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Funciones

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Tipos de Funciones

1. Clasificacin de Funciones1.1. Funciones AlgebraicasLas funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresin algebraica.En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.Las funciones algebraicas pueden ser: Funcin explcitaUna funcin en la que la variable dependiente se expresa NICAMENTE en trminos de la variable independiente es una funcin explcita. La forma de estas funciones es y = f(x). Funcin implcitaUna funcin: f(x, y)= 0 es llamada funcin implcita, si la variable dependiente no se produce de forma explcita, en un lado de la ecuacin, en trminos de la variable independiente. En una funcin implcita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuacin en trminos de x. La ecuacin polinmica, conteniendo los trminos tanto de x e y son muy difciles de resolver. Si la ecuacin no se resuelve para y, entonces y se llama una funcin implcita en trminos de x, y tal ecuacin se denomina funcin implcita. Una funcin implcita es generalmente de la forma,

Una funcin implcita tambin se conoce como un conjunto de nivel de cualquier funcin en trminos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna frmula especfica para determinar una variable en trminos de otra variable.Las funciones implcitas y las funciones explcitas estn relacionadas entre s con la ayuda del teorema de la funcin implcita. Segn este teorema, si la funcin implcita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta funcin para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeo.Si nos fijamos en la grfica de una funcin implcita, nos encontraramos con que su grfica se superpone con la grfica de la funcin f(x) = y, localmente.Para tener una mejor comprensin, veamos el ejemplo dado a continuacin,

Aqu x es una funcin implcita en trminos de y, tambin y es una funcin implcita en trminos de x. Para resolver la ecuacin para la variable y, la ecuacin se convertira,

En la ecuacin anterior, y es la funcin explcita de x. En el penltimo ejemplo era fcil resolver la ecuacin para y en trminos de x, pero hay ocasiones en que la funcin dada es mucho ms compleja y no se puede resolver fcilmente.Una manera ms simple y conveniente para resolver tal funcin es utilizar el mtodo de diferenciacin. Primeramente, diferencie la funcin dada que producir la derivada dy/dx dx/dy, dependiendo de la variable que se considere implcita. Ahora resuelva para esta derivada.Existen muchos ms mtodos para solucionar la funcin implcita, algunos de los cuales son iterativos. Aunque los mtodos iterativos producen mejores resultados que los no iterativos en sus aproximaciones sucesivas, se utilizan en raras ocasiones debido a la complejidad que implica el uso de dichos mtodos.Al contrastar el nmero de ecuaciones (m) en el sistema con el nmero de variables (n), se puede adquirir informacin bsica acerca de ese conjunto de nivel. Si n> m entonces existen infinitas soluciones del sistema de ecuaciones. Dicho sistema tambin se denomina indeterminado. Si n = m, entonces tenemos una nica solucin a nivel local para el sistema de ecuaciones y la ecuacin se puede determinar con exactitud. Esto significa que si tenemos x como la solucin de la ecuacin entonces no existe ninguna otra solucin para la ecuacin cerca de x. Si n 1 el numerador es ms pequeo que el denominador y el cociente resulta menor que 1.

Veamos con ms detalle el comportamiento de la funcin cuando x se hace ms y ms grande. Conforme aumenta x la fraccin 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos movemos desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la curva se aproxima al eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la funcin se comporta como una recta horizontal. A esta recta la llamamos asntota horizontal.La recta y=b es una asntota horizontal de la grfica de f(x) si f(x) se aproxima a b conforme x aumenta o disminuye sin cota.En este primer caso, la asntota horizontal es el eje de abcisas:Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador se est aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La funcin aumenta cuanto queramos, aumenta sin lmite y obtenemos una rama que se 'va hacia el infinito'.

Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la grfica de la funcin se 'va hacia el infinito' pero negativo.Decimos que la funcin tiene una asntota vertical. La grfica de esta funcin est dividida en dos 'ramas'.La recta x=b es una asntota vertical de la grfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin cota conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda.Una funcin racional tendr asntotas verticales en los ceros del denominador (pero tendremos que comprobar el comportamiento de la funcin en los casos en que un cero del denominador tambin sea cero del numerador).En el caso de la hiprbola equiltera, la asntota vertical es:

Si aadimos un nmero al denominador, el resultado es una traslacin de la hiprbola a lo largo del eje de abcisas:

Si cambiamos la pendiente de la recta que representa al denominador el resultado es una contraccin o expansin a lo largo del eje de ordenadas:

Combinando ambos tenemos una traslacin y una contraccin (o expansin):

Vamos a considerar ahora el caso ms general de funcin racional lineal en el que tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1, es decir, dos rectas (con c distinto de 0).

El dominio de una funcin racional lineal es:Una funcin racional lineal tiene una asntota horizontal:Si el numerador y el denominador no tienen un factor comn entonces la funcin racional tiene una asntota vertical:

Cuando las dos rectas tienen la misma raz (el numerador y el denominador tienen un factor comn) tenemos un 'agujero', una 'singularidad evitable'. A veces se dice que es una 'discontinuidad evitable' (siendo escrupulosos quizs se podra considerarse esta expresin como un abuso del lenguaje si tenemos en cuenta que la continuidad solo est definida en puntos del dominio de la funcin). La idea es que podemos simplificar la fraccin y obtenemos una nueva funcin que es casi igual que la original pero que tiene un dominio mayor (pues 'rellenamos el agujero').

Una singularidad evitable es un valor de x para el que se le puede asignar un valor de modo que la nueva funcin sea continua en ese punto.Las funciones racionales pueden tener dos tipos de singularidades: En algunos casos la funcin tiene una asntota vertical (la singularidad es esencial o no evitable) y en otros casos tiene un 'agujero' (singularidad evitable).Es interesante distinguir dos tipos de funciones racionales cuando estn expresadas como cociente de polinomios: funciones racionales propias e impropias. Una funcin racional propia es aquella que tiene el grado del numerador menor que el grado del numerador. En otro caso decimos que es impropia. Por ejemplo, la funcin 1/x es propia pero, en muchos casos, como hemos visto en los ejemplos anteriores, una funcin racional lineal puede ser impropia pues tanto el numerador como el denominador tienen grado 1.Si una funcin racional es impropia podemos dividir el numerador y el denominador y podemos escribir la funcin racional como suma de un polinomio y una funcin racional propia:

El polinomio controla el comportamiento de la funcin cuando x se hace grande en valor absoluto. Esto es debido a que una funcin racional propia contribuye muy poco a los valores de la funcin para valores grandes de |x|.En el caso de las funciones racionales lineales, al dividir obtendremos un cociente que es un nmero:

En el siguiente mathlet podemos jugar con estos tres elementos de una funcin racional lineal: un nmero (el cociente, p, en verde, determina la asntota horizontal), otro nmero en el numerador de la expresin racional propia (q, en azul, es tambin una recta horizontal) y una recta en denominador (en color naranja)Podemos comprobar cmo el nmero p controla el comportamiento 'en el infinito' de la funcin y cmo afectan el numerador y el denominador a la forma de la grfica de la funcin.

Todas las funciones racionales lineales "pueden escribirse de un modo anlogo, separando su 'parte entera'. En consecuencia, las grficas de todas las funciones racionales lineales [no degeneradas] son hiprbolas (trasladadas diferentes distancias a lo largo de los ejes de coordenadas y contradas o expandidas a lo largo del eje de ordenadas)". ["Functions and Graphs", pg. 64]En este caso, la asntota horizontal es:

Por ejemplo:Podemos escribir el caso degenerado (con un agujero):

1.1.1.3. Funcin Radical

Tambin conocidas comofunciones irracionales; que como su nombre indica son aquella funciones en las que su definicin aparece un radical, o lo que es lo mismo una raz.

En esta ocasin nos vamos a centrar en las races cuadradas del tipo:con a y b cualquier nmero real siempre y cuando a sea distinto de cero.Como ya todos sabemos el resultado de una raz cuadrada son dos, uno positivo y otro negativo, por tanto, su representacin sera de esta forma:

Pero, evidentemente, esta representacin no puede ser una funcin, ya que para una misma abscisa tenemos de valores de y. Por tanto, para llevar a cabo la representacin de una funcin radical de ndice dos (o par) tendremos que especificar el signo que vamos a utilizar.En esta ocasin nos vamos a centrar en las races cuadradas del tipo: con a y b cualquier nmero real siempre y cuando a sea distinto de cero.Como ya todos sabemos el resultado de una raz cuadrada son dos, uno positivo y otro negativo, por tanto, su representacin sera de esta forma:Pero, evidentemente, esta representacin no puede ser una funcin, ya que para una misma abscisa tenemos de valore