Notas de Calculo Diferencial

Universidad del ZuliaFacultad Experimental de Ciencias

Departamento de Matematicas

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Indice general

1. Modelos Matematicos y Funciones. 51.1. Modelos Matematicos y Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Definicion, dominio y rango de una funcion. . . . . . . 111.1.2. Grafica de funciones. Criterio de la recta vertical . . . . 111.1.3. Funciones pares e impares y simetrıa . . . . . . . . . . 111.1.4. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . 111.1.5. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . 111.1.6. Criterio de la recta horizontal . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Catalogo de funciones I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. Funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Funcion potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Funciones Polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.6. Funciones Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Catalogo de Funciones II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Funciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Funciones Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Funnciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Funciones a partir de Transformaciones . . . . . . . . . . . . . 111.4.1. Traslaciones verticales y horizontales . . . . . . . . . . 111.4.2. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3. Estiramientos y compresiones . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Operaciones con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2. Funcionn inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3. Calculo de la funcionn inversa . . . . . . . . . . . . . . 111.5.4. Grafica de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . 11

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4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Modelos Matematicos yFunciones.

1.1. Modelos Matematicos y Funciones.

A lo largo de la historia, la humanidad se ha esforzado por entender elfuncionamiento del mundo material. En particular, una disciplina tan antiguacomo la civilizacion, ha demostrado estar muy por encima de las demas cuan-do se ha tratado de proporcionar una explicacion a las complejas estructurasque forman los objetos del mundo que nos rodea: La Matematica.

La Matematica surgio cuando el hombre comenzo a observar que habitaen un mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento. Envarios fenomenos, se observan patrones de comportamiento que se repitende forma cıclica con cierta frecuencia: el dıa se vuelve noche, los animalesemigran de una zona en cada cambio de estacion, los paisajes cambian deforma constante.

Surgieron ası los conceptos basicos de espacio, tiempo y cantidad, distan-cia, cambio y numero. En algun momento, la humanidad comenzo a identi-ficar pautas y a establecer relaciones, a contar y a ordenar en su mente elmundo que le rodeaba.

Comprender las matematicas puede incluso ser la diferencia entre vivir ymorir. Por ejemplo, los antiguos egipcios que se asentaron a las orillas del rıoNilo, comenzaron a registrar cada cuanto tiempo este se desbordaba. Pre-decir este evento era fundamental para el exito de su agricultura. Registrarlos patrones de las estaciones les fue esencial tanto para su agricultura co-mo para su religion. Los asentamientos fueron creciendo de modo que losgobernantes necesitaron administrarlos optimizando los recursos: pronto sehizo necesario medir las areas de los terrenos, predecir las cosechas y cargar

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6 CAPITULO 1. MODELOS MATEMATICOS Y FUNCIONES.

los impuestos. Nacieron ası los calendarios, sistemas numericos y de medicion.

Otras culturas enfrentaron problemas similares a los que tuvieron los egip-cios. Los babilonios y, especialmente, los griegos hicieron grandes aportes alas matematicas. En particular, la civilizacion griega se esforzo por respondera problemas de la vida cotidiana, pero tambien a ciertos problemas existen-ciales.

Entre los problemas y fenomenos que los matematicos han estudiado sis-tematicamente, desde la epoca de los antiguos griegos, se pueden mencio-nar: el origen del universo, el origen de la vida, el movimiento planetario, lacantidad de poblacion mundial, la cantidad de precipitaciones en una zonadeterminada, la autenticidad de ciertos documentos, la fabricacion de armas,la administracion y optimizacion de recursos.

Cuando los cientıficos han estudiado fenomenos como los mencionadosarriba, han decubierto que, en varios casos, pueden establecer ecuacionesque expresen las relaciones que existen en las distintas magnitudes o va-riables que aparecen en el fenomeno que estudian. Esto permite les permiteentender el fenomeno y, por otro lado, realizar predicciones de comporta-mientos futuros.

Por ejemplo, luego de leer los trabajos de sus antecesores, y de revisarciertos datos registrados por varios astronomos, Isaac Newton formulo unmodelo matematico en el que los cuerpos se atraen entre sı con una fuerzaproporcional a una cantidad llamada masa e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre ellos. Esto permite predecir el movimiento delSol, la Luna y los planetas con un alto grado de precision.

Ası pues, un modelo matematico es una descripcion matematica de unfenomeno del mundo real que, para ser considerado como bueno, debe sa-tisfacer como requisitos indispensables: estar formulado con un mınimo depostulados o parametros arbitrarios, y ser capaz de predecir positivamentelos resultados de observaciones futuras.

Para construir un modelo matematico que sea bueno los cientıficos siguenlos siguientes pasos:

1.1. MODELOS MATEMATICOS Y FUNCIONES. 7

1) Identificar y etiquetar las distintas variables que aparecen en el fenomeno.

2) Formular un conjunto de axiomas o postulados, que simplifiquen eltratamiento matematico del problema.

3) Registrar un conjunto de datos para luego analizarlos utilizando tablasy tecnicas de registro (graficacion) con el fin de detectar patrones.

4) Obtener un conjunto de ecuaciones que expresen la interdependenciaentre las variables.

Una vez formulado el modelo matematico lo que se hace es utilizar lasherramientas matematicas para establecer conclusiones, hacer interpretacio-nes, ofrecer explicaciones, y hacer predicciones sobre el fenomeno estudiado.Si las predicciones no se ajustan a la realidad que se observa al examinar otrosdatos, si tan solo una observacion las contradice, entonces lo que se hace esrefinar el modelo original y proponer otro que sea esencialmente nuevo. Porejemplo, la teoraa de la gravedad formulada por Isaac Newton predecaa unmovimiento ligeramente diferente al que observaban los astronomos para elplaneta Mercurio. Por otro lado, la teorıa de la relatividad general de Einsteinhizo un conjunto de predicciones que se ajustaban mas a las observacionesde la tayectoria de este planeta, lo cual fue crucial para la aceptacion de estanueva teoraa como un mejor modelo matematico que el de Newton.

Es importante entender que un modelo matematico es, en consecuencia,solo una idealizacion de la realidad observada. Por tanto, nunca puede con-siderarse como una representacion totalmente fiel de la realidad. Existe soloen nuestra mente. Cualquier modelo matematico es provisional: aunque losresultados de los experimentos concuerden con las predicciones del modelo,nunca se puede estar seguro de que la proxima vez el resultado vaya o no acontradecirlas.

Ejemplo Realista 1 (Registros de la Poblacion Mundial): La va-riacion en la cantidad de la poblacion humana presente en el mundo puedeanalizarse en una tabla anotando su valor por cada ano. Si la variable po-blacion se denota por la letra P (medida en millones de habitantes) y si lavariable tiempo (medida en anos) se designa por la letra t, entonces se tieneel siguiene registro oficial:

8 CAPITULO 1. MODELOS MATEMATICOS Y FUNCIONES.

Anos Poblacion1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25601960 30401970 37101980 44501990 52802000 6080

Ası pues, la cantidad de poblacion, P , depende del (y varıa con) el tiempo,t.

Ejemplo Realista 2 (Caıda Libre): El cientıfico italiano Galileo Galileies recordado como uno de los fısicos y matematicos mas importantes de lahistoria. Sus celebres experimentos con objetos en caıda libre registaron losresultados que se describen a continuacion. Sea y(t) la distancia que recorreel objeto luego de t segundos. Entonces, sea u la distancia que recorre elobjeto luego de 1 segundo. Galileo observo que durante el siguiente segundo,el objeto recorre una distancia igual a 3u. Luego, durante el tercer segundo,observo que el objeto recorre una distancia igual a 5u. Galileo observo puesque el objeto sigue una ”ley de los numeros impares”: durante el cuartosegundo, el objeto recorre una distancia igual a 7u. La siguiente tabla registralos resultados del experimento de Galileo hasta t = 7:

Tiempo Distanciat y(t)1 1u2 4u3 9u4 16u5 25u6 36u7 49u

1.1. MODELOS MATEMATICOS Y FUNCIONES. 9

En este caso, se puede determinar la posicion de la partıcula en cual-quier instante t. Se infiere inmediatamente que las variables t y y(t) estanrelacionadas por la ecuacion:

y(t) = u · t2

Este hecho (el que una cantidad dada dependa de otra) se presenta enmuchas situaciones importantes. Por ejemplo:

1) Los matematicos han demostrado que el area A de un cıculo dependeunicamente de la longitud de su radio r:

A = π · r2

2) La cantidad de distancia que recorre un objeto en caıda libre dependeunicamente, si se ignoran los efectos que resultan de la resistencia alaire, del tiempo. Los experimentos de Galileo Galilei mostraron que, siy es la distancia recorrida por la partıcula luego de t segundos, entonces:

y =g · t2

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3) El numero N de bacterias presentes en un cultivo depende unicamentedel tiempo t. Por ejemplo, si un cultivo comienza con 1000 bacterias y,si la poblacion se duplica cada hora, entonces se deduce facilmente quedespues de t horas el numero de bacterias es:

N = 1000 · 2t

4) Sea c el capital prestado a una tasa de interes i, luego de t meses.Entonces, luego de t meses, el capital se convierte (en virtud del interesacordado) en c(1+i)t. Si se designa por C a este nuevo capital, entoncesse tiene la ecuacion:

C = c(1 + i)t

En Matematicas Financieras, esta ecuacion se conoce como la formuladel interes compuesto.

5) Cuando se realizan compras a distancia, el costo, C, del producto adqui-rido, depende del peso del mismo. Cada companıa tiene una regla queasigna un valor diferente a cada artıculo dependiendo de esta variable.

10 CAPITULO 1. MODELOS MATEMATICOS Y FUNCIONES.

En todos estos casos se tiene un fenomeno o problema en el que una canti-dad dada depende de otra. En matematicas, se dice que la segunda cantidaddepende de la primera o que es una funcion de esta. Mas precisamente, setiene la siguiente:

Definicion 1.1. Una funcionn f es una regla que asigna a cada elemento xde un conjunto A un unico elemento, denotado por f(x), de un conjunto B.

1.2. CATALOGO DE FUNCIONES I 11

1.1.1. Definicion, dominio y rango de una funcion.

1.1.2. Grafica de funciones. Criterio de la recta vertical

1.1.3. Funciones pares e impares y simetrıa

1.1.4. Funciones crecientes y decrecientes

1.1.5. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

1.1.6. Criterio de la recta horizontal

1.2. Catalogo de funciones I

1.2.1. Funcion constante

1.2.2. Funcion potencia

1.2.3. Funcion valor absoluto

1.2.4. Funciones Polinomicas

1.2.5. Funciones Racionales

1.2.6. Funciones Irracionales

1.3. Catalogo de Funciones II

1.3.1. Funciones Exponenciales

1.3.2. Funciones Logarıtmicas

1.3.3. Funnciones Trigonometricas

1.4. Funciones a partir de Transformaciones

1.4.1. Traslaciones verticales y horizontales

1.4.2. Reflexiones

1.4.3. Estiramientos y compresiones

1.5. Operaciones con Funciones

1.5.1. Composicion de Funciones

1.5.2. Funcionn inversa

1.5.3. Calculo de la funcionn inversa

1.5.4. Grafica de la funcion inversa