k

100

1

1 1 1( 1)

1 101k

k k

100

1

1 1 100( )

1 101k

k k

100

1

1 1 100

1 101k

k k

8.- Calcular 2 2

1 1

1

3 3 3 3

n

k k k k

k

Solución: 2 2

1 1 2 2 2( 1) 2( 1)

1 1

3 3 3 3 3 2 3 3 2 3

n n

k k k k k k k k

k k

2 2

1 1 2 2 2( 1) 2( 1)

1 1

3 3 3 3 3 3 3 3

n n

k k k k k k k k

k k

2 2

1 1 2 2( 1) 2 2( 1)

1 1

3 3 3 3 3 3 3 3

n n

k k k k k k k k

k k

2 2

1 1 2 2( 1) 2 2( 1)

1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 ( )

n n n

k k k k k k k k

k k k

i

Calcular 2 2( 1)

1

3 3

n

k k

k

Aplicando suma telescópica tenemos que:



2 2( 1)

1 1

3 3 ( ) ( 1)

n n

k k

k k

F k F k

siendo 2( ) 3 kF k

2 2( 1)

1

3 3 ( ) (0)

n

k k

k

F n F

2 2( 1) 2 0

1

3 3 3 3

n

k k n

k

2 2( 1)

1

3 3 9 1 ( )

n

k k n

k

ii

Calculemos ahora 2 2( 1)

1

3 3

n

k k

k

Aplicando suma telescópica tenemos que:

2 2( 1)

1 1

3 3 ( ) ( 1)

n n

k k

k k

F k F k

donde 2( ) 3 kF k

2 2( 1)

1

3 3 ( ) (0)

n

k k

k

F n F

2 2( 1) 2 0

1

3 3 3 3

n

k k n

k

2 2( 1)

1

3 3 9 1 ( )

n

k k n

k

iii

Luego, sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

2 2

1 1

1

3 3 3 3 9 1 9 1

n

k k k k n n

k

2 2

1 1

1

3 3 3 3 9 9 2

n

k k k k n n

k

9.- Calcular

12

1

2 1 2 1

k

k k

Solución: Aplicando suma telescópica tenemos que:

12 12

1 1

2 1 2 1 ( ) ( 1)

k k

k k F k F k

donde ( ) 2 1F k k



12

1

2 1 2 1 (12) (0)

k

k k F F

:: ( ) 2 1 (12) 5 (0) 1F k k F F

12

1

2 1 2 1 5 1

k

k k

12

1

2 1 2 1 4

k

k k

10.- Exprese la siguiente suma 1 4 9 400

....2 3 4 21 como una notación sigma.

Solución: 2 2 2 21 4 9 400 1 2 3 20

.... ....2 3 4 21 1 1 1 2 1 3 1 20

20 2

1

1 4 9 400....

2 3 4 21 1i

i

i

Cálculo de Área Usando Rectángulos Inscritos o Circunscrito.

Definición #11: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b , con

( ) 0f x para toda ,x a b , y que R es la región limitada por la curva ( )y f x , el eje x

y las rectas ,x a x b . Divida el intervalo ,a b en n subintervalos de longitud

b ax

n

y denotemos el i-ésimo subintervalo como 1,i ix x

. Si ( )if c es el valor de la

función mínimo absoluto en el i-esimo subintervalo, la medida del área de la región R está

dada por: 1 1

lim ( ) 0 0 : ( )

n n

i ix

i i

A f c x N n N f c x A

INTEGRAL DEFINIDA.

Definición #12: Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo ,a b . Se dice que f

es integrable en ,a b si existe un número L que satisface la condición de que para todo

0 , existe un 0 tal que la partición para la cual y para cualquier

1,i i ic x x , 1,2,3,...,i n , entonces

1

( )

n

i i

i

f c x L

, ie, 0

1

lim ( )

n

i i

i

f c x L



Definición #13: Si f es una función definida en el intervalo ,a b , entonces la integral

definida de f , denotada por ( )b

a

f x dx , está dada por: 0

1

( ) lim ( )

nb

i ia

i

f x dx f c x

si el

límite existe.

Teorema #40: Si una función es continua en un intervalo cerrado ,a b , entonces es

integrable en ,a b .

Definición #14: Si a b y ( )a

b

f x dx existe, entonces ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

Definición #15: Si ( )f a existe, entonces ( ) 0a

a

f x dx

Teorema #41: Si es una partición de intervalo ,a b , entonces 0

1

lim

n

i

i

x b a

Teorema #41: Si f está definida en el intervalo cerrado ,a b , y si 0

1

lim ( )

n

i i

i

f c x

existe

donde es cualquier partición del intervalo ,a b , entonces si k es una constante

cualesquiera 0 0

1 1

lim ( ) lim ( )

n n

i i i i

i i

kf c x k f c x

Teorema #42: Si k es una constante cualesquiera, entonces ( )b

a

kdx k b a

Teorema #43: Si la función f es integrable en el intervalo cerrado ,a b y si k es una

constante cualesquiera, entonces ( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx

Teorema #44: Si f y g son dos funciones integrables en ,a b , entonces f g es

integrable y ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx . En general



1 2 1 2( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) .... ( )b b b b

n na a a a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx

Teorema #45: Si la función f es integrable en los intervalos , , , , ,a b a c b c , entonces

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx donde a c b

Teorema #46: Si la función f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los

números a, b y c, entonces ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx sin importar el orden de a, b

y c.

Teorema #47: Si las funciones f y g son integrables en ,a b talque ( ) ( )f x g x para toda

,x a b , entonces ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

Teorema #48: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b . Si m y

M son, los valores de la función mínimo absoluto y máximo absoluto de f en ,a b

respectivamente de modo que ( )m f x M para toda a x b entonces

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a

Teorema #49: Si la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b , entonces existe un

número c en ,a b talque ( ) ( )( )b

a

f x dx f c b a

Teorema #50: Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Sea la función f continua en

el intervalo ,a b y sea x cualquier número de ,a b . Si F es la función definida por

( ) ( )x

a

F x f t dt , entonces '( ) ( )F x f x , ie, '( ) ( )x

a

dF x f t dt

dx



Observación: Si g es derivable en x y ( )

( ) ( )g x

a

F x f t dt , entonces

'( ) ( )u

a

d duF x f t dt

du dx donde ( )u g x y en consecuencia se aplica la regla de la cadena

para derivadas.

Teorema #51: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Sea f una función continua

en el intervalo cerrado ,a b y sea F antiderivada de f, ie, '( ) ( )F x f x para toda ,x a b

, entonces ( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a

Observación: La regla de la cadena para antiderivadas está dada por:

( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c o bien hacemos ( ) '( )u g x du g x dx con lo cual se

tiene que: ( ) ( )f u du F u c . Ahora aplicando la regla de la cadena para integrales

definidas se tiene que: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))b

a

f g x g x dx F g b F g a , i.e, sea ( )u g x

'( )du g x dx . Si 1 1 ( )x a u g a 2 2 ( )x b u g b por lo tanto

( )

( )

( ( )) '( ) ( ) ( ( )) ( ( ))b g b

a g a

f g x g x dx f u du F g b F g a

Problemas Propuestos.

1.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función ( ) 2 10f x x , el

eje X y las rectas 2, 5x x

2.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función 2( ) 2f x x x , el eje

X .

3.- Calcular las siguientes integrales definidas:

3.1.- 3

2

x xdx

3.2.- 4

0

9 1x x xdx 3.3.- 2

3 3

0

cossen x xdx



3.4.- 2

2

1

x x dx

3.5.- 3

0

cos x dx

3.6.- 4

23 3 2

dx

x x 3.7.- 1

20 1

x

x

edx

e

3.8.- 3

6

4cot xdx

3.9.-

2

1 ln

e dx

x x 3.10.- 3

21 4

dx

x x

4.- Calcular la derivada de las siguientes funciones:

4.1.- 2

0

( )xdsen t dt

dx 4.2.- 4

2( )x

x

dsen t dt

dx 4.3.- 1

2

tan

xt

x

de dt

dx

4.4.- 2

0

( )xdsen t dt

dx

4.5.- 0

6 1

4 9x

dt dt

dx

4.6.-

2

23

1

1

x

x

ddt

dx t

5.- Demuestre que: 2

66 3senxdx

6.- Usando suma de Riemann, aproxime el valor de la integral 5

2

1dx

x , 9n y utilice los

ic son el extremo derecho del rectángulo.

7.- Demuestre que el área de un trapecio de base mayor 2h , base menor 1h y altura b está

dada por: 2 1

2

h hA b

8.- Calcule la suma de Riemann para la función 2( ) 1f x x , en el intervalo 1,3 cuya

partición 0 1 2 3

3 5: 1; ; ; 3

2 2x x x x y los

1 2 3

5 7: ; ; 3

4 4ic c c c

9.- Demuestre que 2 21( )

2

b

a

xdx b a

10.- Sea una partición regular del intervalo 0,2 . Exprese 2

1

4 2lim

n

ni

i

n

como una

integral definida.



11.- Sea una partición regular del intervalo 1,4 . Exprese

1

3lim

3

n

ni

n i

como una

integral definida.

INTEGRALES IMPROPIAS.

Definición #16: Si f es continua para toda x a , entonces ( ) lim ( )t

ta a

f x dx f x dx

si

el límite existe

Definición #17: Si f es continua para toda x b , entonces ( ) lim ( )b b

t t

f x dx f x dx

si el

límite existe

Definición #18: Si f es continua para toda x y c es cualquier número real, entonces

( ) lim ( ) lim ( )c w

t wt c

f x dx f x dx f x dx

si los límites existen

Definición #19: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la izquierda ,a b ,

y si lim ( )x a

f x

, entonces ( ) lim ( )b b

t aa t

f x dx f x dx

si el límite existe

Definición #20: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la derecha ,a b ,

y si lim ( )x b

f x

, entonces ( ) lim ( )b t

t ba a

f x dx f x dx

si el límite existe

Definición #21: Si f es continua en toda x del intervalo ,a b excepto en c, donde

a c b y si lim ( )x c

f x

, entonces ( ) lim ( ) lim ( )b t b

t c w ca a w

f x dx f x dx f x dx

si los

límites existen.

cálculo ii. guía para vipi

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