c´alculo de probabilidades. enunciados. · ... (pitman, p´agina 9) elegimos una palabra al azar...

Calculo de Probabilidades.

Enunciados.

25 de septiembre de 2006

Indice general

1. Espacio de probabilidad 51.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia . . . . . . . . . . . 8

2. Variables y vectores aleatorios 172.1. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Independencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Distribuciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Funcion de una o varias variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Esperanza 273.1. Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Esperanza de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Esperanza condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias 394.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Leyes de los Grandes Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Funcion caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4. Teorema Central de Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5. Funcion generatriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Examenes previos 435.1. 1 de septiembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2. 3 de febrero de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3. 3 de septiembre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4. 8 de junio de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5. 9 de febrero de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

4 INDICE GENERAL

5.5.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.6. 21 de junio de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.6.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.6.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.7. 6 de junio de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7.1. Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7.2. Valenciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Capıtulo 1

Espacio de probabilidad

1.1. Probabilidad

Problema 1 Juego de dados tradicional chino que se juega durante la celebracion del ano nue-vo. En este juego se lanzan 6 dados. Segun parece un lanzamiento con dos pares gana a unlanzamiento con un par. ¿Cual es la probabilidad de cada uno de estos sucesos? En otras pala-bras, encuentra la probabilidad de obtener un par en un lanzamiento de 6 dados y la probabilidadde obtener dos pares en un lanzamiento de 6 dados.

Problema 2 (Problema de los cumpleanos) En una reunion hay n personas. ¿Cual es laprobabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleanos?

Problema 3 (Pitman, pagina 9) Elegimos una palabra al azar de esta frase. Se pide:

1. ¿Que probabilidad tenemos de que la palabra tenga al menos cuatro letras?

2. ¿Y de que la palabra tenga al menos dos vocales?

3. ¿Y de que tenga al menos dos letras y al menos dos vocales?

Problema 4 (Muestreo con y sin reemplazamiento) Veamos un experimento que corres-ponde a lo que se conoce como muestreo con reemplazamiento Una caja contiene una serie depapeletas marcadas con los numeros 1, . . . , n. Elegimos al azar una papeleta de la caja. Vemossu numero y la devolvemos a la caja. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos.

1. La primera papeleta tiene el numero 1 y la segunda el numero 2.

2. Los numeros de las dos papeletas son numeros enteros consecutivos, esto es, la primerapapeleta tiene un numero una unidad inferior a la segunda.

3. El segundo numero extraido es mayor que el primero.

Supongamos ahora que no reemplazamos la primera papeleta en la caja. En consecuencia lasegunda papeleta ha de ser distinta a la primera. Se pide responder a las tres preguntas anterioresen esta nueva situacion.

Problema 5 Supongamos que barajamos una baraja de 52 cartas y tomamos las dos cartas quehan quedado en la parte superior del mazo.

5

6 CAPITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

1. ¿Cuantos pares ordenados de cartas podemos obtener como resultado? En lo que siguevamos a asumir que cada uno de estos pares tiene la misma probabilidad de producirse.

2. ¿Que probabilidad tenemos de que la primera carta sea un as?

3. ¿Que probabilidad tenemos de que la segunda carta sea un as?

4. ¿Y de que ambas cartas sean ases?

5. ¿Y de que al menos tengamos un as entre las dos cartas?

Problema 6 Tenemos diez puntos colocados de forma equidistante en la circunferencia de uncırculo y elegimos aleatoriamente tres de entre esos diez puntos. Se pide:

1. Si A y B son dos puntos particulares adyancentes, ¿que probabilidad tenemos de que A yB esten entre los puntos seleccionados?

2. ¿Que probabilidad tenemos de que entre los tres puntos seleccionados aleatoriamente ten-gamos como mınimo un par de puntos adyacentes?

Problema 7 Se dispone de n1 cubos blancos y n2 cubos rojos. Se los ordena al azar en com-partimentos numerados de 1 a n1 + n2.

1. ¿Cual es el numero N de disposiciones distintas posibles?

2. Calcular la probabilidad de que K cubos blancos determinados se encuentren en lugaresfijados.

Problema 8 (Examen 9-2-2005) ¿Cual es la probabilidad de que una mano de poquer con-tenga solo una pareja?Nota: una baraja de poquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano sesirven cinco cartas.

Problema 9 (Poker) La baraja francesa consta de 52 cartas distribuidas en cuatro palos ocolores: treboles, diamantes, corazones y picas. Cada uno de estos palos esta compuesto por 13cartas: uno o as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez y las tres figuras, quese llaman valet (V, equivalente al Bube aleman, al Jack ingles, e incluso puede asimilarse ala Sota espanola), Dame (D, equivalente a la Dame alemana y a la Queen inglesa) y Roi (R,equivalente al Konig aleman, al King ingles, y tambien al Rey de la baraja espanola). En unamano de poker se reparten 5 cartas a cada jugador. Se pide hallar la probabilidad de cada unode estos sucesos:

1. Tener escalera de color (5 cartas consecutivas del mismo palo).

2. Tener poker (4 cartas iguales x x x x y).

3. Tener un full (un trıo y una pareja x x x y y).

4. Tener 5 cartas del mismo palo.

5. Tener una escalera (5 cartas consecutivas).

6. Tener un trıo (x x x y z)

7. Tener dobles parejas (x x y y z).

1.1. PROBABILIDAD 7

8. Tener una pareja (x x y z w).

Problema 10 Lanzamos dos dados. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. El maximo de los dos valores que obtenemos es menor o igual a 2.

2. El maximo de los dos valores es menor o igual a 3.

3. El maximo de los dos numeros es igual a 3.

4. Repite los dos apartados anteriores sustituyendo 3 por x donde x varıa entre 1 y 6.

5. Si denotamos por p(x) con x = 1, . . . , 6 las probabilidades calculadas en el apartado ante-

rior comprueba que∑6

i=1 p(x) = 1.

Problema 11 (Una carrera de tortugas) En la carrera de las grandes tortugas compitencuatro animales. Para darle un poco de animacion a la carrera, los cuatro propietarios decidenintroducir los nombres de las tortugas en un sombrero y cada uno de los propietarios eligealeatoriamente un nombre sin reemplazamiento. Cada propietario esta obligado a apostar porla tortuga que le ha correspondido en el sorteo. Se pide:

1. Determinar la probabilidad de que todos los propietarios apuesten por sus tortugas.

2. Ningun propietario apueste por su propia tortuga.

3. El desafortunado propietario A elija a la tortuga Berzine que siempre pierde.

4. A apueste por la tortuga de B y B por la tortuga de A.

Problema 12 (Examen 2-3-2004) El holandes Christian Huygens publico en 1657 uno deprimeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razona-miento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conocecomo segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuacion

Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancasy b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola con reemplazamientohasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar paracada jugador.

Problema 13 Hemos cuadriculado una cierta zona en seis columnas y cuatro filas. Denotamospor C(i, j) la celda en la fila i y columna j. Considerad el siguiente juego. Tenemos una fichacolocada en el rectangulo marcado con C(0, 0). La ficha la movemos a la derecha o hacia arribadesde la celda inicial C(4, 1) a la celda final C(1, 6). Se pregunta:

1. ¿Cuantos posibles caminos hay moverse desde C(4, 1) hasta C(1, 6)?

2. Si el jugador en su camino pasa por la celda C(2, 5) recibe un premio. Supongamos quecada camino tiene la misma probabilidad, ¿cual es la probabilidad de que el jugador pasepor C(2, 5) en su camino de C(4, 1) a C(1, 6)?

Problema 14 (Aditividad finita y numerable) Demostrar que una medida de probabili-dad es finitamente aditiva.

Problema 15 Comprobar que la definicion de probabilidad de Laplace verifica los axiomas deKolmogorov. En definitiva, que es una medida de probabilidad.


Problema 16 (Krief y Levy, pagina 81) Tenemos el espacio de probabilidad (Ω,A, P ). Sepide:

1. Probar que si A, B y C son tres sucesos en este espacio se tiene que:

P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (B∩C)−P (A∩C)+P (A∩B∩C).

2. Sean A1, . . . , An sucesos en (Ω,A, P ). Demostrar la desigualdad siguiente:

P (A1 ∪ . . . ∪ An) ≤n

∑

i=1

P (Ai).

¿En que caso la desigualdad anterior es una igualdad?

Problema 17 (Krief y Levy pagina 81) Sea (Ω,A, P ) un espacio de probabilidad. Se de-nomina diferencia simetrica de dos sucesos A y B al suceso AB = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B).

1. Probar que si tenemos los tres sucesos A, B y C entonces

P (AC) ≤ P (AB) + P (BC).

2. Para sucesos A, B, C y D se verifica

P

(

(A ∪ B)(C ∪ D)

)

≤ P (AC) + P (BD).

Problema 18 (Un camino aleatorio cule) El dıa 27 de julio de 1997 se celebraron elec-ciones a la presidencia del Barca. Habıa solo dos candidatos, el senor Fernandez y el senorNunez, siendo este ultimo el ganador. Un socio con veleidades probabilısticas se hizo la siguien-te pregunta: ¿habra ido el senor Nunez por delante del senor Fernandez a lo largo de todo elescrutinio? El senor Nunez obtuvo 24025 votos y el senor Fernandez 5209.

1.2. Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e inde-

pendencia

Problema 19 Sean A y B dos sucesos. Obtener la probabilidad de A ∩ B si ha ocurrido A osi ha ocurrido A ∪ B. Comentar el resultado.

Problema 20 (La paradoja del caballero De Mere) En un juego consistente en lanzarrepetidamente un par de dados, encontrar el menor numero n de lanzamientos para que laprobabilidad de obtener al menos un doble seis sea mayor que 0,5.

Comentarios

El origen de la paradoja esta en la pregunta que Antoine Gombauld, caballero De Mere, planteo aPascal Observaba De Mere una discrepancia entre la realidad, deducida de su larga experienciacomo jugador, y una antigua regla muy extendida entre los jugadores que afirmaba que n = 24.Esta erronea regla tenıa su origen en la creencia de un comportamiento lineal de las probabi-lidades. Se sabıa que si los lanzamientos eran de un solo dado y se perseguıa la obtencion deun seis, n = 4, pues p3,1 = 0,4213 y p4,1 = 0,5177. Se razonaba a continuacion mediante unasencilla regla de tres: 4 es a 6 como 24 a 36.

1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 9

Problema 21 A y B juegan a un juego en el que A tiene una probabilidad p de ganar unapartida. El vencedor es aquel que gana dos partidas consecutivas. Encontrar el valor de p si sesabe que cuando A pierde la primera partida, las probabilidades de ganar el juego para A y paraB son iguales.

Problema 22 (Jugando con un tetraedro) Tenemos un tetraedro un poco extrano. Unacara es de color rojo, la otra de color azul y una tercera de color verde. La cuarta y ultimacara tiene tres partes coloreadas respectivamente de rojo, azul y verde. Lanzamos el tetraedro ynos fijamos en el color de la cara en que se apoya el tetraedro. Consideramos los sucesos Ar

consistente en que se apoya en una cara con el color rojo. Definimos Aa y Av analagomentesustituyendo el color rojo por el azul y el verde. ¿Son independientes dos a dos los sucesosaleatorios Ar, Aa y Av? ¿Son independientes los tres sucesos?

Problema 23 Con objeto de estudiar la efectividad de un nuevo remedio contra el dolor decabeza una gran muestra formada por n personas ha sido seleccionada. Puesto que se piensaque la reaccion de una persona al medicamento puede estar relacionada con el sexo, los datosque se tomaron fueron especıficos al sexo. La siguiente tabla resume los resultados obtenidos:

E Ec

H a bM c d

donde E = el medicamento ha sido efectivo , Ec = el medicamento no ha sido efectivo ,H = hombre , M = mujer y a + b + c + d = n. Es decir, el numero de mujeres para lascuales ha sido efectivo el medicamento es c y ası con el resto de la tabla.

1. Basandose en estos datos, determinar (i) P(H), (ii) P(E), (iii) P(H | E), (iv) P(E | H).

2. ¿Cuando son independientes los sucesos E y H? Demostrar que si ad − bc = 0, E y Mson sucesos independientes.

3. Si E y M son independientes, decimos que el efecto medicamento y el factor sexo sonindependientes. ¿Por que podemos hacer esta afirmacion?

Problema 24 Demostrar que si B1, . . . , Bn es una particion de B (es decir, son disjuntos y∪n

i=1Bi = B), entonces

P(A | B) = P(A | B1)P(B1 | B) + . . . + P(A | Bn)P(Bn | B).

Problema 25 Consideremos un espacio de probabilidad (Ω,A, P ). Se pide:

1. Demostrar que si A y B son sucesos independientes tambien lo son A y Bc; Ac y B; Ac

y Bc.

2. Tres sucesos A, B y C se dicen independientes si las tres parejas (A, B), (A, C) y (B, C)estan constituidas por sucesos independientes, y si

P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C).

Se pide comprobar que las ternas (Ac, B, C), (Ac, Bc, C) y (Ac, Bc, Cc) son sucesos mu-tuamente independientes si A, B y C lo son.

3. Demostrar, con un ejemplo, que aunque las parejas (A, B), (A, C) y (B, C) esten constitui-das por sucesos independientes, no tiene porque ocurrir lo mismo con la terna (A, B, C).


Problema 26 (Krief y Levy, pagina 82) Se consideran cuatro numeros reales a, b, c y dcomprendidos entre 0 y 1. Determinar las condiciones necesarias y suficientes que deben verificarestos cuatro numeros para que se pueda definir un espacio probabilıstico (Ω,A, P ) y dos sucesosA y B en este espacio verificando que: P (A|B) = a, P (A|Bc) = b, P (B|A) = c y P (B|Ac) = d.

Problema 27 Hay sucesos que son independientes de sı mismo. Por ejemplo, el suceso vacıo∅ verifica que P (∅ ∩ ∅) = P (∅) = 0 y por lo tanto es independiente de sı mismo. ¿Que ha deverificar un suceso para que sea independiente de sı mismo?

Problema 28 Dos jugadores A y B juegan a un juego en el que cada uno de ellos puedeefectuar n lanzamientos de dos dados, siendo A quien comienza. Las reglas del juego son lassiguientes:

Si A obtiene una suma 6 con los dados antes de que B haya obtenido una suma 7, A ganael juego.

Si es B quien obtiene el 7 antes de que A haya obtenido el 6, es B quien gana.

El juego termina en empate cuando ambos han agotado su n lanzamientos.

Encontrar las expresiones de pA(n), pB(n) y pE(n) que denotan, respectivamente, que el ganadores A, el ganador es B o el juego termina en empate. Calcular sus lımites cuando n → ∞.

Problema 29 Sean A y B dos sucesos incompatibles con probabilidad distinta de cero. ¿Cuales la probabilidad de que A ocurra antes que B si el experimento se repite indefinidamente?

Problema 30 (El juego de craps) Un jugador lanza dos dados, si la suma del primer lan-zamiento es 7 u 11 gana, si la suma es 2, 3 o 12 pierde y si la suma es cualquier otro numerocontinua lanzando hasta que aparezca una suma 7 o la suma que inicialmente obtuvo. Si aparecela suma 7 antes que la suma inicial pierde, en caso contrario gana. Calcular la probabilidad deque gane el juego.

Problema 31 (El segundo problema de Huygens) El holandes Christian Huygens publico en1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae(Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El quese conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuacion

Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancasy b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola con reemplazamientohasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar paracada jugador.

Problema 32 (El problema de los puntos o del reparto de la apuesta) Dos jugadoresA y B juegan a un juego consistente en un numero indeterminado de partidas. La probabilidadde ganar en cada partida es p para A y 1−p para B. Aquel de los dos que consigue antes venceren r partidas gana el juego y la apuesta que ambos hicieron. Si el juego se interrumpe antes definalizar, ¿como se debe repartir la apuesta?

Problema 33 Utilizando argumentos probabilısticos, probar la igualdad (A > a)

1 +A − a

A − 1+

(A − a)(A − a − 1)

(A − 1)(A − 2)+ · · · (A − a) . . . 2 · 1

(A − 1) . . . (a + 1)a=

A

a

Sugerencia.- Una urna con A bolas de las cuales a son blancas, extracciones sucesivas sinreemplazamiento, primera bola blanca, etc.


Problema 34 ( ) Se lanza un dado una vez, si sale 1 se saca una bola de la urna I, si sale 2o 3 se saca de la urna II, y en otro caso se saca de la urna III. La urna I tiene 5 bolas blancas,3 verdes y 2 rojas; la urna II tiene 1 blanca 6 verdes y 3 rojas; la III tiene 3 blancas, 1 verde y6 rojas. Determina las probabilidades siguientes:

1. que se elija una bola roja

2. que se haya seleccionado la urna II si ha salido roja.

Problema 35 Proporcionamos a A un trozo de papel para que escriba un signo + o un signo−, sabiendo que escribe el primero con probabilidad 1/3. El papel pasa a B, quien lo dejacomo esta o cambia el signo antes de pasarlo a C. A continuacion C, que puede o no habercambiado el signo, lo pasa a D, quien finalmente nos lo devuelve tras haber introducido o noalgun nuevo cambio. Si comprobamos que el papel tiene escrito un signo + y sabemos que laprobabilidad de que B, C y D cambiaran el signo es 2/3, obtener la probabilidad de que Aescribiera originalmente un signo +.

Problema 36 Un aparato de diagnostico automatico emite un diagnostico basado en el resul-tado de n analisis de un mismo paciente. Cada analisis, independientemente de los restantes,puede dar un resultado erroneo con probabilidad p. La probabilidad de un buen diagnostico,condicionada al numero de analisis correctos, es una funcion creciente de dicho numero, g(m).Durante una manana la maquina ha diagnosticado a k pacientes. Encontrar la probabilidaddel suceso A =al menos un paciente esta mal diagnosticado. Particularizar el resultado parag(m) = m/n.

Problema 37 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay doscompanıas de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85% de los taxis dela ciudad son Negros y el 15% restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que eltaxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80%, es decir, es capaz deidentificar correctamente el color del taxi el 80% de las veces.

1. Sin ningun calculo previo, ¿piensas que es mas probable que el taxi accidentado fuera elNegro o el Blanco?

2. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco y compara ambas res-puestas.

3. Supongamos que para 0 ≤ p ≤ 1 el 100p% de los taxis son Blancos y que la fiabilidaddel testigo continua siendo del 80%. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuestaanterior viendo como varıa esta en funcion de p. ¿A partir de que valor de p la probabilidadde que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5?

4. El analisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable,100q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la region dentro del cuadrado

(p, q) : 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1

en la que la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5.

Cuando en todo cuanto precede nos referimos a la probabilidad de que haya sido el taxi Blancose sobrentiende que dado que el testigo afirma que era Blanco.


Problema 38 (El coche y las cabras) En un concurso de TV hay tres puertas, una de ellasesconde un coche y las otras dos sendas cabras. El concursante elige una de las puertas y obtienecomo premio aquello que la puerta oculta, pero la puerta permanece cerrada y el presentador,que conoce lo que hay detras de cada puerta, abre una de las otras dos puertas y aparece unacabra (logicamente el presentador nunca abre la puerta que oculta el coche). El presentadorse dirige entonces al concursante y le permite cambiar su eleccion, ¿que le conviene hacer alconcursante?

Este concurso tuvo gran exito a principios de los 90 en los USA y una conocida columnistade la revista Parade Magazine, Marylin vos Savant publico que cambiando su eleccion el con-cursante doblaba su probabilidad de ganar el coche, pues esta pasaba del 1/3 inicial a 2/3. Suafirmacion era correcta. Compruebalo.

Problema 39 El color de las flores de una cierta planta depende de dos genes, uno que recibedel padre y el otro de la madre. Si los dos genes son identicos entonces la flor tiene ese color;sin embargo, con genes diferentes la flor tiene bandas con cada uno de los dos colores. Los genespresentes en la poblacion corresponden a los colores azul, amarillo y verde y su proporcion enla poblacion es p, q y r (de modo que p + q + r = 1). Seleccionamos los padres de una plantaaleatoriamente dentro de la poblacion y consideramos: el suceso A consistente en que las floresdel hijo tienen el color azul; el suceso B consistente en que las flores tengan mas de un color.Se pide:

1. Determinar la probabilidad de los dos sucesos.

2. Demostrar que los dos sucesos son independientes si p = 23 y q = r = 1

6 .

3. ¿Son estos los unicos valores de p, q y r que hacen a los sucesos A y B independientes?

Problema 40 Un test para diagnosticar cierta enfermedad tiene una sensibilidad del 95% yuna especificidad del 99%. Si la enfermedad en cuestion tiene una prevalencia del 0.5%, ¿cuales el valor predictivo del test?

Problema 41 Supongamos una clase con n estudiantes. Uno de ellos conoce una historia sobreJesulın. Se la cuenta a uno de sus companeros elegido al azar. A su vez este segundo estudiantevuelve a contarla a otro companero diferente del que se la ha contado elegido al azar. El rumorsigue propagandose de este modo. En cada ocasion la persona cuenta la historia a otra del grupoelegida al azar excluyendo a la persona que le ha informado. ¿Cual es la probabilidad de que lahistoria se cuente k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo?

Sugerencia:definid los sucesos Ai con i = 1, . . . , k consistentes en que la historia no serepite la i-esima vez que se cuenta. A partir de estos sucesos definir el suceso de interes.

Problema 42 Un sistema compuesto por n componentes trabaja en paralelo si funciona cuandoal menos una componente funciona. Si la componente i funciona independendientemente de lasdemas con probabilidad pi para i = 1, . . . n , ¿cual es la probabilidad de que el sistema funcione?

Problema 43 Ha desaparecido un avion y se cree que es igualmente probable que se encuentreen cualquiera de las regiones R1, R2 o R3. Sea 1−αi la probabilidad de que se encuentre el avionmientras se busca en la region i (en la practica estas probabilidades dependen de las condicionesgeograficas y del entorno de las regiones). ¿Cual es la probabilidad de que el avion se encuentreen la region i dado que la busqueda en la region 1 ha sido infructuosa?

Problema 44 Si se lanzan dos dados equilibrados


1. ¿cual es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea un 6 dado que los dos numerosque han salido son diferentes?

2. ¿cual es la probabilidad de que el primero de ellos sea un 6 sabiendo que la suma de losdos numeros que han salido es i? Hallala para todos los valores de i entre 2 y 12.

Problema 45 Es el doble de probable desarrollar un embarazo ectopico para una embarazadafumadora que para una embarazada no fumadora. Si el 32 % de las mujeres en edad fertil sonfumadoras, ¿que porcentaje de mujeres con embarazos ectopicos son fumadoras?

Problema 46 Supongamos que el tiempo (seco o lluvioso) manana sera el mismo que el de hoycon probabilidad p. Si el tiempo el 1 de enero es seco, demuestra que Pn, que es la probabilidadde que sea seco n dıas despues, satisface:

Pn = (2p − 1)Pn−1 + (1 − p), n ≥ 1

P0 = 1.

Demuestra que

Pn =1

2+

1

2.(2p − 1)n

Problema 47 Tres prisioneros A, B y C son informados por su carcelero de que se ha elegidoal azar a uno de ellos para ser ejecutado y que los otros dos van a ser liberados. El prisionero Ale pide al carcelero que le diga en privado cual de sus companeros va a ser liberado, asegurandoleque no pasa nada porque le de esa informacion puesto que el sabe que al menos uno de los otrosdos quedara libre. El carcelero no quiere contestar la pregunta porque dice que si A supiera cualde sus dos companeros va a ser liberado entones su propia probabilidad de ser ejecutado subirıade 1

3 a 12 porque entonces el serıa uno de los dos que podrıa ser ejecutado. ¿Que piensas del

razonamiento del carcelero?

Problema 48 A y B se enfrentan en duelo. Las reglas del duelo son que ambos tienen querecoger el arma y disparar al otro simultaneamente. Si uno o ambos resultan heridos, el duelose acaba. Si ambos fallan repiten el proceso. Supongamos que los resultados de los disparos sonindependientes y que un disparo de A alcanza a B con probabilidad pA y que un disparo de Balcanza a A con probabilidad pB. ¿Cual es

1. la probabilidad de que A no resulte herido;

2. la probabilidad de que ambos duelistas resulten heridos;

3. la probabilidad de que el duelo acabe despues de n rondas de disparos;

4. la probabilidad de que el duelo acabe despues de n rondas de disparos dado que A no hasido herido;

5. la probabilidad de que el duelo acabe despues de n rondas de disparos dado que ambosduelistas han sido heridos?

Problema 49 Supongamos que tenemos 10 monedas de manera que si se lanza la i-esima mo-neda sale care cara con probabilidad i

10 para i = 1, . . . , 10. Cuando se selecciona aleatoriamenteal azar una moneda y se lanza sale cara, ¿cual es la probabilidad de que la moneda seleccionadafuese la quinta?


Problema 50 Dos armarios en apariencia identicos tienen dos cajones. El armario A contieneuna moneda de plata en cada cajon y el armario B tiene una moneda de plata en un cajon yuna moneda de oro en el otro cajon. Se elige al azar un armario, se abre uno de los cajones yse encuentra una moneda de plata, ¿cual es la probabilidad de que haya una moneda de oro enel otro cajon?

Problema 51 Un modelo simplificado para el cambio del precio de una accion en bolsa suponeque cada dıa el precio de la accion aumenta 1 unidad con probabilidad p o baja 1 unidad conprobabilidad 1 − p. Los cambios en dıas diferentes se consideran independientes.

1. ¿Cual es la probabilidad de que despues de dos dıas el precio sea el mismo?

2. ¿Cual es la probabilidad de que despues de dos dıas el precio haya aumentado en 1 unidad?

3. Dado que al cabo de tres dıas el precio de la accion ha aumentado en 1 unidad, ¿cual esla probabilidad de que subiera el primer dıa?

Problema 52 Una baraja de poker (52 cartas) se divide al azar en 4 montones de 13 cartascada uno. Calcula la probabilidad de que cada monton contenga exactamente un as.

Ayuda Define los sucesos Ei, para i = 1, 2, 3, 4 como sigue y usa la regla de la multiplicacion:E1 = el as de picas esta en cualquiera de los montonesE2 = el as de picas y el as de corazones estan en montones diferentesE3 = los ases de picas, corazones y diamantes estan en montones diferentesE4 = los 4 ases estan en montones diferentes

Problema 53 Hay 12 bolas en una urna. Tres jugadores A, B y C extraen sucesıvamente unabola de la urna (primero A, despues B y a continuacion C). El ganador es el primero que extraeuna bola blanca. Halla las probabilidades de ganar para cada jugador si

1. Cada bola se reemplaza despues de su extraccion.

2. Las bolas extraidas no se reintroducen en la urna.

Problema 54 La probabilidad de ganar en un lanzamiento de dados es p. A empieza y si fallale pasa los dados a B, que intenta ganar en su turno. Continuan tirando los dados sucesıvamentehasta que uno de ellos gana. ¿Cuales son las probabilidades de ganar de cada uno de ellos ? ¿Ysi fueran k jugadores?

Problema 55 Se busca un paraguas que, con probabilidad p7 , se encuentra en cualquiera de

los siete pisos de un inmueble. Se han explorado en vano los seis primeros pisos. ¿Cual es laprobabilidad de que el paraguas se encuentre en el septimo piso?

Problema 56 (Krief y Levy, pagina 87) Una urna contiene bolas blancas y bolas negras.Se efectua una sucesion de n extracciones en la urna. Supongamos que la probabilidad de quela k-esima bola sacada sea blanca, cuando las k − 1 bolas precedentes lo fueron, es igual a 1

k+1 .Calcular la probabilidad de que las n primeras bolas sacadas sean blancas.

Problema 57 Una bola marcada puede estar en una cualquiera de las dos urnas que tenemosdisponibles, con probabilidades p y 1− p, respectivamente. La probabilidad de extraer la bola dela urna en la que esta alojada es r (r 6= 1). ¿Cual es la mejor forma de utilizar n extraccionescon reemplazamiento, de cualquiera de las dos urnas, para que la probabilidad de extraer la bolasea maxima?


Problema 58 Disponemos de 3 cajas de 20 piezas cada una. El numero de piezas que reunenlas condiciones de calidad exigidas son, respectivamente, 20, 15 y 10. De una de las cajas elegidaal azar se extrae una pieza que resulta ser buena. Se devuelve a la caja y se extrae una segundapieza que tambien resulta buena. ¿Cual es la probabilidad de que la caja elegida haya sido latercera?

Problema 59 Dos especies muy parecidas de champinones (especies I y II) son difıciles dedistinguir sin la ayuda de un microscopio. Un metodo de campo habitualmente utilizado consisteen observar la presencia o ausencia de un anillo en el champinon. El 90% de los individuos dela especie I y el 20% de los de la especie II tienen el anillo. Se sabe tambien que en la zona enque se esta trabajando el 70% de los champinones son de la especie I. Se pide:

1. Supongamos que el recolector encuentra un champinon con un anillo y decide que es dela especie I. ¿Con que probabilidad esta en lo cierto?

2. Si todos los champinones con anillo son clasificados como de la especie I y los que nolo tienen como de la especie II, ¿que proporcion de champinones estara correctamenteclasificado?

Problema 60 (Krief y Levy, pagina 85) Dos personas escriben al azar un numero enterode dos cifras (comprendidas entre 10 y 99).

1. Se repite la experiencia n veces y se supone que los resultados son mutuamente indepen-dientes. ¿Que probabilidad tenemos de que las dos personas escriban, una vez al menos,el mismo numero? Denotemos esta probabilidad por p(n).

2. Calcular p(100).

3. ¿Cuantas veces harıa falta repetir la experiencia para que p(n) sea igual al 0,99?

Problema 61 Un jugador dispone de nueve dados: dos dados de tipo A, tres dados de tipo By cuatro dados de tipo C. La tabla siguiente indica, para cada tipo de dado, el numero de carasque llevan el numero i (con i = 1, . . . , 6).

1 2 3 4 5 6A 2 1 0 1 1 1B 2 2 0 1 0 1C 2 2 0 2 0 0

El jugador elige al azar uno solo de estos dados y hace 421 en tres tiradas. ¿Cuales son lasprobabilidades respectivas de que haya jugado con un dado del tipo A, del tipo B o del tipo C?

Problema 62 Se dispone de dos dados A y B. El dado A tiene cuatro caras rojas y dos carasblancas. El dado B tiene dos caras rojas y cuatro caras blancas. Se lanza una moneda: si seobtiene cruz se decide jugar unicamente con el dado A; si se obtiene cara se decide jugarunicamente con el dado B. Se pide calcular:

1. La probabilidad de obtener roja.

2. La probabilidad de obtener roja la tercera tirada sabiendo que ya se ha obtenido ese coloren las dos primeras tiradas.

3. La probabilidad pn de haber utilizado el dado A sabiendo que se ha obtenido roja en las nprimeras tiradas.


Problema 63 (El problema de las coincidencias) Supongamos que 4 invitados llegan auna casa y dejan el sombrero en el vestıbulo. Si a la salida los recuperan de modo aleatorio,calcular la probabilidad de que ninguno de ellos reciba su propio sombrero. Resolver el mismoproblema suponiendo que en lugar de cuatro invitados tenemos n invitados.

Problema 64 Repetimos indefinidamente una prueba en la que la probabilidad de exito essiempre la misma, p, siendo los resultados de las pruebas independientes unos de otros (se tratade una sucesion de pruebas de Bernoulli). Obtener la probabilidad de que a exitos ocurran antesque b fracasos.

Problema 65 (La paradoja de la urna vacıa) Disponemos de una urna infinitamente gran-de y de una coleccion infinita de bolas numeradas. Procedemos a depositar las bolas en la urnade tres formas distintas.

1. A las 5 de la tarde menos 1 minuto introducimos las 10 primeras extrayendo la que lleva elnumero 10 (supongamos que la introduccion y la sucesiva extraccion consumen un tiempo0). A las 5 menos 1

2 minuto depositamos las 10 bolas siguientes y extraemos la que llevael numero 20. A las 5 menos 1

4 las 10 siguientes extrayendo a continuacion la que llevael numero 30. Y ası sucesivamente.

2. El segundo procedimiento es analogo al anterior, pero las bolas que se extraen en cada enocasion son las numeradas 1, 2, 3, .....

3. En el tercer procedimiento las bolas se introducen como en los dos anteriores pero en cadadecena la extraccion se efectua al azar.

¿Cuantas bolas habra en la urna a las 5 de la tarde segun el procedimiento empleado?

Problema 66 (Krief y Levy, pagina 88) Se considera un conjunto de N + 1 urnas nume-radas. Cada urna contiene N bolas rojas o blancas. En concreto la urna k contiene k − 1 bolasblancas y N − k + 1 bolas rojas. Se escoge al azar una urna y se toman n bolas devolviendo ala urna cada bola extraıda antes de sacar la siguiente.

1. Determinar la probabilidad de que todas las bolas extraıdas sean blancas.

2. Siempre en la hipotesis de extracciones con reeemplazamiento, determinar la probabilidadde que la n + 1-esima bola extraıda sea blanca sabiendo que las n bolas extraıdas ante-riormente han sido blancas. Dar valores aproximados de estas probabilidades en el casoen que N es grande.

Capıtulo 2

Variables y vectores aleatorios

2.1. Variable aleatoria

Problema 67 Los autobuses llegan a la estacion de Salat a intervalos de 10 minutos empezandodesde las 12 : 00. Un hombre llega a la parada un numero aleatorio de minutos X despues delas 12 : 00 si la funcion de distribucion de X es:

F (x) =

0 si x < 0x60 si 0 ≤ x ≤ 601 si x > 60

¿Cual es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos?

Problema 68 Comprueba que la funcion fY (y) = 12 si y ∈ (−1, 1) (0 en otro caso) es una

densidad de probabilidad de una variable aleatoria Y . Halla la funcion de distribucion de dichavariable aleatoria.

Problema 69 La funcion de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por fX(i) =

cλi

i! para i = 0, 1, . . ., donde λ es una constante positiva. Halla P (X = 0) y P (X > 2)

Problema 70 Se eligen dos bolas al azar sin reemplazamiento de una urna que contiene 8bolas blancas, 4 bolas negras y 2 de color naranja. Supongamos que ganamos 2 euros por cadabola blanca elegida y perdemos 1 euro por cada bola blanca elegida. Sea X la variable que denotanuestras ganancias. Halla la funcion de cuantıa (o probabilidad) de X.

Problema 71 La funcion de distribucion de X viene dada por:

F (x) =

0 si x < 0

x4 si 0 ≤ x < 1

12 + x−1

4 si 1 ≤ x < 2

1112 si 2 ≤ x < 3

1 si x ≥ 3

1. Halla P (X = i) para i = 1, 2, 3

17

18 CAPITULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS

2. Halla P (12 < X < 3

2 )

Problema 72 La funcion de distribucion de X viene dada por:

F (x) =

0 si x < 0

12 si 0 ≤ x < 1

35 si 1 ≤ x < 2

45 si 2 ≤ x < 3

910 si 3 ≤ x < 3,5

1 si x ≥ 3,5

Halla la funcion de cuantıa de X.

Problema 73 Un vendedor de enciclopedias ha concertado dos citas con dos posibles compra-dores. Conseguira vender una enciclopedia en la cita con el primer cliente con una probabilidadde 0,3 y lo lograra en la cita con el segundo con una probabilidad de 0,6 (independientementede lo que haya sucedido con el primero). Si vende la enciclopedia de lujo ingresa 1000 eurosmientras que si vende la “normal” ingresa 500 euros. Supongamos que es igualmente probableque venda cualquiera de las dos enciclopedias. Halla la funcion de cuantıa de X que representael total de los ingresos del vendedor.

Problema 74 Cinco numeros distintos se distribuyen al azar entre 5 jugadores numerados del1 al 5. Cuando dos jugadores comparan sus numeros el que lleva el numero mas alto es elganador. Inicialmente los jugadores 1 y 2 comparan sus numeros, el ganador se compara conel jugador 3, y ası sucesivamente. Denotamos por X el numero de veces que gana el jugador 1.Halla P (X = i) para i = 1, 2, 3, 4.

Problema 75 Una moneda no correcta con probabilidad de cara p y probabilidad de cruz 1− pes lanzada hasta que aparece una cara o tres veces, lo que ocurra antes. Si X es el numero delanzamientos que se realizan, se pide determinar la distribucion de X.

Problema 76 (Examen 9-2-2005) Probar que para cualquier funcion de densidad de proba-bilidad se verifica

lımx→+∞

x

∫ +∞

x

1

zf(z)dz = 0.

Problema 77 ¿Para que valores de la constante C las funciones siguientes son funciones decuantıa sobre los enteros positivos?

1. Geometrica f(x) = C2−x

2. Logarıtmica f(x) = C 2−x

x

3. Inversa cuadrado f(x) = Cx2

4. Poisson modificada f(x) = C 2x

x!

2.1. VARIABLE ALEATORIA 19

Problema 78 El responsable de una tienda de electronica compra cierta clase de piezas enlotes de tamano 10. Su polıtica consiste en inspeccionar 3 al azar de cada lote y aceptarlo solosi las 3 funcionan correctamente. Si una quinta parte de los lotes contiene 4 piezas defectuosasy los demas solo una pieza defectuosa, ¿que proporcion de lotes rechazara?

Problema 79 Para una distribucion hipergeometrica halla P (X=k+1)P (X=k) . ¿Cual es la moda de una

H(N, n, r)?

Problema 80 (Examen 9-2-2005) Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n in-clusive. Extraemos r al azar. Sea X el numero mayor obtenido si las papeletas se reemplazandespues de cada extraccion y sea Y el numero mayor si las papeletas no se reemplazan en laurna. Determinar las funciones de distribucion, las funciones de cuantıa (o probabilidad) ydemostrar que

FY (k) < FX(k) para 0 < k < n. (2.1)

Problema 81 En un proceso de fabricacion de hilados se producen roturas del hilo de maneraaleatoria a lo largo del tiempo. Es importante conocer cuando y como pueden producirse dichasroturas. Supongamos que un trabajador controla 800 husos y que la probabilidad de rotura delhilo en cada bobina, durante un cierto intervalo de tiempo τ , es p = 0,005. Encontrar el numerode roturas mas probable y la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 10 roturas.

Problema 82 Samuel Pepy, contemporaneo de Isaac Newton, sabıa que al lanzar 6n dados elnumero esperado de seises era n. A partir de este resultado deducıa que los sucesos An=almenos n seises al lanzar 6n dados, n = 1, 2, 3, tenıan todos igual probabilidad. Isaac Newtonhubo de sacarlo de su error.1

Problema 83 Sea X el numero de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un exito y unfracaso. Determinar la distribucion de probabilidad de X.

Problema 84 Una moneda de 1 cm de diametro se lanza y cae dentro de una lata cilındricacuyo fondo tiene 5 cm de diametro (la moneda cae plana, no de canto).

1. ¿Cual es la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata?

2. Supongamos que en lugar de usar una lata cilındrica se tira en una caja cuyo fondo es uncuadrado cuyos lados miden 5 cm, ¿cual es ahora la probabilidad de que la moneda cubrael centro del fondo de la lata?

Problema 85 Un testigo experto en un juicio sobre una supuesta paternidad testifica que lalongitud en dıas de un embarazo (es decir desde el momento de la concepcion hasta el momentodel parto) se distribuye aproximadamente segun una Normal con parametros µ = 270 y σ = 10.El presunto padre puede demostrar que estuvo fuera del paıs durante un perıodo de tiempo queempezaba 290 dıas antes del nacimiento del nino y que acababa 240 dıas antes del nacimiento.Si el acusado fuese realmente el padre de la criatura, y suponiendo que es verdad lo que asegurael experto ¿cual serıa la probabilidad de que la madre tuviera un embarazo tan largo o tan corto?

1El problema, que es de facil solucion y puede incluso parecer ingenuo a algun lector, se recoge aquı por su

interes historico y tambien porque el autor de esta coleccion ha tenido ocasion de comprobar que los emulos

actuales de Samuel Pepy son todavıa numerosos


Problema 86 La mediana de una variable aleatoria contınua con funcion de distribucion Fes aquel valor m tal que F (m) = 1

2 . Es decir es igual de probable que una variable aleatoria seamayor que su mediana como que sea menor que ella.

La moda de una variable aleatoria contınua con funcion de densidad f es el valor de x parael que f(x) alcanza su maximo.

Halla la mediana y la moda de X si X se distribuye

1. U(a, b)

2. N(µ, σ)

3. Exp(λ)

Problema 87 Un bit es trasmitido repitiendolo n veces. El mensaje es interpretado asignandoel valor que mas veces se recibe. Por ejemplo: si n = 5 y el mensaje recibido es 10010 entoncesconcluimos que se envio un 0 (se repite 3 veces frente a las dos veces que se repite el 1).Suponiendo que n es un numero impar y que cada bit del mensaje es transmitido correctamentecon probabilidad p, independientemente de los demas bits, determina la probabilidad de que elmensaje sea recibido correctamente (se reciba el bit que se trasmitio).

Problema 88 Consideremos la distribucion Beta con parametros a y b. Demuestra que

1. cuando a > 1 y b > 1, la densidad es unimodal, es decir tiene una unica moda que esm = a−1

a+b−2 ;

2. cuando a ≤ 1, b ≤ 1 y a + b < 2, la densidad es o bien unimodal con moda en 0 o en 1 obien tiene forma de U con modas tanto en 0 como en 1;

3. cuando a = 1 = b, todos los puntos de [0, 1] son modas.

Problema 89 Un fabricante de bolas para rodamientos somete su producto al siguiente procesode control de calidad. Las bolas son aceptadas si no pasan a traves de un agujero de diametrod1, pero sı lo hacen a traves de otro de diametro d2, d2 > d1. Se sabe que el diametro D de lasbolas es aleatorio con una distribucion N(µ, σ2), µ = (d1 + d2)/2 y σ = (d2 − d1)/4. ¿Cual esla probabilidad de rechazar una bola?

Problema 90 El tiempo que tardan en ser atendidos los clientes del servicio de caja de ciertasucursal bancaria es una variable aleatoria T ∼ Exp(λ), con λ = 0,2. Durante una mananahan llegado 10 clientes, ¿cual es la probabilidad de que a lo sumo 3 de ellos hayan tardado masde 6 minutos en ser atendidos? (Suponemos que los clientes son atendidos independientementeunos de otros).

Problema 91 (Los sorteos de La Primitiva) Un asiduo de La Primitiva anda un tantopreocupado al comprobar que en los 18 ultimos sorteos hay algunos numeros que no han sidoextraıdos. Piensa que las 108 extracciones (18 × 6) suponen un poco mas del doble de 49 yque por tanto cada numero deberıa haber aparecido, aproximadamente, unas dos veces. ¿Y si elsorteo no fuera correcto? ¿Habra numeros mas probables que otros?

Problema 92 Un comerciante vende semillas en paquetes de 50. Supongamos que cada semillagermina con una probabilidad de 0,99 independientemente de las demas. El comerciante prometecambiar al comprador cualquier paquete que contenga 3 o mas semillas que no germinen. ¿Cuales la probabilidad de que el comerciante tenga que cambiar mas de 40 paquetes de los 4000 queha vendido?

2.2. VECTOR ALEATORIO 21

Problema 93 En una ciudad se va a someter a tratamiento a los ninos de seis anos masbajos que cierta talla. En esta ciudad hay 6580 ninos de esta edad, y su estatura sigue unadistribucion normal de 119 cm de media y 4 cm de desviacion tıpica. Se va a realizar unacampana informativa indicando una talla por debajo de la cual se ha de tratar a los ninos. Losservicios de endocrinologıa de la ciudad solo pueden atender a 750 ninos. Se pregunta:

1. ¿Que talla en cm debera indicar la campana?

2. ¿En cuantos ninos se vera desbordado el servicio de endocrinologıa si la campana indicapor error un cm mas?

2.2. Vector aleatorio

Problema 94 Lanzamos tres veces consecutivas una moneda y definimos las variables alea-torias X =numero de caras en los dos primeros lanzamientos e Y =numero de caras enlos dos ultimos lanzamientos. Obtener la distribucion de probabilidad conjunta de X e Y , susmarginales y el coeficiente de correlacion entre ambas.

Problema 95 Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias con funcion de distribucion conjuntaF y con funciones de distribucion marginales F1, F2, . . . , Fn. Demostrar que

1 −n

∑

i=1

[1 − Fi(xi)] ≤ F (x1, x2, . . . , xn) ≤ mın1≤i≤n

Fi(xi).

Problema 96 Los 4 tipos de sangre principales se presentan en la poblacion de los EEUU deacuerdo con los siguientes porcentajes:

Tipo A B AB 0Porcentaje 42% 10% 4% 44

1. Si se eligen al azar a dos personas de esta poblacion, ¿cual es la probabilidad de que susangre sea del mismo tipo?

2. Si se eligen cuatro personas al azar, sea P (k) la probabilidad de que haya exactamente ktipos sanguıneos diferentes. Halla P (k) para k = 1, 2, 3 y 4.

Problema 97 Escogemos aleatoriamente un punto del interior de un disco de radio R. Sea Xla distancia del punto elegido al centro del disco. Halla la funcion de distribucion de X.

2.3. Independencia de variables aleatorias

Problema 98 Consideremos el espacio de probabilidad (Ω,A, P ) y sean A1 y A2 dos sucesos.Definimos X1 = 1A1

y X2 = 1A2, las funciones caracterısticas asociadas. Demostrar que X1 y

X2 son independientes si y solo si A1 y A2 lo son.

Problema 99 Dos personas lanzan, cada una de ellas, n veces una moneda. Obtener la pro-babilidad de que ambas obtengan el mismo numero de caras.

Problema 100 Tenemos dos lıneas de comunicacion telefonica paralelas de longitud l, sepa-radas por una distancia d < l. Sabemos que, al azar y de manera independiente, se producensendas roturas a lo largo del recorrido de cada una de ellas. Encontrar la probabilidad de que ladistancia R entre ambas roturas no sea superior a c.


Problema 101 Elegimos al azar dos puntos, X e Y , en el intervalo [0, a]. Calcular la funcionde distribucion de la distancia entre ellos.

Problema 102 Sea Xkk≥1 una coleccion de variables aleatorias independientes U(0,1). Sea0 < x < 1, definimos N = mınn ≥ 1 : X1 + X2 + · · · + Xn > x. Encontrar P (N > n).

Problema 103 Se escogen al azar dos numeros a y b, a en el intervalo [1, 3] y b en el intervalo[−1, 1] . Halla la probabilidad de que la ecuacion x2 + ax + b = 0 tenga dos raıces reales.

Problema 104 Escogemos dos numeros al azar entre 0 y 1.¿Cual es la probabilidad de que elprimero sea mayor o igual que el cuadrado del segundo y al mismo tiempo que el segundo seamayor o igual que el cuadrado del primero?

Problema 105 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas ydenotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extraccion.Sea X la variable definida como el maximo de las dos extracciones. Se pide:

1. Determinar la funcion de distribucion de la variable X si suponemos que las dos extrac-ciones se realizan con reemplazamiento.

2. Determinar la funcion de distribucion de la variable X si suponemos que no hay reem-plazamiento entre las dos extracciones.

Problema 106 (Examen 11-2-2000) Las puntuaciones obtenidas por los estudiantes del cen-tro A en las pruebas de selectividad se distribuyen N(µ = 6,25, σ2 = 1), mientras que las de losestudiantes del centro se distribuyen N(6, 1,5). Elegimos al azar 2 estudiantes del centro A y 3del centro B. Se pide:

1. la probabilidad de que la puntuacion media de los 2 estudiantes de A sea superior a lapuntuacion media de los 3 de B, y

2. la probabilidad de que al escoger al azar uno de los 5 estudiantes, su nota sea superior a6,5.

Problema 107 Sean Xk, k = 1, . . . , n variables aleatorias i. i. d. con distribucion U(0, 1).Tomemos 0 < x < 1 y definamos

N = mınn ≥ 1; X1 + X2 + · · · + Xn > x.Encontrar P (N > n).

Problema 108 Un grupo de 10 personas han quedado para comer entre las 12 : 00 y las 12 : 15.Cada persona llega al restaurante independientemente de las demas y segun una distribucionuniforme en el intervalo de tiempo anterior.

1. Eva y Marıa son dos miembros del grupo. Halla la probabilidad de que Eva llegue al menosdos minutos antes que Marıa.

2. Halla la probabilidad de que la primera persona en llegar aparezca antes de las 12 : 05 yde que la ultima llegue despues de las 12 : 10.

Problema 109 Inyectamos a unos ratones microorganismos del tipo A y B en igual proporcion.Se supone que los microorganismos efectivos de cada tipo se distribuyen independientemente conarreglo a una misma distribucion de Poisson de parametro λ. Un raton sobrevive si y solo sino hay microorganismos efectivos en la dosis inyectada. A los ratones muertos se les examinapara ver si contenıan microorganismos de uno o de los dos tipos. Encontrar la probabilidad deque un raton muerto contenga microorganismos de un solo tipo.

2.4. DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS 23

2.4. Distribuciones condicionadas

Problema 110 Elegimos un numero aleatorio X de la siguiente forma: lanzamos repetidamen-te una moneda hasta que nos muestre la primera cara, si el numero lanzamientos que hemosnecesitado es N , elegimos aleatoriamente un entero k en 1, 2, . . . , 10N , valor que asignamos aX. Encontrar la distribucion de probabilidad de X.

Problema 111 Sobre un cırculo cuyo radio R es aleatorio con funcion de densidad

fR(r) =

r2

9, r ∈ [0, 3];

0 en el resto,

elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener la funcion dedistribucion y la funcion de densidad de X |R = r.

Problema 112 Consideremos la siguiente funcion

fX|Y (x|y) =

yxe−y

x! , si y ≥ 0, x = 0, 1, . . .0, en el resto.

a) Demostrar que para cada y fijo, fX|Y (x|y) es una funcion de probabilidad (la de X condi-cionada a Y = y).

b) Si Y ∼ Exp(λ), con λ = 1, encontrar la densidad conjunta de X e Y .

c) Comprobar que la marginal de X viene dada por

fX(x) =

12x+1 , x = 0, 1, . . .

0, en el resto.

Problema 113 Las variables aleatorias X e Y tienen una distribucion conjunta uniformeen el interior del triangulo T de vertices (0,0), (2,0) y (1,2). Calcular P (X < 1, Y < 1) yP (Y < 1|X < 1,5).

Problema 114 Calcular la probabilidad de poder formar un triangulo con dos puntos elegidosen el intervalo [0, 1] segun los distintos metodos que se enumeran a continuacion.

1. Los dos puntos se eligen al azar en el intervalo.

2. Elegimos primero un punto al azar y a continuacion elegimos el segundo punto, tambienal azar, pero sobre el trozo mayor.

3. Elegimos un punto al azar y a continuacion uno de los trozos, elegido al azar, lo dividimosen dos partes iguales. Calcular, para este metodo, la probabilidad de que el triangulo seaobtuso.

Problema 115 (Examen 21-6-2005) En una urna hay una bola roja. Extraemos tres cartasde una baraja francesa (52 cartas repartidas en 4 palos) y anadimos a la urna tantas bolas verdescomo ases hayamos extraıdo. A continuacion lanzamos 2 veces una moneda cuya probabilidadde cara es p = 1/5 y anadimos tantas bolas rojas como cruces hayamos obtenido. Finalmentellevamos a cabo 2 extracciones con reemplazamiento de la urna. Si X es el numero de bolasverdes anadidas a la urna e Y el numero de bolas rojas anadidas a la urna,


1. Obtener la funcion de probabilidad de X.

2. Obtener la funcion de probabilidad de Y .

3. Si las dos bolas extraıdas con reemplazamiento son rojas, ¿cual es la probabilidad de nohaber obtenido ningun as al extraer las 3 cartas de la baraja francesa?

2.5. Funcion de una o varias variables aleatorias

Problema 116 Sea X una variable aleatoria cuya densidad viene dada por

fX(x) =

0, si x < 0,

12 , si 0 ≤ x ≤ 1,

12x2 , si x > 1.

Encontrar la densidad de Y = 1/X.

Problema 117 Se traza aleatoriamente una linea recta a traves del punto (0, l). Encontrar ladensidad de probabilidad de la abcisa en el origen, X, de dicha recta.

Problema 118 Sea λ el numero de celulas por unidad de area en una preparacion celular. Pue-de demostrarse que la distancia, D, de una celula a su vecino mas proximo tiene por densidadde probabilidad,

fD(d) =

2πλde−λπd2

, d > 00, en el resto.

El area del mayor disco libre (sin contactos) centrado en una celula es A = πD2. Encontrar ladensidad de probabilidad de A.

Problema 119 Las variables X e Y son independientes y continuas. Sea U una variable di-cotomica, independiente de ambas con P (U = 1) = P (U = −1) = 1/2. Definimos S = UX yT = UY . Comprobar que S y T son dependientes, pero S2 y T 2 son independientes.

Problema 120 Sean X e Y variables aleatorias independientes tales que X ∼ Gamma(α1, β)e Y ∼ Gamma(α2, β). Demostrar que las variables X +Y y X/(X +Y ) son variables aleatoriasindependientes.

Problema 121 Tenemos X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes tales que Xj tieneuna distribucion binomial negativa con parametros rj y p con j = 1, . . . , n. Demostrar queSn =

∑nj=1 Xj tiene una distribucion binomial negativa con parametros

∑nj=1 rj y p.

Problema 122 Tenemos X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes tales que Xj tieneuna distribucion geometrica con parametro pj. Sea Nn = mınX1, . . . , Xn. Demostrar que lavariable Nn tiene una distribucion geometrica con parametro

p = 1 −n

∏

j=1

(1 − pj). (2.2)

2.5. FUNCION DE UNA O VARIAS VARIABLES ALEATORIAS 25

Problema 123 (Rohatgi, pagina 211) Sean X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatoriasindependientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con distribucion exponencial con parametroβ. Sea Sn =

∑nk=1 Xk la n-esima suma parcial, con n = 1, 2, . . . y supongamos t > 0. Si Y es

el numero de valores de Sn en el intervalo [0, t] entonces Y sigue una distribucion de Poissoncon parametro t/β.

Problema 124 (Examen 3-9-2005) Cuando una corriente de I amperios pasa a traves deuna resistencia de R ohmios, la potencia generada viene dada por W = I2R vatios. Supongamosque I y R son variables aleatorias independientes con densidades

fI(x) =

6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;

0, fuera.

y

fR(y) =

2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0, fuera.

Hallar la densidad de W .

Problema 125 Demostrar que si tenemos variables aleatorias independientes X1, . . . , Xn talesque Xj ∼ Gamma(αj , β) con j = 1, . . . , n entonces Sn =

∑nj=1 Xj ∼ Gamma(

∑nj=1 αj , β).

Problema 126 (Rohatgi, pagina 213) Si X e Y son variables aleatorias exponenciales conparametro β entonces Z = X/(X + Y ) sigue una distribucion uniforme en el intervalo [0, 1].

Problema 127 (Rohatgi, pagina 215) Sean X e Y variables aleatorias independientes condistribucion Gamma(α1, β) y Gamma(α2, β) respectivamente. Demostrar que X/(X +Y ) sigueuna distribucion beta con parametros α1 y α2.

Problema 128 (Examen 8-6-2004) Consideremos el siguiente procedimiento:

1. Generamos U con distribucion uniforme en [0, 1].

2. Tomamos Y = − 1λ ln(1−U) siendo ln el logaritmo neperiano y λ una constante positiva.

3. Tomamos X = [Y ] donde [Y ] es la parte entera por exceso de Y .

Se pide:

1. La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria Y .

2. La funcion de probabilidad de la variable X. Comprobar que tiene una distribucion geo-metrica.

Problema 129 Sean X, Y, Z variables aleatorias i. i. d. con distribucion U(0, 1). Encontrar ladensidad conjunta de XY y Z2 y calcular P (XY ≤ Z2).

Capıtulo 3

Esperanza

3.1. Esperanza de una variable aleatoria

Problema 130 Dos jugadores A y B juegan al siguiente juego: lanzan una moneda hasta queaparece una cara. Si la cara aparece en el k-esimo lanzamiento el jugador B paga al jugador Ak monedas. ¿Cuantas monedas debera pagar el jugador A antes de iniciarse el juego para queeste sea equilibrado?

Problema 131 En dos lados distintos de un cuadrado unidad elegimos al azar e independien-temente los puntos X e Y . Si por D designamos la distancia entre ellos, calcular E(D2) en lasdos situaciones posibles descritas en la figura.

Y

X

Y

XD

D

Problema 132 Sean X e Y variables aleatorias independientes. Demostrar que si X y X −Yson independientes, entonces X es una variable aleatoria degenerada.

Problema 133 Sea X una variable aleatoria discreta con soporte DX = x1, x2, . . . , xm.Calcular

lımn→∞

E(Xn+1)

E(Xn).

Problema 134 Dos puntos se eligen al azar sobre un segmento de longitud a. Encontrar laesperanza y la varianza de la distancia entre ellos.

Problema 135 (Si hay cumpleanos no se trabaja) En algunos paıses socialistas y en algunmomento de su historia se establecio una ley laboral por la que en las factorıas e instituciones

27

28 CAPITULO 3. ESPERANZA

estatales se trabajaba todos los dıas de la semana. La excepcion a esta regla era que algunosde los trabajadores cumpliera anos, ese dıa nadie trabajaba. Suponiendo un ano no bisiesto yque los cumpleanos se distribuyen equiprobablemente a lo largo del ano, encontrar el numero detrabajadores para que el numero esperado de hombres-dıa trabajados sea maximo.

Problema 136 Elegimos al azar un numero del 1 al 10. Hemos de adivinarlo mediante pre-guntas cuya respuesta sea sı o no. Calcular el numero esperado de preguntas que debemos hacersi,

1. la pregunta i-esima que hacemos es ¿se trata del numero i?, o

2. con cada pregunta intentamos eliminar la mitad de los numeros restantes.

Problema 137 Un vendedor de periodicos compra cada ejemplar a 10 centimos y los vendea 15 centimos. Como no puede devolver los ejemplares no vendidos, trata de saber cuantos leconviene comprar para maximizar lo que espera ganar cada dıa. Si las demandas diarias siguenuna distribucion B(10, 1/3), ¿cuantos ejemplares debe comprar?

Problema 138 Un vendedor de periodicos compra cada ejemplar a C centimos de euro ylo vende a V centimos de euro (C < V ). Puede devolver los ejemplares no vendidos pero soloobtiene R centimos de euro por ejemplar (R < C). Se trata de saber cuantos le conviene comprarpara maximizar lo que espera ganar cada dıa. Si la demanda diaria X sigue una distribuciondiscreta con P (X = k) = pk, k = 0, 1, 2, . . . , n, ¿cuantos ejemplares debe comprar? Aplicar elresultado para el caso en que V = 100, C = 50, R = 20 y la funcion de probabilidad viene dadapor

k P(X=k) k P(X=k)0 0.05 7 0.081 0.08 8 0.052 0.10 9 0.043 0.15 10 0.034 0.15 11 0.035 0.10 12 0.036 0.08 13 0.03

Problema 139 Si X es una variable aleatoria continua con media 0 y varianza σ2 y funcionde distribucion F , comprobar que se verifica

F (x) ≥ x2

x2 + σ2, si x > 0 y F (x) ≤ σ2

x2 + σ2, si x < 0.

Problema 140 Un juego consiste en lanzar un dado repetidas veces. El juego se detiene bienporque parece un 1, bien porque decidimos detenerlo en cualquier lanzamiento antes de que hayaaparecido el numero 1. El premio que recibimos es el numero de puntos que muestra la cara deldado en el ultimo lanzamiento. ¿Cual es la estrategia mas conveniente para obtener el mayorpremio?

Problema 141 Sea X una variable aleatoria no negativa con funcion de densidad f . Demos-trar que

E(Xr) =

∫ ∞

0

rxr−1P (X > x)dx.

3.1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 29

Problema 142 Sea X una variable aleatoria continua con media µ y funcion de distribucionF . Demostrar que

∫ µ

−∞F (x)dx =

∫ ∞

µ

(1 − F (x))dx.

Problema 143 Una caja contiene a bolas blancas y b bolas negras, con a > 0 y b > 0. Seextrae una bola al azar y si es negra el proceso termina. Si la bola es blanca se reintegra a lacaja junto con otra bola blanca y el proceso continua. Calcular la probabilidad de que el procesotermine en la k-esima extraccion. Calcular la probabilidad de que el numero de extracciones seafinito. Obtener el numero esperado de extracciones.

Problema 144 (Un camino aleatorio en la recta) Un punto se desplaza sobre el eje x aderecha o izquierda de unidad en unidad. La probabilidad de que se desplace a la derecha es py 1− p de que lo haga a la izquierda. Si la variable X representa la posicion del punto despuesde n desplazamientos, partiendo de 0, obtener su distribucion de probabilidad y calcular E(X)y var(X).

Problema 145 (Numero esperado de parejas restantes) Se trata de un problema pro-puesto y resuelto por Daniel Bernoulli en el siglo XVIII. Se proponıa averiguar el numeroesperado de parejas que permanecen completas, de un total de N parejas iniciales, despues dela muerte de m sus miembros.

Problema 146 Sea X una variable aleatoria discreta con soporte DX = x1, x2, . . . , xm.Calcular

lımn→∞

n√

E(Xn).

Problema 147 Se repite indefinida e independientemente un experimento cuyo resultado esE (exito), con probabilidad p, o F (fracaso), con probabilidad q = 1 − p. Denotamos por ωn

el resultado de la n-esima repeticion. Sea T la variable que designa el numero mınimo derepeticiones necesarias para alcanzar r exitos consecutivos. Demostrar que P (T = ∞) = 0 ycalcular E(T ).

Problema 148 Si g(x) es una funcion creciente no negativa de x, probar que

P (X ≥ a) ≤ E(g(X))

g(a).

Problema 149 Sea X una variable aleatoria con soporte DX = 0, 1, . . . , n tal que E(X) =var(X) = 1. Demostrar que para cualquier natural k,

P (X ≥ k + 1) ≤ 1

k2.

x

Problema 150 Tenemos 10 pares de zapatos y elegimos al azar 4 zapatos. ¿Cual es la proba-bilidad de que no hayamos elegido ningun par? Si X es una variable aleatoria que representa elnumero de pares elegidos, obtener el numero medio de pares entre los 4 zapatos elegidos.

Problema 151 La funcion de densidad de la variable aleatoria X viene dada por

f(x) =

1

2+ cx3, x ∈] − 1, 1[;

0, en el resto.


1. Determinar los valores de c para que f(x) sea una densidad.

2. Calcular, si existen, los momentos de orden 1 y 2 de la variable Y = |X |− 12 .

Problema 152 Definamos la funcion

f(x) =

ax−(s+1), si x > r;0, si x ≤ r,

con r, s > 0.

1. Determinar a para que f(x) sea una funcion de densidad de probabilidad.

2. Si la variable aleatoria X tiene por densidad f(x), ¿para que valores de s existira suesperanza?

Problema 153 Un autobus tiene en su recorrido 15 paradas. Supongamos que en la primeraparada suben 20 personas. Cada una de ellas elige al azar e independientemente de las otras encual de las 14 paradas restantes quiere bajar.

1. Si Xi es una variable aleatoria que vale 1 si alguna de las personas baja en la parada i y0 en caso contrario, calcular su distribucion de probabilidad.

2. Calcular el numero medio de paradas que debe realizar el autobus para que bajen todos lospasajeros.

Problema 154 Elegimos un punto uniformemente en el cırculo centrado en cero y de radiouno. Supongamos que denotamos por Θ la variable aleatoria que nos da el angulo aleatorioasociado a este punto y por X la variable aleatoria que nos da la abscisa del punto. Se pide:

1. ¿Cual es la distribucion de Θ? Hay que obtener tanto la funcion de densidad como lafuncion de distribucion.

2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]) para cualesquiera a y b con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.

3. Determinar la funcion de distribucion de la variable X.

4. Determinar la funcion de densidad de la variable X.

5. Calcular E(X).

6. Calcular E(|X |).

Problema 155 Sea X una variable aleatoria con funcion de densidad

f(x) =

0, si x ≤ 0,e−xxn

n! , si x > 0,

donde n es un natural. Demostrar que se verifica la siguiente desigualdad

P (0 < X < 2(n + 1)) >n

n + 1.

Problema 156 En una fila de 15 butacas de un cine se sientan aleatoriamente 7 mujeres y8 hombres. Por termino medio, ¿cuantas parejas de asientos adyacentes estan ocupadas porpersonas de distinto sexo.

3.1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 31

Problema 157 Un rebano de ovejas es sometido a examen para detectar aquellas que padecendeterminada enfermedad. Sabemos que cada una de ellas la padece con probabilidad p e inde-pendientemente de las otras. La deteccion de la enfermedad requiere un analisis de sangre ysi se mezcla la sangre de n ovejas, basta que una de ellas padezca la enfermedad para que elanalisis de positivo. Como el rebano es grande se plantean dos posibles estrategias:

1. examinar los animales uno a uno y llevar a cabo tantos analisis como animales tiene elrebano, o

2. examinar a los animales por grupos de n elementos, si el analisis es negativo todos los delgrupo estan sanos, pero si es positivo habra que analizar uno a uno todos los animales delgrupo.

Determinar cual de las dos estrategias es mejor porque conduce a un numero menor de analisis.

Problema 158 Una variable aleatoria toma valores enteros positivos con probabilidades decre-ciendo en progresion geometrica. Elegir el primer termino y la razon de la progresion para queE(X) = 10, y calcular, bajo dichas condiciones, P (X ≤ 10).

Problema 159 Para simular una moneda correcta a partir de una sesgada en la que la proba-bilidad de obtener una cara vale α 6= 1/2 podemos proceder como sigue. Lanzamos dos veces lamoneda e interpretamos C+ como cara y +C como cruz. Si no aparece ninguno de estos dosresultados, repetimos los pares de lanzamientos hasta que aparezca alguno de ellos. Encontrar ladistribucion de probabilidad y la esperanza del numero de pares de lanzamientos necesarios parapoder tomar una decision (cara o cruz) y comprobar que, en efecto, se trata de la simulacionde una moneda correcta.

Problema 160 Determinar el valor esperado de la variable X definida en el problema 110.

Problema 161 Sea X una variable aleatoria no negativa. Demostrar que [E(X)]1/2 ≥ E(X1/2).

Problema 162 Sea X el numero de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un exito yun fracaso. Determinar la distribucion de probabilidad de X y calcular E(X) y var(X).

Problema 163 Determinar la media y la varianza de la variable X definida en el problema83.

Problema 164 (Examen 3-2-2004) Un jugador puede apostar a cualquiera de los numerosenteros entre 1 y 6. Entonces lanza 3 dados y si aparece el numero que eligio, recibe comopremio su apuesta multiplicada por el numero de dados que lo muestran y ademas le devuelvenlo que aposto. En otro caso pierde su dinero. ¿Cual es la ganancia esperada de este juego?

Problema 165 (Examen 8-6-2004) La variable aleatoria X, que toma valores en el inter-valo [0,2], tiene por densidad la recta que pasa por (2,0) con pendiente negativa. Obtener sufuncion de densidad f(x) y calcular P (|X − E(X)| ≤ 1/2). ¿Que cota obtendrıamos para estaprobabilidad si utilizaramos la desigualdad de Chebychev?

Problema 166 (Examen 8-6-2004) Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12.Extraemos dos bolas y denotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y enla segunda extraccion. Sea X la variable definida como el maximo de las dos extracciones. Sepide:

1. La funcion de distribucion de la variable X si suponemos que las dos extracciones serealizan con reemplazamiento.


2. La funcion de distribucion de la variable X si suponemos que no hay reemplazamientoentre las extracciones sucesivas.

3. La media de la variable X en las dos situaciones anteriores.

Problema 167 (Examen 1-9-2004) A partir de las variables aleatorias U1, . . . , Un, indepen-dientes y todas ellas con distribucion uniforme en el intervalo [0,1], se obtienen las variablesYi = −logUi, para i = 1, · · · , n.

a) ¿Que distribucion siguen las variables Y1, · · · , Yn? ¿Son independientes?

b) Sea Y = 1n

∑ni=1 Yi. Calcular E(Y ), V ar(Y ) y demostrar que,

∀k > 0, lımn→∞

P (|Y − 1| > k) = 0.

c) ¿Que distribucion de probabilidad sigue Y ?

Problema 168 Determinar la media y varianza de la variable X definida en el problema 75.

3.2. Esperanza de un vector aleatorio

Problema 169 Las variables aleatorias X e Y tienen media 0, varianza 1 y su coeficientede correlacion es ρ, Encontrar la media y la varianza de Z = X − ρY y sus coeficientes decorrelacion con X e Y .

Problema 170 Las variables aleatorias X1, X2, . . . , Xm+n, n > m, son independientes e identi-camente distribuidas con varianza comun, σ2, finita. Calcular el coeficiente de correlacion deU =

∑ni=1 Xi y V =

∑m+nj=m+1 Xj.

Problema 171 Una urna contiene 2n bolas numeradas de 1 a n, de forma que hay(

ni

)

bolascon el numero i. Si extraemos m sin reemplazamiento y por S denotamos la suma de susnumeros, calcular E(S) y var(S).

Problema 172 (Un camino aleatorio en el plano) Un punto se desplaza sobre el planocon movimientos independientes de manera que en cada movimiento la distancia que recorre essiempre la misma, por ejemplo una unidad, pero la direccion es aleatoria determinada por unangulo cuya orientacion respecto la posicion del punto se elige al azar en el intervalo [0, 2π]. SiD es la distancia del punto a su posicion original despues de n movimientos, calcular E(D2).

Problema 173 (Numero esperado de coincidencias) Recordemos que el llamado proble-ma de las coincidencias consiste, en una de sus multiples versiones, en n individuos que alabandonar una fiesta recogen sus sombreros al azar. Si por X denotamos el numero de indivi-duos que han cogido su propio sombrero (coincidencias), calcular E(X) y var(X).

Problema 174 Se realizan n pruebas independientes de un experimento que tiene k resultadosposibles A1, A2, . . . , Ak con probabilidades p1, p2, . . . , pk,

∑

pi = 1. Sea Y la variable numerode resultados que no han aparecido en ninguna de las n pruebas.

1. ¿Que distribucion tiene cada una de las variables Xj que indica el numero de veces queha sucedido Aj?

2. ¿Cual es el valor esperado de Y ?

3.2. ESPERANZA DE UN VECTOR ALEATORIO 33

3. Comprobar que los valores de p1, . . . , pk que hacen mınima E(Y ) son p1 = p2 = · · · =pk = 1/k.

Problema 175 Sean X e Y dos variables aleatorias identicamente distribuidas, obtener cov(X+Y, X − Y ).

Problema 176 Sean X1, X2, . . . una familia de variables aleatorias independientes con la mis-ma media µ y la misma varianza σ2, y sea Yn = Xn + Xn+1 + Xn+2. Hallar, para j ≥ 0,cov(Yn, Yn+j).

Problema 177 Sea X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatorias continuas independientes eidenticamente distribuidas. Sea N ≥ 2 el ındice correspondiente a la variable donde la sucesiondeja de ser decreciente, es decir, X1 ≥ X2 ≥ . . . ≥ XN−1 < XN . Demostrar que E(N) = e.Sugerencia.- Obtener primero P (N ≥ n).

Problema 178 Sean X e Y el numero de exitos y fracasos, respectivamente, cuando llevamosa cabo n pruebas Bernoulli con probabilidad de exito p. Calcular el coeficiente de correlacionentre ambas, ρXY .

Problema 179 Lanzamos tres veces consecutivas una moneda y definimos las variables alea-torias X =numero de caras en los dos primeros lanzamientos e Y =numero de caras enlos dos ultimos lanzamientos. Obtener la distribucion de probabilidad conjunta de X e Y , susmarginales y el coeficiente de correlacion entre ambas.

Problema 180 Obtener el coeficiente de correlacion del vector (X, Y ) definido en el problema94.

Problema 181 ( ) Sean X e Y dos variables aleatorias indicatrices independientes tales queP (X = 1) = p y P (Y = 1) = q. Halla E[(X − Y )2] en terminos de p y q.

Problema 182 ( ) La densidad conjunta de las variables X e Y es

fXY (x, y) =

c(y2 − x2)e−y si −y < x < y , y > 0,

0 en el resto,

donde c es una constante.

1. Demuestra que Y sigue una distribucion gamma y deduce que c = 18 .

2. Halla la densidad de 4Y 3.

3. Obten las esperanzas y varianzas de X e Y .

Problema 183 (Un ejemplo de fabricacion simple) Un fabricante de bolas de golf esta eva-luando un nuevo sistema de produccion. En este nuevo proceso de fabricacion la probabilidadde una bola defectuosa, que no puede ser vendida, es de 0.05 mientras que en el procedimientoque actualmente utiliza es de 0.08. Con el procedimiento que utiliza el coste de produccion decada unidad es de 40 pesetas por bola mientras que en el nuevo el coste de cada bola es de 60pesetas. Las bolas se venden a 125 pesetas cada una. Si el fabricante desea tener una gananciaesperada maxima, ¿que procedimiento de fabricacion ha de utilizar?

Problema 184 (Variables discretas simetricas) Supongamos X una variable aleatoria dis-creta tal que P(X = a − x) = P(X = a + x) para cualquier x. Determinar la esperanza de lavariable X.


Problema 185 (Examen 11-2-2000) Sean U1 y U2 dos variables aletorias independientesambas uniformes en [0,1]. Definimos X =

√U1 e Y = 2XU2.

1. Obtener la densidad conjunta de (X, Y )

2. Obtener las densidades marginales de X e Y y sus esperanzas.

3. Si W es una variable Bernoulli tal que P (W = 1) = P (0 ≤ Y ≤√

X), calcular E(W ).

Problema 186 ( ) El peso de un tumor tras un tiempo t, Wt, viene dado por la formulaWt = XetY donde X e Y son variables aleatorias independientes, X sigue una distribuciongamma con media 2 y varianza 1 e Y esta uniformemente distribuida en el intervalo (1, 1,5).Halla E(Wt) y var(Wt).

Problema 187 (Krief y Levy, pagina 221) Sean X, Y y Z tres variables aleatorias. Sesupone que las tres parejas (X, Y ), (Y, Z) y (Z, X) tienen el mismo coeficiente de correlacionr. Probar que se verifica

r ≥ −1

2. (3.1)

Se podra, en un primer momento, suponer que las variables aleatorias X, Y y Z tienen lamisma varianza.

Problema 188 (Krief y Levy, pagina 223) Sea X una variable aleatoria continua que ad-mite una funcion de densidad f(x) y que tiene momentos finitos de los dos primeros ordenes.Se supone que la funcion f es par, es decir, que se tiene que para todo x,

f(x) = f(−x). (3.2)

Probar que:

1. Probar que E(X) = 0.

2. Probar que el coeficiente de correlacion r entre X y |X | es nulo. ¿Conclusion?

Problema 189 ( ) Un terremoto de magnitud M libera una cantidad de energıa X tal queM = lnX. Para terremotos de magnitud mayor que 3 supon que M − 3 tiene una distribucionexponencial de media 2.

1. Halla E(M) y V ar(M) para un terremoto de magnitud mayor que 3

2. Para un terremoto como el del apartado anterior halla la densidad de X

3. Consideremos dos terremotos, que han sucedido independientemente, ambos de magnitudmayor que 3. ¿Cual es la probabilidad de que la magnitud del terremoto mas pequeno seamayor de 4?

Problema 190 Un accidente tiene lugar en un punto X ∼ U(0, L). En el instante del accidenteuna ambulancia esta en una localizacion Y tambien distribuida uniformemente en la carreterade longitud L. Halla la distancia esperada E(| X − Y |) entre el accidente y la ambulancia.

Problema 191 (Uno de ascensores) Un edificio tiene 10 pisos. 12 personas suben a un as-censor y cada una de ellas elige aleatoriamente el piso en donde quiere bajar (es decir, elige conla misma probabilidad cada uno de los posibles pisos). Ademas hace su eleccion independiente-mente de los demas. ¿Cual es el numero medio de pisos en los que ha de parar el ascensor conobjeto de que baje una o mas personas?

3.3. ESPERANZA CONDICIONADA 35

3.3. Esperanza condicionada

Problema 192 Una maquina fabrica fibras de longitud aleatoria X. Para medir la desigualdadentre las longitudes de las fibras fabricadas se utiliza el coeficiente

λ =a′′ − a′

a,

donde a = E(X), a′′ = E(X | X > a) y a′ = E(X | X < a). Si X ∼ N(a, σ2), encontrar larelacion entre λ, a y σ.

Problema 193 (Un problema de pastillas. La distribucion Hipergeometrica negativa)Una caja contiene pastillas de dos tipos: grandes y pequenas. Cada pastilla grande equivale ados pequenas. Cada dıa el paciente debe tomar una de las pastillas, que elige al azar. Si esde las grandes la parte en dos, toma una mitad y devuelve la otra a la caja. Si la pastilla espequena la toma sin mas. A todos los efectos las mitades devueltas a la caja son consideradascomo pastillas pequenas. ¿Cual es el numero esperado de pastillas pequenas que quedaran en lacaja cuando las grandes se hayan terminado?

Problema 194 El numero de clientes en la cola de la caja de un supermercado sigue unadistribucion de Poisson con parametro λ. El tiempo que tarda cada cliente en ser atendidosigue una Exponencial de parametro λ. Calcular el tiempo medio que debemos esperar en lacola.

Problema 195 El numero de pasajeros que espera el tren en cierta estacion en un instante tes una variable aleatoria Poisson de parametro λt. Si el tiempo de llegada del tren se distribuyeuniformemente en el intervalo [0, T ], ¿cual es el numero medio de pasajeros que subira al tren?Obtener tambien su varianza.

Problema 196 Un minero atrapado en una mina tiene tres posibles caminos para tratar deescapar de la mina. El primero le conduce al exterior despues de 3 horas. El segundo le conducede nuevo al interior de la mina despues de un recorrido de 5 horas. El tercero le conduce tambienal interior de la mina, pero despues de 7 horas de recorrido. Si el minero echa a suertes (igualprobabilidad) el camino por el que tratar de escapar, ¿cual sera el tiempo de medio que tardara enconseguirlo?

Problema 197 Sea Xjj≥1 una sucesion de variables aleatorias uniformes en el intervalo[0, 1]. Calcular E(N) siendo

N = mın

n;

n∑

j=1

Xj > 1

.

Problema 198 El vector aleatorio (X, Y ) tiene por densidad conjunta

fXY (x, y) =

1

2ye−yx, 1 < y < 3, x > 0;

0, en el resto.

Hallar E(X) y var(X) haciendo uso de E(X |Y ) y de var(X |Y ).


Problema 199 El vector aleatorio (X, Y ) tiene por densidad conjunta

fXY (x, y) =

2e−2x

x, 0 ≤ x < +∞, 0 ≤ y ≤ x;

0, en el resto.

Calcular cov(X, Y ).Sugerencia.- La obtencion de E(Y ) puede resultar mas sencilla a traves de E(Y ) = E[E(Y |X)].

Problema 200 Tenemos un lote de N pastillas y antes de comercializarlo lo sometemos alsiguiente control de calidad. Fijamos un umbral c (c < n) y a continuacion tomamos unamuestra de n pastillas del total de N que componen el lote. Sea X la variable aleatoria que nosda el numero de pastillas en mal estado en la muestra, si X ≤ c entonces sustituimos las Xpastillas defectuosas por pastillas en buen estado y comercializamos, sin mas inspeccion, el lote.En el caso en que X > c entonces se muestrean todas y cada una de las pastillas que componenel lote y se sustituyen por pastillas en buen estado, comercializandolo a continuacion. En estecaso el lote no tiene ninguna pastilla en mal estado. Si la probabilidad de que el proceso defabricacion produzca una pastilla en mal estado es p, ¿que numero medio de pastillas en malestado estamos lanzando al mercado?

Problema 201 Elegimos al azar dos puntos en el intervalo [0, a]. Queremos conocer,

a) Area media del rectangulo que tiene por lados las correspondientes longitudes.

b) Area media de dicho rectangulo si ambos puntos son mayores que a/2.

Problema 202 Un trabajador esta encargado del correcto funcionamiento de n maquinas si-tuadas en linea recta y distantes una de otra l metros. El trabajador debe repararlas cuando seaverıan, cosa que sucede con igual probabilidad para todas ellas e independientemente de una aotra. El operario puede seguir dos estrategias:

1. acudir a reparar la maquina estropeada y permanecer en ella hasta que otra maquina seaverıa, desplazandose entonces hacia ella, o

2. situarse en el punto medio de la linea de maquinas y desde allı acudir a la averiada,regresando nuevamente a dicho punto cuando la averıa esta resuelta.

Si X es la distancia que recorre el trabajador entre dos averıas consecutivas, ¿cual de ambasestrategias le conviene mas para andar menos?

Problema 203 Sean X e Y dos variables aleatorias. Si E(X |Y ) = 10−Y y E(Y |X) = 7−X/4,obtener su coeficiente de correlacion.

Problema 204 Se pide determinar la media y la varianza de la variable X definida en elproblema 111.

Problema 205 Calcular el coeficiente de correlacion entre el mayor y el menor valor obtenidosal lanzar dos dados.

Problema 206 Obtener el coeficiente de correlacion entre las coordenadas de un punto elegidoal azar en el cırculo unidad.

3.3. ESPERANZA CONDICIONADA 37

Problema 207 (Examen 8-6-2004) La variable aleatoria X se distribuye exponencialmentecon parametro Y , que es a su vez una variable aleatoria uniforme en [1, 4]. Obtener la distri-bucion conjunta de X e Y y la esperanza y la varianza de X.

Problema 208 (Examen 1-9-2004) Sea X una variable aleatoria con distribucion normalestandar (con media 0 y varianza 1) y sea I otra variable aleatoria, independiente de X y talque P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Se define la variable aleatoria Y mediante

Y =

X, si I = 1;−X, si I = 0.

1. Calcular las probabilidades P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) y P (Y > 1). ¿Son independientesX e Y ? Justifica la respuesta.

2. Demostrar que Y sigue una distribucion normal estandar.

3. Calcular E[XY |I = 1] y E[XY |I = 0] y demostrar que Cov(X, Y ) = 0.

Problema 209 (Examen 21-6-2005) Sobre un cırculo cuyo radio R es aleatorio con funcionde densidad

fR(r) =

r2

9, r ∈ [0, 3];

0 en el resto,

elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener

1. La funcion de distribucion y la funcion de densidad de X |R = r.

2. La media y la varianza de X.

Capıtulo 4

Convergencia de sucesiones de

variables aleatorias

4.1. Tipos de convergencia

Problema 210 Consideremos la variable aleatoria X ∼ U(0, 1) y definamos la sucesion Xn =

X/n, n ≥ 1. Comprobar que XnL→ Y , siendo Y una variable aleatoria degenerada, P (Y = 0) =

1.

Problema 211 La sucesion de variables aleatorias Xnn≥1 tales que P (Xn = 1 − 1/n) =P (Xn = 1 + 1/n) = 1/2, convergen en ley a la variable aleatoria X tal que P (X = 1) = 1.¿Tienden sus funciones de probabilidad a una funcion de probabilidad?

Problema 212 Sean Xj, j = 1, . . . , n, variables aleatorias independientes, todas ellas U(0, 1).Definimos

Yn = mın(X1, . . . , Xn), Zn = max(X1, . . . , Xn), Un = nYn, Vn = n(1 − Zn).

Demostrar que cuando n → +∞,

YnP−→ 0; Zn

P−→ 1; UnL−→ U ; Vn

P−→ V,

siendo U y V variables aleatorias exponenciales con parametro λ = 1.

Problema 213 Aplicar el anterior resultado a las variables aleatorias Xj, j = 1, . . . , n, inde-pendientes dos a dos y tales que

P (Xj = −aj) = P (Xj = aj) =1

2.

¿Para que valores de a es aplicable el resultado?

Problema 214 Consideremos x ∈ [0, 1] y sea ξn(x)=el n-esimo dıgito de su expresion deci-mal. Definamos Sn(x) =

∑nk=1 ξk(x) y

An(y) =

x;2Sn(x) − 9n√

33n< y

,

39

40 CAPITULO 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

y sea λ(An(y)) la medida de Lebesgue de An(y). Probar que

lımn→∞

λ(An(y)) =1√2π

∫ y

−∞e−

u2

2 du.

Problema 215 La variable aleatoria Y se distribuye Exp(1). Definimos

Xn =

1, si Y < lnn;0, en caso contario.

Obtener la funcion de distribucion de Xn y estudiar la convergencia en ley de las Xn.

Problema 216 Sea T ∼ U(−1/c, 1/c), c > 0, y definamos Y = cT . Para k ∈ N , las variablesaleatorias Xk se definen mediante,

Xk =

−1, si −1 < Y < −1/k;0, si −1/k ≤ Y < 1/k;1, si 1/k ≤ Y < 1.

Demostrar que Xk converge en ley a la variable aleatoria X con funcion de probabilidad fX(−1) =fX(1) = 1/2 y fX(x) = 0, x /∈ −1, 1.

Problema 217 (Examen 1-9-2004) Una empresa que alquila coches con conductor ha ob-servado que el numero de kilometros por dıa de alquiler que se hacen con un determinado tipode vehıculo sigue una distribucion N(200, 5625).

a) ¿Cual es la probabilidad de que en 30 dıas se hagan mas de 5.000 kilometros? ¿Que hipote-sis hay que asumir?

b) La companıa revisa el estado del vehıculo si en un mismo dıa hace mas de 350 km. Calcularel numero esperado de dıas que la companıa puede alquilar el vehıculo antes de tener querevisarlo.

4.2. Leyes de los Grandes Numeros

Problema 218 Demostrar que la independencia de las variables en la ley debil de los grandesnumeros puede relajarse exigiendo solamente independencia dos a dos y acotacion de las va-rianzas. Es decir, si Xj, j = 1, . . . , n, verifican que E(Xj) = µj y var(Xj) = σ2

j son finitas,entonces

Xn − µnP−→ 0,

donde

µn =1

n

n∑

j=1

µj , Xn =1

n

n∑

j=1

Xj

las Xj son independientes dos a dos y σ2j ≤ M , ∀j.

Problema 219 Sea Sn el numero de exitos en n pruebas Bernoulli con probabilidad de exitop en cada prueba. Encontrar una cota para P (|Sn/n− p| ≥ ǫ) que no dependa de p.

Problema 220 Tenemos dos monedas, una correcta y otra con probabilidad de cara p = 3/4.Elegimos al azar una de las dos y realizamos una serie de lanzamientos. Despues de observar elresultado de un gran numero de ellos, ¿podemos saber la moneda elegida? ¿Cual es el mınimonumero de lanzamientos para poder saberlo con una probabilidad de al menos 95%?

4.3. FUNCION CARACTERISTICA 41

4.3. Funcion caracterıstica

Problema 221 Probar que una variable aleatoria X es simetrica sı y solo sı su funcion carac-terıstica es real.

Problema 222 Encontrar la distribucion de las variables aleatorias que tiene por funcion ca-racterıstica

1) φ1(t) =∑

k≥0

ak cos kt, 2) φ2(t) =∑

k≥0

akeiλkt.

4.4. Teorema Central de Lımite

Problema 223 Ante la caja de un banco hay 60 personas que esperan recibir su salario, delque sabemos que es una cantidad aleatoria de media µ = 100 euros y desviacion tıpica σ = 30euros. Si los salarios son independientes de un asalariado a otro, queremos saber:

1. ¿Cuanto dinero debe tener la caja para, con probabilidad 0,95, poder pagar todos los sala-rios?

2. si la caja cuenta incialmente con 7,000 euros, ¿cual es la probabilidad de que al final delos pagos queden en caja al menos 500 euros?

Problema 224 Una empresa produce 10000 bolas de acero para rodamientos, siendo p = 0,05la probabilidad de que una bola sea defectuosa. El proceso de produccion garantiza que las bolasson fabricadas independientemente unas de otras. Las bolas defectuosas son arrojadas a unrecipiente cuya capacidad queremos determinar para que, con probabilidad 0.99, quepan en eltodas las bolas defectuosas del proceso.

Problema 225 Las bombillas utilizadas por cierto aparato pueden ser de dos clases, A y B.Las de la clase A tienen una duracion media µA = 2000 horas con devsiacion tıpica σA = 400horas, mientras que las de la clase B tienen una duracion media µB = 1800 horas con desviaciontıpica σB = 500 horas. Se compran 200 bombillas de la clase A y 150 de la clase B. Calcularla probabilidad de que la duracion media de la muestra de la clase A no supere en mas de 100horas la duracion media de la muestra de la clase B.

Problema 226 Un colegio esta preparando la fiesta de graduacion de sus 500 estudiantes. Sesabe, por lo ocurrido en otras ocasiones, que el 50% de los estudiantes vienen acompanados desus padres, el 30% solo por uno de ellos y el 20% restante vienen solos. ¿Cuantos asientos hayque disponer para los padres si queremos que, con una probabilidad superior a 0.95, todos ellospuedan sentarse?

Problema 227 Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de obtener cualquierade las caras es proporcional a su numero de puntos. Jugamos con el pagando 4 euros por jugaday recibiendo como premio tantos euros como puntos tiene la cara obtenida al lanzarlo. Obtenerla probabilidad aproximada de ir ganando al cabo de 100 jugadas.

Problema 228 Probar con argumentos probabilısticos que

e−nn

∑

k=0

nk

k!

n−→ 1

2.

42 CAPITULO 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

Problema 229 La fabricacion de zumo de naranja se lleva a cabo por lotes de n envases. Lacaducidad en dıas de cada envase es una variable aleatoria de media µ = 20 y varianza σ2 = 9.Obtener la media y la varianza de la caducidad media del lote y calcular el tamano mınimo dellote para que con probabilidad 0,99 dicha caducidad media supere los 19 dıas.

Problema 230 (Todavıa existen las pesetas) Un programa de contabilidad redondea lascantidades (expresadas en pesetas con una precision de dos decimales) a la peseta mas proximade manera que las cantidades con centimos entre 0 y 49 quitamos los centimos correspondientesmientras que las cantidades con centimos entre 50 y 99 lo redondeamos a la unidad superior.Determinar la probabilidad aproximada que que el error acumulado en 100 transacciones seamayor que 5 pesetas (por exceso o por defecto) suponiendo que el numero de centimos que nosaparece en una cantidad cualquiera se distribuye uniformemente en 0, . . . , 99.

Problema 231 Dos companıas aereas A y B ofrecen el mismo servicio en dos vuelos diferentesque salen al mismo tiempo (en definitiva, es igualmente probable que un pasajero coja uno de losvuelos). Supongamos que ambas companıas compiten por un grupo de 400 pasajeros potenciales.La companıa A vende un billete a cualquiera que se lo solicita y la capacidad de su avion esde 230 pasajeros. Determinar la probabilidad aproximada de que A tenga un overbooking (quealgun pasajero tenga la desagradable sorpresa de tener un billete pero no tenga asiento).

Problema 232 (Examen 8-6-2004) Se redondean 20 numeros al entero mas cercano y des-pues se suman. Supongamos que los errores de redondeo son independientes y uniformementedistribuidos en el intervalo [− 1

2 , 12 ]. Se pide determinar la probabilidad de que la suma obtenida

difiera de la suma de los 20 numeros originales en mas de 3 unidades.

4.5. Funcion generatriz de momentos

Problema 233 1. Halla la funcion generatriz de momentos de X ∼ Po(λ).

2. Obten la esperanza y la varianza de X.

3. Demuestra que si Xi ∼ Po(λi) para i = 1, . . . , k y son variables independientes entonces

S =∑k

i=1 Xi ∼ Po(λ), siendo λ =∑k

i=1 λi.

Problema 234 1. Demuestra que si Xi ∼ Exp(λ) para i = 1, . . . , k y son variables aleato-

rias independientes entonces S =∑k

i=1 Xi ∼ Ga(k, λ).

2. Halla E(S) y V ar(S).

Problema 235 Sea X1, . . .Xn una muestra aleatoria de una N(µ, σ) demostrar que Xn ∼N(µ, σ√

n), siendo Xn = 1

n

∑ni=1 Xi.

Problema 236 Si Xi ∼ χ2ni

para i = 1, . . . , k y son variables aleatorias independientes enton-

ces S =∑k

i=1 Xi ∼ χ2n, siendo n =

∑ki=1 ni.

Problema 237 Halla la funcion generatriz de momentos de X ∼ BN(r, p) y calcular E(X).

Capıtulo 5

Examenes previos

5.1. 1 de septiembre de 2004

5.1.1. Castellano

Problema 238 Supongamos que una caja contiene 5 monedas, cada una de ellas con distin-ta probabilidad de obtener una cara la lanzarla. Denotamos por pi dicha probabilidad para lamoneda i, i = 1, 2, . . . , 5 y supongamos que p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4 y p5 = 1.

a) Se selecciona al azar una moneda. Si la primera cara se obtiene al cuarto lanzamiento,¿cual es la probabilidad de que la i−esima moneda haya sido la seleccionada?

b) Si se lanza de nuevo la misma moneda, ¿cual es la probabilidad de obtener una nuevacara?

c) Si se hubiera obtenido una cruz en el primer lanzamiento, ¿cual es la probabilidad deobtener una cara en el segundo lanzamiento?

Problema 239 Sea X una variable aleatoria con distribucion normal estandar (con media 0y varianza 1) y sea I otra variable aleatoria, independiente de X y tal que P (I = 1) = P (I =0) = 1/2. Se define la variable aleatoria Y mediante

Y =

X, si I = 1;−X, si I = 0.

1. Calcular las probabilidades P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) y P (Y > 1). ¿Son independientesX e Y ? Justifica la respuesta.

2. Demostrar que Y sigue una distribucion normal estandar.

3. Calcular E[XY |I = 1] y E[XY |I = 0] y demostrar que Cov(X, Y ) = 0.

Problema 240 Una empresa que alquila coches con conductor ha observado que el numerode kilometros por dıa de alquiler que se hacen con un determinado tipo de vehıculo sigue unadistribucion N(200, σ = 75).

a) ¿Cual es la probabilidad de que en 30 dıas se hagan mas de 5.000 kilometros? ¿Que hipote-sis hay que asumir?

43

44 CAPITULO 5. EXAMENES PREVIOS

b) La companıa revisa el estado del vehıculo si en un mismo dıa hace mas de 350 km. Calcularel numero esperado de dıas que la companıa puede alquilar el vehıculo antes de tener querevisarlo.

Problema 241 A partir de las variables aleatorias U1, . . . , Un, independientes y todas ellascon distribucion uniforme en el intervalo [0,1], se obtienen las variables Yi = −logUi, parai = 1, · · · , n.

a) ¿Que distribucion siguen las variables Y1, · · · , Yn? ¿Son independientes?

b) Sea Y = 1n

∑ni=1 Yi. Calcular E(Y ), V ar(Y ) y demostrar que,

∀k > 0, lımn→∞

P (|Y − 1| > k) = 0.

c) ¿Que distribucion de probabilidad sigue Y ?

5.1.2. Valenciano

Problema 242 Una caixa conte 5 monedes, cadascuna d’elles amb distinta probabilitat demostrar una cara en ser llancada. Si per pi denotem la probabilitat de cara per a la moneda i,tenim p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4 y p5 = 1.

a) triem una moneda a l’atzar. Si la primera cara apareix en el quart llancament, quina esla probabilitat de que la i−esima moneda haja estat la seleccionada?

b) Si llancem una altra vegada la mateixa moneda, quina es la probabilitat d’obtenir unacara?

c) Si al primer llancament haguerem tret una creu, quina hagues estat la probabilitat d’obteniruna cara en el segon llancament?

Problema 243 Siga X una variable aleatoria amb distribucio normal estandar (mitjana 0 ivarianca 1) i siga I una altra variable aleatoria, independent d’X i tal que P (I = 1) = P (I =0) = 1/2. Definim Y mitjancant

Y =

X, si I = 1;−X, si I = 0.

1. Calcular les probabilitats P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) i P (Y > 1). Son independents X iY ? Justifica la resposta.

2. Demostrar que Y segueix una distribucio normal estandar.

3. Calcular E[XY |I = 1] i E[XY |I = 0] i demostrar que Cov(X, Y ) = 0.

Problema 244 Una empresa de lloguer de cotxes amb chofer ha observat que el numero dequilometres per dia de lloguer que fa un cert tipu de vehicle segueix una distribucio N(200, σ =75).

a) Quina es la probabilidad de que un d’aquests vehicles faca mes de 5.000 quilometres en30 dies? Quina hipotesi hi ha que assumir?

b) La companyia revisa l’estat del vehicle si en un mateix dia fa mes de 350 qm. Calcular elnombre esperat de dies que la companıa pot llogar el cotxe sense haver de revisar-lo .

5.2. 3 DE FEBRERO DE 2004 45

Problema 245 A partir de les variables aleatories U1, . . . , Un, independents i totes elles ambdistribucio uniforme en l’interval [0,1], obtenim les variables Yi = −logUi, i = 1, · · · , n.

a) Quina distribucio segueixen les variables Y1, · · · , Yn? Son independents?

b) Siga Y = 1n

∑ni=1 Yi. Calcular E(Y ), V ar(Y ) i demostrar que,

∀k > 0, lımn→∞

P (|Y − 1| > k) = 0.

c) Quina distribucio de probabilitat segueix Y ?

5.2. 3 de febrero de 2004

5.2.1. Castellano

Problema 246 Un jugador puede apostar a cualquiera de los numeros enteros entre 1 y 6.Entonces lanza 3 dados y si aparece el numero que eligio, recibe como premio su apuesta mul-tiplicada por el numero de dados que lo muestran y ademas le devuelven lo que aposto. En otrocaso pierde su dinero. ¿Cual es la ganancia esperada de este juego?

Problema 247 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay doscompanıas de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85% de los taxis dela ciudad son Negros y el 15% restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que eltaxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80%, es decir, es capaz deidentificar correctamente el color del taxi el 80% de las veces.

1. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco, dado que el testigoafirma que lo era, y comparala con la respuesta del testigo.

2. Supongamos que el 100p% de los taxis son Blancos, con 0 ≤ p ≤ 1, y que la fiabilidaddel testigo continua siendo del 80%. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuestaanterior viendo como varıa esta en funcion de p. ¿A partir de que valor de p la anteriorprobabilidad supera 0.5?

3. El analisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable,100q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la relacion que se debe dar entre p y q para que laprobabilidad pedida supere 0.5.

Problema 248 El holandes Christian Huygens publico en 1657 uno de primeros libros sobreProbabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos deAzar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problemade Huygens lo enunciamos a continuacion.

Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene abolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bolacon reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana.

Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador.

Problema 249 Elegimos un punto uniformemente en el cırculo centrado en cero y de radiouno. Supongamos que denotamos por Θ la variable aleatoria que nos da el angulo aleatorioasociado a este punto y por X la variable aleatoria que nos da la abscisa del punto. Se pide:


1. ¿Cual es la distribucion de Θ? Hay que obtener tanto la funcion de densidad como lafuncion de distribucion.

2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]) para cualesquiera a y b con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.

3. Determinar la funcion de distribucion de la variable X.

4. Determinar la funcion de densidad de la variable X.

5. Calcular E(X).


5.2.2. Valenciano

Problema 250 Un jugador pot apostar a qualsevol dels enters entre 1 y 6, tots dos inclosos.Triat el numero llanca 3 daus, i si algun d’ells mostra el numero que ha triat rep com a premitantes vegades el que va apostar com daus mostren el numero, i a mes a mes li tornen l’aposta.¿Quin es el guany esperat en aquest joc?

Problema 251 Un taxi te un accident nocturn en una ciutat on hi ha dues companyes detaxis, els Negres i els Blancs. Sabem que el 85% dels taxis son Negres i la resta blancs. Untestimoni de l’accident, que es capac d’identificar correctament el color del taxi en el 80% deles ocasions, afirma que el taxi era Blanc.

1. Calcula la probabilitat de que el taxi accidentat fos blanc, donat que el testimoni aixı hoafirma, i compara-la amb el que diu el testimoni.

2. Suposem ara que el 100p % dels taxis son Blancs, on 0 ≤ p ≤ 1, i que la fiabilitat deltestimoni continua essent del 80%. Estudia la sensibilitat de la probabilitat obtinguda al’apartat anterior mitjancant la seua variacio en funcio de p. A partir de quin valor de paquesta probabilitat supera 0,5?

3. L’anterior analisi pot completar-se permetent que la fiabilitat del testimoni siga variable,100q %, on 0 ≤ q ≤ 1. Determina la relacio que deuen tenir p i q per a que l’esmentadaprobabilitat supere 0,5.

Problema 252 L’holandes Christian Huygens va publicar en 1657 un dels primers llibres sobreProbabilitat, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Raonament en els Jocs d’Atzar), on proposavaun seguit de problemes. El conegut com a segon problema de Huygens l’enunciem tot seguit.

Tres jugadors A, B i C participen en el seguent joc. Una urna te a bolas blanques ib negres. Els jugadors, en l’ordre ABCABC . . ., trauen una bola amb reemplacamentfins que un d’ells trau una bola blanca i guanya.

Trobar la probabilitat de guanyar per a cada jugador.

Problema 253 Triem un punt a l’atzar dintre del cercle unitat centrat en zero. Designemmitjancant Θ i X, respectivament, l’angle aleatori i l’abscissa associats al punt. Es demana:

1. La distribucion de Θ (cal obtenir tant la funcio de densitat com la funcio de distribucio).

2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]), ∀a, b amb 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.

3. Determinar la funcio de distribucio de la variable X.

5.3. 3 DE SEPTIEMBRE DE 2005 47

4. Determinar la funcio de densitat de la variable X.

5. Calcular E(X).


5.3. 3 de septiembre de 2005

5.3.1. Castellano

Problema 254 Tenemos 10 pares de zapatos y elegimos al azar 4 zapatos. ¿Cual es la proba-bilidad de que no hayamos elegido ningun par? Si X es una variable aleatoria que representa elnumero de pares elegidos, obtener el numero medio de pares entre los 4 zapatos elegidos.Ayuda.- Para el calculo de E(X) puede ayudar definir variables Xj que valen 1 si el par j hasido escogido y 0 en caso contrario.

Problema 255 Cuando una corriente de I amperios pasa a traves de una resistencia de Rohmios, la potencia generada viene dada por W = I2R vatios. Supongamos que I y R sonvariables aleatorias independientes con densidades

fI(x) =

6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;

0, fuera.

y

fR(y) =

2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0, fuera.

Hallar la densidad de W .

Problema 256 La variable aleatoria Y se distribuye Exp(1). Definimos

Xn =

1, si Y < lnn;

0, en caso contario.

Obtener la funcion de distribucion de Xn y estudiar la convergencia en ley de las Xn.

Problema 257 La probabilidad de que un virus informatico haya infectado nuestro ordenadores 0, 1. Si el ordenador esta infectado, un sistema antivirus detecta la infeccion con proba-bilidad x = 0, 95, mientras que en caso de no infeccion el sistema detecta falsas infeccionescon probabilidad y = 0, 03. Interesa que el sistema antivirus tenga un elevado valor predicti-vo=probabilidad de que el ordenador este infectado cuando el antivirus detecta una infeccion.Calcularlo a partir de los datos anteriores. Si queremos aumentarlo, ¿donde hemos de dirigirnuestros esfuerzos, a aumentar x o a rebajar y?

5.3.2. Valenciano

Problema 258 Tenim 10 parelles de sabates i triem a l’atzar 4 sabates. Quina es la probabilitatde no haver triat cap parella? Si X es la variable aleatoria que representa el numero de parellesque hem triat, obtenir la mitjana del numero de parelles entre les 4 sabates que hem triat.Ajut.- Per al calcul d’E(X) pot ajudar definir variables Xj que valen 1 si el parell de sabatesj ha estat triat i 0 en cas contrari.


Problema 259 Un corrent d’intensitat I ampers en creuar una resistencia de R ohms, generauna potencia de W = I2R vats. Suposem que I i R son variables aleatories independents ambdensitats

fI(x) =

6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;

0, fora.

i

fR(y) =

2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0, fora.

Trobar la densitat de W .

Problema 260 La variable aleatoria Y te per distribucio una Exp(1). Definim

Xn =

1, si Y < lnn;

0, altrament.

Obtenir la funcio de distribucio de Xn i estudiar la convergencia en llei de les Xn.

Problema 261 La probabilitat de que un virus informatic infecte el nostre ordinador es 0, 1.Si l’ordinador esta infectat, un sistema antivirus ho detecta amb probabilitat pI|D = 0, 95,mentre que en caso de no ho haja fet el sistema detecta falses infeccions amb probabilitat 0, 03.Interesa que el sistema antivirus tinga un alt valor predictiu=probabilitat de que el ordinadorestiga infectat quan l’antivirus ho detecta. Calcular-lo a partir de les dades anteriors. Si volemaugmentar-lo, que ens conve, augmentar x o rebaixar y?

5.4. 8 de junio de 2004

5.4.1. Castellano

Problema 262 La variable aleatoria X, que toma valores en el intervalo [0,2], tiene por den-sidad la recta que pasa por (2,0) con pendiente negativa. Obtener su funcion de densidad f(x)y calcular P (|X−E(X)| ≤ 1/2). ¿Que cota obtendrıamos para esta probabilidad si utilizaramosla desigualdad de Chebychev?

Problema 263 Supongamos una clase de n estudiantes. Uno de ellos conoce un rumor quecuenta a uno de sus companeros elegido al azar. A su vez este segundo estudiante vuelve acontarlo a otro companero elegido al azar y distinto del que se lo ha contado. Este rumor siguepropagandose del mismo modo. En cada ocasion el estudiante lo cuenta a otro elegido al azarentre los n del grupo, excluyendo a aquel que se lo conto. ¿Cual es la probabilidad de contar lahistoria k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo?Sugerencia.- Definid los sucesos Ai =la historia no se le repite de nuevo a alguien que yala conoce cuando se cuenta por i-esima vez, i = 1, . . . , k. A partir de estos sucesos se puededefinir el suceso de interes.

Problema 264 La variable aleatoria X se distribuye exponencialmente con parametro Y , quees a su vez una variable aleatoria uniforme en [1, 4]. Obtener la distribucion conjunta de X eY y la esperanza y la varianza de X.

5.4. 8 DE JUNIO DE 2004 49

Problema 265 Se redondean 20 numeros al entero mas cercano y despues se suman. Suponga-mos que los errores de redondeo son independientes y uniformemente distribuidos en el intervalo[− 1

2 , 12 ]. Se pide determinar la probabilidad de que la suma obtenida difiera de la suma de los

20 numeros originales en mas de 3 unidades.

Problema 266 Consideremos el siguiente procedimiento:

1. Generamos U con distribucion uniforme en [0, 1].

2. Tomamos Y = − 1λ ln(1−U) siendo ln el logaritmo neperiano y λ una constante positiva.

3. Tomamos X = [Y ] donde [Y ] es la parte entera por exceso de Y .

Se pide:

1. La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria Y .

2. La funcion de probabilidad de la variable X. Comprobar que tiene una distribucion geo-metrica.

Problema 267 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas ydenotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extraccion.Sea X la variable definida como el maximo de las dos extracciones. Se pide:

1. La funcion de distribucion de la variable X si suponemos que las dos extracciones serealizan con reemplazamiento.

2. La funcion de distribucion de la variable X si suponemos que no hay reemplazamientoentre las extracciones sucesivas.

3. La media de la variable X en las dos situaciones anteriores.

Segundo parcial: problemas 3, 4, 5 y 6.Examen final de toda la asignatura: problemas 1, 2, 4 y 5.

5.4.2. Valenciano

Problema 268 La variable aleatoria X, definida en l’interval en [0, 2], te per densitat la rectaque pasa per (2,0) amb pendent negativa. Obtenir f(x) i calcular P (|X−E(X)| ≤ 1/2). ¿Quinacota obtindrıem per aquesta probabilitat si emprarem la desigualtat de Chebychev?

Problema 269 A una classe hi ha n estudiants. Un d’ells coneix un rumor que conta a uncompany triat a l’atzar. Aquest segon estudiant el conta a un tercer, distint del que li’l va contara ell i triat tambe a l’atzar. El rumor continua propagant-se d’aquesta forma: un estudiant elconta a un altre triat a l’atzar i diferent del que li’l va contar a ell. Quina es la probabilitat deque en contar-lo k voltes el rumor no haja tornat a cap dels estudiants que ja el coneixien?Suggerencia.- Definiu els esdeveniments Ai =el rumor no es repeteix a cap dels que ja elconeixen quan es conta per i-esima volta, i = 1, . . . , k. Aquests esdeveniments ajuden a definirl’esdeveniment que ens interessa

Problema 270 La variable aleatoria X te una distribucio exponencial amb parametre Y , quees al seu torn una variable aleatoria uniforme sobre [1, 4]. Obtenir la distribucio conjunta de Xi Y i la esperanca i la varianca de X.


Problema 271 S’aproximen 20 numeros mitjancant l’enter mes proper i despres se sumem.Suposem que els errors comesos son independents i uniformes en l’interval [− 1

2 , 12 ]. Volem

obtenir la probabilitat de que la suma obtinguda s’allunye de la suma dels 20 numeros originalsmes de 3 unitats.

Problema 272 Considerem el seguent proces:

1. Generem U amb distribucio uniforme en [0, 1].

2. Definim Y = − 1λ ln(1 − U), on ln es el logaritme neperia i λ una constant positiva.

3. Prenim X = [Y ], la part entera per exces d’[Y ].

Es demana:

1. La distribucio de probabilitat de la variable aleatoria Y .

2. La funcio de probabilitat de la variable X. Comprovar que te una distribucio geometrica.

Problema 273 En una urna hi han 12 boles numerades de l’1 al 12. En tirem fora dues idesignem per X1 i X2 els valors observats a la primera i a la segona extraccio, i per X elmaxim de totes deus extraccions. Es demana:

1. La funcio de distribucio de la variable X si les dues extraccions son fetes amb reem-placament.

2. La funcio de distribucio de la variable X si les dues extraccions son fetes sense reem-placament.

3. La mitjana de la variable X en tots dos casos.

Segon parcial: problemes 3, 4, 5 i 6.Examen final de tota la materia: problemes 1, 2, 4 i 5.

5.5. 9 de febrero de 2005

5.5.1. Castellano

Problema 274 ¿Cual es la probabilidad de que una mano de poquer contenga solo una pareja?Nota: una baraja de poquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano sesirven cinco cartas.

Problema 275 Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n inclusive. Extraemos r alazar. Sea X el numero mayor obtenido si las papeletas se reemplazan despues de cada extracciony sea Y el numero mayor si las papeletas no se reemplazan en la urna. Determinar las funcionesde distribucion, las funciones de cuantıa (o probabilidad) y demostrar que

FY (k) < FX(k) para 0 < k < n. (5.1)

Problema 276 Calcular la probabilidad de poder formar un triangulo con dos puntos elegidosen el intervalo [0, 1] segun el metodo siguiente: Elegimos un punto al azar y a continuacion unode los trozos, elegido al azar, lo dividimos en dos partes iguales. Calcular, para este metodo, laprobabilidad de que el triangulo sea obtusangulo.

Nota: dado un triangulo cuyos lados miden a, b y c y cuyos angulos opuestos son A, B y C,respectivamente, se verifica que c2 = a2 + b2 − 2ab cosC.

5.6. 21 DE JUNIO DE 2005 51

Problema 277 Probar que para cualquier funcion de densidad de probabilidad se verifica

lımx→+∞

x

∫ +∞

x

1

zf(z)dz = 0.

5.5.2. Valenciano

Problema 278 Quina es la probabilitat de que una ma de poquer tinga sols una parella?Nota: una baralla de poquer te quatre pals i de cada pal hi han 13 cartes. En una ma s’enserveixen 5.

Problema 279 Una urna conte n paperetes numerades de 1 a n tots dos inclosos. En traiem ra l’atzar. Siga X el major numero tret si les extraccions han estat fetes amb reemplacament, isiga Y el major numero quan les extraccions han estat fetes sense reemplacament. Determinarles funcions de distribucio, les funcions de quantia (o probabilitat) i demostrar que

FY (k) < FX(k) per a 0 < k < n. (5.2)

Problema 280 Calcular la probabilitat de poder formar un triangle amb els tres segmentsobtinguts en triar dos punts a l’interval [0, 1] d’acord amb el seguent metode: triem un punt al’atzar i tot seguit un dels trossos, tambe triat a l’atzar, el dividim en dos parts iguals. Calculartambe la probabilitat de que el triangle siga obtusangle.Nota: per a un triangle de costats a, b i c amb angles oposats A, B i C respectivament esverifica que c2 = a2 + b2 − 2ab cosC.

Problema 281 Probar que per a qualsevol funcio de densitat de probabilitat es cert que

lımx→+∞

x

∫ +∞

x

1

zf(z)dz = 0.

5.6. 21 de junio de 2005

5.6.1. Castellano

Problema 282 En una urna hay una bola roja. Extraemos tres cartas de una baraja france-sa(52 cartas repartidas en 4 palos) y anadimos a la urna tantas bolas verdes como ases hayamosextraıdo. A continuacion lanzamos 2 veces una moneda cuya probabilidad de cara es p = 1/5y anadimos tantas bolas rojas como cruces hayamos obtenido. Finalmente llevamos a cabo 2extracciones con reemplazamiento de la urna. Si X es el numero de bolas verdes anadidas a laurna e Y el numero de bolas rojas anadidas a la urna,

1. Obtener la funcion de probabilidad de X.

2. Obtener la funcion de probabilidad de Y .

3. Si las dos bolas extraıdas con reemplazamiento son rojas, ¿cual es la probabilidad de nohaber obtenido ningun as al extraer las 3 cartas de la baraja francesa?

Problema 283 Sea T ∼ U(−1/c, 1/c), c > 0, y definamos Y = cT . Para k ∈ N , las variablesaleatorias Xk se definen mediante,

Xk =

−1, si −1 < Y < −1/k;0, si −1/k ≤ Y < 1/k;1, si 1/k ≤ Y < 1.


Demostrar que Xk converge en ley a la variable aleatoria X con funcion de probabilidadfX(−1) = fX(1) = 1/2 y fX(x) = 0, x /∈ −1, 1.

Problema 284 Definamos la funcion

f(x) =

ax−(s+1), si x > r;0, si x ≤ r,

con r, s > 0.

1. Determinar a para que f(x) sea una funcion de densidad de probabilidad.

2. Si la variable aleatoria X tiene por densidad f(x), ¿para que valores de s existira suesperanza?

Problema 285 Probar utilizando el Teorema Central del Lımite que

e−nn

∑

k=0

nk

k!

n−→ 1

2.

Problema 286 Sobre un cırculo cuyo radio R es aleatorio con funcion de densidad

fR(r) =

r2

9, r ∈ [0, 3];

0 en el resto,

elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener

1. La funcion de distribucion y la funcion de densidad de X |R = r.

2. La media y la varianza de X.

Problema 287 Un autobus tiene en su recorrido 15 paradas. Supongamos que en la primeraparada suben 20 personas. Cada una de ellas elige al azar e independientemente de las otras encual de las 14 paradas restantes quiere bajar.

1. Si Xi es una variable aleatoria que vale 1 si alguna de las personas baja en la parada i y0 en caso contrario, calcular su distribucion de probabilidad.

2. Calcular el numero medio de paradas que debe realizar el autobus para que bajen todos lospasajeros.

Toda la materia: P1, P2, P3 y P6Segundo parcial: P2, P4, P5 y P6

5.6.2. Valenciano

Problema 288 Tenim una urna amb una bola roja. Triem a l’atzar 3 cartes d’una baralla fran-cesa (52 cartes repartides en 4 pals) i afegim a la urna tantes boles verdes com asos hem tret.Despres llancem 2 vegades una moneda que te una probabilitat p = 1/5 de traure cara i afegima la urna tantes boles roges com creus hem obtingut. Finalment fem 2 extraccions amb reem-placament de la urna. Si X i Y representen el numeros de boles verdes i roges, respectivamente,que hem afegit a la urna,

5.6. 21 DE JUNIO DE 2005 53

1. Obtenir la funcio de probabilitat d’X.

2. Obtenir la funcio de probabilitat d’Y .

3. Si las dos boles extretes amb reemplacament son roges, quina es la probabilitat de no haberobtingut cap as al triar les 3 cartes de la baralla francesa?

Problema 289 Siga T ∼ U(−1/c, 1/c), c > 0. Definim Y = cT i per a k ∈ N definim lavariable Xk mitjancant,

Xk =

−1, si −1 < Y < −1/k;0, si −1/k ≤ Y < 1/k;1, si 1/k ≤ Y < 1.

Demostrar que Xk convergeix en llei a la variable aleatoria X amb funcio de probabilitatfX(−1) = fX(1) = 1/2 i fX(x) = 0, x /∈ −1, 1.Problema 290 Definim la funcio

f(x) =

ax−(s+1), si x > r;0, si x ≤ r,

amb r, s > 0.

1. Determineu a per a que f(x) siga una funcio de densitat de probabilitat.

2. Si la variable aleatoria X te per densitat f(x), per a quins valors d’s existira la seuaesperanca?

Problema 291 Emprant el Teorema Central del Lımit proveu que

e−nn

∑

k=0

nk

k!

n−→ 1

2.

Problema 292 Sobre un cercle de radi R, aleatori amb funcio de densitat

fR(r) =

r2

9, r ∈ [0, 3];

0 fora,

triem un punt a l’atzar. Si per X designem la distancia del punt a l’origen, obtenir

1. La funcio de distribucio i la funcio de densitat de X |R = r.

2. La mitjana i la variancia d’X.

Problema 293 Un autobus te 15 parades al llarg del seu recorregut. Suposem que en la primeraparada pugen a l’autobus 20 persones. Cadascuna d’elles tria a l’atzar i independentment de lesaltres en quina de les altres 14 parades vol baixar.

1. Si Xi es una variable aleatoria que val 1 si alguna de las persons baixa en la parada i i 0en cas contrari, calcular la seua distribucio de probabilitat.

2. Calcular la mitjana del numero de parades que deu fer l’autobus per a que baixen tots elspassatgers.

Tota la materia: P1, P2, P3 i P6Segon parcial: P2, P4, P5 i P6


5.7. 6 de junio de 2006

5.7.1. Castellano

Problema 294 Cuando cierta maquina esta bien ajustada el 60 % de las piezas que produceson de calidad alta, el 30% son de calidad media y el resto de calidad baja. Cuando se desajusta,en cambio, el 40% de las piezas que produce son de calidad alta, el 40% son de calidad mediay el resto de calidad baja.

1. Supongamos que en un momento dado la maquina esta bien ajustada, ¿cual es la proba-bilidad de que si se eligen 6 piezas al azar se obtengan 3 de buena calidad y 2 de calidadmedia?

2. Supongamos ahora que la maquina esta desajustada, ¿cual es la probabilidad de que si seeligen 6 piezas al azar se obtengan 2 piezas de cada tipo?

3. Se sabe que esta maquina esta bien ajustada el 80% del tiempo pero en este momento losresponsables no saben si lo esta o no. Un estudiante de calculo de probabilidades proponeque se elijan al azar 5 piezas y que se cuenten cuantas hay de cada tipo. En funcion delresultado se puede saber en que estado se encuentra la maquina. Los responsables de lamaquina aceptan su sugerencia y observan 2 piezas de calidad alta, 2 de calidad media yuna de calidad baja. ¿En que estado es mas verosımil que se encuentre la maquina?

Problema 295

1. Estudia la convergencia en ley de Xnn≥1 siendo Xn una variable aleatoria uniforme-mente distribuida en 1

n , 2n , . . . , n−1

n , 1, para n ≥ 1

2. Comprueba que Ynn≥2 converge en probabilidad a una constante, siendo Yn = Xn

log n ,

Xn ∼ U(0, 1) para n ≥ 2.

Problema 296 Un jugador juega una cantidad inicial de dinero 1e. En cada partida, con igualprobabilidad, duplica su dinero o lo reduce a la mitad. Despues de jugar n partidas ¿cual es laganancia esperada del jugador?

Problema 297 Consideramos X una variable aleatoria con distribucion uniforme en el inter-valo [0, π]. Determinar la funcion de densidad de la variable Y = sen(X).

Problema 298 Sean X, U y W variables aleatorias independientes con distribucion uniformeen [0, 1]. Definimos Y = XU +(1−X)W . Determinar EY y var(Y ). ¿Tiene Y una distribucionuniforme en [0, 1]?

Problema 299 Se ofrece un premio a cualquier persona que cuando lance 600 veces un dadoobtenga un mınimo de 125 veces el numero 6. Lo intentan 300 individuos. ¿Cual es la probabi-lidad de que al menos dos de ellos ganen el premio?

Segundo parcial: problemas 2, 3 5 y 6.Examen final de toda la materia: problemas 1, 2, 4 y 5.

5.7. 6 DE JUNIO DE 2006 55

5.7.2. Valenciano

Problema 300 Una maquina ben ajustada produeix un 60% de peces de qualitat alta, un 30%de qualitat mitjana i un 10% de qualitat baixa. Si es desajusta, les proporcions son 40, 40 i 20,respectivament.

1. Si la maquina esta ben ajustada, quina es la probabilitat de que al triar a l’atzar 6 peces3 siguen d’alta qualitat i 2 de mitjana?

2. Si la maquina esta desajustada, quina es la probabilitat de que al triar a l’atzar 6 pecesn’hi hagen 2 de cada tipus?

3. En un moment donat no sabem si la maquina esta o no ajustada, tot i que el 80% deltemps ho esta. Per a saber-ho algu ens proposa triar 5 peces a l’atzar i veure quantesn’hi han de cada tipus i decidir en funcio del resultat. Feta la prova trobem 2 peces d’altaqualitat i 2 de mitjana. En quin es mes verosımil que es trobe la maquina?

Problema 301 1. Estudia la convergencia en llei de Xnn≥1 on Xn una variable aleatoriauniformemente distribuıda en 1

n , 2n , . . . , n−1

n , 1, n ≥ 1

2. Comprova que Ynn≥2 convergeix en probabilitat a una constant, essent Yn = Xn

log n ,

Xn ∼ U(0, 1) n ≥ 2.

Problema 302 Un jugador juga una quantitat inicial c. En cada partida, amb igual probabi-litat, la quantitat jugada es duplica o es redueix a la meitat. Despres de jugar n partides, quines el guany esperat del jugador?

Problema 303 Considerem X una variable aleatoria amb distribucio uniforme en l’interval[0, π]. Determinar la funcio de densitat de la variable Y = sin(X).

Problema 304 Les variables aleatories X, U i W son independents i totes tres U(0, 1). DefinimY = XU + (1 − X)W . Determinar E(Y ) i var(Y ). Te Y una distribucio U(0, 1)?

Problema 305 S’ofereix un premi a qualsevol que en 600 llancaments d’un dau obtinga unmınim de 125 sisos. Ho intentan 300 individus. Quina es la probabilitat de que al menys dosde’ells guanyen el premi?

Segon parcial: problemes 2, 3 5 i 6.Examen final de tota la materia: problemes 1, 2, 4 i 5.

c´alculo de probabilidades. enunciados. · ... (pitman, p´agina 9) elegimos una palabra al azar...

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