TRABAJO COLABORATIVO No 3

CURSO CALCULO DIFERENCIAL

DEYANIRA GONZALEZ

Tutor(a): OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS

Curso: 100410_54

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

MAYO 10 DE 2013

INTRODUCCIN

OBJETIVOS ESPECIFICOS

FASE 1

A. Halle los trminos generales de las sucesiones:

1. Cn= {3, 1,-1,-3,-5,}

2. Cn= {1, 3, 9, 27,81,}

3. C0= {1/2,3/4, 1,5/4,3/2,}

Como conocernos los primeros trminos, es posible analizar la secuencia de estos para

poder obtener el termino general, es decir para identificar la regla general que permite

desarrollar la secuencia de la sucesin. Igualmente lo podemos hacer identificando si se

trata de una sucesin aritmtica o geomtrica y reemplazando en la formula

correspondiente.

1. Cn= {3, 1,-1,-3,-5,} Esta es una sucesin aritmtica cuya frmula est dada por an= a1+(n-1)*d.

Hallamos la diferencia comn: d=1-3=-2, entonces para hallar el termino general:

A2=3

d=-2

a2=3+(n-1)*(-2)=3-2n+2=-2n+5= termino general

Comprobamos as:

Cn= {3, 1,-1,-3,-5,} C1= (-2)*1+1=-2+5=3 C2= (-2)*2+5=-4+5=1

C3= (-2)*3+5=-6+5=-1

C4= (-2)*4+5=-8+5=-3

C5= (-2)*5+5=-10+5=-5

2. Cn= {1, 3, 9, 27,81,}

Esta es una sucesin geomtrica, Hallamos la razn comn r =3/1=3.

Ahora hallamos el termino general an= a1* r(n-1)

donde

a1=1

r=3

an= 1* 3(n-1)

= 1/3*3n= 3

n/3= termino general de la sucesin

Comprobamos as:

Cn= {1, 3, 9, 27,81,} C1=3

1/3=3/3=1

C2=32/3=9/3=3

C3=33/3=27/3=9

C4=34/3=81/3=27

C5=35/3=243/3=81

3. C0= {1/2,3/4, 1,5/4,3/2,}

Esta sucesin aritmtica, d =3/4-1/2=1/4.

Hallamos el termino general an= a1+(n-1)*d. donde

a1 =1/2

d=1/4

an=1/2+(n-1)*(1/4)=1/2+n/4- 1/4=n/4+ 1/4=(n+1)/4 termino general

Comprobamos as:

C0= {1/2,3/4, 1,5/4,3/2,} C1= (1+1)/4=2/4= 1/2

C2= (2+1)/4=3/4

C3= (3+1)/4=4/4=1

C4= (4+1)/4=5/4

C5= (5+1)/4=6/4=3/2

FASE 2

B. sucesiones montonas

4. demostrar que la sucesin On={

} es estrictamente creciente

La sucesin es estrictamente creciente pues se cumple que

Dando como resultado un trmino positivo quedando demostrado que la sucesin es

estrictamente creciente

5. demostrar que la sucesin On={

} es estrictamente decreciente

La sucesin es estrictamente decreciente pues se cumple que

C. sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con

ellas, si son o no crecientes

6. Oc= 3n2+1

6n2+2n+1

Obtenemos algunos trminos de estas sucesiones:

Oc= {(3n2+1)/ (6n

2+2n+1)}= {4/9,13/29,28/61,49/105,.}

Observamos que a medida que n crece la sucesin tiende a 4/9 o 0,45 siendo la mxima

cota inferior

Oc= 5n+1)

7. n2

Obtenemos algunos trminos de dichas sucesiones, entonces Oc= 5n+1)

n2

= {6,11/4,16/9,21/16,..}

Observamos que a medida que n crece la sucesin tiende a 0, entonces la sucesin tiene

como mxima cota inferior a 0 y como mnima cota superior es 6

FASE 3

D. Progresiones

8. Que trmino de una progresin aritmtica es 21 si su primer termin es -6 y la

diferencia comn es 3?

Tenemos los siguientes datos:

an=21

a1=-6

d=3

( )

( )

( )

( )

Entonces el trmino 10 de dicha progresin es 21

9. Se excavo un pozo para extraer agua subterrnea, Que profundidad tiene el pozo si

por el primer metro excavado se pag $ 15.000.000 y por cada metro adicional se

cancel el 20% ms que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron

$193.738.560?

Identificamos que es una progresin geomtrica cuyos datos son:

=$ 15.000.000 Sn=$193.738.560

n=?

q = 6/5=1.2

Aplicando la frmula de suma geomtrica

(

)

Y despejando el valor de q nos queda

( )

Reemplazando tenemos:

( )

( ) ( )

( )

( )

Respuesta el pozo tiene 7 metros de profundidad.

10. Entre Bogot e Ibagu hay aproximadamente 165 kilmetros. Dos caminantes

parten cada uno de una ciudad hacia la otra. A los cuntos das se encuentran si el que

va de Ibagu a Bogot camina 1 km el primer da, 2 km el segundo da, 3 km el tercer

da y as sucesivamente, el otro en sentido contrario, es decir Bogot Ibagu, camina 20 km el primer da, 18 km el segundo da, 16 km el tercer da y as sucesivamente?

Cuntos kilmetros recorre cada uno?

Hallamos la distancia del caminante de Ibagu a Bogot

Un = U(1 )+ (n 1) *d U1 = 1 Km

n =?

d = 1Km

Un = 1 + (n 1) *1 Un = 1 + n 1 Un = n

S1 = (n (U1+Un) /2

S1 = (n ( 1+n) )/2

Hallamos la distancia del caminante de Bogot a Ibagu

Un = U(1 )+ (n 1) *d U1 = 20 Km

n =?

d = -2 Km

Un = 20 + (n 1) * (-2) Un = 20 - 2n + 2

Un = 22 - 2n

S2 = (n (U)1+U_n) )/2 S2 = (n ( 20 +22-2n) )/2

S2 = (n ( 42-2n) )/2

S1 + S2 = 165 Km

(n ( 1+n) )/2+(n ( 42-2n) )/2=165

(n (1+n)+n ( 42-2n) )/2=165

n (1+n)+n(42-2n)=330

n [(1+n)+(42-2n)]=330

n [1+n +42-2n]=330

n [43-n]=330

(-n)2+43n=330

(-n)2+43n-330=0 n

2-43n+330=0

(n-33)(n-10)=0

n=33 n= 10

Entonces n = 33 con el primer caminante

S1 = (n (U)_1+U_n) )/2 S1 = (33 (1+33) )/2

S1 = (33 (34) )/2

S1 = 561

Para el caso del caminante de Bogot Ibagu, decimos que n= 10 entonces los dos caminantes se encuentran a los 10 das. Para el caminante Ibagu a Bogot

S1 = (n (U)_1+U_n) )/2 S1 = (n ( 1+n) )/2

S1 = (10 ( 1+10) )/2

S1 = (10 ( 11) )/2

S1=55

Entonces este caminante recorre 55 km.

Para el caminante Bogot a Ibagu

S2 = (n (U)1+U_n) )/2 S2 = (n ( 20 +22-2n) )/2

S2 = (n ( 42-2n) )/2

S2 = (10 ( 42-20) )/2

S2 = (10 ( 22) )/2

S2=110

En este caso el caminante recorre 110 km

Entonces 110km+55km=165km

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

RONDON DURAN, Jorge Eliecer. Mdulo de Calculo diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. UNAD. Bogot D.C. Marzo de 2011

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