calculo de tensiones y torque por joseph a collado

[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013

Por Joseph Arquímedes Collado Página 6

Explicación Triple tensión “Equilibrio Bidimensional”

Tenemos una masa colgando de una cuerda, que a su vez cuelga de otras dos cuerdas, la caja está en reposo. Encontrar la magnitud física de las tensiones en términos de la masa, la gravedad y si es necesario de los ángulos respectivos.

Procedemos a Dibujar el diagrama de cuerpo libre y determinar la magnitud de todas las fuerzas en términos de la masa y la gravedad. Primer Paso: dibujar todas las fuerzas que actúan en el objeto.



La clave para resolver este ejercicio es la perspectiva del sistema. Desde el punto de vista de la caja Tensión 3 = W = m.g, la única tensión operando es T3.

En el sistema anterior, las únicas fuerzas operando son tensión y peso, el signo de peso será negativo debido a que apunta hacia el lado negativo del eje (y). Aplicamos la segunda ley de newton.

En el punto de vista del otro sistema, las tensiones 1 y 2 dependerán del peso generado por la caja y la cuerda juntas. Asumiremos que la masa de la cuerda 3 es despreciable, por lo que el otro diagrama de cuerpo libre que podemos dibujar es este. Figura 1.1



Figura 1.1

Para calcular las magnitudes, debemos tener en cuenta los ángulos. El ángulo para la tensión dos aparece en las siguientes esquinas



El ángulo para la tensión 1 sin embargo debe ser este β



Ecuaciones para cálculo de tensiones

Ejemplo I

Diagrama de cuerpo libre D.C.L

En esta intervienen las leyes de newton y dice que para un cuerpo estar en equilibrio:

∑F(x) = 0; ∑F(y) = 0; (partícula en equilibrio, Forma de componentes)

*En este caso no tenemos el valor de ninguna de las dos tensiones*

Paso I Escribir Ecuación:

1. ∑F(x) = T2cos α – T1cosα = 0;

2. ∑F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;



Sustituimos Valores y nos queda:

F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;

F(y) = T2sen32° + T1sen40° – 1,500N = 0;

Paso II Buscamos los valores

F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0;

F(y) = 0.5299T2 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

Como vamos a buscar una de las dos tensiones para sustituirla en F(y)

Tomamos la ecuación F(x):

F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0 + 0.7660T1 0.7660 0.8480T2 = 0.7660T1

Tenemos que: 0.8480T2 = 0.7071T1 Dividimos por 0.8480 para despejar T2

0.8480T2 = 0.7660T1 = T2 = 0.9033T1 0.8480 0.8480

Obtuvimos de la ecuación F(x) que T2 = 0.9033T1



Ahora vamos a sustituir a T2 en F(y)

∑F(y) = 0.5299(0.9033T1) + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

Cuando multiplicamos obtenemos que:

0.5299 (0.9033T1) = 0.4786T1

Entonces con esa multiplicación tenemos el resultado y tenemos términos semejantes

∑F(y) = 0.4786T1 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

Procedemos a sumar los términos:

0.4786T1 + 0.6428T1 = 1.1214T1 – 1,500N = 0;

Ahora tenemos 1.1214T1 – 1,500N = 0;

1.1214T1 – 1,500N

+1,500N 1,500

1.1214T1 = 1,500N

1.1214T1 = 1,500N = T1= 1,337.6N Ya tenemos T1 1.1214 1.1214

Ahora buscaremos T2, Recordemos lo que obtuvimos anteriormente de F(x)=

T2= 0.9033T1 sustituiremos a T1 por su valor y decimos:

T2 = 0.9033 (1,337.6N) = T2 = 1,208.2N

- Fin del ejercicio-

T1 = 1,337.6N T2 = 1,208.2N



Si no tuviéramos el peso (W) y tenemos el valor de una de las tensiones solo

tendríamos que sumar las tensiones porque F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;

W = T2senα + T1senα

Caso hipotético sin peso “W”:

Si no tenemos el peso pero tenemos el valor de una de las tensiones solo

tendríamos que buscar el valor de la otra tensión y al final solo usted tendría que

despejar el peso y decir que es igual a la sumatoria de las tensiones.

Ejemplo I

T1 = 1,337.6N

T2 = ?

W = ?

∑ F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;

T2 = T1Cos40 = 1,337.6(0.7660) = 1,208.2N Cos32 0.8480

∑F(y) = (1,208.2N )sen32 + (1,337.6N)sen40 – W = 0;

Despejamos el peso y decimos:

W = 640.2 + 859.8 = 1,500N

-Fin del ejercicio-

W = 1,500N



Ejercicio Completo

F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;

F(y) = T2sen32° + T1sen40° – 1,500N = 0;

F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0;

F(y) = 0.5299T2 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

F(x)= 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0 + 0.7660T1 0.7660 0.8480T2 = 0.7660T1

0.8480T2 = 0.7660T1 T2 = 0.9033T1 0.8480 0.8480

F(y) = 0.5299(0.9033T1) + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

0.5299(0.9033T1) = 0.4786T1

∑ F(y) = 0.4786T1 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;

0.4786T1 + 0.6428T1 = 1.1214T1 – 1,500N = 0;

1.1214T1 – 1,500N

+1,500N 1,500

1.1214T1 = 1,500N

1.1214T1 = 1,500N = T1 = 1,337.6N

1.1214 1.1214

T2 = 0.9033 (1,337.6N) = 1,208.2N

T1 = 1,337.6N y T2 = 1,208.2N



Comprobación: La puedes hacer con cualquiera de las ecuaciones y la sumatoria

tiene que ser igual a 0.

∑F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;

∑F(x) = (1208.2) 0.8480 – 1337.6 (0.7660) = 0;

F(x) = 1024.5 - 1024.5 = 0;



Ejemplo II

M = 5kg

T2 = ?

T1 = ?

Ecuaciones:

1. ∑F(x) = T2cos α – T1cosα = 0;

2. ∑F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;



Sustituir Valores:

1. ∑F(x) = T1cos 30° + T2cos180° = 0;

2. ∑F(y) = T1sen30° + T2sen180° – 50N = 0;

F(x) = T1cos 30° – T2cos180° = 0;

0.86601T1 + 1T2 = 0;

+1T2 1T2

0.8660T1 = 1T2 = T1 = 1.1547T2

0.8660 0.8660

F(y) = T1sen30° + T2sen180° – 50N = 0;

0.5(1.1547T2) + 1T2 - 50N = 0;

0.5773T2 + 0T2 - 50N = 0;

0.5773T2 – 50N = 0;

+ 50N 50

0.5773T2 = 50N = T2 = 86.6N

0.5773 0.5773

T1 = 1.1547T2

T1 = 1.1547(86.6N) = 100N

T1 = 100N

T2 = 86.6N



Máquina de AtWood “Poleas”

Concepto

Este consiste en dos cuerpos de masas desiguales m1 y m2 enlazados mediante una

cuerda ligera que pasa por una polea de masa despreciable y sin rozamiento.

Figura 1.1

Supongamos que m2 > m1, El cuerpo 2 se mueve hacia abajo y el cuerpo 1 hacia

arriba.



Ecuaciones Figura 1.1:

Cuerpo1 = T1 - m1.g = m1.a Despejamos a la tensión T = m1.g + m1.a = m1 (g + a)

Cuerpo2 = T2 - m2.g = - m2.a Despejamos a la tensión T = m2.g - m2.a = m2 (g - a)

Aplicando a la máquina de AtWood el segundo principio con las nuevas

consideraciones se obtiene:

*Siempre comience con la ecuación del cuerpo que tiene mas peso*

m2.g - m2.a = m1.g + m1.a

m2.g - m1.g = m2.a + m1.a

(m2 - m1) g = (m2 + m1) a

Despejamos aceleración:

a = m2.g – m1.g =

m2 + m1

Para calcular la tensión de la cuerda: Escoja la ecuación del cuerpo que tiene mayor

peso.

T = m2 (g - a)



D.C.L (Diagramas de cuerpo libre M1 y M2)

Figura 1.2



Ejercicio Resuelto Figura 1.2:

Datos:

M1 = 5;

M2 = 10;

g = 9.8N;

a = ?

Ecuaciones:

M1:

F(x) = 0;

M2:

F(x) = 0;

F(y) = M1 = T - m1.g = m1.a / T = m1.g + m1.a = m1 (g + a)

F(y) = M2 = T - m2.g = - m2.a / T = m2.g – m2.a = m2 (g - a)

“En m2 la aceleración es negativa por que el objeto va hacia abajo por que tiene

mayor peso, Si fuera el caso de m1 seria m1 = - m.a”

m2.g - m2.a = m1.g + m1.a

m2.g - m1.g = m2.a + m1.a

(10 - 5) g = (10 + 5) a

“Se multiplican m1 y m2 por la gravedad, y como despejamos aceleración m2 y

m1 quedan con sus respectivos valores.”

a = 98 - 49 = 49 = 3.2 m/s T = 10(9.8m/s – 3.2 m/s) = 66N

10 + 5 15

-Fin del ejercicio-



Movimiento sobre un plano inclinado liso

Concepto

Un cuerpo situado sobre un plano inclinado sin rozamiento desciende sin necesidad de

empujarlo. Si se pretende que el cuerpo ascienda o permanezca en reposo, hay que

ejercer una fuerza sobre él.

Ejemplo I

Sobre el cuerpo de la imagen actúa el peso y la normal al tratarse de un plano inclinado

tiene direcciones distintas, por lo que elegimos un sistema con uno de los ejes en la

dirección del movimiento.

Se aplica el segundo principio de la dinámica en cada eje por separado.



Ejemplo II

Diagramas de cuerpo libre de ambos cuerpos

Datos:

M1 = 20kg

M2 = 5kg

t = ?

a = ?



Ecuaciones:

M1

∑F(x) = m1.g sen30° = 20.10 m/s * sen30° = 100N

* En estos casos la función siempre será seno α.

∑F(x) = T – m1.g sen30° = - m1.a

Despejamos la tensión T = m1.g sen30° – m1.a = m1 (g - a)

M2

∑F(y) = T - m2.g = m2.a

Despejamos la tensión T = m2.g + m2.a = m2 (g + a)

Operación final

*Escoger primero siempre la ecuación del cuerpo que tenga más peso*

En este caso m1.g sen30°

m1.g sen30 – m1.a = m2.g + m2.a = m2

m1.g sen30 – m2.g = m1.a + m2.a

(m1sen30 – m2) g = (m1 + m2) a

a = m1.g sen30 – m2.g = 100N – 50N = 50N = 2 m/s²

m1+m2 20 + 5 25

T = m1 (g – a) = 20 (9.8m/s² – 2m/s²)

T = 156N



Practicas

1. Un objeto con un peso de 300N está sujeto con dos tensiones, Encuentre el

valor de cada tensión.

2. Datos W = 300N. Determine el valor de las dos tensiones.



Practicas



UNIDAD II

DINAMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL: TORQUE

Metas de Aprendizaje:

· Que significa que una fuerza produzca un torque.

· Como analizar el movimiento de un cuerpo que gira y se mueve como un

todo por el espacio.



Concepto de torque

Sabemos que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento

de traslación, es decir, el movimiento del cuerpo como un todo a través del espacio.

Ahora queremos aprender que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es

esta para provocar o modificar el movimiento rotacional. La magnitud y dirección de la

fuerza son importantes, pero también lo es la posición del punto de aplicación.

El torque siempre se mide en torno a un punto 0, es decir, siempre se define como

referencia un punto específico.

Definición del vector torque

Ƭ = r x F

Donde Ƭ es torque o momento, r es la distancia y F la fuerza aplicada.

Traslación y rotación combinadas: Dinámica

También podemos analizar el movimiento traslacional y rotacional combinados de un

cuerpo rígido desde la perspectiva de la dinámica. El movimiento rotacional alrededor

del centro de la masa se describe mediante el análogo rotacional de la segunda ley de

newton:

∑Ƭz = Icmαz

K=½ mv + ½ Iω² ECR=½ Iω² *Energía Cinética Rotacional*

Donde I es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de

masa y ∑Ƭz incluye todas las torques externas con respecto a este eje.



Ejercicios de torque

Ejemplo I

Ƭ = r . F. sen ø

Ƭ = 4m x 25N x 0.5 = 50 m.N

Ejemplo II



W = m.g = 50kg x 10m/s² = 500N

W = 500N

L1 = 10cm

L2 = 10cm

T1 + T2 – W = 0

Ƭ = F . r = 10cm + 500N x 10cm – 20T2 = 0;

Ƭ = 5010 – 20T2;

T2 = 5010 = 250N

20

T1 + T2 – 500 = 0;

T1 = 500 – 250 = 250N

Comprobación:

T1 + T2 – 500 = 0;

250N + 250N – 500 = 0;

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