cálculo diferencial ii 2015-i
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8/15/2019 Cálculo Diferencial II 2015-i
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Mg. FREUNDT SANTIMPERI SÁNCHEZ
CÁLCULO
DIFERENCIAL
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8/15/2019 Cálculo Diferencial II 2015-i
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DERIVADAS
II
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DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
REGLA DE CADENA
Para funciones de una variable:
Si f es diferenciable en x y g es diferenciable en f(x)
en!onces la funci"n co#$ues!a esdiferenciable en x
( ) ( ) ( )( ) ( ) x f x f g x f g '.'' =
( ) ( ) ( )( ) x f g x f g =
-
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Calcular la derivada de las siguien!es funciones
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
3
2
12)(.1
−= x xh
'2
12
2
123)('
2
−
−= x x xh
2
2
126)('
−= x xh
8
213 479
28)(.2
+++= −− x x x x f
'4792847
9288)('
213
7
213
+++
+++= −−−− x x x x x x x f
−−
+++= −−
32
2
7
213 14
9
22447
9
288)('
x x x x x x x f
-
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SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
25)(.3 += x x f
( ) 21
25)( += x x f ( ) ( ) '252521)(' 2
1 ++= − x x x f 252
5)('+
= x
x f
3
2
2
1
1)(.4
−+
= x
x x f
'1
1
1
13)('
2
22
2
2
−+
−+
= x
x
x
x x f
−+−−−+
−+=
22
2222
2
2
2
)1(
)1()'1()1()'1(
1
13)(' x
x x x x
x
x x f
−
−
−+
=22
2
2
2
)1(
4
1
13)('
x
x
x
x x f
42
22
)1(
)1(12)('
−+−
= x
x x x f
-
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SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
x x f 3cos)(.5 =
)'3(3)(' x x sen x f −= 3ln.3.3)(' x x sen x f −=
3ln33)(' x x sen x f −=5424 )6
2
763ln()(.6 ++−= − x x x x f
)')62763((
)62
763(
1)(' 5424
5424
++−++−
= −−
x x x
x x x
x f
)'62
7
63()6
2
763(
)62
763(5
)(' 424
5424
4424
++−++−
++−
= −
−
−
x x x x x x
x x x
x f
6
2
763
)141212(5)('
424
53
++−
−−=−
−
x x x
x x x x f
-
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SOLUCIÓN
)5()(.7 x sentg x f =
[ ] )'5()5(1)(' 2 x sen x sentg x f +=[ ] )'5)(5(cos)5(1)(' 2 x x x sentg x f +=
[ ] )'5()5(2
1).5(cos)5(1)(' 2
1
2 x x x x sentg x f
−+=
[ ] x x x sentg x f 52 5cos.)5(15)('2
+=
x
x x sen
x sen sen
x f
52
5cos.)5(cos
)5(15
)('
2
2
+
=
)5(cos52
5cos5)('
2 x sen x
x x f =
-
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SOLUCIÓN
senx
senx x f
+−
=1
1)(.8
'1
1
1
1
2
1)('
21
+−
+−=
−
senx
senx
senx
senx x f
+
−+−+−
−
+=2
2
1
)1(
)1()'1()1()'1(
1
1
2
1)('
senx
senx senx senx senx
senx
senx x f
( )
( )
+
−−+−
−
+=
22
1
21
)1(
)1)((cos)1)(cos(
12
1)('
senx
senx x senx x
senx
senx x f
3)1(12cos2)('
senx senx x x f +− −= )1(11
cos)(' senx senx senx
x x f ++− −=
)1(1
cos)('
2 senx x sen
x x f
+−
−=
senx x f
+−
=1
1)('
-
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SOLUCIÓN
x senarc x f 3)(.9 =
3)()( senxarc x f =
)'()(3)(' 2 senxarc senxarc x f =
2
2
1
13)('
x x senarc x f
−=
2
2
1
3)('
x
x senarc x f
−=
-
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10/12
SOLUCIÓN
x
xtg arc x f
−+
=1
1)(.10
'11
1
11
1)('2
−+
−+
+=
x x
x
x x f
−
+−−−+
−+
+= 2
2
2)1(
)1()'1()1()'1(
)1(
)1(1
1)(' x
x x x x
x
x x f
2
2
22
)1(
2.
)1()1()1(
1)('
x x
x x
x f
−− ++−
=
222
2)('
x x f
+=
21
1)('
x x f
+=
-
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11/12
SOLUCIÓN
+
+−=
8
969)(.11
216
x
x x sen x f
162
8
969)(
++−=
x
x x sen x f
'8
96
8
9616.9)('
215
2
+
+−
+
+−= x
x x sen
x
x x sen x f
'8
96
8
96cos
8
96144)('
22215
+
+−
+
+−
+
+−=
x
x x
x
x x
x
x x sen x f
+
+−+−++−
+
+−
+
+−=
2
222215
)8(
)96()'8()8()'96(
8
96cos
8
96144)('
x
x x x x x x
x
x x
x
x x sen x f
++−+
+
+−
+
+−=6416
5716
8
96cos
8
96144)('
2
22215
x x
x x
x
x x
x
x x sen x f
-
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12/12
Calcular la derivada de las siguien!es funciones
( )( ) ( )1543)(.1 3 +−+= x x x x x f
1
12)(.2
2 −+=
x
x x f
)13cos(
)25()(.3
−
+=
x
x sen x f
32 1
)(.4
+= x
x x f
senx
senx y
−+
=1
1ln.5