Introducción

El método de Newton-Raphson es un método de optimización iterativo que se basa en aproximar la función a optimizar por medio de la serie de Taylor hasta orden 2. Tiene la ventaja sobre el método de ascenso más Rápido que no requiere un proceso iterativo para determinar hasta donde moverse.

Cálculo de las dimensiones óptimas de un cilindro.

Supongamos el caso de un jeque árabe nos pide que se realizamos un programa para determinar las dimensiones que debe tener un barril de petróleo para que, albergando un determinado volumen, presente la mínima área. El problema es que el jeque en cuestión quiere exportar el petróleo en bidones de distinto volumen, por lo que necesita un programa que sea capaz de dimensionar el barril en función del volumen solicitado.

Para solucionar esto vamos a realizar un algoritmo de prueba y error en el que estableceremos un proceso iterativo con el que nos acercaremos sucesivamente a la solución Óptima. El algoritmo seguirá los siguientes tres pasos:

1º Se determina la altura h que debe tener un barril inicial que tenga un radio muy pequeño (por ejemplo r=0.001) para albergar el volumen Vc solicitado. Esta altura se encontrará lejos de la altura que de unas proporciones óptimas y sabemos que habrá que reducirla para dar con la geometría del barril óptimo.

2º Calcularemos el área que presenta este barril inicial.

3º Esta área inicial será muy grande. De lo que se tratará ahora es de implementar un sistema iterativo en el que se vaya incrementando el radio con un paso pequeño (por ejemplo paso=0.01) hasta dar con las dimensiones del barril (r y

h) que presentan el área mínima. El criterio para detener las iteraciones es que se lleguemos a aquella iteración en la que demos con un área lateral superior al área lateral que se había obtenido en el paso anterior.

Esto es, después del 2º paso se dispondrá de un primer área (llamémosle Área).

Ya dentro del proceso iterativo, al incrementar el radio, se podrá calcular un nuevo área para ese radio (llamémosle Área nueva) que podrá compararse con el anterior área. Si resulta que se ha reducido el área, el proceso iterativo debe continuar. Si, por el contrario, el área nueva es peor, debe detenerse el proceso.

Vamos a programarlo en una función de Matlab cuyo encabezado sea:

Function [r,h]=Area_optima(Vc)

Donde Vc es el volumen que debe albergar el barril y r y h son el radio y la altura -calculados por la función- que minimizan el área del barril de volumen Vc.

Las fórmulas que hay que considerar son:

- Área de la circunferencia: πr^2

- Área de un cilindro: 2πr^2 + 2πrh

- Volumen de un cilindro: πr^2h

X0 0,1000X1 0,86529359X2 0,59739256X3 0,56469188X4 0,56418970 0,00050218

El diagrama de flujo para el 3er paso es el siguiente:

En este caso, el proceso iterativo ha sido programado mediante un bucle WHILE en el que se chequea el valor de una variable BOOLEANA (continuar). El valor de esta variable es 1 inicialmente.

Cuando se detecta que el área recién calculada es superior a la obtenida en la anterior iteración, el valor de continuar pasa a ser 0, con lo que en el siguiente paso del bucle la condición de chequeo es FALSE y el programa se detiene.