calculo diferencial todas unidades

5/9/2018 Calculo Diferencial Todas Unidades - slidepdf.com

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UNIDAD 1:

1.1.- RECTA NUMERICA

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y lautilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera.Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica,o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y estámás alejado del cero. Puedes ver que el número 3 está más alejado del 0, es el número más grandeque ubicamos en la recta.

1.2 LOS NÚMEROS REALES

Número real, cualquier número racional o irracional.Los números reales pueden expresarse en decimal mediante un número entero, undecimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitos cifras no periódicas.A los números naturales se les llama enteros positivos (1, 2, 3, 4….)

Enteros: conjunto de números naturales con sus opuestos y el cero ( -2, -1, 0, 1, 2,….)Todos los racionales y los irracionales, los números racionales tienen representacionesdecimales respectivas en tanto que los racionales tienen representaciones no repetitivasinfinitas.Representación geométrica se pueden representar sobre una recta de la siguiente manera:

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1.3.1 Tricotomía

La ley de tricotomía dice:

- Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.

- Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.

- Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números

reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.



La ley de tricotomía y surge cuando se induce un orden en un conjunto como los Enteros (Z), o

los números reales (R). Estas leyes dicen que.

Sin pérdida de generalidad, puedes suponer que a,b son números reales.

Si a != b (a es distinto de b) entonces solo puede ocurrir una de estas 3 afirmaciones:

a < b (a es menor que b)

ó

a = b (a es igual con b)

ó

a > b (a es mayor que b)

1.3.2 Transitividad

Una relación binaria R sobre un conjunto A es igual, transitiva cuando se cumple: siempre que

un elemento se relaciona con otro y ese último con un tercero, entonces el primero se

relaciona con el tercero.

Ejemplo: si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Una relación R es transitiva si aRb y bRc se cumple aRc.

1.3.3 Densidad

Densidad dados a; b ∈ R si a > b entonces existen un elemento x ∈ R tal que a > x y x > b.

La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de NUMERO REAL, el cual fue

creado pensando en la necesidad de tener números “suficientes" para explicar el mundo real.

1.3.4 Axioma del supremo

Axioma del supremo Sea A ⊏ R tal que existe k ∈ R con la propiedad de que:

k > a para toda a ∈ R.



Entonces existe un elemento s ∈ R tal que cumple la propiedad anterior y además si k' es otro número que

cumple la propiedad entonces s < k'.

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Es de suma importancia en cálculo la noción de resolver una desigualdad. Resolver una desigualdad es

encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que la desigualdad sea verdadera, encontrarsecon una ecuación cuyo conjunto solución por lo regular consiste de un numero o quizá de un numero

finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo denúmeros o en algunos casos la unión de tales intervalos.

TIPOS DE INTERVALO:

*Intervalo Abierto: la doble desigualdad a < x < b. describe un intervalo abierto que consiste en todos

los números entre a y b, no incluyendo los puntos extremos a y b. este se denota por medio del símbolo(a, b).

Ejemplo:

-1, 6] = ] x : -1 < x < 6 Notación Notación de

Intervalo conjunto

*Intervalo Cerrado: La desigualdad a <= x <= b. describe cliente intervalo cerrado (intervalo) que

incluye los extremos a y b, este se denota como [a, b].



[-1, 4] = ] x : -1 <= x <= 4

La siguiente tabla indica la amplia variedad de posibilidades de intervalos.

Notación de Conjunto Notación de Intervalo Grafica

x: a < x < b (a, b)

x: a <= x <= b [a, b]

x: a <= x < b [a, b)

x: a < x <= b (a, b]

x: x <= b

(-∞, b]

x: x < b

(-∞, b)

x: x >= b

[a, ∞)

x: x > a

(a, ∞)

x: -∞, R (-∞, ∞)

Muestre cada uno de los intervalos siguientes en la recta real y denote en forma conjunto.

a) (-1, 1] x: -1 <= x <= 1

b) (-4, 1) x: - 4 < x < 1



1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA DE PRIMER GRADO:

1.- resuelva la desigualdad 2x – 7 < 4x – 2 y muestre la grafica de su conjunto solución.

2x-7<4x-2

2x – 4x < -2 + 7

-12(-2x<5)

22 x> -52 (-5/2, ∞)= x: -5/2 < x < ∞

x> -52 = x: x > -5/2

2.- Resuelve -5 <=2x + 6 < 4

-5 <= 2x + 6 2x + 6 < 4 N.C) x: -11/2 <= x < -1-6 -5 <= 2x 2x < 4 – 6 N.I) [-11/2, -1]-11 <= 2x 2x < -2-11/2 <= x x < -2/2

x < -1

3.-Resuelve 2 + 3x < 5x + 1 < 16

2 + 3x < 5x + 1 < 16 5x + 1 < 16 ½ < x < 3 = (1/2, 3)

2 + 3x < 5x + 1 5x < 16 - 13x – 5x < 1 – 2 x < 15/5-2 x < -1 x < 3x > ½

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADESValor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo

o cero, y opuesto de a, si a es negativo.



Ejemplos: |5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0

PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO:

1.- ∣a + b∣ = ∣a∣ + ∣b∣

2.- ∣a - b∣ = ‖a∣ - ∣b‖

3.- ∣ab∣ = ∣ab∣ si b≠0

4.- ∣ab∣ = ∣a∣∣b∣

5.- ∣x∣= x2

6.- ∣x∣2= x2



7.- ∣x∣ < ∣y∣ x2 < y2

Si ∣x∣ < 3, entonces la distancia entre x , y el origen debe ser simultáneamente menor 3 y

mayor que -3. Esto es, -3 < x < 3. Por otra parte, si ∣x∣ > 3 entonces la distancia entre x y

el origen debe ser mayor que tres. Esto puede suceder cuando x > 3 o x < -3.

Estos son casos especiales de las siguientes proposiciones generales:

1) ∣x∣ < a si solo si a < x < a

2) ∣x∣ > a si solo si x < -a o x > a



1) ∣-2∣ < 3

2 < 3

∣-3∣ < 3 3 < x < 3

3 < 3

2) ∣x∣ > 3

(-∞, 3) U (3, ∞) = {x: x < -3 x > 3}

1.7.- RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYEN VALOR ABSOLUTO

1.- Resuelva la desigualdad ∣3x - 5∣ >= 1

∣3x - 5∣ >= 1 o 3x – 5 >= 1

3x – 5 <= -1 3x >= 1 + 53x <= -1 + 5 3x >= 63x <=4 x >= 6/3x <= 4/3 x >= 2



2.- Resuelva la desigualdad ∣x - 1∣ < 2∣x - 3∣

∣x - 1∣ < 2∣x - 3∣

∣x - 1∣ < ∣2x - 6∣ (x-1)2 < (2x-6)2

x2 - 2x + 1 < 4x2 - 24x + 36

x2 - 4x2 - 2x + 24x + 1 – 36 < 0

(-3x2 + 22x – 35 < 0) – 1

3x2 - 22x + 35 > 0

(3x – 7) (x – 5)



UNIDAD 2: FUNCIONES

2.1.- Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

La palabra función se usa con frecuencia para indicar la relación de dependencia de una

cantidad respectiva de otra. En matemáticas el concepto de función tiene una

interpretación semejante, pero ligeramente más especializada. Una función es una regla o

una correspondencia que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del

primer conjunto corresponde uno y solo un elemento.



Ejemplo: como se muestra en la figura siguiente, la estatura de un niño medida a

intervalos anuales es una función de la edad de un niño.

DEFINICION: una función f desde un conjunto x hacia un conjunto y es una regla que

asigna a cada elemento x en x un elemento único y en y. el conjunto x se llama dominio de

f. en el conjunto de elementos correspondientes y en y se denomina contradominio o

ámbito de F.

VALOR DE UNA FUNCIÓN



Sea F una función. El numero y del contradominio q ue corresponde a un numero x

escogido en el dominio es el valor de la función en x o la imagen de x en y, y se denota por

f(x).

El valor de y depende de la elección de x por lo que se le denomina variable dependiente la

x se le llama variable independiente.

x=dominio

F(x)



Contradominio (“rango”)

El dominio de una función F es el conjunto mas grande de números reales, por el cual la

regla tiene sentido.

Una función se compara a menudo con una computadora la entrada x es transformada por

la maquina “f” en la salida f(x).



FUNCIÓN

Ejemplo: determinar el dominio y contradominio de la función f(x)= 7 + 3x-6

Solución: el radicando 3x -6 debe ser no negativo al resolver 3x – 6 >= 0 se obtiene x >=2,

por lo cual el dominio de f es (2, ∞). Ahora, por definición 3x-6≥0 para >=2, y en

consecuencia y – 7 + 3x-6≥7.

Salida f(x)

Entrada



Puesto que 3x – 6y 3x-6 aumentan cuando x, aumenta, se concluye que el contradominio o

cambio de f es [7, ∞)

OTROS SÍMBOLOS

El uso de f o f(x) para representar una función es una notación natural. Sin embargo, en

contextos diferentes de matemáticas, ciencias, ing. Y admon. Las funciones se denotan por

símbolos como F, G, H, g, h, p, q, y asi sucesivamente. Letras diferentes como r, s, t, u, v, w, z,

independiente como para la dependiente.

Asi, la función, podría escribirse w=G(z) o bien v=h(t).



Ejemplo: la velocidad mínima de vuelo V de un pájaro es una función de su magnitud 1.

V=k1 donde k=constante

GRAFICAS



La grafica de una función f, es el conjunto de puntos.

{ (x,y) y= f(x) x en el dominio f }

x

y

En el plano cartesiano como consecuencia de la definición 1.1 una función se caracteriza

geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace

exactamente en un punto.

y

x



NO ES UNA FUNCIÓN ES UNA FUNCIÓN



1) f(x)= x3 - 9x2 + 24x – 7

f(x)=( -3)3 - 99(-3)2 + 24(3) – 7 f(x)= 13 – 9(1)2 + 24(1) - 7

f(x)=-27 -9(9) + 72 – 7 f(x)

f(x)= -187

f(x)= (-2)3 - 9(-2)2 + 24(-2) – 7 f(x)= (2)3 – 9(2)2 + 24(2) - 7

f(x) = -99 f(x)= 13

f(x)= (-1)3 - 9(-1)2 + 24(-1) – 7 f(x)= 33 – 9(3)2 + 24(3) - 7



f(x)= -41 f(x)= 11

f(x)= 03 – 9(0)2 + 24(0) – 7

f(x)= -7

x f(x)

-3 -187

-2 -99

-1 -41

0 -7



1 9

2 13

3 11

Dominio (-∞, ∞)

2) f(x) = x4 - 8x2 ; x ∈(0, ∞)



x f(x)

1 -7

2 -16

3 9

4 128

5 425

f(1)= (1)4 – 8(1)2 f(4)=(4)4 – 8(4)2

f(1)= -7 f(4)= 236 - 128

f(4)= 128



f(2)=(2)4 – 8(2)2

f(2)= -16 f(5)= (5)4 – 8(5)2

f(5)=625 - 200

f(3)= (3)4 – 8(3)2 f(5)= 425

f(3)= 9

Dominio: (0, ∞)



2.2.-Funcion inyectiva, suprayactiva y biyectiva

Dados dos conjuntos A y B, y una función f(X) que aplica de A en B, o sea que a cada elemento

de A le hace corresponder uno y solo un elemento de B. La función f es inyectiva, si y solo sí

dos elementos distintos de A no tienen la misma imagen.

Por ejemplo, veamos una función real, el conjunto A formado por los hijos, el conjunto B

formado por los padres, y la relación que asigna a cada hijo su padre, ¿Es una función

inyectiva? Veamos, vamos a suponer a dos chicos, Juan y Lucas, que son hermanos. A Juan

(hijo) le hace corresponder su padre (Pedro) a otro elemento distinto de A, Lucas le hace

corresponder su padre (Pedro). En conclusión, dos elementos distintos (Lucas y Juan), tienen la

misma imagen (su padre Pedro), o sea la función que asigna a cada hijo su padre no es

inyectiva.Veamos otro ejemplo, sea A el conjunto de las Personas radicadas en Argentina, y

sea B el conjunto de los Números de documento asignados a estas personas. Definimos f(x)

como la función que le hace corresponder a cada persona su número de documento.

Analicemos, dados dos elementos distintos de A (o sea dos personas distintas), puedecorresponderles el mismo elemento de B? (o sea pueden tener la misma imagen? Obviamente

no, por ello esta función si es inyectiva.

Suprayectividad: Dado un conjunto A y otro conjunto B, definimos una función f(x) que aplica

de A en B. f es suprayectiva si y solo si todo elemento de B es imagen de al menos un elemento

de A.

Aquí me pide que tenga por lo menos una preimagen, esto implica que puede ser mas de una,

pero nunca ninguna.

Veamos un ejemplo. Sea A el conjunto de productos de un supermercado y sea B el conjunto

de códigos de barra de 9 dígitos que pueden formarse. Definimos a f como la función que

aplica a cada producto su código de barras. Es esto una función suprayectiva?? Pues no, ya que

para que lo sea dijimos que todo elemento de el conjunto B (o sea todos los códigos de barra)

deben ser preimagen de algún elemento de A (o sea, deben pertenecer a algún producto) y

esto por lo general no ocurre, no se utilizan todos los códigos posibles en un supermercado,

por ello hay códigos que quedan sin ser asignados a algún producto. ¿¿Esta función será

inyectiva??Analízalo.

Un ejemplo de una función suprayectiva podría ser la función que aplica a cada persona su

número de llegada en una carrera.

Por ultimo una función es biyectiva cuando es suprayectiva e inyectiva a la vez, es decir cuando

cada elemento de B es imagen de uno y solo un elemento de A.



Por ejemplo la función que asigna a cada persona su código genético, o la función que aplica a

cada persona su huella digital.

2.3.- Función real de variable real y su representación grafica.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo

situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice

coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

I(+) (+)

II(-) (+)

III

(-) (-)IV(+) (-)

FUNCIONES POLINOMICAS

Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales, por potenciasenteras de una variable generalmente representada por la letra x.

Se llama función polinmica de groado cero-constante a la que no depende de ninguna variable,y la podemos representar como una función matemática de la forma:

f (x)= a donde a es la constanteLA FUNCIÓN A FIN

Es aquella que asocia a cada numero ax + b, donde a y b son valores fijos.a se llama pendiente y b ordenada en el origen.

Se escribe x→ ax + b también f(x)= ax + b o y= ax + b



Las funciones afines se representan mediante rectas en consecuencia solo se precisan un parde valores para obtener su grafica.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llaman todas aquellas funciones de la forma f(x)= bx, en donde la base “b”; es unaconstante y el exponente la variable independiente.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Decimos que una forma- función es cuadrática si se puede expresar de la forma:f(x)= ax2 + bx + c

Donde a, b, c son constantes y a≠0.

La grafica de una función cuadrática es una parábola y sudominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, sedice que la parábola es positiva y, en este caso, abre haciaarriba. Si < a o la parábola es negativa y abre hacia abajo.



FUNCION LOGARITMICA

Es una función matemática inversa a la función exponencial.El logaritmo (con base b) de una numero x es el exponente n al que hay que elevar la base

dada b, para que dicho numero x log x = n ↔ x= bn

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b>0, b≠ 1)

FUNCION RACIONAL:

Es una función expresada de la forma f(x)=P(x)Q(x)

Donde P y Q son polinomios y “x” es una variable desconocida siendo Q un polinomiodiferente de cero. Existe la posibilidad de encontrar valores x tales que Q(x) sea igual a cero;sin embargo una fracción con un denominador igual a cero no se puede desarrollar. Por estemotivo las funciones racionales están definidas o tienen su dominio en todos los números queno anulan el polinomio denominador, es decir, que no hacen que el denominador sea 0 (cero).



FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDADINVERSA

Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la relación numérica entre suvariable es de proporcionalidad inversa.Su expresión algebraica es y= kx.

La grafica de una función de proporcionalidad inversa es una curva simétrica respecto delorigen de coordenadas que se llama:

Hipérbola:La grafica de estas funciones no pasa por el origen de coordenadas (0,0).

FUNCIONES A TROZOS

Son funciones definidas por distintos criterios según los intervalos que se consideran.f(x) x2 : si x < 2

y : si x > 2



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSA

Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados,aparecen con frecuencia en la relación.

FUNCIÓN HIPERBÓLICA

Las funciones hiperbólicas son análogas a las

funciones trigonométricas ordinarias.

La tangente hipérbola

tan h(x) = sinxcosh(x)

Cotangente hiperbólica

sec h(x) = 1cosh(x)

Secante hiperbólica

csc h(x)= 1sen h(x)

TIPOS DE FUNCIONES



Función polinomial:En algebra a una expresión como x5 + 10x2 – 2x + 1 se le denomina polinomio de grado 5. Por

lo general cuando Q ≠ 0.

f(x)= a, x1 + a, - x1….-1 + ….. ax + a.Es donde n, es un entero no negativo se dice es una función polinomial (o polinomica) degrado n. los coeficientes a1 (=0=0, 1……n) son números reales.

Función Racional:

Una función f(x)= P(x)Q(x) en donde P y Q son funciones polinomiales.

Se denomina función racional.

Función potencia:Una función f(x)=k en donde k es constante y n es un numero real.Funciones definidas por secciones o elementos no es necesario que una función esté definidapor una sola formula.Ejemplo:

Trazar la grafica de la función definida por secuencia, secciones o elemento.

f(x) -1, x < 00, x = 0

X + 2, x > 0

Solución:Note que f no representa tres funciones sino más bien a una función cuyo dominio es elconjunto de números reales.

La grafica de f consta de 3 secciones obtenidas trazando a su vez.

La grafica de y= 1 para x < 0El punto (0,0) yLa grafica de y= x + 2 para x >0

INTERSECCIONESSi la grafica de una función y = f(x) corta el eje

“y” entonces su intersección es f(0).



Las intersecciones x de la grafica de F son las soluciones reales de la ecuación f(x) = 0.

Simetría:La grafica de una función puede tener a la suma de los 3 tipos de simetría. Una función cuyagrafica es simetría con resto al eje y se denomina función par.

S(x)= x2 + 1 con dominio {-1, 0, 1, 2, 3}

x F(x)

-1 1

0 1

1 2

2 5

3 10

X2 + 1

f(x) = (0)2

+ 1 f(x) = (-1)2

+ 1 f(x)= (2)2

+ 1= 1 = 1 + 1 = 4 + 1= 2 = 5

F(x)= (3)2 + 1= 9 + 1 = 10

Dada la función f(x) = x2 – 2x determine y simplifique

a)f(4)

b)f(4 + h)

a) f(x)= x2 – 2x b) f(x)= x2 – 2xf(4) = (4)2 – 2(4) f(4 + h)= (4 + h)2 – 2(4 + h)f(4) = 16 – 8 f(4 + h) = 16 + 8h + h2 – 8 – 2hf(4)= 8 f(4 + h) = h2 + 8h – 2h + 16 - 8

f(4 + h) = h2 + 6h + 8



Bosqueje las graficas, encuentre las intersecciones con los ejes (si es que los hay), el dominio yel rango de cada función.

a)f(x) = x2 – 2 x= -3 x= -2 x = -1f(-3) = (-3)2 – 2 f(-2)= (-2)2 – 2 f(-1)= (-1)2 - 2

f(-3)= 7 f(-2)= 2 f(-1)= 1

f(1)= (1)2 – 2 f(0)= (0)2 – 2 b=0= -1 f(0)= -2 a= 1

C= -2

x F(x)

-3 7

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 23 7

Intersecciones: Dominio: {(-∞, ∞) : x : ∈ R, -∞}

En el eje x: Rango:{ (-2, ∞) x: x >= -2 }

X1= -1.4142



X2= 1.4142

FUNCIONES TRASCENDENTESFunciones Exponenciales-Trigonométricas

TERMINOLOGÍA DEFINICIÓN GRAFICAS DE F PARAA > 1

GRAFICAS DE F PARA0 < A < 1

Función exponencialf con base a

F(x) = ax para todo xen R.

Donde a > 0

y a≠ 1

creciente decreciente

TEOREMA: Las funciones exponenciales son bionivocas. La función exponencial f dada porf(x)=ax para 0 < a < 1 o a > 1.

Bionivoca en consecuencia se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes que secumplen para números reales x1 y x2.

1.- si x1 ≠ x2, entonces ax1 ≠ ax2

2.- si ax = ax2 entonces x1 = x2

Creciente

Ejemplo: si f(x) = 32x y g(x)= 3x trace las graficas de f y g en el mismo plano cartesiano.

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) = 32x

0.44 0.66 1 1.5 2.25 3.37



g(x)= 3x

0.11 0.33 1 3 9 27

Dominio: (-∞,∞): x: x ∈ R

Rango: (0,∞) y: y >=0

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURALLa función exponencial natural, está definida por f(x)= ex donde e=2.71828…

Grafica: f(x)=ex

x f(x)

-3 0.04

-2 0.13

-1 0.36

0 1

1 2.7

2 7.3

3 20.08



Dominio: (-∞,∞) = x: x ∈ R

Rango: (0,∞) y: y > 0

Búsqueda de ceros en una función exponencial:

Si f(x) = x2 (-2e-2x) + 2x-2x hallar los ceros de f.

f(x)= x2 (-2e-2x) + 2xe-2x

f(0)= : f(x)=-2x2

e-2x + 2xe-2x

f(x)= -2x2 e-2x (x – 1)=0

-2xe2x =0 x=1

xe-2x =0-2

xe-2x=0



x=0e-2x = 0

x= 0

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En las matemáticas elementales y en la vida diaria, los ángulos se miden en grados y un ángulorecto mide 900. En el cálculo se usa un sistema más natural y conveniente llamado “medida enradianes” que se define en términos de cómo el arco de un ángulo corta una circunferencia.

Reglas de Conversión:

1800 = П radianes

3600 = 2П radianes

La siguiente tabla muestra algunas conversiones habituales en el cálculo:

Gra

dos

300 450 600 900 1200

1350

1500

1800

2100

2250

2400

2700

3000

3150

3300

3600

Radianes П6 П4 П3 П2 2П

3

3П

4

5П

6

П

7П

6

5П

4

4П

3

3П

2

5П

3

7П

4

11

П6

2П



UNIDAD 3: LIMITES Y CONTINUIDAD

CONTINUIDAD

El termino continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguajecotidiano, decir que la función f es continua en x= c significa que su grafica no sufreinterrupciones en C que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Así pues la continuidad de unafunción en x=c se destruye por alguna de estas reglas:

1.-La función no está definida en x=c.2.-El lim de f(x) en x=c no existe3.- el lim de f(x) en x=c este , pero coincide con f(c ).

Definición:Una función f se dice continua en C si se verifican las condiciones.1.- f ( c) es definido

2.- lim f(x) existe x→ e

3.-lim f(x)= f (c) x → c

Continuidad de un intervalo cerrado [a,b]Continuidad: si f está definida en un intervalo cerrado [a,b] en (a,b)

lim f(x) = f(a) → a y lim f(x) = f(b) x→ b

Se dice que f es continua a [a,b]Ejemplo: intervalo [-1, 3]g(x) = 5 – x -1 <= x < 2

x2 - 1 2 < x < 3

G(x)= 5 – x -1 <= x < 2

G(x)= x2 – 1 2 < x < 3



x

f(x)

1

6

0

5

1

4

2

3

x f(x)

2.2 3.8

2.4 4.7

2.6 5.7

2.8 6.8

3 8

Lim 5 – x = 3

x→ 2-

lim x2 – 1 = 3

x→ 2+

La función es continua en el intervalo(-1, 3)



LIMITES EN DONDE INTERVIENE INFINITOS

F(x) puede hacerse arbitrariamente grande al tomar valores de x suficientemente cercano perodiferente del número “a”, tanto por la izquierda o como la derecha de a entonces:

lim f(x)= ∞ o bien lim f(x) = -∞

x → a x → a

Ejemplo: encuentre el límite de la sig. Función

lim f(x) =1(x-2)3 dominio x: x ∈ R x≠2

x→ 2 -∞, ∞, x+2

Acercamiento AcercamientoIzquierdo Derecho

lim 1(x-2)3 = -∞ lim 1(x-2)3 = ∞



x

f(x)

1.5

-8

1.9

-1000

2.99

-1000000

∞

x f(x)

2.5 8

2.1 1000

2.01 1000000

∞

a) lim x3-1x-1

x→1

b) f(x)=x3-1x-1 lim x3-1x-1 x→1 lim x3-1x-1



x→ 1

x

f(x)

2

7

1

0

0

1

-1

-1

-2

-8.5

x

f(x)

2

7

1

0

0

1

-1

-1



-2

-8.5

x f(x)

1.5 1.701.1 0.57

1.01 0.95

1.001 0.99

PROPIEDADES DE LOS LIMITES:

Division:

1) lim fxgx = lim f(x)

x→alim gx

x→a x→a

Suma y Resta

2) lim [f(x) +- g(x)] = lim f(x) + lim g(x)

x→a x→a

3) lim c-c

x→a

4) lim c f(x) = c lim f(x)



x→a x→a

Producto

5) lim [f(x). g(x)]= lim f(x). lim g(x)

x→a x→a x→a

Variablelim x =a lim x = 3

x→a x→3

Constantelim c = c lim 6=6

x→a x→3

Ejemplo:

lim x-1x2+x-2 x2 + x – 2

x→1

lim x-11x-1(x+2) = lim1(x+2) → lim1 x→1limx+lim2x→1 x→1

= 11+2 = 13

LIMITES Y CONTINUIDAD



¿Que es un limite?De ordinario hablamos de la velocidad limite de nuestra propia Resistencia o los limites de latecnologia moderna. Todas esas frases sugieren que el limite es una especie de cota que aveces no puede ser alcanable y otras no solo alcanzable si no superable.

En cálculo a menudo desea conocerse el valor limite de una función o medida que una variableindependiente se aproxima a valor especifico.Este valor cuando existe recibe el nombre de limite: lim f(x) =1

x→a

Prueba de resistencia de un límite:Aprox. Lado izquierdo Aprox. Lado derechoSi el lim f(x)=1 lim f(x) = 1

x→a- x→at

Entonces lim f(x)= 1

x→a

Ejemplo: Encuentre el límite de f(x) = x3 cuando x tiende a 2.

lim x3= 8 lim x3 = 8

x→2 x→2-

x

fx)



-2

-8

-1

-1

0

0

1

1

2

8

x f(x)

1.5 3.37

1.9 6.8

1.99 7.8

1.999 7.9

x f(x)

2.5 15.6

2.1 9.22.01 8.1

2.001 8.01



ENCUENTRE EL LIMITE UTILIZANDO PROPIEDADES

1) lim 17 lim c=c

x →-5 lim 17=17

x →5

2) lim (-4)x

x → 3

lim = -4(3) = -12

x →3

3) lim (x3-4x+1)

x→-1

lim x3 – 4 lim x + lim 7= (-1)3 - 4(-2) + 1 =1 + 4 +1 =6

x→ -1 x→-1 x→ -1



lim f(x)=6

x→ -1

4) lim (3t – 1) (5t2 + 2)

t→1

(lim 3t – lim 1) (lim 5t2 + lim 2)

t→1 t→ 1

(3 (1) – 1) ((4 lim + 2) + lim 2)

x→1

(3 -1) (4 (1) + 2)2 (4 + 2)

(2) (6) = 12lim f(x) =12

t→1

5) lim 52-215-2

5→7

Lim 52-215-2 = 72-217-2 = 49-215 =285



Lim 5→7

UNIDAD 4: DERIVADAS

DERIVARREGLA DEL PRODUCTO:

dydx[f(x).g(x)] = f(x) g(x) + g(x) + f(x)

=x3-2x2+4f(x) = 8x2+5xg(x)

dydx =(x3- 2x2+4)(16x + 5) + (8x2+5x)(3x2-4x)

= 16x4 + 5x3- 32x3 - 10x2 + 64x + 20 + 24x4 - 32x3 + 15x3 - 20x4

= 40x4 - 44x - 30x2 + 64x + 20

REGLA DEL COCIENTE:

dydx = [f(x)g(x)] = gxfx- fxg(x)[g(x)2]

=3x2-12x3+5x2+7

dydx= 2x3+5x2+76x-3x2-1(6x2+10)2x3+5x2+72



dydx =12x4+30x3+42x-[18x4+30x-6x2-10x](2x3+5x2+7)2

dydx =12x4+30x3+42x-18x4-30x+6x2+10x](2x3+5x2+7)2

dydx =-6x4+6x2+52x(2x3+5x2+7)2

Si y=f(u) es una función diferenciable de ѵ y u=g(x) es una función diferenciable de x entonces:

dydx.dyda.dvdx =f(gx). g(x)

dxdx (u)n=nun-1.u1

Ejemplo: y=x2

dydx=2x

y=(2x+3)2u y=(3x2-5x+2)-6



u=2x + 3 dudx=-6x-5

u1=2 dudx=-6u-6-1

dydx=2u2-1.u1 dudx=-63x2-5x+2-7.(6x-5)

=2(2x+3)-2 dudx=-36x+30(3x2-5x+2)7

=4(2x +3)=8x + 12

Ejemplo: aplicando la regla de la cadena.

Y= [(3x2+5x)/(1-5x3)]4

U=3x2+5x1-5x3 U1=3x2+5x U1=6x +6

U1=1 - 5x3 V1=-15x2

U'=6x+5-30x4-25x3-[-45x4-75x3](1-5x3)2

U'=6x+5-30x4-25x3+45x4-75x3](1-5x3)2

U'=15x4+ 50x3+6x+5(1-5x3)2



2.-ddx =(u)4 = 4(u)3.dudx

ddx= 4[3x2+5x(1-5x3)2] . [15x4+50x3+6x+5(1-5x3)2]

dydx=4(3x2+5x)3 .15x4+50x3+6x+5(1-5x3)5

Funciones Trigonométricas

y= sen x2+sec x

u=sen x

u'=cos x

v=2+secx

v'= secxtanx

dydx= 2+secxcosx- (senx)(secxtanx)(2+secx)2

dydx=2cosx+cosxsenx-(senxsecxtanx)(2+secx)2



dydx= 2cosx+1-(senx . 1cosxtanx(2+secx)2

dydx= 2cosx+1-(senxcosxtanx)(2+secx)2

dydx=2cos+1-tanxtanx(2+secx)2

dydx= 2cosx+1+ an2x(2+secx)2

calculo diferencial todas unidades

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