1

CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

Equipo docente:Antonio J. Barbero GarcíaMariano Hernández PucheAlfonso Calera Belmonte

Departamento de Física AplicadaE.T.S. Agrónomos albacete

UCLM

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

2

Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo de radio R, densidad superficial y espesor despreciable, respecto a los ejes X, Y, Z indicados en la figura.

PROBLEMA 1

X

Y

Z

R

X

Y

Z

R

dr

r

1. Momento de inercia respecto al eje Z R

zz dmrI

0

2

R

drr

0

3 2

4

0 3

2

1

2

1RrI

R

zz

donde r es el radio de un elemento de masa dm

drrdm 2

dm R

zz drrrI

0

2 2

2 RM Expresado en función de la masa

2

2

1 MR

X

Y

Z

R

dr

r

O

2. Para el cálculo de los momentos de inercia respecto a los ejes X e Y consideremos primero el momento de iner-cia respecto al punto central del disco O.

Véase que al no haber materia fuera del plano del disco, el cálculo de IO da el mismo resultado que obtuvimos para Izz:

R

O dmrI

0

2 4

0 3

2

1

2

1Rr

R 2

2

1 MR

R

drrr

0

2 2

222 dondey yxr

Pero aquí, el significado de r2 es 2222 zyxr

(distancia al eje Z)

(distancia al centro O)

Véase que, puesto que la figura es plana, todas las coordenadas z son iguales a cero; por eso el momento de inercia respecto a O es el mismo que respecto al eje Z.

3

La relación entre el momento de inercia respecto al centro O y los momentos respecto a los ejes puede verse a partir de sus definiciones:

dmzyxIO222

X

Y

Z

R

O dmzyI xx

22

dmzxI yy22

dmyxI zz22

Ozzyyxx IIII 2

Sumando estas tres

En el caso del disco, sabemos que IO = Izz

Además, como alrededor del eje Z el disco tiene simetría de revolución debe cumplirse que Ixx = Iyy

Por lo tanto zzOyyxx IIII 2 zzyyxx III 22 2

4

1

2

1MRIII zzyyxx

2

4

1MRI xx 2

4

1MRI yy 2

2

1MRI zz

4

a

b

Calcular el momento de inercia de un rectángulo homogéneo cuyas dimensiones son a b, su densidad superficial es y su espesor despreciable, respecto a los ejes X, Y, Z indicados en la figura.

PROBLEMA 2

X

Y

Z

a

b

baM

y

dydm

dyadm

La masa de la figura es su área por su densidad superficial

Momento de inercia respecto al eje X

Y

X

2/

2/

22

b

b

xx dmzyI

2/

2/

2

b

b

dmy

2/

2/

2

b

b

xx dyyaI 2/

2/3

3

1 b

bya

8-

8

3

1 33 bbaI xx 3

12

1ba

figura plana

2 12

1bM

En función de la masa M

5

Momento de inercia respecto al eje Y

x

dx

Y

X

a

b

dxbdm

dm

baM

2/

2/

22

a

a

yy dmzxI

2/

2/

2

a

a

dmx

2/

2/

2

a

a

dxxb 2/

2/3

3

1 a

axb

8-

8

3

1 33 aab 3

12

1ab 2

12

1aM

figura plana

Momento de inercia respecto al eje Z

Primero consideremos el momento de inercia respecto al centro O

O

dmzyxIO222 dmyx 22

figura plana

yyxx II

Además, para cualquier sólido se verifica Ozzyyxx IIII 2

zzyyzzyyxx IIIII 2Por lo tanto, para una figura plana

yyxxzz III

Usando los resultados anteriores 22 12

1baMI zz

6

Además, la relación entre el momento de inercia respecto al origen de coordenadas y los momentos de inercia respecto a los tres ejes perpendiculares X, Y, Z es (véase problema 1)

Primero consideremos el momento de inercia respecto al centro OCalcular el momento de inercia de una esfera homogénea de radio R y densidad respecto a uno de sus diámetros.

PROBLEMA 3

X

Y

Z

R OOR Y

X

Z Consideremos a la esfera formada por un número muy gran de capas concéntricas, todas centradas en O y cada una de masa dm.

dm

Ya que todos los puntos materiales de cada una de esas capas está situado a la misma distancia r del centro, el momento de inercia respecto de O es:

5 5

4R

r dr

dmrIO2Esta integral debe extenderse a todos los posibles valores de r, es decir, debe

comprender todos los elementos de masa situados entre r = 0 y r = R.

La masa total de la esfera es 3 3

4RM drrdm 2 4 y la masa del elemento dm es

R

O drrrdmrI

0

222 4

R

drr

0

4 4 23 3

4

5

3RR

2

5

3RMIO

Para calcular el momento de inercia respecto a un diámetro Idd: por la simetría esférica ddzzyyxx IIII

Ozzyyxx IIII 2

Odd II 23 Odd II3

2 2 5

2RMIdd

dd