CALCULO DIFERENCIALTarea 4

Si es necesario utilice las siguientes identidades sen2A+ cos2A = 1 sen (AB) = senA cosB cosA senB cos(AB) = cosA cosB senA senBTambien puede utilizar los siguientes lmites

limx!0

senx

x= 1

limx!0

1 cosxx

= 0

limx!0

1 cosxx2

=1

2

1. Calcule los siguientes lmites, si existen

a. limx!2

x2 + 1

x2 5b. lim

x!3x2 9x2 + 5

c. limx!1

x3 3x+ 1

x 5 + 1

d. limx!2

x2 + 1

2x 1e. lim

x!p3x2 3

x4 x2 5

f. limx!p3

x2 3x4 x2 6

g. limx!1

x2 + 2x+ 1

x3 5x 4h. lim

x!0x2 7x+ 1x2 5x+ 11

i. limx!2

x2 + 1

x2 5j. lim

x!0(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) 1

x

k. limx!2

x2 5x+ 6x2 8x+ 15

l. limx!1

x3 3x+ 2x4 4x2 + 3

m. limx!1

x3 2x 1x5 2x3 1

n. limx!1

x+ x2 + + xn nx 1

o. limx! 1

2

8x3 16x2 5x+ 1

p. limx!2

1

x2 + 5 3xx 4

q. lim

x!1(x+ 1)

px+ 2

x2 1r. lim

x!1x3 + x2 1

x4 x3 + x2 2x+ 1s. lim

x!1

1

1 x 3

1 x3

(Sug: Haga la fraccion)

t. limx!2

1

x(x 2)2 1

x2 3x+ 2

u. limx!1

x+ 2

x2 5x+ 4 +x 4

3(x2 3x+ 2)

v. limx!1

xm 1xn 1 , m y n son enteros positivos.

2. Calcule los siguientes lmites, si existen

a. limx!0

sen 5x

x

b. limx!0

sen (x)x

c. limx!0

tanx senxx2

d. limx!

sen 5x

sen 2x(Sug: Cambie a una variable y tal quey ! 0)

e. limx!

senmx

sennx

f. limx!

sen 5x

sen 2x

g. limx!0

1 cosxsen2 x

h. limx!0

tan 2x

sen 5x

i. limx!0

sen (xm)

(senx)n

j. limx!0

sen 3x senxsen2 x

k. limx!a

senx sen ax a

l. limx!a

cosx cos ax a

m. limx!a

tanx tan ax a

n. limx!

2

1 senx2 x2

1

o. limx!

senx

1 x2

2

p. limx!1

(1 x) tan x2

q. limx!0

1

senx 1

tanx

3. Calcule los siguientes lmites, si existen

a. limx!2

x(x+ 2)(x 5)b. lim

x!3x3 6x+ 1

c. limx!1

x2 3x+ 1x 5

d. limx!2

x2 + 1

x 2e. lim

x!p3+x2 + 3x

x4 x2 6

f. limx!5

x2 3x2 4x 5

g. limx!1+

x2 + x+ 1

x3 5x 4h. lim

x!0x2 7x+ 1x2 5x

i. limx!2

x+ 1

x 5j. lim

x!0+(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) 1

x

k. limx!2

x

4x2 8xl. lim

x!11

jx2 1jm. lim

x!1(7x+ 1)j3x+ 3j

n. limx!3

jx2 9j

o. limx!0

pxx2 5x+ 1

p. limx!2+

1

x 2 3x

x2 4

q. limh!0

ph+ 2p2

h

r. limk!3

3

k 1

k 34. Considere la funcion

h(x) =

x2; x 36 x; x > 3

Calcule

a. limx!3+

h(x)

b. limx!3

h(x)

c. limx!3

h(x)

5. Calcule los siguientes lmites, si existen

a. limx!+1

3x 2x2

b. limx!1

2 3x 7x33 + x2 19x3

c. limx!+1

rx2 + 2

x2 5d. lim

x!+1

p3x2 x+ 100p

11x2 + x

e. limx!1

px2 + 2x 1 + x

f. lim

x!1

p3x2 2x 2

g. limx!+1

px2 + ax x

6. Considere la funcion

p(x) =

8 0

Calcule

a. limx!+1 p(x)

b. limx!1 p(x)

7. Considere la funcion

q(x) =

8>>>:3x+ 2

4x2 + 1; x 200 000

p3x2 100 000

2 x ; x > 200 000

Calcule

a. limx!+1 q(x)

b. limx!1 q(x)

8. A continuacion se dan algunas funciones.Diga en que puntos es continua y en quepuntos no lo es, explicando cada respuesta.

a. f(x)2x3 4x+ 11b. g(x) =

x 1x2 + 16

2

c. h(x) = 5p3x 2

d. `(x) =x+ 4

x2 16e. m(x) =

4

x2 3xx2 6x+ 8

f. z(x) =x+ 4

jxj+ 16g. w(x) =

x+ 4

jxj 4h. u(x) =

4x

x2 + 23 3xx2 6x

i. m(x) =3 + x

2x2 + 5x 3j.

q(x) =

8>:3x+ 2; x < 5

10 +35

x; x 5

k.

r(x) =

8>:3

x+ 2; x 2

10; x > 29. Encuentre el valor de la constante k, si es

posible, para que la funcion dada sea con-tinua en todos los puntos

a.

f(x) =

(7x k; x 1x2 + 2; x > 1

b.

f(x) =

(2kx2; x < 2

4x 2; x 2c.

f(x) =

8>:7x k; x 1

2

x 1 ; x > 1

10. Encuentre los valores de las constantes y de tal forma que la funcion dada sea con-tinua en todas partes.

f(x) =

8>>>>>:x2 + 5; x > 2

(x+ 2) ; 1 < x 22x3 + x+ 7; x 1

11. De ejemplos de funciones tales que loslmites: lim

x!bf(x) y lim

x!bg(x) no existen pero

a. limx!b

(f(x) + g(x)) existe.

b. limx!b

(f(x) + g(x)) no existe.

12. Cuando se saca un pollo de un horno la tem-peratura de este puede medirse por medio deuna funcion P (t).

a. >Cual es el signicado del lmitelim

x!+1P (t)?

b. Si el pollo se encuentra en unahabitacion >cual sera el valor del lmiteanterior?

13. Imaginese un deposito muy grande en el cualhay inicialmente 500 litros de agua pura. Seintroduce en el deposito agua con sal a unatasa de 5 litros/min con una concentracionde sal de 0.02 kg/litro.

a. Encuentre una funcion que nos de-termine la concentracion de sal en eldeposito como una funcion del tiempo.

b. >Cual sera concentracion de sal en eldeposito cuando t! +1?

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