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CÁLCULO DIFERENCIAL

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01 Guerrero U1.indd 32 4/25/12 12:41:46 PM

Gustavo Guerrero Torres

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

CÁLCULO DIFERENCIAL


Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez

Producción: Gerardo Briones González

Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís

Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber

Fotografías: Thinkstockphoto

Diagramación: Visión Tipográ�ca Editores, S.A. de C.V.

Revisión técnica: Roberto Hernández Cárdenas

Universidad Mexiquense del Bicentenario

Cálculo diferencial

© 2014, Gustavo Guerrero Torres

© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.

Derechos reservados:

Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca

Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro Núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-897-8

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra

en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx


V

PrólogoEl cálculo diferencial es una herramienta esencial para todos aquellos estudiantes que cursan alguna ingeniería. El presente texto tiene como objetivo que el estudiante conozca y apren-da los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, a través de problemas resueltos clave, en los cuales se explica con detalle, usando un lenguaje claro y lo más sencillo posible, los pormenores del ejercicio en cuestión. Con ese objetivo en mente, se parte de problemas simples que paulatinamente incrementan su nivel de dificultad.

Asimismo, también se realiza un análisis gráfico, con el fin de que los ejercicios sean lo más objetivos que se pueda y restarles, en la medida de lo posible, ese rigor matemático que en ocasiones vuelve complejo y tedioso al cálculo diferencial.

Uno de los propósitos que tiene este libro no es que el alumno recuerde algunos con-ceptos indispensables de álgebra estudiados con anterioridad en cursos correspondientes, por esta razón se hace un recordatorio de estos en el momento en que se requieren.

El presente trabajo es el resultado de muchos años de experiencia, los cuales han moti-vado esta inquietud de plasmar lo aprendido, con la finalidad de ayudar al estudiante en el aprendizaje y el empleo del cálculo diferencial como una herramienta fundamental que de-berá usar día a día durante sus estudios y el desempeño de su carrera profesional.


VII

AgradecimientosMi agradecimiento a Grupo Editorial Patria por brindarme la oportunidad de ver publicado una parte de todo lo que escrito durante el camino que he recorrido a lo largo de mi prácti-ca docente.

Gustavo Guerrero Torres


IX

Unidad 1 Límites y continuidad 1

1.1 Límites y continuidad 2

1.2 Continuidad 20

1.3 Aplicación de los límites a la vida cotidiana 24

Problemas reto 31Referencias bibliográficas 31Direcciones electrónicas 31

Unidad 2 La derivada 33

2.1 Surgimiento de la derivada 34

2.2 Derivada implícita 59

2.3 Funciones trascendentes 64

2.3 Funciones hiperbólicas 96

2.4 Derivadas de orden superior 101

2.5 Aplicaciones de la derivada a la vida cotidiana 106

Problemas reto 110Referencias bibliográficas 110Direcciones electrónicas 110

Contenido


X

Contenido

Unidad 3 Aplicaciones de la derivada 111

3.1 Introducción 112

3.2 La derivada y la recta tangente 112

3.3 Máximos y mínimos 136

Referencias bibliográficas 186Direcciones electrónicas 186

Apéndice 1 Números reales 187

A.1 Números reales 188

A.2 Desigualdades lineales, cuadráticas y sus propiedades 188

Apéndice 2 Formulario de matemáticas 215

Fórmulas básicas de álgebra 216

Exponentes y radicales 216

Fórmulas básicas de trigonometría 216

Valores de las funciones de ángulos importantes 217

Límites 217

Cálculo diferencial 218


UNIDAD 1

¿Qué sabes?

¿Qué son los teoremas de los límites? ¿Qué significa el término “tiende a”? ¿Qué es una indeterminación? ¿Cómo se resuelve un límite?

Objetiv Os

Comprender y aplicar el concepto de límite. Apreciar la diferencia entre los límites unilaterales y bilaterales. Aprender a resolver límites que presentan indeterminación, mediante métodos

algebraicos. Determinar la continuidad de una función y elaborar su representación gráfica.

Límites y continuidad


2

Límites y continuidadUNIDAD 11.1 Límites y continuidad

Límite de una sucesión ❚

El concepto de límite se establece cuando una sucesión se va aproximando a un punto llamado límite; si una sucesión tiene un límite, entonces se dice que esta es una sucesión convergente, en caso contrario se trata de una sucesión divergente.

Esta definición establece que todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite; en este caso, lo que se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite, dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Límites: concepto intuitivo ❚

Sea una función del tipo:

Como se puede observar, esta función no está definida para el valor x = −1, ya que esta adquiere

la forma 00 , la cual representa una indeterminación. Sin embargo, se puede hacer un análisis acerca de

lo qué le ocurre a f (x) cuando x se aproxima a −1.

Para ello, se realiza una tabla con valores para “x” en f (x) que se aproximen a −1, tanto por valores menores como por valores mayores.

tabla 1.1

x xx

2 11

−+ x x

x

2 11

−+

0 −1 −2 −3

−0.5 −1.5 −1.5 −2.5

−0.9 −1.9 −1.1 −2.1

−0.99 −1.99 −1.01 −2.01

−0.999 −1.999 −1.001 −2.001

x → −1xx

2 11

−+ → −2 x → −1

xx

2 11

−+ → −2

De esta manera, aplicando el concepto de límite, tenemos:

teoremas sobre los límites ❚

Sea n un entero positivo, k una constante y f (x) y g(x) funciones con límites en c, entonces:

1. limx c

k k→

= Léase: Límite de k cuando x tiende a c.

Ejemplo:

2. limx c

x c→

=

Ejemplo:

f x xx( ) = −

+2 1

1

lim lim limx x x

xx

x xx→ − → − → −

−+

=−( ) +( )

+=

1

2

1 1

11

1 11

xx −( ) = − − = −1 1 1 2

limx→

=3

6 6

limx

x→ −

= −2

2


Grupo Editorial Patria©

3

3. =→ →

k f x k f xlim ( ) lim ( )x c x c

Ejemplo:

4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x→ → →

± = ±

Ejemplo:

lim lim lim limx x x x

x x x x→ − → − → − → −

−( ) = − =3 3 3 3

4 6 4 6 4 xx xx

− = −( ) − −( ) = − +→ −

6 4 3 6 3 12 183

limlim lim lim limx x x x

x x x x→ − → − → − → −

−( ) = − =3 3 3 3

4 6 4 6 4 xx xx

− = −( ) − −( ) = − +→ −

6 4 3 6 3 12 183

lim x

5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅

Ejemplo:

6. lim ( )( )

lim ( )

lim ( )x c

x c

x c

f xg x

f x

g x→

→

→

=

Donde: g x( ) ≠ 0

Ejemplo:

7. lim ( ) lim ( )x c

n

x c

n

f x f x→ →

=

Donde: n es un número entero o fraccionario.

Ejemplo:

Límites unilaterales ❚

Límite por la derecha El término x → c+ significa que x se acerca a c por valores mayores, o sea, por la derecha.

c +

c

Figura 1.1

Este tipo de límites suele presentarse en funciones de tipo:

Donde x necesariamente debe tomar valores mayores que la unidad, para que la función tome valores reales. El condominio de la función es (1, 00).

lim limx x

x x→ →

= = ( ) =4 4

5 5 5 4 20

limx

x x→ −

−( ) =3

4 6 6

lim lim lim lim lx x x x

x x x x x→ → → →

⋅( ) = ⋅ = ⋅5 5 5 5

3 2 3 2 3 2 iimx

x→

= ( ) ⋅ ( ) = ( )( )5

3 5 2 5 15 10

limx

x x→

⋅( ) =5

3 2 150

limlim

lim

lim

x

x

x

xx

x

x→

→

→

+−

=+( )−( ) =

4

4

4

2 65 4

2 6

5 4x

x x

x x

x

x

x

x→ →

→ →

→+

−=

+4 4

4 4

42 6

5 4

2lim

lim lim

lim limxx

x xx

→

→ →−

=4

4 4

6

5 4lim lim

= ( ) +( ) −

= +−

=2 4 65 4 4

8 620 4

1416

limx

xx→

+−

=4

2 65 4

78

lim limx x

x x→ − → −

( ) =

= −( )( ) = −( )

1

2

1

22

2 2 2 1 2 22 4=

f x x( ) = + −1


4

Límites y continuidadUNIDAD 1

p(1, 0)

y

x1 2 3 4 5 6

Figura 1.2

Al evaluar el límite de la función f x x( ) = + −1 , conforme x tiende a 1 por la derecha, se tiene:

Límite por la izquierdaEl término x c→ − significa que x se acerca a c por valores menores, o sea, por la izquierda.

c –

c

Figura 1.3

Estos límites se presentan en las funciones:

Donde x debe tomar valores menores a la unidad. El condominio de la función es (−∞, 0).

p(1, 0)

y

x21

–4 –3 –2 –1

Figura 1.4

Al evaluar el límite de f x x( ) = + −1 , conforme x tiende a 1 por la izquierda, se obtiene:

Límites bilateralesAsimismo, también hay casos en los que x se puede aproximar a c por valores mayores o menores; es decir, tanto por la derecha como por la izquierda.

limx

x→ +

− =1

1 0

f x x( ) = −1

limx

x→ −

− =1

1 0



5

c +c –

c

Figura 1.5

Algunos ejemplos de estos límites se representan en funciones del tipo:

p(1, 0)

y

x

1

2

3

4

5

Figura 1.6

Cálculo de límites de funciones indeterminadas ❚

Antes de iniciar el estudio del cálculo de este tipo de límites, cabe aclarar que la indeterminación representa la división de un número o una función entre cero.

En el cálculo de límites de funciones indeterminadas es necesario eliminar la indeterminación mediante métodos algebraicos; sin embargo, el primer paso para la resolución de cualquier límite es verificar que en realidad exista dicha indeterminación. En el caso de que no haya indeterminación, basta con hacer la sustitución en el numerador y realizar las operaciones indicadas.

f x x( ) = 2

Primero, se realiza la sustitución del valor límite de x. De esta manera se obtiene:

limx

xx→ −

−+

=−( ) −− +

=1

2 211

1 11 1

00

Como se puede observar, el límite presenta una indeterminación, la cual se eliminará mediante factorización; en este caso, se utiliza la factorización de diferencia de cuadrados:

lim limx x

xx

x xx→ − → −

−+

=−( ) +( )

+1

2

1

11

1 11

Simplificando y sustituyendo:

limx

x→ −

−( ) = − − = −1

1 1 1 2

Solución

Calcular el límite limx

xx→ −

−+1

2 11

.

Problema resuelto

AlertaLa factorización de diferencia de cuadrados da como resultado el producto de binomios conjugados

− = − +a b a b a b( )( )2 2 .


6


lim limx x

xx

xx→ →

− =

−−

= −−3

2

3

2

3 3 0

93

93

En el caso de este límite, primero se factoriza el numerador en producto de binomios conjugados:

lim limx

a b

x

a b a

xx

x x→

−

→

−

−−

=−( ) +( )

3

2

3

93

3 32 2 ++

−

b

x

3

Luego, se simplifican términos:

lim limx x

x xx

x→ →

−( ) +( )−

= +( )3 3

3 33

3

Por último, se hace la sustitución del valor límite de x:

limx

x→

+( ) = + =3

3 3 3 6

Solución

Resolver el siguiente límite:

limx

xx→

−−3

2 93

Problema resuelto

limx

xx→

( )− =

−−2

2

2 2 4 0

4 162 4

Como se puede observar, este caso se trata de un límite de una función indeterminada; por tanto, es necesario eliminar la indeterminación mediante factorización:

lim limx

a b

x

a b

xx

x→

−

→

−

−−

=−( )

2

2

2

4 162 4

2 42 2

2 42 4

xx

a b

+( )−

+

Simplificando y sustituyendo el valor límite de x se obtiene:

=−( ) +( )

−= +( ) = ( ) +

→ →lim limx x

x xx

x2 2

2 4 2 42 4

2 4 2 2 4 == 8

Solución


limx

xx→

−−2

24 162 4

Problema resuelto

Obtener el siguiente límite:

limx

xx→

−−2

22 82

Problema resuelto



7

lim 2 82

2

2 2 0

xx

−−

− =

lim lim limx x x

xx

xx

x→ → →

−−

=−( )

−=

−2

2

2

2

2

22 8

22 4

22 4(( )

−=

−( ) +( )−

−

→

a b

xxx x

x

4 2

22 2 2

22

lim


= +( ) = +( ) =→

limx

x2

2 2 2 2 2 8

Solución

AlertaEn este caso, el término 2x 2 − 8 no reúne las condiciones para la factorización como diferencia de cuadrados, por esta razón es necesario realizar una factorización previa: ( )− = −x x2 8 2 42 2 .

Como se puede ver, existe indeterminación. Por esta razón, primero se lleva a cabo la factorización:

lim limx x

xx

xx→ −

− + =

→ −

−+

=−( )+

=5

2

5 5 0

5

23 75

53 25

5llim

x

x xx→ −

−( ) +( )+5

3 5 55


limx

x→ −

−( ) = − −( ) = −5

3 5 3 5 5 30

Solución

Calcular el límite:

lim 3 755

2xx

−+

Problema resuelto

Como existe indeterminación, se realiza la factorización:

limx

xx→

− =

−−2

3

2 2 0

82

Por tanto, la factorización para x3 − 8 es la siguiente:

( )( )− = − + +x x x x8 2 2 43 2

Regresando al límite, se tiene:

lim limx x

xx

x x xx→ →

−−

=−( ) + +( )

−2

3

2

282

2 2 42


limx

x x→

+ +( ) = ( ) + ( ) + =2

2 22 4 2 2 2 4 12

Solución

Calcular el límite:limx

xx→

−−2

3 82

Problema resuelto

AlertaEn este caso, el término x 3 − 8 representa una diferencia de cubos. Las factorizaciones tanto para la diferencia de cubos como para la suma de cubos son las siguientes:

( )( )+ = + − +a b a b a ab b3 3 2 2

( )( )− = − + +a b a b a ab b3 3 2 2


8


En este caso, el límite se indetermina y como se trata de una suma de cubos, es necesaria la factorización de la suma de cubos:

lim limx x

a b

xx

x→ −

− + =

→ −

+

++

= +3

3

3 3 0

3

3273

27

3 3

xx x x

x

a b a ab b

+=

+( ) − +( )→ −

+ − +

33 3 9

3

2

2 2

lim

x + 3


lim limx x

x x xx

x x→ − → −

+( ) − +( )+

= − +( ) = −3

2

3

23 3 9

33 9 33 3 3 93( ) − −( ) +

limx

xx→ −

++

=3

3 273

27

Solución


limx

xx→ −

++3

3 273

Problema resuelto

El límite presenta indeterminación; sin embargo, el término 2x3 − 2 no corresponde a una diferencia de cubos, debido a que ninguno de los términos tiene raíz cúbica exacta. Entonces, se realiza una factorización previa:

2 2 2 13 3x x− = −( )

Sustituyendo esta factorización y simplificando se obtiene:

lim lim limx x x

xx

xx

x→ → →

−−

=−( )

−=

−1

3

1

3

1

32 2

12 1

12 1(( )

−=

−( ) + +( )−

−

→

a b

xxx x x

x

3 3

12 1 1

11

2

lim

limx

x x→

+ +( ) = ( ) + ( ) +

= ( )

1

2 22 1 2 1 1 1 2 3

limx

xx→

−−

=1

32 21

6

Solución

Resolver el límite:

limx

xx→

−−1

32 21

Problema resuelto

Como existe indeterminación, primero se factoriza y luego se simplifica y sustituye:

Solución

Resolver el límite:

limx

xx→ −

++3

33 813

Problema resuelto



9

lim limx x

xx

xx→ −

− + =

→ −

++

=+( )

+=

3

3

3 3 0

3

33 81

33 27

3llim

x

a b

xx→ −

+

+( )+3

33 273

3 3

lim limx x

x x xx

x x→ − → −

+( ) − +( )+

= − +( )3

2

3

23 3 3 9

33 3 9 == −( ) − −( ) +

3 3 3 3 93

limx

xx→ −

++

= + +( ) =3

33 813

3 9 9 9 81

Como existe indeterminación, primero se factoriza el numerador, el cual cumple con la diferencia de cubos:

lim limx x

xx

xx→ →

( )−

−−

= −−3

434

34

64 278 6

64 278 6

3 3

8 66 0

3

34

3 3

3

64 278 6

=

→

−

→= −

−=

lim limx

a b

x

xx 44

4 3 16 12 98 6

2x x xx

−( ) + +( )−

En este caso, a pesar de la factorización del numerador no es posible la simplificación; por tanto, también es necesaria la factorización del denominador:

lim limx

x

x x xx→

−( )

−( ) + +( )−

=34

4 3 16 12 98 6

2

2 4 3 xx

x x xx→

−( ) + +( )−( )3

4

4 3 16 12 92 4 3

2

Simplificando y sustituyendo, se tiene:

limx

x x→

+ + = ( ) + ( ) +

3

4

16 12 92

16 12 92

12

34

2 34 == + +( )1

2 9 9 9

limx

xx→

−−

=34

64 278 6

272

3

Solución

Obtener el valor del siguiente límite:

limx

xx→

−−3

4

64 278 6

3

Problema resuelto

Se trata de un límite con indeterminación:

limx

x xx x→

( ) − ( )+ =

+ −− +5

2

2

5 7 5 10 0

67 10

2

En este caso, primero se realiza la factorización, la cual corresponde a la de un trinomio del tipo x 2 + bx + c:

Solución

Calcular el siguiente límite:

limx

x xx x→

+ −− +5

2

26

7 10

Problema resuelto AlertaPara la factorización de un trinomio del tipo x 2 + bx + c en el producto de dos binomios, es necesario encontrar dos números que multiplicados den como resultado el término independiente del trinomio c y que al mismo tiempo estos mismos números sumados algebraicamente produzcan el coeficiente del término lineal. Es importante destacar que el primer término de cada factor es x.


10

Límites y continuidadUNIDAD 1Entonces, primero se factoriza el numerador:

x x x x2 6 3 2+ − = +( ) −( )

Comprobación:

+( ) −( ) = −3 2 6 Término independiente.

+ − =3 2 1 Coeficiente del término lineal.

Enseguida, se factoriza el denominador:

x x x x2 7 10 5 2− + = −( ) −( )Comprobación:

−( ) −( ) =5 2 10 Término independiente.

− − = −5 2 7 Coeficiente del término lineal.

Sustituyendo ambas factorizaciones en el límite se tiene:

lim limx x

x xx x

x xx x→ →

+ −− +

=+( ) −( )−( )5

2

2 5

67 10

3 25 −−( )2


limx

xx→

+−

= +−5

35

5 35 5

Es necesario hacer notar que si a pesar de la factorización y de la simplificación, aún sigue presentándose la indeterminación, entonces se dice que no tiene límite.

El límite presenta indeterminación, por tanto se procede a factorizar:

limx

x xx x→ −

−( ) + −( )− =

+ −+ −4

2

2

4 2 4 8 0

122 8

2

Entonces, se factoriza el numerador:

x x x x2 12 4 34 3 12

4 3 1+ − = +( ) −( ) +( ) −( ) = −

+ − =

Luego, se factoriza el denominador:

x x x x2 2 8 4 24 2 8

4 2 2+ − = +( ) −( ) +( ) −( ) = −

+ − =

Sustituyendo:

lim limx x

x xx x

x xx→ − → −

+ −+ −

=+( ) −( )+(4

2

2 4

122 8

4 34)) −( )x 2

Simplificando y sustituyendo se tiene:

limx

xx→ −

−−

= − −− −

= −−4

32

4 34 2

76

limx

x xx x→ −

+ −+ −

=4

2

212

2 876

Solución

Calcular el siguiente límite:lim

x

x xx x→ −

+ −+ −4

2

212

2 8

Problema resuelto



11

En este caso, primero se sustituye el valor límite de x en el denominador:

lim limx x

x xx x

x xx x→ − → −

+ −− +

= + −− +2

2

2 2

2

23 43 2

3 43 2

−−( ) − −( )+ =2 3 2 2 122

Como el límite no presenta indeterminación, basta con sustituir en el numerador y realizar la simplificación:

limx

x xx x

x x→ −

−( ) + −( )− =

+ −− +

= + −2

2

2

2

2 3 2 4

3 43 2

3 4

2 −−

= −

6

126

12

limx

x xx x→ −

+ −− +

= −2

2

23 43 2

12

Solución


limx

x xx x→ −

+ −− +2

2

23 43 2

Problema resuelto

Primero, se verifica si existe indeterminación:

lim

x

x xx x→

+

+ ++ −5

2

2

2

2 52

52

5 17 62 15

2

− =15 0

Puesto que el límite se indetermina, es necesario realizar la factorización. Debido a que se trata de un trinomio de la forma ax bx c2 + + , su factorización se realiza de una manera diferente: Primero se realiza la factorización del numerador:

5 17 62x x+ +

Luego, se descompone el coeficiente a, en este caso 5, en el producto de dos números enteros:

5 5 1= ×

Esta es la única opción de descomposición, por tratarse de un número primo. Enseguida, se descompone el término independiente c, en este caso 6, en el producto de dos números enteros.

62 36 1

=××

Aquí se emplean los productos de los dos números en ambas formas, 2 × 3 y 3 × 2, y se aplica para cada pareja de números:

6

2 33 26 11 6

=

××××

Solución


limx

x xx x→

+ ++ −5

2

2

25 17 62 15

Problema resuelto

AlertaEn este caso, como se trata de un trinomio de la forma ax bx c2 + + ; la factorización se realiza a través de un procedimiento diferente (el cual se describe paso a paso en la solución del problema).


12

Límites y continuidadUNIDAD 1Es importante hacer notar que esto no se realiza en el caso de la descomposición del coeficiente a. Acto seguido, se emplean los productos señalados:

5 17 65 1

2

2 33 26 11 6

• × • ××××

+ + x x

Del producto 5 × 1 se obtienen los coeficientes de x de cada factor:

5 17 6 5 12x x x x+ + = ( )( )Del producto 2 × 3 se obtienen los términos independientes de cada factor:

5 17 6 5 2 32x x x x+ + = ( )( )Los signos los determina el término lineal:

5 3 15

5

x x

x

( )( )=

22 17 5 5 2 1 3+ + = ( )( )x x x

2 1 2( )( )=x x

Entonces, la suma algebraica de estos dos productos debe dar como resultado el término lineal:

15 2 17x x x+ = +

Puesto que la suma coincide, ambos signos son positivos. Entonces se puede afirmar que esta es la factorización:

5 17 6 5 2 32x x x x+ + = +( ) +( )Ahora se realiza la factorización del denominador:

2 1 152x x+ −

Entonces, se procede en forma similar:

2 152 1

2

3 55 315 11 15

× ×××

×

+ − x x

Así, empleamos los productos indicados para realizar la factorización:

2 15 2 3 1 52 1

2

3 55 315 11 15

• × • ×××

×

+ − = ( )( ) x x x x

2x( ))( )=

( )( )=

+ − = ( )( )5 10

2

3 1 3

2 15 2 3 1 5

x

x x

x x x x

Recuérdese que la suma algebraica de estos productos debe coincidir con el término lineal del trinomio:

10 3 7 10 3 13x x x x x xsumando

− = + =restando

Como no hay forma de acomodar los signos para que el resultado sea +x, se busca otra opción:

2 3 6

22

x x

x x

( )( )=

+ −− = −( ) +( )15 2 5 3x x

5 5( )( )=x x

6 5x x x− = +



13

2xx x

x x x x

( )( )=

+ − = −( ) +( )

3 6

22 15 2 5 3 −( )( )=−5 5x x

Esta es la opción correcta, por tanto la factorización es:

2 15 2 5 32x x x x+ − = −( ) +( )

Al sustituir estas dos factorizaciones en el límite se tiene:

lim limx x

x xx x

x x

→ →

+ ++ −

=+( ) +( )

52

2

2 52

5 17 62 15

5 2 322 5 3x x−( ) +( )


limx

xx→

+−

= ( ) +

( ) −=

52

5252

2925 2

2 55 22 5 0

A pesar de la factorización sigue presentándose la indeterminación; por tanto, se dice que no tiene límite.

Primero, se verifica la existencia de la indeterminación:

limx

x xx x→ −

−( ) − −( )− =

+ +− −2

3

2

2

3 4 4 0

3 11 63 4 4

23

2 23

Enseguida, al indeterminarse se procede a la factorización.

Factorización del numerador:

3 3x( )( )==

• × ×• ×

××

+ + = ( )( )9

3 1

2

3 22 3

6 11 6

3 11 6 3 2 1 3

x

x x x x

2 1( ) x(( )=2x

9 2 11x x x+ = +

3 11 6 3 2 32x x x x+ + = +( ) +( )

Factorización del denominador:

3 2x( )( )=66

3 1

2

2 21 44 1

3 4 4 3 2 1 2

x

x x x x• × • ×

××

− − = ( )( )

2 1 2( )( )=x x

Luego, se analizan los signos de los productos para la obtención de −4x:

− + = −6 2 4x x x

Solución


limx

x xx x→ −

+ +− −2

3

2

23 11 63 4 4

Problema resuelto


14

Límites y continuidadUNIDAD 1 3 2 6

23

x x

x

( ) −( )=−

− 44 4 3 2 2x x x− = +( ) −( )

2 2( )( )=+x x

3 4 4 3 2 22x x x x− − = +( ) −( )

Sustituyendo las factorizaciones en el límite, simplificando y sustituyendo el valor de x, se tiene:

lim limx x

x xx x

x x

→ − → −

+ +− −

=+( ) +

23

2

2 23

3 11 63 4 4

3 2 3(( )+( ) −( ) = +

−=

− +− −

=→ −3 2 2

32

322

3

2323

73

x xxxx

lim−− 8

3

limx

x xx x→ −

+ +− −

= −23

2

23 11 63 4 4

78

Para la solución de este límite se procede de manera diferente; sin embargo, el primer paso si es el mismo, verificar la existencia de la indeterminación:

limx

xx→

− ( ) − =

−− −3

2

2

5 3 3 2 0

95 3 2

2

Como se puede observar si existe indeterminación; para eliminarla, se multiplica y se divide por el binomio conjugado del denominador.

limx

a b a

xx

xx→

−

−− −

⋅ + −+ −3

2

2

2

2

95 3 2

5 3 25 3 2

++b

Entonces, el producto de numeradores queda expresado como:

limx

a b

x x

x→

−

−( ) + −( )( ) − −( )3

2 2

2 22

9 5 3 2

5 3 22 2

Suprimiendo los paréntesis:

lim limx x

x x

x

x

→ →

−( ) + −( )( ) − −( )

=−

3

2 2

2 2 3

9 5 3 2

5 3 2

9 22 2

2

5 3 2

25 3 2( ) + −( )

− +

x

x

Sumando términos semejantes en el denominador se obtiene:

=−( ) + −( )

−→limx

x x

x3

2 2

2

9 5 3 2

27 3

Factorizando para poder realizar la simplificación:

lim limx x

x x

x

x→ →

−( ) + −( )−( )

= + −3

2 2

2 3

29 5 3 2

3 9

5 3 23

Solución


limx

xx→

−− −3

2

2

95 3 2

Problema resuelto

AlertaEl producto de binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados:

a b a b a b−( ) +( ) = −2 2



15

Por último, al sustituir se tiene:

=+ ( ) −

= + − = +5 3 3 2

35 27 2

35 25

3

2

limx

xx→

−− −

=3

2

2

95 3 2

103

Como se sabe, primero se verifica la existencia de la indeterminación:

limx

xx→

− ( ) − =

−− −2 2

16 3 2 2 0

216 3 2

2

Debido a que se confirma la existencia de la indeterminación, enseguida se procede al producto y la división del binomio conjugado del denominador:

limx

a b

xx

xx→

−

−− −

⋅ − +− +2 2

2

2

216 3 2

16 3 216 3 22

a b+

=

Entonces, se obtiene la diferencia de cuadrados en el denominador y se simplifica:

=−( ) − +( )

−( ) − ( )→

−

limx

a b

x x

x2

2

22 2

2 16 3 2

16 3 22 2

=−( ) − +( )

− −=

→limx

x x

x2

2

2

2 16 3 2

16 3 4

limx

x x

x→

−( ) − +( )−2

2

2

2 16 3 2

12 3

Enseguida, es necesario factorizar el denominador para hacer posible la simplificación:

=−( ) − +( )

−( )→limx

x x

x2

2

2

2 16 3 2

3 4

En este caso, el denominador toma la forma de una diferencia de cuadrados, la cual es necesario factorizar.

lim limx

a b

x

x x

x→

−

−( ) − +( )−( )

=2

2

2

2 16 3 2

3 42 2

→→

−( ) − +( )−( ) +( )2

22 16 3 2

3 2 2

x x

x x

Luego, se simplifica y se sustituye:

( )( )

( ) ( )− +

+= − +

+= +

+→

xlim 16 3 23 2 2

16 3 2 23 2 2

2 23 2 2x 2

2 2

limx

xx→

−− −

=2 2

216 3 2

13

Solución

Calcular el valor del límite:

limx

xx→

−− −2 2

216 3 2

Problema resuelto


16


Primero, verificamos si existe la indeterminación:

limx

xx→

−− −

= −− ( ) −

=1

110 9 1

1 110 9 1 1

00

Al comprobar la indeterminación se procede a eliminarla. Entonces, se multiplica y divide por el binomio conjugado del denominador:

limx

xx

xx→

−− −

⋅ − +− +1

110 9 1

10 9 110 9 1

Entonces, el producto de los denominadores da como resultado una diferencia de cuadrados:

lim limx x

xx

xx

x→ →

−− −

⋅ − +− +

=−( )

1 1

110 9 1

10 9 110 9 1

1 110 9 1

10 9 12 2

− +( )−( ) − ( )

x

x

Simplificando:

=−( ) − +( )

− −=

−( ) −→ →

lim limx x

x x

x

x1 1

1 10 9 1

10 9 1

1 10 99 1

9 9

x

x

+( )−

=−( ) − +( )

−( )→limx

x x

x1

1 10 9 1

9 1

Acomodando términos para poder realizar la simplificación, se tiene:

=− −( ) − +( )

−( ) =− − +

→ →lim limx x

x x

x

x1 1

1 10 9 1

9 1

10 9 1(( )9

Por último, se sustituye el valor límite de x y se realizan las operaciones:

lim lim limx x x

x→ → →

− − +( ) =− − ( ) +( )

=1 1

10 9 1

9

10 9 1 1

9 11

1 19

− +( )

limx

xx→

−− −

= −1

110 9 1

29

Solución


limx

xx→

−− −1

110 9 1

Problema resuelto

En los límites al infinito no es posible verificar la existencia de la indeterminación. Entonces, para su resolución, primero se dividen tanto el numerador como el denominador entre el término x de mayor grado.

limx

xx

xx x

xx

xx x

→∞

− +

+ −

6 23 15

6 7 10

2

2 2 2

2

2 2 2

Solución


limx

x xx x→∞

− ++ −

6 23 156 7 10

2

2

Problema resuelto



17

Luego, al simplificar se obtiene:

limx

x x

x x→∞

− +

+ −

6 23 15

6 7 102

2

Como se puede observar, como resultado se obtienen cuatro fracciones con x en el denominador:

Entonces, como la fracción 1x

tiende a cero conforme x tiende a infinito, ocurrirá lo mismo con la

fracción 12x

; por ende, cada una de estas fracciones se eliminará. Matemáticamente el resultado es el

siguiente límite:

limx x→∞

=1 0

Al aplicarlo a nuestro problema, obtenemos:

limx

x x

x x→∞

− +

+ −= − +

+ += =

6 23 15

6 7 106 0 06 0 0

66

12

2

AlertaCon la finalidad de demostrar qué ocurre cuando x tiende a infinito

en la fracción 1x se hace

una tabulación, como la que se muestra a continuación.

tabla 1.2

x 1x

1 1

10 0.1

100 0.01

1 000 0.001

x →∞ 1 0x

→

En este caso, primero se divide cada término entre x3:

lim limx x

xx

xx x

xx

xx x

→∞ →∞

+ −

− +=

9 11 10

3 5

93

3 3 3

2

3 3 3

++ −

− += + −

− +

11 10

3 1 59 0 00 0 0

2 3

2 3

x x

x x x

limx

x xx x→∞

+ −− +

=9 11 103 5

90

3

2

No obstante lo anterior, se presenta la indeterminación; por consiguiente, no existe el límite.

Solución


limx

x xx x→∞

+ −− +

9 11 103 5

3

2

Problema resuelto

En este caso, cada término se divide entre x3 y se simplifica:

lim limx x

xx

xx x

xx

xx x

→∞ →

− −

− +=

10 15 1

2 5 6

2

3 3 3

3

3

2

3 3∞∞

− −

− +

10 15 1

2 5 62 3

3

x x x

x x

Solución


limx

x xx x→∞

− −− +

10 15 12 5 6

2

3 2

Problema resuelto


18

Límites y continuidadUNIDAD 1limx→∞

= − −− +

0 0 02 0 0

limx

x xx x→∞

− −− +

= =10 15 12 5 6

02

02

3 2

En este caso, el límite sigue siendo al infinito; sin embargo, cambia la forma de la función. Por consiguiente, la función se multiplica y divide por el binomio conjugado, con el fin de obtener la diferencia de cuadrados:

limx

x x x x x xx x x→ ∞

+ + − +( ) ⋅ + + + ++ + + +

2 22 2

2 21 1 1 1

1 1

limx

x x x x x x

x x x→ ∞

+ + − +( ) + + + +( )+ + + +

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

limx

x x x

x x x→ ∞

+ +( ) − +( )+ + + +

22

22

2 2

1 1

1 1

Luego, se suprimen los paréntesis:

= + + − −+ + + +→ ∞

limx

x x xx x x

2 2

2 2

1 11 1

Sumando términos semejantes se obtiene:

limx

xx x x→ ∞ + + + +2 21 1

Una vez expresado el límite como fracción, se divide entre x y se realiza la simplificación:

limx

xx

xx x x→ ∞ + + + +( )1 1 12 2

limx x

xxx x

xx x

→ ∞+ + + +

11 12

2 2 2

2

2 2

=+ + + +→ ∞

limx

x x x

1

1 1 1 1 12 2

Recordando que limx x→∞

=1 0 , tenemos:

=+ + + +

=+ + + +→ ∞

limx

x x x

1

1 1 1 1 11

1 0 0 1 02 2

Solución


limx

x x x→ ∞

+ + − +( )2 21 1

Problema resuelto



19

=+

=+

11 1

11 1

limx

x x x→ ∞

+ + − +( ) =2 21 1 12

El primer paso es dividir al numerador y al denominador entre x:

lim limx x

xx

xx

xx

→ ∞ → ∞

+= +

1 1 2 1 1 22

2

Luego, el término 1x se eleva al cuadrado para poder colocarlo dentro de la raíz:

lim lim limx x xx

xx

xx x→ ∞ → ∞ → ∞

+( ) = + = +1 1 2 1 2 12

22

2

2 2 22 0 2= +

limx

xx→ ∞

+ =1 2 22

Solución

Obtener el límite de:

limx

xx→ ∞

+1 2 2

Problema resuelto

Como primer paso, los términos x −1 se representan como fracción y se suman algebraicamente las fracciones:

lim lim limx x x

x xx x

xx

xx

xx

→ ∞

−

− → ∞ → ∞

+−

=+

−=

+1

1

1

11

1

xxx

xx

xx

x

11

1

1

2

2−

=+

−→ ∞lim

Luego, simplificando denominadores se obtiene:

lim limx x

xx

xx

xx→ ∞ → ∞

+

−= +

−

2

2

2

2

1

111

Por último, cada término se divide entre x 2, se simplifica y se aplica el límite al infinito:

lim limx x

xx xxx x

x

x→ ∞ → ∞

+

−=

+

−= +

2

2 2

2

2 2

2

2

1

1

1 1

1 11 011 0−

limx

x xx x→ ∞

−

−+−

=1

1 1

Solución


limx

x xx x→ ∞

−

−+−

1

1

Problema resuelto


20

Límites y continuidadUNIDAD 1Límites de funciones trigonométricas ❚

En el caso particular del límite limx

sen xx→ 0

, es posible observar que este límite no existe para x = 0; sin em

bargo, sí está definido para cualquier otro valor de x. Entonces, de aquí surge la idea intuitiva de límite, razón por la cual se construye la gráfica de dicha función.

y

x

5–5–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10–10–15–20 15 20

Figura 1.7

A pesar de que gráficamente aparenta ser una función continua, esta tiene una discontinuidad en el punto x = 0. Por esta razón, es conveniente solucionarla mediante una tabulación, en la cual x tienda a cero por la izquierda y por la derecha.

Tabla 1.3

xsen x

xx

sen xx

−1 0.8415 1 0.8415

−0.8 0.8967 0.8 0.8967

−0.5 0.9589 0.5 0.9589

−0.2 0.9933 0.2 0.9933

−0.1 0.9983 0.1 0.9983

−0.01 0.99998 0.01 0.99998

Como se observa en la tabulación, independientemente de que nos acerquemos por la izquierda

o por la derecha a x = 0, en ambos casos sen xx

tiende a acercarse a la unidad.

1.2 Continuidad

Una idea intuitiva de una función continua es que su gráfica se pueda trazar sin cortes; es decir, trazarla sin despegar el lápiz del papel.

Continuidad en un punto ❚

Para que exista continuidad en un punto x, se deben cumplir las siguientes condiciones:

a) f (x ) debe estar definida.

b) Debe existir el límite limx x

f x→

( ) .



21

c) Se debe cumplir la igualdad limx x

f x f x→

( ) = ( ) .

La función f (x) será discontinua en x, si por lo menos una de las tres condiciones anteriores no se cumple.

–2–2

2

4

6

8

–4

–6

–8

2 4 6 8–4–6–8

Figura 1.8

Como se puede observar en la gráfica de la figura 1.8, no hay continuidad. Por tanto, la función

correspondiente a esta gráfica es f xx( ) = 1 , o sea que las funciones fraccionarias son las que presentan

dicha discontinuidad.

Primero se hace f (2):

f 2 32 1

31

3( ) = ( ) −= =

Entonces, se cumple que f (2) está definida en x = 2.

Luego, se calcula el límite limx

f x→

( )2

:

lim limx x

f xx→ →

( ) =−

= ( ) −=

2 2

31

32 1

3

Como se puede observar sí existe el límite. Puesto que se cumple limx

f x f→

( ) = ( )2

2 , entonces f (x) es continua en x = 2. Sin embargo, la función no será continua en x = 1.De esta forma, la gráfica de esta función es la siguiente:

5

1

–1

–2

–3

–4

2

3

4

–5–10–15–20 10 15 20

y

x

Figura 1.9

Solución

Determinar si la función f(x), definida por 3

1x − , es continua en x = 2.

Problema resuelto


22


Primero, se realiza la factorización del numerador:

f x x xx

x xx( ) = + −

+=

+( ) −( )+

2 22

2 12

Luego, simplificando:

f x x( ) = −1

Para f (−2), tenemos:

f −( ) = − − = −2 2 1 3

Además:

lim lim limx x x

f x x xx

x x→ − → − → −

( ) = + −+

=+( ) −

2 2

2

2

22

2 112

1 32

( )+

= −( ) = −→ −x

xxlim

Entonces, se cumple que limx

f x f→ −

( ) = −( )2

2 , por lo que f (x) es continua en x = −2.

La representación gráfica de la función es la siguiente.

y

x

2–2–4–6–8 4 6 8

–1

2

4

6

8

–1

–1

–1

Figura 1.10

Solución

Sea f (x) la función definida por f x x xx( ) = + −

+2 2

2. Determinar si f (x) es continua en x = −2.

Problema resuelto

Para x = 1Primero, se evalúa f (1):

f 1 11 2

13

( ) =+

=

Solución

Analizar la continuidad de f xx

( ) =+1

2 en los puntos donde x = 1, −2, 0.

Problema resuelto



23

Luego, se aplica el límite:

lim limx x

f xx→ →

( ) =+

=+

=1 1

12

11 2

13

Puesto que limx

f x f→

( ) = ( )1

1 , entonces f (x) es continua en x = 1.

Para x = −2 Primero, se evalúa f (−2):

f −( ) =− +

=2 12 2

10

En este caso, la función se indetermina en x = −2; por tanto, no es continua en este punto.Para x = 0Como primer paso se evalúa f (0):

f 0 10 2

12( ) =

+=

Luego, se aplica el límite:

lim limx x

f xx→ →

( ) =+

=+

=0 0

12

10 2

12

Como limx

f x f→

( ) = ( )0

0 , entonces f (x) es continua en x = 0.

En la gráfica siguiente se observa la discontinuidad en x = −2.

y

x

2 4 6 8–2–4–6–8

–2

–4

–6

–8

2

4

6

8

Figura 1.11

Para x = 3Primero, se factoriza el numerador de f (x) mediante diferencia de cubos:

a b a b a ab b3 3 2 2− = −( ) + +( )

f x xx

x x xx

x x( ) = −−

=−( ) + +( )

−= + +

3 2227

33 3 9

33 9

Solución

Analizar f x xx( ) = −

−3 27

3 en x = 3, x = 4 y x = 0.

Problema resuelto


24


1.3 Aplicación de los límites a la vida cotidiana

Los límites son de gran utilidad en diferentes áreas del conocimiento. A continuación se presentan algunos problemas de aplicación resueltos con detalle.

Luego, se evalúa f (3):

f 3 3 3 3 9 272( ) = + ( ) + =

Aplicando el límite:

lim lim limx x x

f x xx

x x x→ → →

( ) = −−

= −( ) + +3 3

3

3

2273

3 3 993

3 93

2( )−

= + +( )→x

x xxlim

limx

f x→

( ) = + ( ) + =3

23 3 3 9 27

Es claro que el límite existe y f f xx

33

( ) = ( )→

lim , por tanto, f x xx

( ) = −−

3 273

es continua en x = 3.

Para x = 4Primero:

f 44 274 3

373

( ) = ( ) −−

=

Luego, se aplica el límite para x = 4:

lim limx x

f x→ →

( ) = ( ) −−

=4 4

34 274 3

37

Puesto que f f xx

44

( ) = ( )→

lim , entonces f (x) es continua en x = 4.

Para x = 0.Primero:

f 00 270 3

93

( ) = ( ) −−

=

Luego, se aplica el límite en x = 0:

lim limx x

f x→ →

( ) = ( ) −−

=0 0

30 270 3

9

Como f f xx

00

( ) = ( )→

lim , entonces f (x) es continua en x = 0.

y

x

1 2 3 4–1–2–3–4

5

–5

10

15

20

25

30

Figura 1.12

El precio de un microcircuito electrónico está definido en función del tiempo, de acuerdo con la siguiente expresión:

Problema resuelto



25

P t x tt y( ) = +

+360

Donde P (t ) es el precio, x, y representan dos constantes a determinar y t es el tiempo dado en meses. Dado que se estima que el precio del microcircuito electrónico para el próximo mes será de 160 pesos y que al siguiente mes su precio bajará, estimándose en 150 pesos. Calcular:

a) El precio inicial del microcircuito electrónico.b) El mes en que el precio será de 135 pesos.c) ¿Cuál será su valor a largo plazo?

a) Para calcular el precio inicial del microcircuito electrónico es necesario calcular el valor de las incóg

nitas en la expresión P t x tt y( ) = +

+360 . Con base en este objetivo, se sustituyen los costos en el primer

y segundo meses:

P P1 160 2 150( ) = ( ) =

Luego, se sustituyen los datos del primer mes y se realizan operaciones:

Px

y1 160

1 3601

( ) = = ( ) +( ) +

160 3601

= ++

xy

160 1 360+( ) = +y x

160 160 360+ = +y x

− + = −x y160 360 160

− + = ( )x y I160 200

Enseguida, se sustituyen los datos del segundo mes y se realizan operaciones:

Px

y2 150

2 3602

( ) = = ( ) +( ) +

150 2 3602

= ++

xy

150 2 2 360+( ) = +y x

300 150 2 360+ = +y x

− + = −2 150 360 300x y

− + = ( )2 150 60x y II

Con las ecuaciones I y II se plantea un sistema de ecuaciones simultáneas:

− + =− + =

x yx y

160 2002 150 60

Multiplicando la primera ecuación por (−2), se tiene:

2 320 4002 150 60x yx y− = −

− + =

Sumando las ecuaciones:

− = −170 340yy = 2

Sustituyendo en − + =x y160 200 :

− + ( ) =x 160 2 200

Solución


26

Límites y continuidadUNIDAD 1x = 120

Sustituyendo en − + =x y160 200 y despejando:

x = 120

La solución del sistema es:

x y= =120 2

Entonces:

P t tt( ) = +

+120 360

2

Por tanto, el precio inicial del microcircuito electrónico es cuando t = 0:

P t( ) = ( ) +( ) +

=120 0 360

0 2180

Esto es; el precio inicial del microcircuito electrónico es de 180 pesos.

b) Para el precio de 135 pesos, el tiempo es de:

135 120 3602

= ++t

t

135 2 120 360t t+( ) = +

135 270 120 360t t+ = +

135 120 360 270t t− = −

15 90t =t = 6

Entonces, se puede afirmar que al sexto mes el precio será de 135 pesos.

c) Por último, a largo plazo se tiene que t → ∞ , por tanto se aplica el límite limt

tt→ ∞

++

120 3602

.

lim lim limt t

tt

tt ttt t

→ ∞ → ∞

++

=+

+=120 360

2

120 360

2 tt

t

t→ ∞

+

+= +

+=

120 360

1 2120 0

1 0120

Por tanto, el costo a largo plazo se estabilizará en 120 pesos.

AlertaRecuérdese que cuando en un límite t →∞, su solución se obtiene dividiendo cada término entre la t de mayor grado.

El crecimiento de la población P (t ) de una ciudad se manifiesta de forma exponencial, de acuerdo con la siguiente expresión:

P te t( ) =

+ −105

11 10 0 05.

Dado en millones de habitantes. Calcular:

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿En cuánto tiempo la población será de 6 millones de habitantes?

c) ¿De cuántos millones será la población en 50 años?

d) A largo plazo, ¿cuál será el comportamiento de la población?

Problema resuelto



27

a) Para el cálculo de la población actual, tenemos que t = 0:

Pe

0 10511 10

10511 10 1

10511 100 05 0

( ) =+

=+ ( ) =

+− ( ).

P 0 5( ) =

Entonces, la población en la actualidad es de 5 millones de personas.

b) Se parte de una población de 6 millones de habitantes, así que P t( ) = 6 . Por tanto, debemos calcular el tiempo para esta población:

P te t( ) = =

+ −6 10511 10 0 05.

6 11 10 1050 05+( ) =−e t.

66 60 1050 05+ =−e t.

60 105 660 05e t− = −.

e t− =0 05 3960

.

e t− =0 05 0 65. .

Para eliminar la función exponencial, aplicamos el logaritmo natural a la última expresión:

ln ln ..e t− =0 05 0 65

− =0 05 0 65. ln .t

t =−ln .

.0 650 05

t = 8 61.

Entonces, la población ascenderá a 6 millones de habitantes al cabo de 8 años, 7 meses.

c) Para realizar la estimación de la población después de 50 años, tenemos que calcular P (50):

Pe

50 10511 10 0 05 50( ) =

+ − ( ).

P 50 8 88( ) = .

Entonces, al cabo de 50 años, la población ascenderá a 8.88 millones de habitantes.

d) Para determinar qué ocurrirá a largo plazo, primero se aplica el límite con tiempo al infinito:

lim .x te→ ∞ −+105

11 10 0 05

Luego, para la solución de este límite reescribimos la expresión con el exponente positivo:

lim.

xte

→ ∞ +

105

11 100 05

Enseguida, mediante una tabulación se demostrará qué ocurre conforme el tiempo tiende a infinito.

Solución


28

Límites y continuidadUNIDAD 1Tabla 1.4

t 100.05e t

0 10

5 7.78

10 6.06

50 0.82

75 0.24

t →∞ 10 00 05e t. →

De acuerdo con la tabla anterior, tenemos que:

lim ..

xte

→ ∞ +=

+=105

11 10105

11 09 54

0 05

Por tanto, a largo plazo, la población tenderá a estabilizarse en 9.54 millones de habitantes.

Aplicando los teoremas sobre límites, resolver los siguientes límites.

1.1 limx→

=18

1.2 limx

x→

−( ) =0

1

1.3 limx

x x→ −

− +( ) =3

22 4 1

1.4 limx

x x x→

+ − +( ) =1

3 24 7 5

1.5 limx

xx→ −

−+

=1

3 23 2

1.6 limx

xx→ −

+−1

2

211

1.7 limx

x x x x→

+ − + −( ) =5

4 3 22 8 9

1.8 limx

x xx x→

− ++ −

=1

2

22 5 6

1

1.9 Para la función f x xx( ) = −

−2 1

1.

a) Calcular y tabular los valores cuando x toma los siguientes valores: 0, 0.5, 0.9, 0.99, 0.999, 2, 1.5, 1,1, 1.01 y 1.001.

b) Determinara a cuál valor aparenta acercarse f (x) conforme x se acerca a 1.

c) Graficar la función.

Problemas para resolver

1.10 Sea la función f x xx( ) = sen .

a) Calcular y tabular los valores cuando x toma los siguientes valores: 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 y para −1, −0.5, −0.1, −0.01 y 0.001.

b) Determinar a cuál valor se acerca f (x) cuando x tiende a cero

c) Graficar la función.

Para las siguientes funciones, determinar cuál es su tipo de límite (límite por la derecha o límite por la izquierda).

1.11 f x x( ) = −2 4

1.12 f x x( ) = −4 2

1.13 f x x( ) = −3 6

1.14 f x x( ) = −3 6

1.15 f x x x( ) = −2 2

1.16 f x x x( ) = −3 2

Resolver los siguientes límites.

1.17 limx

xx→

−−

=4

24 644

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