cálculo de perímetros, superficies y volúmenes
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Cálculo de Perímetros, Superficies y Volúmenes
EUCLIDES (325 a.C.- 265 a.C.)
Definió los 3 elementos fundamentales de la
geometría:
EL PUNTOLA RECTAEL PLANO
Son entes ideales.No son objetos físicos.No existen en la naturaleza
EL PUNTO
Constituye la mínima expresión
Es un elemento geométrico “adimensional”
(es decir, que no tiene dimensiones tales como longitud, superficie o volumen).
LA RECTA
Es una sucesión consecutivade infinitos puntos que se desarrolla en una
dirección.
Posee una sola dimensión (longitud).
EL PLANO
* Es una superficie plana sin espesor.
* Posee dos dimensiones.
* Contiene infinitos puntos y rectas.
* Surge de multiplicar entre sí ambas
dimensiones.
EL VOLUMEN
Surge de incorporar a un plano
la tercera dimensión.
EL VOLUMEN
EN EL MUNDO REAL:
• Existen los CUERPOS; que tienen CARAS y ARISTAS.
• Los CUERPOS son tridimensionales y se miden en
unidades cúbicas (p.ej.: m3).
• Las CARAS están constituidas por superficies que -según su
forma- denominamos FIGURAS y se miden en unidades
cuadráticas (p. ej.: m2).
• Las ARISTAS delimitan las CARAS y se miden en unidades
lineales (p.ej.: m).
Las FIGURAS son SUPERFICIES y se encuentran
delimitadas por LADOS.
Se miden en UNIDADES CUADRÁTICAS
(Km2, m2, cm2, etc.).
TRIANGULO CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO
OCTÓGONO DECÁGONO CÍRCULODODECÁGONO
3 L 4 L 6 L5 L 7 L
8 L 10 L 12 LCIRCUNFERENCIA
FIGURAS REGULARES: LADOS Y ÁNGULOS IGUALES
FIGURAS IRREGULARES: LADOS Y/O ÁNGULOS
DESIGUALES.
FIGURA REGULAR FIGURA IRREGULAR
Perímetro = lado1+ lado2 …+ ladon
L1
L5
L4
L2
L3
L6
PERÍMETRO: SUMATORIA DE TODO EL CONTORNO
DE LA FIGURA
Se mide en UNIDADES LINEALES (m, cm, mm).
¿Que es una superficie ?
Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
Euclides
La superficie es “bidimensional” (posee dos dimensiones).
También se la denomina como área
La superficie surge de la MULTIPLICACIÓNde una de estas dimensiones con la otra.
Su unidad es cuadrática por ejemplo: m2
TRIÁNGULOS
Perímetro (Regulares)= Lado x 3
Perímetro (Irregulares)= L1 + L2 + L3
Superficie = b x h / 2
hh h
b b b
L L
L
L2
L3
L1
CUADRILATEROS
CUADRADO: Perímetro = Lado x 4
Superficie = Lado 2
L
L
CUADRILATEROS
RECTÁNGULO: Perímetro = 2 x LM + 2 x Lm
Superficie = LM x Lm
LM
Lm
CUADRILATEROS
PARALELOGRAMO: Perímetro = 2 x L1 + 2 x L2
L1
L2
Superficie = b x h
b
h
CUADRILATEROS
TRAPECIO: Perímetro = LM + Lm + L1 + L2
Superficie = (LM + Lm ) h/2
LM
h
Lm
L1
L2
POLÍGONOS EN GENERAL
Perímetro POLÍGONO regular: = L x nº Lados
Superficie POLÍGONO: Perímetro x Apotema / 2
hL
L
Ap L
L
LL
La circunferencia es una línea curva.
Para calcular su perímetro debemos
auxiliarnos con la intervención
del número PI
π = 3,14159265
CIRCUNFERENCIA
Per. = π X 2 radios = π X 2 r
ó Per. = π X Diámetro = π X D
siempre la unidad de cualquier perímetro es linealpor ejemplo: m.
CIRCUNFERENCIA
Sup = x r2
r = radio
d= diámetro
= 3,14159
CIRCULO
r Sup = x d2
/ 4
EL VOLUMEN
surge de la incorporación de la 3º dimensión a las superficies.
los volúmenes son también considerados sólidos y su unidad de medida es cúbica, por ejemplo m3
PRISMAS
CUBO: 6 CARAS CUADRADAS (IGUALES)
Volumen = Lado3
L
L
L
Escuela - cubo de Zollverein . ESSEN - Alemania
V= (L2 ) x h = m3CUBO
cabeza cubo
V= (L2 ) x h = m3 CUBO
PRISMAS:
Volumen = (SupBASE ) x H
Según figura de la base:
Cuadrada = (L2) x H
Rectangular = (LM x Lm) x H
Triangular = (b x h / 2) x H
Sup
H
V = (L2) x H = M3
PRISMA BASECUADRADA
V = (LM x Lm) x H = M3
PRISMA BASE RECTANGULAR
V = (L2) x H = M3
PRISMA BASE CUADRADA
CILINDRO
Volumen = (SupBASE ) x H
Volumen = ( x r2) x H
H
Sup
Diskus 2 - por Jerry HellströmCILINDRO
V= ( x r2) x H = M3
CILINDRO
V= ( x r2) x H = M3
V= ( x r2) x H
CILINDRO
PIRÁMIDE
Según figura de la base:
Cuadrada = 1/3 (L2) x H
Rectangular = 1/3 (LM x Lm) x H
Triangular = 1/3 (b x h / 2) x H
CONO
Volumen = 1/3 (SupBASE ) x H
Volumen = 1/3 ( x r2) x H
Pirámides Keops, Kefrén y Micerino - Egipto
V = 1/3 ( L2 ) x H = m3
PIRÁMIDE CUADRADA
V = 1/3 (LM x Lm) x H = m3
PIRÁMIDE RECTANGULAR
V = 1/3 (b x h / 2) x H = m3
PIRÁMIDE TRIANGULAR
PIRÁMIDE CUADRADA
V = 1/3 ( L2 ) x H = m3
Museo Louvre- París
Esfera de Caracas - Venezuela - Jesús Soto
4 x π x r3
3V= = m3
ESFERA