calculo de la trayectoria de la nave apolo con excel.pdf

7/23/2019 calculo de la trayectoria de la nave apolo con excel.pdf

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Prof. Javier Gonzlez Czares Telesecundaria Secretara de Educacin, Mxico

CALCULO DE LA TRAYECTORIA DEL COHETE LUNAR APOLO

CON EXCEL

Eadem mutata resurgo1

Jaques Bernoulli

Uno de los temas recurrentes de nios y jvenes es imaginar llegar a la luna; el siguiente ejemplo

es una imagen de cmo sera ese viaje, sin embargo no existen trabajos sobre contenidos de

Astrofsica Escolar2 en el que se encuentren animaciones o ejercicios para Excel, para la

educacin bsica, en este sencillo ensayo se har uso de la computadora como un laboratorio de

recreacin, para dibujar una supuesta trayectoria de un cohete; los conceptos universales de la

mecnica clsica, no son considerados, slo algunos que son de ndole matemtico3,.

El cohete describe varias trayectorias, al despegar (launch) traza una curva llamada parbola de

seguridad4, la siguiente etapa es de insercin orbital (insertion), la siguiente etapa es la rbita de

estacionamiento (earth parking orbit) de retorno libre, aqu da una vuelta alrededor de la tierra.

Despus de esto el cohete se separa de la rbita anterior, sigue la trayectoria de abandono de la

tierra (transearth trajectory), al acercarse a la luna entra en la rbita lunar (lunar orbit).

La fsica clsica puede ser usada para resolver de manera sencilla el comportamiento de dos

cuerpos, pero cuando son tres (en este caso la tierra, la luna y el cohete lunar) el comportamiento

matemtico es ms complejo, Euler5 resolvi este problema al considerar a la masa de uno de los

cuerpos menor a los otros dos y los tres en rbitas circulares.

No sern consideradas para el clculo la friccin, el momento angular, el momento de inercia.

Adems se agregar una animacin para hacer ms atractivo el ejemplo.

El clculo de la trayectoria de un objeto en 2D, se realiza en base a la transformacin de

rotacin, la rotacin es una transformacin lineal que conserva normas en espacios vectoriales,

por lo que para rotar, es necesario definir la matriz unitaria (ortogonal con determinante igual a

uno).

1aunque cambiando resurgir en alusin a las propiedades de las espirales.

2 http://www.fcaglp.unlp.edu.ar/aaa2009/aaa09abstracts.pdf; 52. Reunin Anual de la Asociacin Argentina de

Astronoma, 21-25 septiembre 2009, La Plata, Argentina, Documento PDF, descargado 24 de julio 2010

3 Las distancias son muy grandes, por lo que las trayectorias son eclpticas, que se cruzan entre s, permitiendo unimpulso de baja energa de transferencia, en la realidad, estas rutas tienen dificultades en los diseos de giros, usandocnicas: Martin W. Lo, Shane D. Ross Jet Propulsion Laboratory California Institute of Technology; Low EnergyInterplanetary Transfers Using the Invariant Manifolds of L1, L2, and Halo Orbits, http://trs-new.jpl.nasa.gov/dspace/bitstream/2014/19022/1/98-0197.pdf4

MARKUSHVICH,A. I.; Curvas maravillosas, Editorial MIR, Mosc, Segunda edicin, 1984.5Euler matemtico prolfico, realiz importantes descubrimientos en reas tan diversas como el clculo o la teora de

grafos, terminologa y notacin matemtica (anlisis matemtico), mecnica, ptica y astronoma. Fue el primero enescribirf(x) para hacer referencia a la funcin faplicada sobre el argumentox, adems defini la constante matemticaconocida como nmero e.


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La trayectoria descrita por graficas polares: hiperblica, circular y elptica. Una nota: la funcin

Clotoide6 no se usar. La trayectoria iniciar con la rbita de transferencia de Hohmann7 (Sin

embargo, las transferencias son muy lentas para distancias ms largas, por lo que se suele utilizar

asistencia gravitacional para incrementar la velocidad); luego con la trayectoria descrita por la

Lenmiscata de Bernoulli, al llegar a la luna con una vuelta circular y una hiperblica.

La trayectoria seguir a una idea muy antigua, y se remonta a Claudio Ptolomeo (siglo II d. de C),cuando quiso explicar el movimiento de los planetas en base a los epiciclos ((circunferencia de

trazos pequea8), y su centro a su vez se mueve sobre el deferente (circunferencia de trazo

grande). Aunque este modelo tiene muchos inconvenientes para clculos, ste abre la posibilidad

de relacionar curvas mecnicas usando el movimiento uniforme, pudiendo generar curvas

(rbitas) elpticas9.

El cohete es considerado como una partcula, lo cual puede estudiarse con un vector:

Haciendo uso de las matemticas y hoja Excel, abra una nueva Hoja Excel: Dibujar una Barra de

desplazamiento (control ActiveX), para controlar nuestros movimientos:

En la columna A, escribir los grados del recorrido: A8 = 0, vaya a Inicio + Rellenar + Series + clic en

columnas + Incremento 1 + Lmite 1260 + Aceptar; en B8 escribir = RADIANES(A8), copie y pegue

hasta B1268.

6Ernesto Cesro (1859-1906) dio el nombre de clotoide a una curva con forma de doble espiral simtrica, inspirndose

en el hilo que se enrolla en el huso y en la rueca. Espiral como smbolo del ciclo nacimiento-muerte-renacimiento",smbolo del Sol.7

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita_de_transferencia_de_Hohmann.8

Ideado por Apolonio de Perge finales siglo III a. C.9 PREZ, Antonio; Curvas con historia: de las cnicas a las ecuaciones de las flores, IES,http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4


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RBITA DE TRANSFERENCIA

Iniciamos con el recorrido, tericamente la salida del cohete a la estratosfera debe ser suave, por

lo que sugiero una elipse con estas caractersticas:

Pero como no inicia en el origen, desplazamos una unidad a la derecha, las frmulas sufren una

modificacin:

En la celda B5 escribe el valor de a = 5, en la celda C5 escribe el valor de b = 4, son los valores de

los ejes mayor y menor de la elipse.

Proyeccin x: en C8 inicie con la frmula =$B$5*COS(B8)-1, copie y pegue hasta C188.

Proyeccin y: en D8 frmula =$C$5*SENO(B8), copia y pega hasta D188.

Como la trayectoria ir apareciendo a medida que el objeto avance, en la celda E8 escribe la

proyeccin x: =SI($A8


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En la celda B549 escribe =$D$5*(1+COS(RADIANES((A549-540)*$E$5))), copia y pega hasta B727.

Las proyecciones se calculan en las celdas C y D.

La proyeccin x: en celda C549 escribe =B549*COS(RADIANES(A549))+34 (el 34 es para desplazar

el eje x), copia y pega hasta C727.

Proyeccin y: D549 escribe =B549*SENO(RADIANES(A549)), copia y pega hasta D727.

En celda E549 escribe =SI($A549


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PRESENTACIN

La presentacin tiene algunas consideraciones importantes:

a) La trayectoria ms ideal para el despegue.b) La trayectoria descrita por lneas discontinuas.c) Si se desea que llegue a la luna, es necesario una trayectoria elptica, a una velocidad

ptima.

d) El cohete es definido por una ecuacin.e) La curva generaliza la idea del recorrido.

Elija la opcin de la ficha Insertar + Grficos + Dispersin + Dispersin con lneas suavizadas.

Recomiendo graficar cada parte (u rbita), para evitar algunos problemas.

ANIMACIN

Este concepto parte de que el cohete debe de girar siguiendo no solo la trayectoria sino la inercia

y ngulo de despegue. Para esto, la tangente a la curva ser til.

En la celda L14, escribe, =DESREF(C8,$G$2,0), en celda L15 =DESREF(D8,$G$2,0), sern x1 e y1.

En celda L17, escribe: =DESREF(C8,$H$2,0), en celda L18 =DESREF(D8,$H$2,0), sern x2 e y2.

Si recordamos que:

En celda L20 escribe =L14-L17, en celda L21 escribe =L15-L18

En la celda L23 usamos la frmula de Excel: =ATAN2(L20,L21), para este ngulo.

Pero el ngulo anterior se convierte en grados, en la celda L24: = GRADOS(L23), como el ngulodebe de corregirse para seguir la trayectoria, en celda L25 = 180 + L24 (180 grados). El ngulocorregido debe estar en Radianes, por eso en la celda L26 escriba =RADIANES(L25).

Usaremos el concepto de giro de la matriz: es necesario convertir el sistema a otro mediante

rotaciones alrededor del eje de coordenadas del cohete a un sistema comn para conocer cmo

se movi en realidad. En este ejemplo, sabremos el ngulo con el cual difieren ambos sistemas

(note que la rotacin slo sucede alrededor del eje ).


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La rotacin es alrededor del eje z.

Las ecuaciones se expresan en forma matricial de esta manera:

Pero para dos dimensiones queda10:

En la celda O3 escriba =COS(L26), en celda P3 =SENO(L26), en celda O4 escriba = - SENO(L26), en

celda P4 escriba =COS(L26).

COHETE LUNAR

Las frmulas que siguen dibujan una figura que se asemeja a un cohete lunar:

x = 2*a * coseno(t) + a * coseno(2*t)

y = 2*a * seno(t) - a * seno(t)

estas frmulas paramtricas sern graficadas en el sistema cartesiano:

Grados: desde la celda N7 hasta N367 inicie con la frmula 0 hasta 360.

10http:\\nacc.opc.es, Matrices de rotacin, descargado 2 de agosto del 2010


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Radianes: en celda O7 escribe =RADIANES(N7), copia y pega hasta O367.

X cohete, desde P7 escribe la frmula =2*$B$5*COS(O7)+$B$5*COS(2*O7), copie y pegue hasta

P367.

Y cohete, desde Q7 escriba =2*$B$5*SENO(O7)-$B$5*SENO(O7), copie y pegue hasta Q367.

Para que gire el cohete tenemos que multiplicar la matriz rotacin por cada una de lasproyecciones de ste mismo, bajo el siguiente criterio:

Seleccione la matriz con los coeficientes del sistema de ecuaciones R7:S7.

En la Barra de frmulas seleccione la Matriz Multiplicacin de Dos Matrices:

Para la Matriz1 seleccione P7:Q7; la Matriz2 la matriz $O$3:$P$4, note que son valores absolutos:


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Clic en Aceptar; despues Clic en F2 + Crtl + Shift + Enter: La solucin se presenta de esta forma:

Copia y pegue hasta S367.

Para que el cohete gire y sigua la trayectoria, primero en la celda S3 la escala, por ejemplo 0.06

Trazo x: en la celda U7 escriba =L$14+$S$3*R7, copie y pegue hasta U367.

Trazo y: en celdaV7 escriba =L$15+$S$3*S7, copie y pegue hasta V367.

Seleccione y pegue en la grfica de la trayectoria:

Queda ms o menos as:

Una presentacin final posible:


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Como ejercicio haga la trayectoria de la tierra a la luna, para ello, se dibujar con una frmula y la

trayectoria con la Espiral de Arqumides11. La figura propuesta quedara de esta manera:

En posterior ensayo, describir como es el cdigo VBA para la animacin, pero de igual modo lo

puede hacer con controles ActiveX.

11 r = f(). Donde r es el radio de cada uno de los puntos de la grfica (distancia desde el origen de coordenadas hasta el

punto) en funcin del ngulo que se gira (ngulo medido desde el eje X positivo y en sentido contrario a las agujas del

reloj). Se representa esta tipo de curva en coordenadas cartesianas (x, y). Aplicando las frmulas: x = rcos() ; y =

rsen(). Para representar "f()" calculamos sus puntos con las ecuaciones:

x = f() cos() y = f() sen()

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090514161302AA7omU5; descargado 03/07/2010.

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