8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

1/7

CALCULO DEL CENTRO DE MASA DE UN SOLIDO APLICANDO

I NTEGRALES TRIPLES

I. INTRODUCCION

La presente investigación dirigida al campo de la ingeniería civil aplica

herramientas de la matemática Como la integral triple como estrategia de

solución para el cálculo del centro de masa de un sólido, siendo este el asunto

central de la investigación.

Es muy importante el conocimiento de la posición del centro de masa en la

ingeniería civil principalmente en el diseño de estructuras, por ejemplo para el

diseño de estructuras antisísmicas: el Centro de masa nos permite conocer el

eecto de los vientos al chocar contra la estructura! para el diseño de una

represa: el centro de masa nos permite evitar el volcamiento de la presa

causado por la uer"a del agua! para el diseño de ediicios: el centro de masa

nos permite sa#er dónde y cómo diseñar y una columna! para el diseño de

casas: el centro de masa nos permite sa#er dónde u#icar una columna! y para

el diseño de voladi"os: el centro de masa nos permite sa#er la distanciamá$ima del voladi"o.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO 

Centro de masa: Es el punto geom%trico en el cual es sólido esta en e&uili#rio

esta#le.

'ea un sólido en  R3

 y ρ : S⊂ R3⟶ R  una unción continua so#re ' y &ue

  ( x , y , z)⟶ ρ( x , y , z)  

(eine la densidad del solido ' en cada punto )$,y,"*   ∈  '.

(einimos:

+. La masa total del solido está dado por 

m=∭ ρ ( x , y , z ) dv

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

2/7

. Los momentos de masa respecto a los planos coordenados del solido '

con unción de densidad  ρ :S⊂ R3⟶ R  , son:

 M  xy=∭ z ρ ( x , y , z ) dv

 M  x z=∭ yρ ( x , y , z ) dv

   M  yz=∭ xρ ( x , y , z )dv

-. El centro de masa del solido ' es el punto ( x , y , z ) , donde:

´ X = M  z y

m   ,Ý =

 M  xz

m   ,Ź =

 M  xy

m  

#servaciones: /ara hallar el centro de masa tener en cuenta todas las simetrías posi#les

+. 'i el sólido ' es sim%trico respecto al plano 01 y  ρ ( x , y ,− z )= ρ ( x , y , z )

entonces Ź =0 , similar caso ocurren con los otros planos coordenados.

. 'i el solido es sim%trico con respecto al eje 0 y  ρ ( x ,− y ,− z )= ρ ( x , y , z )

entonces Ý = ́Z =0 . 2 resultado similar se cumplen para los otros ejes

coordenados.

III. PROBLEMA

Calcular el centro de masa de un solido.

'e desea construer una 3uente de agua ormadas por el para#oloide

   x2+ y2=Z    y el cono  x

2+ y2=Z 2   . Encontrar el centro de masa del

solido dentro del para#oloide y uera del cono. La densidad del volume esconstante.

IV. OBJETIVO 

• Calcular el centro de masa del solido aplicando la integral triple

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

3/7

V. METODOLOGIA

4ipotesis:

• El centro de masa de un solido es su punto geometrico de e&uili#rio si

la densidad de su volumen es constante.

Como metodo de estrategia emplearemos la integral triple par solucionar elpro#lema.

'e desea construer una 3uente de agua ormadas por el para#oloide

   x2+ y2=Z    y el cono  x

2+ y2=Z 2   . Encontrar el centro de masa del

solido dentro del para#oloide y uera del cono. La densidad del volume esconstante.

'olucion

/lanteamiento del pro#lema

• 'e pide hallar Ć =( ´ X , Ý , Ź ) , &ue es centro de gravedad del solido

'.

• Como datos se o#tienen las supericies:

S 1: x2+ y2=Z    S 2: x

2+ y2=Z 2

1 la densidad  ρ ( x , y , z )= K 

 

/asos a seguir

+. 5raicar el solido :

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

4/7

 6l intersecar S1∩ S2 se hace:

 z= z2

⟺ z2

− z=0 z ( z−1 )=0

 z=0 , z=1

/ara   z=1 , se o#tiene:  x2+ y2=1

• Como el solido ' &ue aparece en el graico es simetrico

respecto al eje 7 , entonces´ X =Ý =0

• 'olo hallemos Ź :Z = M  xy

m

  (onde: a*

m=∭ Kdv

como en las dos ecuaciones de las supericies &ue limitan el

solido ', aparecen :   x2+ y2 , entonces aplicar coordenadas

cilindricas:

{ X =r cosθY  =r sinθ

Z =Z 

El jaco#iano es 89r 

 x2+ y2=Z   se convierte en r2=Z 

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

5/7

 x2+ y2=Z 2  se convierte en r

2= z2

  r= z

• La nueva region so#re la cual se integra es , donde

Q=[(r , θ , z)/ r2≤ z ≤ r ,0≤ r ≤1, 0≤ θ ≤2π ]

Entonces: 

m=∫0

2π 

∫0

1

∫r2

r

krdzdrdθ

 

¿k ∫0

2π 

∫0

1

∫r2

r

r (r−r2)dr dθ

¿k ∫0

2π 

∫0

1

(r2−r3)dr dθ

¿k ∫0

2π 

∫0

1

( r3

3− r

4

4)r=1

r=0dr dθ

 

¿1k 

12∫0

2π 

dθ=1

6kπ 

• El momento con respecto al plano 01 es:

 M  xy=∭ z k dv

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

6/7

¿k ∫0

2π 

∫0

1

∫r2

r

 z r dz dr dθ

¿k ∫0

2π 

∫0

1

∫r

2

r

r [ z2

2 ]  z=r z=r2dz dr dθ

¿k ∫0

2π 

∫0

1

1

2r (r2−r 4)dr dθ

¿1

2k ∫

0

2π 

∫0

1

(r3−r5)dr dθ

¿

1

2 k ∫0

2π 

[(r4

4 −

r6

6 )]r=1r=0dθ

¿   124

k ∫0

2π 

θ dθ=  112

kπ 

• Luego ,

Ź =

1

12kπ 

1

6 kπ 

=1

2

• Ć =(0,0,1/2)

 6nálisis de resultados:

•  Luego de eectuar el cálculo del centro de masa del solido empleando

para ello la integral triple. #tuvimos las coordenadas en el espacio

tridimensionalĆ =(0,0,1/2)

 &ue nos da la u#icación del punto dee&uili#rio geom%trico del solido o centro de masa.

•  /odemos airmar &ue el centro de masa de un solido es su punto

geometrico de e&uili#rio si la densidad de su volumen esconstante.

VI. CONCLUSIONES:

•  'e calculo en centro de masa del solido aplicando la integral triple y se

o#tuvo como respuesta la u#icación de su centro de masa en

coordenadas Ć =(0,0,1/2) .

8/19/2019 Calculo Del Centro de Masa de Un Solido Aplicando Integrales Triples

7/7

• El centro de masa de un solido es su punto geometrico de e&uili#rio si la

densidad de su volumen es constante.

VII. BIBLIOGRAFÍA:

; L676F-.

; =IG6C =E76 =.: HCálculo III Edit. 'an =arcos, Lima, +DD@.