calculo del producto de inercia

8/17/2019 Calculo Del Producto de Inercia

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$y 6 7 " ; 6 0.01 2 9 2 *


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Diferencia entre el offset del CG y el producto de inercia

La #igura ilustra la di#erencia entre el desequilibrio estático *o##set del CG+ y eldinámico *producto de inercia+. Los pesos son de lb.

• $2 6 0 lb in:• CG2 6 9 lb in:

• CG$ 6 0

3adir un peso en el plano del CG 6D Eesequilibrio estático, pero no productode inercia.

• $2 6 ?F lb


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Tipos de desequilibrio en giro

4n ob!eto que gira solo puede tener dos tipos de desequilibrio5 el producto de inercia yel despla$amiento del CG *o##set del CG+. l o##set del CG, se le llamadesequilibrioestático, mientras que al producto de inercia, se le llamapar desequilibrio. l e#ecto

combinado de los dos, se le llamadesequilibrio dinámico. lo largo de los a3os, se han utili$ado di#erentes términos para describir eldesequilibiro. 4no de ellos es eldesequilibrio cuasiestático. ste concepto se ilustra enuna de las #iguras anteriores. l un caso especial de desequilibrio dinámico que ocurrecuando tanto el o##set del GC como el producto de inercia, tienen el mismo ángulo, demanera que se puede utili$ar un &nico peso para corregir simultáneamente ambos tipos dedesequilibrio. La masa del peso, se elige de tal #orma que el producto resultante de la masa por el radio sea igual al desequilibrio estático. ste peso se situa a una distancia alo largo dela longitud del cilindro, de tal manera que introdu$ca un par de magnitud igual y direcci)nopuesta al del producto de inercia.

Iay dudas sobre la utilidad de distinguir estos casos especiales, particularmente porque lacorrecci)n del desequilibrio se debe limitar, generalmente, a planos de correcci)nespec%#icos de un ob!eto, asi que normalmente no es posible locali$ar un peso de correcci)na la distancia cr%tica a los largo de la longitud del ob!eto, para poder corregir el par de#uer$as y el despla$amiento del CG, con un &nico peso. n otras palabras, incluso en elcaso del llamado desequilibrio cuasiestático, generalmente se requieren dos pesos paracompensar el desequilibrio.

Escogiendo la posición de los ejes de referencia

Como en el caso del centro de gra(edad, se necesitan tres e!es de re#erenciamutuamente perpendiculares para de#inir el producto de inercia *solo se necesita un e!e enel caso del momento de inercia+. unque se puede elegir cualquier e!e como re#erencia, esaconse!able seleccionar el e!e de rotaci)n del ob!eto como uno de los e!es. 'i el ob!eto semonta sobre soportes, entonces el e!e se de#ine como la linea central de los soportes. 'i elob!eto (uela en el espacio, entonces este e!e es un e!e principal *los e!es que pasan por elCG y estan orientados de manera que el producto de inercia a su alrededor, sea cero+. 'i ele!e de re#erencia se (a a usar paraq calcular el producto de inercia de una #orma comple!a,debe escoger un e!e de simetria para simpli#icar el cálculo. ste e!e puede trasladarse a otro posteriormente, utili$ando las reglas descritas enTeorema de los ejes paralelos del POI .

ara simpli#icar más los cálculos, los otros dos e!es deberian pasar por el CG.

Signo / polaridad del producto de inercia

Los (alores del producto de inercia pueden ser positi(os o negati(os, y de hecho, susigno depende de la elecci)n de los e!es de re#erencia. n este aspecto, el / es similas alCG. Los (alores del momento de inercia, solo pueden ser positi(os, ya que la masa s)lo puede ser positi(a. Generalmente, el producto de inercia de un componente, estádespla$ado por un producto de inercia negati(o, debido a otro componente, por lo que el


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!ngulo de inclinación del ve"#culo de reentrada

4n (eh%culo aeroespacial, generalmente tendrá un e!e de#inido por la resistencia al aire m%nima. ste e!e corresponde al e!e desimetria de la super#icie e2terna del (eh%culo. Como el (eh%culo no

es homogéneo, el producto de inercia alrededor de este e!e puede noser cero, resultando en un e!e principal que #orma un determinadoángulo con el e!e de simetria del (eh%culo. ste ángulo es conocidocomo el ángulo de inclinaci)n del (eh%culo. Generalmente, esdeseable hacer este ángulo tan peque3o como sea posibleJ as%, el(eh%culo (olará recto . (eces, no obstante, este ángulo se a!ustadeliberadamente a un (alor espec%#ico, para que el (eh%culo dereentrada tenga un mo(imiento c)nico durante su entrada en laatm)s#era, de manera que la #ricci)n y el arrastre resultantes, #renenla reentrada.

l ángulo de inclinaci)n puede ser calculado utili$ando lasiguiente #)rmula5

6 K *arcA **9 $2+ * $ < 2+++

!emplo5

• $2 6 0.009 lb in s:

• 22 6 8.M lb in:

• $$ 6 9.N0 lb in:

OCual és el ángulo de inclinaci)n en el plano


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l e!emplo anterior era para un solo plano. Aambién seria el ángulo deinclinaci)n del ob!eto, si el producto de inercia del plano "


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ara trasladar el producto de inerciade un ob!eto relati(o a los e!es T, ;Ty "T a los e!es , ;, ", hacemos5

$2 6 $T2T ? 7 $ 2

$y 6 $TyT ? 7 $ y

donde

7 6 masa del ob!eto 2, y, $ 6 coordenadas de los e!es

, ;, " del CG del ob!eto

ste teorema, es más di#%cil de utili$ar que el equi(alente del momento de

inercia, porque se requieren dos #)rmulas, y porque cada término tiene una polaridad asociada *signo+. l siguiente e!emplo ilustra este tipo de traslaci)n5

!emplo para la ilustraci)n5 sean $ 6


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H. n el caso del momento de inercia, el (alor del 7/ a tra(és delCG de un ob!eto. siempre tiene un (alor mayor que cero. simposible que el producto de inercia de un ob!eto sea ceroJ as% la#)rmula se con(ierte en $2 6 7 $ 2.

Ejes y planos de simetria

l producto de inercia de un cuerpo homogéneo, respecto de cualquier parde e!es perpendiculares, es igual a cero si en plano determinado por cualquiera delos e!es y el tercer e!e coordenado, es un plano de simetria del cuerpo. sta reglaes di#icil de e2plicar con palabras. Los e!emplos de la derecha, ilustra algunas#ormas simétricas que tiene $2 6 0.

Determinando el producto de inercia de unvolumen(

La discusi)n pre(ia asumia que los peque3os pesos de desequilibrio eran per#ectamentesimétricos, y entonces, el producto de inercia del propio peso, se puede ignorar. n la (ida real, los

pesos , estan #ormados por (arios componentesde un cohete o na(e espacial, y sus productos deinercia no suelen ser cero. Como se hamencionado pre(iamente, incluso si los productos de inercia de los componentesson peque3os, no pueden ser ignorados, ya que el producto de inercial del(eh%culo es, normalmente, muy peque3o, y incluso el más peque3o de losdesequilibrios, puede ladear el e!e principal del (eh%culo.

l concepto básico para determinar el producto de inercia de un (olumen esidéntico al método pre(io re#erido a ob!etos discretos, e2cepto que los ob!etosson ahora elementos di#erenciales de un s)lido. La #)rmula se con(ierte en5

y2 6 A * y 2 + dSnt 6 ntegral

donde)• 7 6 masa total del ob!eto

• dS 6 di#erencial de (olumen


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Como en el caso del moento de inercia y del centro de gra(edad, la soluci)nal problema se puede simpli#icar escogiendo un elemento di#erencial adecuado.

or e!emplo, el borde el%ptico de ala mostrado, se puede anali$ar utili$ando un peque3o elemento cuadrado d por d;. stos nos lle(a a una integral doble. orel contrario, si se toma una porci)n rectangular paralela al e!e , entonces el /del elemento es cero, y el producto de inercia de d es5

/ ? 0. 1 y da

Como d 6 1 dy entonces 2y 6 . A* 1 : y+ dy

Ee la ecuacic)n de una elipse, tenemos5

1: 6 *a:: < y::+ B 9

Uinalmente5

2y 6 0. A **a::


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1. Arans#ormar el producto de inercia de lasecci)n in#erior en (alores para $2 y $y*con(ersi)n de cartesiano a polar+. 'i lose!es e ; de la secci)n superior no secorresponden con los elegidos para lasecci)n in#erior, rotar los datoscon(irtiendolos temporalmente a #orma polar y luego de nue(o a los e!escartesianos, para que los e!es in#eriores ysuperiores esten en la misma posici)nangular. l análisis se reali$a por planos yse puede trans#ormar a #orma polar si sedesea, una (e$ acabados los cálculos.

9. 'umar los (alores de $2 superior y $2in#erior. Iacer lo mismo con $y. ota 5 /bser(ese el signo de los datos.

sto implica nue(os (alores de producto deinercia para el (eh%culo compuesto *Los(alores para el total pueden ser mayores o menores que los (aloresindi(iduales+.

Efecto del desalineado lateral

O>ué ocurre si las dos secciones no están alineadas, de manera que los e!esson paralelos el uno al otro, pero el e!e de uno no coincide con el e!e del otroP Ieaqu% el método recomendado para anali$ar este tipo de problema5


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N. =epetir los cálculos para la secci)n in#erior. n el grá#ico, tanto $ como 2son negati(os, por lo que el / debido al despla$amiento de la secci)nin#erior, es también negati(o.

. 'umar los (alores de $2 superior y $y in#erior para obtener el $2 total.

Q. =epetir los pasos H, N, y para obtener $y .

F. 'i se desea, con(ertir $y y $2 en $r, la resultante de la con(ersi)n a polar.

Efecto de la inclinación en el '%& y el $%&

'i un cilindro per#ectamente equilibrado se inclina un ángulo a, entonces $2, $ e 2cabiarán. Cuando el cilindro tiende a un ángulo de M0º, $ se con(ierte en 2, e 2 secon(ierte en $. ara un ángulo de 0º, $2 es un má2imo determinado por los (alores de $e 2. un ángulo de M0º, $2 es de nue(o cero. sta relaci)n &nica entre el momento deinercia y el producto de inercia, se discute en el documento ' V nº 1NFH, titulado

Eeterminin roduct o# nertia 4sing a Aorsion endulum . ste documento describe unmétodo de medici)n del / de los ob!etos utili$ando un instrumento de medida delmomento de inercia.

Cuando el 7/ o el / de un ob!eto (ienedeterminado por su linea central, y el ob!eto estWinstalado en un (eh%culo de manera que e2iste un ánguloentre la linea central del ob!eto y la re#erencia del(eh%culo, entonces es muy &til poder con(ertir los (alorescalculados del ob!eto, en propiedades de la masa relati(asa la nue(a re#erencia, sin tener que recalcular el ob!eto.

sta #)rmulas se dan a continuaci)n.

*órmulas para el '%& en ejes inclinados

ara el cilindro equilibrado mostrado anteriormente, el momento de inerciaalrededor de un e!e "T despla$ado de la linea central del cilindro por un ángulo a5

$T 6 0. * $ ? 2+ ? 0. * $ < 2+ cos *9a+ )tese que para este e!emplo, $2 es cero. sta #)rmula es (álida &nicamente para la orientaci)n de los e!es mostrada. Iay (arias obser(aciones interesantesque hacer dado el cambio en el 7/ 5

1. l 7/ a un ángulo de N º es la (edia de $ e 2.


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9. La sensibilidad al ángulo de inclinaci)n es #unci)n de la di#erencia entre 2 e$. 'i hay peque3as di#erencias, el ángulo de inclinaci)n se puede ignorar. 'i el

ob!eto es alto y delgado, el ángulo de inclinaci)n es cr%tico.

demás de ser &til para el cálculo del 7/ , esta #)rmula puede usarse también para determinar la precisi)n requerida al medir el 7/ . Cuando se miden coheteslargos y delgados, el error a2ial del 7/ , será grande a menos que el cohete seacolocado correctamente. l 7/ trans(erso se puede medir en un peque3o bloque, sin necesidad de a!ustar la posici)n del cohete. ya que la sensibilidad a lainclinaci)n es muy peque3a en este caso.

l análisis pre(io asume que los e!es y " son e!es principales y que el / escero. 'i este no es el caso, la #)rmula se con(ierte en5

$T 6 0. * $ ? 2+ ? 0. * $ < 2+ cos *9a+ ? $2 sin *9a+

4na #)rmula similar puede escribirse para 2T5

2T 6 0. * $ ? 2+ ? 0. * $ < 2+ cos *9a+ < $2 sin *9a+

sta #)rmula re#le!a el hecho de que el e!e principal no pasa a tra(és de la lineacentral del cilindro, de modo que el má2imo y m%nimo 7/ no está en los e!es y ".

Las #)rmulas presentadas también asumen que no hay inclinaci)n en la direcci)n

;, de modo que el problema puede ser anali$ado desde un punto de (ista bi


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stas #)rmulas son s)lo (álidas para orientear los e!es mostrados y para ladirecci)n y de#inici)n del ángulo positi(o de inclinaci)n *sentido horario desde ele!e "+.

C#rculo de 'o"r

l ingeniero alemán /tto 7ohr, desarroll) en el siglo una representaci)n grá#ica de larelaci)n entre el 7/ y el / . 4na copia de esta ayuda se reproduce en el manual ' Vy se muestra más aba!o. Con la (enta!a de disponer de un C, ya no son necesarias lassoluciones grá#icas en los problemas de ingenieria, pero el c%rculo de 7ohr es a&n &til para(isuali$ar el e#ecto de la inclinaci)n.

El c#rculo de 'o"r+s para el momento de inercia

Eados5

1. Los (alores del momento de inercia 2T y de un ob!eto, alrededor de sucentro de gra(edad, donde el centro de gra(edad cae sobre el origen de uncon!unto de e!e2


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C%rculo de 7ohr

Efectos del desalineado angular

'i la secci)n superior está inclinada respecto a la secci)n in#erior, los dos#actores tienden a incrementar el / e#ecti(o de esta secci)n5 la inclinaci)nresulta en un despla$amiento del CG similar al del caso descrito anteriormente, yla inclinaci)n también altera el / de la propia secci)n superior. l método paracalcular el / total es5

1. 4sando la linea central de la secci)nin#erior como re#erencia, calcular eldespla$amiento en el e!e ; del CG de lasecci)n superior, mediante la #)rmula5

; 6 I sin adonde

I es la altura del CG de la secci)nsuperior a es el ángulo de inclinaci)n en plano ;"


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4tili$ando un concepto similar, calcular el despla$amiento de lasecci)n superior.

9. Calcular las coordenadas , ; y " del CG del cohete completo. lnue(o e!e de re#erencia del cohete completo pasará a tra(és delnue(o CG y será paralelo a los e!es de re#erencia de la secci)nin#erior.

H. =ecalcular la componente $2 de la secci)n superior aplicando la#)rmula de inclinaci)n de los e!es. 'umar este / a la componente

$2 de la secci)n superior relati(a a la linea central *obser(ar lossignosJ el (alor de $2 puede ser tanto mayor como menor que el(alor sin considerar la inclinaci)n+.

N. La componente $2 relati(a al nue(o e!e debida a la componente$2 de la secci)n superior, puede calcularse usando la #)rmula detraslaci)n de los e!es paralelos5

$2 6 2TyT ? 7 $ 2

donde

$2 6 / relati(o al CG de los e!es combinados $T2T 6 / relati(o a la secci)n superior despues deque el e#ecto de la inclinaci)n se a3ade 7 6 masa de la secci)n superior $ 6 distancia entre el CG compuesto y el CG de lasecci)n superior 2 6 despla$amiento entre la nue(a re#erenciacombinada y la re#erencia de la secci)n superior

n el grá#ico mostrado, tanto 2 como $ son positi(os, de modo queel / debido al despla$amiento superiores positi(o.

. =epetir los cáculos del paso N para la secci)n in#erior. Como estasecci)n no está inclinada, la componente $T2T es el (alor a tra(és dela linea central. n el grá#ico, tanto 2 como $ son negati(os, asi queel / debido al despla$amiento de la secci)n in#erior es tambiénnegati(o.


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Q. 'umar los (alores de $2 superior y $2 in#erior para obtener $2total.

F. =epetir los pasos H, N y para $y.

8. 'i se desea, con(ertir $2 y $y en $r, la representaci)n polarresultante.

calculo del producto de inercia

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