CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

•Es de suma importancia tener en cuenta el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo que dice:

•La fórmula para calcular el volumen del sólido de revolución al rotar una función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x es: 

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• Volumen de sólidos de revolución

En este apartado podrás encontrar algunas aplicaciones de la integral, relacionadas con los volúmenes contenidos al rotar la gráfica de una función definida en un intervalo cerrado [a,b], alrededor de uno de los ejes y que son los llamados sólidos de revolución. En este trabajo los ejemplos serán de rotaciones alrededor del eje de las x. Por ejemplo, imagina una función constante en [0,2], al rotarla alrededor del eje x, se formaría un cilindro, pero si la función fuese la idéntica tendríamos un cono.

• ObjetivoCalcular los volúmenes contenidos al rotar la gráfica de una función definida en un intervalo cerrado [a,b].

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• Método del disco:Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.

• Metodo de la arandela:Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas.

• Método de los casquillos:Este método es también llamado método de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro diferencial.

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• Físicamente, se refieren a todos aquellos objetos que son intersectados y se componen de una sección circular.• Con el fin de entenderlos

matemáticamente, sea f(x) una curva y sea esta rotada 360 grados alrededor del eje x entre el intervalo x = a y x = b.• En la rotación, la curva representa un

sólido y este sólido se denomina sólido de revolución.

• El método integral del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se conoce comúnmente como Integración de Disco.

• El disco está usualmente integrado a lo largo de un eje particular dado.

• Hay tres casos principales que surgen mientras tratamos con los problemas de encontrar los volúmenes:

• 1). Cuando la función rotativa es función del eje x.• 2). Cuando la función rotativa es función del eje y.• 3). Método de Arandelas

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• Los primeros dos métodos se conocen también como métodos de los anillos para encontrar el volumen de sólidos de revolución.

• Cuando la función rotativa es función del eje x: La integral de la forma es utilizada para calcular el volumen de la función y, en particular la función del eje x.

• Aquí R(x) representa la distancia del eje de rotación de la función correspondiente.

• La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de rotación es horizontal.

• Para la rotación sobre el eje y o cualquier otro eje vertical los otros dos casos entran en existencia.

• Cuando la función rotativa es función del eje y:La integral de la forma se utiliza para calcular el volumen de la función, la cual es eje de la función del eje y.

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MÉTODO DE ARANDELAS

• Este método consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una región R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:

• Si la región que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotación, el solido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.

• Para rotar cualquier sólido alrededor de un eje horizontal, el valor del eje horizontal se resta de la fórmula correspondiente. Esto es, ([h – R0(x)]2 - [h – RI(x)]2 ) dx

MÉTODO DE ARANDELAS

Método del disco:

• Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:• Volúmenes del disco= R2 w

Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica

MÉTODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS: 

• Este método es también llamado método de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.