calculo de tasas de crecimiento

8/9/2019 Calculo de Tasas de Crecimiento

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Nota Tcnica: Clculo de Tasas de Crecimiento en Excel1

Jaime Esquivel Valdivia

Especialista en Cadenas Agroproductivas del Proyecto Observatorio Peruano de Cadenas Agroproductivas y Territorios Rurales

Muchas veces nos encontramos frente a series temporales que registran el comportamiento de

variables econmicas como PBI, exportaciones, importaciones, colocaciones, etc. Estas series por

si solas no son suficientes para realizar interpretaciones de la realidad, pero al aplicarles anlisis

estadstico y economtrico obtenemos los fundamentos que nos permiten realizar afirmaciones

sobre el comportamiento de la economa.

Sean, por ejemplo, las siguientes series temporales:

Exportaciones de Productos Trad. Maz2: rea Cosechada Mundial

(Valor FOB en Millones de US$) (Miles Ha)

AoProductos

TradicionalesAo Arroz

1985 2,259 1985 155,897

1986 1,884 1986 166,297

1987 1,951 1987 166,813

1988 1,943 1988 163,403

1989 2,490 1989 162,820

1990 2,259 1990 161,341

1991 2,359 1991 159,877

1992 2,562 1992 161,846

1993 2,318 1993 165,1121994 3,156 1994 158,361

1995 3,984 1995 162,216

1996 4,214 1996 156,393

1997 4,705 1997 161,025

1998 3,712 1998 160,283

1999 4,142 1999 156,852

2000 4,804 2000 156,866

2001 4,730 2001 155,139

2002 5,369 2002 154,144

2003 6,356 2003 153,154

2004 9,199 2004 156,167

2005 12,950 2005 158,9072006 18,374 2006 157,139

2007 21,493 2007 156,618

Fuente: BCRP Fuente: FAO

1Se agradece la colaboracin de Joaqun Arias Segura, Ph.D, Especialista en Polticas y Negociaciones Comerciales para

la Regin Andina del Instituto Interamericano de Cooperacin para la Agricultura, en la revisin de la metodologa

empleada para el clculo de las tasas de crecimiento y de la versin preliminar del presente documento.2

Se incluyen los siguientes cultivos: maz, maz amilceo y maz forrajero.


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La primera registra el valor FOB de las Exportaciones Peruanas de Productos No-Tradicionales para

el periodo 1985-2007 y la segunda el Total de Hectreas Cosechadas Mundiales de Maz para el

periodo 1984-2006. Ambas series cuentan con 23 observaciones.

Representar grficamente estas series, mediante un diagrama de dispersin, nos permite tener

una imagen ms clara de su comportamiento.

Fuente: BCRP Fuente: FAOStat

A simple vista podramos decir que la serie de las exportaciones presenta un crecimiento

exponencial. En el caso de las hectreas cosechadas mundiales la figura no es tan clara, slo

podramos afirmar que se observa una tendencia negativa.

Otro detalle que podemos extraer de estos grficos es que la velocidad a la que crecen/decrecen

los valores en ambas series no es el mismo. Esta velocidad es la que se conoce como tasa de

crecimiento.

En la literatura podemos encontrar distintos mtodos para calcular tasas de crecimiento, cada uno

de ellos con su respectivo sustento terico. El punto es que las tasas halladas pueden diferir de

acuerdo al mtodo utilizado, por lo que surge la pregunta sobre cul es el ms adecuado. La

respuesta a esta interrogante parece ser bastante sencilla: el que mejor se ajuste a las

observaciones.

Sin embargo, los mtodos para determinar el grado de ajuste tambin resultan ser abundantes y

las conclusiones que se desprenden de cada uno pueden llegar a ser contradictorias.


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Dada esta situacin, se ha realizado una revisin de los mtodos ms utilizados y se ha

seleccionado un criterio para el clculo de las tasas de crecimiento en los indicadores de

seguimiento y competitividad de la seccin de Cadenas Agroproductivas del Proyecto

Observatorio.

Mtodo Geomtrico

El clculo de la tasa de crecimiento mediante el mtodo geomtrico resulta ser el ms sencillo, se

utilizan los valores inicial y final de la serie de acuerdo a la siguiente ecuacin:

11

1

=

n

i

f

V

Vr (1)

Donde,

r es la tasa de crecimiento

Vf es el valor final de la serie

Vi es el valor inicial de la serie

n es el nmero de observaciones

Aplicando esta frmula a las series de exportaciones y rea cosechada mostradas al inicio,

obtenemos las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 10.78%

rea Cosechada 0.02%

Este mtodo resulta til cuando slo se cuenta con los valores inicial y final de una serie, o cuando

los valores observados estuvieran comprendidos en la lnea recta trazada desde el valor inicial

hasta el valor final.


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Mtodo Lineal

Este mtodo implica el clculo de una regresin lineal mediante Mnimos Cuadrados Ordinarios

(MCO). Se asume que la relacin existente entre una variable dependiente (las exportaciones o el

rea cosechada) y otra independiente (el tiempo) se puede describir a travs de la ecuacin de

una recta:

xyt .+= (2)

donde,

ytson las Exportaciones de Productos No-Tradicionales o el total de Hectreas Cosechadas

de Maz.

es el intercepto

es la pendiente de la recta

x es el tiempo

En este caso la tasa de crecimiento promedio anual se halla dividiendo el valor estimado de la

pendiente entre la media aritmtica de la variable dependiente:

tyr

=

(3)

Dado que contamos con los valores de yt y de t podemos entonces hallar el valor estimado de

la pendiente utilizando la frmula PENDIENTE3 en la hoja de clculo de Excel. Para la media

aritmtica utilizamos la frmula PROMEDIO 4.

Aplicando estas frmulas se obtienen las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 10.85%

rea Cosechada -0.24%

3Con los valores de la variable dependiente como Conocido_y y los aos como Conocido_x.

4Con los valores de la variable dependiente como Nmero_1.


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Mtodo Exponencial

Este mtodo implica el clculo de una regresin exponencial mediante Mnimos Cuadrados

Ordinarios (MCO). Se asume que la relacin existente entre una variable dependiente (las

exportaciones o el rea cosechada) y otra independiente (el tiempo) se puede describir a travs de

la ecuacin:x

t ey.= (4)

Para poder aplicar el mtodo de MCO necesitamos linealizar esta ecuacin, para ello aplicamos

logaritmos naturales:

xyt .lnln += (5)

En este caso la tasa de crecimiento promedio anual est representada por el valor estimado de la

pendiente:

=r (6)

Entonces, para realizar el clculo en Excel debemos primero transformar la serie de la variable

dependiente a logaritmos naturales aplicando la frmula LN. Una vez hecho esto procedemos a

hallar el valor estimado de la pendiente ( ) mediante el procedimiento descrito anteriormente.

Obtenemos las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 9.59%

rea Cosechada -0.24%

Recopilando, se han calculado las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

MtodoExp. Productos

Tradicionales

rea Cosechada

Geomtrico 10.78 % 0.02 %

Lineal 10.85 % -0.24 %

Exponencial 9.59 % -0.24 %


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De esta manera se comprueba que las tasas de crecimiento pueden varan de acuerdo al mtodo

utilizado para su clculo. Como se mencion anteriormente, la decisin sobre cul de estas tasas

es la ms adecuada depende del criterio de seleccin basado en el mejor ajuste.

Utilizando el coeficiente de determinacin (R2) podemos determinar el porcentaje de variacin de

la variable dependiente (las exportaciones o el rea cosechada) que es explicado por la variable

independiente (los aos).

Segn Gujarati (2004), el coeficiente de determinacin mide la proporcin o porcentaje de la

variacin total en yque es explicada por el modelo de regresin. Se trata de un nmero positivo

1, un valor igual a 1 significa que el 100% de la variacin de la variable dependiente es explicada

por la variable independiente, un valor igual a 0 significa que la variacin de la variable

dependiente no es explicada por la independiente.

Sea por ejemplo el caso de la serie de exportaciones peruanas de productos tradicionales:

Comparando los valores de R2 para cada caso concluimos que la regresin exponencial es la que

presenta el mejor ajuste. Un valor R2 = 0.8532 significa que el paso de los aos explica el 85.32%

de la variacin en las exportaciones.

Es importante tener presente que un valor grande de R2 no necesariamente implica que el modelo

sea bueno. El valor de este coeficiente se incrementa cuando se agregan variables al modelo, ya

sea que estas variables contribuyan o no. Por ese motivo, es posible que modelos con un valor

grande de R2 sean malos para la prediccin o estimacin.


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Los anlisis de los trminos de error nos permiten determinar la bondad del modelo para realizar

pronsticos. Para este anlisis puede utilizarse el mtodo del error medio (ME), el error

cuadrtico medio (MSE), el error medio porcentual (ME), el error absoluto medio porcentual

(MAPE), el error cuadrtico medio porcentual (RMSPE), entre otros. En el rea de cadenas

productivas del proyecto observatorio hemos seleccionado el criterio del error absoluto medio

porcentual (MAPE) pues permite comparar diferentes modelos, dado que es independiente de la

escala.

Error Absoluto Medio Porcentual (MAPE)

El MAPE es un nmero positivo, definido por:

n

y

yy

MAPE t

t

=

(7)

Donde,

yt es el valor observado de la variable dependiente en el periodo t.

ty es el valor calculado de la variable dependiente, utilizando cualquiera de los modelos

mencionados.

n es el nmero de observaciones.

Se trata de una medida proporcional que no depende de la escala, por lo que permite contrastar

diferentes modelos. De acuerdo a este criterio se debe seleccionar el modelo que tenga el menor

MAPE asociado.

Para su clculo necesitamos hallar el valor estimado de la variable dependiente ( ) de acuerdo a

cada modelo.

Para el modelo geomtrico los valores estimados de la variable dependiente se hallan aplicando la

siguiente frmula:

t

it rVy )1( += (8)


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Donde,

Vi es el valor inicial de la serie,

r es la tasa de crecimiento geomtrica,

t= 0,1,2,,22 (son 23 observaciones)

Para el modelo lineal los valores estimados se hallan aplicando la frmula:

xyt . += (9)

donde,

es el valor estimado del intercepto, se halla utilizando la frmula INTERSECCION.EJE5,

es la pendiente, ya fue calculada anteriormente

x es la variable independiente (aos)

Para el modelo exponencial se utilizan los valores transformados a logaritmos de acuerdo a lasiguiente ecuacin:

xyt lnln += (10)

Una vez obtenidos estos valores los reemplazamos6 en la ecuacin (7) y obtenemos los siguientes

MAPEs:

MAPEExportaciones Peruanas de

Productos Tradicionalesrea Cosechada

de Maz

Geomtrico 73.17% 2.34%Lineal 53.83% 1.42%

Exponencial 2.41% 0.12%

En todos los casos los menores valores de los MAPEs corresponden a los clculos realizados

utilizando el mtodo exponencial. Podemos concluir entonces que, para las series consideradas,

las regresiones exponenciales son las que mejor explican la relacin entre las variables

dependiente e independiente.

5 El argumento Conocido_y es la serie de variable dependiente (exportaciones o rea cosechada) y el argumentoConocido_x es la serie de los aos.

6Para el caso del modelo exponencial la ecuacin del MAPE es

n

y

yy

MAPE t

t

=ln

lnln


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Por lo tanto las tasas de crecimiento seleccionadas son:

Exportaciones Peruanas deProductos Tradicionales

rea Cosechadade Maz

9.59 % -0.24 %

Referencias.

1. Gujarati, Damodar N. (2004). Basic Econometrics (Fourth Edition). McGrawHill.2. Green, William (2003). Econometric Analysis (Fifth Edition). Prentice-Hall.3. Chiang, Alpha C. (2003). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third Edition).

McGraw-Hill.

4. Amirkhalhali, Samad. An Empirical Study of Selection and Estimation of Statistical GrowthModels.

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